პირველი რიგის განზოგადებული ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები. ლექცია დიფერენციალური განტოლებები განზოგადებული წარმოებულების თვისებები

განტოლება მ(x, წ) dx+ ნ(x, წ) დი=0 განზოგადებულ ერთგვაროვანს უწოდებენ, თუ შესაძლებელია ასეთი რიცხვის შერჩევა კ, რომ ამ განტოლების მარცხენა მხარე ხდება გარკვეული ხარისხის ერთგვაროვანი ფუნქცია მ შედარებით x, წ, dx და დი იმ პირობით, რომ x ითვლება პირველი განზომილების მნიშვნელობად, წ – კ‑ ე გაზომვები , dx და დი – შესაბამისად ნული და (კ-1) ე გაზომვები. მაგალითად, ეს იქნება განტოლება. (6.1)

ძალაშია გაზომვებთან დაკავშირებით გაკეთებული დაშვებების მიხედვით

x, წ, dx და დი მარცხენა მხარის წევრები
და დი ექნება ზომები -2, 2 შესაბამისად კდა კ-1. მათი გათანაბრებისას ვიღებთ პირობას, რომელიც უნდა აკმაყოფილებდეს საჭირო რაოდენობას კ: -2 = 2კ = კ-1. ეს პირობა დაკმაყოფილებულია, როდესაც კ = -1 (ამით კგანხილული განტოლების მარცხენა მხარეს ყველა ტერმინს ექნება -2 განზომილება). შესაბამისად, განტოლება (6.1) არის განზოგადებული ჰომოგენური.

განზოგადებული ჰომოგენური განტოლება დაყვანილია განტოლებამდე განცალკევებული ცვლადებით ჩანაცვლების გამოყენებით
, სად ზ- ახალი უცნობი ფუნქცია. მოდით გავაერთიანოთ განტოლება (6.1) მითითებული მეთოდის გამოყენებით. იმიტომ რომ კ = -1, მაშინ
, რის შემდეგაც ვიღებთ განტოლებას.

მისი ინტეგრირება, ჩვენ ვხვდებით
, სადაც
. ეს არის (6.1) განტოლების ზოგადი ამონახსნი.

§ 7. I რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები.

1 რიგის წრფივი განტოლება არის განტოლება, რომელიც წრფივია სასურველი ფუნქციისა და მისი წარმოებულის მიმართ. Ეს ჰგავს:

, (7.1)

სად პ(x) და ქ(x) - მოცემული უწყვეტი ფუნქციები x. თუ ფუნქცია
, მაშინ განტოლებას (7.1) აქვს ფორმა:
(7.2)

და ეწოდება წრფივი ერთგვაროვანი განტოლება, წინააღმდეგ შემთხვევაში
მას წრფივი არაჰომოგენური განტოლება ეწოდება.

წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება (7.2) არის განტოლება განცალკევებული ცვლადებით:

(7.3)

გამოხატულება (7.3) არის (7.2) განტოლების ზოგადი ამონახსნები. იპოვონ (7.1) განტოლების ზოგადი ამონახსნი, რომელშიც ფუნქცია პ(x) აღნიშნავს იგივე ფუნქციას, როგორც განტოლებაში (7.2), ჩვენ ვიყენებთ ტექნიკას, რომელსაც ეწოდება თვითნებური მუდმივის ცვალებადობის მეთოდი და შედგება შემდეგისგან: შევეცდებით ფუნქციის შერჩევას. C=C(x) ისე, რომ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების (7.2) ზოგადი ამონახსნი იქნება არაერთგვაროვანი წრფივი განტოლების ამონახსნი (7.1). შემდეგ (7.3) ფუნქციის წარმოებულისთვის ვიღებთ:

.

ნაპოვნი წარმოებულის (7.1) განტოლებით ჩანაცვლებით, გვექნება:

ან
.

სად
, სად - თვითნებური მუდმივი. შედეგად, არაჰომოგენური წრფივი განტოლების (7.1) ზოგადი ამონახსნი იქნება (7.4)

ამ ფორმულის პირველი წევრი წარმოადგენს ხაზოვანი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების (7.2) ზოგად ამოხსნას (7.3), ხოლო ფორმულის მეორე წევრი (7.4) არის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების (7.1) კონკრეტული ამონახსნები, რომელიც მიღებულია ზოგადიდან ( 7.4) თან
. ჩვენ გამოვყოფთ ამ მნიშვნელოვან დასკვნას თეორემის სახით.

თეორემა.თუ ცნობილია წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ერთი კონკრეტული ამონახსნი
, მაშინ ყველა სხვა ხსნარს აქვს ფორმა
, სად
- შესაბამისი წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა.

თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ I რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამოსახსნელად (7.1), უფრო ხშირად გამოიყენება სხვა მეთოდი, რომელსაც ზოგჯერ ბერნულის მეთოდსაც უწოდებენ. ჩვენ ვეძებთ (7.1) განტოლების ამოხსნას ფორმაში
. მერე
. მოდით შევცვალოთ ნაპოვნი წარმოებული თავდაპირველ განტოლებაში:
.

მოდით გავაერთიანოთ, მაგალითად, ბოლო გამონათქვამის მეორე და მესამე წევრი და გამოვყოთ ფუნქცია u(x) ფრჩხილის უკან:
(7.5)

ჩვენ ვითხოვთ ფრჩხილების გაუქმებას:
.

მოდით გადავჭრათ ეს განტოლება თვითნებური მუდმივის დაყენებით C ნულის ტოლია:
. ნაპოვნი ფუნქციით ვ(x) დავუბრუნდეთ განტოლებას (7.5):
.

მისი გადაჭრით, მივიღებთ:
.

შესაბამისად, (7.1) განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა.

დიფერენციალური განტოლებები განზოგადებულ ფუნქციებში

დაე იყოს განტოლება. თუ ჩვეულებრივი ფუნქციაა, მაშინ მისი ამოხსნა არის ანტიდერივატი, ანუ. მოდით ახლა განზოგადებული ფუნქცია იყოს.

განმარტება. განზოგადებულ ფუნქციას პრიმიტიულ განზოგადებულ ფუნქციას უწოდებენ თუ. თუ არის სინგულარული განზოგადებული ფუნქცია, მაშინ არის შემთხვევები, როდესაც მისი ანტიდერივატი არის რეგულარული განზოგადებული ფუნქცია. მაგალითად, ანტიდერივატი არის; ანტიწარმოებული ფუნქციაა და განტოლების ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს სახით: , სადაც.

არსებობს მე-ე რიგის წრფივი განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით

სადაც არის განზოგადებული ფუნქცია. მოდით იყოს დიფერენციალური პოლინომი th რიგის.

განმარტება. დიფერენციალური განტოლების განზოგადებული ამოხსნა (8) არის განზოგადებული ფუნქცია, რომლისთვისაც მოქმედებს შემდეგი მიმართება:

თუ უწყვეტი ფუნქციაა, მაშინ (8) განტოლების ერთადერთი ამონახსნი არის კლასიკური ამონახვა.

განმარტება. (8) განტოლების ფუნდამენტური ამონახსნი არის ნებისმიერი განზოგადებული ფუნქცია ისეთი, რომ.

გრინის ფუნქცია არის ფუნდამენტური გადაწყვეტა, რომელიც აკმაყოფილებს სასაზღვრო, საწყის ან ასიმპტომურ მდგომარეობას.

თეორემა. (8) განტოლების ამონახსნი არსებობს და აქვს ფორმა:

თუ კონვოლუცია არ არის განსაზღვრული.

მტკიცებულება. ნამდვილად,. კონვოლუციური თვისების მიხედვით გამოდის: .

ადვილი მისახვედრია, რომ ამ განტოლების ფუნდამენტური ამოხსნა არის, ვინაიდან

განზოგადებული წარმოებულების თვისებები

დიფერენციაციის მოქმედება არის წრფივი და უწყვეტი:

in, თუ in;

ყველა განზოგადებული ფუნქცია უსასრულოდ დიფერენცირებადია. მართლაც, თუ, მაშინ; თავის მხრივ და ა.შ.

დიფერენცირების შედეგი არ არის დამოკიდებული დიფერენციაციის თანმიმდევრობაზე. Მაგალითად, ;

თუ და, მაშინ პროდუქტის დიფერენციაციის ლაიბნიცის ფორმულა მოქმედებს. Მაგალითად, ;

თუ ეს არის განზოგადებული ფუნქცია, მაშინ;

თუ ლოკალურად ინტეგრირებადი ფუნქციებისგან შემდგარი სერია ერთგვაროვნად იყრის თავს თითოეულ კომპაქტურ ნაკრებში, მაშინ მისი დიფერენცირება შესაძლებელია ტერმინ-ტერმინად რამდენჯერმე (როგორც განზოგადებული ფუნქცია) და შედეგად მიღებული სერიები გადაიყრება.

მაგალითი. დაე

ფუნქციას ეწოდება Heaviside ფუნქცია ან ერთეული ფუნქცია. ის ლოკალურად ინტეგრირებადია და, შესაბამისად, შეიძლება ჩაითვალოს განზოგადებულ ფუნქციად. შეგიძლიათ იპოვოთ მისი წარმოებული. განმარტების მიხედვით, ე.ი. .

განზოგადებული ფუნქციები, რომლებიც შეესაბამება კვადრატულ ფორმებს რთული კოეფიციენტებით

ჯერჯერობით განიხილება მხოლოდ კვადრატული ფორმები რეალური კოეფიციენტებით. ამ ნაწილში ჩვენ ვსწავლობთ ყველა კვადრატული ფორმის სივრცეს რთული კოეფიციენტებით.

ამოცანაა განზოგადებული ფუნქციის განსაზღვრა, სადაც არის რთული რიცხვი. თუმცა, ზოგად შემთხვევაში არ იქნება უნიკალური ანალიტიკური ფუნქცია. მაშასადამე, ყველა კვადრატული ფორმის სივრცეში იზოლირებულია კვადრატული ფორმების „ზედა ნახევარ სიბრტყე“ დადებითი განსაზღვრული წარმოსახვითი ნაწილით და მათთვის ფუნქცია განისაზღვრება. კერძოდ, თუ კვადრატული ფორმა მიეკუთვნება ამ „ნახევარ სიბრტყეს“, მაშინ ვარაუდობენ, რომ სად. ასეთი ფუნქცია არის უნიკალური ანალიტიკური ფუნქცია.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავაკავშიროთ ფუნქცია განზოგადებულ ფუნქციასთან:

სადაც ინტეგრაცია ხორციელდება მთელ სივრცეში. ინტეგრალი (13) იყრის თავს და არის ანალიტიკური ფუნქცია ამ ნახევარსიბრტყეში. ამ ფუნქციის ანალიტიკურად გაგრძელებით, განისაზღვრება ფუნქციონალური სხვა მნიშვნელობებისთვის.

დადებითი განსაზღვრული წარმოსახვითი ნაწილის მქონე კვადრატული ფორმებისთვის ნაპოვნია ფუნქციების სინგულარული წერტილები და გამოითვლება ამ ფუნქციების ნარჩენები სინგულურ წერტილებში.

განზოგადებული ფუნქცია ანალიტიკურად დამოკიდებულია არა მხოლოდ, არამედ კვადრატული ფორმის კოეფიციენტებზეც. ამრიგად, ეს არის ანალიტიკური ფუნქცია ფორმის ყველა კვადრატული ფორმის ზედა „ნახევარ სიბრტყეში“, სადაც არის დადებითი განსაზღვრული ფორმა. შესაბამისად, იგი ცალსახად განისაზღვრება მისი მნიშვნელობებით „წარმოსახვითი ნახევრადღერძზე“, ანუ ფორმის კვადრატული ფორმების სიმრავლეზე, სადაც არის დადებითი განსაზღვრული ფორმა.

ღილაკზე „არქივის ჩამოტვირთვა“ დაწკაპუნებით თქვენ სრულიად უფასოდ გადმოტვირთავთ თქვენთვის საჭირო ფაილს.
სანამ ამ ფაილს ჩამოტვირთავთ, იფიქრეთ იმ კარგ ესეებზე, ტესტებზე, კურსებზე, დისერტაციებზე, სტატიებსა და სხვა დოკუმენტებზე, რომლებიც თქვენს კომპიუტერში არ არის მოთხოვნილი. ეს თქვენი საქმეა, ის უნდა მონაწილეობდეს საზოგადოების განვითარებაში და სარგებელს მოუტანს ხალხს. იპოვეთ ეს ნამუშევრები და წარუდგინეთ ცოდნის ბაზას.
ჩვენ და ყველა სტუდენტი, კურსდამთავრებულები, ახალგაზრდა მეცნიერები, რომლებიც იყენებენ ცოდნის ბაზას სწავლასა და მუშაობაში, ძალიან მადლობელი ვიქნებით თქვენი.

დოკუმენტით არქივის ჩამოსატვირთად, ქვემოთ მოცემულ ველში შეიყვანეთ ხუთნიშნა ნომერი და დააჭირეთ ღილაკს „არქივის ჩამოტვირთვა“

მსგავსი დოკუმენტები

ქოშის ამოცანები დიფერენციალური განტოლებისთვის. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის გრაფიკი. განტოლებები განცალკევებული ცვლადებით და დაყვანით ერთგვაროვან განტოლებამდე. პირველი რიგის ჰომოგენური და არაერთგვაროვანი წრფივი განტოლებები. ბერნულის განტოლება.

ლექცია, დამატებულია 18/08/2012


ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების თეორიის ძირითადი ცნებები. განტოლების ნიშანი ჯამურ დიფერენციალებში, ზოგადი ინტეგრალის აგება. ინტეგრირების ფაქტორის პოვნის უმარტივესი შემთხვევები. მულტიპლიკატორის შემთხვევა, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ X-ზე და მხოლოდ Y-ზე.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 24/12/2014


დიფერენციალური განტოლებების მახასიათებლები, როგორც ფუნქციებსა და მათ წარმოებულებს შორის ურთიერთობა. ამოხსნის არსებობისა და უნიკალურობის თეორემის დადასტურება. განტოლებების ამოხსნის მაგალითები და ალგორითმი ჯამურ დიფერენციალებში. ინტეგრირების ფაქტორი მაგალითებში.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 02/11/2014


რიკატის დიფერენციალური განტოლებები. წრფივი განტოლების ზოგადი ამოხსნა. ბერნულის დიფერენციალური განტოლების ყველა შესაძლო ამოხსნის პოვნა. განტოლებების ამოხსნა გამყოფი ცვლადებით. კლარაუტის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი და სპეციალური ამონახსნები.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 26/01/2015


განტოლება განცალკევებული ცვლადებით. ჰომოგენური და წრფივი დიფერენციალური განტოლებები. ინტეგრალური მრუდების გეომეტრიული თვისებები. ორი ცვლადის ფუნქციის სრული დიფერენციალი. ინტეგრალის განსაზღვრა ბერნულის მეთოდებით და თვითნებური მუდმივის ვარიაციები.

რეზიუმე, დამატებულია 24/08/2015


უმარტივესი დიფერენციალური განტოლებებისა და თვითნებური რიგის დიფერენციალური განტოლებების ცნებები და ამონახსნები, მუდმივი ანალიტიკური კოეფიციენტების ჩათვლით. წრფივი განტოლებათა სისტემები. ზოგიერთი წრფივი სისტემის ამონახსნების ასიმპტოტური ქცევა.

დისერტაცია, დამატებულია 06/10/2010


განტოლების ზოგადი ინტეგრალი, ლაგრანგის მეთოდის გამოყენება უცნობი ფუნქციის მქონე არაერთგვაროვანი წრფივი განტოლების ამოსახსნელად. დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა პარამეტრული ფორმით. ეილერის მდგომარეობა, პირველი რიგის განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში.

ტესტი, დამატებულია 11/02/2011

1-ლი რიგის დიფერენციალური განტოლებები გამყოფი ცვლადებით.

განმარტება.დიფერენციალური განტოლება განცალკევებული ცვლადებით არის ფორმის (3.1) განტოლება ან ფორმის განტოლება (3.2).

იმისათვის, რომ გამოვყოთ ცვლადები (3.1 განტოლებაში), ე.ი. შეამცირეთ ეს განტოლება ეგრეთ წოდებულ განცალკევებულ ცვლადის განტოლებამდე, გააკეთეთ შემდეგი: ;

ახლა ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ განტოლება g(y)= 0. თუ რეალური გამოსავალი აქვს y=a,რომ y=aასევე იქნება (3.1) განტოლების ამონახსნი.

განტოლება (3.2) მცირდება განცალკევებულ განტოლებამდე ნამრავლზე გაყოფით:

, რომელიც საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ განტოლების ზოგადი ინტეგრალი (3.2): . (3.3)

ინტეგრალური მრუდები (3.3) დაემატება ამონახსნებით თუ ასეთი გადაწყვეტილებები არსებობს.

1-ლი რიგის ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები.

განმარტება 1.პირველი რიგის განტოლებას ჰომოგენური ეწოდება, თუ მისი მარჯვენა მხარე აკმაყოფილებს მიმართებას , რომელსაც ეწოდება ნულოვანი განზომილების ორი ცვლადის ფუნქციის ჰომოგენურობის პირობა.

მაგალითი 1.აჩვენეთ, რომ ფუნქცია ნულოვანი განზომილების ერთგვაროვანია.

გამოსავალი. ,

ქ.ე.დ.

თეორემა.ნებისმიერი ფუნქცია ერთგვაროვანია და, პირიქით, ნულოვანი განზომილების ნებისმიერი ერთგვაროვანი ფუნქცია მცირდება ფორმამდე.

მტკიცებულება.თეორემის პირველი განცხადება აშკარაა, რადგან . დავამტკიცოთ მეორე განცხადება. მოდით დავდოთ შემდეგ ერთგვაროვანი ფუნქცია რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

განმარტება 2.განტოლება (4.1), რომელშიც მდა ნ– იგივე ხარისხის ერთგვაროვანი ფუნქციები, ე.ი. აქვს ქონება ყველასთვის, რომელსაც ეწოდება ერთგვაროვანი. ცხადია, ეს განტოლება ყოველთვის შეიძლება შემცირდეს ფორმამდე (4.2), თუმცა ეს შეიძლება არ იყოს საჭირო მის ამოსახსნელად. ერთგვაროვანი განტოლება მცირდება განტოლებამდე განცალკევებული ცვლადებით, სასურველი ფუნქციის ჩანაცვლებით წფორმულის მიხედვით y=zx,სად z(x)- ახალი საჭირო ფუნქცია. ამ ჩანაცვლების განხორციელების შემდეგ განტოლებაში (4.2), ვიღებთ: ან ან .

ინტეგრირებისას ვიღებთ განტოლების ზოგად ინტეგრალს ფუნქციის მიმართ z(x) , რომელიც განმეორებითი ჩანაცვლების შემდეგ იძლევა თავდაპირველი განტოლების ზოგად ინტეგრალს. გარდა ამისა, თუ განტოლების ფესვებია, მაშინ ფუნქციები არის ამონახსნები მოცემული ერთგვაროვანი განტოლებისთვის. თუ , მაშინ განტოლება (4.2) იღებს ფორმას

და ეს ხდება განტოლება განცალკევებული ცვლადებით. მისი ხსნარები ნახევრად პირდაპირია: .

კომენტარი.ზოგჯერ მიზანშეწონილია გამოიყენოთ ჩანაცვლება ზემოაღნიშნული ჩანაცვლების ნაცვლად x=zy.

განზოგადებული ერთგვაროვანი განტოლება.

განტოლება M(x,y)dx+N(x,y)dy=0განზოგადებულ ერთგვაროვანს უწოდებენ, თუ შესაძლებელია ასეთი რიცხვის შერჩევა კ, რომ ამ განტოლების მარცხენა მხარე ხდება გარკვეული ხარისხის ერთგვაროვანი ფუნქცია მშედარებით x, y, dxდა დიიმ პირობით, რომ xითვლება პირველი განზომილების მნიშვნელობად, წ – k‑ე გაზომვები , dxდა dy -შესაბამისად ნული და (k-1)ე გაზომვები. მაგალითად, ეს იქნება განტოლება . (6.1) ძალაშია გაზომვებთან დაკავშირებით გაკეთებული დაშვებით x, y, dxდა დიმარცხენა მხარის წევრები და დიექნება ზომები -2, 2 შესაბამისად კდა კ-1. მათი გათანაბრებისას ვიღებთ პირობას, რომელიც უნდა აკმაყოფილებდეს საჭირო რაოდენობას კ: -2 = 2კ=კ-1. ეს პირობა დაკმაყოფილებულია, როდესაც კ= -1 (ამით კგანხილული განტოლების მარცხენა მხარეს ყველა ტერმინს ექნება -2 განზომილება). შესაბამისად, განტოლება (6.1) არის განზოგადებული ჰომოგენური.

დეფ 1 DU ტიპის

დაურეკა პირველი რიგის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება(ODU).

Th 1 მოდით დაკმაყოფილდეს შემდეგი პირობები ფუნქციისთვის:

1) უწყვეტი at

შემდეგ ODE (1) აქვს ზოგადი ინტეგრალი, რომელიც მოცემულია ფორმულით:

სადაც არის ფუნქციის ზოგიერთი ანტიდერივატი თანარის თვითნებური მუდმივი.

შენიშვნა 1თუ ზოგიერთი პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ ODE (1) ამოხსნის პროცესში შეიძლება დაიკარგოს ფორმის ხსნარები; ასეთ შემთხვევებს უფრო ფრთხილად უნდა მოეპყროთ და თითოეული მათგანი ცალკე შემოწმდეს.

ამრიგად, თეორემიდან Th1უნდა ODE (1) გადაჭრის ზოგადი ალგორითმი:

1) გააკეთეთ ჩანაცვლება:

2) ამრიგად, მიიღება დიფერენციალური განტოლება განცალკევებული ცვლადებით, რომელიც უნდა იყოს ინტეგრირებული;

3) ძველ გვარიანებზე დაბრუნება;

4) შეამოწმეთ მნიშვნელობები გადაწყვეტაში მათი მონაწილეობისთვის ორიგინალი დისტანციური მართვა, რომლითაც პირობა დაკმაყოფილდება

5) ჩაწერეთ პასუხი.

მაგალითი 1ამოხსენით DE (4).

გამოსავალი: DE (4) არის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება, რადგან მას აქვს ფორმა (1). მოდით შევცვალოთ (3), ეს მიიყვანს განტოლებას (4) ფორმაში:

განტოლება (5) არის DE (4) ზოგადი ინტეგრალი.

გაითვალისწინეთ, რომ ცვლადების განცალკევებისა და გაყოფისას, ამონახსნები შეიძლება დაიკარგოს, მაგრამ ეს არ არის DE (4) გამოსავალი, რომელიც ადვილად მოწმდება პირდაპირი ჩანაცვლებით ტოლობით (4), რადგან ეს მნიშვნელობა არ შედის განმარტების დომენში. ორიგინალური DE.

პასუხი:

შენიშვნა 2ზოგჯერ შეგიძლიათ დაწეროთ ODE ცვლადების დიფერენციალური თვალსაზრისით Xდა u.რეკომენდირებულია დისტანციური მართვის ამ აღნიშვნიდან გადატანა დერივატის საშუალებით გამოხატვაზე და მხოლოდ ამის შემდეგ განახორციელოთ ჩანაცვლება (3).

დიფერენციალური განტოლებები დაყვანილია ერთგვაროვანებამდე.

დეფი 2 ფუნქციას ეძახიან კ ხარისხის ერთგვაროვანი ფუნქცია ტერიტორიაზე, რისთვისაც თანასწორობა დაკმაყოფილდება:

აქ მოცემულია დიფერენციალური განტოლებების ყველაზე გავრცელებული ტიპები, რომლებიც შეიძლება ჩამოყალიბდეს (1) სხვადასხვა გარდაქმნების შემდეგ.

1) სად არის ფუნქცია არის ერთგვაროვანი, ნულოვანი ხარისხი, ანუ თანასწორობა მოქმედებს: DE (6) ადვილად მცირდება (1) ფორმამდე, თუ დავსვამთ, რომელიც შემდგომში ინტეგრირებულია ჩანაცვლების (3) გამოყენებით.

2) (7), სადაც ფუნქციები იმავე ხარისხის ერთგვაროვანია კ . ფორმის DE (7) ასევე ინტეგრირებულია ჩანაცვლების (3) გამოყენებით.

მაგალითი 2ამოხსენით DE (8).

გამოსავალი:ვაჩვენოთ, რომ DE (8) ერთგვაროვანია. მოდით გავყოთ რაზეა შესაძლებელი, რადგან ეს არ არის გამოსავალი DE (8).

მოდით შევცვალოთ (3), ეს მიიყვანს განტოლებას (9) ფორმაში:

განტოლება (10) არის DE (8) ზოგადი ინტეგრალი.

გაითვალისწინეთ, რომ ცვლადების განცალკევებისა და გაყოფისას, გადაწყვეტილებები, რომლებიც შეესაბამება და მნიშვნელობებს, შეიძლება დაიკარგოს. მოდით შევამოწმოთ ეს გამონათქვამები. მოდით ჩავანაცვლოთ ისინი DE (8):

პასუხი:

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ამ მაგალითის ამოხსნისას ჩნდება ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება რიცხვის „ნიშანი“. X(კითხულობს" ნიშანი x"), განისაზღვრება გამოთქმით:

შენიშვნა 3 DE (6) ან (7) დაყვანა (1) ფორმაზე არ არის საჭირო; თუ აშკარაა, რომ DE არის ერთგვაროვანი, მაშინ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გააკეთოთ ჩანაცვლება.

3) ფორმის DE (11) ინტეგრირებულია, როგორც ODE, თუ და ჩანაცვლება თავდაპირველად შესრულებულია:

(12), სად არის სისტემის ამოხსნა: (13) და შემდეგ გამოიყენეთ ჩანაცვლება (3) ფუნქციისთვის. ზოგადი ინტეგრალის მიღების შემდეგ ბრუნდებიან ცვლადებში. Xდა ზე.

თუ , მაშინ, თუ ვივარაუდებთ (11) განტოლებაში, მივიღებთ დიფერენციალურ განტოლებას გამყოფი ცვლადებით.

მაგალითი 3ამოხსენით კოშის პრობლემა (14).

გამოსავალი:მოდით ვაჩვენოთ, რომ DE (14) დაყვანილია ერთგვაროვან DE-მდე და ინტეგრირებულია ზემოაღნიშნული სქემის მიხედვით:

მოდით ამოხსნათ წრფივი ალგებრული განტოლებების არაერთგვაროვანი სისტემა (15) კრამერის მეთოდით:

მოდით შევცვალოთ ცვლადები და გავაერთიანოთ მიღებული განტოლება:

(16) – DE-ს გენერალური ინტეგრალი (14). ცვლადების განცალკევებისას, ამონახსნები შეიძლება დაიკარგოს გამოხატულებაზე გაყოფისას, რომელიც შეიძლება მიღებულ იქნას ცალსახად კვადრატული განტოლების ამოხსნის შემდეგ. თუმცა, ისინი გათვალისწინებულია ზოგად ინტეგრალში (16) at

მოდი ვიპოვოთ გამოსავალი კოშის პრობლემისთვის: ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობები და შევცვალოთ ზოგად ინტეგრალში (16) და ვიპოვოთ თან.

ამრიგად, ნაწილობრივი ინტეგრალი მიიღება ფორმულით:

პასუხი:

4) შესაძლებელია ზოგიერთი დიფერენციალური განტოლების შემცირება ერთგვაროვანზე ახალი, ჯერჯერობით უცნობი ფუნქციისთვის, თუ გამოვიყენებთ ფორმის ჩანაცვლებას:

ამ შემთხვევაში ნომერი მშერჩეულია იმ პირობით, რომ მიღებული განტოლება, თუ ეს შესაძლებელია, გარკვეულწილად ერთგვაროვანი ხდება. თუმცა, თუ ამის გაკეთება შეუძლებელია, მაშინ განსახილველი DE ვერ დაიყვანება ერთგვაროვანზე ამ გზით.

მაგალითი 4გადაჭრით DE. (18)

გამოსავალი:მოდით ვაჩვენოთ, რომ DE (18) მცირდება ერთგვაროვან DE-მდე ჩანაცვლების (17) გამოყენებით და შემდგომში ინტეგრირებულია ჩანაცვლების (3) გამოყენებით:

მოდი ვიპოვოთ თან:

ამრიგად, DE (24)-ის კონკრეტულ ამონახსანს აქვს ფორმა