Առաջին կարգի ընդհանրացված միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ. Դասախոսություն դիֆերենցիալ հավասարումներ Ընդհանրացված ածանցյալների հատկությունները

Հավասարումը Մ(x, y) dx+ Ն(x, y) դի=0 կոչվում է ընդհանրացված միատարր, եթե հնարավոր է ընտրել այդպիսի թիվ կ, որ այս հավասարման ձախ կողմը դառնում է ինչ-որ աստիճանի միատարր ֆունկցիա մ համեմատաբար x, y, dx Եվ դի պայմանով, որ x համարվում է առաջին չափման արժեքը, y – կ‑ րդ չափումները , dx Եվ դի – համապատասխանաբար զրո եւ (կ-1) րդ չափումները։ Օրինակ, սա կլինի հավասարումը. (6.1)

Վավերական է չափումների վերաբերյալ արված ենթադրությունների համաձայն

x, y, dx Եվ դի ձախ կողմի անդամները
Եվ դի կունենա համապատասխանաբար -2, 2 չափսեր կԵվ կ-1. Նրանց հավասարեցնելով՝ մենք ստանում ենք պայման, որը պետք է բավարարի պահանջվող թիվը կ: -2 = 2կ = կ-1. Այս պայմանը բավարարվում է, երբ կ = -1 (սրա հետ կՔննարկվող հավասարման ձախ կողմում գտնվող բոլոր անդամները կունենան -2 չափում): Հետևաբար, հավասարումը (6.1) ընդհանրացված միատարր է:

Ընդհանրացված միատարր հավասարումը վերածվում է փոխարինելի փոփոխականների հետ հավասարման
, Որտեղ զ- նոր անհայտ գործառույթ: Եկեք ինտեգրենք (6.1) հավասարումը նշված մեթոդով: Որովհետեւ կ = -1, ապա
, որից հետո ստանում ենք հավասարումը.

Ինտեգրելով այն՝ մենք գտնում ենք
, որտեղ
. Սա (6.1) հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

§ 7. 1-ին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ.

1-ին կարգի գծային հավասարումը այն հավասարումն է, որը գծային է ցանկալի ֆունկցիայի և դրա ածանցյալի նկատմամբ: Կարծես թե.

, (7.1)

Որտեղ Պ(x) Եվ Ք(x) - տրված շարունակական գործառույթները x. Եթե ​​ֆունկցիան
, ապա հավասարումը (7.1) ունի ձև.
(7.2)

և կոչվում է գծային միատարր հավասարում, հակառակ դեպքում
այն կոչվում է գծային անհամասեռ հավասարում։

Գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումը (7.2) հավասարում է բաժանելի փոփոխականներով.

(7.3)

(7.3) արտահայտությունը (7.2) հավասարման ընդհանուր լուծումն է։ Գտնել (7.1) հավասարման ընդհանուր լուծումը, որում ֆունկցիան Պ(x) նշանակում է նույն ֆունկցիան, ինչ (7.2) հավասարման մեջ, մենք կիրառում ենք տեխնիկա, որը կոչվում է կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդ և բաղկացած է հետևյալից. մենք կփորձենք ընտրել ֆունկցիան. C=C(x) այնպես, որ գծային միատարր հավասարման (7.2) ընդհանուր լուծումը լինի անհամասեռ գծային հավասարման լուծումը (7.1): Այնուհետև (7.3) ֆունկցիայի ածանցյալի համար մենք ստանում ենք.

.

Գտնված ածանցյալը փոխարինելով (7.1) հավասարմամբ՝ կունենանք.

կամ
.

Որտեղ
, Որտեղ - կամայական հաստատուն. Արդյունքում, անհամասեռ գծային հավասարման (7.1) ընդհանուր լուծումը կլինի (7.4)

Այս բանաձևի առաջին անդամը ներկայացնում է գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման (7.2) ընդհանուր լուծումը (7.3), իսկ բանաձևի երկրորդ անդամը (7.4) գծային անհամասեռ հավասարման առանձին լուծումն է (7.1), որը ստացվում է ընդհանուրից (7.1): 7.4) հետ
. Այս կարևոր եզրակացությունը մենք կարևորում ենք թեորեմի տեսքով։

Թեորեմ.Եթե ​​հայտնի է գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման մեկ կոնկրետ լուծում
, ապա մնացած բոլոր լուծումներն ունեն ձևը
, Որտեղ
- համապատասխան գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Այնուամենայնիվ, պետք է նշել, որ 1-ին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումը լուծելու համար ավելի հաճախ օգտագործվում է մեկ այլ մեթոդ, որը երբեմն կոչվում է Բեռնուլիի մեթոդ։ Մենք կփնտրենք (7.1) հավասարման լուծումը ձևով
. Հետո
. Գտնված ածանցյալը փոխարինենք սկզբնական հավասարմամբ.
.

Միավորենք, օրինակ, վերջին արտահայտության երկրորդ և երրորդ անդամները և հանենք ֆունկցիան u(x) փակագծի հետևում.
(7.5)

Մենք պահանջում ենք չեղյալ համարել փակագծերը.
.

Եկեք լուծենք այս հավասարումը կամայական հաստատուն սահմանելով Գ հավասար է զրոյի:
. Գտնված ֆունկցիայով v(x) Վերադառնանք հավասարմանը (7.5).
.

Լուծելով այն՝ մենք ստանում ենք.
.

Հետևաբար, (7.1) հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև.

Դիֆերենցիալ հավասարումներ ընդհանրացված ֆունկցիաներում

Թող լինի հավասարում. Եթե ​​սովորական ֆունկցիա է, ապա դրա լուծումը հակաածանցյալ է, այսինքն. Թող հիմա լինի ընդհանրացված ֆունկցիա:

Սահմանում. Ընդհանրացված ֆունկցիան կոչվում է պարզունակ ընդհանրացված ֆունկցիա, եթե. Եթե ​​եզակի ընդհանրացված ֆունկցիա է, ապա հնարավոր են դեպքեր, երբ նրա հակաածանցյալը կանոնավոր ընդհանրացված ֆունկցիա է։ Օրինակ, հակաածանցյալն է. հակաածանցյալը ֆունկցիա է, և հավասարման լուծումը կարելի է գրել հետևյալ ձևով.

Կա հաստատուն գործակիցներով գծային գծային հավասարում

որտեղ է ընդհանրացված ֆունկցիան: Թող լինի րդ կարգի դիֆերենցիալ բազմանդամ:

Սահմանում. Դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանրացված լուծումը (8) ընդհանրացված ֆունկցիա է, որի համար գործում է հետևյալ կապը.

Եթե ​​շարունակական ֆունկցիա է, ապա (8) հավասարման միակ լուծումը դասական լուծումն է:

Սահմանում. (8) հավասարման հիմնարար լուծումը ցանկացած ընդհանրացված ֆունկցիա է, որը.

Գրինի ֆունկցիան հիմնարար լուծում է, որը բավարարում է սահմանային, սկզբնական կամ ասիմպտոտիկ պայմանը:

Թեորեմ. (8) հավասարման լուծումը գոյություն ունի և ունի ձև.

եթե կոնվուլյացիա սահմանված չէ:

Ապացույց. Իսկապես, . Համաձայն կոնվոլյուցիոն հատկության հետևյալն է՝ .

Հեշտ է տեսնել, որ այս հավասարման հիմնարար լուծումը, քանի որ

Ընդհանրացված ածանցյալների հատկությունները

Տարբերակման գործողությունը գծային է և շարունակական՝ մինչև.

մեջ, եթե ներս;

Յուրաքանչյուր ընդհանրացված ֆունկցիա անսահմանորեն տարբերելի է: Իսկապես, եթե, ապա; իր հերթին և այլն;

Տարբերակման արդյունքը կախված չէ տարբերակման կարգից։ Օրինակ, ;

Եթե ​​և, ապա Լայբնիցի բանաձևը արտադրանքի տարբերակման համար վավեր է: Օրինակ, ;

Եթե ​​դա ընդհանրացված ֆունկցիա է, ապա;

Եթե ​​լոկալ ինտեգրվող ֆունկցիաներից կազմված շարքը հավասարաչափ համընկնում է յուրաքանչյուր կոմպակտ բազմության վրա, ապա այն կարող է տարբերակվել տերմին առ տերմին ցանկացած անգամ (որպես ընդհանրացված ֆունկցիա), և ստացված շարքը կմիանա:

Օրինակ. Թող

Ֆունկցիան կոչվում է Heaviside ֆունկցիա կամ միավորի ֆունկցիա։ Այն տեղայնորեն ինտեգրելի է և, հետևաբար, կարող է դիտարկվել որպես ընդհանրացված գործառույթ: Դուք կարող եք գտնել դրա ածանցյալը: Ըստ սահմանման, այսինքն. .

Բարդ գործակիցներով քառակուսի ձևերին համապատասխան ընդհանրացված ֆունկցիաներ

Առայժմ դիտարկվել են միայն իրական գործակիցներով քառակուսի ձևեր։ Այս բաժնում մենք ուսումնասիրում ենք բարդ գործակիցներով բոլոր քառակուսի ձևերի տարածությունը:

Խնդիրն է որոշել ընդհանրացված ֆունկցիան, որտեղ կոմպլեքս թիվ է: Այնուամենայնիվ, ընդհանուր դեպքում չի լինի եզակի վերլուծական գործառույթ: Ուստի բոլոր քառակուսի ձևերի տարածության մեջ մեկուսացված է դրական որոշակի երևակայական մասով քառակուսի ձևերի «վերին կես հարթությունը» և նրանց համար որոշվում է ֆունկցիա։ Մասնավորապես, եթե քառակուսի ձևը պատկանում է այս «կիսահարթությանը», ապա ենթադրվում է, որ որտեղ. Նման ֆունկցիան եզակի վերլուծական ֆունկցիա է:

Այժմ մենք կարող ենք ֆունկցիան կապել ընդհանրացված ֆունկցիայի հետ.

որտեղ ինտեգրումն իրականացվում է ողջ տարածության վրա: Ինտեգրալը (13) համընկնում է և հանդիսանում է այս կիսահարթության վերլուծական ֆունկցիա: Այս գործառույթը վերլուծական կերպով շարունակելով՝ որոշվում է այլ արժեքների ֆունկցիոնալությունը:

Դրական որոշակի երևակայական մասով քառակուսի ձևերի համար հայտնաբերվում են ֆունկցիաների եզակի կետերը և հաշվարկվում են այդ ֆունկցիաների մնացորդները եզակի կետերում։

Ընդհանրացված ֆունկցիան անալիտիկորեն կախված է ոչ միայն քառակուսի ձևի գործակիցներից։ Այսպիսով, այն վերլուծական ֆունկցիա է ձևի բոլոր քառակուսի ձևերի վերին «կիս հարթությունում», որտեղ կա դրական որոշակի ձև: Հետևաբար, այն եզակիորեն որոշվում է իր արժեքներով «երևակայական կիսաառանցքի» վրա, այսինքն՝ ձևի քառակուսի ձևերի բազմության վրա, որտեղ կա դրական որոշակի ձև:

Սեղմելով «Ներբեռնել արխիվ» կոճակը, դուք լիովին անվճար կներբեռնեք Ձեզ անհրաժեշտ ֆայլը։
Նախքան այս ֆայլը ներբեռնելը, մտածեք այն լավ ռեֆերատների, թեստերի, կուրսային աշխատանքների, ատենախոսությունների, հոդվածների և այլ փաստաթղթերի մասին, որոնք անհայտ են ձեր համակարգչում: Սա ձեր գործն է, այն պետք է մասնակցի հասարակության զարգացմանը և օգուտ բերի մարդկանց։ Գտեք այս աշխատանքները և ներկայացրեք դրանք գիտելիքների բազա:
Մենք և բոլոր ուսանողները, ասպիրանտները, երիտասարդ գիտնականները, ովքեր օգտագործում են գիտելիքների բազան իրենց ուսման և աշխատանքի մեջ, շատ շնորհակալ կլինենք ձեզ:

Փաստաթղթով արխիվ ներբեռնելու համար ստորև դաշտում մուտքագրեք հնգանիշ թիվ և սեղմեք «Ներբեռնել արխիվ» կոճակը:

Նմանատիպ փաստաթղթեր

Կոշի խնդիրներ դիֆերենցիալ հավասարումների համար: Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման լուծման գրաֆիկը: Հավասարումներ բաժանելի փոփոխականներով և վերածվում են միատարր հավասարման: Առաջին կարգի միատարր և անհամասեռ գծային հավասարումներ. Բեռնուլիի հավասարումը.

դասախոսություն, ավելացվել է 18.08.2012թ


Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության հիմնական հասկացությունները. Ընդհանուր դիֆերենցիալներում հավասարման նշան, ընդհանուր ինտեգրալի կառուցում։ Ինտեգրող գործոնը գտնելու ամենապարզ դեպքերը. Բազմապատկիչի դեպք, որը կախված է միայն X-ից և միայն Y-ից:

դասընթացի աշխատանք, ավելացվել է 24.12.2014թ


Դիֆերենցիալ հավասարումների առանձնահատկությունները՝ որպես ֆունկցիաների և դրանց ածանցյալների հարաբերություններ։ Լուծման գոյության և եզակիության թեորեմի ապացույց. Ընդհանուր դիֆերենցիալներով հավասարումների լուծման օրինակներ և ալգորիթմ: Ինտեգրող գործոն օրինակներում:

դասընթացի աշխատանք, ավելացվել է 02/11/2014 թ


Ռիկկատիի դիֆերենցիալ հավասարումներ. Գծային հավասարման ընդհանուր լուծում. Բեռնուլիի դիֆերենցիալ հավասարման բոլոր հնարավոր լուծումները գտնելը: Բաժանելի փոփոխականներով հավասարումների լուծում. Clairaut դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր և հատուկ լուծումներ.

դասընթացի աշխատանք, ավելացվել է 26.01.2015թ


Հավասարում բաժանելի փոփոխականներով. Միատարր և գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ. Ինտեգրալ կորերի երկրաչափական հատկությունները. Երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ամբողջական դիֆերենցիալ: Ինտեգրալի որոշումը Բեռնուլիի մեթոդներով և կամայական հաստատունի տատանումները:

վերացական, ավելացվել է 24.08.2015թ


Ամենապարզ դիֆերենցիալ հավասարումների և կամայական կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների հայեցակարգերը և լուծումները, այդ թվում՝ հաստատուն վերլուծական գործակիցներով: Գծային հավասարումների համակարգեր. Որոշ գծային համակարգերի լուծումների ասիմպտոտիկ վարքագիծը:

թեզ, ավելացվել է 06/10/2010 թ


Հավասարման ընդհանուր ինտեգրալ, Լագրանժի մեթոդի կիրառում անհայտ ֆունկցիայով անհամասեռ գծային հավասարման լուծման համար։ Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում պարամետրային ձևով. Էյլերի պայման, առաջին կարգի հավասարում ընդհանուր դիֆերենցիալներում:

թեստ, ավելացվել է 11/02/2011

1-ին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ բաժանելի փոփոխականներով:

Սահմանում.Բաժանելի փոփոխականներով դիֆերենցիալ հավասարումը (3.1) ձևի կամ (3.2) ձևի հավասարումն է:

(3.1) հավասարման մեջ փոփոխականները առանձնացնելու համար, այսինքն. կրճատեք այս հավասարումը այսպես կոչված տարանջատված փոփոխական հավասարման, արեք հետևյալը. ;

Այժմ մենք պետք է լուծենք հավասարումը g(y) = 0. Եթե ​​իրական լուծում ունի y=a,Դա y=aկլինի նաև (3.1) հավասարման լուծումը:

Հավասարումը (3.2) վերածվում է առանձնացված հավասարման՝ բաժանելով արտադրյալի վրա.

, որը թույլ է տալիս մեզ ստանալ (3.2) հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը. . (3.3)

Ինտեգրալ կորերը (3.3) կհամալրվեն լուծումներով , եթե այդպիսի լուծումներ կան։

1-ին կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Սահմանում 1.Առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է միատարր, եթե նրա աջ կողմը բավարարում է հարաբերությունը , կոչվում է զրոյական չափման երկու փոփոխականների ֆունկցիայի միատարրության պայման։

Օրինակ 1.Ցույց տվեք, որ ֆունկցիան զրոյական չափման համասեռ է:

Լուծում. ,

Ք.Ե.Դ.

Թեորեմ.Ցանկացած ֆունկցիա միատարր է և, ընդհակառակը, զրոյական չափման ցանկացած միատարր ֆունկցիա վերածվում է ձևի:

Ապացույց.Թեորեմի առաջին պնդումն ակնհայտ է, քանի որ . Փաստենք երկրորդ հայտարարությունը. Այնուհետև դնենք միատարր ֆունկցիայի համար , ինչը ապացուցման կարիք ուներ։

Սահմանում 2.Հավասարում (4.1), որում ՄԵվ Ն– նույն աստիճանի միատարր ֆունկցիաներ, այսինքն. ունեն գույք բոլորի համար, որը կոչվում է միատարր: Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ կարող է կրճատվել մինչև (4.2) ձևը, թեև դա կարող է անհրաժեշտ չլինել այն լուծելու համար: Միատարր հավասարումը վերածվում է բաժանելի փոփոխականներով հավասարման՝ փոխարինելով ցանկալի ֆունկցիան yըստ բանաձևի y=zx,Որտեղ z(x)- նոր պահանջվող գործառույթ: Այս փոխարինումը կատարելով (4.2) հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք՝ կամ կամ .

Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք ֆունկցիայի նկատմամբ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը z(x) , որը կրկնակի փոխարինումից հետո տալիս է սկզբնական հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը։ Բացի այդ, եթե հավասարման արմատներն են, ապա ֆունկցիաները միատարր տրված հավասարման լուծումներ են: Եթե ​​, ապա (4.2) հավասարումը ստանում է ձև

Եվ դա դառնում է բաժանելի փոփոխականներով հավասարում։ Դրա լուծումները կիսաուղղակի են.

Մեկնաբանություն.Երբեմն նպատակահարմար է օգտագործել փոխարինումը վերը նշված փոխարինման փոխարեն x=zy.

Ընդհանրացված միատարր հավասարում.

Հավասարումը M(x,y)dx+N(x,y)dy=0կոչվում է ընդհանրացված միատարր, եթե հնարավոր է ընտրել այդպիսի թիվ կ, որ այս հավասարման ձախ կողմը դառնում է ինչ-որ աստիճանի միատարր ֆունկցիա մհամեմատաբար x, y, dxԵվ դիպայմանով, որ xհամարվում է առաջին չափման արժեքը, y – k‑րդ չափումները , dxԵվ dy –համապատասխանաբար զրո եւ (k-1)րդ չափումները։ Օրինակ, սա կլինի հավասարումը . (6.1) Վավերական է չափումների վերաբերյալ արված ենթադրության համաձայն x, y, dxԵվ դիանդամները ձախ կողմի և դիկունենա համապատասխանաբար -2, 2 չափսեր կԵվ կ-1. Նրանց հավասարեցնելով՝ մենք ստանում ենք պայման, որը պետք է բավարարի պահանջվող թիվը կ: -2 = 2կ=կ-1. Այս պայմանը բավարարվում է, երբ կ= -1 (սրա հետ կՔննարկվող հավասարման ձախ կողմում գտնվող բոլոր անդամները կունենան -2 չափում): Հետևաբար, հավասարումը (6.1) ընդհանրացված միատարր է:

դեֆ 1 DU տեսակ

կանչեց առաջին կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարում(ODU):

Թ 1 Գործառույթի համար թող կատարվեն հետևյալ պայմանները.

1) շարունակական ժամը

Այնուհետև ODE (1) ունի ընդհանուր ինտեգրալ, որը տրվում է բանաձևով.

որտեղ է ֆունկցիայի հակաածանցյալը Հետկամայական հաստատուն է:

Ծանոթագրություն 1Եթե ​​ոմանց համար պայմանը բավարարված է, ապա ODE (1) լուծման գործընթացում կարող են կորել ձևի լուծումները, նման դեպքերին պետք է ավելի ուշադիր վերաբերվել և դրանցից յուրաքանչյուրին առանձին ստուգել։

Այսպիսով թեորեմից Th1պետք է ODE (1) լուծելու ընդհանուր ալգորիթմ.

1) Կատարել փոխարինում.

2) Այսպիսով, կստացվի տարանջատելի փոփոխականներով դիֆերենցիալ հավասարում, որը պետք է ինտեգրվի.

3) Վերադարձ դեպի հին gvariables.

4) Ստուգեք արժեքները լուծման մեջ դրանց ներգրավվածության համար օրիգինալ հեռակառավարման վահանակ, որով պայմանը կբավարարվի

5) Գրի՛ր պատասխանը.

Օրինակ 1Լուծեք DE (4):

Լուծում: DE (4)-ը միատարր դիֆերենցիալ հավասարում է, քանի որ այն ունի (1) ձևը: Եկեք փոփոխություն կատարենք (3), սա կբերի (4) հավասարումը ձևի.

Հավասարումը (5) DE (4) ընդհանուր ինտեգրալն է։

Նկատի ունեցեք, որ փոփոխականները բաժանելիս և դրանց վրա բաժանելիս լուծումները կարող են կորչել, բայց սա DE (4) լուծում չէ, որը հեշտությամբ ստուգվում է ուղղակիորեն փոխարինելով հավասարությամբ (4), քանի որ այս արժեքը ներառված չէ սահմանման տիրույթում: բնօրինակի DE.

Պատասխան.

Ծանոթագրություն 2Երբեմն դուք կարող եք գրել ODE-ներ փոփոխականների դիֆերենցիալների առումով XԵվ u.Խորհուրդ է տրվում հեռակառավարման այս նշումից անցնել ածանցյալի միջոցով արտահայտությանը և միայն դրանից հետո կատարել փոխարինումը (3):

Դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ վերածված միատարրերի:

Def 2 Ֆունկցիան կոչվում է k աստիճանի միատարր ֆունկցիա տարածքում, որի համար հավասարությունը կբավարարվի.

Ահա դիֆերենցիալ հավասարումների ամենատարածված տեսակները, որոնք տարբեր փոխակերպումներից հետո կարող են վերածվել (1):

1) որտեղ է գործառույթը միատարր է, զրոյական աստիճան, այսինքն՝ հավասարությունը վավեր է. DE (6) հեշտությամբ վերածվում է (1) ձևի, եթե դնենք, որը հետագայում ինտեգրվում է փոխարինման միջոցով (3):

2) (7), որտեղ ֆունկցիաները նույն աստիճանի միատարր են կ . (7) ձևի DE-ն նույնպես ինտեգրված է փոխարինման միջոցով (3):

Օրինակ 2Լուծեք DE (8):

Լուծում:Եկեք ցույց տանք, որ DE (8)-ը միատարր է: Եկեք բաժանենք հնարավորի վրա, քանի որ դա DE-ի լուծում չէ (8):

Եկեք փոփոխություն կատարենք (3), սա կբերի (9) հավասարումը ձևի.

Հավասարումը (10) DE (8) ընդհանուր ինտեգրալն է։

Նկատի ունեցեք, որ փոփոխականները բաժանելիս և դրանց վրա բաժանելիս կարող են կորցնել և արժեքներին համապատասխան լուծումները: Եկեք ստուգենք այս արտահայտությունները. Եկեք դրանք փոխարինենք DE (8):

Պատասխան.

Հետաքրքիր է նշել, որ այս օրինակը լուծելիս հայտնվում է մի ֆունկցիա, որը կոչվում է թվի «նշան»: X(կարդում է" նշան x«), որը սահմանվում է արտահայտությամբ.

Ծանոթագրություն 3 DE (6) կամ (7) կրճատումը (1) ձևին անհրաժեշտ չէ, եթե ակնհայտ է, որ DE-ը միատարր է, ապա կարող եք անմիջապես փոխարինել:

3) (11) ձևի DE-ն ինտեգրվում է որպես ODE, եթե, և փոխարինումը սկզբում կատարվում է.

(12), որտեղ է համակարգի լուծումը՝ (13), այնուհետև ֆունկցիայի համար օգտագործեք փոխարինում (3): Ընդհանուր ինտեգրալը ստանալուց հետո նրանք վերադառնում են փոփոխականներին: XԵվ ժամը.

Եթե ​​, ապա, ենթադրելով (11) հավասարման մեջ, մենք ստանում ենք դիֆերենցիալ հավասարում բաժանելի փոփոխականներով:

Օրինակ 3Լուծիր Քոշիի խնդիրը (14):

Լուծում:Եկեք ցույց տանք, որ DE (14) վերածվում է միատարր DE-ի և ինտեգրվում է վերը նշված սխեմայի համաձայն.

Եկեք լուծենք գծային հանրահաշվական հավասարումների անհամասեռ համակարգը (15)՝ օգտագործելով Կրամերի մեթոդը.

Կատարենք փոփոխականների փոփոխություն և ինտեգրենք ստացված հավասարումը.

(16) – DE-ի ընդհանուր ինտեգրալ (14): Փոփոխականներն առանձնացնելիս լուծումները կարող են կորցնել արտահայտության վրա բաժանելիս, որը կարող է հստակորեն ստանալ քառակուսի հավասարումը լուծելուց հետո: Այնուամենայնիվ, դրանք հաշվի են առնվում ընդհանուր ինտեգրալում (16) ժամը

Եկեք լուծում գտնենք Քոշիի խնդրին. փոխարինենք արժեքները և ընդհանուր ինտեգրալում (16) և գտնենք Հետ.

Այսպիսով, մասնակի ինտեգրալը տրվելու է բանաձևով.

Պատասխան.

4) Նոր, դեռևս անհայտ ֆունկցիայի համար հնարավոր է մի քանի դիֆերենցիալ հավասարումներ իջեցնել միատարրերի, եթե կիրառենք ձևի փոխարինում.

Այս դեպքում համարը մընտրվում է այն պայմանից, որ ստացված հավասարումը, հնարավորության դեպքում, որոշ չափով դառնում է միատարր: Այնուամենայնիվ, եթե դա հնարավոր չէ անել, ապա քննարկվող DE-ն այս կերպ չի կարող կրճատվել միատարր:

Օրինակ 4Լուծել DE. (18)

Լուծում:Եկեք ցույց տանք, որ DE (18) վերածվում է միատարր DE-ի՝ օգտագործելով փոխարինումը (17) և հետագայում ինտեգրվում է փոխարինման միջոցով (3).

Եկեք գտնենք Հետ:

Այսպիսով, DE (24) որոշակի լուծումն ունի ձև