Võrrand M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 nimetatakse üldistatud homogeenseks, kui sellist arvu on võimalik valida k, et selle võrrandi vasak pool muutub mingil määral homogeenseks funktsiooniks m suhteliselt x, y, dx Ja dy tingimusel, et x loetakse esimese mõõtme väärtuseks, y – k‑ th mõõtmised , dx Ja dy – vastavalt null ja (k-1) th mõõtmised. Näiteks oleks see võrrand. (6.1)
Kehtib mõõtmiste kohta tehtud eelduste alusel
x,
y,
dx
Ja dy
vasaku poole liikmed 
Ja dy
on mõõtmetega vastavalt -2, 2 k Ja
k-1. Neid võrdsutades saame tingimuse, millele vajalik arv peab vastama k:
-2 = 2k
=
k-1. See tingimus on täidetud, kui k
= -1 (sellega k kõigi vaadeldava võrrandi vasakul küljel olevate terminite mõõde on -2). Järelikult on võrrand (6.1) üldistatud homogeenne.
Üldistatud homogeenne võrrand taandatakse asendust kasutades eraldatavate muutujatega võrrandiks 
, Kus z- uus tundmatu funktsioon. Integreerime võrrandi (6.1) näidatud meetodil. Sest k
= -1, siis 
, mille järel saame võrrandi.
Selle integreerimisel leiame 
, kus 
. See on võrrandi (6.1) üldlahendus.
§ 7. I järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid.
Esimest järku lineaarvõrrand on võrrand, mis on soovitud funktsiooni ja selle tuletise suhtes lineaarne. See näeb välja nagu:
,
(7.1)
Kus P(x)
Ja
K(x)
– antud pidevad funktsioonid x.
Kui funktsioon
,
siis on võrrand (7.1) järgmine: 
(7.2)
ja muidu nimetatakse seda lineaarseks homogeenseks võrrandiks 
seda nimetatakse lineaarseks mittehomogeenseks võrrandiks.
Lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand (7.2) on eraldatavate muutujatega võrrand:
(7.3)
Avaldis (7.3) on võrrandi (7.2) üldlahend. Leida võrrandile (7.1) üldlahend, milles funktsioon P(x) tähistab sama funktsiooni nagu võrrandis (7.2), rakendame tehnikat, mida nimetatakse suvalise konstandi variatsioonimeetodiks ja mis koosneb järgmisest: proovime funktsiooni valida C=C(x) nii et lineaarse homogeense võrrandi (7.2) üldlahendus oleks mittehomogeense lineaarvõrrandi (7.1) lahendus. Seejärel saame funktsiooni (7.3) tuletise jaoks:
.
Asendades leitud tuletise võrrandiga (7.1), saame:
või 
.
Kus 
, Kus 
- suvaline konstant. Selle tulemusena on ebahomogeense lineaarvõrrandi (7.1) üldlahend (7.4) 
Selle valemi esimene liige tähistab lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi (7.2) üldlahendit (7.3) ja valemi (7.4) teine liige on lineaarse ebahomogeense võrrandi (7.1) erilahend, mis on saadud üldisest ( 7.4) koos 
. Toome selle olulise järelduse teoreemi kujul välja.
Teoreem. Kui on teada lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üks konkreetne lahendus 
, siis on kõigil muudel lahendustel vorm 
, Kus 
- vastava lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.
Siiski tuleb märkida, et 1. järku (7.1) lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks kasutatakse sagedamini teist meetodit, mida mõnikord nimetatakse ka Bernoulli meetodiks. Võrrandile (7.1) otsime lahendust kujul 
. Siis 
. Asendame leitud tuletise algse võrrandiga: 
.
Kombineerime näiteks viimase avaldise teise ja kolmanda liikme ning eraldame funktsiooni u(x)
klambri taga: 
(7.5)
Nõuame sulgude tühistamist: 
.
Lahendame selle võrrandi suvalise konstandi määramisega C
võrdne nulliga: 
. Leitud funktsiooniga v(x)
Pöördume tagasi võrrandi (7.5) juurde: 
.
Selle lahendades saame: 
.
Järelikult on võrrandi (7.1) üldlahend kujul.
Diferentsiaalvõrrandid üldistatud funktsioonides
Olgu siis võrrand. Kui on tavaline funktsioon, siis selle lahendus on antiderivaat, st. Olgu nüüd üldistatud funktsioon.
Definitsioon. Üldistatud funktsiooni nimetatakse primitiivseks üldistatud funktsiooniks, kui. Kui see on ainsuse üldistatud funktsioon, siis on võimalikud juhud, kui selle antiderivaat on tavaline üldistatud funktsioon. Näiteks antiderivaat on; antituletis on funktsioon ja võrrandi lahendi saab kirjutada kujul: , kus.
On olemas konstantsete koefitsientidega lineaarne võrrand
kus on üldistatud funktsioon. Laskma olla th järgu diferentsiaalpolünoom.
Definitsioon. Diferentsiaalvõrrandi (8) üldistatud lahend on üldistatud funktsioon, mille puhul kehtib järgmine seos:
Kui on pidev funktsioon, siis võrrandi (8) ainus lahendus on klassikaline lahendus.
Definitsioon. Võrrandi (8) põhilahendus on mis tahes üldistatud funktsioon, mis.
Greeni funktsioon on fundamentaalne lahendus, mis rahuldab piir-, alg- või asümptootilist tingimust.
Teoreem. Võrrandi (8) lahendus on olemas ja sellel on järgmine kuju:
välja arvatud juhul, kui konvolutsioon on defineeritud.
Tõestus. Tõesti,. Konvolutsiooni omaduse järgi järgmine: .
On lihtne mõista, et selle võrrandi põhilahendus on, kuna
Üldistatud tuletiste omadused
Diferentseerimine on lineaarne ja pidev alates kuni:
sisse, kui sisse;
Iga üldistatud funktsioon on lõpmatult diferentseeritav. Tõepoolest, kui, siis; omakorda jne;
Eristamise tulemus ei sõltu eristamise järjekorrast. Näiteks, ;
Kui ja, siis Leibnizi toote eristamise valem kehtib. Näiteks, ;
Kui see on üldistatud funktsioon, siis;
Kui lokaalselt integreeritavatest funktsioonidest koosnev jada koondub igas kompaktses komplektis ühtlaselt, siis saab seda termini haaval diferentseerida suvalise arv kordi (üldistatud funktsioonina) ja saadud jada koondub.
Näide. Lase
Funktsiooni nimetatakse Heaviside funktsiooniks või ühikufunktsiooniks. See on lokaalselt integreeritav ja seetõttu võib seda pidada üldistatud funktsiooniks. Selle tuletise leiate. Definitsiooni järgi, s.o. .
Keeruliste kordajatega ruutvormidele vastavad üldistatud funktsioonid
Seni on arvestatud ainult reaalkoefitsientidega ruutvorme. Selles jaotises uurime kõigi komplekssete koefitsientidega ruutvormide ruumi.
Ülesandeks on määrata üldistatud funktsioon, kus on kompleksarv. Üldjuhul ei ole aga ainulaadset analüütilist funktsiooni. Seetõttu on kõigi ruutvormide ruumis positiivse kindla kujutlusosaga ruutvormide “ülemine pooltasand” isoleeritud ja neile määratakse funktsioon. Nimelt kui sellesse “pooltasandisse” kuulub ruutvorm, siis eeldatakse, et kus. Selline funktsioon on ainulaadne analüütiline funktsioon.
Nüüd saame funktsiooni seostada üldistatud funktsiooniga:
kus integreerimine toimub kogu ruumi ulatuses. Integraal (13) koondub sellel pooltasandil ja on selle analüütiline funktsioon. Seda funktsiooni analüütiliselt jätkates määratakse teiste väärtuste funktsionaalsus.
Positiivse kindla imaginaarosaga ruutvormide puhul leitakse funktsioonide ainsuse punktid ja arvutatakse nende funktsioonide jäägid ainsuse punktides.
Üldistatud funktsioon ei sõltu analüütiliselt mitte ainult ruutvormi kordajatest, vaid ka nendest. Seega on see analüütiline funktsioon kõigi vormi ruutvormide ülemises “pooltasandis”, kus on positiivne kindel vorm. Järelikult on see üheselt määratud selle väärtustega "kujuteldaval poolteljel", st vormi ruutvormide hulgal, kus on positiivne kindel vorm.
Klõpsates nupul "Laadi arhiiv alla", laadite teile vajaliku faili täiesti tasuta alla.
Enne selle faili allalaadimist mõelge nendele headele esseedele, testidele, kursusetöödele, väitekirjadele, artiklitele ja muudele dokumentidele, mis on teie arvutis nõudmata. See on teie töö, see peaks osalema ühiskonna arengus ja tooma inimestele. Otsige üles need tööd ja esitage need teadmistebaasi.
Oleme teile väga tänulikud meie ja kõik üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös.
Dokumendiga arhiivi allalaadimiseks sisestage allolevale väljale viiekohaline number ja klõpsake nuppu "Laadi arhiiv alla"
Sarnased dokumendid
Cauchy ülesanded diferentsiaalvõrrandite jaoks. Esimest järku diferentsiaalvõrrandi lahenduse graafik. Eraldatavate muutujatega võrrandid ja taandamine homogeenseks võrrandiks. Esimest järku homogeensed ja mittehomogeensed lineaarvõrrandid. Bernoulli võrrand.
loeng, lisatud 18.08.2012
Tavaliste diferentsiaalvõrrandite teooria põhimõisted. Võrrandi märk summaarsetes diferentsiaalides, üldintegraali konstrueerimine. Integreeriva teguri leidmise lihtsaimad juhud. Ainult X-st ja ainult Y-st sõltuva kordaja juhtum.
kursusetöö, lisatud 24.12.2014
Diferentsiaalvõrrandite tunnused funktsioonide ja nende tuletiste vaheliste seostena. Lahenduse olemasolu ja kordumatuse teoreemi tõestus. Näited ja algoritm summaarsete diferentsiaalide võrrandite lahendamiseks. Integreeriv tegur näidetes.
kursusetöö, lisatud 11.02.2014
Riccati diferentsiaalvõrrandid. Lineaarvõrrandi üldlahend. Bernoulli diferentsiaalvõrrandi kõigi võimalike lahenduste leidmine. Eraldatavate muutujatega võrrandite lahendamine. Clairaut diferentsiaalvõrrandi üld- ja erilahendused.
kursusetöö, lisatud 26.01.2015
Võrrand eraldatavate muutujatega. Homogeensed ja lineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Integraalkõverate geomeetrilised omadused. Kahe muutuja funktsiooni täielik diferentsiaal. Integraali määramine Bernoulli meetoditega ja suvalise konstandi variatsioonid.
abstraktne, lisatud 24.08.2015
Lihtsamate diferentsiaalvõrrandite ja suvalise järjestusega diferentsiaalvõrrandite mõisted ja lahendused, sealhulgas konstantsete analüütiliste koefitsientidega. Lineaarvõrrandisüsteemid. Mõnede lineaarsete süsteemide lahenduste asümptootiline käitumine.
lõputöö, lisatud 10.06.2010
Võrrandi üldintegraal, Lagrange'i meetodi rakendamine tundmatu funktsiooniga mittehomogeense lineaarvõrrandi lahendamiseks. Diferentsiaalvõrrandi lahendamine parameetrilisel kujul. Euleri tingimus, esimest järku võrrand summaarsetes diferentsiaalides.
test, lisatud 02.11.2011
Eraldatavate muutujatega 1. järku diferentsiaalvõrrandid.
Definitsioon. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand on vormi (3.1) võrrand või vormi (3.2) võrrand.
Selleks, et eraldada võrrandis (3.1) olevad muutujad, s.o. taandada see võrrand nn eraldatud muutuja võrrandiks, tehke järgmist. 
;
Nüüd peame võrrandi lahendama g(y) = 0. Kui sellel on reaalne lahendus y=a, See y=a on ka võrrandi (3.1) lahendus.
Võrrand (3.2) taandatakse eraldatud võrrandiks, jagades korrutisega:
, mis võimaldab meil saada võrrandi (3.2) üldintegraali: 
. (3.3)
Integraalkõveraid (3.3) täiendatakse lahendustega 
, kui sellised lahendused on olemas.
I järku homogeensed diferentsiaalvõrrandid.
Definitsioon 1. Esimest järku võrrandit nimetatakse homogeenseks, kui selle parem pool rahuldab seost 
, mida nimetatakse kahe nullmõõtmega muutuja funktsiooni homogeensuse tingimuseks.
Näide 1. Näidake, et funktsioon on nullmõõtmega homogeenne.
Lahendus. 
,
Q.E.D.
Teoreem. Iga funktsioon on homogeenne ja vastupidi, iga nullmõõtmega homogeenne funktsioon taandatakse kujule .
Tõestus. Teoreemi esimene väide on ilmne, sest . Tõestame teist väidet. Paneme siis homogeense funktsiooni jaoks 
, mida oli vaja tõestada.
2. definitsioon. Võrrand (4.1), milles M Ja N– sama astme homogeensed funktsioonid, s.o. on vara kõigile , mida nimetatakse homogeenseks. Ilmselgelt saab selle võrrandi alati taandada kujule (4.2), kuigi see ei pruugi selle lahendamiseks vajalik olla. Homogeenne võrrand taandatakse eraldatavate muutujatega võrrandiks, asendades soovitud funktsiooni y valemi järgi y=zx, Kus z(x)– uus vajalik funktsioon. Pärast seda asendust võrrandis (4.2) saame: või või .
Integreerimisel saame võrrandi üldise integraali funktsiooni suhtes z(x) 
, mis pärast korduvat asendamist annab algvõrrandi üldintegraali. Lisaks, kui on võrrandi juured, siis on funktsioonid antud homogeense võrrandi lahendid. Kui , siis võrrand (4.2) võtab kuju
Ja sellest saab eraldatavate muutujatega võrrand. Selle lahendused on poolotsesed: .
Kommenteeri. Mõnikord on soovitatav kasutada asendust ülaltoodud asendamise asemel x=zy.
Üldistatud homogeenne võrrand.
Võrrand M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 nimetatakse üldistatud homogeenseks, kui sellist arvu on võimalik valida k, et selle võrrandi vasak pool muutub mingil määral homogeenseks funktsiooniks m suhteliselt x, y, dx Ja dy tingimusel, et x loetakse esimese mõõtme väärtuseks, y – k- th mõõtmised ,dx Ja dy – vastavalt null ja (k-1) th mõõtmised. Näiteks oleks see võrrand 
. (6.1) Kehtib mõõtmiste kohta tehtud eeldusel x, y, dx Ja dy liikmed vasakpoolne ja dy on mõõtmetega vastavalt -2, 2 k Ja k-1. Neid võrdsutades saame tingimuse, millele vajalik arv peab vastama k: -2 = 2k=k-1. See tingimus on täidetud, kui k= -1 (sellega k kõigi vaadeldava võrrandi vasakul küljel olevate terminite mõõde on -2). Järelikult on võrrand (6.1) üldistatud homogeenne.
def 1 DU tüüp
helistas esimest järku homogeenne diferentsiaalvõrrand(ODU).
Th 1 Olgu funktsiooni jaoks täidetud järgmised tingimused:
1) pidev kl
Siis on ODE-l (1) üldine integraal, mis saadakse valemiga:
kus on mõni funktsiooni antiderivaat Koos on suvaline konstant.
Märkus 1 Kui mõne puhul on tingimus täidetud, siis ODE (1) lahendamise käigus võivad kaduma minna vormi lahendused, millesse tuleb suhtuda hoolikamalt ja igaüht eraldi kontrollida.
Seega teoreemist Th1 peaks üldine algoritm ODE lahendamiseks (1):
1) Tehke asendus:
2) Nii saadakse eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand, mis tuleks integreerida;
3) naasmine vanade muutujate juurde;
4) Kontrollige väärtusi nende kaasamise kohta lahendusse originaal kaugjuhtimispult, mille korral tingimus on täidetud
5) Kirjutage vastus üles.
Näide 1 Lahenda DE (4).
Lahendus: DE (4) on homogeenne diferentsiaalvõrrand, kuna sellel on vorm (1). Teeme muudatuse (3), see toob võrrandi (4) vormile:
Võrrand (5) on DE (4) üldine integraal.
Pange tähele, et muutujate eraldamisel ja jagamisel võivad lahendid kaduma minna, kuid see ei ole DE (4) lahendus, mida on lihtne kontrollida otsese asendamisega võrdsusega (4), kuna see väärtus ei sisaldu definitsiooni valdkonnas. originaal DE.
Vastus:
Märkus 2 Mõnikord saate ODE-sid kirjutada muutujate diferentsiaalide järgi X Ja u. Soovitatav on liikuda sellelt kaugjuhtimispuldi tähistusel avaldisele tuletise kaudu ja alles seejärel teostada asendus (3).
Diferentsiaalvõrrandid on taandatud homogeenseteks.
def 2 Funktsiooni kutsutakse astme k homogeenne funktsioon piirkonnas, mille puhul täidetakse võrdsus:
Siin on kõige levinumad diferentsiaalvõrrandite tüübid, mida saab pärast erinevaid teisendusi taandada vormiks (1).
1) kus on funktsioon on homogeenne, nullkraad, see tähendab, et võrdsus kehtib: DE (6) on kergesti taandatav vormiks (1), kui paneme , mis on veelgi integreeritud asendusega (3).
2) (7), kus funktsioonid on samal määral homogeensed k . Vormi (7) DE on samuti integreeritud, kasutades asendust (3).
Näide 2 Lahenda DE (8).
Lahendus: Näitame, et DE (8) on homogeenne. Jagagem võimalikuga, kuna see ei ole DE (8) lahendus.
Teeme muudatuse (3), see toob võrrandi (9) vormile:
Võrrand (10) on DE (8) üldine integraal.
Pange tähele, et muutujate eraldamisel ja jagamisel võivad ja väärtustele vastavad lahendused kaduda. Kontrollime neid väljendeid. Asendame need DE-ga (8):
Vastus:
Huvitav on märkida, et selle näite lahendamisel ilmub funktsioon, mida nimetatakse numbri "märgiks". X(loeb " märk x"), mis on määratletud väljendiga:
Märkus 3 DE (6) või (7) taandamine vormile (1) ei ole vajalik; kui on ilmne, et DE on homogeenne, saate kohe asendada
3) Vormi (11) DE integreeritakse ODE-na, kui , ja algselt tehakse asendus:
(12), kus on süsteemi lahend: (13), ja seejärel kasutage funktsiooni jaoks asendust (3) Pärast üldise integraali saamist pöörduvad nad tagasi muutujate juurde X Ja juures.
Kui , siis võrrandis (11) oletades saame eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandi.
Näide 3 Lahendage Cauchy ülesanne (14).
Lahendus: Näitame, et DE (14) taandatakse homogeenseks DE-ks ja integreeritakse vastavalt ülaltoodud skeemile:
Lahendame Crameri meetodil lineaarsete algebraliste võrrandite (15) ebahomogeense süsteemi:
Teeme muutujate muudatuse ja integreerime saadud võrrandi:
(16) – DE üldine integraal (14). Muutujate eraldamisel võivad avaldisega jagamisel lahendid kaduma minna, mille saaks eksplitsiitselt pärast ruutvõrrandi lahendamist. Neid võetakse aga arvesse üldises integraalis (16) at
Leiame lahenduse Cauchy probleemile: asendame väärtused ja üldise integraaliga (16) ja leiame Koos.
Seega saadakse osaline integraal valemiga:
Vastus:
4) Uue, veel tundmatu funktsiooni jaoks on võimalik taandada mõned diferentsiaalvõrrandid homogeenseteks, kui rakendame vormi asendust:
Sel juhul number m valitakse tingimuse hulgast, et saadud võrrand muutub võimaluse korral mingil määral homogeenseks. Kui seda aga teha ei saa, siis ei saa vaadeldavat DE-d sel viisil homogeenseks taandada.
Näide 4 Lahendage DE. (18)
Lahendus: Näitame, et DE (18) redutseeritakse homogeenseks DE-ks, kasutades asendust (17) ja integreeritakse edasi, kasutades asendust (3):
Otsime üles Koos:
Seega on DE (24) konkreetne lahendus selline
