Η εξίσωση Μ(Χ, y) dx+ Ν(Χ, y) dy=0 ονομάζεται γενικευμένη ομοιογενής εάν είναι δυνατόν να επιλεγεί ένας τέτοιος αριθμός κ, ότι η αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης γίνεται ομοιογενής συνάρτηση κάποιου βαθμού Μ σχετικά Χ, y, dx Και dy υπό την προϋπόθεση ότι Χ θεωρείται η τιμή της πρώτης διάστασης, y – κ‑ ου μετρήσεις , dx Και dy – αντίστοιχα μηδέν και (κ-1) ου μετρήσεις. Για παράδειγμα, αυτή θα ήταν η εξίσωση. (6.1)
Ισχύει σύμφωνα με τις παραδοχές που έγιναν σχετικά με τις μετρήσεις
Χ,
y,
dx
Και dy
μέλη της αριστερής πλευράς 
Και dy
θα έχει διαστάσεις -2, 2 αντίστοιχα κΚαι
κ-1. Εξισώνοντάς τα, λαμβάνουμε μια συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί ο απαιτούμενος αριθμός κ:
-2 = 2κ
=
κ-1. Αυτή η προϋπόθεση ικανοποιείται όταν κ
= -1 (με αυτό κόλοι οι όροι στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης που εξετάζουμε θα έχουν διάσταση -2). Επομένως, η εξίσωση (6.1) είναι γενικευμένη ομοιογενής.
Η γενικευμένη ομοιογενής εξίσωση ανάγεται σε μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές χρησιμοποιώντας αντικατάσταση 
, Οπου z– νέα άγνωστη λειτουργία. Ας ολοκληρώσουμε την εξίσωση (6.1) χρησιμοποιώντας την υποδεικνυόμενη μέθοδο. Επειδή κ
= -1, λοιπόν 
, μετά την οποία παίρνουμε την εξίσωση.
Ενσωματώνοντάς το, βρίσκουμε 
, που 
. Αυτή είναι μια γενική λύση της εξίσωσης (6.1).
§ 7. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης.
Μια γραμμική εξίσωση 1ης τάξης είναι μια εξίσωση που είναι γραμμική ως προς την επιθυμητή συνάρτηση και την παράγωγό της. Μοιάζει:
,
(7.1)
Οπου Π(Χ)
Και
Q(Χ)
– δίνονται συνεχείς συναρτήσεις του Χ.
Εάν η συνάρτηση
,
τότε η εξίσωση (7.1) έχει τη μορφή: 
(7.2)
και ονομάζεται γραμμική ομοιογενής εξίσωση, αλλιώς 
ονομάζεται γραμμική ανομοιογενής εξίσωση.
Η γραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση (7.2) είναι μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές:
(7.3)
Η έκφραση (7.3) είναι η γενική λύση της εξίσωσης (7.2). Να βρεθεί μια γενική λύση της εξίσωσης (7.1), στην οποία η συνάρτηση Π(Χ) δηλώνει την ίδια συνάρτηση με την εξίσωση (7.2), εφαρμόζουμε μια τεχνική που ονομάζεται μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς και αποτελείται από τα εξής: θα προσπαθήσουμε να επιλέξουμε τη συνάρτηση C=C(Χ) έτσι ώστε η γενική λύση της γραμμικής ομογενούς εξίσωσης (7.2) να είναι λύση της ανομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης (7.1). Τότε για την παράγωγο της συνάρτησης (7.3) λαμβάνουμε:
.
Αντικαθιστώντας την ευρεθείσα παράγωγο στην εξίσωση (7.1), θα έχουμε:
ή 
.
Οπου 
, Οπου 
- αυθαίρετη σταθερά. Ως αποτέλεσμα, η γενική λύση στην ανομοιογενή γραμμική εξίσωση (7.1) θα είναι (7.4) 
Ο πρώτος όρος σε αυτόν τον τύπο αντιπροσωπεύει τη γενική λύση (7.3) της γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης (7.2) και ο δεύτερος όρος του τύπου (7.4) είναι μια συγκεκριμένη λύση της γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης (7.1), που προκύπτει από τη γενική ( 7.4) με 
. Τονίζουμε αυτό το σημαντικό συμπέρασμα με τη μορφή ενός θεωρήματος.
Θεώρημα.Εάν είναι γνωστή μια συγκεκριμένη λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης 
, τότε όλες οι άλλες λύσεις έχουν τη μορφή 
, Οπου 
- γενική λύση της αντίστοιχης γραμμικής ομογενούς διαφορικής εξίσωσης.
Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι για την επίλυση της γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης της 1ης τάξης (7.1), χρησιμοποιείται συχνότερα μια άλλη μέθοδος, που μερικές φορές ονομάζεται μέθοδος Bernoulli. Θα αναζητήσουμε τη λύση της εξίσωσης (7.1) στη μορφή 
. Επειτα 
. Ας αντικαταστήσουμε την ευρεθείσα παράγωγο στην αρχική εξίσωση: 
.
Ας συνδυάσουμε, για παράδειγμα, τον δεύτερο και τον τρίτο όρο της τελευταίας παράστασης και ας εξαγάγουμε τη συνάρτηση u(Χ)
πίσω από την αγκύλη: 
(7.5)
Απαιτούμε να ακυρωθεί η παρένθεση: 
.
Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση θέτοντας μια αυθαίρετη σταθερά ντο
ίσο με μηδέν: 
. Με τη συνάρτηση που βρέθηκε v(Χ)
Ας επιστρέψουμε στην εξίσωση (7.5): 
.
Λύνοντάς το, παίρνουμε: 
.
Συνεπώς, η γενική λύση της εξίσωσης (7.1) έχει τη μορφή.
Διαφορικές εξισώσεις σε γενικευμένες συναρτήσεις
Ας υπάρχει μια εξίσωση. Αν είναι μια συνηθισμένη συνάρτηση, τότε η λύση της είναι αντιπαράγωγο, δηλαδή. Ας είναι τώρα μια γενικευμένη συνάρτηση.
Ορισμός. Μια γενικευμένη συνάρτηση ονομάζεται πρωτόγονη γενικευμένη συνάρτηση αν. Αν είναι μια μοναδική γενικευμένη συνάρτηση, τότε υπάρχουν πιθανές περιπτώσεις όπου το αντιπαράγωγό της είναι μια κανονική γενικευμένη συνάρτηση. Για παράδειγμα, ένα αντιπαράγωγο είναι? η αντιπαράγωγος είναι συνάρτηση και η λύση της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί με τη μορφή: , όπου.
Υπάρχει μια γραμμική εξίσωση ης τάξης με σταθερούς συντελεστές
όπου είναι μια γενικευμένη συνάρτηση. Έστω ένα διαφορικό πολυώνυμο ης τάξης.
Ορισμός. Μια γενικευμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης (8) είναι μια γενικευμένη συνάρτηση για την οποία ισχύει η ακόλουθη σχέση:
Αν είναι συνεχής συνάρτηση, τότε η μόνη λύση της εξίσωσης (8) είναι η κλασική λύση.
Ορισμός. Θεμελιώδης λύση της εξίσωσης (8) είναι κάθε γενικευμένη συνάρτηση τέτοια ώστε.
Η συνάρτηση Green είναι μια θεμελιώδης λύση που ικανοποιεί μια οριακή, αρχική ή ασυμπτωτική συνθήκη.
Θεώρημα. Μια λύση στην εξίσωση (8) υπάρχει και έχει τη μορφή:
εκτός εάν οριστεί συνέλιξη.
Απόδειξη. Πραγματικά, . Σύμφωνα με την ιδιότητα συνέλιξης έχει ως εξής: .
Είναι εύκολο να δούμε ότι η θεμελιώδης λύση αυτής της εξίσωσης είναι, αφού
Ιδιότητες γενικευμένων παραγώγων
Η λειτουργία της διαφοροποίησης είναι γραμμική και συνεχής από έως:
σε, αν σε?
Κάθε γενικευμένη συνάρτηση είναι απείρως διαφορίσιμη. Πράγματι, αν, τότε? με τη σειρά, κλπ.?
Το αποτέλεσμα της διαφοροποίησης δεν εξαρτάται από τη σειρά διαφοροποίησης. Για παράδειγμα, ;
Αν και, τότε ισχύει ο τύπος του Leibniz για τη διαφοροποίηση ενός προϊόντος. Για παράδειγμα, ;
Εάν είναι μια γενικευμένη συνάρτηση, τότε?
Εάν μια σειρά που αποτελείται από τοπικά ενσωματώσιμες συναρτήσεις συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές σύνολο, τότε μπορεί να διαφοροποιηθεί ανά όρο οποιεσδήποτε φορές (ως γενικευμένη συνάρτηση) και η σειρά που προκύπτει θα συγκλίνει.
Παράδειγμα. Αφήνω
Η συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση Heaviside ή συνάρτηση μονάδας. Είναι τοπικά ενσωματώσιμο και επομένως μπορεί να θεωρηθεί ως γενικευμένη συνάρτηση. Μπορείτε να βρείτε το παράγωγό του. Σύμφωνα με τον ορισμό, δηλ. .
Γενικευμένες συναρτήσεις που αντιστοιχούν σε τετραγωνικές μορφές με μιγαδικούς συντελεστές
Μέχρι στιγμής έχουν ληφθεί υπόψη μόνο οι τετραγωνικές μορφές με πραγματικούς συντελεστές. Στην ενότητα αυτή μελετάμε το χώρο όλων των τετραγωνικών μορφών με μιγαδικούς συντελεστές.
Το καθήκον είναι να προσδιοριστεί η γενικευμένη συνάρτηση, όπου είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Ωστόσο, στη γενική περίπτωση δεν θα υπάρχει μια μοναδική αναλυτική συνάρτηση του. Επομένως, στο χώρο όλων των τετραγωνικών μορφών απομονώνεται το «άνω ημιεπίπεδο» των τετραγωνικών μορφών με θετικό οριστικό φανταστικό μέρος και καθορίζεται μια συνάρτηση για αυτές. Δηλαδή, εάν μια τετραγωνική μορφή ανήκει σε αυτό το «ημιεπίπεδο», τότε υποτίθεται ότι όπου. Μια τέτοια συνάρτηση είναι μια μοναδική αναλυτική συνάρτηση του.
Μπορούμε τώρα να συσχετίσουμε τη συνάρτηση με μια γενικευμένη συνάρτηση:
όπου η ενοποίηση πραγματοποιείται σε ολόκληρο τον χώρο. Το ολοκλήρωμα (13) συγκλίνει και είναι μια αναλυτική συνάρτηση του σε αυτό το ημιεπίπεδο. Συνεχίζοντας αναλυτικά αυτή τη λειτουργία, προσδιορίζεται η συνάρτηση για άλλες τιμές.
Για τετραγωνικούς τύπους με θετικό οριστικό φανταστικό μέρος, βρίσκονται τα ενικά σημεία των συναρτήσεων και υπολογίζονται τα υπολείμματα αυτών των συναρτήσεων στα ενικά σημεία.
Η γενικευμένη συνάρτηση εξαρτάται αναλυτικά όχι μόνο από, αλλά και από τους συντελεστές της τετραγωνικής μορφής. Έτσι, είναι μια αναλυτική συνάρτηση στο ανώτερο ημιεπίπεδο όλων των τετραγωνικών μορφών της μορφής όπου υπάρχει θετική οριστική μορφή. Κατά συνέπεια, καθορίζεται μοναδικά από τις τιμές του στον «νοητό ημιάξονα», δηλαδή στο σύνολο των τετραγωνικών μορφών της φόρμας, όπου υπάρχει μια θετική οριστική μορφή.
Κάνοντας κλικ στο κουμπί «Λήψη αρχείου», θα κατεβάσετε το αρχείο που χρειάζεστε εντελώς δωρεάν.
Πριν κατεβάσετε αυτό το αρχείο, σκεφτείτε εκείνα τα καλά δοκίμια, τεστ, εργασίες περιόδου, διατριβές, άρθρα και άλλα έγγραφα που βρίσκονται αζήτητα στον υπολογιστή σας. Αυτή είναι η δουλειά σας, θα πρέπει να συμμετέχει στην ανάπτυξη της κοινωνίας και να ωφελεί τους ανθρώπους. Βρείτε αυτά τα έργα και υποβάλετέ τα στη βάση γνώσεων.
Εμείς και όλοι οι φοιτητές, μεταπτυχιακοί φοιτητές, νέοι επιστήμονες που χρησιμοποιούν τη βάση γνώσεων στις σπουδές και την εργασία τους θα σας είμαστε πολύ ευγνώμονες.
Για λήψη ενός αρχείου με ένα έγγραφο, εισαγάγετε έναν πενταψήφιο αριθμό στο παρακάτω πεδίο και κάντε κλικ στο κουμπί "Λήψη αρχείου"
Παρόμοια έγγραφα
Προβλήματα Cauchy για διαφορικές εξισώσεις. Γράφημα της λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης. Εξισώσεις με χωριστές μεταβλητές και αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση. Ομογενείς και ανομοιογενείς γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης. εξίσωση Bernoulli.
διάλεξη, προστέθηκε 18/08/2012
Βασικές έννοιες της θεωρίας των συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων. Πρόσημο εξίσωσης σε ολικά διαφορικά, κατασκευή γενικού ολοκληρώματος. Οι απλούστερες περιπτώσεις εύρεσης του συντελεστή ολοκλήρωσης. Η περίπτωση ενός πολλαπλασιαστή που εξαρτάται μόνο από το X και μόνο από το Y.
εργασία μαθήματος, προστέθηκε 24/12/2014
Χαρακτηριστικά των διαφορικών εξισώσεων ως σχέσεις μεταξύ συναρτήσεων και παραγώγων τους. Απόδειξη του θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης. Παραδείγματα και αλγόριθμος επίλυσης εξισώσεων σε ολικά διαφορικά. Συντελεστής ολοκλήρωσης σε παραδείγματα.
εργασία μαθήματος, προστέθηκε 02/11/2014
Διαφορικές εξισώσεις Riccati. Γενική λύση γραμμικής εξίσωσης. Εύρεση όλων των πιθανών λύσεων στη διαφορική εξίσωση του Bernoulli. Επίλυση εξισώσεων με χωριστές μεταβλητές. Γενικές και ειδικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης Clairaut.
εργασία μαθήματος, προστέθηκε 26/01/2015
Εξίσωση με διαχωρίσιμες μεταβλητές. Ομογενείς και γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Γεωμετρικές ιδιότητες ολοκληρωτικών καμπυλών. Πλήρες διαφορικό συνάρτησης δύο μεταβλητών. Προσδιορισμός του ολοκληρώματος με μεθόδους Bernoulli και μεταβολές μιας αυθαίρετης σταθεράς.
περίληψη, προστέθηκε 24/08/2015
Έννοιες και λύσεις των απλούστερων διαφορικών εξισώσεων και διαφορικών εξισώσεων αυθαίρετης τάξης, συμπεριλαμβανομένων εκείνων με σταθερούς αναλυτικούς συντελεστές. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Ασυμπτωτική συμπεριφορά λύσεων ορισμένων γραμμικών συστημάτων.
διατριβή, προστέθηκε 06/10/2010
Γενικό ολοκλήρωμα εξίσωσης, εφαρμογή της μεθόδου Lagrange για την επίλυση ανομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης με άγνωστη συνάρτηση. Επίλυση διαφορικής εξίσωσης σε παραμετρική μορφή. Συνθήκη Euler, εξίσωση πρώτης τάξης σε ολικά διαφορικά.
δοκιμή, προστέθηκε στις 11/02/2011
Διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης με διαχωρίσιμες μεταβλητές.
Ορισμός.Μια διαφορική εξίσωση με χωριστές μεταβλητές είναι μια εξίσωση της μορφής (3.1) ή μια εξίσωση της μορφής (3.2)
Για να διαχωριστούν οι μεταβλητές της εξίσωσης (3.1), δηλ. μειώστε αυτήν την εξίσωση στη λεγόμενη εξίσωση διαχωρισμένης μεταβλητής, κάντε τα εξής: 
;
Τώρα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση g(y)= 0. Αν έχει πραγματική λύση y=a,Οτι y=aθα είναι επίσης λύση στην εξίσωση (3.1).
Η εξίσωση (3.2) ανάγεται σε μια χωριστή εξίσωση διαιρώντας με το γινόμενο:
, που μας επιτρέπει να λάβουμε το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης (3.2): 
. (3.3)
Οι ολοκληρωτικές καμπύλες (3.3) θα συμπληρωθούν με λύσεις 
, εάν υπάρχουν τέτοιες λύσεις.
Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης.
Ορισμός 1.Μια εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται ομογενής εάν η δεξιά πλευρά της ικανοποιεί τη σχέση 
, που ονομάζεται συνθήκη ομοιογένειας μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών μηδενικής διάστασης.
Παράδειγμα 1.Δείξτε ότι η συνάρτηση είναι ομοιογενής μηδενικής διάστασης.
Λύση. 
,
Q.E.D.
Θεώρημα.Οποιαδήποτε συνάρτηση είναι ομοιογενής και, αντιστρόφως, οποιαδήποτε ομοιογενής συνάρτηση μηδενικής διάστασης ανάγεται στη μορφή .
Απόδειξη.Η πρώτη δήλωση του θεωρήματος είναι προφανής, γιατί . Ας αποδείξουμε τη δεύτερη δήλωση. Ας βάλουμε τότε για ομοιογενή συνάρτηση 
, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
Ορισμός 2.Η εξίσωση (4.1) στην οποία ΜΚαι Ν– ομοιογενείς συναρτήσεις ίδιου βαθμού, δηλ. έχουν την ιδιότητα για όλους, που ονομάζεται ομοιογενής. Προφανώς, αυτή η εξίσωση μπορεί πάντα να αναχθεί στη μορφή (4.2), αν και αυτό μπορεί να μην είναι απαραίτητο για την επίλυσή της. Μια ομοιογενής εξίσωση ανάγεται σε μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές αντικαθιστώντας την επιθυμητή συνάρτηση yσύμφωνα με τον τύπο y=zx,Οπου z(x)– νέα απαιτούμενη λειτουργία. Έχοντας πραγματοποιήσει αυτή την αντικατάσταση στην εξίσωση (4.2), λαμβάνουμε: ή ή .
Ολοκληρώνοντας, λαμβάνουμε το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης ως προς τη συνάρτηση z(x) 
, το οποίο μετά από επαναλαμβανόμενη αντικατάσταση δίνει το γενικό ολοκλήρωμα της αρχικής εξίσωσης. Επιπλέον, αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης, τότε οι συναρτήσεις είναι λύσεις σε μια ομοιογενή δεδομένη εξίσωση. Αν , τότε η εξίσωση (4.2) παίρνει τη μορφή
Και γίνεται μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές. Οι λύσεις του είναι ημιάμεσες: .
Σχόλιο.Μερικές φορές συνιστάται η χρήση της αντικατάστασης αντί της παραπάνω αντικατάστασης x=zy.
Γενικευμένη ομοιογενής εξίσωση.
Η εξίσωση M(x,y)dx+N(x,y)dy=0ονομάζεται γενικευμένη ομοιογενής εάν είναι δυνατόν να επιλεγεί ένας τέτοιος αριθμός κ, ότι η αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης γίνεται ομοιογενής συνάρτηση κάποιου βαθμού Μσχετικά x, y, dxΚαι dyυπό την προϋπόθεση ότι Χθεωρείται η τιμή της πρώτης διάστασης, y – κ-ου μετρήσεις , dxΚαι dy –αντίστοιχα μηδέν και (k-1)ου μετρήσεις. Για παράδειγμα, αυτή θα ήταν η εξίσωση 
. (6.1) Ισχύει σύμφωνα με την υπόθεση που έγινε σχετικά με τις μετρήσεις x, y, dxΚαι dyμέλη της αριστερής πλευράς και dyθα έχει διαστάσεις -2, 2 αντίστοιχα κΚαι κ-1. Εξισώνοντάς τα, λαμβάνουμε μια συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί ο απαιτούμενος αριθμός κ: -2 = 2κ=κ-1. Αυτή η προϋπόθεση ικανοποιείται όταν κ= -1 (με αυτό κόλοι οι όροι στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης που εξετάζουμε θα έχουν διάσταση -2). Επομένως, η εξίσωση (6.1) είναι γενικευμένη ομοιογενής.
def 1 Τύπος DU
που ονομάζεται ομοιογενής διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης(ODU).
Θ 1 Ας πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις για τη συνάρτηση:
1) συνεχής στο
Τότε η ODE (1) έχει ένα γενικό ολοκλήρωμα, το οποίο δίνεται από τον τύπο:
όπου υπάρχει κάποιο αντιπαράγωγο της συνάρτησης Μεείναι μια αυθαίρετη σταθερά.
Σημείωση 1Εάν για κάποιους ικανοποιείται η προϋπόθεση, τότε κατά τη διαδικασία επίλυσης του ODE (1) μπορεί να χαθούν λύσεις της φόρμας· τέτοιες περιπτώσεις πρέπει να αντιμετωπίζονται πιο προσεκτικά και καθεμία από αυτές πρέπει να ελεγχθεί ξεχωριστά.
Έτσι από το θεώρημα Θ1πρέπει γενικός αλγόριθμος για την επίλυση ODE (1):
1) Κάντε μια αντικατάσταση:
2) Έτσι, θα προκύψει μια διαφορική εξίσωση με χωριστές μεταβλητές, οι οποίες θα πρέπει να ενσωματωθούν.
3) Επιστροφή στις παλιές gvariables.
4) Ελέγξτε τις τιμές για τη συμμετοχή τους στη λύση γνήσιο τηλεχειριστήριο, υπό την οποία θα πληρούται η προϋπόθεση
5) Γράψτε την απάντηση.
Παράδειγμα 1Λύστε ΔΕ (4).
Λύση:Η DE (4) είναι μια ομοιογενής διαφορική εξίσωση, αφού έχει τη μορφή (1). Ας κάνουμε μια αλλαγή (3), αυτό θα φέρει την εξίσωση (4) στη μορφή:
Η εξίσωση (5) είναι το γενικό ολοκλήρωμα του DE (4).
Σημειώστε ότι κατά το διαχωρισμό μεταβλητών και τη διαίρεση με, οι λύσεις θα μπορούσαν να χαθούν, αλλά αυτή δεν είναι μια λύση στο DE (4), η οποία επαληθεύεται εύκολα με άμεση αντικατάσταση στην ισότητα (4), καθώς αυτή η τιμή δεν περιλαμβάνεται στον τομέα ορισμού της αρχικής ΔΕ.
Απάντηση:
Σημείωση 2Μερικές φορές μπορείτε να γράψετε ODE με όρους διαφορών μεταβλητών ΧΚαι u.Συνιστάται να μετακινηθείτε από αυτή τη σημείωση του τηλεχειριστηρίου στην έκφραση μέσω του παραγώγου και μόνο τότε να πραγματοποιήσετε την αντικατάσταση (3).
Διαφορικές εξισώσεις ανάγονται σε ομοιογενείς.
def 2 Η συνάρτηση καλείται ομοιογενής συνάρτηση βαθμού κ στην περιοχή, για την οποία θα ικανοποιηθεί η ισότητα:
Εδώ είναι οι πιο συνηθισμένοι τύποι διαφορικών εξισώσεων που μπορούν να αναχθούν σε σχηματισμό (1) μετά από διάφορους μετασχηματισμούς.
1) πού είναι η συνάρτηση είναι ομοιογενής, βαθμός μηδέν, δηλαδή ισχύει η ισότητα: Η DE (6) ανάγεται εύκολα στη μορφή (1), αν βάλουμε , η οποία ενσωματώνεται περαιτέρω χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση (3).
2) (7), όπου οι συναρτήσεις είναι ομοιογενείς του ίδιου βαθμού κ . Η DE της μορφής (7) ενσωματώνεται επίσης χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση (3).
Παράδειγμα 2Λύστε ΔΕ (8).
Λύση:Ας δείξουμε ότι η DE (8) είναι ομοιογενής. Ας διαιρέσουμε με το τι είναι δυνατό, αφού δεν είναι λύση στο ΔΕ (8).
Ας κάνουμε μια αλλαγή (3), αυτή θα φέρει την εξίσωση (9) στη μορφή:
Η εξίσωση (10) είναι το γενικό ολοκλήρωμα του DE (8).
Σημειώστε ότι κατά τον διαχωρισμό μεταβλητών και τη διαίρεση με, θα μπορούσαν να χαθούν λύσεις που αντιστοιχούν στις τιμές των και. Ας ελέγξουμε αυτές τις εκφράσεις. Ας τα αντικαταστήσουμε σε DE (8):
Απάντηση:
Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι κατά την επίλυση αυτού του παραδείγματος, εμφανίζεται μια συνάρτηση που ονομάζεται "σύμβολο" του αριθμού Χ(διαβάζει " signum x"), που ορίζεται από την έκφραση:
Σημείωση 3Η μείωση του DE (6) ή (7) στη μορφή (1) δεν είναι απαραίτητη· εάν είναι προφανές ότι το DE είναι ομοιογενές, τότε μπορείτε να κάνετε αμέσως την αντικατάσταση
3) Ένα DE της μορφής (11) ενσωματώνεται ως ODE εάν , και η αντικατάσταση εκτελείται αρχικά:
(12), πού είναι η λύση του συστήματος: (13) και στη συνέχεια χρησιμοποιήστε την αντικατάσταση (3) για τη συνάρτηση. Αφού λάβουν το γενικό ολοκλήρωμα, επιστρέφουν στις μεταβλητές ΧΚαι στο.
Εάν , τότε, υποθέτοντας στην εξίσωση (11), λαμβάνουμε μια διαφορική εξίσωση με χωριστές μεταβλητές.
Παράδειγμα 3Λύστε το πρόβλημα Cauchy (14).
Λύση:Ας δείξουμε ότι το DE (14) ανάγεται σε ένα ομοιογενές DE και ενσωματώνεται σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα:
Ας λύσουμε το ανομοιογενές σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (15) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:
Ας κάνουμε μια αλλαγή μεταβλητών και ας ενσωματώσουμε την εξίσωση που προκύπτει:
(16) – Γενικό ολοκλήρωμα ΔΕ (14). Κατά τον διαχωρισμό μεταβλητών, οι λύσεις θα μπορούσαν να χαθούν κατά τη διαίρεση με μια παράσταση, η οποία θα μπορούσε να ληφθεί ρητά μετά την επίλυση της τετραγωνικής εξίσωσης. Ωστόσο, λαμβάνονται υπόψη στο γενικό ολοκλήρωμα (16) στο
Ας βρούμε μια λύση στο πρόβλημα Cauchy: αντικαταστήστε τις τιμές και στο γενικό ολοκλήρωμα (16) και βρείτε Με.
Έτσι, το μερικό ολοκλήρωμα θα δοθεί από τον τύπο:
Απάντηση:
4) Είναι δυνατό να αναχθούν ορισμένες διαφορικές εξισώσεις σε ομοιογενείς για μια νέα, ακόμη άγνωστη συνάρτηση, εάν εφαρμόσουμε μια αντικατάσταση της μορφής:
Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμός Μεπιλέγεται από την προϋπόθεση ότι η εξίσωση που προκύπτει, αν είναι δυνατόν, γίνεται ομοιογενής σε κάποιο βαθμό. Ωστόσο, εάν αυτό δεν μπορεί να γίνει, τότε η υπό εξέταση ΔΕ δεν μπορεί να αναχθεί σε ομοιογενή με αυτόν τον τρόπο.
Παράδειγμα 4Λύστε DE. (18)
Λύση:Ας δείξουμε ότι το DE (18) ανάγεται σε ένα ομοιογενές DE χρησιμοποιώντας την υποκατάσταση (17) και ενσωματώνεται περαιτέρω χρησιμοποιώντας την υποκατάσταση (3):
Ας βρούμε Με:
Έτσι, μια συγκεκριμένη λύση της ΔΕ (24) έχει τη μορφή
