Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
ΑΦΗΡΗΜΕΝΗ
«Πλήρης μελέτη μιας συνάρτησης και κατασκευή του γραφήματος της».
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Η μελέτη των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης και η γραφική παράσταση της είναι μια από τις πιο θαυμάσιες εφαρμογές των παραγώγων. Αυτή η μέθοδος μελέτης της συνάρτησης έχει επανειλημμένα υποβληθεί σε προσεκτική ανάλυση. Ο κύριος λόγος είναι ότι σε εφαρμογές των μαθηματικών ήταν απαραίτητο να ασχοληθούμε με όλο και πιο πολύπλοκες συναρτήσεις που εμφανίζονταν κατά τη μελέτη νέων φαινομένων. Εμφανίστηκαν εξαιρέσεις από τους κανόνες που ανέπτυξαν τα μαθηματικά, εμφανίστηκαν περιπτώσεις όπου οι κανόνες που δημιουργήθηκαν δεν ήταν καθόλου κατάλληλοι, εμφανίστηκαν συναρτήσεις που δεν είχαν παράγωγο σε κανένα σημείο.
Σκοπός της μελέτης του μαθήματος της άλγεβρας και της στοιχειώδους ανάλυσης στις τάξεις 10-11 είναι η συστηματική μελέτη συναρτήσεων, η αποκάλυψη της εφαρμοσμένης αξίας γενικών μεθόδων μαθηματικών που σχετίζονται με τη μελέτη συναρτήσεων.
Η ανάπτυξη λειτουργικών εννοιών κατά τη μελέτη της άλγεβρας και οι αρχές της ανάλυσης στο ανώτερο επίπεδο εκπαίδευσης βοηθά τους μαθητές γυμνασίου να αποκτήσουν οπτικές ιδέες για τη συνέχεια και τις ασυνέχειες των συναρτήσεων, να μάθουν για τη συνέχεια οποιασδήποτε στοιχειώδους λειτουργίας στον τομέα της την εφαρμογή του, μάθουν να κατασκευάζουν τα γραφήματα τους και να γενικεύουν πληροφορίες για τις κύριες στοιχειώδεις λειτουργίες και να κατανοούν τον ρόλο τους στη μελέτη των φαινομένων της πραγματικότητας, στην ανθρώπινη πρακτική.
Αύξηση και μείωση συναρτήσεων
Η επίλυση διαφόρων προβλημάτων από τους τομείς των μαθηματικών, της φυσικής και της τεχνολογίας οδηγεί στη δημιουργία μιας λειτουργικής σχέσης μεταξύ των μεταβλητών που εμπλέκονται σε αυτό το φαινόμενο.
Εάν μια τέτοια λειτουργική εξάρτηση μπορεί να εκφραστεί αναλυτικά, δηλαδή με τη μορφή ενός ή περισσότερων τύπων, τότε καθίσταται δυνατή η μελέτη της μέσω μαθηματικής ανάλυσης.
Αυτό αναφέρεται στη δυνατότητα αποσαφήνισης της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης όταν αλλάζει η μία ή η άλλη μεταβλητή (όπου η συνάρτηση αυξάνεται, πού μειώνεται, πού φτάνει στο μέγιστο κ.λπ.).
Η εφαρμογή του διαφορικού λογισμού στη μελέτη μιας συνάρτησης βασίζεται σε μια πολύ απλή σύνδεση που υπάρχει μεταξύ της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης και των ιδιοτήτων της παραγώγου της, κυρίως της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου της.
Ας εξετάσουμε πώς μπορούμε να βρούμε διαστήματα αυξανόμενης ή φθίνουσας συνάρτησης, δηλαδή διαστήματα της μονοτονίας της. Με βάση τον ορισμό μιας μονότονα φθίνουσας και αύξουσας συνάρτησης, είναι δυνατό να διατυπωθούν θεωρήματα που μας επιτρέπουν να συσχετίσουμε την τιμή της πρώτης παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης με τη φύση της μονοτονίας της.
Θεώρημα 1.1. Εάν η συνάρτηση y
=
φά
(
Χ
)
, διαφοροποιήσιμο στο διάστημα(
ένα
,
σι
)
, αυξάνεται μονότονα σε αυτό το διάστημα, μετά σε οποιοδήποτε σημείο
(
Χ
) >0;
αν μειώνεται μονότονα, τότε σε οποιοδήποτε σημείο του διαστήματος (
Χ
)<0.
Απόδειξη. Αφήστε τη λειτουργίαy = φά ( Χ ) μονοτονικά αυξάνεται κατά( ένα , σι ) , Αυτό σημαίνει ότι για οποιονδήποτε αρκετά μικρό > 0 ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:
φά ( Χ - ) < φά ( Χ ) < φά ( Χ + ) (Εικ. 1.1).
Ρύζι. 1.1
Σκεφτείτε το όριο
.
Αν > 0, τότε 
> 0 αν< 0, то
< 0.
Και στις δύο περιπτώσεις, η έκφραση κάτω από το πρόσημο ορίου είναι θετική, που σημαίνει ότι το όριο είναι θετικό, δηλαδή ( Χ )>0 , που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί. Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται και το δεύτερο μέρος του θεωρήματος, που σχετίζεται με τη μονοτονική μείωση της συνάρτησης.
Θεώρημα 1.2. Εάν η συνάρτηση y = φά ( Χ ) , συνεχής στο τμήμα[ ένα , σι ] και είναι διαφοροποιήσιμο σε όλα τα εσωτερικά του σημεία και, επιπλέον, ( Χ ) >0 Για οποιονδηποτε Χ ϵ ( ένα , σι ) , τότε αυτή η συνάρτηση αυξάνεται μονότονα κατά( ένα , σι ) ; Αν
( Χ ) <0 Για οποιονδηποτε xϵ ( ένα , σι ), τότε αυτή η συνάρτηση μειώνεται μονότονα κατά( ένα , σι ) .
Απόδειξη. Ας πάρουμε ϵ ( ένα , σι ) Και ϵ ( ένα , σι ) , και< . Σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrange
( ντο ) = .
Αλλά ( ντο )>0 και > 0, που σημαίνει ( > 0, δηλαδή
(. Το αποτέλεσμα που προέκυψε δείχνει μια μονότονη αύξηση της συνάρτησης, η οποία ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί. Το δεύτερο μέρος του θεωρήματος αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο.
Extrema της συνάρτησης
Κατά τη μελέτη της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης, ιδιαίτερο ρόλο παίζουν τα σημεία που χωρίζουν μεταξύ τους τα διαστήματα της μονότονης αύξησης από τα διαστήματα της μονοτονικής μείωσής της.
Ορισμός 2.1. Τελεία ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης
y
=
φά
(
Χ
)
, αν υπάρχει, όσο μικρό κι αν είναι ,
(
< 0
, а точка
ονομάζεται ελάχιστο σημείο αν (
> 0.
Τα ελάχιστα και τα μέγιστα σημεία ονομάζονται συλλογικά ακραία σημεία. Η τμηματικά μονοτονική συνάρτηση τέτοιων σημείων έχει έναν πεπερασμένο αριθμό σε ένα πεπερασμένο διάστημα (Εικ. 2.1).
Ρύζι. 2.1
Θεώρημα 2.1 (απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ακραίου). Εάν διαφοροποιείται στο διάστημα( ένα , σι ) λειτουργία έχει στο σημείο από αυτό το διάστημα είναι το μέγιστο, τότε η παράγωγός του σε αυτό το σημείο είναι ίση με μηδέν. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για το ελάχιστο σημείο .
Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος προκύπτει από το θεώρημα του Rolle, στο οποίο φάνηκε ότι στα σημεία του ελάχιστου ή του μέγιστου = 0, και η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία είναι παράλληλη προς τον άξοναΒΟΔΙ .
Από το Θεώρημα 2.1 προκύπτει ότι αν η συνάρτησηy = φά ( Χ ) έχει παράγωγο σε όλα τα σημεία, τότε μπορεί να φτάσει σε ακρότατο σε εκείνα τα σημεία όπου = 0.
Ωστόσο, αυτή η συνθήκη δεν είναι επαρκής, καθώς υπάρχουν λειτουργίες για τις οποίες ικανοποιείται η καθορισμένη προϋπόθεση, αλλά δεν υπάρχει ακραίο. Για παράδειγμα, η συνάρτησηy= σε ένα σημείο Χ = 0 η παράγωγος είναι μηδέν, αλλά δεν υπάρχει ακρότατο σε αυτό το σημείο. Επιπλέον, το άκρο μπορεί να βρίσκεται σε εκείνα τα σημεία όπου η παράγωγος δεν υπάρχει. Για παράδειγμα, η συνάρτησηy = | Χ | υπάρχει ένα ελάχιστο σε ένα σημείοΧ = 0 , αν και το παράγωγο δεν υπάρχει σε αυτό το σημείο.
Ορισμός 2.2. Τα σημεία στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης εξαφανίζεται ή έχει ασυνέχεια ονομάζονται κρίσιμα σημεία αυτής της συνάρτησης.
Επομένως, το Θεώρημα 2.1 δεν επαρκεί για τον προσδιορισμό των ακραίων σημείων.
Θεώρημα 2.2 (επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη ακραίου). Αφήστε τη λειτουργία y = φά ( Χ ) συνεχής στο διάστημα( ένα , σι ) , που περιέχει το κρίσιμο σημείο του , και είναι διαφοροποιήσιμο σε όλα τα σημεία αυτού του διαστήματος, με πιθανή εξαίρεση το ίδιο το σημείο . Στη συνέχεια, εάν, όταν μετακινείτε αυτό το σημείο από αριστερά προς τα δεξιά, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην, τότε αυτό είναι ένα μέγιστο σημείο και, αντίθετα, από το μείον στο συν - ένα ελάχιστο σημείο.
Απόδειξη. Αν η παράγωγος μιας συνάρτησης αλλάξει πρόσημο κατά τη διέλευση ενός σημείου από αριστερά προς τα δεξιά από το συν στο πλην, τότε η συνάρτηση μετακινείται από αύξουσα σε φθίνουσα, δηλαδή φτάνει στο σημείο το μέγιστο και το αντίστροφο.
Από τα παραπάνω, ένα σχήμα για τη μελέτη μιας συνάρτησης σε ένα άκρο ακολουθεί:
1) βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
2) Υπολογίστε την παράγωγο?
3) βρείτε κρίσιμα σημεία.
4) αλλάζοντας το πρόσημο της πρώτης παραγώγου προσδιορίζεται ο χαρακτήρας τους.
Το έργο της μελέτης μιας συνάρτησης για ένα άκρο δεν πρέπει να συγχέεται με το έργο του προσδιορισμού των ελάχιστων και μέγιστων τιμών μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα. Στη δεύτερη περίπτωση, είναι απαραίτητο να βρούμε όχι μόνο τα ακραία σημεία στο τμήμα, αλλά και να τα συγκρίνουμε με την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του.
Διαστήματα κυρτών και κοίλων συναρτήσεων
Ένα άλλο χαρακτηριστικό της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης που μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας την παράγωγο είναι η κυρτότητα ή η κοιλότητά της.
Ορισμός 3.1. Λειτουργία y = φά ( Χ ) ονομάζεται κυρτό στο διάστημα( ένα , σι ) , εάν η γραφική παράσταση του βρίσκεται κάτω από οποιαδήποτε εφαπτομένη σε ένα δεδομένο διάστημα, και αντίστροφα, ονομάζεται κοίλη εάν η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από οποιαδήποτε εφαπτομένη σε ένα δεδομένο διάστημα.
Ας αποδείξουμε ένα θεώρημα που μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας μιας συνάρτησης.
Θεώρημα 3.1. Αν σε όλα τα σημεία του διαστήματος( ένα , σι ) δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης ( Χ ) είναι συνεχής και αρνητική, τότε η συνάρτησηy = φά ( Χ ) είναι κυρτή και αντίστροφα, αν η δεύτερη παράγωγος είναι συνεχής και θετική, τότε η συνάρτηση είναι κοίλη.
Πραγματοποιούμε την απόδειξη για το διάστημα κυρτότητας της συνάρτησης. Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείοϵ ( ένα , σι ) και σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείοy = φά ( Χ ) (Εικ. 3.1).
Το θεώρημα θα αποδειχθεί αν αποδειχθεί ότι όλα τα σημεία της καμπύλης στο διάστημα( ένα , σι ) βρίσκονται κάτω από αυτή την εφαπτομένη. Με άλλα λόγια, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι για τις ίδιες αξίεςΧ τεταγμένες καμπύληςy = φά ( Χ ) μικρότερη από την τεταγμένη της εφαπτομένης που σύρεται σε αυτήν στο σημείο .
Ρύζι. 3.1
Για βεβαιότητα, συμβολίζουμε την εξίσωση της καμπύλης: = φά ( Χ ) , και την εξίσωση της εφαπτομένης σε αυτό στο σημείο :
- φά ( ) = ( )( Χ - )
ή
= φά ( ) + ( )( Χ - ) .
Ας καλύψουμε τη διαφοράΚαι :
- = f(x) – f( ) - ( )(Χ- ).
Εφαρμογή στη διαφοράφά ( Χ ) – φά ( ) Θεώρημα μέσης τιμής του Lagrange:
- = ( )( Χ - ) - ( )( Χ - ) = ( Χ - )[ ( ) - ( )] ,
Οπου ϵ ( , Χ ).
Ας εφαρμόσουμε τώρα το θεώρημα του Lagrange στην έκφραση σε αγκύλες:
- = ( )( - )( Χ - ) , Οπου ϵ ( , ).
Όπως φαίνεται από το σχήμα,Χ > , Επειτα Χ - > 0 Και - > 0 . Επιπλέον, σύμφωνα με το θεώρημα, ( )<0.
Πολλαπλασιάζοντας αυτούς τους τρεις παράγοντες, παίρνουμε ότι , που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
Ορισμός 3.2. Το σημείο που χωρίζει το κυρτό διάστημα από το κοίλο διάστημα ονομάζεται σημείο καμπής.
Από τον ορισμό 3.1 προκύπτει ότι σε ένα δεδομένο σημείο η εφαπτομένη τέμνει την καμπύλη, δηλαδή στη μία πλευρά η καμπύλη βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη και στην άλλη, πάνω.
Θεώρημα 3.2. Αν στο σημείο δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης
y = φά ( Χ ) ισούται με μηδέν ή δεν υπάρχει, και όταν διέρχεται από ένα σημείο το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου αλλάζει στο αντίθετο, τότε αυτό το σημείο είναι σημείο καμπής.
Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος προκύπτει από το γεγονός ότι τα σημεία ( Χ ) στις απέναντι πλευρές του σημείου είναι διαφορετικά. Αυτό σημαίνει ότι στη μία πλευρά του σημείου η συνάρτηση είναι κυρτή και στην άλλη είναι κοίλη. Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με τον ορισμό 3.2, το σημείο είναι το σημείο καμπής.
Η μελέτη μιας συνάρτησης για κυρτότητα και κοιλότητα πραγματοποιείται σύμφωνα με το ίδιο σχήμα με τη μελέτη για ένα άκρο.
4. Ασύμπτωτες της συνάρτησης
Στις προηγούμενες παραγράφους, συζητήθηκαν μέθοδοι για τη μελέτη της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας την παράγωγο. Ωστόσο, μεταξύ των ερωτήσεων που σχετίζονται με την πλήρη μελέτη μιας συνάρτησης, υπάρχουν και εκείνες που δεν σχετίζονται με την παράγωγο.
Έτσι, για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε πώς συμπεριφέρεται μια συνάρτηση όταν ένα σημείο στο γράφημά της απομακρύνεται απείρως από την αρχή. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να προκύψει σε δύο περιπτώσεις: όταν το όρισμα μιας συνάρτησης πηγαίνει στο άπειρο και όταν, κατά τη διάρκεια μιας ασυνέχειας του δεύτερου είδους στο τελικό σημείο, η ίδια η συνάρτηση πηγαίνει στο άπειρο. Και στις δύο αυτές περιπτώσεις, μπορεί να προκύψει μια κατάσταση όταν η συνάρτηση τείνει σε κάποια ευθεία γραμμή, που ονομάζεται ασύμπτωσή της.
Ορισμός . Ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησηςy = φά ( Χ ) είναι μια ευθεία γραμμή που έχει την ιδιότητα ότι η απόσταση από το γράφημα σε αυτήν την ευθεία τείνει στο μηδέν καθώς το σημείο του γραφήματος μετακινείται απεριόριστα από την αρχή.
Υπάρχουν δύο τύποι ασυμπτωμάτων: κάθετες και λοξές.
Οι κάθετες ασύμπτωτες περιλαμβάνουν ευθείες γραμμέςΧ
=
, που έχουν την ιδιότητα ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης κοντά τους πηγαίνει στο άπειρο, δηλαδή ικανοποιείται η συνθήκη: 
.
Προφανώς, η απαίτηση του καθορισμένου ορισμού ικανοποιείται εδώ: η απόσταση από το γράφημα της καμπύλης στην ευθείαΧ = τείνει στο μηδέν και η ίδια η καμπύλη πηγαίνει στο άπειρο. Έτσι, σε σημεία ασυνέχειας του δεύτερου είδους, οι συναρτήσεις έχουν κάθετες ασύμπτωτες, για παράδειγμα,y= σε ένα σημείο Χ = 0 . Κατά συνέπεια, ο προσδιορισμός των κατακόρυφων ασυμπτωμάτων μιας συνάρτησης συμπίπτει με την εύρεση σημείων ασυνέχειας του δεύτερου είδους.
Οι λοξές ασύμπτωτες περιγράφονται με τη γενική εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο, δηλαδήy = kx + σι . Αυτό σημαίνει ότι, σε αντίθεση με τις κάθετες ασύμπτωτες, εδώ είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι αριθμοίκ Και σι .
Αφήστε λοιπόν την καμπύλη = φά ( Χ ) έχει πλάγια ασύμπτωτη, δηλαδή στοΧ τα σημεία της καμπύλης πλησιάζουν όσο θέλετε στην ευθεία = kx + σι (Εικ. 4.1). Αφήνω Μ ( Χ , y ) - ένα σημείο που βρίσκεται σε μια καμπύλη. Η απόστασή του από την ασύμπτωτη θα χαρακτηρίζεται από το μήκος της κάθετου| MN | .
Για να μελετήσετε πλήρως τη συνάρτηση και να σχεδιάσετε το γράφημά της, συνιστάται το ακόλουθο σχήμα:
Α) βρείτε τον τομέα ορισμού, σημεία διακοπής. εξερευνήστε τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης κοντά σε σημεία ασυνέχειας (βρείτε τα όρια της συνάρτησης αριστερά και δεξιά σε αυτά τα σημεία). Αναφέρετε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες.
Β) Να προσδιορίσετε αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή και να συμπεράνετε ότι υπάρχει συμμετρία. Αν , τότε η συνάρτηση είναι άρτια και συμμετρική ως προς τον άξονα OY. όταν η συνάρτηση είναι περιττή, συμμετρική ως προς την προέλευση. και αν είναι συνάρτηση γενικής μορφής.
Γ) βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων OY και OX (αν είναι δυνατόν), προσδιορίστε τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης. Τα όρια των διαστημάτων σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης καθορίζονται από τα σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι ίση με το μηδέν (συνάρτηση μηδενικά) ή δεν υπάρχει και τα όρια του πεδίου ορισμού αυτής της συνάρτησης. Σε διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, και όπου - κάτω από αυτόν τον άξονα.
Δ) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης, να προσδιορίσετε τα μηδενικά της και τα διαστήματα σταθερού πρόσημου. Σε διαστήματα όπου η συνάρτηση αυξάνεται και όπου μειώνεται. Βγάλτε ένα συμπέρασμα για την παρουσία των ακρών (σημεία όπου υπάρχει συνάρτηση και παράγωγος και όταν διέρχεται από τα οποία αλλάζει πρόσημο. Εάν το πρόσημο αλλάξει από συν σε πλην, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει μέγιστο, και αν από μείον σε συν , μετά ένα ελάχιστο). Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης στα ακραία σημεία.
Δ) Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, τα μηδενικά της και τα διαστήματα σταθερού πρόσημου. Κατά διαστήματα όπου< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Ε) βρείτε κεκλιμένες (οριζόντιες) ασύμπτωτες, οι εξισώσεις των οποίων έχουν τη μορφή 
; Οπου 
.
Στο 
το γράφημα της συνάρτησης θα έχει δύο λοξές ασύμπτωτες και κάθε τιμή του x at και μπορεί επίσης να αντιστοιχεί σε δύο τιμές του b.
Ζ) Βρείτε πρόσθετα σημεία για να διευκρινίσετε τη γραφική παράσταση (αν χρειάζεται) και κατασκευάστε μια γραφική παράσταση.
Παράδειγμα 1
Εξερευνήστε τη συνάρτηση και δημιουργήστε το γράφημά της. Λύση: Α) πεδίο ορισμού 
; η συνάρτηση είναι συνεχής στον τομέα ορισμού της. – σημείο διακοπής, γιατί 
;
. Στη συνέχεια – κατακόρυφη ασύμπτωτη.
ΣΙ)
εκείνοι. Το y(x) είναι συνάρτηση γενικής μορφής.
Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα OY: σύνολο x=0; τότε y(0)=–1, δηλ. η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα στο σημείο (0;-1). Μηδενικά της συνάρτησης (σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα OX): σύνολο y=0; Επειτα 
.
Η διάκριση μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι μικρότερη από το μηδέν, που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν μηδενικά. Τότε το όριο των διαστημάτων σταθερού πρόσημου είναι το σημείο x=1, όπου η συνάρτηση δεν υπάρχει.
Το πρόσημο της συνάρτησης σε κάθε ένα από τα διαστήματα καθορίζεται με τη μέθοδο των μερικών τιμών:
Είναι σαφές από το διάγραμμα ότι στο διάστημα το γράφημα της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα OX και στο διάστημα - πάνω από τον άξονα OX.
Δ) Διαπιστώνουμε την ύπαρξη κρίσιμων σημείων.
.
Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία (όπου υπάρχουν ή δεν υπάρχουν) από τις ισότητες και .
Παίρνουμε: x1=1, x2=0, x3=2. Ας δημιουργήσουμε έναν βοηθητικό πίνακα
Τραπέζι 1 
(Η πρώτη γραμμή περιέχει κρίσιμα σημεία και τα διαστήματα στα οποία διαιρούνται αυτά τα σημεία με τον άξονα OX· η δεύτερη γραμμή δείχνει τις τιμές της παραγώγου σε κρίσιμα σημεία και τα σημάδια στα διαστήματα. Τα πρόσημα καθορίζονται από τη μερική τιμή Η τρίτη γραμμή δείχνει τις τιμές της συνάρτησης y(x) σε κρίσιμα σημεία και δείχνει τη συμπεριφορά της συνάρτησης - αυξανόμενη ή μειούμενη στα αντίστοιχα διαστήματα του αριθμητικού άξονα. Επιπλέον, η παρουσία ελάχιστου ή μέγιστου είναι υποδεικνύεται.
Δ) Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας της συνάρτησης.
; δημιουργήστε έναν πίνακα όπως στο σημείο Δ). Μόνο στη δεύτερη γραμμή σημειώνουμε τα σημάδια και στην τρίτη υποδεικνύουμε τον τύπο της κυρτότητας. Επειδή ; τότε το κρίσιμο σημείο είναι ένα x=1.
πίνακας 2 
Το σημείο x=1 είναι το σημείο καμπής.
Ε) Να βρείτε πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες 
Τότε το y=x είναι λοξή ασύμπτωτη.
Ζ) Με βάση τα δεδομένα που ελήφθησαν, κατασκευάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης 
1). Το εύρος της λειτουργίας.
Είναι προφανές ότι αυτή η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, εκτός από τα σημεία «» και «», επειδή σε αυτά τα σημεία ο παρονομαστής είναι ίσος με μηδέν και, επομένως, η συνάρτηση δεν υπάρχει, και οι ευθείες και είναι κάθετες ασύμπτωτες.
2). Η συμπεριφορά μιας συνάρτησης καθώς το όρισμα τείνει στο άπειρο, η ύπαρξη σημείων ασυνέχειας και ο έλεγχος για την παρουσία λοξών ασυμπτωμάτων.
Ας ελέγξουμε πρώτα πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση καθώς πλησιάζει το άπειρο προς τα αριστερά και προς τα δεξιά. 
Έτσι, όταν η συνάρτηση τείνει στο 1, δηλ. – οριζόντια ασύμπτωτη.
Στην περιοχή των σημείων ασυνέχειας, η συμπεριφορά της συνάρτησης προσδιορίζεται ως εξής: 
Εκείνοι. Όταν πλησιάζετε σημεία ασυνέχειας στα αριστερά, η συνάρτηση μειώνεται άπειρα και στα δεξιά αυξάνεται άπειρα.
Προσδιορίζουμε την παρουσία μιας λοξής ασύμπτωτης λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα: 
Δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.
3). Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων.
Εδώ είναι απαραίτητο να εξετάσουμε δύο καταστάσεις: να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα Ox και τον άξονα Oy. Το πρόσημο τομής με τον άξονα Ox είναι η μηδενική τιμή της συνάρτησης, δηλ. είναι απαραίτητο να λυθεί η εξίσωση:
Αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες, επομένως, η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα Ox.
Το πρόσημο τομής με τον άξονα Oy είναι η τιμή x = 0. Στην περίπτωση αυτή
,
εκείνοι. – το σημείο τομής της γραφικής παράστασης συνάρτησης με τον άξονα Oy.
4).Προσδιορισμός ακραίων σημείων και διαστημάτων αύξησης και μείωσης.
Για να μελετήσουμε αυτό το ζήτημα, ορίζουμε την πρώτη παράγωγο: 
.
Ας εξισώσουμε την τιμή της πρώτης παραγώγου με μηδέν. 
.
Ένα κλάσμα είναι ίσο με μηδέν όταν ο αριθμητής του είναι ίσος με μηδέν, δηλ. .
Ας προσδιορίσουμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης.
Έτσι, η συνάρτηση έχει ένα ακραίο σημείο και δεν υπάρχει σε δύο σημεία.
Έτσι, η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα και και μειώνεται στα διαστήματα και .
5). Σημεία καμπής και περιοχές κυρτότητας και κοιλότητας.
Αυτό το χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τη δεύτερη παράγωγο. Ας προσδιορίσουμε πρώτα την παρουσία σημείων καμπής. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με 
Πότε και η συνάρτηση είναι κοίλη.
όταν και η συνάρτηση είναι κυρτή.
6). Γραφική παράσταση συνάρτησης.
Χρησιμοποιώντας τις τιμές που βρέθηκαν σε σημεία, θα κατασκευάσουμε σχηματικά ένα γράφημα της συνάρτησης:
Παράδειγμα 3
Λειτουργία εξερεύνησης 
και να φτιάξεις το γράφημά του. Λύση
Η δεδομένη συνάρτηση είναι μια μη περιοδική συνάρτηση γενικής μορφής. Η γραφική παράσταση του διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων, αφού .
Το πεδίο ορισμού μιας δεδομένης συνάρτησης είναι όλες οι τιμές της μεταβλητής εκτός και για τις οποίες ο παρονομαστής του κλάσματος γίνεται μηδέν.
Κατά συνέπεια, τα σημεία είναι τα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης.
Επειδή 
, 
Επειδή 
,
, τότε το σημείο είναι ένα σημείο ασυνέχειας του δεύτερου είδους.
Οι ευθείες είναι οι κάθετες ασύμπτωτες του γραφήματος της συνάρτησης.
Εξισώσεις λοξών ασυμπτωμάτων, όπου, 
.
Στο 
,
.
Έτσι, για και η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει μία ασύμπτωτη.
Ας βρούμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης και των ακραίων σημείων.
.
Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης at και, επομένως, at και η συνάρτηση αυξάνεται.
Πότε , επομένως, όταν , η συνάρτηση μειώνεται.
δεν υπάρχει για , . 
, επομένως, όταν 
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κοίλη.
Στο 
, επομένως, όταν 
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κυρτή. 
Όταν διέρχεται από τα σημεία , , αλλάζει πρόσημο. Όταν , η συνάρτηση δεν έχει οριστεί, επομένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ένα σημείο καμπής.
Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης. 
Η μελέτη μιας συνάρτησης πραγματοποιείται σύμφωνα με ένα σαφές σχήμα και απαιτεί από τον μαθητή να έχει άρτια γνώση βασικών μαθηματικών εννοιών όπως το πεδίο ορισμού και των τιμών, η συνέχεια της συνάρτησης, η ασύμπτωτη, τα ακραία σημεία, η ισοτιμία, η περιοδικότητα κ.λπ. . Ο μαθητής πρέπει να μπορεί να διαφοροποιεί ελεύθερα συναρτήσεις και να λύνει εξισώσεις, οι οποίες μερικές φορές μπορεί να είναι πολύ περίπλοκες.
Δηλαδή, αυτή η εργασία δοκιμάζει ένα σημαντικό επίπεδο γνώσης, κάθε κενό στο οποίο θα γίνει εμπόδιο για την απόκτηση της σωστής λύσης. Ιδιαίτερα συχνά, προκύπτουν δυσκολίες με την κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων. Αυτό το λάθος γίνεται αμέσως αντιληπτό στον καθηγητή και μπορεί να βλάψει πολύ τον βαθμό σας, ακόμα κι αν όλα τα άλλα έγιναν σωστά. Εδώ μπορείτε να βρείτε διαδικτυακά προβλήματα έρευνας λειτουργιών: μελέτη παραδειγμάτων, λήψη λύσεων, παραγγελία εργασιών.
Εξερευνήστε μια συνάρτηση και σχεδιάστε ένα γράφημα: παραδείγματα και λύσεις στο διαδίκτυο
Έχουμε ετοιμάσει για εσάς πολλές έτοιμες μελέτες συναρτήσεων, τόσο με πληρωμή στο βιβλίο λύσεων όσο και δωρεάν στην ενότητα Παραδείγματα μελετών συναρτήσεων. Με βάση αυτές τις λυμένες εργασίες, θα μπορείτε να εξοικειωθείτε λεπτομερώς με τη μεθοδολογία για την εκτέλεση παρόμοιων εργασιών και να πραγματοποιήσετε την έρευνά σας κατ' αναλογία.
Προσφέρουμε έτοιμα παραδείγματα πλήρους έρευνας και σχεδίασης συναρτήσεων των πιο κοινών τύπων: πολυωνύμων, κλασματικές-ορθολογικές, ανορθολογικές, εκθετικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Κάθε λυμένο πρόβλημα συνοδεύεται από ένα έτοιμο γράφημα με επισημασμένα βασικά σημεία, ασύμπτωτες, μέγιστα και ελάχιστα· η λύση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο για τη μελέτη της συνάρτησης.
Σε κάθε περίπτωση, τα λυμένα παραδείγματα θα σας βοηθήσουν πολύ καθώς καλύπτουν τους πιο δημοφιλείς τύπους συναρτήσεων. Σας προσφέρουμε εκατοντάδες ήδη λυμένα προβλήματα, αλλά, όπως γνωρίζετε, υπάρχει άπειρος αριθμός μαθηματικών συναρτήσεων στον κόσμο και οι δάσκαλοι είναι εξαιρετικοί ειδικοί στο να εφευρίσκουν όλο και πιο δύσκολες εργασίες για φτωχούς μαθητές. Λοιπόν, αγαπητοί μαθητές, η εξειδικευμένη βοήθεια δεν θα σας βλάψει.
Επίλυση προβλημάτων προσαρμοσμένης έρευνας συναρτήσεων
Σε αυτήν την περίπτωση, οι συνεργάτες μας θα σας προσφέρουν μια άλλη υπηρεσία - πλήρης έρευνα λειτουργίας στο διαδίκτυονα παραγγείλετε. Η εργασία θα ολοκληρωθεί για εσάς σε συμμόρφωση με όλες τις απαιτήσεις για έναν αλγόριθμο για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, που θα ευχαριστήσει πολύ τον δάσκαλό σας.
Θα κάνουμε μια πλήρη μελέτη της συνάρτησης για εσάς: θα βρούμε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών, θα εξετάσουμε τη συνέχεια και την ασυνέχεια, θα καθορίσουμε ισοτιμία, θα ελέγξουμε τη συνάρτησή σας για περιοδικότητα και θα βρούμε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων . Και, φυσικά, περαιτέρω χρησιμοποιώντας διαφορικό λογισμό: θα βρούμε ασύμπτωτες, θα υπολογίσουμε τα άκρα, τα σημεία καμπής και θα κατασκευάσουμε το ίδιο το γράφημα.
Η κατασκευή ενός γραφήματος μιας συνάρτησης με χρήση μοναδικών σημείων περιλαμβάνει τη μελέτη της ίδιας της συνάρτησης: προσδιορισμός του εύρους των επιτρεπόμενων τιμών του επιχειρήματος, προσδιορισμός του εύρους διακύμανσης της συνάρτησης, προσδιορισμός αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή, προσδιορισμός των σημείων διακοπής της συνάρτησης, εύρεση διαστημάτων σταθερού πρόσημου της συνάρτησης, εύρεση ασυμπτωτών της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Χρησιμοποιώντας την πρώτη παράγωγο, μπορείτε να προσδιορίσετε τα διαστήματα αύξησης (μείωσης) της συνάρτησης και την παρουσία ακραίων σημείων. Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη παράγωγο, μπορείτε να προσδιορίσετε τα διαστήματα κυρτότητας (κοιλότητας) του γραφήματος συνάρτησης, καθώς και τα σημεία καμπής. Παράλληλα πιστεύουμε ότι αν κάποια στιγμή xoεφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης πάνω από την καμπύλη, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο έχει κυρτότητα. αν η εφαπτομένη είναι κάτω από την καμπύλη, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο έχει κοιλότητα.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Μελέτη συναρτήσεων.
α) Εύρος επιτρεπόμενων τιμών του ορίσματος: (-∞,+∞).
β) Περιοχή αλλαγής της συνάρτησης: (-∞, +∞).
γ) Η συνάρτηση είναι περιττή, γιατί y(-x) = -y(x),εκείνοι. η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.
δ) Η συνάρτηση είναι συνεχής, δεν υπάρχουν σημεία ασυνέχειας, επομένως, δεν υπάρχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες.
ε) Εύρεση της εξίσωσης λοξής ασύμπτωτης y(x) = k∙x + b, Οπου
k = /ΧΚαι β = 
Σε αυτό το παράδειγμα, οι παράμετροι ασυμπτώματος είναι αντίστοιχα ίσες:
k = , επειδή ο υψηλότερος βαθμός του αριθμητή και του παρονομαστή είναι ο ίδιος, ίσος με τρία, και ο λόγος των συντελεστών σε αυτούς τους υψηλότερους βαθμούς είναι ίσος με ένα. Όταν x→ + ∞ το τρίτο αξιοσημείωτο όριο χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του ορίου.
b = = = 0, κατά τον υπολογισμό του ορίου στο x→ + ∞ χρησιμοποίησε το τρίτο αξιοσημείωτο όριο. Άρα, το γράφημα αυτής της συνάρτησης έχει μια λοξή ασύμπτωτη y=x.
2.
y´= /(x²+3)² -η παράγωγος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοροποίησης του πηλίκου.
α) Να προσδιορίσετε τα μηδενικά της παραγώγου και το σημείο ασυνέχειας, εξισώνοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή της παραγώγου σε μηδέν, αντίστοιχα: y'=0,Αν x=0.Η 1η παράγωγος δεν έχει σημεία ασυνέχειας.
β) Καθορίζουμε τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της παραγώγου, δηλ. διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης: στο -∞
3. Μελέτη συνάρτησης με χρήση της 2ης παραγώγου.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαφοροποίηση πηλίκων και την πραγματοποίηση αλγεβρικών μετασχηματισμών, παίρνουμε: y´´ = /(x²+3)³
α) Να προσδιορίσετε τα μηδενικά της 2ης παραγώγου και τα διαστήματα σταθερού πρόσημου: y'' = 0,Αν x=0Και x= + 3 . Η 2η παράγωγος δεν έχει σημεία ασυνέχειας.
β) Ας προσδιορίσουμε τα διαστήματα σταθερότητας της 2ης παραγώγου, δηλ. διαστήματα κυρτότητας ή κοιλότητας της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Στο -∞
Παράδειγμα: Εξερευνήστε μια συνάρτηση και σχηματίστε τη γραφική παράσταση y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Μελέτη συναρτήσεων.
α) Εύρος αποδεκτών τιμών: (-∞,0)U(0,+∞).
β) Περιοχή αλλαγής της συνάρτησης: (-∞,+∞).
δ) Αυτή η συνάρτηση έχει σημείο ασυνέχειας 2ου είδους στο x=0.
ε) Εύρεση ασυμπτωμάτων. Επειδή η συνάρτηση έχει σημείο ασυνέχειας 2ου είδους στο x=0, τότε κατά συνέπεια η συνάρτηση έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη x=0.Αυτή η συνάρτηση δεν έχει πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες.
2.Μελέτη συνάρτησης χρησιμοποιώντας την 1η παράγωγο.
Ας μετατρέψουμε τη συνάρτηση εκτελώντας όλες τις αλγεβρικές πράξεις. Ως αποτέλεσμα, η μορφή της συνάρτησης θα απλοποιηθεί σημαντικά: y(x)=x²-x-1+(1/x).Είναι πολύ εύκολο να πάρουμε την παράγωγο από το άθροισμα των όρων και παίρνουμε: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
α) Να προσδιορίσετε τα μηδενικά και τα σημεία ασυνέχειας της 1ης παραγώγου. Φέρνουμε τις εκφράσεις για την 1η παράγωγο σε κοινό παρονομαστή και, εξισώνοντας τον αριθμητή και μετά τον παρονομαστή στο μηδέν, παίρνουμε: y = 0στο x=1, y' -δεν υπάρχει όταν x=0.
β) Ας προσδιορίσουμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης, δηλ. διαστήματα σταθερού πρόσημου της παραγώγου. Στο -∞<Χ<0
Και 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. Χρησιμοποιώντας τη 2η παράγωγο, προσδιορίζουμε τα διαστήματα κυρτότητας ή κοιλότητας του γραφήματος συνάρτησης, καθώς και, εάν υπάρχουν, σημεία καμπής. Ας παρουσιάσουμε την έκφραση για τη δεύτερη παράγωγο στον κοινό παρονομαστή και, στη συνέχεια, εξισώνοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή στο μηδέν με τη σειρά, παίρνουμε: y''=0στο x=-1, y''-δεν υπάρχει όταν x=0.
Στο -∞
ρύζι. 4 εικ. 5
Παράδειγμα: Εξερευνήστε μια συνάρτηση και σχηματίστε τη γραφική παράσταση y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Μελέτη συναρτήσεων.
α) Εύρος επιτρεπόμενων τιμών ορίσματος: η λογαριθμική συνάρτηση υπάρχει μόνο για ορίσματα αυστηρά μεγαλύτερα από το μηδέν, επομένως, x²+4x+5>0 –αυτή η συνθήκη ικανοποιείται για όλες τις τιμές του ορίσματος, δηλ. Ο Ο.Δ.Ζ. – (-∞, +∞).
β) Περιοχή αλλαγής της συνάρτησης: (0, +∞). Ας μετατρέψουμε την έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου και ας εξισώσουμε τη συνάρτηση σε μηδέν: ln((x+2)²+1) =0.Εκείνοι. η συνάρτηση πηγαίνει στο μηδέν όταν x=-2.Η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x=-2.
γ) Η συνάρτηση είναι συνεχής και δεν έχει σημεία διακοπής.
δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει ασύμπτωτες.
2.Μελέτη συνάρτησης χρησιμοποιώντας την 1η παράγωγο.
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης, παίρνουμε: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
α) Ας προσδιορίσουμε τα μηδενικά και τα σημεία ασυνέχειας της παραγώγου: y'=0,στο x=-2.Η πρώτη παράγωγος δεν έχει σημεία ασυνέχειας.
β) Καθορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης, δηλ. διαστήματα σταθερού πρόσημου της πρώτης παραγώγου: στο -∞<Χ<-2
παράγωγο y'<0,
επομένως, η συνάρτηση μειώνεται· όταν -2
3.Μελέτη της συνάρτησης ως προς τη 2η παράγωγο.
Ας αναπαραστήσουμε την πρώτη παράγωγο με την ακόλουθη μορφή: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
α) Ας προσδιορίσουμε τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της δεύτερης παραγώγου. Εφόσον ο παρονομαστής της 2ης παραγώγου είναι πάντα μη αρνητικός, το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου καθορίζεται μόνο από τον αριθμητή. y''=0στο x=-3Και x=-1.
Στο -∞
Παράδειγμα: Εξερευνήστε μια συνάρτηση και σχεδιάστε ένα γράφημα y(x) = x²/(x+2)²
1.Μελέτη συναρτήσεων.
α) Εύρος επιτρεπόμενων τιμών του ορίσματος (-∞, -2)U(-2, +∞).
β) Περιοχή αλλαγής συνάρτησης².
α) Ας προσδιορίσουμε τα μηδενικά και τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της δεύτερης παραγώγου. Επειδή Δεδομένου ότι ο παρονομαστής του κλάσματος είναι πάντα θετικός, το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου καθορίζεται πλήρως από τον αριθμητή. Στο -∞
