In diesem Material werden wir uns ansehen, was eine Potenz einer Zahl ist. Zusätzlich zu den Grunddefinitionen werden wir formulieren, was Potenzen mit natürlichem, ganzzahligem, rationalem und irrationalem Exponenten sind. Wie immer werden alle Konzepte anhand von Beispielaufgaben veranschaulicht.

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Formulieren wir zunächst die grundlegende Definition eines Grades mit einem natürlichen Exponenten. Dazu müssen wir uns die Grundregeln der Multiplikation merken. Lassen Sie uns vorab klarstellen, dass wir zunächst eine reelle Zahl als Basis (gekennzeichnet durch den Buchstaben a) und eine natürliche Zahl als Indikator (gekennzeichnet durch den Buchstaben n) nehmen.

Definition 1

Die Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist das Produkt der n-ten Anzahl von Faktoren, von denen jeder gleich der Zahl a ist. Der Abschluss wird wie folgt geschrieben: ein, und in Form einer Formel kann seine Zusammensetzung wie folgt dargestellt werden:

Wenn der Exponent beispielsweise 1 und die Basis a ist, wird die erste Potenz von a als geschrieben eine 1. Vorausgesetzt, dass a der Wert des Faktors und 1 die Anzahl der Faktoren ist, können wir daraus schließen ein 1 = ein.

Im Allgemeinen können wir sagen, dass ein Abschluss eine bequeme Form ist, eine große Anzahl gleicher Faktoren aufzuschreiben. Also eine Aufzeichnung des Formulars 8 8 8 8 kann verkürzt werden auf 8 4 . Auf ähnliche Weise hilft uns das Produkt dabei, das Schreiben einer großen Anzahl von Begriffen zu vermeiden (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Wir haben dies bereits in dem Artikel über die Multiplikation natürlicher Zahlen besprochen.

Wie liest man den Abschlusseintrag richtig? Die allgemein akzeptierte Option ist „a hoch n“. Oder Sie können „n-te Potenz von a“ oder „anth-Potenz“ sagen. Wenn wir beispielsweise im Beispiel auf den Eintrag gestoßen sind 8 12 können wir „8 hoch 12“, „8 hoch 12“ oder „12. Potenz 8“ lesen.

Die zweite und dritte Potenz von Zahlen haben ihre eigenen etablierten Namen: Quadrat und Kubik. Wenn wir die zweite Potenz sehen, zum Beispiel die Zahl 7 (7 2), dann können wir „7 zum Quadrat“ oder „Quadrat der Zahl 7“ sagen. Ebenso liest sich der dritte Grad so: 5 3 - Dies ist der „Würfel der Zahl 5“ oder „5 gewürfelt“. Sie können jedoch auch die Standardformulierung „zur zweiten/dritten Potenz“ verwenden; dies ist kein Fehler.

Beispiel 1

Schauen wir uns ein Beispiel für einen Grad mit einem natürlichen Exponenten an: für 5 7 Fünf ist die Basis und sieben ist der Exponent.

Für den Grad muss die Basis keine ganze Zahl sein (4 , 32) 9 Die Basis ist der Bruch 4, 32 und der Exponent ist neun. Achten Sie auf die Klammern: Diese Schreibweise gilt für alle Potenzen, deren Basen von den natürlichen Zahlen abweichen.

Zum Beispiel: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Wozu dienen Klammern? Sie helfen, Fehler in Berechnungen zu vermeiden. Nehmen wir an, wir haben zwei Einträge: (− 2) 3 Und − 2 3 . Die erste davon bedeutet eine negative Zahl minus zwei, potenziert mit einem natürlichen Exponenten von drei; die zweite ist die Zahl, die dem entgegengesetzten Wert des Grades entspricht 2 3 .

Manchmal findet man in Büchern eine etwas andere Schreibweise der Potenz einer Zahl – a^n(wobei a die Basis und n der Exponent ist). Das heißt, 4^9 ist dasselbe wie 4 9 . Wenn n eine mehrstellige Zahl ist, wird sie in Klammern gesetzt. Zum Beispiel 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Aber wir werden die Notation verwenden ein als häufiger.

Es ist leicht zu erraten, wie man den Wert eines Exponenten mit einem natürlichen Exponenten anhand seiner Definition berechnet: Sie müssen nur ein n-tes Mal multiplizieren. Mehr dazu haben wir in einem anderen Artikel geschrieben.

Das Konzept des Grades ist die Umkehrung eines anderen mathematischen Konzepts – der Wurzel einer Zahl. Wenn wir den Wert der Potenz und des Exponenten kennen, können wir seine Basis berechnen. Der Abschluss verfügt über einige spezifische Eigenschaften, die zur Lösung von Problemen nützlich sind, die wir in einem separaten Material besprochen haben.

Exponenten können nicht nur natürliche Zahlen umfassen, sondern auch alle ganzzahligen Werte im Allgemeinen, einschließlich negativer Einsen und Nullen, da sie ebenfalls zur Menge der ganzen Zahlen gehören.

Definition 2

Die Potenz einer Zahl mit einem positiven ganzzahligen Exponenten kann als Formel dargestellt werden: .

In diesem Fall ist n eine beliebige positive ganze Zahl.

Lassen Sie uns das Konzept des Nullgrads verstehen. Dazu verwenden wir einen Ansatz, der die Quotienteneigenschaft für Potenzen mit gleichen Basen berücksichtigt. Es ist so formuliert:

Definition 3

Gleichwertigkeit am: a n = a m − n wird unter den folgenden Bedingungen wahr sein: m und n sind natürliche Zahlen, m< n , a ≠ 0 .

Die letzte Bedingung ist wichtig, da sie eine Division durch Null vermeidet. Wenn die Werte von m und n gleich sind, erhalten wir folgendes Ergebnis: a n: a n = a n − n = a 0

Aber gleichzeitig ist a n: a n = 1 der Quotient gleicher Zahlen ein und ein. Es stellt sich heraus, dass die Nullpotenz jeder Zahl ungleich Null gleich eins ist.

Ein solcher Beweis gilt jedoch nicht für null hoch null. Dazu benötigen wir eine weitere Eigenschaft von Potenzen – die Eigenschaft von Produkten von Potenzen gleicher Basen. Es sieht aus wie das: am · a n = am + n .

Wenn n gleich 0 ist, dann a m · a 0 = a m(Diese Gleichheit beweist uns auch das a 0 = 1). Aber wenn und auch gleich Null ist, nimmt unsere Gleichheit die Form an 0 m · 0 0 = 0 m, Dies gilt für jeden natürlichen Wert von n, und es spielt keine Rolle, welchem ​​genauen Wert der Grad entspricht 0 0 , das heißt, es kann gleich einer beliebigen Zahl sein, und dies hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit der Gleichheit. Daher eine Notation der Form 0 0 hat keine eigene besondere Bedeutung und wir werden sie ihr auch nicht zuschreiben.

Bei Bedarf kann dies leicht überprüft werden a 0 = 1 konvergiert mit der Gradeigenschaft (am) n = am n vorausgesetzt, dass die Basis des Grades nicht Null ist. Somit ist die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit dem Exponenten Null eins.

Beispiel 2

Schauen wir uns ein Beispiel mit konkreten Zahlen an: Also, 5 0 - Einheit, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , und der Wert 0 0 nicht definiert.

Nach dem Nullgrad müssen wir nur noch herausfinden, was ein negativer Grad ist. Dazu benötigen wir die gleiche Eigenschaft des Produkts gleicher Basen, die wir oben bereits verwendet haben: a m · a n = a m + n.

Führen wir die Bedingung ein: m = − n, dann sollte a nicht gleich Null sein. Es folgt dem a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Es stellt sich heraus, dass ein n und a−n wir haben gegenseitig reziproke Zahlen.

Folglich ist a zur negativen ganzen Potenz nichts anderes als der Bruch 1 a n.

Diese Formulierung bestätigt, dass für einen Grad mit einem ganzzahligen negativen Exponenten dieselben Eigenschaften gelten wie für einen Grad mit einem natürlichen Exponenten (vorausgesetzt, die Basis ist ungleich Null).

Beispiel 3

Eine Potenz a mit einem negativen ganzzahligen Exponenten n kann als Bruch 1 a n dargestellt werden. Somit gilt a - n = 1 a n vorbehaltlich a ≠ 0 und n ist eine beliebige natürliche Zahl.

Lassen Sie uns unsere Idee anhand konkreter Beispiele veranschaulichen:

Beispiel 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Im letzten Teil des Absatzes werden wir versuchen, alles Gesagte klar in einer Formel darzustellen:

Definition 4

Die Potenz einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten z ist: a z = a z, e mit l und z - positive ganze Zahl 1, z = 0 und a ≠ 0, (für z = 0 und a = 0 ist das Ergebnis 0 0, die Werte des Ausdrucks 0 0 sind nicht definiert) 1 a z, wenn und z eine negative ganze Zahl ist und a ≠ 0 (wenn z eine negative ganze Zahl ist und a = 0 erhält man 0 z, egoz der Wert ist unbestimmt)

Was sind Potenzen mit rationalem Exponenten?

Wir haben Fälle untersucht, in denen der Exponent eine ganze Zahl enthält. Sie können eine Zahl jedoch auch dann potenzieren, wenn ihr Exponent eine Bruchzahl enthält. Dies nennt man Potenz mit rationalem Exponenten. In diesem Abschnitt werden wir beweisen, dass es die gleichen Eigenschaften wie andere Potenzen hat.

Was sind rationale Zahlen? Ihre Menge umfasst sowohl ganze als auch gebrochene Zahlen, und gebrochene Zahlen können als gewöhnliche Brüche (sowohl positive als auch negative) dargestellt werden. Formulieren wir die Definition der Potenz einer Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n, wobei n eine natürliche Zahl und m eine ganze Zahl ist.

Wir haben einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten am n . Damit die Macht-zu-Kraft-Eigenschaft gilt, muss die Gleichung a m n n = a m n · n = a m wahr sein.

Angesichts der Definition der n-ten Wurzel und der Tatsache, dass a m n n = a m ist, können wir die Bedingung a m n = a m n akzeptieren, wenn a m n für die gegebenen Werte von m, n und a sinnvoll ist.

Die oben genannten Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten gelten unter der Bedingung a m n = a m n .

Die wichtigste Schlussfolgerung aus unserer Überlegung ist folgende: Die Potenz einer bestimmten Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n ist die n-te Wurzel der Zahl a hoch m. Dies gilt, wenn für gegebene Werte von m, n und a der Ausdruck a m ​​n sinnvoll bleibt.

1. Wir können den Wert der Basis des Grades begrenzen: Nehmen wir a, das für positive Werte von m größer oder gleich 0 und für negative Werte streng kleiner ist (da für m ≤ 0). wir bekommen 0 m, aber ein solcher Grad ist nicht definiert). In diesem Fall sieht die Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten wie folgt aus:

Eine Potenz mit einem gebrochenen Exponenten m/n für eine positive Zahl a ist die n-te Wurzel von a hoch m. Dies kann als Formel ausgedrückt werden:

Für eine Potenz mit Nullbasis ist diese Bestimmung ebenfalls geeignet, allerdings nur, wenn ihr Exponent eine positive Zahl ist.

Eine Potenz mit einer Basis Null und einem gebrochenen positiven Exponenten m/n kann ausgedrückt werden als

0 m n = 0 m n = 0 vorausgesetzt, m ist eine positive ganze Zahl und n ist eine natürliche Zahl.

Für ein negatives Verhältnis m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Beachten wir einen Punkt. Da wir die Bedingung eingeführt haben, dass a größer oder gleich Null ist, haben wir letztendlich einige Fälle verworfen.

Für einige negative Werte von a und einige m macht der Ausdruck a m ​​n manchmal noch Sinn. Die korrekten Einträge lauten also (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, wobei die Basis negativ ist.

2. Der zweite Ansatz besteht darin, die Wurzel a m n mit geraden und ungeraden Exponenten getrennt zu betrachten. Dann müssen wir noch eine weitere Bedingung einführen: Der Grad a, in dessen Exponenten ein reduzierbarer gewöhnlicher Bruch steht, wird als Grad a betrachtet, in dessen Exponenten ein entsprechender irreduzibler Bruch steht. Später werden wir erklären, warum wir diese Bedingung brauchen und warum sie so wichtig ist. Wenn wir also die Notation a m · k n · k haben, können wir sie auf a m n reduzieren und die Berechnungen vereinfachen.

Wenn n eine ungerade Zahl ist und der Wert von m positiv ist und a eine beliebige nicht negative Zahl ist, dann ist a m n sinnvoll. Die Bedingung dafür, dass a nicht negativ ist, ist notwendig, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel geraden Grades gezogen werden kann. Wenn der Wert von m positiv ist, kann a sowohl negativ als auch null sein, weil Die ungerade Wurzel kann aus jeder reellen Zahl gezogen werden.

Fassen wir alle oben genannten Definitionen in einem Eintrag zusammen:

Dabei bedeutet m/n einen irreduziblen Bruch, m ist eine beliebige ganze Zahl und n ist eine beliebige natürliche Zahl.

Definition 5

Für jeden gewöhnlichen reduzierbaren Bruch m · k n · k kann der Grad durch a m n ersetzt werden.

Die Potenz einer Zahl a mit einem irreduziblen Bruchexponenten m / n – kann in den folgenden Fällen als a m n ausgedrückt werden: - für jedes reelle a, positive ganzzahlige Werte m und ungerade natürliche Werte n. Beispiel: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Für jedes reelle a ungleich Null, negative ganzzahlige Werte von m und ungerade Werte von n, zum Beispiel 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Für jedes nichtnegative a, jede positive ganze Zahl m und jedes gerade n, zum Beispiel 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Für jedes positive a, jede negative ganze Zahl m und jedes gerade n, zum Beispiel 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Bei anderen Werten wird der Grad mit gebrochenem Exponenten nicht ermittelt. Beispiele für solche Abschlüsse: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Lassen Sie uns nun die Bedeutung der oben diskutierten Bedingung erklären: Warum einen Bruch mit einem reduzierbaren Exponenten durch einen Bruch mit einem irreduziblen Exponenten ersetzen? Wenn wir dies nicht getan hätten, hätten wir beispielsweise die folgenden Situationen gehabt: 6/10 = 3/5. Dann sollte es wahr sein (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , aber - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , und (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Die Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten, die wir zuerst vorgestellt haben, ist in der Praxis bequemer zu verwenden als die zweite, daher werden wir sie weiterhin verwenden.

Definition 6

Somit ist die Potenz einer positiven Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n definiert als 0 m n = 0 m n = 0. Im Falle von negativ A die Notation a m n ergibt keinen Sinn. Potenz von Null für positive gebrochene Exponenten m/n ist definiert als 0 m n = 0 m n = 0 , für negative gebrochene Exponenten definieren wir den Grad von Null nicht.

Abschließend stellen wir fest, dass Sie jeden Bruchindikator sowohl als gemischte Zahl als auch als Dezimalbruch schreiben können: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Bei der Berechnung ist es besser, den Exponenten durch einen gewöhnlichen Bruch zu ersetzen und dann die Definition des Exponenten durch einen gebrochenen Exponenten zu verwenden. Für die obigen Beispiele erhalten wir:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Was sind Potenzen mit irrationalen und reellen Exponenten?

Was sind reelle Zahlen? Ihre Menge umfasst sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Um zu verstehen, was ein Grad mit einem reellen Exponenten ist, müssen wir daher Grade mit rationalen und irrationalen Exponenten definieren. Rationale haben wir oben bereits erwähnt. Lassen Sie uns Schritt für Schritt mit irrationalen Indikatoren umgehen.

Beispiel 5

Nehmen wir an, wir haben eine irrationale Zahl a und eine Folge ihrer dezimalen Näherungen a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Nehmen wir zum Beispiel den Wert a = 1,67175331. . . , Dann

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Wir können Folgen von Näherungen einer Folge von Graden a a 0 , a a 1 , a a 2 , zuordnen. . . . Wenn wir uns daran erinnern, was wir zuvor über die Potenzierung von Zahlen zu rationalen Potenzen gesagt haben, können wir die Werte dieser Potenzen selbst berechnen.

Nehmen wir zum Beispiel a = 3, dann a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . usw.

Die Folge der Potenzen kann auf eine Zahl reduziert werden, die der Wert der Potenz mit der Basis a und dem irrationalen Exponenten a ist. Als Ergebnis: ein Grad mit einem irrationalen Exponenten der Form 3 1, 67175331. . kann auf die Zahl 6, 27 reduziert werden.

Definition 7

Die Potenz einer positiven Zahl a mit einem irrationalen Exponenten a wird als a a geschrieben. Sein Wert ist der Grenzwert der Folge a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , wobei a 0 , a 1 , a 2 , . . . sind aufeinanderfolgende dezimale Näherungen der irrationalen Zahl a. Ein Grad mit Nullbasis kann auch für positive irrationale Exponenten definiert werden, mit 0 a = 0 Also, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Dies ist jedoch bei negativen nicht möglich, da beispielsweise der Wert 0 - 5, 0 - 2 π nicht definiert ist. Eine auf eine beliebige irrationale Potenz angehobene Einheit bleibt beispielsweise eine Einheit, und 1 2, 1 5 in 2 und 1 - 5 sind gleich 1.

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In diesem Artikel werden wir herausfinden, was es ist Grad von. Hier geben wir Definitionen der Potenz einer Zahl und betrachten im Detail alle möglichen Exponenten, beginnend mit dem natürlichen Exponenten und endend mit dem irrationalen Exponenten. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.

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Potenz mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Potenz einer Zahl

Lass uns beginnen mit . Nehmen wir für die Zukunft an, dass die Definition der Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n für a gegeben ist, die wir nennen werden Abschlussbasis, und n, die wir nennen werden Exponent. Wir weisen auch darauf hin, dass ein Grad mit einem natürlichen Exponenten durch ein Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie also Kenntnisse über die Multiplikation von Zahlen haben.

Definition.

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n, dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere ist die Potenz einer Zahl a mit Exponent 1 die Zahl a selbst, also a 1 =a.

Erwähnenswert sind gleich die Regeln für das Lesen von Abschlüssen. Die universelle Schreibweise a n lautet: „a hoch n“. In manchen Fällen sind auch die folgenden Optionen akzeptabel: „a hoch n-tel“ und „n-te Potenz a“. Nehmen wir zum Beispiel die Potenz 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölfte Potenz“ oder „zwölfte Potenz von acht“.

Sowohl die zweite Potenz einer Zahl als auch die dritte Potenz einer Zahl haben jeweils eigene Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt Quadriere die Zahl Beispielsweise wird 7 2 als „Sieben im Quadrat“ oder „das Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahlen Beispielsweise kann 5 3 als „fünf gewürfelt“ gelesen werden, oder man kann „Würfel der Zahl 5“ sagen.

Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Grade mit natürlichen Exponenten. Beginnen wir mit dem Grad 5 7, hier ist 5 die Basis des Grades und 7 der Exponent. Geben wir ein weiteres Beispiel: 4,32 ist die Basis und die natürliche Zahl 9 ist der Exponent (4,32) 9 .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis der Potenz 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Unstimmigkeiten zu vermeiden, werden wir alle Basen der Potenz, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Grade mit natürlichen Exponenten an , ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, daher werden sie in Klammern geschrieben. Nun, der vollständigen Klarheit halber zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist eine Potenz von −2 mit einem natürlichen Exponenten von 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .

Beachten Sie, dass es eine Notation für die Potenz einer Zahl a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n außerdem eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent in Klammern angegeben. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind einige weitere Beispiele für die Schreibweise von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Gradschreibweise der Form a n .

Eines der umgekehrten Probleme zur Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten ist das Problem, die Basis einer Potenz aus einem bekannten Wert der Potenz und einem bekannten Exponenten zu ermitteln. Diese Aufgabe führt zu .

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Brüchen besteht und jeder Bruch als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Wir haben im vorherigen Absatz einen Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher dem Grad der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n eine Bedeutung geben, wobei m ist eine ganze Zahl und n ist eine natürliche Zahl. Lass es uns tun.

Betrachten wir einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Power-to-Power-Eigenschaft gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit und die Art und Weise, wie wir sie bestimmt haben, berücksichtigen, ist es logisch, sie zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass der Ausdruck für gegebenes m, n und a sinnvoll ist.

Es lässt sich leicht überprüfen, dass für alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten gültig sind (dies wurde im Abschnitt Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten durchgeführt).

Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: Wenn m, n und a gegeben sind, ergibt der Ausdruck einen Sinn, dann heißt die Potenz von a mit einem gebrochenen Exponenten m/n die n-te Wurzel von a hoch m.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, bei welchen m, n und a der Ausdruck Sinn macht. Abhängig von den Einschränkungen für m, n und a gibt es zwei Hauptansätze.

Der einfachste Weg besteht darin, a eine Einschränkung aufzuerlegen, indem man a≥0 für positives m und a>0 für negatives m annimmt (da für m≤0 der Grad 0 von m nicht definiert ist). Dann erhalten wir die folgende Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl a mit gebrochenem Exponenten m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die n-te Wurzel der Zahl a hoch m, also .

Die gebrochene Potenz von Null wird ebenfalls bestimmt, mit der einzigen Einschränkung, dass der Indikator positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als .
Wenn der Grad nicht bestimmt ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Einschränkung gibt: Für einige negative a und einige m und n ist der Ausdruck sinnvoll, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingeführt haben. Beispielsweise sind die Einträge sinnvoll oder , und die oben gegebene Definition zwingt uns zu sagen, dass Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind machen keinen Sinn, da die Basis nicht negativ sein sollte.

Ein anderer Ansatz zur Bestimmung eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht darin, gerade und ungerade Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: Die Potenz der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Potenz der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (wir werden die Bedeutung dieser Bedingung weiter unten erklären). ). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.

Für gerades n und positives m macht der Ausdruck für jedes nichtnegative a Sinn (eine gerade Wurzel einer negativen Zahl macht keinen Sinn); für negatives m muss die Zahl a immer noch von Null verschieden sein (sonst kommt es zur Division). durch Null). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a beliebig sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert), und für negatives m muss die Zahl a von Null verschieden sein (damit es keine Division durch gibt). null).

Die obige Überlegung führt uns zu dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren Bruch wird der Grad durch ersetzt. Die Potenz einer Zahl mit einem irreduziblen gebrochenen Exponenten m/n ist für



Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zunächst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt bezüglich der Irreduzibilität des Bruchs m/n machen würden, dann stünden wir vor ähnlichen Situationen: Da 6/10 = 3/5, muss die Gleichheit gelten , Aber , A .

Tabelle der Potenzen 2 (Zweier) von 0 bis 32

Die folgende Tabelle zeigt zusätzlich zu Zweierpotenzen die maximalen Zahlen, die ein Computer für eine bestimmte Anzahl von Bits speichern kann. Darüber hinaus sowohl für ganze Zahlen als auch für vorzeichenbehaftete Zahlen.

Historisch gesehen verwendeten Computer das binäre Zahlensystem und dementsprechend die Datenspeicherung. Somit kann jede Zahl als Folge von Nullen und Einsen (Informationsbits) dargestellt werden. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Zahlen als binäre Folge darzustellen.

Betrachten wir die einfachste davon – dies ist eine positive ganze Zahl. Je größer die Zahl ist, die wir schreiben müssen, desto länger ist die Bitfolge, die wir benötigen.

Drunter ist Potenztabelle Nummer 2. Es gibt uns eine Darstellung der erforderlichen Anzahl von Bits, die wir zum Speichern von Zahlen benötigen.

Wie benutzt man Potenztabelle Nummer zwei?

Die erste Spalte ist Kraft von zwei, was gleichzeitig die Anzahl der Bits angibt, die die Zahl darstellen.

Zweite Spalte – Wert Zweier hoch (n).

Ein Beispiel für die Bestimmung der Potenz von 2. In der ersten Spalte finden wir die Zahl 7. Wir schauen entlang der Linie nach rechts und finden den Wert zwei hoch siebte Potenz(2 7) ist 128

Dritte Spalte - die maximale Anzahl, die mit einer bestimmten Anzahl von Bits dargestellt werden kann(in der ersten Spalte).

Ein Beispiel für die Bestimmung der maximalen vorzeichenlosen Ganzzahl. Anhand der Daten aus dem vorherigen Beispiel wissen wir, dass 2 7 = 128. Das gilt, wenn wir verstehen wollen, was Menge an Zahlen, kann mit sieben Bits dargestellt werden. Aber seit Die erste Zahl ist Null, dann ist die maximale Zahl, die mit sieben Bits dargestellt werden kann, 128 - 1 = 127. Dies ist der Wert der dritten Spalte.

Zweierpotenz (n)	Zweierpotenzwert 2n	Maximale vorzeichenlose Zahl mit n Bits geschrieben	Maximale signierte Anzahl mit n Bits geschrieben
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

Wir haben herausgefunden, was eine Potenz einer Zahl eigentlich ist. Jetzt müssen wir verstehen, wie man es richtig berechnet, d.h. Erhöhen Sie Zahlen zu Potenzen. In diesem Material analysieren wir die Grundregeln für die Gradberechnung bei ganzzahligen, natürlichen, gebrochenen, rationalen und irrationalen Exponenten. Alle Definitionen werden anhand von Beispielen veranschaulicht.

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Das Konzept der Potenzierung

Beginnen wir mit der Formulierung grundlegender Definitionen.

Definition 1

Potenzierung- Dies ist die Berechnung des Wertes der Potenz einer bestimmten Zahl.

Das heißt, die Wörter „den Wert einer Macht berechnen“ und „zu einer Macht erhöhen“ bedeuten dasselbe. Wenn die Aufgabe also lautet: „Erhöhe die Zahl 0, 5 auf die fünfte Potenz“, sollte dies als „Berechnen Sie den Wert der Potenz (0, 5) 5“ verstanden werden.

Nun stellen wir die Grundregeln vor, die bei solchen Berechnungen beachtet werden müssen.

Erinnern wir uns daran, was eine Potenz einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten ist. Für eine Potenz mit Basis a und Exponent n ist dies das Produkt der n-ten Anzahl von Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Das kann man so schreiben:

Um den Wert eines Grades zu berechnen, müssen Sie eine Multiplikationsaktion durchführen, d. h. die Basen des Grades mit der angegebenen Anzahl multiplizieren. Das eigentliche Konzept eines Grades mit natürlichem Exponenten basiert auf der Fähigkeit zur schnellen Multiplikation. Lassen Sie uns Beispiele nennen.

Beispiel 1

Bedingung: Erhöhen Sie - 2 hoch 4.

Lösung

Unter Verwendung der obigen Definition schreiben wir: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Als nächstes müssen wir nur noch diese Schritte befolgen und 16 erhalten.

Nehmen wir ein komplizierteres Beispiel.

Beispiel 2

Berechnen Sie den Wert 3 2 7 2

Lösung

Dieser Eintrag kann als 3 2 7 · 3 2 7 umgeschrieben werden. Zuvor haben wir uns angeschaut, wie man die in der Bedingung genannten gemischten Zahlen richtig multipliziert.

Führen wir diese Schritte aus und erhalten wir die Antwort: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Wenn das Problem darauf hinweist, dass irrationale Zahlen auf eine natürliche Potenz erhöht werden müssen, müssen wir zunächst ihre Basen auf die Ziffer runden, die es uns ermöglicht, eine Antwort mit der erforderlichen Genauigkeit zu erhalten. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 3

Berechnen Sie die Quadratur von π.

Lösung

Runden wir es zunächst auf Hundertstel. Dann ist π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Wenn π ≈ 3. 14159, dann erhalten wir ein genaueres Ergebnis: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Beachten Sie, dass die Notwendigkeit, Potenzen irrationaler Zahlen zu berechnen, in der Praxis relativ selten auftritt. Wir können die Antwort dann als Potenz (ln 6) 3 selbst schreiben oder, wenn möglich, umrechnen: 5 7 = 125 5 .

Separat sollte angegeben werden, was die erste Potenz einer Zahl ist. Hier können Sie sich einfach daran erinnern, dass jede Zahl, die in die erste Potenz erhöht wird, sie selbst bleibt:

Dies geht aus der Aufnahme hervor .

Dabei kommt es nicht auf die Grundlage des Abschlusses an.

Beispiel 4

Also ist (− 9) 1 = − 9 und 7 3 hochgesetzt bleibt gleich 7 3.

Der Einfachheit halber werden wir drei Fälle separat untersuchen: ob der Exponent eine positive ganze Zahl ist, ob er Null ist und ob er eine negative ganze Zahl ist.

Im ersten Fall ist dies dasselbe wie das Erhöhen auf eine natürliche Potenz: Schließlich gehören positive ganze Zahlen zur Menge der natürlichen Zahlen. Wir haben oben bereits darüber gesprochen, wie man mit solchen Abschlüssen arbeitet.

Sehen wir uns nun an, wie man richtig auf die Potenz Null anhebt. Für eine andere Basis als Null ergibt diese Berechnung immer 1. Wir haben zuvor erklärt, dass die 0. Potenz von a für jede reelle Zahl ungleich 0 definiert werden kann und a 0 = 1.

Beispiel 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nicht definiert.

Uns bleibt nur der Fall eines Grades mit einem ganzzahligen negativen Exponenten. Wir haben bereits besprochen, dass solche Grade als Bruch 1 a z geschrieben werden können, wobei a eine beliebige Zahl und z eine negative ganze Zahl ist. Wir sehen, dass der Nenner dieses Bruchs nichts anderes als eine gewöhnliche Potenz mit einem positiven ganzzahligen Exponenten ist, und wir haben bereits gelernt, wie man ihn berechnet. Lassen Sie uns Beispiele für Aufgaben geben.

Beispiel 6

Erhöhen Sie 3 hoch - 2.

Lösung

Mit der obigen Definition schreiben wir: 2 - 3 = 1 2 3

Berechnen wir den Nenner dieses Bruchs und erhalten 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Dann lautet die Antwort: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Beispiel 7

Erhöhen Sie 1,43 hoch -2.

Lösung

Formulieren wir um: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Wir berechnen das Quadrat im Nenner: 1,43·1,43. Dezimalzahlen können auf diese Weise multipliziert werden:

Als Ergebnis erhalten wir (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Alles, was wir tun müssen, ist, dieses Ergebnis in Form eines gewöhnlichen Bruchs zu schreiben, für den wir es mit 10.000 multiplizieren müssen (siehe Material zur Umrechnung von Brüchen).

Antwort: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ein Sonderfall ist die Potenzierung einer Zahl ins Minus. Der Wert dieses Grades ist gleich dem Kehrwert des ursprünglichen Wertes der Basis: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Beispiel 8

Beispiel: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

So erhöhen Sie eine Zahl in eine gebrochene Potenz

Um eine solche Operation durchzuführen, müssen wir uns die grundlegende Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten merken: a m n = a m n für jedes positive a, jede ganze Zahl m und jedes natürliche n.

Definition 2

Daher muss die Berechnung einer gebrochenen Potenz in zwei Schritten durchgeführt werden: Erhöhen auf eine ganzzahlige Potenz und Finden der Wurzel der n-ten Potenz.

Wir haben die Gleichheit a m n = a m n , die unter Berücksichtigung der Eigenschaften der Wurzeln üblicherweise zur Lösung von Problemen in der Form a m n = a n m verwendet wird. Das heißt, wenn wir eine Zahl a auf eine gebrochene Potenz m/n erhöhen, dann ziehen wir zuerst die n-te Wurzel von a und dann potenzieren wir das Ergebnis mit einem ganzzahligen Exponenten m.

Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 9

Berechnen Sie 8 - 2 3 .

Lösung

Methode 1: Gemäß der Grunddefinition können wir dies wie folgt darstellen: 8 – 2 3 = 8 – 2 3

Berechnen wir nun den Grad unter der Wurzel und ziehen wir die dritte Wurzel aus dem Ergebnis: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Methode 2. Transformieren Sie die Grundgleichung: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Danach ziehen wir die Wurzel 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 und quadrieren das Ergebnis: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Wir sehen, dass die Lösungen identisch sind. Sie können es beliebig verwenden.

Es gibt Fälle, in denen der Grad einen Indikator hat, der als gemischte Zahl oder als Dezimalbruch ausgedrückt wird. Um die Berechnungen zu vereinfachen, ist es besser, ihn durch einen gewöhnlichen Bruch zu ersetzen und wie oben angegeben zu berechnen.

Beispiel 10

Erhöhen Sie 44, 89 hoch 2, 5.

Lösung

Lassen Sie uns den Wert des Indikators in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln – 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Jetzt führen wir alle oben angegebenen Aktionen der Reihe nach aus: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Antwort: 13 501, 25107.

Wenn Zähler und Nenner eines gebrochenen Exponenten große Zahlen enthalten, ist die Berechnung solcher Exponenten mit rationalen Exponenten eine ziemlich schwierige Aufgabe. Dafür ist in der Regel Computertechnik erforderlich.

Lassen Sie uns getrennt auf Potenzen mit Nullbasis und gebrochenem Exponenten eingehen. Einem Ausdruck der Form 0 m n kann die folgende Bedeutung gegeben werden: wenn m n > 0, dann 0 m n = 0 m n = 0; wenn m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Wie man eine Zahl irrational potenziert

Die Notwendigkeit, den Wert einer Potenz zu berechnen, deren Exponent eine irrationale Zahl ist, besteht nicht so oft. In der Praxis beschränkt sich die Aufgabe meist auf die Berechnung eines Näherungswertes (bis zu einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen). Aufgrund der Komplexität solcher Berechnungen erfolgt die Berechnung in der Regel am Computer, daher gehen wir nicht näher darauf ein, sondern geben nur die wichtigsten Bestimmungen an.

Wenn wir den Wert einer Potenz a mit einem irrationalen Exponenten a berechnen müssen, nehmen wir die dezimale Näherung des Exponenten und zählen daraus. Das Ergebnis wird eine ungefähre Antwort sein. Je genauer die dezimale Näherung ist, desto genauer ist die Antwort. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen:

Beispiel 11

Berechnen Sie den ungefähren Wert von 21, 174367 ....

Lösung

Beschränken wir uns auf die dezimale Näherung a n = 1, 17. Führen wir Berechnungen mit dieser Zahl durch: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Nehmen wir zum Beispiel die Näherung a n = 1, 1743, dann wird die Antwort etwas genauer sein: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

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Mit dem Rechner können Sie online schnell eine Zahl potenzieren. Die Basis des Grades kann eine beliebige Zahl sein (sowohl ganze Zahlen als auch reelle Zahlen). Der Exponent kann auch eine ganze Zahl oder reell sein und kann auch positiv oder negativ sein. Beachten Sie, dass bei negativen Zahlen die Potenzierung mit einer nicht ganzzahligen Zahl undefiniert ist, sodass der Rechner einen Fehler meldet, wenn Sie es versuchen.

Abschlussrechner

Aufstieg zur Macht

Potenzierungen: 28402

Was ist eine natürliche Potenz einer Zahl?

Die Zahl p heißt n-te Potenz einer Zahl, wenn p gleich der n-fach mit sich selbst multiplizierten Zahl a ist: p = a n = a·...·a
n - genannt Exponent, und die Zahl a ist Abschlussbasis.

Wie kann man eine Zahl auf eine natürliche Potenz erhöhen?

Um zu verstehen, wie man verschiedene Zahlen in natürliche Potenzen umwandelt, betrachten Sie einige Beispiele:

Beispiel 1. Erhöhen Sie die Zahl drei auf die vierte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 3 4 zu berechnen
Lösung: wie oben erwähnt, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Antwort: 3 4 = 81 .

Beispiel 2. Erhöhen Sie die Zahl fünf auf die fünfte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 5 5 zu berechnen
Lösung: ebenso 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Antwort: 5 5 = 3125 .

Um also eine Zahl auf eine natürliche Potenz zu erhöhen, müssen Sie sie nur n-mal mit sich selbst multiplizieren.

Was ist eine negative Potenz einer Zahl?

Die negative Potenz -n von a ist eins dividiert durch a hoch n: a -n = .

In diesem Fall existiert eine negative Potenz nur für Zahlen ungleich Null, da sonst eine Division durch Null erfolgen würde.

Wie kann man eine Zahl negativ potenzieren?

Um eine Zahl ungleich Null negativ zu potenzieren, müssen Sie den Wert dieser Zahl mit derselben positiven Potenz berechnen und eins durch das Ergebnis dividieren.

Beispiel 1. Erhöhen Sie die Zahl zwei auf die negative vierte Potenz. Das heißt, Sie müssen 2 -4 berechnen

Lösung: wie oben angegeben, 2 -4 = = = 0,0625.

Antwort: 2 -4 = 0.0625 .