Trigonometrie für Blondinen trigonometrischer Kreis. Trigonometrischer Kreis

08.03.202427.05.2017

Koordinaten X Auf dem Kreis liegende Punkte sind gleich cos(θ) und die Koordinaten j entsprechen sin(θ), wobei θ die Größe des Winkels ist.

Wenn es Ihnen schwerfällt, sich diese Regel zu merken, denken Sie einfach daran, dass im Paar (cos; sin) „der Sinus an letzter Stelle steht“.
Diese Regel lässt sich aus der Betrachtung rechtwinkliger Dreiecke und der Definition dieser trigonometrischen Funktionen ableiten (der Sinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite und des Kosinus der benachbarten Seite zur Hypotenuse).

Notieren Sie die Koordinaten von vier Punkten auf dem Kreis. Ein „Einheitskreis“ ist ein Kreis, dessen Radius gleich eins ist. Benutzen Sie dies, um die Koordinaten zu bestimmen X Und j an vier Schnittpunkten der Koordinatenachsen mit dem Kreis. Der Klarheit halber haben wir diese Punkte oben als „Osten“, „Norden“, „Westen“ und „Süden“ bezeichnet, obwohl sie keine etablierten Namen haben.

„Osten“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (1; 0) .
„Norden“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (0; 1) .
„Westen“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (-1; 0) .
„Süden“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (0; -1) .
Dies ähnelt einem normalen Diagramm, sodass Sie sich diese Werte nicht merken müssen. Denken Sie nur an das Grundprinzip.

Merken Sie sich die Koordinaten der Punkte im ersten Quadranten. Der erste Quadrant befindet sich im oberen rechten Teil des Kreises, dort sind die Koordinaten X Und j Nehmen Sie positive Werte an. Dies sind die einzigen Koordinaten, die Sie sich merken müssen:

Zeichnen Sie gerade Linien und bestimmen Sie die Koordinaten ihrer Schnittpunkte mit dem Kreis. Wenn Sie von den Punkten eines Quadranten gerade horizontale und vertikale Linien zeichnen, haben die zweiten Schnittpunkte dieser Linien mit dem Kreis die Koordinaten X Und j mit gleichen Absolutwerten, aber unterschiedlichen Vorzeichen. Mit anderen Worten: Sie können von den Punkten des ersten Quadranten horizontale und vertikale Linien zeichnen und die Schnittpunkte mit dem Kreis mit den gleichen Koordinaten beschriften, gleichzeitig aber links Platz für das richtige Vorzeichen („+“ lassen) oder "-").

Um das Vorzeichen der Koordinaten zu bestimmen, verwenden Sie die Symmetrieregeln. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Position des „-“-Zeichens festzulegen:

Denken Sie an die Grundregeln für reguläre Diagramme. Achse X Links negativ und rechts positiv. Achse j negativ von unten und positiv von oben;
Beginnen Sie mit dem ersten Quadranten und zeichnen Sie Linien zu anderen Punkten. Wenn die Linie die Achse kreuzt j, Koordinate X wird sein Vorzeichen ändern. Wenn die Linie die Achse kreuzt X, das Vorzeichen der Koordinate ändert sich j;
Denken Sie daran, dass im ersten Quadranten alle Funktionen positiv sind, im zweiten Quadranten nur der Sinus positiv ist, im dritten Quadranten nur der Tangens positiv ist und im vierten Quadranten nur der Kosinus positiv ist;
Welche Methode Sie auch verwenden, Sie sollten (+,+) im ersten Quadranten, (-,+) im zweiten, (-,-) im dritten und (+,-) im vierten erhalten.

Überprüfen Sie, ob Sie einen Fehler gemacht haben. Nachfolgend finden Sie eine vollständige Liste der Koordinaten „spezieller“ Punkte (mit Ausnahme der vier Punkte auf den Koordinatenachsen), wenn Sie sich entlang des Einheitskreises gegen den Uhrzeigersinn bewegen. Denken Sie daran, dass es zur Bestimmung all dieser Werte ausreicht, sich nur die Koordinaten der Punkte im ersten Quadranten zu merken:

erster Quadrant: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
zweiter Quadrant: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
dritter Quadrant: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
vierter Quadrant: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Wenn Sie bereits damit vertraut sind trigonometrischer Kreis , und Sie möchten einfach nur Ihre Erinnerung an bestimmte Elemente auffrischen, oder Sie sind völlig ungeduldig, dann ist es hier:

Hier analysieren wir Schritt für Schritt alles im Detail.

Der trigonometrische Kreis ist kein Luxus, sondern eine Notwendigkeit

Trigonometrie Viele Menschen assoziieren damit ein undurchdringliches Dickicht. Plötzlich stapeln sich so viele Werte trigonometrischer Funktionen, so viele Formeln... Aber es ist so, als hätte es am Anfang nicht geklappt, und... los geht's... völliges Missverständnis...

Es ist sehr wichtig, nicht aufzugeben Werte trigonometrischer Funktionen, - Man sagt, man kann sich den Sporn immer mit einer Wertetabelle ansehen.

Wenn Sie ständig auf eine Tabelle mit den Werten trigonometrischer Formeln schauen, sollten Sie diese Angewohnheit ablegen!

Er wird uns helfen! Sie werden mehrmals damit arbeiten, und dann wird es in Ihrem Kopf auftauchen. Wie ist es besser als ein Tisch? Ja, in der Tabelle finden Sie eine begrenzte Anzahl von Werten, aber im Kreis - ALLES!

Sagen wir zum Beispiel beim Anschauen Standardwertetabelle trigonometrischer Formeln , was ist der Sinus, der beispielsweise 300 Grad oder -45 entspricht?

Auf keinen Fall? Sie können natürlich eine Verbindung herstellen Reduktionsformeln... Und wenn man sich den trigonometrischen Kreis ansieht, kann man solche Fragen leicht beantworten. Und Sie werden bald wissen, wie!

Und wenn man trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen ohne einen trigonometrischen Kreis löst, ist es absolut nirgendwo.

Einführung in den trigonometrischen Kreis

Gehen wir der Reihe nach vor.

Schreiben wir zunächst diese Zahlenreihe auf:

Und jetzt das:

Und zum Schluss das:

Es ist natürlich klar, dass tatsächlich an erster Stelle steht, an zweiter Stelle steht und an letzter Stelle steht. Das heißt, wir werden uns mehr für die Kette interessieren.

Aber wie schön ist es geworden! Wenn etwas passiert, werden wir diese „Wunderleiter“ wiederherstellen.

Und warum brauchen wir es?

Diese Kette stellt die Hauptwerte von Sinus und Cosinus im ersten Viertel dar.

Zeichnen wir einen Kreis mit einem Einheitsradius in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (das heißt, wir nehmen einen beliebigen Radius als Länge und deklarieren seine Länge als Einheit).

Vom „0-Start“-Träger aus legen wir die Ecken in Pfeilrichtung ab (siehe Abbildung).

Wir erhalten die entsprechenden Punkte auf dem Kreis. Wenn wir also die Punkte auf jede der Achsen projizieren, erhalten wir genau die Werte aus der obigen Kette.

Warum ist das so, fragen Sie?

Analysieren wir nicht alles. Lassen Sie uns überlegen Prinzip, was es Ihnen ermöglicht, mit anderen, ähnlichen Situationen zurechtzukommen.

Das Dreieck AOB ist rechteckig und enthält . Und wir wissen, dass gegenüber dem Winkel b ein Bein liegt, das halb so groß ist wie die Hypotenuse (wir haben die Hypotenuse = den Radius des Kreises, also 1).

Das bedeutet AB= (und daher OM=). Und nach dem Satz des Pythagoras

Ich hoffe, es wird schon etwas klar?

Punkt B entspricht also dem Wert und Punkt M entspricht dem Wert

Das Gleiche gilt auch für die anderen Werte des ersten Quartals.

Wie Sie verstehen, wird es die bekannte Achse (Ochse) sein Kosinusachse, und die Achse (oy) – Sinusachse . Später.

Links von Null entlang der Kosinusachse (unter Null entlang der Sinusachse) gibt es natürlich negative Werte.

Hier ist er also, der ALLMÄCHTIGE, ohne den es in der Trigonometrie nichts gibt.

Aber wir werden darüber sprechen, wie man den trigonometrischen Kreis verwendet.

Die Trigonometrie als Wissenschaft hat ihren Ursprung im Alten Osten. Die ersten trigonometrischen Verhältnisse wurden von Astronomen abgeleitet, um einen genauen Kalender und eine genaue Ausrichtung anhand der Sterne zu erstellen. Diese Berechnungen beziehen sich auf die sphärische Trigonometrie, während im Schulkurs das Seiten- und Winkelverhältnis eines ebenen Dreiecks untersucht wird.

Die Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken beschäftigt.

Während der Blütezeit von Kultur und Wissenschaft im 1. Jahrtausend n. Chr. verbreitete sich das Wissen vom Alten Osten bis nach Griechenland. Aber die wichtigsten Entdeckungen der Trigonometrie sind das Verdienst der Männer des Arabischen Kalifats. Insbesondere führte der turkmenische Wissenschaftler al-Marazwi Funktionen wie Tangens und Kotangens ein und erstellte die ersten Wertetabellen für Sinus, Tangens und Kotangens. Die Konzepte Sinus und Cosinus wurden von indischen Wissenschaftlern eingeführt. Die Trigonometrie fand in den Werken so großer Persönlichkeiten der Antike wie Euklid, Archimedes und Eratosthenes große Beachtung.

Grundgrößen der Trigonometrie

Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen eines numerischen Arguments sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Jeder von ihnen hat seinen eigenen Graphen: Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens.

Die Formeln zur Berechnung der Werte dieser Größen basieren auf dem Satz des Pythagoras. Schulkindern ist die Formulierung besser bekannt: „Pythagoräische Hosen sind in alle Richtungen gleich“, da der Beweis am Beispiel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks geführt wird.

Sinus, Kosinus und andere Beziehungen legen die Beziehung zwischen den spitzen Winkeln und Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks fest. Geben wir Formeln zur Berechnung dieser Größen für den Winkel A an und verfolgen wir die Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen:

Wie Sie sehen, sind tg und ctg Umkehrfunktionen. Wenn wir uns Bein a als Produkt von sin A und Hypotenuse c und Bein b als cos A * c vorstellen, erhalten wir die folgenden Formeln für Tangens und Kotangens:

Trigonometrischer Kreis

Grafisch lässt sich der Zusammenhang zwischen den genannten Größen wie folgt darstellen:

Der Kreis repräsentiert in diesem Fall alle möglichen Werte des Winkels α – von 0° bis 360°. Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, nimmt jede Funktion je nach Winkel einen negativen oder positiven Wert an. Beispielsweise hat sin α ein „+“-Zeichen, wenn α zum 1. und 2. Viertel des Kreises gehört, also im Bereich von 0° bis 180° liegt. Für α von 180° bis 360° (III. und IV. Viertel) kann sin α nur ein negativer Wert sein.

Versuchen wir, trigonometrische Tabellen für bestimmte Winkel zu erstellen und die Bedeutung der Größen herauszufinden.

Werte von α gleich 30°, 45°, 60°, 90°, 180° usw. werden als Sonderfälle bezeichnet. Für sie werden die Werte trigonometrischer Funktionen berechnet und in Form spezieller Tabellen dargestellt.

Diese Winkel wurden nicht zufällig ausgewählt. Die Bezeichnung π in den Tabellen bezieht sich auf das Bogenmaß. Rad ist der Winkel, bei dem die Länge eines Kreisbogens seinem Radius entspricht. Dieser Wert wurde eingeführt, um eine universelle Abhängigkeit herzustellen; bei der Berechnung im Bogenmaß spielt die tatsächliche Länge des Radius in cm keine Rolle.

Winkel in Tabellen für trigonometrische Funktionen entsprechen Bogenmaßwerten:

Es ist also nicht schwer zu erraten, dass 2π ein vollständiger Kreis oder 360° ist.

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen: Sinus und Cosinus

Um die grundlegenden Eigenschaften von Sinus und Cosinus, Tangens und Kotangens zu betrachten und zu vergleichen, ist es notwendig, ihre Funktionen zu zeichnen. Dies kann in Form einer Kurve erfolgen, die in einem zweidimensionalen Koordinatensystem liegt.

Betrachten Sie die Vergleichstabelle der Eigenschaften für Sinus und Cosinus:

Sinus	Kosinus
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, für x = πk, wobei k ϵ Z	cos x = 0, für x = π/2 + πk, wobei k ϵ Z
sin x = 1, für x = π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z	cos x = 1, bei x = 2πk, wobei k ϵ Z
sin x = - 1, bei x = 3π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z	cos x = - 1, für x = π + 2πk, wobei k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, d. h. die Funktion ist ungerade	cos (-x) = cos x, d. h. die Funktion ist gerade
	Die Funktion ist periodisch, die kleinste Periode ist 2π
sin x › 0, wobei x zum 1. und 2. Viertel oder von 0° bis 180° gehört (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, wobei x zu den Vierteln I und IV oder von 270° bis 90° gehört (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, wobei x zum dritten und vierten Viertel oder von 180° bis 360° gehört (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, wobei x zum 2. und 3. Viertel oder von 90° bis 270° gehört (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
steigt im Intervall [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	steigt im Intervall [-π + 2πk, 2πk]
nimmt in den Intervallen [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] ab	nimmt in Abständen ab
Ableitung (sin x)‘ = cos x	Ableitung (cos x)’ = - sin x

Es ist sehr einfach festzustellen, ob eine Funktion gerade ist oder nicht. Es genügt, sich einen trigonometrischen Kreis mit den Vorzeichen trigonometrischer Größen vorzustellen und den Graphen gedanklich relativ zur OX-Achse zu „falten“. Wenn die Vorzeichen übereinstimmen, ist die Funktion gerade, andernfalls ist sie ungerade.

Die Einführung des Bogenmaßes und die Auflistung der grundlegenden Eigenschaften von Sinus- und Kosinuswellen ermöglichen uns die Darstellung des folgenden Musters:

Es ist sehr einfach zu überprüfen, ob die Formel korrekt ist. Beispielsweise ist für x = π/2 der Sinus 1, ebenso wie der Kosinus von x = 0. Die Überprüfung kann durch Konsultieren von Tabellen oder durch Verfolgen von Funktionskurven für gegebene Werte erfolgen.

Eigenschaften von Tangentenoiden und Kotangentenoiden

Die Graphen der Tangens- und Kotangensfunktionen unterscheiden sich deutlich von den Sinus- und Cosinusfunktionen. Die Werte tg und ctg sind Kehrwerte voneinander.

Y = tan x.
Die Tangente tendiert zu den Werten von y bei x = π/2 + πk, erreicht sie aber nie.
Die kleinste positive Periode des Tangentoids ist π.
Tg (- x) = - tg x, d. h. die Funktion ist ungerade.
Tg x = 0, für x = πk.
Die Funktion nimmt zu.
Tg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, für x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Ableitung (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Betrachten Sie das grafische Bild des Kotangentoids unten im Text.

Haupteigenschaften von Cotangentoiden:

Y = Kinderbett x.
Im Gegensatz zu den Sinus- und Cosinusfunktionen kann Y beim Tangentoid die Werte der Menge aller reellen Zahlen annehmen.
Der Kotangentoid tendiert zu den Werten von y bei x = πk, erreicht diese aber nie.
Die kleinste positive Periode eines Kotangentoids ist π.
Ctg (- x) = - ctg x, d. h. die Funktion ist ungerade.
Ctg x = 0, für x = π/2 + πk.
Die Funktion nimmt ab.
Ctg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, für x ϵ (π/2 + πk, πk).
Ableitung (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Richtig

Trigonometrischer Kreis. Einheitskreis. Zahlenkreis. Was ist das?

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Sehr oft Begriffe trigonometrischer Kreis, Einheitskreis, Zahlenkreis wird von den Studierenden kaum verstanden. Und völlig vergeblich. Diese Konzepte sind ein leistungsstarker und universeller Helfer in allen Bereichen der Trigonometrie. Tatsächlich handelt es sich hierbei um einen legalen Spickzettel! Ich habe einen trigonometrischen Kreis gezeichnet und sofort die Antworten gesehen! Verlockend? Lernen wir also, es wäre eine Sünde, so etwas nicht zu benutzen. Darüber hinaus ist es überhaupt nicht schwierig.

Um erfolgreich mit dem trigonometrischen Kreis arbeiten zu können, müssen Sie nur drei Dinge wissen.

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