So wandeln Sie Brüche in reguläre Zahlen um. Umwandeln eines Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch und umgekehrt: Regel, Beispiele

Es kommt vor, dass Sie zur Vereinfachung von Berechnungen einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln müssen und umgekehrt. Wir werden in diesem Artikel darüber sprechen, wie das geht. Schauen wir uns die Regeln für die Umwandlung gewöhnlicher Brüche in Dezimalzahlen und umgekehrt an und geben wir auch Beispiele.

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Wir werden darüber nachdenken, gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln und dabei einer bestimmten Reihenfolge zu folgen. Schauen wir uns zunächst an, wie gewöhnliche Brüche mit einem Nenner, der ein Vielfaches von 10 ist, in Dezimalzahlen umgewandelt werden: 10, 100, 1000 usw. Brüche mit solchen Nennern sind tatsächlich eine umständlichere Schreibweise von Dezimalbrüchen.

Als nächstes schauen wir uns an, wie man gewöhnliche Brüche mit einem beliebigen Nenner, nicht nur Vielfachen von 10, in Dezimalbrüche umwandelt. Beachten Sie, dass bei der Umwandlung gewöhnlicher Brüche in Dezimalzahlen nicht nur endliche Dezimalzahlen, sondern auch unendliche periodische Dezimalbrüche erhalten werden.

Lass uns anfangen!

Übersetzung gewöhnlicher Brüche mit Nennern 10, 100, 1000 usw. auf Dezimalstellen

Nehmen wir zunächst einmal an, dass einige Brüche eine gewisse Vorbereitung erfordern, bevor sie in die Dezimalform umgewandelt werden können. Was ist es? Vor der Zahl im Zähler müssen Sie so viele Nullen hinzufügen, dass die Anzahl der Ziffern im Zähler der Anzahl der Nullen im Nenner entspricht. Für den Bruch 3100 muss beispielsweise links von der 3 im Zähler einmal die Zahl 0 addiert werden. Fraktion 610 bedarf gemäß der oben genannten Regel keiner Änderung.

Schauen wir uns noch ein Beispiel an und formulieren anschließend eine Regel, die zunächst besonders praktisch anzuwenden ist, obwohl noch nicht viel Erfahrung mit der Umrechnung von Brüchen vorhanden ist. Der Bruch 1610000 sieht nach dem Hinzufügen von Nullen im Zähler also wie 001510000 aus.

So konvertieren Sie einen gewöhnlichen Bruch mit einem Nenner von 10, 100, 1000 usw. in Dezimalzahl?

Regel zum Umwandeln gewöhnlicher echter Brüche in Dezimalzahlen

1. Schreiben Sie 0 und setzen Sie dahinter ein Komma.
2. Wir schreiben die Zahl aus dem Zähler auf, die nach dem Hinzufügen von Nullen erhalten wurde.

Kommen wir nun zu den Beispielen.

Beispiel 1: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns den Bruch 39.100 in eine Dezimalzahl umwandeln.

Zuerst schauen wir uns den Bruch an und stellen fest, dass keine vorbereitenden Maßnahmen erforderlich sind – die Anzahl der Ziffern im Zähler stimmt mit der Anzahl der Nullen im Nenner überein.

Der Regel folgend schreiben wir 0, setzen einen Dezimalpunkt dahinter und schreiben die Zahl aus dem Zähler. Wir erhalten den Dezimalbruch 0,39.

Schauen wir uns die Lösung eines anderen Beispiels zu diesem Thema an.

Beispiel 2. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Schreiben wir den Bruch 105 10000000 als Dezimalzahl.

Die Anzahl der Nullen im Nenner beträgt 7 und der Zähler ist nur dreistellig. Fügen wir vor der Zahl im Zähler vier weitere Nullen hinzu:

0000105 10000000

Jetzt schreiben wir 0 auf, setzen einen Dezimalpunkt dahinter und schreiben die Zahl vom Zähler ab. Wir erhalten den Dezimalbruch 0,0000105.

Die in allen Beispielen betrachteten Brüche sind gewöhnliche echte Brüche. Aber wie wandelt man einen unechten Bruch in eine Dezimalzahl um? Nehmen wir gleich an, dass für das Hinzufügen von Nullen für solche Brüche keine Vorbereitung erforderlich ist. Lassen Sie uns eine Regel formulieren.

Regel zur Umwandlung gewöhnlicher unechter Brüche in Dezimalzahlen

1. Notieren Sie die Zahl, die im Zähler steht.
2. Wir verwenden einen Dezimalpunkt, um so viele Ziffern auf der rechten Seite zu trennen, wie Nullen im Nenner des ursprünglichen Bruchs vorhanden sind.

Nachfolgend finden Sie ein Beispiel für die Verwendung dieser Regel.

Beispiel 3. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns den Bruch 56888038009 100000 von einem gewöhnlichen unregelmäßigen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln.

Schreiben wir zunächst die Zahl aus dem Zähler auf:

Nun trennen wir rechts fünf Ziffern durch einen Dezimalpunkt (die Anzahl der Nullen im Nenner beträgt fünf). Wir bekommen:

Die nächste Frage, die sich natürlich stellt, ist: Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Dezimalbruch um, wenn der Nenner ihres Bruchteils die Zahl 10, 100, 1000 usw. ist? Um eine solche Zahl in einen Dezimalbruch umzuwandeln, können Sie die folgende Regel verwenden.

Regel zur Umrechnung gemischter Zahlen in Dezimalzahlen

1. Bei Bedarf bereiten wir den Nachkommateil der Zahl vor.
2. Wir schreiben den gesamten Teil der ursprünglichen Zahl auf und setzen dahinter ein Komma.
3. Wir schreiben die Zahl aus dem Zähler des Bruchteils zusammen mit den hinzugefügten Nullen auf.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 4: Gemischte Zahlen in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns die gemischte Zahl 23 17 10000 in einen Dezimalbruch umwandeln.

Im Bruchteil haben wir den Ausdruck 17 10000. Bereiten wir es vor und fügen wir links vom Zähler zwei weitere Nullen hinzu. Wir bekommen: 0017 10000.

Jetzt schreiben wir den ganzen Teil der Zahl auf und setzen ein Komma dahinter: 23, . .

Notieren Sie nach dem Dezimalpunkt die Zahl vom Zähler zusammen mit Nullen. Wir erhalten das Ergebnis:

23 17 10000 = 23 , 0017

Konvertieren gewöhnlicher Brüche in endliche und unendliche periodische Brüche

Natürlich können Sie in Dezimalzahlen und gewöhnliche Brüche umrechnen, deren Nenner ungleich 10, 100, 1000 usw. ist.

Oft lässt sich ein Bruch leicht auf einen neuen Nenner reduzieren und dann die im ersten Absatz dieses Artikels dargelegte Regel anwenden. Beispielsweise reicht es aus, Zähler und Nenner des Bruchs 25 mit 2 zu multiplizieren, und wir erhalten den Bruch 410, der sich leicht in die Dezimalform 0,4 umwandeln lässt.

Diese Methode zur Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl kann jedoch nicht immer verwendet werden. Im Folgenden betrachten wir, was zu tun ist, wenn die Anwendung der betrachteten Methode nicht möglich ist.

Eine grundlegend neue Möglichkeit, einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, besteht darin, den Zähler durch den Nenner mit einer Spalte zu dividieren. Diese Operation ist der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte sehr ähnlich, hat jedoch ihre eigenen Eigenschaften.

Beim Dividieren wird der Zähler als Dezimalbruch dargestellt – rechts von der letzten Ziffer des Zählers wird ein Komma gesetzt und Nullen hinzugefügt. Im resultierenden Quotienten wird ein Dezimalpunkt eingefügt, wenn die Division des ganzzahligen Teils des Zählers endet. Wie genau diese Methode funktioniert, wird anhand der Beispiele deutlich.

Beispiel 5. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns den gemeinsamen Bruch 621 4 in die Dezimalform umwandeln.

Stellen wir die Zahl 621 aus dem Zähler als Dezimalbruch dar und fügen nach dem Dezimalpunkt ein paar Nullen hinzu. 621 = 621,00

Teilen wir nun 621,00 mithilfe einer Spalte durch 4. Die ersten drei Schritte der Division sind die gleichen wie bei der Division natürlicher Zahlen, und wir erhalten.

Wenn wir den Dezimalpunkt im Dividenden erreichen und der Rest von Null verschieden ist, setzen wir einen Dezimalpunkt in den Quotienten und dividieren weiter, ohne auf das Komma im Dividenden zu achten.

Als Ergebnis erhalten wir den Dezimalbruch 155, 25, der das Ergebnis der Umkehrung des gemeinsamen Bruchs 621 4 ist

621 4 = 155 , 25

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel zur Verstärkung des Materials an.

Beispiel 6. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns den gemeinsamen Bruch 21 800 umkehren.

Teilen Sie dazu den Bruch 21.000 in einer Spalte durch 800. Die Division des ganzen Teils endet mit dem ersten Schritt, also setzen wir unmittelbar danach einen Dezimalpunkt in den Quotienten und setzen die Division fort, ohne auf das Komma im Dividenden zu achten, bis wir einen Rest von Null erhalten.

Als Ergebnis erhalten wir: 21.800 = 0,02625.

Was aber, wenn wir beim Dividieren immer noch keinen Rest von 0 erhalten. In solchen Fällen kann die Division auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden. Ab einem bestimmten Schritt werden die Rückstände jedoch periodisch wiederholt. Dementsprechend werden die Zahlen im Quotienten wiederholt. Das bedeutet, dass ein gewöhnlicher Bruch in einen dezimalen unendlichen periodischen Bruch umgewandelt wird. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 7. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns den gemeinsamen Bruch 19 44 in eine Dezimalzahl umwandeln. Dazu führen wir eine Division nach Spalten durch.

Wir sehen, dass sich bei der Division die Reste 8 und 36 wiederholen. In diesem Fall wiederholen sich die Zahlen 1 und 8 im Quotienten. Dies ist der Punkt im Dezimalbruch. Bei der Aufnahme werden diese Zahlen in Klammern gesetzt.

Somit wird der ursprüngliche gewöhnliche Bruch in einen unendlichen periodischen Dezimalbruch umgewandelt.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Lassen Sie uns einen irreduziblen gewöhnlichen Bruch haben. Welche Form wird es annehmen? Welche gewöhnlichen Brüche werden in endliche Dezimalzahlen umgewandelt und welche werden in unendlich periodische Brüche umgewandelt?

Nehmen wir zunächst an, dass ein Bruch, der auf einen der Nenner 10, 100, 1000... reduziert werden kann, die Form eines letzten Dezimalbruchs hat. Damit ein Bruch auf einen dieser Nenner reduziert werden kann, muss sein Nenner ein Teiler von mindestens einer der Zahlen 10, 100, 1000 usw. sein. Aus den Regeln für die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren folgt, dass der Teiler von Zahlen 10, 100, 1000 usw. ist. darf, wenn man es in Primfaktoren zerlegt, nur die Zahlen 2 und 5 enthalten.

Fassen wir zusammen, was gesagt wurde:

1. Ein gemeinsamer Bruch kann auf eine letzte Dezimalzahl reduziert werden, wenn sein Nenner in die Primfaktoren 2 und 5 zerlegt werden kann.
2. Wenn in der Entwicklung des Nenners neben den Zahlen 2 und 5 noch weitere Primzahlen vorkommen, wird der Bruch auf die Form eines unendlichen periodischen Dezimalbruchs reduziert.

Geben wir ein Beispiel.

Beispiel 8. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Welcher dieser Brüche 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 wird in einen letzten Dezimalbruch umgewandelt und welcher - nur in einen periodischen. Beantworten wir diese Frage, ohne einen Bruch direkt in eine Dezimalzahl umzuwandeln.

Der Bruch 47 20 wird, wie leicht zu erkennen ist, durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit 5 auf einen neuen Nenner 100 reduziert.

47 20 = 235 100. Daraus schließen wir, dass dieser Bruch in einen letzten Dezimalbruch umgewandelt wird.

Die Faktorisierung des Nenners des Bruchs 7 · 12 ergibt 12 = 2 · 2 · 3. Da sich der Primfaktor 3 von 2 und 5 unterscheidet, kann dieser Bruch nicht als endlicher Dezimalbruch dargestellt werden, sondern hat die Form eines unendlichen periodischen Bruchs.

Der Bruch 21 56 muss zunächst reduziert werden. Nach Reduktion um 7 erhalten wir den irreduziblen Bruch 3 · 8, dessen Nenner faktorisiert wird, um 8 = 2 · 2 · 2 zu ergeben. Daher handelt es sich um einen endlichen Dezimalbruch.

Im Fall des Bruchs 31 17 ist die Faktorisierung des Nenners die Primzahl 17 selbst. Dementsprechend kann dieser Bruch in einen unendlichen periodischen Dezimalbruch umgewandelt werden.

Ein gewöhnlicher Bruch kann nicht in einen unendlichen und nichtperiodischen Dezimalbruch umgewandelt werden

Oben haben wir nur über endliche und unendliche periodische Brüche gesprochen. Aber kann jeder gewöhnliche Bruch in einen unendlichen nichtperiodischen Bruch umgewandelt werden?

Wir antworten: Nein!

Wichtig!

Wenn man einen unendlichen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelt, ist das Ergebnis entweder eine endliche Dezimalzahl oder eine unendliche periodische Dezimalzahl.

Der Rest einer Division ist immer kleiner als der Divisor. Mit anderen Worten: Wenn wir nach dem Teilbarkeitssatz eine natürliche Zahl durch die Zahl q dividieren, kann der Rest der Division auf keinen Fall größer als q-1 sein. Nach Abschluss der Teilung ist eine der folgenden Situationen möglich:

1. Wir erhalten einen Rest von 0 und hier endet die Division.
2. Wir erhalten einen Rest, der sich bei der anschließenden Division wiederholt, was zu einem unendlichen periodischen Bruch führt.

Bei der Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl gibt es keine anderen Optionen. Nehmen wir außerdem an, dass die Länge der Periode (Anzahl der Ziffern) in einem unendlichen periodischen Bruch immer kleiner ist als die Anzahl der Ziffern im Nenner des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Jetzt ist es an der Zeit, den umgekehrten Vorgang der Umwandlung eines Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch zu betrachten. Lassen Sie uns eine Übersetzungsregel formulieren, die drei Stufen umfasst. Wie wandle ich einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um?

Regel zum Umwandeln von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche

1. Im Zähler schreiben wir die Zahl aus dem ursprünglichen Dezimalbruch und verwerfen das Komma und alle Nullen auf der linken Seite, falls vorhanden.
2. Im Nenner schreiben wir eine Eins, gefolgt von so vielen Nullen, wie Nachkommastellen im ursprünglichen Dezimalbruch vorhanden sind.
3. Reduzieren Sie bei Bedarf den resultierenden gewöhnlichen Bruch.

Schauen wir uns die Anwendung dieser Regel anhand von Beispielen an.

Beispiel 8. Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln

Stellen wir uns die Zahl 3,025 als einen gewöhnlichen Bruch vor.

1. Wir schreiben den Dezimalbruch selbst in den Zähler und verwerfen das Komma: 3025.
2. In den Nenner schreiben wir eine und danach drei Nullen – genau so viele Nachkommastellen sind im ursprünglichen Bruch enthalten: 3025 1000.
3. Der resultierende Bruch 3025 1000 kann um 25 reduziert werden, was zu: 3025 1000 = 121 40 führt.

Beispiel 9. Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln

Lassen Sie uns den Bruch 0,0017 vom Dezimalbruch in den gewöhnlichen Bruch umwandeln.

1. In den Zähler schreiben wir den Bruch 0, 0017 und verwerfen das Komma und die Nullen auf der linken Seite. Es stellt sich heraus, dass es 17 sind.
2. Wir schreiben eine Eins in den Nenner und danach vier Nullen: 17 10000. Dieser Bruch ist irreduzibel.

Wenn ein Dezimalbruch einen ganzzahligen Teil hat, kann ein solcher Bruch sofort in eine gemischte Zahl umgewandelt werden. Wie kann man das machen?

Lassen Sie uns noch eine Regel formulieren.

Regel zur Umwandlung von Dezimalbrüchen in gemischte Zahlen.

1. Die Zahl vor dem Komma im Bruch wird als ganzzahliger Teil der gemischten Zahl geschrieben.
2. Im Zähler schreiben wir die Zahl nach dem Komma im Bruch und verwerfen die Nullen auf der linken Seite, falls vorhanden.
3. Im Nenner des Bruchteils addieren wir eine und so viele Nullen, wie Nachkommastellen im Bruchteil vorhanden sind.

Nehmen wir ein Beispiel

Beispiel 10. Konvertieren einer Dezimalzahl in eine gemischte Zahl

Stellen wir uns den Bruch 155, 06005 als gemischte Zahl vor.

1. Wir schreiben die Zahl 155 als ganzzahligen Teil.
2. Im Zähler schreiben wir die Zahlen nach dem Komma und verwerfen die Null.
3. Wir schreiben eine und fünf Nullen in den Nenner

Lernen wir eine gemischte Zahl: 155 6005 100000

Der Nachkommateil kann um 5 gekürzt werden. Wir kürzen es und erhalten das Endergebnis:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Unendliche periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Schauen wir uns Beispiele an, wie man periodische Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandelt. Bevor wir beginnen, klären wir Folgendes: Jeder periodische Dezimalbruch kann in einen gewöhnlichen Bruch umgewandelt werden.

Der einfachste Fall liegt vor, wenn die Periode des Bruchs Null ist. Ein periodischer Bruch mit einer Nullperiode wird durch einen letzten Dezimalbruch ersetzt, und der Prozess der Umkehrung eines solchen Bruchs wird auf die Umkehrung des letzten Dezimalbruchs reduziert.

Beispiel 11. Umwandeln eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch

Lassen Sie uns den periodischen Bruch 3, 75 (0) invertieren.

Wenn wir die Nullen auf der rechten Seite entfernen, erhalten wir den letzten Dezimalbruch 3,75.

Wenn wir diesen Bruch mit dem in den vorherigen Absätzen beschriebenen Algorithmus in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln, erhalten wir:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Was ist, wenn die Periode des Bruchs von Null verschieden ist? Der periodische Teil sollte als Summe der Terme einer geometrischen Progression betrachtet werden, die abnimmt. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels erklären:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Es gibt eine Formel für die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression. Wenn der erste Term der Folge b ist und der Nenner q so ist, dass 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Schauen wir uns einige Beispiele an, die diese Formel verwenden.

Beispiel 12. Umwandeln eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch

Wir haben einen periodischen Bruch 0, (8) und müssen ihn in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Hier haben wir eine unendlich abnehmende geometrische Folge mit dem ersten Term 0, 8 und dem Nenner 0, 1.

Wenden wir die Formel an:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Dies ist der erforderliche gewöhnliche Bruch.

Um das Material zu festigen, betrachten Sie ein anderes Beispiel.

Beispiel 13. Umwandeln eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch

Lassen Sie uns den Bruch 0, 43 (18) umkehren.

Zuerst schreiben wir den Bruch als unendliche Summe:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Schauen wir uns die Begriffe in Klammern an. Dieser geometrische Verlauf lässt sich wie folgt darstellen:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Wir addieren das Ergebnis zum Endbruch 0, 43 = 43 100 und erhalten das Ergebnis:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Nachdem wir diese Brüche addiert und reduziert haben, erhalten wir die endgültige Antwort:

0 , 43 (18) = 19 44

Zum Abschluss dieses Artikels sagen wir, dass nichtperiodische unendliche Dezimalbrüche nicht in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden können.

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Ganz am Anfang müssen Sie noch herausfinden, was ein Bruch ist und welche Arten er hat. Und es gibt drei Arten. Und der erste davon ist ein gewöhnlicher Bruch, zum Beispiel ½, 3/7, 3/432 usw. Diese Zahlen können auch mit einem horizontalen Bindestrich geschrieben werden. Sowohl das erste als auch das zweite werden gleichermaßen wahr sein. Die Zahl oben wird Zahl genannt, die Zahl unten Nenner. Es gibt sogar ein Sprichwort für diejenigen, die diese beiden Namen ständig verwechseln. Es geht so: „Zzzzz denk dran! Zzzz Nenner - downzzzz! " So vermeiden Sie Verwirrung. Ein gemeinsamer Bruch besteht aus zwei Zahlen, die durcheinander teilbar sind. Der Strich darin gibt das Teilungszeichen an. Es kann durch einen Doppelpunkt ersetzt werden. Wenn die Frage lautet: „Wie wandelt man einen Bruch in eine Zahl um“, dann ist sie sehr einfach. Sie müssen nur den Zähler durch den Nenner dividieren. Und alle. Der Bruch wurde übersetzt.

Die zweite Bruchart heißt Dezimalbruch. Dies ist eine Reihe von Zahlen, gefolgt von einem Komma. Zum Beispiel 0,5, 3,5 usw. Sie wurden nur deshalb Dezimalzahl genannt, weil nach der gesungenen Zahl die erste Ziffer „Zehner“ bedeutet, die zweite zehnmal mehr als „Hunderter“ bedeutet und so weiter. Und die ersten Ziffern vor dem Dezimalpunkt heißen ganze Zahlen. Die Zahl 2,4 klingt zum Beispiel so, zwölf Komma zwei und zweihundertvierunddreißig Tausendstel. Solche Brüche entstehen vor allem deshalb, weil die Division zweier Zahlen ohne Rest nicht funktioniert. Und die meisten Brüche ergeben bei der Umwandlung in Zahlen Dezimalzahlen. Eine Sekunde entspricht beispielsweise null Komma fünf.

Und der letzte dritte Blick. Das sind gemischte Zahlen. Ein Beispiel hierfür kann als 2½ angegeben werden. Es klingt wie zwei Ganzen und eine Sekunde. Im Gymnasium wird diese Art von Brüchen nicht mehr verwendet. Sie müssen wahrscheinlich entweder in die gewöhnliche Bruchform oder in die Dezimalform umgewandelt werden. Das geht genauso einfach. Sie müssen lediglich die ganze Zahl mit dem Nenner multiplizieren und die resultierende Notation zur Zahl addieren. Nehmen wir unser Beispiel 2½. Zwei multipliziert mit zwei ergibt vier. Vier plus eins ergibt fünf. Und ein Bruchteil der Form 2½ wird zu 5/2 geformt. Und fünf dividiert durch zwei erhält man als Dezimalbruch. 2½=5/2=2,5. Es ist bereits klar geworden, wie man Brüche in Zahlen umwandelt. Sie müssen nur den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn die Zahlen groß sind, können Sie einen Taschenrechner verwenden.

Wenn es keine ganzen Zahlen ergibt und viele Nachkommastellen vorhanden sind, kann dieser Wert gerundet werden. Alles ist sehr einfach zusammengefasst. Zuerst müssen Sie entscheiden, auf welche Zahl Sie runden müssen. Ein Beispiel sollte berücksichtigt werden. Eine Person muss die Zahl Null Komma Null,fünfzig Zehntausendstel oder auf den digitalen Wert 0,6 runden. Die Rundung muss auf das nächste Hundertstel erfolgen. Das bedeutet, dass es im Moment bis zu sieben Hundertstel sind. Nach der Zahl Sieben im Bruch steht die Fünf. Jetzt müssen wir die Regeln zum Runden anwenden. Zahlen größer als fünf werden aufgerundet, Zahlen kleiner als fünf werden abgerundet. Im Beispiel hat die Person fünf, sie befindet sich an der Grenze, es wird jedoch davon ausgegangen, dass eine Aufrundung erfolgt. Das bedeutet, dass wir alle Zahlen nach sieben entfernen und eins hinzufügen. Es ergibt sich 0,8.

Es gibt auch Situationen, in denen eine Person schnell einen Bruch in eine Zahl umrechnen muss, aber kein Taschenrechner in der Nähe ist. Hierzu sollten Sie die Spalteneinteilung nutzen. Der erste Schritt besteht darin, Zähler und Nenner nebeneinander auf ein Blatt Papier zu schreiben. Dazwischen ist eine Trennecke angebracht; sie sieht aus wie der Buchstabe „T“, liegt aber auf der Seite. Sie können zum Beispiel den Bruchteil zehn Sechstel nehmen. Daher sollte zehn durch sechs geteilt werden. Wie viele Sechser passen in eine Zehn, nur einer. Die Einheit steht unter der Ecke. Zehn minus sechs ergibt vier. Wie viele Sechser wird es in einem Vierer geben, mehrere. Das bedeutet, dass in der Antwort nach der Eins ein Komma gesetzt und die Vier mit zehn multipliziert wird. Mit sechsundvierzig sechs. Zur Antwort werden sechs addiert und von vierzig sechsunddreißig abgezogen. Es sind wieder vier.

In diesem Beispiel ist eine Schleife aufgetreten. Wenn Sie alles genauso machen, erhalten Sie die Antwort 1,6(6). Die Zahl sechs läuft bis ins Unendliche, aber durch Anwendung der Rundungsregel können Sie die Zahl auf 1,7 bringen . Was viel bequemer ist. Daraus können wir schließen, dass nicht alle gewöhnlichen Brüche in Dezimalzahlen umgewandelt werden können. In manchen gibt es einen Kreislauf. Aber jeder Dezimalbruch kann in einen einfachen Bruch umgewandelt werden. Dabei hilft eine elementare Regel: Wie man es hört, so steht es auch geschrieben. Beispielsweise wird die Zahl 1,5 als ein Komma fünfundzwanzig Hundertstel gehört. Sie müssen es also aufschreiben, ein Ganzes, fünfundzwanzig geteilt durch hundert. Eine ganze Zahl ist einhundert, was bedeutet, dass der einfache Bruch einhundertfünfundzwanzig mal einhundert (125/100) ist. Alles ist auch einfach und klar.

Daher wurden die grundlegendsten Regeln und Transformationen besprochen, die mit Brüchen verbunden sind. Sie sind alle einfach, aber Sie sollten sie kennen. Brüche, insbesondere Dezimalzahlen, gehören seit langem zum Alltag. Dies ist deutlich auf den Preisschildern in den Geschäften zu erkennen. Es ist schon lange her, dass jemand runde Preise schreibt, aber bei Brüchen wirkt der Preis optisch deutlich günstiger. Eine der Theorien besagt auch, dass sich die Menschheit von römischen Ziffern abgewandt und arabische Ziffern übernommen habe, und zwar nur deshalb, weil römische Ziffern keine Brüche hatten. Und viele Wissenschaftler stimmen dieser Annahme zu. Schließlich kann man mit Brüchen genauer rechnen. Und in unserem Zeitalter der Weltraumtechnologie ist Genauigkeit bei Berechnungen wichtiger denn je. Daher ist das Studium der Bruchrechnung in der Schulmathematik für das Verständnis vieler Naturwissenschaften und technologischer Fortschritte von entscheidender Bedeutung.

Nicht nur viele Studierende fragen sich, wie man einen Bruch in eine Zahl umwandelt. Dafür gibt es mehrere recht einfache und verständliche Möglichkeiten. Die Wahl einer bestimmten Methode hängt von den Präferenzen des Entscheiders ab.

Zunächst müssen Sie wissen, wie Brüche geschrieben werden. Und sie sind wie folgt geschrieben:

1. Normal. Es wird mit Zähler und Nenner unter Verwendung einer Schräge oder einer Spalte (1/2) geschrieben.
2. Dezimal. Es wird durch Kommas getrennt geschrieben (1.0, 2.5 usw.).

Bevor Sie mit dem Lösen beginnen, müssen Sie wissen, was ein unechter Bruch ist, da er recht häufig vorkommt. Der Zähler ist größer als der Nenner, zum Beispiel 15/6. Auch unechte Brüche können auf diese Weise ohne Aufwand und Zeit gelöst werden.

Eine gemischte Zahl liegt vor, wenn das Ergebnis eine ganze Zahl und einen Bruchteil ist, zum Beispiel 52/3.

Jede natürliche Zahl kann als Bruch mit völlig unterschiedlichen natürlichen Nennern geschrieben werden, zum Beispiel: 1= 2/2=3/3 = usw.

Sie können auch mit einem Taschenrechner übersetzen, allerdings verfügen nicht alle über diese Funktion. Es gibt einen speziellen technischen Rechner, der über eine solche Funktion verfügt, aber insbesondere in der Schule ist es nicht immer möglich, ihn zu verwenden. Daher ist es besser, dieses Thema zu verstehen.

Als Erstes sollten Sie darauf achten, um welchen Bruch es sich handelt. Wenn es leicht mit den gleichen Werten wie der Zähler bis zu 10 multipliziert werden kann, können Sie die erste Methode verwenden. Beispiel: Sie multiplizieren eine gewöhnliche ½ im Zähler und Nenner mit 5 und erhalten 5/10, was als 0,5 geschrieben werden kann.

Diese Regel basiert auf der Tatsache, dass eine Dezimalzahl im Nenner immer einen runden Wert hat, beispielsweise 10,100,1000 usw.

Daraus folgt: Wenn Sie Zähler und Nenner multiplizieren, müssen Sie durch die Multiplikation genau den gleichen Wert im Nenner erhalten, unabhängig davon, was im Zähler herauskommt.

Beachten Sie, dass einige Brüche nicht umgerechnet werden können. Sie müssen dies überprüfen, bevor Sie mit der Lösung beginnen.

Zum Beispiel: 1,3333, wobei die Zahl 3 bis ins Unendliche wiederholt wird und der Rechner sie auch nicht loswird. Die einzige Lösung für dieses Problem besteht darin, es nach Möglichkeit auf eine ganze Zahl zu runden. Wenn dies nicht möglich ist, sollten Sie zum Anfang des Beispiels zurückkehren und die Richtigkeit der Lösung des Problems überprüfen.

Abbildung 1-3. Brüche durch Multiplikation umwandeln.

Um die beschriebenen Informationen zu konsolidieren, betrachten Sie das folgende Übersetzungsbeispiel:

1. Beispielsweise müssen Sie 6/20 in eine Dezimalzahl umrechnen. Der erste Schritt besteht darin, es zu überprüfen, wie in Abbildung 1 dargestellt.
2. Erst wenn Sie davon überzeugt sind, dass es zerlegt werden kann, wie in diesem Fall in 2 und 5, sollten Sie mit der eigentlichen Übersetzung beginnen.
3. Die einfachste Möglichkeit wäre, den Nenner zu multiplizieren, um ein Ergebnis von 100 zu erhalten, was 5 ist, da 20x5=100.
4. Folgt man dem Beispiel in Abbildung 2, beträgt das Ergebnis 0,3.

Sie können das Ergebnis konsolidieren und alles noch einmal gemäß Abbildung 3 überprüfen. Um das Thema vollständig zu verstehen und nicht mehr auf das Studium dieses Materials zurückzugreifen. Dieses Wissen wird nicht nur dem Kind, sondern auch dem Erwachsenen helfen.

Übersetzung nach Abteilung

Die zweite Möglichkeit zur Umrechnung von Brüchen ist etwas komplizierter, aber beliebter. Diese Methode wird hauptsächlich von Lehrern in Schulen zur Erklärung verwendet. Insgesamt ist es viel einfacher zu erklären und schneller zu verstehen.

Denken Sie daran, dass Sie zur korrekten Umwandlung eines einfachen Bruchs seinen Zähler durch seinen Nenner dividieren müssen. Wenn man darüber nachdenkt, ist die Lösung schließlich der Prozess der Teilung.

Um diese einfache Regel zu verstehen, müssen Sie die folgende Beispiellösung betrachten:

1. Nehmen wir 78/200, das in eine Dezimalzahl umgewandelt werden muss. Teilen Sie dazu 78 durch 200, also den Zähler durch den Nenner.
2. Aber bevor Sie beginnen, lohnt es sich, einen Blick darauf zu werfen, wie in Abbildung 4 dargestellt.
3. Sobald Sie davon überzeugt sind, dass das Problem gelöst werden kann, sollten Sie mit dem Prozess beginnen. Dazu lohnt es sich, in einer Spalte oder Ecke den Zähler durch den Nenner zu dividieren, wie in Abbildung 5 dargestellt. In Grundschulen wird eine solche Division gelehrt, und es sollte dabei keine Schwierigkeiten geben.

Abbildung 6 zeigt Beispiele der häufigsten Beispiele; Sie können sie sich einfach merken, damit Sie bei Bedarf keine Zeit mit deren Lösung verschwenden. Schließlich wird in der Schule für jede Prüfung oder selbstständige Arbeit nur wenig Zeit zum Lösen eingeräumt, Sie sollten diese also nicht mit etwas verschwenden, das Sie lernen und sich einfach merken können.

Zinsübertragung

Auch die Umrechnung von Prozentsätzen in Dezimalzahlen ist recht einfach. Der Unterricht beginnt in der 5. Klasse, in manchen Schulen sogar schon früher. Aber wenn Ihr Kind dieses Thema im Mathematikunterricht nicht verstanden hat, können Sie es ihm noch einmal anschaulich erklären. Zunächst sollten Sie die Definition eines Prozentsatzes lernen.

Ein Prozentsatz ist ein Hundertstel einer Zahl; er ist also völlig willkürlich. Beispielsweise wird aus 100 1 und so weiter.

Abbildung 7 zeigt ein anschauliches Beispiel für die Zinsumrechnung.

Um einen Prozentsatz umzurechnen, müssen Sie lediglich das %-Zeichen entfernen und ihn dann durch 100 dividieren.

Ein weiteres Beispiel ist in Abbildung 8 dargestellt.

Wenn Sie eine umgekehrte „Konvertierung“ durchführen müssen, müssen Sie genau umgekehrt vorgehen. Mit anderen Worten: Die Zahl muss mit einhundert multipliziert und dann ein Prozentzeichen hinzugefügt werden.

Und um das Übliche in Prozente umzurechnen, können Sie auch dieses Beispiel nutzen. Sie sollten den Bruch zunächst nur in eine Zahl und dann erst in einen Prozentsatz umwandeln.

Anhand des oben Gesagten können Sie das Prinzip der Übersetzung leicht verstehen. Mit diesen Methoden können Sie einem Kind ein Thema erklären, wenn es es nicht verstanden hat oder zum Zeitpunkt des Unterrichts nicht im Unterricht anwesend war.

Und es wird nie nötig sein, einen Nachhilfelehrer zu engagieren, der Ihrem Kind erklärt, wie man einen Bruch in eine Zahl oder einen Prozentsatz umwandelt.

Ein Bruch kann in eine ganze Zahl oder eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Ein unechter Bruch, dessen Zähler größer als der Nenner ist und durch ihn ohne Rest teilbar ist, wird in eine ganze Zahl umgewandelt, zum Beispiel: 20/5. Teilen Sie 20 durch 5 und erhalten Sie die Zahl 4. Wenn der Bruch richtig ist, das heißt, der Zähler kleiner als der Nenner ist, wandeln Sie ihn in eine Zahl (Dezimalbruch) um. Weitere Informationen zu Brüchen erhalten Sie in unserer Rubrik -.

Möglichkeiten, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln

• Die erste Möglichkeit, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, eignet sich für einen Bruch, der in eine Zahl umgewandelt werden kann, die ein Dezimalbruch ist. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, ob es möglich ist, den angegebenen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln. Achten wir dazu auf den Nenner (die Zahl, die unter der Linie oder rechts von der schrägen Linie steht). Wenn der Nenner faktorisiert werden kann (in unserem Beispiel 2 und 5), was wiederholt werden kann, kann dieser Bruch tatsächlich in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden. Zum Beispiel: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Dieser gemeinsame Bruch wird in eine Zahl (Dezimalzahl) mit endlich vielen Dezimalstellen umgewandelt. Aber der Bruch 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) wird in eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen umgewandelt. Das heißt, bei der genauen Berechnung eines Zahlenwerts ist es ziemlich schwierig, die letzte Dezimalstelle zu bestimmen, da es unendlich viele solcher Zeichen gibt. Daher erfordert die Lösung von Problemen normalerweise das Runden des Werts auf Hundertstel oder Tausendstel. Als nächstes müssen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner mit einer solchen Zahl multiplizieren, sodass der Nenner die Zahlen 10, 100, 1000 usw. ergibt. Beispiel: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
• Die zweite Möglichkeit, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, ist einfacher: Sie müssen den Zähler durch den Nenner dividieren. Um diese Methode anzuwenden, führen wir einfach eine Division durch und die resultierende Zahl ist der gewünschte Dezimalbruch. Beispielsweise müssen Sie den Bruch 2/15 in eine Zahl umwandeln. Teilen Sie 2 durch 15. Wir erhalten 0,1333... – einen unendlichen Bruch. Wir schreiben es so: 0,13(3). Wenn der Bruch ein unechter Bruch ist, also der Zähler größer als der Nenner ist (z. B. 345/100), dann führt die Umwandlung in eine Zahl zu einem ganzzahligen Wert oder einem Dezimalbruch mit einem ganzen Bruchteil. In unserem Beispiel beträgt er 3,45. Um einen gemischten Bruch wie 3 2 / 7 in eine Zahl umzuwandeln, müssen Sie ihn zunächst in einen unechten Bruch umwandeln: (3∙7+2)/7 = 23/7. Als nächstes teilen wir 23 durch 7 und erhalten die Zahl 3,2857143, die wir auf 3,29 reduzieren.

Der einfachste Weg, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, ist die Verwendung eines Taschenrechners oder eines anderen Computergeräts. Zuerst geben wir den Zähler des Bruchs an, drücken dann die Schaltfläche mit dem „Dividieren“-Symbol und geben den Nenner ein. Nach Drücken der Taste „=“ erhalten wir die gewünschte Zahl.

Dezimalzahlen wie 0,2; 1,05; 3.017 usw. wie sie gehört werden, so werden sie geschrieben. Null Komma zwei, wir bekommen einen Bruchteil. Ein Komma fünf Hundertstel, wir bekommen einen Bruchteil. Drei Komma siebzehn Tausendstel, wir bekommen den Bruchteil. Die Zahlen vor dem Dezimalpunkt sind der ganze Teil des Bruchs. Die Zahl nach dem Komma ist der Zähler des zukünftigen Bruchs. Bei einer einstelligen Zahl nach dem Dezimalpunkt ist der Nenner 10, bei einer zweistelligen Zahl 100, bei einer dreistelligen Zahl 1000 usw. Einige resultierende Brüche können gekürzt werden. In unseren Beispielen

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Dies ist die Umkehrung der vorherigen Transformation. Was ist das Merkmal eines Dezimalbruchs? Sein Nenner ist immer 10 oder 100 oder 1000 oder 10000 und so weiter. Wenn Ihr gemeinsamer Bruch einen solchen Nenner hat, ist das kein Problem. Zum Beispiel, oder

Wenn der Bruch zum Beispiel ist. In diesem Fall ist es notwendig, die Grundeigenschaft eines Bruchs zu nutzen und den Nenner in 10 oder 100 oder 1000 umzuwandeln... Wenn wir in unserem Beispiel Zähler und Nenner mit 4 multiplizieren, erhalten wir einen Bruch, der sein kann geschrieben als Dezimalzahl 0,12.

Manche Brüche lassen sich leichter dividieren als den Nenner umrechnen. Zum Beispiel,

Manche Brüche können nicht in Dezimalzahlen umgewandelt werden!
Zum Beispiel,

Einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln

Ein gemischter Bruch kann beispielsweise leicht in einen unechten Bruch umgewandelt werden. Dazu müssen Sie den ganzen Teil mit dem Nenner (unten) multiplizieren und mit dem Zähler (oben) addieren, wobei der Nenner (unten) unverändert bleibt. Also

Wenn Sie einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln, können Sie daran denken, dass Sie die Bruchaddition verwenden können

Einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln (den ganzen Teil hervorheben)

Ein unechter Bruch kann durch Markieren des ganzen Teils in einen gemischten Bruch umgewandelt werden. Schauen wir uns ein Beispiel an. Wir ermitteln, wie viele ganze Zahlen mal „3“ in „23“ passen. Oder dividieren Sie 23 durch 3 auf einem Taschenrechner, die ganze Zahl auf den Dezimalpunkt genau ist die gewünschte. Das ist „7“. Als nächstes bestimmen wir den Zähler des zukünftigen Bruchs: Wir multiplizieren die resultierende „7“ mit dem Nenner „3“ und subtrahieren das Ergebnis vom Zähler „23“. Es ist, als würden wir den Überschuss finden, der vom Zähler „23“ übrig bleibt, wenn wir den Höchstbetrag von „3“ entfernen. Den Nenner lassen wir unverändert. Alles ist erledigt, notieren Sie das Ergebnis