Jednačina M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 naziva se generalizirani homogen ako je moguće odabrati takav broj k, da lijeva strana ove jednačine postaje homogena funkcija nekog stepena m relativno x, y, dx I dy pod uslovom da x smatra se vrijednošću prve dimenzije, y – k‑ th mjerenja , dx I dy – odnosno nula i (k-1) th mjerenja. Na primjer, ovo bi bila jednadžba. (6.1)
Vrijedi pod pretpostavkama napravljenim u vezi mjerenja
x,
y,
dx
I dy
pripadnici leve strane 
I dy
će imati dimenzije -2, 2 respektivno k I
k-1. Izjednačavajući ih, dobijamo uslov koji traženi broj mora da zadovolji k:
-2 = 2k
=
k-1. Ovaj uslov je zadovoljen kada k
= -1 (sa ovim k svi članovi na lijevoj strani jednačine koja se razmatra imat će dimenziju -2). Prema tome, jednačina (6.1) je generalizovana homogena.
Generalizirana homogena jednadžba se reducira na jednadžbu s odvojivim varijablama korištenjem zamjene 
, Gdje z– nova nepoznata funkcija. Integrirajmo jednačinu (6.1) pomoću naznačene metode. Jer k
= -1, onda 
, nakon čega dobijamo jednačinu.
Integrirajući ga, nalazimo 
, gdje 
. Ovo je opšte rješenje jednačine (6.1).
§ 7. Linearne diferencijalne jednačine 1. reda.
Linearna jednačina 1. reda je jednačina koja je linearna u odnosu na željenu funkciju i njen izvod. Izgleda:
,
(7.1)
Gdje P(x)
I
Q(x)
– date kontinuirane funkcije od x.
Ako je funkcija
,
tada jednačina (7.1) ima oblik: 
(7.2)
i inače se naziva linearna homogena jednačina 
naziva se linearna nehomogena jednačina.
Linearna homogena diferencijalna jednadžba (7.2) je jednadžba sa odvojivim varijablama:
(7.3)
Izraz (7.3) je opšte rješenje jednačine (7.2). Pronaći opće rješenje jednadžbe (7.1), u kojoj je funkcija P(x) označava istu funkciju kao u jednadžbi (7.2), primjenjujemo tehniku koja se zove metoda varijacije proizvoljne konstante i sastoji se od sljedećeg: pokušat ćemo odabrati funkciju C=C(x) tako da bi opšte rješenje linearne homogene jednačine (7.2) bilo rješenje nehomogene linearne jednačine (7.1). Tada za derivaciju funkcije (7.3) dobijamo:
.
Zamjenom pronađenog izvoda u jednačinu (7.1) imat ćemo:
ili 
.
Gdje 
, Gdje 
- proizvoljna konstanta. Kao rezultat, opće rješenje nehomogene linearne jednačine (7.1) će biti (7.4) 
Prvi član u ovoj formuli predstavlja opšte rešenje (7.3) linearne homogene diferencijalne jednačine (7.2), a drugi član formule (7.4) je posebno rešenje linearne nehomogene jednačine (7.1), dobijeno iz opšte ( 7.4) sa 
. Ovaj važan zaključak ističemo u obliku teoreme.
Teorema. Ako je poznato jedno određeno rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 
, tada sva ostala rješenja imaju oblik 
, Gdje 
- opšte rješenje odgovarajuće linearne homogene diferencijalne jednadžbe.
Međutim, treba napomenuti da se za rješavanje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda (7.1) češće koristi druga metoda, koja se ponekad naziva i Bernulijeva metoda. Rješenje jednačine (7.1) tražit ćemo u obliku 
. Onda 
. Zamenimo pronađeni derivat u originalnu jednačinu: 
.
Kombinirajmo, na primjer, drugi i treći član posljednjeg izraza i izdvojimo funkciju u(x)
iza zagrade: 
(7.5)
Zahtijevamo da se zagrada poništi: 
.
Rešimo ovu jednačinu postavljanjem proizvoljne konstante C
jednako nuli: 
. Sa pronađenom funkcijom v(x)
Vratimo se na jednačinu (7.5): 
.
Rešavajući to, dobijamo: 
.
Prema tome, opšte rješenje jednačine (7.1) ima oblik.
Diferencijalne jednadžbe u generaliziranim funkcijama
Neka postoji jednačina. Ako je obična funkcija, onda je njeno rješenje antiderivat, tj. Neka je sada generalizirana funkcija.
Definicija. Generalizirana funkcija se naziva primitivnom generaliziranom funkcijom if. Ako je singularna generalizirana funkcija, onda su mogući slučajevi kada je njen antiderivat regularna generalizirana funkcija. Na primjer, antideritiv je; antiderivat je funkcija, a rješenje jednadžbe se može zapisati u obliku: , gdje.
Postoji linearna jednadžba th reda sa konstantnim koeficijentima
gdje je generalizirana funkcija. Neka je diferencijalni polinom th reda.
Definicija. Generalizirano rješenje diferencijalne jednadžbe (8) je generalizirana funkcija za koju vrijedi sljedeća relacija:
Ako je kontinuirana funkcija, onda je jedino rješenje jednadžbe (8) klasično rješenje.
Definicija. Osnovno rješenje jednačine (8) je svaka generalizirana funkcija takva da.
Greenova funkcija je osnovno rješenje koje zadovoljava granični, početni ili asimptotski uvjet.
Teorema. Rješenje jednačine (8) postoji i ima oblik:
osim ako je konvolucija definirana.
Dokaz. Zaista, . Prema svojstvu konvolucije slijedi: .
Lako je vidjeti da je osnovno rješenje ove jednačine, pošto
Svojstva generalizovanih izvoda
Operacija diferencijacije je linearna i kontinuirana od do:
u, ako je u;
Svaka generalizirana funkcija je beskonačno diferencibilna. Zaista, ako, onda; zauzvrat, itd.;
Rezultat diferencijacije ne zavisi od redosleda diferencijacije. Na primjer, ;
Ako i, tada vrijedi Leibnizova formula za diferencijaciju proizvoda. Na primjer, ;
Ako je to generalizirana funkcija, onda;
Ako se niz sastavljen od lokalno integrabilnih funkcija ravnomjerno konvergira na svakom kompaktnom skupu, tada se može diferencirati pojam po član bilo koji broj puta (kao generalizirana funkcija), a rezultirajući niz će konvergirati.
Primjer. Neka
Funkcija se zove Heaviside funkcija ili funkcija jedinice. Ona je lokalno integrabilna i stoga se može smatrati generaliziranom funkcijom. Možete pronaći njegov derivat. Prema definiciji, tj. .
Generalizirane funkcije koje odgovaraju kvadratnim oblicima s kompleksnim koeficijentima
Do sada su razmatrani samo kvadratni oblici sa realnim koeficijentima. U ovom dijelu proučavamo prostor svih kvadratnih oblika sa kompleksnim koeficijentima.
Zadatak je odrediti generaliziranu funkciju, gdje je kompleksan broj. Međutim, u opštem slučaju neće postojati jedinstvena analitička funkcija. Stoga se u prostoru svih kvadratnih oblika izoluje „gornja poluravnina“ kvadratnih oblika s pozitivno određenim imaginarnim dijelom i za njih se određuje funkcija. Naime, ako kvadratni oblik pripada ovoj “poluravni”, onda se pretpostavlja da je gdje. Takva funkcija je jedinstvena analitička funkcija.
Sada možemo povezati funkciju s generaliziranom funkcijom:
gdje se integracija vrši po cijelom prostoru. Integral (13) konvergira na i je analitička funkcija od u ovoj poluravni. Nastavljajući ovu funkciju analitički, određuje se funkcional za druge vrijednosti.
Za kvadratne oblike s pozitivno određenim imaginarnim dijelom, pronalaze se singularne točke funkcija i izračunavaju se ostaci tih funkcija u singularnim točkama.
Generalizirana funkcija analitički zavisi ne samo od, već i od koeficijenata kvadratnog oblika. Dakle, to je analitička funkcija u gornjoj “poluravni” svih kvadratnih oblika forme gdje postoji pozitivno određen oblik. Posljedično, on je jedinstveno određen svojim vrijednostima na "imaginarnoj poluosi", odnosno na skupu kvadratnih oblika forme, gdje je pozitivno određen oblik.
Klikom na dugme "Preuzmi arhivu" potpuno besplatno preuzimate datoteku koja vam je potrebna.
Prije nego što preuzmete ovu datoteku, razmislite o onim dobrim esejima, testovima, seminarskim radovima, disertacijama, člancima i drugim dokumentima koji se ne traže na vašem računalu. Ovo je vaš rad, on treba da učestvuje u razvoju društva i da koristi ljudima. Pronađite ove radove i pošaljite ih u bazu znanja.
Mi i svi studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu bićemo vam veoma zahvalni.
Da preuzmete arhivu sa dokumentom, unesite petocifreni broj u polje ispod i kliknite na dugme "Preuzmi arhivu"
Slični dokumenti
Cauchy problemi za diferencijalne jednadžbe. Grafikon rješenja diferencijalne jednadžbe prvog reda. Jednačine sa odvojivim varijablama i svođenje na homogenu jednačinu. Homogene i nehomogene linearne jednadžbe prvog reda. Bernulijeva jednačina.
predavanje, dodano 18.08.2012
Osnovni pojmovi teorije običnih diferencijalnih jednadžbi. Predznak jednadžbe u totalnim diferencijalima, konstrukcija općeg integrala. Najjednostavniji slučajevi pronalaženja integrirajućeg faktora. Slučaj množitelja koji zavisi samo od X i samo od Y.
kurs, dodan 24.12.2014
Osobine diferencijalnih jednadžbi kao odnosa između funkcija i njihovih izvoda. Dokaz teoreme postojanja i jedinstvenosti rješenja. Primjeri i algoritam za rješavanje jednadžbi u totalnim diferencijalima. Integrirajući faktor u primjerima.
kurs, dodato 11.02.2014
Riccati diferencijalne jednadžbe. Opće rješenje linearne jednačine. Pronalaženje svih mogućih rješenja Bernoullijeve diferencijalne jednadžbe. Rješavanje jednadžbi sa odvojivim varijablama. Opća i specijalna rješenja Clairautove diferencijalne jednadžbe.
kurs, dodato 26.01.2015
Jednadžba sa odvojivim varijablama. Homogene i linearne diferencijalne jednadžbe. Geometrijska svojstva integralnih krivulja. Potpuni diferencijal funkcije dvije varijable. Određivanje integrala Bernoullijevim metodama i varijacije proizvoljne konstante.
sažetak, dodan 24.08.2015
Pojmovi i rješenja najjednostavnijih diferencijalnih jednadžbi i diferencijalnih jednadžbi proizvoljnog reda, uključujući i one sa konstantnim analitičkim koeficijentima. Sistemi linearnih jednačina. Asimptotičko ponašanje rješenja nekih linearnih sistema.
teza, dodana 10.06.2010
Opšti integral jednadžbe, primjena Lagrangeove metode za rješavanje nehomogene linearne jednadžbe s nepoznatom funkcijom. Rješavanje diferencijalne jednadžbe u parametarskom obliku. Ojlerov uslov, jednačina prvog reda u totalnim diferencijalima.
test, dodano 11.02.2011
Diferencijalne jednadžbe 1. reda sa odvojivim varijablama.
Definicija. Diferencijalna jednadžba sa odvojivim varijablama je jednačina oblika (3.1) ili jednačina oblika (3.2)
Da bi se odvojile varijable u jednačini (3.1), tj. svesti ovu jednačinu na takozvanu jednačinu odvojene varijable, uradite sljedeće: 
;
Sada treba da rešimo jednačinu g(y)= 0. Ako ima pravo rješenje y=a, To y=aće također biti rješenje jednačine (3.1).
Jednačina (3.2) se svodi na odvojenu jednačinu dijeljenjem sa umnoškom:
, što nam omogućava da dobijemo opšti integral jednačine (3.2): 
. (3.3)
Integralne krive (3.3) će biti dopunjene rješenjima 
, ako takva rješenja postoje.
Homogene diferencijalne jednadžbe 1. reda.
Definicija 1. Jednačina prvog reda naziva se homogenom ako njena desna strana zadovoljava relaciju 
, nazvan uslov homogenosti funkcije dvije varijable nulte dimenzije.
Primjer 1. Pokazati da je funkcija homogena nulte dimenzije.
Rješenje. 
,
Q.E.D.
Teorema. Svaka funkcija je homogena i, obrnuto, svaka homogena funkcija nulte dimenzije svodi se na oblik .
Dokaz. Prva izjava teoreme je očigledna, jer . Dokažimo drugu tvrdnju. Stavimo onda za homogenu funkciju 
, što je trebalo dokazati.
Definicija 2. Jednačina (4.1) u kojoj M I N– homogene funkcije istog stepena, tj. imaju svojstvo za sve, koje se nazivaju homogeno. Očigledno, ova jednačina se uvijek može svesti na oblik (4.2), iako to možda nije potrebno za njeno rješavanje. Homogena jednadžba se svodi na jednadžbu s odvojivim varijablama zamjenom željene funkcije y prema formuli y=zx, Gdje z(x)– nova potrebna funkcija. Nakon što smo izvršili ovu zamjenu u jednačini (4.2), dobijamo: ili ili .
Integracijom dobijamo opšti integral jednačine u odnosu na funkciju z(x) 
, koji nakon ponovljene zamjene daje opći integral originalne jednačine. Osim toga, ako su korijeni jednadžbe, tada su funkcije rješenja homogene date jednadžbe. Ako je , tada jednačina (4.2) poprima oblik
I postaje jednačina sa odvojivim varijablama. Njegova rješenja su poludirektna: .
Komentar. Ponekad je preporučljivo koristiti zamjenu umjesto gornje zamjene x=zy.
Uopštena homogena jednačina.
Jednačina M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 naziva se generalizirani homogen ako je moguće odabrati takav broj k, da lijeva strana ove jednačine postaje homogena funkcija nekog stepena m relativno x, y, dx I dy pod uslovom da x smatra se vrijednošću prve dimenzije, y – k‑ th mjerenja ,dx I dy – odnosno nula i (k-1) th mjerenja. Na primjer, ovo bi bila jednadžba 
. (6.1) Vrijedi pod pretpostavkom koja se odnosi na mjerenja x, y, dx I dy pripadnici lijeve strane i dyće imati dimenzije -2, 2 respektivno k I k-1. Izjednačavajući ih, dobijamo uslov koji traženi broj mora da zadovolji k: -2 = 2k=k-1. Ovaj uslov je zadovoljen kada k= -1 (sa ovim k svi članovi na lijevoj strani jednačine koja se razmatra imat će dimenziju -2). Prema tome, jednačina (6.1) je generalizovana homogena.
def 1 DU tip
pozvao homogena diferencijalna jednadžba prvog reda(ODU).
Th 1 Neka su za funkciju ispunjeni sljedeći uvjeti:
1) kontinuirano na
Tada ODE (1) ima opšti integral, koji je dat formulom:
gdje je neki antiderivat funkcije With je proizvoljna konstanta.
Napomena 1 Ako je za neke ispunjen uslov, onda u procesu rješavanja ODE (1) rješenja oblika mogu biti izgubljena; takvi slučajevi se moraju pažljivije tretirati i svaki od njih posebno provjeriti.
Dakle, iz teoreme Th1 trebalo bi opšti algoritam za rješavanje ODE (1):
1) Napravite zamjenu:
2) Tako će se dobiti diferencijalna jednačina sa odvojivim varijablama, koju treba integrisati;
3) Povratak na stare varijable;
4) Provjerite vrijednosti za njihovu uključenost u rješenje originalni daljinski, pod kojim će uslov biti zadovoljen
5) Zapišite odgovor.
Primjer 1 Riješite DE (4).
Rješenje: DE (4) je homogena diferencijalna jednadžba, jer ima oblik (1). Napravimo promjenu (3), ovo će dovesti jednačinu (4) u oblik:
Jednačina (5) je opći integral DE (4).
Imajte na umu da pri odvajanju varijabli i dijeljenju sa, rješenja mogu biti izgubljena, ali ovo nije rješenje za DE (4), što se lako provjerava direktnom zamjenom u jednakost (4), budući da ova vrijednost nije uključena u domenu definicije originalnog DE.
odgovor:
Napomena 2 Ponekad možete napisati ODE u terminima diferencijala varijabli X I u. Preporučljivo je preći sa ove oznake daljinskog upravljača na izraz kroz izvod i tek onda izvršiti zamjenu (3).
Diferencijalne jednadžbe svedene na homogene.
def 2 Funkcija se poziva homogena funkcija stepena k u oblasti, za koje će biti zadovoljena jednakost:
Evo najčešćih tipova diferencijalnih jednadžbi koje se mogu svesti na oblik (1) nakon različitih transformacija.
1) gdje je funkcija je homogena, stepen nula, odnosno vrijedi jednakost: DE (6) se lako svodi na oblik (1), ako stavimo , koji se dalje integrira zamjenom (3).
2) (7), gdje su funkcije homogene istog stepena k . DE oblika (7) je također integriran korištenjem supstitucije (3).
Primjer 2 Riješite DE (8).
Rješenje: Pokažimo da je DE (8) homogen. Podijelimo s onim što je moguće, jer to nije rješenje za DE (8).
Napravimo promjenu (3), ovo će dovesti jednačinu (9) u oblik:
Jednačina (10) je opći integral DE (8).
Imajte na umu da prilikom odvajanja varijabli i dijeljenja sa, rješenja koja odgovaraju vrijednostima i mogu biti izgubljena. Provjerimo ove izraze. Zamijenimo ih u DE (8):
odgovor:
Zanimljivo je napomenuti da se prilikom rješavanja ovog primjera pojavljuje funkcija koja se zove “znak” broja X(čita " signum x"), definisan izrazom:
Napomena 3 Svođenje DE (6) ili (7) na oblik (1) nije potrebno; ako je očigledno da je DE homogen, možete odmah izvršiti zamjenu
3) DE oblika (11) je integriran kao ODE ako je , a zamjena se inicijalno izvodi:
(12), gdje je rješenje sistema: (13), a zatim koriste zamjenu (3) za funkciju. Nakon što dobiju opći integral, vraćaju se na varijable X I at.
Ako , onda, uz pretpostavku u jednačini (11), dobijamo diferencijalnu jednačinu sa odvojivim varijablama.
Primjer 3 Riješite Cauchyjev problem (14).
Rješenje: Pokažimo da je DE (14) reduciran na homogeni DE i integrisan prema gornjoj šemi:
Rešimo nehomogeni sistem linearnih algebarskih jednadžbi (15) koristeći Cramerovu metodu:
Napravimo promjenu varijabli i integrirajmo rezultirajuću jednačinu:
(16) – Opšti integral DE (14). Prilikom razdvajanja varijabli rješenja mogu biti izgubljena pri dijeljenju izrazom, koji se može dobiti eksplicitno nakon rješavanja kvadratne jednadžbe. Međutim, oni su uzeti u obzir u općem integralu (16) na
Nađimo rješenje za Cauchyjev problem: zamijenimo vrijednosti i u opći integral (16) i pronađemo With.
Dakle, parcijalni integral će biti dat formulom:
odgovor:
4) Moguće je svesti neke diferencijalne jednadžbe na homogene za novu, još nepoznatu funkciju ako primijenimo zamjenu oblika:
U ovom slučaju broj m se bira iz uslova da rezultirajuća jednačina, ako je moguće, postane homogena do nekog stepena. Međutim, ako se to ne može učiniti, onda se razmatrana DE ne može na ovaj način svesti na homogenu.
Primjer 4 Riješi DE. (18)
Rješenje: Pokažimo da je DE (18) reduciran na homogeni DE upotrebom supstitucije (17) i dalje integrisan korišćenjem supstitucije (3):
Hajde da nađemo sa:
Dakle, određeno rješenje DE (24) ima oblik
