В тази статия ще анализираме много подробно дефиницията на числовия кръг, ще разберем основното му свойство и ще подредим числата 1,2,3 и т.н. За това как да маркирате други числа в кръга (например \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) разбира .
Цифров кръг наречен кръг с единичен радиус, чиито точки съответстват , подредени по следните правила:
1) Началото е в крайната дясна точка на окръжността;
2) Обратно на часовниковата стрелка - положителна посока; по часовниковата стрелка – отрицателно;
3) Ако нанесем разстоянието \(t\) върху окръжността в положителна посока, тогава ще стигнем до точка със стойност \(t\);
4) Ако начертаем разстоянието \(t\) върху окръжността в отрицателна посока, тогава ще стигнем до точка със стойност \(–t\).
Защо кръгът се нарича числов кръг?
Защото има цифри. По този начин кръгът е подобен на числовата ос - върху кръга, както и върху оста, има определена точка за всяко число.
Защо да знаете какво е кръг с числа?
С помощта на числовия кръг се определят стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите. Ето защо, за да знаете тригонометрията и да издържите Единния държавен изпит с 60+ точки, трябва да разберете какво е числов кръг и как да поставите точки върху него.
Какво означават думите „...с единичен радиус...“ в определението?
Това означава, че радиусът на тази окръжност е равен на \(1\). И ако построим такава окръжност с център в началото, тогава тя ще се пресича с осите в точки \(1\) и \(-1\).
Не е необходимо да се рисува малко; можете да промените „размера“ на разделенията по осите, тогава картината ще бъде по-голяма (вижте по-долу).
Защо радиусът е точно единица? Това е по-удобно, защото в този случай при изчисляване на обиколката по формулата \(l=2πR\) получаваме:
Дължината на числовата окръжност е \(2π\) или приблизително \(6,28\).
Какво означава „...чиито точки съответстват на реални числа“?
Както казахме по-горе, в числовия кръг за всяко реално число определено ще има неговото „място“ - точка, която съответства на това число.
Защо да определяте началото и посоката върху числовата окръжност?
Основната цел на числовата окръжност е еднозначно да определи своята точка за всяко число. Но как можете да определите къде да поставите точката, ако не знаете откъде да броите и накъде да се движите?
Тук е важно да не бъркате началото на координатната линия и на числовата окръжност - това са две различни референтни системи! И също така не бъркайте \(1\) на оста \(x\) и \(0\) на окръжността - това са точки върху различни обекти.
Кои точки съответстват на числата \(1\), \(2\) и т.н.?
Не забравяйте, че предположихме, че числовата окръжност има радиус \(1\)? Това ще бъде нашата единична отсечка (по аналогия с числовата ос), която ще начертаем върху окръжността.
За да маркирате точка в числовия кръг, съответстващ на числото 1, трябва да преминете от 0 до разстояние, равно на радиуса в положителната посока.
За да маркирате точка в окръжността, съответстваща на числото \(2\), трябва да изминете разстояние, равно на два радиуса от началото, така че \(3\) да е разстояние, равно на три радиуса и т.н.
Когато гледате тази снимка, може да имате 2 въпроса:
1. Какво се случва, когато кръгът „свърши“ (т.е. направим пълен оборот)?
Отговор: да отидем на втори кръг! И когато вторият свърши, ще отидем на третия и така нататък. Следователно безкраен брой числа могат да бъдат нанесени върху кръг.
2. Къде ще бъдат отрицателните числа?
Отговор: точно там! Те също могат да бъдат подредени, като се брои от нула необходимия брой радиуси, но вече в отрицателна посока.
За съжаление е трудно да се обозначат цели числа върху числовата окръжност. Това се дължи на факта, че дължината на числовата окръжност няма да бъде равна на цяло число: \(2π\). И на най-удобните места (в точките на пресичане с осите) също ще има дроби, а не цели числа
Видео уроците са сред най-ефективните инструменти за преподаване, особено по училищни предмети като математика. Ето защо авторът на този материал е събрал само полезна, важна и компетентна информация в едно цяло.
Този урок е с продължителност 11:52 минути. Почти толкова време отнема учителят да обясни нов материал по дадена тема в клас. Въпреки че основното предимство на видео урока ще бъде фактът, че учениците ще слушат внимателно това, за което говори авторът, без да се разсейват от странични теми и разговори. В крайна сметка, ако учениците не слушат внимателно, те ще пропуснат важна точка от урока. И ако учителят сам обяснява материала, тогава учениците му лесно могат да отвлекат вниманието от основното с разговорите си по абстрактни теми. И, разбира се, става ясно кой метод ще бъде по-рационален.
Авторът посвещава началото на урока на повтаряне на тези функции, с които учениците са били запознати по-рано в курса по алгебра. И първите, които започват да изучават, са тригонометричните функции. За тяхното разглеждане и изследване е необходим нов математически модел. И този модел става числовата окръжност, което е точно това, което е посочено в темата на урока. За целта се въвежда понятието единична окръжност и се дава нейното определение. По-нататък на фигурата авторът показва всички компоненти на такъв кръг и какво ще бъде полезно за учениците за по-нататъшно обучение. Дъгите показват четвъртинки.
След това авторът предлага да се разгледа числовият кръг. Тук той прави забележката, че е по-удобно да се използва единична окръжност. Тази окръжност показва как се получава точка М, ако t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
След това авторът напомня на учениците как да намерят обиколката на кръг. И след това извежда дължината на единичната окръжност. Предлага се тези теоретични данни да се приложат на практика. За да направите това, помислете за пример, в който трябва да намерите точка в кръг, която съответства на определени числови стойности. Решението на примера е придружено от илюстрация под формата на картина, както и необходимите математически обозначения.
Според условието на втория пример е необходимо да се намерят точки върху числовата окръжност. И тук цялото решение е придружено от коментари, илюстрации и математически обозначения. Това допринася за развитието и подобряването на математическата грамотност на учениците. Третият пример е конструиран по подобен начин.
След това авторът отбелязва онези числа в кръга, които се срещат по-често от други. Тук той предлага да се направят два модела на числов кръг. Когато и двата оформления са готови, се разглежда следващият, четвърти пример, където трябва да намерите точка от числовия кръг, съответстваща на числото 1. След този пример се формулира твърдение, според което можете да намерите точката M, съответстваща на числото t.
След това се въвежда забележка, според която учениците научават, че числото „пи“ съответства на всички числа, които попадат в дадена точка, когато тя премине цялата окръжност. Тази информация се подкрепя от петия пример. Неговото решение съдържа логически правилни разсъждения и рисунки, илюстриращи ситуацията.
ДЕКОДИРАНЕ НА ТЕКСТ:
ЦИФРОВ КРЪГ
Преди това изучавахме функции, дефинирани от аналитични изрази. И тези функции бяха наречени алгебрични. Но в училищния курс по математика се изучават функции от други класове, а не алгебрични. Нека започнем да изучаваме тригонометричните функции.
За да въведем тригонометричните функции, се нуждаем от нов математически модел - числовата окръжност. Нека разгледаме единичната окръжност. Кръг, чийто радиус е равен на сегмента на скалата, без да се посочват конкретни мерни единици, ще се нарича единица. Радиусът на такава окръжност се счита за равен на 1.
Ще използваме единична окръжност, в която са начертани хоризонталните и вертикалните диаметри CA и DB (ce a и de be) (вижте Фигура 1).
Ще наречем дъга AB първа четвърт, дъга BC втора четвърт, дъга CD трета четвърт и дъга DA четвърта четвърт.
Помислете за числовия кръг. Като цяло всяка окръжност може да се разглежда като числова окръжност, но е по-удобно да се използва единичната окръжност за тази цел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дадена е единична окръжност, върху която е отбелязана началната точка А - десният край на хоризонталния диаметър. Нека свържем всяко реално число t (te) с точка от окръжността съгласно следното правило:
1) Ако t>0 (te е по-голямо от нула), тогава, движейки се от точка A в посока, обратна на часовниковата стрелка (положителна посока на окръжността), ние описваме път AM (a em) с дължина t по окръжността. Точка M ще бъде желаната точка M(t) (em от te).
2) Ако t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) Нека присвоим точка A на числото t = 0.
Единична окръжност с установено съответствие (между реални числа и точки от окръжността) ще наричаме числова окръжност.
Известно е, че обиколката L (el) се изчислява по формулата L = 2πR (el е равно на два пиера), където π≈3,14, R е радиусът на окръжността. За единична окръжност R=1 cm, това означава L=2π≈6,28 cm (el е равно на две pi приблизително 6,28).
Нека да разгледаме примерите.
ПРИМЕР 1. Намерете точка в числовата окръжност, която съответства на даденото число: ,.(пи по две, пи, три пи по две, две пи, единадесет пи по две, седем пи, минус пет пи по две)
Решение. Първите шест числа са положителни, следователно, за да намерите съответните точки на окръжността, трябва да изминете път с дадена дължина по окръжността, движейки се от точка А в положителна посока. Дължината на всяка четвърт от единична окръжност е равна. Това означава AB =, т.е. точка B съответства на числото (виж фиг. 1). AC = , тоест точка C отговаря на числото AD = , тоест точка D отговаря на числото И точка A отново отговаря на числото, защото след като извървяхме пътека по кръга, се озовахме в началната точка А.
Нека помислим къде ще се намира точката. Тъй като вече знаем каква е дължината на окръжността, ще я намалим до формата (четири пи плюс три пи по две). Тоест, движейки се от точка А в положителна посока, трябва да опишете два пъти цял кръг (път с дължина 4π) и допълнително път с дължина, който завършва в точка D.
Какво стана? Това е 3∙2π + π (три по две пи плюс пи). Това означава, че движейки се от точка А в положителна посока, трябва да опишете три пъти цял кръг и допълнително път с дължина π, който ще завърши в точка С.
За да намерите точка от числовата окръжност, която съответства на отрицателно число, трябва да изминете от точка А по окръжността в отрицателна посока (по посока на часовниковата стрелка) път с дължина и това съответства на 2π +. Този път ще завърши в точка D.
ПРИМЕР 2. Намерете точки в числовата окръжност (пи по шест, пи по четири, пи по три).
Решение. Разделяйки дъга AB наполовина, получаваме точка E, която съответства. И разделяйки дъгата AB на три равни части с точки F и O, получаваме, че точка F съответства, а точка T съответства
(виж фигура 2).
ПРИМЕР 3. Намерете точки в числовата окръжност (минус тринадесет пи по четири, деветнадесет пи по шест).
Решение. Отлагайки дъгата AE (a em) с дължина (pi на четири) от точка A тринадесет пъти в отрицателна посока, получаваме точка H (ash) - средата на дъгата BC.
Отлагайки дъга AF с дължина (pi на шест) от точка A деветнадесет пъти в положителна посока, стигаме до точка N (en), която принадлежи към третата четвърт (дъга CD) и CN е равно на третата част от дъга CD (se de).
(вижте фигура пример 2).
Най-често трябва да търсите точки върху числовия кръг, които съответстват на числата (пи по шест, пи по четири, пи по три, пи по две), както и такива, които са кратни на тях, тоест (седем пи по шест, пет пи по четири, четири пи по три, единадесет пи по две). Ето защо, за да се ориентирате бързо, препоръчително е да направите две оформления на числовия кръг.
На първото оформление всяка от четвъртините на числовия кръг ще бъде разделена на две равни части и близо до всяка от получените точки ще напишем техните „имена“:
На второто оформление всяка от четвъртините е разделена на три равни части и близо до всяка от получените дванадесет точки записваме техните „имена“:
Ако се движим по посока на часовниковата стрелка, ще получим същите „имена“ за точките на чертежите, само че със стойност минус. За първото оформление:
По същия начин, ако се движите по второто оформление по посока на часовниковата стрелка от точка O.
ПРИМЕР 4. Намерете точки на числовата окръжност, които съответстват на числата 1 (едно).
Решение. Знаейки, че π≈3,14 (pi е приблизително равно на три цяло и четиринадесет стотни), ≈ 1,05 (pi по три е приблизително равно на една цяло и пет стотни), ≈ 0,79 (pi по четири е приблизително равно на нула цяло и седемдесет и девет стотни). означава,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
Вярно е следното твърдение: ако точка M от числовата окръжност съответства на число t, тогава тя съответства на всяко число от вида t + 2πк(te плюс две pi ka), където ka е всяко цяло число и kϵ З(ka принадлежи на Zet).
Използвайки това твърдение, можем да заключим, че точката съответства на всички точки от формата t =+ 2πk (te е равно на pi по три плюс два пика), където kϵZ ( ka принадлежи на zet), а на точката (пет pi по четири) - точки от формата t = + 2πk (te е равно на пет pi по четири плюс две pi ka), където kϵZ ( ka принадлежи на zet) и т.н.
ПРИМЕР 5. Намерете точката върху числовата окръжност: а) ; б) .
Решение. а) Имаме: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π. (двадесет пи по три е равно на двадесет по три пи е равно на шест плюс две трети, умножено по пи е равно на шест пи плюс две пи по три равно две пи по три плюс три по две пи).
Това означава, че числото съответства на същата точка от числовата окръжност като числото (това е втората четвърт) (вижте второто оформление на фиг. 4).
б) Имаме: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4).(минус тридесет и пет пи по четири е равно на минус осем плюс три четвърти по пи е равно на минус три пи по четири плюс две пи по минус четири ). Това означава, че числото съответства на същата точка от числовата окръжност като числото
В този урок ще си припомним определението за числова ос и ще дадем ново определение за числова окръжност. Също така ще разгледаме подробно важно свойство на числовата окръжност и важните точки на окръжността. Нека да дефинираме преките и обратните задачи за числовата окръжност и да решим няколко примера за такива задачи.
Тема: Тригонометрични функции
Урок: Цифров кръг
За всяка функция независимият аргумент се отлага или от числова линия, или на кръг. Нека характеризираме както числовата линия, така и числов кръг.
Правата линия става числова (координатна) линия, ако се маркира началото на координатите и се изберат посоката и мащаба (фиг. 1).
Числовата ос установява взаимно еднозначно съответствие между всички точки на правата и всички реални числа.
Например, вземаме число и го поставяме на координатната ос, получаваме точка Вземаме число и го поставяме на оста, получаваме точка (фиг. 2).
И обратното, ако вземем произволна точка от координатната права, тогава на нея съответства уникално реално число (фиг. 2).
Хората не стигнаха до такава кореспонденция веднага. За да разберем това, нека си спомним основните числови множества.
Първо въведохме набор от естествени числа
След това набор от цели числа 
Набор от рационални числа
Предполагаше се, че тези набори ще бъдат достатъчни и че ще има съответствие едно към едно между всички рационални числа и точки на права. Но се оказа, че на числовата ос има безброй точки, които не могат да бъдат описани с числа от формата
Пример е хипотенузата на правоъгълен триъгълник с катети 1 и 1. Тя е равна (фиг. 3).
Сред набора от рационални числа има ли число, точно равно на Не, няма. Нека докажем този факт.
Нека го докажем от противното. Да приемем, че има дроб, равна на т.е.
След това повдигаме на квадрат двете страни Очевидно дясната страна на равенството се дели на 2, . Това означава и тогава Но тогава и А означава Тогава се оказва, че дробта е съкратима. Това противоречи на условието, което означава
Числото е ирационално. Множеството от рационални и ирационални числа образува множеството от реални числа 
Ако вземем произволна точка от права, на нея ще отговаря някакво реално число. И ако вземем произволно реално число, ще има една точка, съответстваща на него на координатната права.
Нека изясним какво е числова окръжност и какви са връзките между множеството от точки на окръжността и множеството от реални числа.
Произход - точка А. Посока на броене - обратно на часовниковата стрелка - положително, по посока на часовниковата стрелка - отрицателно. Мащаб - обиколка (фиг. 4).
Въвеждайки тези три разпоредби, имаме числов кръг. Ще посочим как да поставим точка върху окръжност на всяко число и обратно.
Чрез задаване на броя получаваме точка на окръжността
Всяко реално число съответства на точка от окръжността.Ами обратното?
Точката съответства на числото. И ако вземем числа, всички тези числа имат само една точка в изображението си върху кръга
Например, съответства на точката б(фиг. 4).
Нека вземем всички числа, всички отговарят на точката. б.Няма еднозначно съответствие между всички реални числа и точки в окръжност.
Ако има фиксирано число, тогава само една точка от кръга съответства на него
Ако има точка на кръг, тогава има набор от числа, съответстващи на нея
За разлика от правата линия, координатната окръжност няма еднозначно съответствие между точки и числа. Всяко число отговаря само на една точка, но всяка точка отговаря на безкраен брой числа и можем да ги запишем.
Нека да разгледаме основните точки на кръга.
Дадено е число, намерете на коя точка от кръга съответства то.
Разделяйки дъгата наполовина, получаваме точка (фиг. 5).
Обратна задача: дадена точка в средата на дъга, намерете всички реални числа, които й съответстват.
Нека маркираме всички кратни дъги върху числовата окръжност (фиг. 6).
Дъги, кратни на
Дадено е число.Трябва да намерите съответната точка.
Обратна задача - дадена точка трябва да намерите на кои числа отговаря тя.
Разгледахме две стандартни задачи в две критични точки.
а) Намерете точка върху числовата окръжност с координата
Закъснение от точката Атова са два цели оборота и още една половина и получаваме точка М- това е средата на третата четвърт (фиг. 8).
Отговор. Точка М- средата на третото тримесечие.
б) Намерете точка върху числовата окръжност с координата
Закъснение от точката Апълен ход и пак получаваме точка н(фиг. 9).
Отговор: Точка не през първото тримесечие.
Разгледахме числовата ос и числовата окръжност и си припомнихме характеристиките им. Особеност на числовата линия е взаимно-еднозначното съответствие между точките на тази линия и множеството от реални числа. В кръга няма такава кореспонденция едно към едно. Всяко реално число в кръга съответства на една точка, но всяка точка в кръга с числа съответства на безкраен брой реални числа.
В следващия урок ще разгледаме числовата окръжност в координатната равнина.
Списък с препратки по темата "Цифров кръг", "Точка върху кръг"
1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за общообразователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика) - М.: Просвещение, 1996.
4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено изучаване на алгебра и математически анализ.-М .: Образование, 1997.
5. Колекция от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави) - М.: Висше училище, 1992 г.
6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К.: А.С.К., 1997г.
7. Саакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми по алгебра и принципи на анализ (наръчник за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции) - М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани Математика.-М .: Образование, 2006.
Домашна работа
Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.
Допълнителни уеб ресурси
3. Образователен портал за подготовка за изпити ().
Име на предмета Алгебра и началото на математическия анализ
Клас 10
UMK Алгебра и начало на математическия анализ, 10-11 клас. В 2 . Част 1. Учебник за общообразователни институции (основно ниво) / A.G. Мордкович. – 10-то издание, ст. – М.: Мнемозина, 2012. Част 2. Проблемник за образователни институции (основно ниво) /[ А.Г. Мордкович и др.]; редактиран от А.Г. Мордкович. – 10-то издание, ст. – М.: Мнемозина, 2012.
Ниво на обучение. База
Тема на урока Цифров кръг (2 часа)
Урок 1
Мишена: въведе понятието числова окръжност като модел на криволинейна координатна система.
Задачи : да се развие способността да се използва числовият кръг при решаване на задачи.
Планирани резултати:
По време на часовете
Организиране на времето.
2. Проверка на домашните, които са затруднили учениците
II. Устна работа.
1. Свържете всеки интервал на числовата ос с неравенство и аналитичен запис за интервала. Въведете данните в таблицата.
А (– ; –5] д (–5; 5)
б [–5; 5] д (– ; –5)
IN [–5; + ) И [–5; 5)
Ж (–5; 5] З (–5; + )
1 –5 < х < 5 5 –5 х 5
2 х –5 6 х –5
3 –5 < х 5 7 5 х < 5
4 х < –5 8 х > –5
А1. За разлика от изследваната числова ос, числовата окръжност е по-сложен модел. Концепцията за дъга, която лежи в основата му, не е надеждно разработена в геометрията.
2 . Работа с учебника . Нека да разгледаме практически пример с. 23–24 учебник (писта за бягане на стадион). Можете да помолите учениците да дадат подобни примери (движение на сателит в орбита, въртене на зъбно колело и т.н.).
3. Обосноваваме удобството на използването на единичната окръжност като числова.
4. Работа с учебника. Нека разгледаме примери от стр. 25–31 учебник. Авторите подчертават, че за успешното овладяване на модела на числовата окръжност както в учебника, така и в учебника е предвидена система от специални „дидактически игри“. Има шест от тях, в този урок ще използваме първите четири.
(Мордкович А. Г. M79 Алгебра и началото на математическия анализ. 10-11 клас (основно ниво): методическо ръководство за учители / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М.: Мнемосина, 2010. - 202 с. : аз ще.)
1-ва "игра" – изчисляване на дължината на дъгата на единична окръжност. Учениците трябва да свикнат с факта, че дължината на целия кръг е 2 , половин кръг – , четвърт кръг –и т.н.
2-ра "игра" – намиране на точки от числовата окръжност, съответстващи на дадени числа, изразени в дроби от числото
например точки 
и т.н. („добри“ числа и точки).
3-та "игра" – намиране на точки от числовата окръжност, които съответстват на дадени числа, неизразени в дроби от числото например точки М (1), М (–5) и т.н. („лоши“ числа и точки).
4-та "игра" – записване на числа, съответстващи на дадена „добра“ точка от числовата окръжност, например средата на първата четвърт е „добра“, числата, съответстващи на нея, имат формата 
Динамична пауза
Упражненията, решени в този урок, съответстват на четирите посочени дидактически игри. Учениците използват оформление на числови кръгове с диаметриAC (хоризонтално) иBD(вертикално).
1. № 4.1, № 4.3.
Решение:
№ 4.3.
2. № 4.5 (а; б) – 4.11 (а; б).
3. № 4.12.
4. № 4.13 (а; б), № 4.14.
Решение:
№ 4.13.
V. Контролна работа.
Опция 1
Вариант 2
1. Отбележете точката върху числовия кръг, който съответства на това число:
2. Намерете всички числа, които отговарят на точките, отбелязани върху числовата окръжност.
VI. Обобщение на урока.
Въпроси към учениците:
– Дайте дефиницията на числова окръжност.
– Каква е дължината на единична окръжност? Дължина на половин единична окръжност? Нейната квартира?
– Как можете да намерите точка в числовата окръжност, която съответства на число?номер 5?
Домашна работа:, страница 23. No 4.2, No 4.4, No 4.5 (c; d) – No 4.11 (c; d), No 4.13 (c; d), No 4.15.
Урок №2
цели : консолидирайте концепцията за числовия кръг като модел на криволинейна координатна система.
Задачи : продължете да развивате способността да намирате точки в числовия кръг, които съответстват на дадени „добри“ и „лоши“ числа; запишете числото, съответстващо на точка от числовата окръжност; развиват способността да съставят аналитичен запис на дъгата на числова окръжност под формата на двойно неравенство.
Развиване на изчислителни умения, правилна математическа реч и логическо мислене на учениците.
Възпитавайте независимост, внимание и точност. Възпитавайте отговорно отношение към ученето.
Планирани резултати:
Знайте, разбирайте: - числов кръг.
Да умее: - да намира точки върху окръжност по дадени координати; - намиране на координатите на точка, разположена върху числова окръжност.
Да може да прилага изучения теоретичен материал при изпълнение на писмена работа.
Техническа поддръжка на урока Компютър, екран, проектор, учебник, проблемник.
Допълнителна методическа и дидактическа подкрепа на урока: Мордкович А. Г. M79 Алгебра и началото на математическия анализ. 10-11 клас (основно ниво): методическо ръководство за учители / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М.: Мнемосина, 2010. - 202 с. : тиня
По време на часовете
Организиране на времето.
Психологическото настроение на учениците.
Проверка на домашните№ 4.2, № 4.4, № 4.5 (c; d) – № 4.11 (c; d), № 4.13 (c; d),
№ 4.15. Анализирайте решението на задачи, които са причинили затруднения.
Устна работа.
(на слайд)
1. Свържете точките от числовата окръжност и дадените числа:
б)
V)
G)
д)
д)
и)
з)
2. Намерете точките върху числовата окръжност.
–2; 4; –8;
13.
III. Обяснение на нов материал.
Както вече беше отбелязано, учениците овладяват система от шест дидактически „игри“, които дават възможност за решаване на задачи от четири основни типа, свързани с числовата окръжност (от число до точка; от точка до число; от дъга до двойно неравенство; от двойно неравенство към дъга).
(Мордкович А. Г. M79 Алгебра и началото на математическия анализ. 10-11 клас (основно ниво): методическо ръководство за учители / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2010. - 202 с. : аз ще.)
В този урок ще използваме последните две игри:
5-та "игра" – съставяне на аналитични записи (двойни неравенства) за дъги от числовата окръжност. Например, ако е дадена дъга, свързваща средата на първата четвърт (началото на дъгата) и най-ниската точка от двете, които разделят втората четвърт на три равни части (края на дъгата), тогава съответната аналитична нотацията има формата:
Ако началото и краят на една и съща дъга се разменят, тогава съответният аналитичен запис на дъгата ще изглежда така:
Авторите на учебника отбелязват, че термините „ядро на аналитичния запис на дъга“, „аналитичен запис на дъга“ не са общоприети, те са въведени по чисто методически причини и дали да се използват или не, зависи от учител.
6-та "игра" – от този аналитичен запис на дъгата (двойно неравенство) преминете към нейния геометричен образ.
Обяснението трябва да се извърши с помощта на техниката на аналогията. Можете да използвате модел на подвижен числов ред, който може да бъде „свит“ в числов кръг.
Работа с учебника .
Нека разгледаме пример 8 от стр. 33 учебник.
Динамична пауза
IV. Формиране на умения и способности.
Когато изпълняват задачите, учениците трябва да се уверят, че когато пишат дъга аналитично, лявата страна на двойното неравенство е по-малка от дясната страна. За да направите това, когато записвате, трябва да се движите в положителна посока, т.е. обратно на часовниковата стрелка.
1-ва група . Упражнения за намиране на „лоши“ точки в числовата окръжност.
№ 4.16, № 4.17 (a; b).
2-ра група . Упражнения за аналитичен запис на дъга и изграждане на дъга въз основа на нейния аналитичен запис.
№ 4.18 (а; б), № 4.19 (а; б), № 4.20 (а; б).
V. Самостоятелна работа.
опция 1
3. Според аналитичния модел 
запишете обозначението на цифровата дъга и изградете нейния геометричен модел.
опция 2
1. Въз основа на геометричния модел на дъгата на числовата окръжност напишете аналитичния модел под формата на двойно неравенство.
2. По даденото обозначение на дъгата на числовата окръжност 
посочете неговите геометрични и аналитични модели.
3. Според аналитичния модел 
запишете обозначението на дъгата на числовата окръжност и изградете нейния геометричен модел.
VI. Обобщение на урока.
Въпроси към учениците:
– По какви начини можете да напишете аналитично дъгата на числовата окръжност?
– Какво се нарича сърцевина на аналитичния запис на дъга?
– На какви условия трябва да отговарят числата отляво и отдясно на двойно неравенство?
Домашна работа:
1. , страница 23. No 4.17 (c; d), No 4.18 (c; d), No 4.19 (c; d), No 4.20 (c; d).
2. Въз основа на геометричния модел на дъгата на числовата окръжност запишете нейния аналитичен модел под формата на двойно неравенство.
3. По даденото обозначение на дъгата на числовата окръжност 
посочете неговите геометрични и аналитични модели.
