Тригонометрия за блондинки тригонометричен кръг. Тригонометричен кръг

Координати хточки, лежащи върху окръжността, са равни на cos(θ), а координатите гсъответстват на sin(θ), където θ е големината на ъгъла.

• Ако ви е трудно да запомните това правило, просто помнете, че в двойката (cos; sin) „синусът е последен“.
• Това правило може да бъде получено чрез разглеждане на правоъгълни триъгълници и дефиницията на тези тригонометрични функции (синусът на ъгъл е равен на отношението на дължината на противоположната страна и косинуса на съседната страна към хипотенузата).

Запишете координатите на четири точки от окръжността.„Единична окръжност“ е окръжност, чийто радиус е равен на единица. Използвайте това, за да определите координатите хИ гв четири точки на пресичане на координатните оси с окръжността. По-горе, за яснота, обозначихме тези точки като „изток“, „север“, „запад“ и „юг“, въпреки че нямат установени имена.

• "Изток" съответства на точката с координати (1; 0) .
• "Север" съответства на точката с координати (0; 1) .
• "Запад" съответства на точката с координати (-1; 0) .
• "Юг" съответства на точката с координати (0; -1) .
• Това е подобно на обикновена графика, така че няма нужда да запомняте тези стойности, просто запомнете основния принцип.

Запомнете координатите на точките в първия квадрант.Първият квадрант се намира в горната дясна част на кръга, където са координатите хИ гприемат положителни стойности. Това са единствените координати, които трябва да запомните:

Начертайте прави линии и определете координатите на точките на тяхното пресичане с кръга.Ако начертаете прави хоризонтални и вертикални линии от точките на един квадрант, вторите точки на пресичане на тези линии с окръжността ще имат координатите хИ гс еднакви абсолютни стойности, но различни знаци. С други думи, можете да начертаете хоризонтални и вертикални линии от точките на първия квадрант и да обозначите точките на пресичане с кръга със същите координати, но в същото време да оставите място отляво за правилния знак ("+" или "-").

За да определите знака на координатите, използвайте правилата за симетрия.Има няколко начина да определите къде да поставите знака "-":

• Запомнете основните правила за редовни графики. ос хотрицателна отляво и положителна отдясно. ос готрицателен отдолу и положителен отгоре;
• започнете с първия квадрант и начертайте линии до други точки. Ако линията пресича оста г, координирайте хще смени знака си. Ако линията пресича оста х, знакът на координатата ще се промени г;
• запомнете, че в първия квадрант всички функции са положителни, във втория квадрант само синусът е положителен, в третия квадрант само тангенсът е положителен, а в четвъртия квадрант само косинусът е положителен;
• Който и метод да използвате, трябва да получите (+,+) в първия квадрант, (-,+) във втория, (-,-) в третия и (+,-) в четвъртия.

Проверете дали сте направили грешка.По-долу е пълен списък с координати на „специални“ точки (с изключение на четирите точки на координатните оси), ако се движите по единичния кръг обратно на часовниковата стрелка. Не забравяйте, че за да определите всички тези стойности, е достатъчно да запомните координатите на точките само в първия квадрант:

• първи квадрант: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
• втори квадрант: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
• трети квадрант: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
• четвърти квадрант: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Ако вече сте запознати с тригонометричен кръг , и просто искате да опресните паметта си за определени елементи или сте напълно нетърпеливи, тогава ето го:

Тук ще анализираме всичко в детайли стъпка по стъпка.

Тригонометричният кръг не е лукс, а необходимост

Тригонометрия Много хора го свързват с непроходими гъсталаци. Изведнъж се натрупват толкова много стойности на тригонометрични функции, толкова много формули... Но все едно не се получи в началото и... тръгваме... пълно недоразумение...

Много е важно да не се отказвате стойности на тригонометричните функции, - казват те, винаги можете да погледнете шпора с таблица със стойности.

Ако постоянно гледате таблица със стойностите на тригонометричните формули, нека се отървем от този навик!

Той ще ни помогне! Ще работите с него няколко пъти и след това ще изскочи в главата ви. С какво е по-добре от маса? Да, в таблицата ще намерите ограничен брой стойности, но в кръга - ВСИЧКО!

Например, кажете, докато гледате стандартна таблица със стойности на тригонометрични формули , колко е синусът, равен на, да кажем, 300 градуса или -45.

Няма начин?.. можете, разбира се, да се свържете формули за намаляване... И като погледнете тригонометричната окръжност, можете лесно да отговорите на такива въпроси. И скоро ще разберете как!

И когато решавате тригонометрични уравнения и неравенства без тригонометрична окръжност, това е абсолютно никъде.

Въведение в тригонометричния кръг

Да вървим по ред.

Първо, нека напишем тази поредица от числа:

А сега това:

И накрая това:

Разбира се, ясно е, че всъщност на първо място е , на второ място е , а на последно място е . Тоест повече ще ни интересува веригата.

Но колко красиво се оказа! Ако нещо се случи, ние ще възстановим тази „стълба-чудо“.

И защо ни трябва?

Тази верига е основните стойности на синус и косинус през първото тримесечие.

Нека начертаем окръжност с единичен радиус в правоъгълна координатна система (тоест вземаме всеки радиус по дължина и обявяваме дължината му за единица).

От гредата „0-Start“ поставяме ъглите по посока на стрелката (виж фигурата).

Получаваме съответните точки на окръжността. Така че, ако проектираме точките върху всяка от осите, тогава ще получим точно стойностите от горната верига.

Защо е това, ще попитате?

Нека не анализираме всичко. Нека помислим принцип, което ще ви позволи да се справите с други подобни ситуации.

Триъгълник AOB е правоъгълен и съдържа . И знаем, че срещу ъгъл b лежи катет с половината от размера на хипотенузата (имаме хипотенузата = радиуса на окръжността, тоест 1).

Това означава AB= (и следователно OM=). И според Питагоровата теорема

Надявам се вече нещо да се изясни?

Така че точка B ще съответства на стойността, а точка M ще съответства на стойността

Същото е и с другите стойности от първото тримесечие.

Както разбирате, познатата ос (вол) ще бъде косинусова ос, а оста (oy) – ос на синусите . По късно.

Вляво от нулата по косинусовата ос (под нулата по синусовата ос) ще има, разбира се, отрицателни стойности.

И така, ето го ВСЕМОГЪЩИЯТ, без когото няма никъде в тригонометрията.

Но ние ще говорим за това как да използваме тригонометричния кръг в.

Тригонометрията, като наука, възниква в Древния Изток. Първите тригонометрични съотношения са получени от астрономи за създаване на точен календар и ориентация по звездите. Тези изчисления са свързани със сферичната тригонометрия, докато в училищния курс те изучават съотношението на страните и ъглите на равнинен триъгълник.

Тригонометрията е дял от математиката, който се занимава със свойствата на тригонометричните функции и връзките между страните и ъглите на триъгълниците.

По време на разцвета на културата и науката през 1-вото хилядолетие от н. е. знанието се разпространява от Древния Изток до Гърция. Но основните открития на тригонометрията са заслуга на мъжете от Арабския халифат. По-специално, туркменският учен ал-Маразви въвежда функции като тангенс и котангенс и съставя първите таблици със стойности за синуси, тангенси и котангенси. Понятията синус и косинус са въведени от индийски учени. Тригонометрията получи много внимание в произведенията на такива велики фигури от древността като Евклид, Архимед и Ератостен.

Основни величини на тригонометрията

Основните тригонометрични функции на числов аргумент са синус, косинус, тангенс и котангенс. Всеки от тях има своя собствена графика: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Формулите за изчисляване на стойностите на тези количества се основават на теоремата на Питагор. По-известно е на учениците във формулировката: „Питагоровите панталони са равни във всички посоки“, тъй като доказателството е дадено с помощта на примера на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Синус, косинус и други зависимости установяват връзката между острите ъгли и страните на всеки правоъгълен триъгълник. Нека дадем формули за изчисляване на тези величини за ъгъл А и да проследим връзките между тригонометричните функции:

Както можете да видите, tg и ctg са обратни функции. Ако си представим крак a като произведение на sin A и хипотенуза c и крак b като cos A * c, получаваме следните формули за тангенс и котангенс:

Тригонометричен кръг

Графично връзката между посочените величини може да се представи по следния начин:

Кръгът в този случай представлява всички възможни стойности на ъгъла α - от 0° до 360°. Както може да се види от фигурата, всяка функция приема отрицателна или положителна стойност в зависимост от ъгъла. Например, sin α ще има знак „+“, ако α принадлежи към 1-вата и 2-рата четвърт на кръга, тоест е в диапазона от 0° до 180°. За α от 180° до 360° (III и IV четвърти), sin α може да бъде само отрицателна стойност.

Нека се опитаме да изградим тригонометрични таблици за конкретни ъгли и да разберем значението на количествата.

Стойностите на α, равни на 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и т.н., се наричат ​​специални случаи. Стойностите на тригонометричните функции за тях се изчисляват и представят под формата на специални таблици.

Тези ъгли не са избрани случайно. Означението π в таблиците е за радиани. Rad е ъгълът, при който дължината на дъгата на окръжност съответства на нейния радиус. Тази стойност е въведена, за да се установи универсална зависимост; при изчисляване в радиани действителната дължина на радиуса в cm няма значение.

Ъглите в таблиците за тригонометрични функции съответстват на стойности в радиан:

Така че не е трудно да се досетите, че 2π е пълен кръг или 360°.

Свойства на тригонометричните функции: синус и косинус

За да разгледаме и сравним основните свойства на синуса и косинуса, тангенса и котангенса, е необходимо да начертаем техните функции. Това може да стане под формата на крива, разположена в двумерна координатна система.

Разгледайте сравнителната таблица на свойствата за синус и косинус:

Синусоида	Косинус
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, за x = πk, където k ϵ Z	cos x = 0, за x = π/2 + πk, където k ϵ Z
sin x = 1, за x = π/2 + 2πk, където k ϵ Z	cos x = 1, при x = 2πk, където k ϵ Z
sin x = - 1, при x = 3π/2 + 2πk, където k ϵ Z	cos x = - 1, за x = π + 2πk, където k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, т.е. функцията е нечетна	cos (-x) = cos x, т.е. функцията е четна
	функцията е периодична, най-малкият период е 2π
sin x › 0, като x принадлежи на 1-ва и 2-ра четвърт или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, като x принадлежи на I и IV четвърти или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, като x принадлежи към третата и четвъртата четвърт или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, като x принадлежи на 2-ра и 3-та четвърт или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
нараства в интервала [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	нараства на интервала [-π + 2πk, 2πk]
намалява на интервали [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	намалява на интервали
производна (sin x)’ = cos x	производна (cos x)’ = - sin x

Определянето дали една функция е четна или не е много лесно. Достатъчно е да си представите тригонометричен кръг със знаци на тригонометрични величини и мислено да „сгънете“ графиката спрямо оста OX. Ако знаците съвпадат, функцията е четна, в противен случай е нечетна.

Въвеждането на радианите и изброяването на основните свойства на синусоидите и косинусите ни позволяват да представим следния модел:

Много е лесно да се провери дали формулата е правилна. Например, за x = π/2, синусът е 1, както и косинусът от x = 0. Проверката може да се извърши чрез справка с таблици или чрез проследяване на функционални криви за дадени стойности.

Свойства на тангенцоидите и котангенцоидите

Графиките на функциите тангенс и котангенс се различават значително от функциите синус и косинус. Стойностите tg и ctg са реципрочни една на друга.

1. Y = тен x.
2. Допирателната клони към стойностите на y при x = π/2 + πk, но никога не ги достига.
3. Най-малкият положителен период на тангентоида е π.
4. Tg (- x) = - tg x, т.е. функцията е нечетна.
5. Tg x = 0, за x = πk.
6. Функцията се увеличава.
7. Tg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, за x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Производна (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Разгледайте графичното изображение на котангентоида по-долу в текста.

Основни свойства на котангентоидите:

1. Y = cotg x.
2. За разлика от функциите синус и косинус, в тангентоида Y може да приеме стойностите на набора от всички реални числа.
3. Котангентоидът клони към стойностите на y при x = πk, но никога не ги достига.
4. Най-малкият положителен период на котангентоид е π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, т.е. функцията е нечетна.
6. Ctg x = 0, за x = π/2 + πk.
7. Функцията намалява.
8. Ctg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, за x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Производна (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Правилно

Тригонометричен кръг. Единична окръжност. Цифров кръг. Какво е?

внимание!
Има допълнителни
материали в Специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Много често термини тригонометрична окръжност, единична окръжност, числова окръжностслабо разбрани от учениците. И напълно напразно. Тези концепции са мощен и универсален помощник във всички области на тригонометрията. Всъщност това е легална измама! Начертах тригонометричен кръг и веднага видях отговорите! Изкусителен? Така че нека се научим, би било грехота да не използваме такова нещо. Освен това не е никак трудно.

За да работите успешно с тригонометричния кръг, трябва да знаете само три неща.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.