Все методы решения задач динамики, которые мы до сих пор рассматривали, основываются на уравнениях, вытекающих или непосредственно из законов Ньютона, или же из общих теорем, являющихся следствиями этих законов. Однако, этот путь не является единственным. Оказывается, что уравнения движения или условия равновесия механической системы можно получить, положив в основу вместо законов Ньютона другие общие положения, называемые принципами механики. В ряде случаев применение этих принципов позволяет, как мы увидим, найти более эффективные методы решения соответствующих задач. В этой главе будет рассмотрен один из общих принципов механики, называемый принципом Даламбера.
Пусть мы имеем систему, состоящих из n материальных точек. Выделим какую-нибудь из точек системы с массой . Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил и (в которые входят и активные силы, и реакции связи) точка получает по отношению к инерционной системе отсчета некоторое ускорение .
Введем в рассмотрение величину
имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки(иногда даламберовой силой инерции).
Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим общим свойством: если в каждый момент времени к фактически действующим на точку силам и прибавить силу инерции , то полученная система сил будет уравновешенной, т.е. будет
.
Это выражение выражает принцип Даламбера для одной материальной точки. Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно второму закону Ньютона и наоборот. В самом деле, второй закон Ньютона для рассматриваемой точки дает 
. Перенося здесь член в правую часть равенства и придем к последнему соотношению.
Повторяя проделанные высшее рассуждения по отношению к каждой из точек системы, придем к следующему результату, выражающему принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на ней внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно будет применять все уравнения статики.
Значение принципа Даламбера состоит в том, что при непосредственном его применении к задачам динамики уравнения движения системы составляются в форме хорошо известных уравнений равновесия; что делает единообразный подход к решению задач и обычно намного упрощает соответствующие расчёты. Кроме того, в соединении с принципом возможных перемещений, который будет рассмотрен в следующей главе, принцип Даламбера позволяет получить новый общий метод решения задач динамики.
Применяя принцип Даламбера, следует иметь в виду, что на точку механической системы, движение которой изучается, действуют только внешние и внутренние силы и , возникающие в результате взаимодействия точек системы друг с другом и с телами, не входящими в систему; под действием этих сил точки системы и движутся с соответствующими ускорениями . Силы же инерции, о которых говорится в принципе Даламбера, на движущиеся точки не действуют (иначе, эти точки находились бы в покое или двигались без ускорений и тогда не было бы и самих сил инерции). Введение сил инерции - это лишь приём, позволяющий составлять уравнения динамики с помощью более простых методов статики.
Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю, причём по принципу отвердевания это справедливо для сил, действующих не только на твёрдое тело, но и на любую изменяемую систе6му. Тогда на основании принципа Даламбера должно быть.
Первоначально идея этого принципа была высказана Яковом Бернулли (1654-1705) при рассмотрении задачи о центре колебаний тел произвольной формы. В 1716 г. петербургский академик Я. Герман (1678 - 1733) выдвинул принцип статической эквивалентности «свободных» движений и «фактических» движений, т. е. движений, осуществляемых при наличии связей. Позже этот принцип был применен Л. Эйлером (1707- 1783) к задаче о колебаниях гибких тел (работа была опубликована в 1740 г.) и получил название «петер-бурского принципа». Однако первым, кто сформулировал рассматриваемый принцип в общем виде, хотя и не дал ему надлежащего аналитического выражения, был Даламбер (1717-1783). В своей «Динамике» вышедшей в 1743 г., он указал общий метод подхода к решению задач динамики несвободных систем. Аналитическое выражение этого принципа было дано позднее Лагранжем в его «Аналитической механике».
Рассмотрим некоторую несвободную механическую систему. Обозначим равнодействующую всех активных сил, действующих на какую-либо точку системы, через а равнодействующую реакций связей - через Тогда уравнение движения точки будет иметь вид
где - вектор ускорения точки, а масса этой точки.
Если ввести в рассмотрение силу называемую даламберовой силой инерциито уравнение движения (2.9) можно переписать в форме уравнения равновесия трех сил:
Уравнение (2.10) составляет существо принципа Даламбера для точки, а это же уравнение, распространенное на систему, - существо принципа Даламбера для системы.
Уравнение движения, написанное в форме (2.10), позволяет дать принципу Даламбера следующую формулировку: если систему находящуюся в движении, в какой-либо момент времени мгновенно остановить и к каждой материальной точке этой системы приложить действовавшие на нее в момент остановки активные силы реакции связей и даламберовы силы инерции то система останется в равновесии.
Принцип Даламбера представляет собой удобный методический прием решения динамических задач, так как позволяет уравнения движения несвободных систем написать в форме уравнений статики.
Этим самым, конечно, задача динамики не сводится к задаче статики, так как задача интегрирования уравнений движения по-прежнему сохраняется, но принцип Даламбера дает единый метод составления уравнений движения несвободных систем, и в этом его главное преимущество.
Если иметь в виду, что реакции представляют собой действие связей на точки системы, то принципу Даламбера можно дать и такую формулировку: если к активным силам действующим на точки несвободной системы, присоединить даламберовы силы инерции то результирующие этих сил уравновесятся реакциями связей. Следует подчеркнуть условность этой формулировки, так как в действительности
при движении системы никакого уравновешивания нет, поскольку силы инерции к точкам системы не приложены.
Наконец, принципу Даламбера можно дать еще одну эквивалентную формулировку, для чего уравнение (2.9) перепишем в такой форме:
Принцип Даламбера устанавливает единый подход к исследованию движения материального объекта вне зависимости от характера налагаемых на это движение условий. При этом динамическим уравнениям движения придается вид уравнений равновесия. Отсюда второе название принципа Даламбера – метод кинетостатики.
Для материальной точки в любой момент движения геометрическая сумма приложенных активных сил, реакций связей и условно присоединенной силы инерции равна нулю (рис. 48).
Где Ф-сила инерции материальной точки, равная:
.
(15.2)
Рисунок 48
Рисунок 49
Сила инерции
приложена не к движущемуся объекта, а
к связям, определяющим его движение.
Человек сообщает ускорение
вагонетке (рис. 49), толкая ее силой
.Сила инерции
представляет собой противодействие
действию человека на вагонетку, т.е. по
модулю равна силе 
и направлена в
противоположную сторону.
Если точка движется по криволинейной траектории, то силу инерции можно спроецировать на естественные оси координат.
Рисунок 50
;
(15.3)
,
(15.4) где
-- радиус кривизны траектории.
При решении задач с помощью метода кинетостатики необходимо:
1. выбрать систему координат;
2. показать все активные силы, приложенные к каждой точке;
3. отбросить связи, заменив их соответствующими реакциями;
4. добавить к активным силам и реакциям связей силу инерции;
5. составить уравнения кинетостатики, из которых определить искомые величины.
ПРИМЕР 21.
О
РЕШЕНИЕ.
1. Рассмотрим
автомобиль, находящийся в верхней точке
выпуклого моста. Рассмотрим автомобиль
как материальную точку, на которую
заданная сила
2. Так как автомобиль
движется с постоянной скоростью, запишем
принцип Даламбера для материальной
точки в проекции на нормаль
и реакцию связи
.
.
(1)
Выразим силу инерции:
;
нормальное давление автомобиля определим
из уравнения (1):Н.
=20м
и движущегося с постоянной скоростьюV=36км/ч
(рис. 51).
16. Принцип даламбера для механическойй системы. Главный вектор и главный момент сил инерции.
Если к каждой точке механической системы в любой момент движения условно приложить соответствующую силы инерции, то в любой момент движения геометрическая сумма действующих на точку активных сил, реакций связей и силы инерции равна нулю.
Уравнение, выражающее
принцип Даламбера для механической
системы, имеет вид
.
(16.1) Сумма моментов этих уравновешенных
сил относительно любого центра также
равна нулю
.
(16.2) При применении
принципа Даламбера уравнения движения
системы составляются в форме уравнений
равновесия. С помощью уравнений (16.1) и
(16.2) можно определить динамические
реакции.
ПРИМЕР 22.
Вертикальный вал
АК, вращающийся с постоянной угловой
скоростью
=10с -1 ,
закреплен подпятником в точке А и
цилиндрическим подшипником в точке К
(рис. 52). К валу в точке Е прикреплены
тонкий однородный ломаный стержень
массой m=10кг
и длиной 10b,
состоящий из частей 1 и 2, где b=0,1м,
а их массы m 1
и m 2
пропорциональны длинам. Стержень
прикреплен к валу шарниром в точке Е и
невесомым стержнем 4 жестко закрепленным
в точке В. Определить реакцию шарнира
Е и стержня 4.
РЕШЕНИЕ.
1. Длина ломаного стержня равна 10b. Выразим массы частей стержня, пропорциональные длинам: m 1 =0,4m; m 2 =0,3m; m 3 =0,3m.
Рисунок 42
2. Для определения
искомых реакций рассмотрим движение
ломаного стержня и применим принцип
Даламбера. Расположим стержень в
плоскости ху, изобразим действующие
на него внешние силы:
,
,
,
реакции шарнира
и
и реакцию
стержня 4. Присоединяем к этим силам
силы инерции частей стержня:
;
;
,
где
;
;
.
Тогда Н.Н.Н.
Линия действия
равнодействующих сил инерции
,
и
проходит на расстоянияхh 1 ,
h 2
и h 3
от оси х:
м;
3. Согласно принципу Даламбера приложенные активные силы, реакции связей и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для плоской системы сил три уравнения равновесия:
;
;
(1)
;;
(2)
;.(3)
Решая систему уравнений (1)+(3), подставляя заданные значения соответствующих величин, найдем искомые реакции:
N= y E = x E =
Если все силы,
действующие на точки механической
системы, подразделить на внешние
и внутренние
,
(рис. 53), то для произвольной точки
механической системы можно записать
два векторных равенства:
;
(16.3)
.
Рисунок 53
Учитывая свойства
внутренних сил, получим принцип Даламбера
для механической системы в следующем
виде:
;
(16.4)
,
(16.5) где
,
-- соответственно главные векторы
внешних сил и сил инерции;
,
--
соответственно главные моменты внешних
сил и сил инерции относительно
произвольного центра О.
Главный вектор
и главный момент
заменяют
силы инерции всех точек системы, так
как к каждой точке системы необходимо
приложить свою силу инерции, зависящую
от ускорения точки. Используя теорему
о движении центра масс и об изменении
кинетического момента системы относительно
произвольного центра, получаем:
,
(16.6)
.
(16.7) Для твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси z,
главный момент сил инерции относительно
этой оси равен
, (16.8) где
--
угловое ускорение тела.
При поступательном
движении тела силы инерции всех его
точек приводятся к равнодействующей,
равной главному вектору сил инерции,
т.е.
.
П
Рисунок 54
, (16.9) где
--
момент инерции тела относительно оси
вращения.
Если тело имеет
плоскость симметрии и вращается вокруг
неподвижной оси z,
перпендикулярной плоскости симметрии
и не проходящей через центр масс тела,
сила инерции всех точек тела приводится
к равнодействующей, равной главному
вектору сил инерции системы, но приложенной
к некоторой точке К (рис. 54). Линия действия
равнодействующей
отстоит
от точки О на расстоянии
.
(16.10)
При плоском движении тела, имеющего плоскость симметрии, тело движется вдоль этой плоскости (рис.55). Главный вектор и главный момент сил инерции также лежат в этой плоскости и определяются по формулам:
Рисунок 55
;
.
Знак минус
показывает, что направление момента
противоположно
направлению углового ускорения тела.
ПРИМЕР 23.
Определить силу,
стремящуюся разорвать равномерно
вращающийся маховик массой m,
считая его массу распределенной по
ободу. Радиус маховика r,
угловая скорость
(рис. 56).
РЕШЕНИЕ.
1. Искомая сила
является внутренней.
--
равнодействующая сил инерции элементов
обода.
. Выразим координату х с
центра масс дуги обода с центральным
углом
:
,
тогда
.
2. Для определения
силы
применим принцип Даламбера в проекции
на ось х:
;
,
откуда
.
3. Если маховик –
сплошной однородный диск, то
,
тогда
.
Область применения принципа Даламбера – это динамика несвободных механических систем. Даламбер предложил оригинальный метод решения задач динамики, позволяющий использовать достаточно простые уравнения статики. Он писал: «Данное правило приводит все задачи, относящиеся к движению тел, к более простым задачам о равновесии».
В основу данного метода положены силы инерции. Введем это понятие.
Силой инерции называют геометрическую сумму сил противодействия движущейся материальной частицы телам, сообщающим ей ускорение.
Поясним это определение. На рис. 15.1 показана материальная частица М , взаимодей-ствующая с n материальными объектами. На рис. 15.1 показаны силы взаимодействия: без
щие на самом деле не на частицу, а на тела с массами m 1 , …, m n . Ясно, что равнодейст-вующая этой системы сходящихся сил противодействия, R ’ =ΣF’ k , по модулю равна R и направлена противоположно ускорению, т.е.: R ’ =-ma. Данная сила и является силой инерции, о которой говорится в определении. В дальнейшем будем ее обозначать буквой Ф , т.е.:
В общем случае криволинейного движения точки ускорение представляет собой сумму двух составляющих:
Из (15.4) видно, что составляющие силы инерции направлены противоположно направлениям соответствующих составляющих ускорения точки. Модули составляющих силы инерции определяют по следующим формулам:
где ρ – радиус кривизны траектории точки.
После определения силы инерции рассмотрим принцип Даламбера .
Пусть дана механическая система, состоящая из n материальных точек (рис. 15.2). Возьмем одну из них. Все силы, действующие на k -ю точку, классифицируем по группам:
Выражение (15.6) отражает сущность принципа Даламбера, записанного для одной мате-риальной точки. Повторяя проделанные выше действия по отношению к каждой точке механической системы, можно записать систему n уравнений, подобных (15.6), что и будет являться математической записью принципа Даламбера применительно к механи-ческой системе. Таким образом, сформулируем принцип Даламбера для механической системы:
Если к каждой точке механической системы в любой момент времени, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующую силу инерции, то вся система сил будет приведена в равновесное состояние и к ней можно будет применять все уравнения статики.
Следует иметь в виду:
Принцип Даламбера можно применять для динамических процессов, протекающих в
инерциальных системах отсчета. Этого же требования, как отмечалось ранее, следует придерживаться и при применении законов динамики;
Силы инерции, которые, согласно методики принципа Даламбера, необходимо прило-
жить к точкам системы, на самом деле на них не действуют. Действительно, если бы они существовали, то вся совокупность сил, приложенных к каждой точке, находилась бы в равновесии, и отсутствовала бы сама постановка задачи динамики.
Для равновесной системы сил можно записать следующие уравнения:
т.е. геометрическая сумма всех сил системы, включая и силы инерции, и геометрическая сумма моментов всех сил относительно произвольного центра равны нулю.
Учитывая свойства внутренних сил системы:
выражения (15.7) можно заметно упростить.
Вводя обозначения главного вектора
и главного момента
выражения (15.7) предстанут в виде:
Уравнения (15.11) являются прямым продолжением принципа Даламбера, но не содержат внутренних сил, что является их несомненным преимуществом. Их использование наиболее эффективно при исследовании динамики механических систем, состоящих из твердых тел.
Если рассматривать систему, которая состоит из нескольких материальных точек, выделяя одну определенную точку с известной массой, то под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил она получает некоторое ускорение по отношению к инерциальной системе отсчета. Среди таких сил могут быть как активные силы, так и реакции связи.
Сила инерции точки - это векторная величина, которая равна по модулю произведению массы точки на ее ускорение. Данную величину иногда упоминают как даламберовскую силу инерции, она направлена противоположно ускорению. В этом случае обнаруживается следующее свойство движущейся точки: если в каждый момент времени прибавить силу инерции к фактически действующим на точку силам, то полученная система сил будет уравновешена. Так можно сформулировать принцип Даламбера для одной материальной точки. Данное утверждение полностью соответствует второму закону Ньютона.
Принципы Даламбера для системы
Если повторить все рассуждения для каждой точки в системе, они приводят к следующему выводу, который выражает принцип Даламбера, сформулированный для системы: если в любой момент времени приложить к каждой из точек в системе, помимо фактически действующих внешних и внутренних сил, то данная система будет находиться в равновесии, поэтому к ней можно применять все уравнения, которые используются в статике.
Если применять принцип Даламбера для решения задач динамики, то уравнения движения системы можно составить в форме известных нам уравнений равновесия. Данный принцип значительно упрощает расчеты и делает подход к решению задач единым.
Применение принципа Даламбера
Следует учитывать, что на движущуюся точку в механической системе действуют только внешние и внутренние силы, которые возникают как результат взаимодействия точек между собой, а также с телами, не входящими в данную систему. Точки движутся с определенными ускорениями под действием всех этих сил. Силы инерции не действуют на движущиеся точки, в противном случае они бы двигались без ускорения или были в покое.
Силы инерции вводятся лишь для того, чтобы составить уравнения динамики при помощи более простых и удобных методов статики. Учитывается также, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равна нулю. Использование уравнений, которые вытекают из принципа Даламбера, делает процесс решения задач проще, так как данные уравнения уже не содержат внутренних сил.
