Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.
Теорема о сложении пар сил . Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
Доказательство: Пусть имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях. Пара сил в плоскости характеризуется моментом, а пара сил в плоскости характеризуется моментом.Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и располагалось на линии пересечения плоскостей. Складываем силы, приложенные в точке А и в точке В, . Получаем пару сил.
Условия равновесия пар сил.
Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необхо-димо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.
20.динамические дифференциальные уравнения относительно движения материальной точки. Динамическая теорема Кориолиса
Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки.
Для вывода уравнений воспользуемся второй и четвертой аксиомами динамики. Согласно второй аксиоме ma = F (1)
где, по четвертой аксиоме, F является равнодействующей всех сил, приложенных к точке.
С учетом последнего замечания выражение (1) часто называют основным уравнением динамики. По форме записи оно представляет собой второй закон Ньютона, где одна сила, согласно аксиоме независимости действия сил, заменена равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке. Вспомнив, что a = dV / dt = d2r / dt = r"", получаем из (1) дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме: mr"" = F (2)
дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки .
Согласно аксиоме связей, заменив связи их реакциями, можно рассматривать несвободную материальную точку, как свободную, находящуюся под действием активных сил и реакций связей.согласно четвертой аксиоме динамики, F будет равнодействующей активных сил и реакций связей.
Поэтому дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки можно использовать для описания движения несвободной точки, помня о том, что проекции сил на прямоугольные оси Fx, Fy, Fz в уравнениях (4) и проекции сил на естественные оси Fτ, Fn, Fb в уравнениях (6) включают в себя не только проекции активных сил, но и проекции реакций связей.
Наличие реакций связей в уравнениях движения точки естественно усложняет решение задач динамики, так как в них появляются дополнительные неизвестные. Для решения задач нужно знать свойства связей и иметь уравнения связей, которых должно быть столько, сколько реакций связей.
Сила Кориолиса равна:
где m - точечная масса, w - вектор угловой скорости вращающейся системы отсчёта, v- вектор скорости движения точечной массы в этой системе отсчёта, квадратными скобками обозначена операция векторного произведения.
Величина называется кориолисовым ускорением.
Си́лаКориоли́са - одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения
Свойства пар сил определяются рядом теорем, которые приводятся без доказательств:
· Две пары эквивалентны, если их векторные моменты равны по величине и одинаково направлены.
· Действие пары на тело не изменится, если ее перенести в плоскости действия на любое место.
· Действие пары на тело не изменится, если ее перенести из плоскости действия в параллельную ей плоскость.
· Действие пары на тело не изменится, если увеличить (уменьшить) величину силы пары, одновременно уменьшая (увеличивая) во столько же раз плечо пары.
Вывод: векторный момент пары сил, действующей на твердое тело, есть свободный вектор, т. е. его можно приложить в любой точке твердого тела.
Рассмотрим сложение пар, произвольно расположенных в пространстве. Докажем теорему:
Система пар, произвольно расположенных в пространстве, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.
Возьмем две пары () и (), расположенные на пересекающихся под произвольным углом плоскостях. Плечи пар примем равными соответственно и . На линии пересечения плоскостей отметим произвольный отрезок АВ и приведем каждую из слагаемых пар к плечу АВ. Произведя сложение соответствующих сил (см. рис.) с и с , получим новую пару (), момент которой будет равен
Рис.2.18 Равнодействующая пар сил
Систему пар сил, действующих на тело, можно, в соответствии с только что доказанной теоремой, заменить одной парой, равной сумме векторов моментов слагаемых пар. Следовательно, равновесие системы пар возможно только при выполнении условия
Проецируя приведенное векторное условие равновесия пар на любые три оси, не лежащие в одной плоскости и не параллельные друг другу, получим скалярные уравнения равновесия системы пар
Система пар сил, действующая на тело, эквивалентна одной паре сил, момент которой равен алгебраической сумме моментов составляющи х пар.
Пусть на твердое тело действуют три пары сил (Р1, Р1 ′ ), (Р2, Р2 ′ ), (Р3, Р3 ′ ) (рис. 5. 9), расположенные в одной плоскости. Моменты этих пар:
М 1 = Р 1 . d 1 , М 2 = Р 2 . d 2, М 3 = - Р 3 . d 3
Выберем произвольный отрезок АВ дли ной d в той ж е п лоскости и заменим заданные пары эквивалентными (Q1, Q1 ′ ), (Q2, Q2 ′ ), (Q3, Q3 ′ ) с общим плечом d.
Найдем модули сил эквивалентных пар из соотношений
М1 = Р1 . d1 = Q1 . d, М2 = Р2 . d2 = Q2 . d, М3 = - Р3 . d3 = - Q3 . d .
Сложим силы, приложенные к концам отрезка АВ и найдем модуль их равнодействующей:
R = Q1 + Q2 - Q3
R′ = - R = (-Q′ 1 - Q′ 2 + Q′ 3 )
Равнодействующие R и R′ составляют результирующую пару эквивалентную системе заданных пар.
Момент этой пары:
М = R . d = (Q1 + Q2 - Q3 ) d = Q1 . d + Q2 . d - Q3 . d = М1 + М2 + М3
Если на тело действует «n» пар, то момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар:
М = ∑ Мi
Уравновешивающей называется пара, момент которой равен по абсолютной величине моменту результирующей пары, но противоположен по направлению.
Пример 5.1
Определить момент результирующей пары для трех заданных пар (рис. 5.
10, а), если Р1 = 10 кН, Р2 = 15 кН, Р3 = 20 кН, d1 = 4 м, d2 = 2 м, d3 = 6 м.
Определяем момент каждой пары сил:
М1 = 10 Н . 4 м = 40 Нм М2 = - 15 Н . 2 м = - 30 Нм М3 = - 20 Н . 6 м = - 120 Нм
М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 40 – 30 – 120 = - 110 Нм
Пример 5. 2
На раму (рис. 5. 10, б) действуют три пары сил (Р1, Р1 ′ ), (Р2, Р2 ′ ), (Р3, Р3 ′ ), приложенных в точках А1 , А2 , А3 соответственно. Определить момент
результирующей пары, если Р1 = 10 Н, Р2 = 15 Н, Р3 = 20 Н, а плечи пар сил d1 =
0,4 м, d2 = 0,2 м, d3 = 0,6 м.
Определяем моменты пар сил:
М1 = Р1 . d1 = 10 . 0,4 = 4 Нм М2 = - Р2 . d2 = - 15 . 0,2 = - 3 Нм М3 = - Р3 . d3 = - 20 . 0,6 = - 12 Нм
Определяем момент результирующей пары:
М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 4 – 3 – 120 = - 11 Нм
Пример 5. 3
На балку (рис. 5. 10, в) действуют три пары сил (Р1, Р1 ′ ), (Р2, Р2 ′ ), (Р3, Р3 ′ ), приложенных в точках А1 , А2 , А3 . Определить момент результирующей пары,
если Р1 = 2 кН, Р2 = 3 кН, Р3 = 6 кН, а плечи пар сил d1 = 0,2 м, d2 = 0,4 м, d3 = 0,3 м.
Определяем моменты пар сил:
М1 = - Р1 . d1 = - 2 . 0,2 = - 0,4 кНм М2 = - Р2 . d2 = - 3 . 0,4 = - 1,2 кНм М3 = Р3 . d3 = 6 . 0,3 = 1,8 кНм
Определяем момент результирующей пары:
М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = - 0,4 – 1,2 + 1,8 = 0,2 кНм
Пример 5. 4
Определить моменты результирующих пар, действующих на рамы (рис. 5. 10, г, д, е) самостоятельно.
Результаты решения: |
|||
М = - 50 кНм |
|||
М = - 80 кНм |
|||
Рис. 5. 10, е |
|||
P3 "Е |
||||||||||
М1 = 10кНм |
М2 = 20кНм |
|||||||||
М2 = 40кНм |
||||||||||
М3 = 40кНм |
||||||||||
М1 = 10кНм |
М4 = 80кНм |
|||||||||
5. 5. Сложение пар сил в пространстве
Теорема. Система пар сил, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре сил, момент которой равен геометрической сумме моментов составляющих пар.
Доказательство
Докаж ем те орему для двух пар сил, плоскости действия которых I и II, а моменты М1 и М2 (рис. 5. 11, а). Преобразуем пары сил так, чтобы плечами их был отрезок АВ , лежащ ий на линии пересечения плоскостей. Получим две пары сил (Р1, Р1 ′ ) и (Q2, Q2 ′ ), имеющих одинаковые плечи и измененные соответствующим образом модули сил, которые найдем из соотношений
М 1 = Р1 . АВ
М2 = Q1 . АВ
Сложив силы, приложенные в точках А и В, найдем их равнодействующие
R = Р1 + Q1
R′ = Р1 ′ + Q1 ′
Параллелограммы сил равны и л ежат в параллельных плоскостях. Следовательно, равнодействующие R и R′ равны по модулю, параллельны и направлен ы в противоположные стороны, т.е. составляют результирующую пару (R, R′ ).
Найдем момент этой пары:
М = r х R = АВ х R = АВ х (Р1 + Q1 ) = АВ х Р1 + АВ х Q1 = М1 + М 2
Следовательно, момент пары М равен геометрической сумме моментов М1 и М2 и изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах М1 и М2.
Если на твердое тело действует «n» пар сил с моментами М1 , М2 … Мn , то результирующая пара будет иметь момент, равный геометрической сумме моментов этих пар
М = ∑ Мi
5. 6. Условия равновесия системы пар сил
Для равновесия пар сил на плоскости необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех пар была равна нулю
∑ Мi = 0
Для равновесия пар сил в пространстве необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма моментов всех пар была равна нулю
∑ Мi = 0
Пример 5. 5
Определить опорные реакции RА и RВ балки (рис. 5. 11, б), находящейся под действием двух пар сил, используя условия равновесия пар сил на плоскости.
1) Определим момент результирующей пары сил
М = М1 + М2 = - 40 + 30 = - 30 кНм По скольку пара сил может быть уравновешена только парой, то реакции
RА и RВ должны составить пару сил. Линия действия реакции RВ определена (перпендикулярна опорной поверхн ости), линия действия реакции RА параллельна линии действия реакции RВ .
Примем направления реакций в соответствии с рис. 5. 11, б .
2) Определим момент уравновешивающей пары сил (R А , RВ )
М (R А , RВ ) = МR = RА . АВ = RВ . АВ
3) Определим опорные реакции из условия равновесия пар сил
∑ Мi = 0 М + МR = 0
30 + RА . 6 = 0
RА = 5 кН; RВ = RА = 5 кН
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
Забайкальский государственный университет
Кафедра теоретической механики
Р Е Ф Е Р А Т
По теме: «Эквивалентность пар сил в пространстве и на плоскости, их сложение и условие равновесия»
Студент: Садилов И.А.
Группа: СУС-13-2
Преподаватель: Геллер Ю.А.
г.Чита, 2014 г.
Что такое пара сил…………………………………………………3
Теорема о сумме моментов пары сил…………………………….3
Теорема об эквивалентности пар сил……………………………4
Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость…….5
Теорема о сложении пар сил…………………………………….8
Условия равновесия пар сил……………………………………..8
Выводы…………………………………………………………….9
Список используемой литературы………………………………10
ПАРА СИЛ
Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.
Плоскостью действия пары сил называется плоскость в которой расположены эти силы.
Плечом пары сил d называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.
Моментом
пары
сил
называется
вектор
,
модуль которого равен произведению
модуля одной из сил пары на ее плечо и
который направлен перпендикулярно
плоскости действия сил пары в ту сторону,
откуда пара видна стремящейся повернуть
тело против хода часовой стрелки. 
Теорема о сумме моментов пары сил. Сумма моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора этой точки и равна моменту этой пары сил.
Доказательство: Выберем произвольно точку О. Проведем из нее в точки А и В радиус-векторы (Смотри Рис. 4.2).
, 
Ч
то
и требовалось доказать.
Две пары сил называются эквивалентными , если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях.
Теорема об эквивалентности пар сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с первой парой момент.
.
П
еренесем
силу
в точку
,
а силу
в точку
.
Проведем через точки
две любые параллельные прямые,
пересекающие линии действия сил пары.
Соединим точки
отрезком прямой и разложим силы
в
точке
и
в точке
по правилу параллелограмма.
Так как
,
то
и
Поэтому
эквивалентна системе
,
а эта система эквивалентна системе
,
так как
эквивалентна нулю.
Таким образом мы
заданную пару сил
заменили другой парой сил
.
Докажем, что моменты у этих пар сил
одинаковы.
Момент исходной
пары сил
,
а момент пары сил
численно равен площади параллелограмма
.
Но площади этих параллелограммов
равны, так как площадь треугольника
равна площади треугольника
.
Что и требовалось доказать.
Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость . Действие пары сил на твердое тело не изменится от переноса этой пары в параллельную плоскость.
Доказательство:
Пусть на твердое тело действует пара
сил
в плоскости
.
Из точек приложения сил А и В опустим
перпендикуляры на плоскость
и в точках их пересечения с плоскостью
приложим две системы сил
и
,
каждая из которых эквивалентна нулю.
С
ложим
две равные и параллельные силы
и
.
Их равнодействующая
в точке О.
Сложим две равные
и параллельные силы
и
.
Их равнодействующая
параллель-на этим силам, равна их сумме
и приложена посредине отрезка
в точке О.
Так как
,
то система сил
эквивалентна нулю и ее можно отбросить.
Таким образом
пара сил
эквивалентна паре сил
,
но лежит в другой, параллельной плоскости.
Что и требовалось доказать.
Следствие: Момент пары сил, действующий на твердое тело, есть свободный вектор.
Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, эквивалентны, если они имеют одинаковые по модулю и направлению моменты.
Теорема о
сложении пар сил.
Две пары
сил, действующих на одно и то же твердое
тело, и лежащие в пересекающихся
плоскостях, можно заменить одной
эквивалентной парой сил, момент которой
равен сумме моментов заданных пар
сил. 
Доказательство:
Пусть имеются две пары сил, расположенные
в пересекающихся плоскостях. Пара сил
в плоскости
характеризуется моментом
,
а пара сил
в плоскости
характеризуется моментом
.
Расположим пары
сил так, чтобы плечо пар было общим и
располагалось на линии пересечения
плоскостей. Складываем силы, приложенные
в точке А и в точке В,
.
Получаем пару сил
.
Что и требовалось доказать.
Условия равновесия пар сил
Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.
Условия равновесия системы сил
Векторная форма
Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю.
Алгебраическая форма.
Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.
Условия равновесия пространственной системы
параллельных сил
На тело действует система параллельных сил. Расположим ось Oz параллельно силам.
Уравнения
Для равновесия пространственной системы параллельных сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил была равна нулю и суммы моментов этих сил относительно двух координатных осей, перпендикулярным силам, также были равны нулю.
- проекция силы на ось Oz.
Выводы:
Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия.
У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент пары и плоскость действия.
3.момент пары является свободным вектором и полностью определяет действие пары на абсолютно твердое тело. Для деформируемых тел теория пар неприменима.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Кирсанов М.Н Теоретическая механика. Учебник для самоподготовки.
2.Тарг С.М Курс по Теоретической Механике.
Теорема: система пар сил, действующих на абсолютно твёрдое тело в одной плоскости, эквивалентно паре сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов пар системы.
Равнодействующая пара - это пара сил, заменяющая действие данных пар сил приложенных к твёрдому телу в одной плоскости.
Условие равновесия системы пар сил: для равновесия плоской системы пар сил необходимо и достаточно, чтобы сумма их моментов была равна 0.
Момент силы относительно точки.
Моментом силы относительно точки называется взятое со знаком "плюс" или "минус" произведение модуля силы на ее плечо относительно данной точки. Плечом силы относительно точки называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на линию действия силы. Принято следующее правило знаков: момент силы относительно данной точки положителен, если сила стремится вращать тело вокруг этой точки против часовой стрелки, и отрицателен в противоположном случае. Если линия действия силы проходит через некоторую точку, то относительно этой точки плечо силы и ее момент равны нулю. Момент силы относительно точки определяется по формуле.
Св-ва момента силы относительно точки :
1.Момент силы относительно данной точки не меняется при переносе силы вдоль её линии действия, т.к. при этом не изменяется ни модуль силы, ни её плечо.
2.Момент силы относительно данной точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, т.к. в этом случае плечо силы равно нулю: а=0
Теорема Пуансо о приведении силы к точке.
Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.
Операция параллельного переноса силы называется приведением силы к точке, а появляющаяся при этом пара - называется присоединённой парой.
Возможно и обратное действие: силу и пару сил, лежащие в одной плоскости, всегда можно заменить одной силой, равной данной силе, перенесённой параллельно своему начальному направлению в некоторую другую точку.
Дано: сила в точке А (рис. 5.1).
Добавим в точке В уравновешенную систему сил (F"; F"). Образуется пара сил (F; F"). Получим силу в точке В и момент пары m.
Приведение плоской системы произвольно расположенных сил к одному центру. Главный вектор и главный момент системы сил.
Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно выбранную точку - точку приведения (т.О). Применяют теорему Пуансо. При любом переносе силы в точку, не лежащую на линии ее действия, добавляют пару сил.
Появившиеся при переносе пары называют присоединенными парами.
Полученную в т.О ССС складывают по способу силового многоугольника и получаем одну силу в т.О – это главный вектор.
Полученную систему присоединённых пар сил также можно сложить и получить одну пару сил, момент которой называется главным моментом.
Главный вектор равен геометрической сумме сил. Главный момент равен алгебраической сумме моментов присоединённых пар сил или моментов исходных сил относительно точке приведения.
Определение и свойства главного вектора и главного момента плоской системы сил.
Свойства главного вектора и главного момента
1 Модуль и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения, т.к. при центре приведения силовой многоугольник, построенный из данных сил, будет один и тот же)
2.Величина и знак главного момента зависят от выбора центра приведения, т.к. при перемене центра приведения меняются плечи сил, а модули их остаются неизменными.
3. Главный вектор и равнодействующая системы сил векторно равны, но в общем случае не эквивалентны, т.к. ещё имеется момент
4. Главный вектор и равнодействующая эквивалентны лишь в частном случае, когда главный момент системы равен нулю, а это при случае, когда центр приведения находится на линии действия равнодействующей
Рассмотрим плоскую систему сил (F 1 ,F 2 , ...,F n),действующих на твердое тело в координатной плоскости Oxy.
Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:
R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i .
Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.
Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:
L O = M O (F 1) +M O (F 2) + ... +M O (F n) = M O (F i).
Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.
Для плоской системы сил вместо векторного главного момента используют понятие алгебраического главного момента. Алгебраическим главным моментом L O плоской системы сил относительно центра О, лежащего в плоскости действия сил, называют сумму алгебраических моментов э тих сил относительно центра О.
Главный вектор и главный момент плоской системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.
