Иванова Анастасия

Задание № 15 профильного экзамена по математике - это задание повышенного уровня сложности, представляющее неравенство. При решении этих неравенств учащиеся должны показать знания теорем о равносильности неравенств определенного вида, умения использовать стандартные и нестандартные методы решения. Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций. По статистике представленной на сайте Федерального института педагогических измерений в 2017 году ненулевые баллы за это задание получили около 15% участников экзамена; максимальный балл – около 11%. Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении задания № 15 ЕГЭ. Цель : изучить различные способы решения неравенств.

:

1. Изучить теоретический материал по данной теме.

2. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений.

3. Изучить функционально-графические методы решения неравенств.

4. Сравнить различные методы решения неравенств.

5. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

Методы исследование: опрос, анкетирование, анализ, сравнение и обобщение результатов.

В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный. И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Исследование различных методов решения неравенств

Иванова Анастасия Евгеньевна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
"Средняя школа №30 с углубленным изучением отдельных предметов"

11б класс

Научная статья (описание работы)

1. Введение

Актуальность.

Задание № 15 профильного экзамена по математике - это задание повышенного уровня сложности, представляющее неравенство (рациональное, иррациональное, показательное, логарифмическое). При решении этих неравенств учащиеся должны показать знания теорем о равносильности неравенств определенного вида, умения использовать стандартные и нестандартные методы решения.

Полное правильное решение этого задания оценивается 2 баллами. При решении задачи допустимы любые математические методы - алгебраический, функциональный, графический, геометрический и др.

По статистике представленной на сайте Федерального института педагогических измерений в 2017 году ненулевые баллы за это задание получили около 15% участников экзамена; максимальный балл – около 11%. Типичные ошибки связаны с невнимательным чтением математической записи неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств. Очень много ошибок допущено участниками экзамена при решении дробно-рационального неравенства (забыт знаменатель) .

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы на ЕГЭ по математике представлены в таблице 1 и на диаграмме (рис. 1).

Таблица 1

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

Рис.1. Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

Результаты выполнения задания № 15 на пробном городском экзамене 11а,б классов в 2017-2018 уч. году представлены в таблице 2 и на диаграмме (рис.2).

Таблица 2

Результаты выполнения задания № 15 на пробном городском экзамене

в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы

Рис.2. Результаты выполнения задания № 15 на пробном экзамене в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы

Мы провели опрос учителей математики нашей школы и выявили основные проблемы, которые возникают у учащихся при решении неравенств: неверное нахождение области допустимых значений неравенств; рассмотрение не всех случаев перехода от логарифмического неравенства к рациональному; преобразование логарифмических выражений; ошибки в использовании метода интервалов и др.

С применением метода интервалов и введением вспомогательной переменной связан ряд типичных ошибок. Так например, ошибка при определении знаков на промежутках или неправильное расположение чисел на координатной прямой, согласно критериям, могут трактоваться как вычислительные ошибки. Другие, связанные с пропуском шагов алгоритма или неверным их выполнением оцениваются 0 баллом.

Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении задания № 15 ЕГЭ по математике. В связи с этим нами была выдвинута гипотеза : если ученик будет владеть несколькими способами решения неравенств, то он сможет выбрать наиболее рациональный.

Объект исследования : неравенства.

Предмет исследования : различные способы решения неравенств.

Цель : изучить различные способы решения неравенств.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи :

1. Изучить теоретический материал по данной теме.
2. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений.
3. Изучить функционально-графические методы решения неравенств.
4. Сравнить различные методы решения неравенств.
5. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

2. Основная часть

2.1. Теоретическая часть

1. Линейные неравенства

Линейные неравенства - это неравенства вида: ax + b 0; ax+b≥0; ax+b≤0, где a и b – любые числа, причем a≠0, x - неизвестная переменная.

Правила преобразования неравенств:

1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный.

2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный.

2. Квадратные неравенства

Неравенство вида

где x - переменная, a, b, c - числа, , называется квадратным. При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения . Для этого необходимо найти дискриминант данного квадратного уравнения. Можно получить 3 случая: 1) D=0 , квадратное уравнение имеет один корень; 2) D>0 квадратное уравнение имеет два корня; 3) D квадратное уравнение не имеет корней. В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a возможно одно из шести расположений графика функции (Приложение 1).

3. Рациональные неравенства

Рациональным неравенством с одной переменной x называют неравенство вида f(x) выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел, переменной x и с помощью математических действий, т.е. операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов (Приложение 1).

4. Показательные неравенства

Показательное неравенство – это неравенство , в котором неизвестное находится в показателе степени. Простейшее показательное неравенство имеет вид:а х ‹ b или а х › b, где а> 0, а ≠ 1, х – неизвестное.

5. Логарифмические неравенства

Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма .

1. Неравенство в случае, если сводится к равносильному неравенству . Если же - то к неравенству .

Аналогично неравенство равносильно неравенствам для : ; для : .

Решения полученных неравенств надо пересечь с ОДЗ:

2. Решение логарифмического неравенства вида равносильно решению следующих систем:

а) б)

Неравенство в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

а) б)

6. Иррациональные неравенства

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

.

2.2. Практическая часть

Исследование № 1

Цель : изучить метод ограниченности функций.

Ход работы:

1. Изучить метод ограниченности функций.

2. Решить неравенства данным методом.

Для использования ограниченности функции необходимо уметь находить множество значений функции и знать оценки области значений стандартных функций (например, ) .

Пример № 1 . Решить неравенство:

Решение:

Область определения:

Для всех х из полученного множества имеем:

Следовательно, решение неравенства

Ответ:

Пример №2. Решить неравенство:

Решение:

Т.к.

Данное неравенство равносильно

Первое уравнение системы имеет один корень х = - 0,4, который удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ: - 0,4

Вывод: данный метод наиболее эффективен, если в неравенстве содержатся такие функции, как и другие, области значений которых ограничены сверху или снизу.

Исследование № 2

Цель : изучить метод рационализации решения неравенств.

Ход работы:

1. Изучить метод рационализации.

2. Решить неравенства данным методом.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x) v 0 равносильно неравенству F(x) v 0 на области определения выражения F(x) (символ "v" заменяет один из знаков неравенств: ≤, ≥, >,

Выделим некоторые типовые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G (таблица 1), где f, g, h, p, q - выражения с переменной х (h>0, h≠1,f>0,g>0), a-фиксированное число (а>0, a≠1). (Приложение 2).

Пример № 1. Решить неравенство:

О.Д.З:

Ответ:

Пример № 2. Решить неравенство:

О.Д.З:

Учитывая область определения, получим

Ответ:

Вывод : неравенства с логарифмами по переменному основанию вызывают наибольшую сложность. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Метод рационализации позволяет не только сэкономить время, но и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Исследование № 3

Цель : в процессе решения неравенств сравнить различные методы.

Ход работы:

1. Решить неравенство разными методами.

2. Сравнить результаты и сделать вывод.

Пример № 1. Решить неравенство

Решение:

1 способ. Алгебраический метод

Решение первой системы:

Решаем второе неравенство второй системы:

2 способ . Использование области определения функции

Область определения:

Для этих значений х получаем:

Правая часть неравенства отрицательна на его области определения. Следовательно, неравенство справедливо при

Ответ:

3 способ. Графический метод

Вывод : решая неравенство алгебраическим методом я пришла к неравенству шестой степени, потратила много времени на его решение, но так и не смогла решить. Рациональный метод, по моему мнению, использование области определения функции или графический.

Пример № 2. Решить неравенство: .

Ответ:

Вывод: решить данное неравенство у меня получилось лишь благодаря методу рационализации.

Заключение

Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

Большинство учащихся решают неравенства с использованием стандартных, алгоритмических методов, что иногда приводит к громоздким вычислениям. В связи с этим процент выполнения задания № 15 на ЕГЭ невысок.

Область применения свойств функций при решении неравенств очень широка. Использование свойств (ограниченность, монотонность и др.) функций, входящих в неравенства, позволяет применить нестандартные методы решения. По нашему мнению, умение использовать необходимые свойства функций при решении неравенств могут позволить учащимся выбирать более рациональный способ решения.

В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Задачи нашей работы выполнены, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.

Литература:

1. Алимов Ш. А, Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 384 с.
2. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012. – 104 с.
3. Сайт http://www.fipi.ru/.
4. Сайт https://ege.sdamgia.ru/.
5. Ященко И. В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. - М.: Издательство «Национальное образование», 2018. - 256 с.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Исследование различных методов решения неравенств Иванова Анастасия Евгеньевна МБОУ «СШ № 30 с углубленным изучением отдельных предметов»

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

Результаты выполнения задания № 15 на пробном экзамене в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы

Гипотеза: если ученик будет владеть несколькими способами решения неравенств, то он сможет выбрать наиболее рациональный Объект исследования: неравенства Предмет исследования: различные способы решения неравенств

Цель: изучить различные способы решения неравенств. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: Изучить теоретический материал по данной теме. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений. Изучить функционально-графические методы решения неравенств. Сравнить различные методы решения неравенств. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

Исследование № 1 Цель: изучить метод ограниченности функций. Ход работы: 1. Изучить метод ограниченности функций. 2. Решить неравенства данным методом. Пример № 1 . Решить неравенство: Решение: Область определения: Для всех х из полученного множества имеем: Следовательно, решение неравенства Ответ:

Пример №2. Решить неравенство: Решение: Т.к. Данное неравенство равносильно Первое уравнение системы имеет один корень х = - 0,4, который удовлетворяет и второму уравнению. Ответ: - 0,4 Вывод: данный метод наиболее эффективен, если в неравенстве содержатся такие функции, как и другие, области значений которых ограничены сверху или снизу.

Исследование № 2 Цель: изучить метод рационализации решения неравенств. Ход работы: 1. Изучить метод рационализации. 2. Решить неравенства данным методом. Пример № 1. Решить неравенство: О.Д.З: Учитывая область определения, получим Ответ:

Пример № 2. Решить неравенство: О.Д.З: Учитывая область определения, получим Ответ: Вывод: неравенства с логарифмами по переменному основанию вызывают наибольшую сложность. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Метод рационализации позволяет не только сэкономить время, но и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Исследование № 3 Цель: в процессе решения неравенств сравнить различные методы. Ход работы: 1. Решить неравенство разными методами. 2. Сравнить результаты и сделать вывод. Пример № 1. Решить неравенство 1 способ. Алгебраический метод Решение первой системы: Решаем второе неравенство второй системы: 2 способ. Использование области определения функции Область определения: Для этих значений х получаем: Правая часть неравенства отрицательна на его области определения. Следовательно, неравенство справедливо при

3 способ. Графический метод Вывод: решая неравенство алгебраическим методом я пришла к неравенству шестой степени, потратила много времени на его решение, но так и не смогла решить. Рациональный метод, по моему мнению, использование области определения функции или графический.

Пример № 2. Решить неравенство: Ответ: Вывод: решить данное неравенство у меня получилось лишь благодаря методу рационализации.

Область применения свойств функций при решении неравенств очень широка. Использование свойств (ограниченность, монотонность и др.) функций, входящих в неравенства, позволяет применить нестандартные методы решения. По нашему мнению, умение использовать необходимые свойства функций при решении неравенств могут позволить учащимся выбирать более рациональный способ решения. В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный. И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок. Задачи нашей работы выполнены, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.

Спасибо за внимание!

Идея графического метода решения уравнения проста. Нужно построить графики функций, содержащихся в обеих частях уравнения и найти абсциссы точек пересечения. Но строить графики некоторых функций сложно. Не всегда есть необходимость прибегать к построению графиков Такие уравнения можно решать методом подбора корня, используя свойства монотонности и ограниченности функций. Это позволяет довольно быстро решать задания, предлагаемые при сдаче ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

« Гимназия № 24»

Функционально – графический метод

Решения уравнений.

Подготовила учитель

Данилина Ольга Сергеевна.

Магадан 2007

« Функционально – графический метод решения уравнений»

Цель урока: сформировать умения решать уравнения определенного типа функционально – графическим методом, с использованием свойств ограниченности и монотонности функций

Структура урока:

Вступительное слово учителя, ознакомление с темой урока, постановка цели

Актуализация ранее полученных знаний, необходимых для освоения темы урока

Презентация ведущими, заключающая в себе изложение нового материала с образцами решения различных типов уравнений

Работа по группам, с целью первичного закрепления изученного

Проведения игры по образцу игры: «Что? Где? Когда?»

Подведение итогов урока.

1. Во вступительном слове учитель делится своим опытом знакомства с новым методом. говорит о необходимости его освоения, его значимости, о возможности приобретения навыков более рационального решения равнений
2. Актуализация знаний:: возрастание и убывание функций, примеры, свойства монотонности и ограниченности функций.
3. Презентация новой темы с использованием слайдов с изложении ем теоретического материала с образцами решений уравнений.(см. приложение).
4. Работа по группам: Каждой группе раздаются карточки с заданиями, образцы решения и оформления заданий. Ведущие урок ученики – консультанты контролируют ход выполнения заданий, при необходимости приходят на помощь. При своей работе, работающие в группах могут использовать компьютеры, которые настроены на специальную программу, позволяющую выстраивать графики функций, Благодаря этому, в затруднительных ситуациях компьютер можно использовать как средство подсказки или как возможность наглядно продемонстрировать верность выполненного решения и правильность выбранного метода.
5. Защита представителем группы выполненных заданий, с использованием мультимедийной доски, на которой демонстрируется решение уравнений графическим методом в подтверждении верности выполненного задания. РА
6. Проведение игры. Для каждой группы с экрана мониторов звучит вопрос, заранее записанный разными учителями школы, дается минута на обсуждение по истечении которой ребята должны дать свой обоснованный ответ. После этого с вновь включенного экрана вариант своего ответа представляет учитель, ранее задававший вопрос Таким многократным повторением рассуждений по вновь изученной теме, тем более произносимыми грамотно различными людьми, достигаются наиболее выгодные условия для усвоения новой темы.(см. прилож.)
7. Подведение итогов: Выявление лучшей «пятерки знатоков, лучшего игрока.

Вопросы к классу;

Чему вы научились на сегодняшнем уроке

Какие уравнения можно решать методом подбора

Какие свойства функций при этом используются.

Вопросы к участникам игры:

Уважаемые знатоки, за одну минуту найдите корень этого уравнения и докажите, что он единственный.

Ответ: Сумма двух возрастающих функций, есть возрастающая функция. у =- монотонно возрастает, следовательно уравнение имеет один корень, т.к. график этой функции пересекается с прямой у=3 один раз. При х=1, мы получим верное равенство. Ответ: х=1

Уважаемые знатоки, через одну минуту назовите функции, которые содержатся в обеих частях неравенства и найдите корень данного уравнения.

Ответ:у =- показательная функция, возрастающая на множестве действительных чисел. у=6 - х - линейная функция, она монотонно убывает на множестве действительных чисел. Значит графики функций пересекаются в одной точке, уравнение имеет один корень. При х=2, получим верное равенство. Ответ: х=2

3. Уважаемые знатоки, вы ухе знаете, что уравнение имеет единственный корень х=3. Через одну минуту, ответьте, при каких значениях х, выполняется неравенство.

Ответ: неравенство выполняется при х Є , т.к. на данном интервале график функции у=, расположен ниже графика функции у =

4. Уважаемые знатоки, у многих вызывает затруднения решение уравнение. За одну минуту найдите корень этого уравнения и докажите, что он единственный.

Ответ: корень уравнения х=-3 является единственным, т.к.в левой части уравнения содержится убывающая функция, а в правой возрастающая, значит графики функций пересекаются в одной точке и уравнение имеет единственный корень.

5. Уважаемые знатоки, у меня к вам непростой вопрос. Вы легко найдете корень уравнения. Докажите, что он единственный. Ответ:х=1 – единственный корень.

Функционально – графический метод решения уравнений.

________________________________________________________________________

Цель урока: Научиться решать уравнения методом подстановки, используя свойства монотонности и ограниченности функций.

_________________________________________________________________________

Справочный материал

1. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если на этом множестве при увеличении (уменьшении) аргумента значение функции увеличивается (уменьшается).

Пример 1:

1. являются возрастающими функциями

Пример 2:

являются убывающими функциями

Справочный материал

2. Сумма двух возрастающих функций, есть возрастающая функция.

Пример:

3. Сумма двух убывающих функций, есть убывающая функция.

Алгебра и начала анализа10­11 класс (А.Г.Мордкович)
Разработать урок по функционально­графическому методу решения
уравнений.
Тема урока: Функционально­графический метод решения уравнений.
Тип урока: Урок совершенствования знаний умений и навыков.
Цели урока:
Образовательные: Систематизировать, обобщить, расширить знания, умения
учащихся, связанные с применением функционально­графического метода
решения уравнений. Отработать навыки решения уравнений функционально­
графическим методом.
Развивающие: Развитие памяти, логического мышления, умения
анализировать, сравнивать, обобщать, самостоятельно делать выводы;
развитие грамотной математической речи.
Воспитательные: воспитывать аккуратность и точность при выполнении
заданий, самостоятельность и самоконтроль; формирование культуры
учебного труда; продолжить формирование познавательного интереса к
предмету.
Структура урока:
I.
АЗ
1. Организационный момент.


4. Постановка целей и задач на следующий этап урока.
II.
ФУН
1. Коллективное решение задач.
2. Постановка домашнего задания.
3. Самостоятельная работа.
4. Подведение итогов урока.

Ход урока:
I.АЗ
1.Организационный момент.
2. Устная работа с целью проверки домашнего задания.
Начнём урок с проверки домашнего задания.
Называйте ответы по цепочке.
1358.а)4x=1/16
4x=4­2
б)(1/6)x=36
6­x=62
x=­2 x=­2
1364.a)(1/5)x*3x= √ 27

3
5
¿
3
5
¿
)x=
125 б)5x*2x=0,1­3
)3/2 10x=103
x=3
x=1.5
1366.a)22x­6*2x+8=0
2x=a
a=2 , a=4
2x=2, 2x=4
x=1, x=2
1367. б)2*4x­5*2x+2=0
2x=a
2a2­5a+2=0
a=2, a=1/2
2x=2, 2x=1/2
x=1, x=­1
1371.a)5x=­x+6 y=5x y=­x+6
y
6
5
0
1
x
x=1

Молодцы, у всех получились такие ответы, есть вопросы по домашнему
заданию? Все справились?
3. Фронтальный опрос с целью АЗ по теме.
Как называются уравнения, которые вы решали в домашней работе?
Показательные.
Какие уравнения называются показательными?
Показательными уравнениями называют уравнения вида af(x)=ag(x), где а ­
положительное число отличное от 1,и уравнения, сводящиеся к этому
виду.
Какому уравнению равносильно уравнение af(x)=ag(x)?
уравнение af(x)=ag(x) (где a>0,a ≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x)
C помощью каких основных методов вы решали показательные уравнения?
1) Метод уравнивания показателей
2) Метод введения новой переменной
3) Функционально графический метод
4.Постановка целей и задач на следующий этап урока.
Сегодня мы подробнее остановимся на решение уравнений с помощью
функционально – графического метода.
За 10 минут до конца урока вы напишите небольшую самостоятельную работу.
II.ФУН
1.Коллективное решение задач.
В чём же суть функционально­графического метода решения уравнений? Что
мы должны сделать решая уравнение таким способом?
Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально­графическим
методом нужно:
Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.
Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.
Записать ответ.
№1a)3x=­x+4

Функционально –графическим.

Введем функции.

y=3x y=­x+4
таблицу.
Каким образом строим график?
По точкам, подставляем в функцию x и находим y.
y
4
3

0
1
x

Найдём точку пересечения двух получившихся графиков.
Сколько точек пересечения у нас получилось, посмотри на рисунок?
Одна точка.
Что это значит? Сколько корней имеет данное уравнение?
Один корень, равен 1.
Ответ: x=1
б)3x/2=­0.5x+4
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально –графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
y=3x/2 y=­0.5x+4
y
4
3
0
2 x
Как мы найдём корень уравнения?

Ответ: x=2
№2 a)2x+1=x3
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально –графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
y=2x+1 y= x3

8
0
2 x
Как мы найдём корень уравнения?
Найдём точку пересечения двух получившихся графиков, корень равен 2.
Ответ: x=2
б)2x=(x2/2)+2
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально –графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
y=2x y= (x2/2)+2
Если учащийся может, строит график сразу, если нет, сначала составляет
таблицу.
y

4
0
2 x
Как мы найдём корень уравнения?
Найдём точку пересечения двух получившихся графиков, корень равен 2.
Ответ: x=2
2.Откройте дневники, запишите домашнее задание.
№№1372,1370,1371(в,г)
3.Самостоятельная работа.

а)3x+2­6x=0 (решений нет)
б)5x/5+x­1=0 (x=0)
А сейчас небольшая самостоятельная работа. Проверим как вы усвоили
материал, всё ли из вас поняли суть функционально­графического метода
решения уравнений.
№1 Решить уравнение функционально ­ графическим методом:
1 вариант
2 вариант
а)5x/5=­x2 (решений нет)
б)3x+2­3=0 (x=­1)
№2 Сколько корней имеет уравнение и в каком промежутке они находятся
1 вариант
а)3x=­x2­2 (решений нет) а) 3x=­x2+2 ((­1,5;1) два корня)
б)3x/2=6x ((­3;3,5) два корня) б)2x+x2­5=0 (­2.5;1.5) два корня)
4.Подведение итогов урока.
Чем сегодня мы занимались на уроке? Задания, какого вида решали?
Какой метод решения показательных уравнений вы сегодня освоили?
Повторим ещё раз, в чём суть функционально – графического метода решения
уравнений?
Объясните пошагово, как решаются уравнения таким методом?
Есть вопросы? Всем всё понятно?
Урок закончен, можете быть свободны.
2 вариант

Урок и презентация на тему:

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Ребята, нам осталось рассмотреть еще один метод решения уравнений – функционально-графический. Суть метода проста, и мы с вами им уже пользовались.

Пусть нам дано уравнение вида $f(x)=g(x)$. Мы строим два графика $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на одной координатной плоскости и отмечаем точки, в которых наши графики пересекаются. Абсцисса точки пересечения (координата по х) - это и есть решение нашего уравнения.

Так как метод называется функционально-графическим, то не всегда нужно строить графики функций. Можно пользоваться и свойствами функций. Например, вы видите явное решение уравнения в какой-то точке: если одна из функций строго возрастает, а другая строго убывает, то это и будет единственное решение уравнения. Свойства монотонности функций часто помогают при решении различных уравнений.

Вспомним еще один метод: если на промежутке Х, наибольшее значение любой из функций $y=f(x)$, $y=g(x)$ равно А, а соответственно наименьшее значение другой функции также равно А, то уравнение $f(x)=g(x)$ равносильно системе: $\begin {cases} f(x)=A, \\ g(x)=A. \end {cases}$

Пример.
Решить уравнение: $\sqrt{x+1}=|x-1|$.

Решение.
Построим графики функций, на одной координатной плоскости: $y=\sqrt{x}+1$ и $y=|x-1|$.

Как видно из рисунка наши графики пересекаются в двух точках с координатами: А(0;1) и B(4;3). Решением исходного уравнения будут абсциссы этих точек.

Ответ: $х=0$ и $х=4$.

Пример.
Решить уравнение: $x^7+3x-134=0$.

Решение.
Перейдем к равносильному уравнению: $x^7=134-3x$.
Можно заметить, что $х=2$ является решением данного уравнения. Давайте докажем, что это единственный корень.
Функция $y=x^7$ – возрастает на всей области определения.
Функция $y=134-3x$ – убывает на всей области определения.
Тогда графики этих функций либо вообще не пересекаются, либо пересекаются в одной точке, это точку мы уже нашли $х=2.$

Ответ: $х=2$.

Пример.
Решить уравнение: $\frac{8}{x}=\sqrt{x}$.

Решение.
Данное уравнение можно решить двумя способами.
1. Опять же заметим, что $х=4$ – корень уравнения. На отрезке $, отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Пример 1. Решить уравнение

(18)

Решение. Очевидно, что х0 не может являться решением уравнения (18), так как тогда . Для х>0 функция непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f=x и https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34"> принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х=1 является решением уравнения (18), следовательно, это его единственное решение.

Ответ: х=1.

Пример 2. Решить неравенство

. (19)

Решение. Каждая из функций , , непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция . Легко видеть, что при х=0 функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х>0 имеем , при х<0 имеем . Следовательно, решениями неравенства (19) являются все х<0.

Ответ: -∞

Пример 3. Решить уравнение

(20)

Решение. Область допустимых значений уравнения (20) есть промежуток . На области допустимых значений функции и непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция . Поэтому каждое свое значение функция h(x) принимает только в одной точке. Так как h(2)=2, то х=2 является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ: х=2.

Пример 4. Решить неравенство

Решение..gif" width="253 height=27" height="27"> является непрерывной и строго возрастающей. Так как f(1)=4, то все значения х из множества возрастает на промежутке . Так как на промежутке ..gif" width="95" height="25 src="> представлены на рисунке 7. Из рисунка следует, что для всех х из ОДЗ неравенство (26) справедливо.

Докажем это. Для каждого имеем , а для каждого такого х имеем, что https://pandia.ru/text/78/500/images/image211_1.gif" width="63 height=23" height="23"> имеем . Следовательно, решениями неравенства (26) будут все х из промежутка [-1;1].

Пример 2. Решить уравнение

. (27)

Решение..gif" width="123" height="24"> и представлены на рисунке 8. Проведем прямую у=2. Из рисунка следует, что график функции f(x) лежит не ниже этой прямой, а график функции g(x) не выше. При этом эти графики касаются прямой у=2 в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого имеем , а . При этом f(x)=2 только для х=-1, а g(x)=2 только для х=0. Это означает, что уравнение (27) не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 3. Решить уравнение

. (28)

Решение..gif" width="95" height="25 src="> представлены на рисунке 9. Легко проверяется, что точка (-1; -2) является точкой пересечения графиков функций f(x) и g(x), то есть х=-1 есть решение уравнения (28). Проведем прямую у=х-1. Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций у=f(x) и у=g(x). Это наблюдение и помогает доказать, что других решений уравнение (28) не имеет.

Для этого докажем, что х из промежутка (-1; +∞) справедливы неравенства и , а для х из промежутка (-∞; -1) справедливы неравенства https://pandia.ru/text/78/500/images/image229_1.gif" width="89" height="21 src=">. Очевидно, что неравенство справедливо для х>-1, а неравенство https://pandia.ru/text/78/500/images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. Решениями этого неравенства являются все х<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1.

Следовательно, требуемое утверждение доказано, и уравнение (28) имеет единственный корень х=-1.

Ответ: х=-1.

Пример 4. Решить неравенство

. (29)

Решение..gif" width="39" height="19 src=">, то есть ОДЗ состоит из трех промежутков , , https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" width="52" height="41">, равносильно неравенству

, (30)

а в области х>0 оно равносильно неравенству

. (31)

Эскизы графиков функций и приведены на рисунке 10..gif" width="56" height="45"> и .

Поэтому неравенство (31) не имеет решений, а неравенство (30) будет иметь решениями все х из промежутка .

Докажем это.

А) Пусть . Неравенство (29) равносильно на этом промежутке неравенству (30). Легко видеть, что для каждого х из этого интервала справедливы неравенства

,

.

Следовательно, неравенство (30), а вместе с ним и исходное неравенство (29) не имеют решений на интервале .

Б) Пусть . Тогда неравенство (29) также равносильно неравенству (30). Для каждого х из этого интервала

,

Следовательно, любое такое х является решением неравенства (30), а поэтому и исходного неравенства (29).

В) Пусть х>0. На этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству (31). Очевидно, что для любого х из этого множества справедливы неравенства

,

Отсюда следует:

1) неравенство (31) не имеет решений на том множестве, где , то есть неравенство (31) не имеет решений на множестве ;

2) неравенство (31) не имеет решений на том множестве, где https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. Остается найти решения неравенства (31), принадлежащие интервалу 1