03.07.202327.05.2017

Haqiqiy funktsiya oraliqda Dirixle shartlarini qanoatlantirsin - L, L. Keling, uning kengayishini trigonometrik Furye qatoriga yozamiz:

Agar (10.1) da xayoliy argumentning eksponensial funktsiyasi orqali ifodalansak:

keyin biz seriyani olamiz

(10.2) tufayli

Oxirgi uchta formulani birlashtirish mumkin:

Koeffitsientlari (10.4) bo'lgan (10.3) qator murakkab shakldagi trigonometrik Furye qatori deb ataladi.

1-misol. Kompleks son bo‘lgan funksiyani interval bo‘yicha Furye qatoriga kengaytiring.

Yechim . Furye koeffitsientlarini topamiz:

O'shandan beri

Kerakli kengaytma shaklga ega bo'ladi

qaerda bu hisobga olinadi

Parseval tengligini qatorga qo‘llash (10.5)

boshqa raqamlar qatorining yig'indisini topishingiz mumkin. Darhaqiqat, bizning holatlarimizda

Keyin (10.6) dan kelib chiqadi

Mashq 1. Buni isbotlang

Eslatma. Qo'ying (10,5) X= 0 va X = .

Mashq 2. Qachon ekanligini isbotlang

Furye integrali

Furye integralining yaqinlashuvi

Funksiya butun son qatorida aniqlansin. Agar ixtiyoriy chekli oraliqda - L, L Berilgan funksiya Dirixle shartlarini qanoatlantiradi, keling, uni trigonometrik Furye qatori bilan kompleks shaklda ifodalaylik:

Chastotasi k th harmonika; .

(11.2) iboralarni (11.1) ga kiritib, biz hosil qilamiz

Hajmi bo'yicha. (11.3) formulaning o'ng tomoni intervaldagi o'zgaruvchi ustidagi funksiya uchun integral yig'indiga o'xshaydi. Shuning uchun biz (11.3) chegaraga o'tgandan so'ng, seriya o'rniga integralni olishimizni kutishimiz mumkin.

Formula (11.4) Furye integrali formulasi, o'ng tomoni esa Furye integrali deb ataladi.

(11.4) formulani chiqarishda qo'llanilgan mulohaza qat'iy emas va faqat taklif qiladi. Furye integral formulasi haqiqiy bo'lgan shartlar biz isbotsiz qabul qiladigan teorema bilan belgilanadi.

Teorema. Funktsiya, birinchidan, oraliqda mutlaqo integrallansin, ya'ni. integral yaqinlashadi va ikkinchidan, har bir chekli intervalda Dirixlet shartlarini qanoatlantiradi (- L, L). Keyin Furye integrali hamma joyda (asosiy qiymat ma'nosida) yaqinlashadi, ya'ni. tenglik (11.4) hamma uchun qondiriladi X orasidan. Bu yerda, avvalgidek, uzilish nuqtasida funksiya qiymati shu nuqtadagi uning bir tomonlama chegaralari yig’indisining yarmiga teng deb hisoblanadi.

Furye konvertatsiyasi

Furye integral formulasini (11.4) quyidagicha o'zgartiramiz. Keling, qo'ying

Agar funktsiya butun o'qda uzluksiz va absolyut integrallanadigan bo'lsa, u holda funktsiya intervalda uzluksizdir. Haqiqatan ham, o'shandan beri

va o'ngdagi integral yaqinlashganligi sababli, chapdagi integral yaqinlashadi. shuning uchun (12.1) integral absolyut yaqinlashadi. Tenglik (12.2) hamma uchun bir vaqtning o'zida qondiriladi, shuning uchun integral (12.1) ga nisbatan bir xilda yaqinlashadi. Bundan kelib chiqadiki, funksiya uzluksizdir (xuddi uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan qatorning bir xil yaqinlashuvi uning yig‘indisining uzluksizligini nazarda tutganidek).

(11.4) dan olamiz

(12.1) formula bilan aniqlangan kompleks funksiya funktsiyaning Furye konvertatsiyasi yoki Furye konvertatsiyasi deb ataladi. O'z navbatida, (12.3) formula teskari Furye konvertatsiyasi yoki funktsiyaning teskari tasviri sifatida aniqlanadi. Berilgan funktsiya uchun tenglikni (12.3) funktsiyaga nisbatan integral tenglama sifatida ko'rish mumkin, uning yechimi (12.1) formula bilan berilgan. Va aksincha, berilgan funksiya uchun (12.1) integral tenglamaning yechimi (12.3) formula bilan berilgan.

(12.3) formulada ifoda, nisbatan aytganda, intervalda uzluksiz taqsimlangan chastotalar va umumiy kompleks amplitudali murakkab harmonikalar to'plamini bildiradi. Funktsiya spektral zichlik deb ataladi. Formula (12.2), shaklda yozilgan

funktsiyaning chastotalari intervalda taqsimlangan uzluksiz spektrni tashkil etuvchi harmonik paketlar yig'indisiga kengayishi sifatida talqin qilinishi mumkin.

Parseval tengliklari. Haqiqiy funktsiyalarning Furye tasvirlari va mos ravishda bo'lsin. Keyin

bular. skalyar mahsulotlar va funktsiyalar normalari Furye konvertatsiyasining invariantlari hisoblanadi. Keling, ushbu bayonotni isbotlaylik. Skayar mahsulotning ta'rifi bo'yicha bizda mavjud. Funksiyani Furye konvertatsiyasi orqali uning ifodasi (12.3) bilan almashtirib, olamiz

(12.1) ga binoan

Shuning uchun, ya'ni. formula (12.4) isbotlangan. Formula (12.5) da (12.4) dan olingan.

Kosinus va sinus Furye o'zgarishi. Haqiqiy funktsiya juft bo'lsa, uning biz bu erda belgilagan Furye konvertatsiyasi ham haqiqiy juft funktsiyadir. Haqiqatan ham,

Oxirgi integral, integralning g'alatiligi tufayli yo'qoladi. Shunday qilib,

Bu yerda biz juft funksiyalarning (7.1) xossasidan foydalanamiz.

(12.6) dan funktsiya haqiqiy va teng bog'liq ekanligi kelib chiqadi, chunki u (12.6) ga faqat kosinus orqali kiradi.

Bu holda teskari Furye konvertatsiyasining formulasi (12.3) beradi

Chunki va o'zgaruvchining mos ravishda juft va toq funksiyalari bo'ladi, demak

(12.6) va (12.7) formulalar Furye kosinus konvertatsiyasini aniqlaydi.

Xuddi shunday, agar haqiqiy funktsiya toq bo'lsa, uning Furye o'zgarishi bu erda haqiqiy toq funktsiyadir. Qayerda

(12.8), (12.9) tengliklari Furye sinus konvertatsiyasini aniqlaydi.

E'tibor bering, formulalar (12.6) va (12.8) faqat funktsiya qiymatlarini o'z ichiga oladi. Shuning uchun kosinus va sinus Furye o'zgarishlarini yarim cheksiz oraliqda aniqlangan funktsiyaga ham qo'llash mumkin. Bunda (12.7) va (12.9) formulalardagi integrallar mos ravishda berilgan funksiyaga, at esa uning juft va toq davomlariga yaqinlashadi.

Ular allaqachon juda zerikarli. Va men nazariyaning strategik zaxiralaridan yangi konserva mahsulotlarini chiqarish vaqti kelganini his qilyapman. Funktsiyani boshqa yo'l bilan bir qatorga kengaytirish mumkinmi? Masalan, to'g'ri chiziq bo'lagini sinuslar va kosinuslar bilan ifodalang? Bu aql bovar qilmaydigan ko'rinadi, lekin bunday uzoqdan tuyuladigan funktsiyalar bo'lishi mumkin
"qayta birlashish". Nazariya va amaliyotdagi tanish darajalardan tashqari, funktsiyani ketma-ketlikka kengaytirishning boshqa yondashuvlari ham mavjud.

Ushbu darsda biz Furye trigonometrik qatorlari bilan tanishamiz, uning yaqinlashuvi va yig'indisi masalasiga to'xtalamiz va, albatta, Furye qatoridagi funktsiyalarni kengaytirishga oid ko'plab misollarni tahlil qilamiz. Men chin dildan maqolani "Dummiya uchun Furye seriyasi" deb nomlashni xohlardim, ammo bu bema'nilik bo'lar edi, chunki muammolarni hal qilish matematik tahlilning boshqa sohalarini bilish va ba'zi amaliy tajribalarni talab qiladi. Shuning uchun, muqaddima astronavtlarni tayyorlashga o'xshaydi =)

Birinchidan, siz sahifa materiallarini o'rganishga mukammal shaklda yondashishingiz kerak. Uyquchan, dam olgan va hushyor. Singan hamster oyog'i haqida kuchli his-tuyg'ularsiz va akvarium baliqlari uchun hayotning qiyinchiliklari haqida obsesif fikrlarsiz. Furye seriyasini tushunish qiyin emas, lekin amaliy vazifalar shunchaki diqqatni jamlashni talab qiladi - ideal holda siz o'zingizni tashqi ogohlantirishlardan butunlay ajratib olishingiz kerak. Yechimni tekshirish va javob berishning oson yo'li yo'qligi vaziyatni yanada og'irlashtiradi. Shunday qilib, agar sog'ligingiz o'rtacha darajadan past bo'lsa, unda oddiyroq narsani qilish yaxshiroqdir. Bu rostmi.

Ikkinchidan, kosmosga uchishdan oldin kosmik kemaning asboblar panelini o'rganish kerak. Mashinada bosilishi kerak bo'lgan funktsiyalarning qiymatlari bilan boshlaylik:

Har qanday tabiiy qiymat uchun:

1) . Darhaqiqat, sinusoid har bir "pi" orqali x o'qini "tikadi":
. Argumentning salbiy qiymatlari bo'lsa, natija, albatta, bir xil bo'ladi: .

2) . Lekin buni hamma ham bilmas edi. Kosinus "pi" "miltillovchi" ning ekvivalenti:

Salbiy dalil ishni o'zgartirmaydi: .

Balki bu yetarlidir.

Uchinchidan, aziz kosmonavtlar korpusi, siz... integratsiyalash.
Xususan, ishonch bilan funktsiyani differensial belgisi ostiga qo'ying, qismlarga bo'lib birlashtiring va tinchlikda bo'ling Nyuton-Leybnits formulasi. Parvoz oldidan muhim mashqlarni boshlaylik. Keyinchalik vaznsizlikka duch kelmaslik uchun men uni o'tkazib yuborishni qat'iyan tavsiya etmayman:

1-misol

Aniq integrallarni hisoblang

Bu erda tabiiy qadriyatlar olinadi.

Yechim: integratsiya “x” o‘zgaruvchisi ustida amalga oshiriladi va bu bosqichda “en” diskret o‘zgaruvchisi doimiy hisoblanadi. Barcha integrallarda funksiyani differentsial belgisi ostiga qo'ying:

Maqsadga erishish yaxshi bo'lgan yechimning qisqacha versiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Keling, ko'nikamiz:

Qolgan to'rtta nuqta sizning qo'lingizda. Vazifaga vijdonan yondashishga harakat qiling va integrallarni qisqacha yozing. Dars oxirida namunali yechimlar.

SIFAT mashqlarini bajarib bo'lgach, biz skafandrlar kiydik
va boshlashga tayyorlaning!

Funksiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytirish

Ba'zi funktsiyani ko'rib chiqing belgilangan hech bo'lmaganda bir muddat (va, ehtimol, uzoqroq muddat uchun). Agar bu funktsiya intervalda integrallash mumkin bo'lsa, uni trigonometrikga kengaytirish mumkin Furye seriyasi:
, deb atalmishlar qayerda Furye koeffitsientlari.

Bunday holda, raqam chaqiriladi parchalanish davri, va bu raqam parchalanishning yarim umri.

Ko'rinib turibdiki, umumiy holatda Furye qatori sinus va kosinuslardan iborat:

Haqiqatan ham, keling, buni batafsil yozamiz:

Seriyaning nol termini odatda shaklda yoziladi.

Furye koeffitsientlari quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

Mavzuni o'rganishni boshlaganlar hali ham yangi atamalar haqida aniq emasligini juda yaxshi tushunaman: parchalanish davri, yarim tsikl, Furye koeffitsientlari va hokazo vahima qo'ymang, bu kosmosga chiqishdan oldin hayajon bilan solishtirish mumkin emas. Keling, quyidagi misolda hamma narsani tushunib olaylik, buni amalga oshirishdan oldin dolzarb amaliy savollarni berish mantiqan:

Quyidagi vazifalarda nima qilish kerak?

Funksiyani Furye qatoriga kengaytiring. Bundan tashqari, ko'pincha funktsiyaning grafigini, qatorlar yig'indisining grafigini, qisman yig'indini tasvirlash va murakkab professor fantaziyalari bo'lsa, boshqa narsalarni qilish kerak.

Funksiyani Furye qatoriga qanday kengaytirish mumkin?

Umuman olganda, siz topishingiz kerak Furye koeffitsientlari, ya'ni uchtasini tuzing va hisoblang aniq integral.

Iltimos, Furye seriyasining umumiy shaklini va uchta ishchi formulani daftaringizga ko'chiring. Ba'zi saytga tashrif buyuruvchilar kosmonavt bo'lish orzularini mening ko'z o'ngimda amalga oshirayotganidan juda xursandman =)

2-misol

Funktsiyani intervalda Furye qatoriga kengaytiring. Grafikni, qatorlar yig'indisining grafigini va qisman yig'indisini tuzing.

Yechim: Vazifaning birinchi qismi funktsiyani Furye seriyasiga kengaytirishdir.

Boshlanish standartdir, buni yozganingizga ishonch hosil qiling:

Bu muammoda kengayish davri yarim davr hisoblanadi.

Funksiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytiramiz:

Tegishli formulalar yordamida biz topamiz Furye koeffitsientlari. Endi biz uchtasini tuzishimiz va hisoblashimiz kerak aniq integral. Qulaylik uchun men nuqtalarni raqamlayman:

1) Birinchi integral eng sodda, ammo u ko'z olmalarini ham talab qiladi:

2) Ikkinchi formuladan foydalaning:

Bu integral yaxshi ma'lum va uni parcha-parcha oladi:

Topilganida ishlatiladi funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish usuli.

Ko'rib chiqilayotgan vazifada darhol foydalanish qulayroqdir Aniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash formulasi :

Bir nechta texnik eslatmalar. Birinchidan, formulani qo'llashdan keyin butun ifoda katta qavs ichiga olinishi kerak, chunki asl integraldan oldin doimiy mavjud. Keling, uni yo'qotmaylik! Qavslar keyingi qadamda kengaytirilishi mumkin; Men buni oxirgi chora sifatida qildim. Birinchi "qismda" Biz almashtirishda juda ehtiyotkorlik bilan harakat qilamiz, ko'rib turganingizdek, konstanta ishlatilmaydi va integratsiya chegaralari mahsulotga almashtiriladi. Ushbu harakat kvadrat qavs ichida ta'kidlangan. Xo'sh, siz o'quv topshirig'idagi formulaning ikkinchi "bo'lagi" ning integrali bilan tanishsiz;-)

Va eng muhimi - ekstremal konsentratsiya!

3) Biz uchinchi Furye koeffitsientini qidiramiz:

Oldingi integralning nisbiysi olinadi, bu ham parcha-parcha birlashtiradi:

Bu misol biroz murakkabroq, men keyingi bosqichlarni bosqichma-bosqich izohlayman:

(1) Ifoda butunlay katta qavslar ichiga olingan. Men zerikarli ko'rinishni xohlamadim, ular tez-tez doimiylikni yo'qotadilar.

(2) Bunday holda, men darhol bu katta qavslarni ochdim. Maxsus e'tibor Biz o'zimizni birinchi "bo'lak" ga bag'ishlaymiz: doimiy chekish chekkada va integratsiya chegaralarini ( va ) mahsulotga almashtirishda ishtirok etmaydi. Yozuvning tartibsizligi sababli, bu harakatni kvadrat qavslar bilan yana bir bor ta'kidlash tavsiya etiladi. Ikkinchi "bo'lak" bilan hamma narsa oddiyroq: bu erda kasr katta qavslar ochilgandan so'ng paydo bo'ldi va doimiy - tanish integralni integrallash natijasida;-)

(3) Kvadrat qavs ichida biz transformatsiyalarni amalga oshiramiz va o'ngdagi integralda - integratsiya chegaralarini almashtirish.

(4) Kvadrat qavslardan "miltillovchi chiroq" ni olib tashlaymiz: , va keyin ichki qavslarni ochamiz: .

(5) Biz qavs ichidagi 1 va -1 ni bekor qilamiz va yakuniy soddalashtirishlarni qilamiz.

Nihoyat, barcha uchta Furye koeffitsienti topiladi:

Keling, ularni formulaga almashtiramiz :

Shu bilan birga, yarmiga bo'linishni unutmang. Oxirgi bosqichda "en" ga bog'liq bo'lmagan doimiy ("minus ikki") yig'indidan tashqarida olinadi.

Shunday qilib, biz funktsiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytirishga erishdik:

Keling, Furye qatorining yaqinlashuvi masalasini o'rganamiz. Men, xususan, nazariyani tushuntiraman Dirixlet teoremasi, tom ma'noda "barmoqlarda", shuning uchun agar sizga qat'iy formulalar kerak bo'lsa, iltimos, matematik tahlil bo'yicha darslikka murojaat qiling (masalan, Bohanning 2-jildi yoki Fichtengoltsning 3-jildi, ammo bu qiyinroq).

Masalaning ikkinchi qismi grafikni, qator yig’indisining grafigini va qisman yig’indi grafigini chizishni talab qiladi.

Funktsiyaning grafigi odatiy hisoblanadi tekislikdagi to'g'ri chiziq, u qora nuqta chiziq bilan chizilgan:

Keling, qatorlarning yig'indisini aniqlaylik. Ma’lumki, funksiyalar qatorlari funksiyalarga yaqinlashadi. Bizning holatda, qurilgan Furye seriyasi "x" ning istalgan qiymati uchun qizil rangda ko'rsatilgan funksiyaga yaqinlashadi. Bu funktsiya toqat qiladi 1-toifa yorilishlar nuqtalarda, lekin ularda ham aniqlanadi (chizmadagi qizil nuqta)

Shunday qilib: . Asl funktsiyadan sezilarli darajada farq qilishini ko'rish oson, shuning uchun kirishda Tenglik belgisi o'rniga tilda ishlatiladi.

Keling, qator yig'indisini qurish uchun qulay bo'lgan algoritmni o'rganamiz.

Markaziy intervalda Furye seriyasi funksiyaning o'ziga yaqinlashadi (markaziy qizil segment chiziqli funktsiyaning qora nuqta chizig'iga to'g'ri keladi).

Endi ko'rib chiqilayotgan trigonometrik kengayishning tabiati haqida bir oz gapiraylik. Furye seriyasi faqat davriy funktsiyalarni o'z ichiga oladi (doimiy, sinuslar va kosinuslar), shuning uchun qatorlar yig'indisi davriy funksiya hamdir.

Bu bizning aniq misolimizda nimani anglatadi? Va bu seriyaning yig'indisi degan ma'noni anglatadi –albatta davriy va intervalning qizil segmenti chap va o'ngda cheksiz takrorlanishi kerak.

Menimcha, "parchalanish davri" iborasining ma'nosi endi nihoyat aniq bo'ldi. Oddiy qilib aytganda, har safar vaziyat yana va yana takrorlanadi.

Amalda, odatda, chizilgan rasmda bo'lgani kabi, parchalanishning uchta davrini tasvirlash etarli. Xo'sh, shuningdek, qo'shni davrlarning "do'qmoqlari" - grafik davom etishi aniq bo'lishi uchun.

Ayniqsa qiziqish uyg'otadi 1-turdagi uzilish nuqtalari. Bunday nuqtalarda Furye seriyasi uzilishning "sakrashi" ning o'rtasida joylashgan (chizmadagi qizil nuqta) ajratilgan qiymatlarga yaqinlashadi. Ushbu nuqtalarning ordinatasini qanday topish mumkin? Birinchidan, "yuqori qavat" ning ordinatasini topamiz: buning uchun biz kengayishning markaziy davrining eng o'ng nuqtasida funktsiyaning qiymatini hisoblaymiz: . "Pastki qavat" ning ordinatasini hisoblashning eng oson usuli - xuddi shu davrning eng chap qiymatini olish: . O'rtacha qiymatning ordinatasi "yuqori va pastki" yig'indisining o'rtacha arifmetik qiymatidir: . Yoqimli haqiqat shundaki, chizmani qurishda siz o'rtasi to'g'ri yoki noto'g'ri hisoblanganligini darhol ko'rasiz.

Keling, qatorning qisman yig'indisini tuzamiz va shu bilan birga "konvergentsiya" atamasining ma'nosini takrorlaymiz. Motiv ham haqidagi darsdan ma'lum raqamlar qatorining yig'indisi. Keling, boyligimizni batafsil tasvirlab beraylik:

Qisman yig'indini tuzish uchun siz nol + qatorning yana ikkita shartini yozishingiz kerak. Ya'ni,

Chizmada funktsiya grafigi yashil rangda ko'rsatilgan va siz ko'rib turganingizdek, u to'liq summani juda qattiq "o'radi". Agar biz ketma-ket beshta shartning qisman yig'indisini ko'rib chiqsak, unda bu funktsiyaning grafigi qizil chiziqlarga yanada aniqroq yaqinlashadi; agar yuzta shart bo'lsa, unda "yashil ilon" aslida qizil segmentlar bilan to'liq birlashadi, va boshqalar. Shunday qilib, Furye qatori uning yig'indisiga yaqinlashadi.

Shunisi qiziqki, har qanday qisman miqdor uzluksiz funksiya, ammo seriyaning umumiy yig'indisi hali ham uzluksiz.

Amalda, qisman yig'indi grafigini qurish juda kam uchraydi. Buni qanday qilish kerak? Bizning holatda, segmentdagi funktsiyani ko'rib chiqish, segmentning oxirida va oraliq nuqtalarda uning qiymatlarini hisoblash kerak (qanchalik ko'p nuqtalarni ko'rib chiqsangiz, grafik qanchalik aniq bo'ladi). Keyin chizmada ushbu nuqtalarni belgilashingiz va diqqat bilan davr bo'yicha grafik chizishingiz kerak, so'ngra uni qo'shni intervallarga "takrorlang". Yana qanday qilib? Axir, yaqinlashish ham davriy funktsiyadir... ...uning grafigi qaysidir ma'noda tibbiy asbob displeyidagi yurakning bir tekis ritmini eslatadi.

Qurilishni amalga oshirish, albatta, juda qulay emas, chunki siz yarim millimetrdan kam bo'lmagan aniqlikni saqlab, juda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Biroq, men rasm chizishni yoqtirmaydigan o'quvchilarni xursand qilaman - "haqiqiy" muammoda har doim ham rasm chizish shart emas; taxminan 50% hollarda funktsiyani Furye seriyasiga kengaytirish kerak bo'ladi va tamom. .

Chizishni tugatgandan so'ng, biz vazifani bajaramiz:

Javob:

Ko'p vazifalarda funktsiya zarar ko'radi 1-turdagi yorilish to'g'ri parchalanish davrida:

3-misol

Intervalda berilgan funksiyani Furye qatoriga kengaytiring. Funksiya grafigini va qatorlarning umumiy yig‘indisini chizing.

Taklif etilayotgan funktsiya qismlarga bo'lingan holda ko'rsatilgan (va e'tibor bering, faqat segmentda) va chidaydi 1-turdagi yorilish nuqtada. Furye koeffitsientlarini hisoblash mumkinmi? Muammosiz. Funktsiyaning chap va o'ng tomonlari o'z intervallari bo'yicha integraldir, shuning uchun uchta formulaning har biridagi integrallar ikkita integralning yig'indisi sifatida ifodalanishi kerak. Keling, masalan, nol koeffitsient uchun qanday amalga oshirilishini ko'rib chiqaylik:

Ikkinchi integral nolga teng bo'lib chiqdi, bu esa ishni kamaytirdi, lekin bu har doim ham shunday emas.

Boshqa ikkita Furye koeffitsienti ham xuddi shunday tasvirlangan.

Seriya yig'indisini qanday ko'rsatish mumkin? Chap oraliqda biz to'g'ri chiziqli segmentni chizamiz va oraliqda - to'g'ri chiziq segmentini (biz o'qning kesimini qalin va qalin qilib ajratib ko'rsatamiz). Ya'ni, kengaytirish oralig'ida ketma-ketliklarning yig'indisi uchta "yomon" nuqtadan tashqari hamma joyda funktsiyaga to'g'ri keladi. Funktsiyaning uzilish nuqtasida Furye seriyasi uzilishning "sakrashi" ning o'rtasida joylashgan izolyatsiya qilingan qiymatga yaqinlashadi. Og'zaki ko'rish qiyin emas: chap tomon chegarasi: , o'ng tomon chegarasi: va aniqki, o'rta nuqtaning ordinatasi 0,5 ga teng.

Yig'indining davriyligi tufayli rasm qo'shni davrlarga "ko'paytirilishi" kerak, xususan, bir xil narsa va intervallarda tasvirlangan bo'lishi kerak. Shu bilan birga, nuqtalarda Furye seriyasi median qiymatlarga yaqinlashadi.

Aslida, bu erda hech qanday yangilik yo'q.

Bu vazifani o'zingiz hal qilishga harakat qiling. Yakuniy dizaynning taxminiy namunasi va dars oxirida rasm.

Funksiyani ixtiyoriy davr mobaynida Furye qatoriga kengaytirish

O'zboshimchalik bilan kengayish davri uchun, bu erda "el" har qanday ijobiy raqam, Furye seriyasi va Furye koeffitsientlari uchun formulalar sinus va kosinus uchun biroz murakkabroq argument bilan ajralib turadi:

Agar bo'lsa, biz boshlagan oraliq formulalarni olamiz.

Muammoni hal qilish algoritmi va tamoyillari to'liq saqlanib qolgan, ammo hisob-kitoblarning texnik murakkabligi oshadi:

4-misol

Funksiyani Furye qatoriga kengaytiring va yig‘indini chizing.

Yechim: aslida bilan 3-sonli misolning analogi 1-turdagi yorilish nuqtada. Bu muammoda kengayish davri yarim davr hisoblanadi. Funksiya faqat yarim oraliqda aniqlanadi, ammo bu ishni o'zgartirmaydi - funktsiyaning ikkala qismi ham integral bo'lishi muhim.

Funksiyani Furye qatoriga kengaytiramiz:

Funktsiya boshida uzluksiz bo'lganligi sababli, har bir Furye koeffitsienti ikkita integralning yig'indisi sifatida yozilishi kerak:

1) Birinchi integralni iloji boricha batafsil yozaman:

2) Biz Oyning yuzasiga diqqat bilan qaraymiz:

Ikkinchi integral uni parcha-parcha oling:

Yechimning davomini yulduzcha bilan ochganimizdan so'ng nimalarga e'tibor berishimiz kerak?

Birinchidan, biz birinchi integralni yo'qotmaymiz , bu erda biz darhol bajaramiz differentsial belgiga obuna bo'lish. Ikkinchidan, katta qavslar oldidagi yomon konstantani unutmang va belgilar bilan adashmang formuladan foydalanganda. Keyingi bosqichda darhol ochish uchun katta qavslar hali ham qulayroqdir.

Qolganlari texnika masalasidir, qiyinchiliklar faqat integrallarni echish tajribasining etishmasligi tufayli yuzaga kelishi mumkin.

Ha, frantsuz matematigi Furyening taniqli hamkasblari bejiz g'azablanishmagan - u qanday qilib funktsiyalarni trigonometrik qatorlarga joylashtirishga jur'at etgan?! =) Aytgancha, ko'rib chiqilayotgan vazifaning amaliy ma'nosi hammani qiziqtirsa kerak. Furyening o'zi issiqlik o'tkazuvchanligining matematik modeli ustida ishlagan va keyinchalik uning nomi bilan atalgan seriyalar atrofdagi dunyoda ko'rinadigan va ko'rinmaydigan ko'plab davriy jarayonlarni o'rganish uchun ishlatila boshlandi. Aytgancha, ikkinchi misolning grafigini yurakning davriy ritmi bilan taqqoslaganim bejiz emas, deb o'ylanib qoldim. Qiziqqanlar amaliy dastur bilan tanishishlari mumkin Furye konvertatsiyasi uchinchi tomon manbalarida. ...Garchi qilmaslik yaxshiroq bo'lsa-da - u birinchi muhabbat sifatida esda qoladi =)

3) Qayta-qayta eslatib o'tilgan zaif aloqalarni hisobga olib, uchinchi koeffitsientni ko'rib chiqamiz:

Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik:

Topilgan Furye koeffitsientlarini formulaga almashtiramiz , nol koeffitsientini yarmiga bo'lishni unutmang:

Keling, qatorlar yig'indisini chizamiz. Jarayonni qisqacha takrorlaymiz: intervalda to'g'ri chiziq quramiz va intervalda to'g'ri chiziq quramiz. Agar "x" qiymati nolga teng bo'lsa, biz bo'shliqning "sakrashi" ning o'rtasiga nuqta qo'yamiz va grafikni qo'shni davrlar uchun "takrorlaymiz":

Davrlarning "bog'lanish joylarida" yig'indi ham bo'shliqning "sakrashi" ning o'rta nuqtalariga teng bo'ladi.

Tayyor. Shuni eslatib o'tamanki, funktsiyaning o'zi shart bo'yicha faqat yarim oraliqda aniqlangan va, aniqki, intervallardagi qatorlar yig'indisiga to'g'ri keladi.

Javob:

Ba'zan bo'laklarga bo'lingan funksiya kengayish davrida uzluksiz bo'ladi. Eng oddiy misol: . Yechim (Qarang: Bohan 2-jild) oldingi ikkita misoldagi kabi: qaramay funksiyaning uzluksizligi nuqtada, har bir Furye koeffitsienti ikkita integral yig'indisi sifatida ifodalanadi.

Parchalanish oralig'ida 1-turdagi uzilish nuqtalari va/yoki grafikning ko'proq "birikma" nuqtalari bo'lishi mumkin (ikki, uchta va odatda har qanday final miqdori). Agar funktsiya har bir qismda integrallanadigan bo'lsa, u Furye qatorida ham kengaytirilishi mumkin. Ammo amaliy tajribadan men bunday shafqatsiz narsani eslay olmayman. Biroq, hozirgina ko'rib chiqilganlardan ko'ra qiyinroq vazifalar mavjud va maqolaning oxirida hamma uchun murakkablik darajasi yuqori bo'lgan Fourier seriyasiga havolalar mavjud.

Ayni paytda, keling, dam olaylik, stullarimizga suyanib, yulduzlarning cheksiz kengliklari haqida o'ylaymiz:

5-misol

Funksiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytiring va qatorlar yig‘indisini chizing.

Ushbu muammoda funktsiya davomiy kengaytirish yarim oraliqda, bu yechimni soddalashtiradi. Har bir narsa 2-misolga juda o'xshash. Kosmik kemadan qochishning iloji yo'q - siz qaror qabul qilishingiz kerak =) Dars oxirida taxminiy dizayn namunasi, jadval ilova qilingan.

Juft va toq funksiyalarning Furye qator kengayishi

Juft va toq funksiyalar bilan muammoni hal qilish jarayoni sezilarli darajada soddalashtirilgan. Va shuning uchun ham. Keling, Furye qatoridagi funktsiyani "ikki pi" davri bilan kengaytirishga qaytaylik. va o'zboshimchalik davri "ikki el" .

Faraz qilaylik, bizning funktsiyamiz juft. Seriyaning umumiy atamasi, ko'rib turganingizdek, juft kosinuslar va toq sinuslarni o'z ichiga oladi. Va agar biz EVEN funktsiyasini kengaytirayotgan bo'lsak, unda nega bizga toq sinuslar kerak? Keraksiz koeffitsientni tiklaymiz: .

Shunday qilib, juft funktsiyani Furye qatorida faqat kosinuslarda kengaytirish mumkin:

Chunki juft funksiyalarning integrallari nolga nisbatan nosimmetrik bo'lgan integratsiya segmenti bo'ylab ikki baravar ko'paytirilishi mumkin, keyin qolgan Furye koeffitsientlari soddalashtiriladi.

Bo'shliq uchun:

Ixtiyoriy interval uchun:

Matematik tahlil bo'yicha deyarli har qanday darslikda mavjud bo'lgan darslik misollari teng funktsiyalarni kengaytirishni o'z ichiga oladi. . Bundan tashqari, ular mening shaxsiy amaliyotimda bir necha bor duch kelgan:

6-misol

Funktsiya berilgan. Majburiy:

1) funktsiyani davri bilan Furye qatoriga kengaytiring, bu erda ixtiyoriy musbat son;

2) oraliqdagi kengayishni yozing, funktsiyani tuzing va qatorning umumiy yig'indisini grafigini tuzing.

Yechim: birinchi xatboshida muammoni umumiy shaklda hal qilish taklif etiladi va bu juda qulay! Agar zarurat tug'ilsa, shunchaki o'z qiymatingizni almashtiring.

1) Bu masalada kengayish davri yarim davr hisoblanadi. Keyingi harakatlar paytida, xususan, integratsiya paytida "el" doimiy hisoblanadi

Funktsiya teng, ya'ni uni faqat kosinuslarda Furye qatoriga kengaytirish mumkin: .

Formulalar yordamida Furye koeffitsientlarini qidiramiz . Ularning so'zsiz afzalliklariga e'tibor bering. Birinchidan, integratsiya kengayishning ijobiy segmentida amalga oshiriladi, ya'ni biz moduldan xavfsiz tarzda qutulamiz. , faqat ikkita qismning "X" ni hisobga olgan holda. Va, ikkinchidan, integratsiya sezilarli darajada soddalashtirilgan.

Ikki:

Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik:

Shunday qilib:
, "en" ga bog'liq bo'lmagan doimiy , yig'indidan tashqarida olinadi.

Javob:

2) Kengayishni oraliqda yozamiz, buning uchun biz umumiy formulaga kerakli yarim davr qiymatini almashtiramiz:

Trigonometrik Furye seriyasi shakl qatori deyiladi

a0 /2 + a 1 cos x + b 1 gunoh x + a 2cos2 x + b 2 gunoh2 x + ... + a ncos nx + b n gunoh nx + ...

raqamlar qayerda a0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n, b n... - Furye koeffitsientlari.

Furye seriyasining "sigma" belgisi bilan yanada ixcham ko'rinishi:

Biz hozirgina o'rnatganimizdek, quvvat seriyasidan farqli o'laroq, Furye seriyasida, eng oddiy funktsiyalar o'rniga trigonometrik funksiyalar olinadi

1/2, cos x,gunoh x,cos2 x, gunoh2 x, ..., chunki nx,gunoh nx, ... .

Furye koeffitsientlari quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

Furye qatoridagi yuqoridagi barcha funksiyalar 2-davrli davriy funksiyalardir π . Trigonometrik Furye qatorining har bir hadi davriy funktsiyadir 2 davr bilan π .

Shuning uchun Furye qatorining har qanday qisman yig'indisi 2 davriga ega π . Bundan kelib chiqadiki, agar Furye qatori [-] oralig'ida yaqinlashsa. π , π ] bo‘lsa, u butun son chizig‘ida yaqinlashadi va uning yig‘indisi davriy qisman yig‘indilar ketma-ketligining chegarasi bo‘lib, davriy funksiya 2 davrga ega. π .

Furye qatorlarining yaqinlashuvi va qatorlar yig‘indisi

Funktsiyaga ruxsat bering F(x) butun son qatorida va davriy 2 davr bilan aniqlanadi π , funksiyaning davriy davomi hisoblanadi f(x) agar segmentda [- π , π ] yuzaga keladi F(x) = f(x)

Agar segmentda [- π , π ] Furye qatori funksiyaga yaqinlashadi f(x) keyin butun son chizig'ida o'zining davriy davomiga yaqinlashadi.

Funksiyaning Furye qatori qanday sharoitda degan savolga javob f(x) bu funksiyaga yaqinlashadi, quyidagi teorema beradi.

Teorema. Funktsiyaga ruxsat bering f(x) va uning hosilasi f"(x) - segmentda uzluksiz [- π , π ] yoki uning ustida 1-turdagi chekli sonli uzilish nuqtalari mavjud. Keyin funktsiyaning Furye qatori f(x) butun son chizig'ida va har bir nuqtada yaqinlashadi x, segmentga tegishli [- π , π ] , bunda f(x) uzluksiz, qator yig’indisi ga teng f(x), va har bir nuqtada x0 funktsiyaning uzluksizligi, qatorlar yig'indisi funktsiya chegaralarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng f(x) o'ng va chap:

Qayerda Va .

Segmentning oxirida [- π , π ] qator yig'indisi kengayish davrining eng chap va o'ng nuqtalaridagi funksiya qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng:

Har qanday nuqtada x, segmentga tegishli [- π , π ] , Furye qatorining yig‘indisi ga teng F(x), Agar x- uzluksizlik nuqtasi F(x), va chegaralarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng F(x) chap va o'ng:

Agar x- uzilish nuqtasi F(x), Qayerda F(x) - davriy davom etish f(x) .

1-misol. Davriy funktsiya f(x) 2 davr bilan π quyidagicha aniqlanadi:

Oddiyroq qilib aytganda, bu funktsiya quyidagicha yoziladi f(x) = |x| . Funksiyani Furye qatoriga kengaytiring, qatorlarning yaqinlashuvini va qatorlar yig‘indisini aniqlang.

Yechim. Ushbu funktsiyaning Furye koeffitsientlarini aniqlaymiz:

Endi bizda ushbu funktsiyaning Furye seriyasini olish uchun hamma narsa bor:

Bu qator barcha nuqtalarda yaqinlashadi va uning yig'indisi berilgan funktsiyaga teng.

Furye seriyali muammosini o'zingiz hal qiling va keyin yechimga qarang

Juft va toq funksiyalar uchun Furye seriyalari

Funktsiyaga ruxsat bering f(x) segmentida aniqlanadi [- π , π ] va juft, ya'ni. f(- x) = f(x) . Keyin uning koeffitsientlari bn nolga teng. Va koeffitsientlar uchun an Quyidagi formulalar to'g'ri:

Endi funksiyaga kelaylik f(x) segmentida aniqlangan [- π , π ] , g‘alati, ya’ni. f(x) = - f(- x) . Keyin Furye koeffitsientlari an nolga teng va koeffitsientlar bn formula bilan aniqlanadi

Yuqorida keltirilgan formulalardan ko'rinib turibdiki, agar funktsiya f(x) juft bo‘lsa, Furye qatori faqat kosinuslarni, agar toq bo‘lsa, faqat sinuslarni o‘z ichiga oladi..

3-misol.

Yechim. Bu g'alati funktsiya, shuning uchun uning Furye koeffitsientlari ga teng va ni topish uchun aniq integralni hisoblashingiz kerak:

Bu tenglik hamma uchun ham amal qiladi. Nuqtalarda, ikkinchi xatboshida keltirilgan teorema bo'yicha Furye seriyasining yig'indisi funktsiya qiymatlariga to'g'ri kelmaydi, lekin tengdir. . Segmentdan tashqarida qatorlar yig'indisi funksiyaning davriy davomi bo'lib, uning grafigi yuqorida qatorlar yig'indisining illyustratsiyasi sifatida berilgan.

4-misol. Funksiyani Furye qatoriga kengaytiring.

Yechim. Bu juft funktsiya, shuning uchun uning Furye koeffitsientlari ga teng va ni topish uchun aniq integrallarni hisoblash kerak:

Ushbu funktsiyaning Furye qatorini olamiz:

Bu tenglik hamma uchun amal qiladi, chunki nuqtalarda Furye qatorlarining yig'indisi funktsiya qiymatlariga to'g'ri keladi, chunki .

Har qanday ortogonal funktsiyalar tizimi uchun Furye seriyasi

[ oraliqda uzluksiz funksiyalar ketma-ketligi a,b], chaqirildi segmentdagi funksiyalarning ortogonal tizimi[a,b], agar ketma-ketlikning barcha funktsiyalari ushbu segmentda juft ortogonal bo'lsa, ya'ni agar

Tizim segmentda ortogonal va normallashtirilgan (ortonormal) deb ataladi,

agar shart bajarilsa

Hozir ruxsat bering f(x) - [ oraliqda uzluksiz har qanday funksiya a,b]. Furye yaqinida bunday funktsiya f(x) segmentida [ a,b] ortogonal sistemaga ko'ra qator deyiladi:

koeffitsientlari tenglik bilan belgilanadi:

N=1,2,...

Agar [ oraliqda ortogonal funksiyalar sistemasi a,b] ortonormal, keyin bu holatda

Qayerda n=1,2,...

Hozir ruxsat bering f(x) - uzluksiz yoki segmentdagi birinchi turdagi uzilish nuqtalarining cheklangan soniga ega bo'lgan har qanday funktsiya [ a,b]. Bunday funktsiyaning Furye qatori f(x) xuddi shu segmentda

ortogonal sistemaga ko'ra qator deyiladi:

Funktsiyaning Furye qatori bo'lsa f(x) sistemaga ko'ra (1) funksiyaga yaqinlashadi f(x) uning har bir uzluksizlik nuqtasida [ segmentga tegishli a,b]. Bu holatda ular shunday deyishadi f(x) segmentida [ a,b] ortogonal sistemada qatorga kengaytiriladi (1).

Furye seriyasining murakkab shakli

Ifoda funktsiyaning Furye qatorining kompleks shakli deyiladi f(x), agar tenglik bilan belgilansa

,Qaerda

Murakkab shakldagi Furye seriyasidan haqiqiy shakldagi seriyaga va orqaga o'tish quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi:

(n=1,2, . . .)

String tebranish muammosi

Uzunlikdagi ip muvozanat holatida cho'zilgan bo'lsin l uchlari bilan x= 0 va x=l. Faraz qilaylik, ip muvozanatdan chiqarilgan va erkin tebranadi. Vertikal tekislikda yuzaga keladigan ipning kichik tebranishlarini ko'rib chiqamiz.

Yuqoridagi taxminlarga ko'ra, funktsiyani ko'rsatish mumkin u(x,t) vaqtning har bir momentida satrning holatini tavsiflovchi t, tenglamani qanoatlantiradi

(1) , bu yerda a musbat son.

Bizning vazifamiz funktsiyani topishdir u(x,t), grafigi istalgan vaqtda ipning shaklini beradi t, ya'ni chegara bilan (1) tenglamaning yechimini toping:

va dastlabki shartlar:

Birinchidan, (1) tenglamaning (2) chegara shartlarini qanoatlantiradigan yechimlarini izlaymiz. Buni ko'rish qiyin emas u(x,t) 0 - (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi (1) tenglamaning yechimi. Biz 0 ga teng bo'lmagan, mahsulot sifatida ifodalanadigan echimlarni qidiramiz u(x,t)=X(x)T(t), (4) , bu yerda , .

(4) ifodani (1) tenglamaga almashtirsak:

Bundan bizning vazifamiz tenglamalarning yechimlarini topishga to'g'ri keladi:

Ushbu shartdan foydalanish X(0)=0, X(l)=0, barcha holatlarni tekshirib, uning manfiy son ekanligini isbotlaymiz.

a) Unda ruxsat bering X”=0 va uning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi:

qaerdan va , bu mumkin emas, chunki biz bir xil tarzda yo'qolmaydigan echimlarni ko'rib chiqamiz.

b) ruxsat bering. Keyin tenglamani yechish

ga ega bo‘lamiz va bo‘ysundirsak, shuni topamiz

c) Agar shunday bo'lsa

Tenglamalarning ildizlari bor:

Qayerda -ixtiyoriy konstantalar. Dastlabki shartdan biz quyidagilarni topamiz:

qayerdan, ya'ni.

(n=1,2,...)

(n=1,2,...).

Buni hisobga olib, biz yozishimiz mumkin:

(N=1,2,...).

va shuning uchun

, (n=1,2,...),

lekin A va B n ning turli qiymatlari uchun har xil bo'lgani uchun bizda bor

, (n=1,2,...),

bu yerda va ixtiyoriy konstantalar bo‘lib, biz seriya tenglama (1), chegaraviy shartlar (2) va boshlang‘ich shartlar (3)ni qanoatlantiradigan tarzda aniqlashga harakat qilamiz.

Demak, funksiyani bo'ysundiramiz u(x,t) dastlabki shartlarga, ya'ni shartlar qondiriladigan qilib tanlaymiz

Bu tengliklar, mos ravishda, funktsiyalarning kengayishi va sinuslardagi Furye qatoridagi segmentlarga. (Bu koeffitsientlar toq funksiya uchun hisoblab chiqilishini anglatadi). Shunday qilib, berilgan chegara va boshlang'ich shartlarga ega bo'lgan satrni tebranish yechimi formula bilan berilgan

(n=1,2,...)

Furye integrali

Funksiyaning Furye integralida ifodalanishi uchun yetarli shartlar.

Uchun f(x) uzluksizlikning barcha nuqtalarida va muntazam uzilish nuqtalarida Furye integrali bilan ifodalangan bo'lsa, bu etarli:

1) mutlaq integrallik yoqilgan

(ya'ni integral yaqinlashadi)

2) har qanday chekli segmentda [- L, L] funksiya bo'lak-bo'lak silliq bo'ladi

3) funktsiyaning uzilish nuqtalarida uning Furye integrali shu nuqtalardagi chap va o'ng chegaralarning yarmi yig'indisi bilan, funksiyaning uzluksizligi nuqtalarida esa aniqlanadi. f(x)

f(x) funksiyaning Furye integrali quyidagi ko‘rinishdagi integralidir: