Denklem M(X, sen) dx+ N(X, sen) ölmek=0 böyle bir sayıyı seçmek mümkünse genelleştirilmiş homojen olarak adlandırılır k, bu denklemin sol tarafının bir dereceye kadar homojen bir fonksiyon haline geldiği M nispeten X, sen, dx Ve ölmek şartıyla X birinci boyutun değeri olarak kabul edilir, sen – k‑ ölçümler , dx Ve ölmek – sırasıyla sıfır ve (k-1) ölçümler. Örneğin, bu denklem olacaktır. (6.1)
Ölçümlerle ilgili yapılan varsayımlar altında geçerlidir
X,
sen,
dx
Ve ölmek
sol taraftaki üyeler 
Ve ölmek
sırasıyla -2, 2 boyutlarına sahip olacak k Ve
k-1. Bunları eşitleyerek gerekli sayının sağlaması gereken bir koşul elde ederiz. k:
-2 = 2k
=
k-1. Bu koşul sağlandığında k
= -1 (bununla k söz konusu denklemin sol tarafındaki tüm terimlerin boyutu -2) olacaktır. Sonuç olarak, denklem (6.1) homojen olarak genelleştirilmiştir.
Genelleştirilmiş bir homojen denklem, ikame kullanılarak ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme indirgenir 
, Nerede z– yeni bilinmeyen işlev. Belirtilen yöntemi kullanarak denklem (6.1)'i entegre edelim. Çünkü k
= -1 ise 
, bundan sonra denklemi elde ederiz.
Bunu entegre edersek buluruz 
, Neresi 
. Bu, (6.1) denkleminin genel çözümüdür.
§ 7. 1. dereceden doğrusal diferansiyel denklemler.
1. dereceden doğrusal denklem, istenen fonksiyona ve türevine göre doğrusal olan bir denklemdir. Şuna benziyor:
,
(7.1)
Nerede P(X)
Ve
Q(X)
– verilen sürekli fonksiyonlar X.
Eğer fonksiyon
,
bu durumda denklem (7.1) şu şekle sahiptir: 
(7.2)
ve doğrusal homojen denklem olarak adlandırılır, aksi halde 
buna doğrusal homojen olmayan denklem denir.
Doğrusal homojen diferansiyel denklem (7.2), ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklemdir:
(7.3)
İfade (7.3), denklem (7.2)'nin genel çözümüdür. Fonksiyonun (7.1) denklemine genel bir çözüm bulmak için P(X) Denklem (7.2)'dekiyle aynı işlevi ifade ediyorsa, keyfi bir sabitin değişimi yöntemi adı verilen ve aşağıdakilerden oluşan bir teknik uyguluyoruz: işlevi seçmeye çalışacağız C=C(X) böylece doğrusal homojen denklemin (7.2) genel çözümü, homojen olmayan doğrusal denklemin (7.1) bir çözümü olacaktır. Daha sonra (7.3) fonksiyonunun türevi için şunu elde ederiz:
.
Bulunan türevi denklem (7.1)'de yerine koyarsak:
veya 
.
Nerede 
, Nerede 
- keyfi sabit. Sonuç olarak, homojen olmayan doğrusal denklemin (7.1) genel çözümü (7.4) olacaktır. 
Bu formüldeki ilk terim, doğrusal homojen diferansiyel denklemin (7.2) genel çözümünü (7.3) temsil eder ve formül (7.4)'ün ikinci terimi, genel (7.1) denkleminden elde edilen doğrusal homojen olmayan denklemin (7.1) özel bir çözümünü temsil eder. 7.4) ile 
. Bu önemli sonucu bir teorem şeklinde vurguluyoruz.
Teorem. Doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklemin özel bir çözümü biliniyorsa 
, o zaman diğer tüm çözümler şu forma sahiptir: 
, Nerede 
- karşılık gelen doğrusal homojen diferansiyel denklemin genel çözümü.
Bununla birlikte, 1. dereceden (7.1) doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemi çözmek için, bazen Bernoulli yöntemi olarak adlandırılan başka bir yöntemin daha sık kullanıldığına dikkat edilmelidir. Denklemin (7.1) çözümünü şu şekilde arayacağız: 
. Daha sonra 
. Bulunan türevi orijinal denklemde yerine koyalım: 
.
Örneğin son ifadenin ikinci ve üçüncü terimlerini birleştirip fonksiyonu çıkaralım. sen(X)
braketin arkasında: 
(7.5)
Parantezlerin iptal edilmesini istiyoruz: 
.
Bu denklemi keyfi bir sabit belirleyerek çözelim. C
sıfıra eşit: 
. Bulunan fonksiyonla v(X)
Denkleme (7.5) dönelim: 
.
Bunu çözersek şunu elde ederiz: 
.
Sonuç olarak, denklem (7.1)'in genel çözümü şu şekle sahiptir.
Genelleştirilmiş fonksiyonlarda diferansiyel denklemler
Bir denklem olsun. Eğer sıradan bir fonksiyonsa, çözümü bir terstürevdir, yani. Şimdi genelleştirilmiş bir fonksiyon olsun.
Tanım. Genelleştirilmiş bir fonksiyona ilkel genelleştirilmiş fonksiyon denir. Eğer tekil bir genelleştirilmiş fonksiyon ise, bunun antitürevinin düzenli bir genelleştirilmiş fonksiyon olduğu olası durumlar vardır. Örneğin bir antiderivatif; terstürev bir fonksiyondur ve denklemin çözümü şu şekilde yazılabilir: , burada.
Sabit katsayılı, üçüncü dereceden doğrusal bir denklem vardır.
genelleştirilmiş bir fonksiyon nerede. . mertebeden bir diferansiyel polinom olsun.
Tanım. Diferansiyel denklemin (8) genelleştirilmiş bir çözümü, aşağıdaki ilişkinin geçerli olduğu genelleştirilmiş bir fonksiyondur:
Sürekli bir fonksiyon ise denklem (8)'in tek çözümü klasik çözümdür.
Tanım. Denklemin (8) temel çözümü herhangi bir genelleştirilmiş fonksiyondur.
Green fonksiyonu bir sınır, başlangıç veya asimptotik koşulu karşılayan temel bir çözümdür.
Teorem. Denklemin (8) bir çözümü mevcuttur ve şu şekildedir:
evrişim tanımlanmadıkça.
Kanıt. Gerçekten mi, . Evrişim özelliğine göre şu şekildedir: .
Bu denklemin temel çözümünün şu şekilde olduğunu görmek kolaydır:
Genelleştirilmiş türevlerin özellikleri
Farklılaşma işlemi doğrusal ve süreklidir:
içinde ise;
Her genelleştirilmiş fonksiyon sonsuz şekilde türevlenebilirdir. Gerçekten eğer öyleyse; sırasıyla vb.;
Farklılaşmanın sonucu, farklılaşma sırasına bağlı değildir. Örneğin, ;
Eğer ve ise Leibniz'in bir ürünün farklılaştırılması formülü geçerlidir. Örneğin, ;
Genelleştirilmiş bir fonksiyon ise;
Yerel olarak entegre edilebilir fonksiyonlardan oluşan bir seri, her kompakt kümede düzgün bir şekilde yakınsaksa, o zaman herhangi bir sayıda terimden terime türevlenebilir (genelleştirilmiş bir fonksiyon olarak) ve sonuçta ortaya çıkan seri yakınsayacaktır.
Örnek. İzin vermek
Fonksiyona Heaviside fonksiyonu veya birim fonksiyonu denir. Yerel olarak entegre edilebilir ve bu nedenle genelleştirilmiş bir fonksiyon olarak düşünülebilir. Türevini bulabilirsiniz. Tanıma göre, yani. .
Karmaşık katsayılı ikinci dereceden formlara karşılık gelen genelleştirilmiş fonksiyonlar
Şimdiye kadar yalnızca gerçek katsayılı ikinci dereceden formlar dikkate alındı. Bu bölümde karmaşık katsayılı tüm ikinci dereceden formların uzayını inceliyoruz.
Görev, karmaşık bir sayı olan genelleştirilmiş fonksiyonu belirlemektir. Ancak genel durumda benzersiz bir analitik fonksiyon olmayacaktır. Bu nedenle, tüm ikinci dereceden formların uzayında, pozitif belirli sanal kısmı olan ikinci dereceden formların “üst yarı düzlemi” izole edilir ve bunlara bir fonksiyon belirlenir. Yani ikinci dereceden bir form bu “yarım düzleme” aitse, o zaman nerede olduğu varsayılır. Böyle bir fonksiyon benzersiz bir analitik fonksiyondur.
Artık fonksiyonu genelleştirilmiş bir fonksiyonla ilişkilendirebiliriz:
entegrasyonun tüm alan üzerinde gerçekleştirildiği yer. İntegral (13) bu yarı düzlemde yakınsar ve onun analitik bir fonksiyonudur. Bu fonksiyonun analitik olarak devam ettirilmesiyle diğer değerler için fonksiyonel belirlenir.
Pozitif tanımlı sanal kısmı olan ikinci dereceden formlar için fonksiyonların tekil noktaları bulunur ve bu fonksiyonların tekil noktalardaki kalıntıları hesaplanır.
Genelleştirilmiş fonksiyon analitik olarak yalnızca ikinci dereceden formun katsayılarına değil aynı zamanda katsayılarına da bağlıdır. Bu nedenle, pozitif tanımlı bir formun bulunduğu formun tüm ikinci dereceden formlarının üst “yarım düzleminde” analitik bir fonksiyondur. Sonuç olarak, "sanal yarı eksen" üzerindeki değerleri ile benzersiz bir şekilde belirlenir, yani pozitif belirli bir formun olduğu formun ikinci dereceden formları kümesi üzerinde.
"Arşivi indir" butonuna tıklayarak ihtiyacınız olan dosyayı tamamen ücretsiz olarak indireceksiniz.
Bu dosyayı indirmeden önce, bilgisayarınızda talep edilmeden duran iyi makaleleri, testleri, dönem ödevlerini, tezleri, makaleleri ve diğer belgeleri düşünün. Bu sizin işiniz, toplumun kalkınmasına katılmalı, insanlara fayda sağlamalı. Bu çalışmaları bulun ve bilgi tabanına gönderin.
Bizler ve bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan tüm öğrenciler, lisansüstü öğrenciler, genç bilim insanları size minnettar olacağız.
Belge içeren bir arşivi indirmek için aşağıdaki alana beş haneli bir sayı girin ve "Arşivi indir" butonuna tıklayın
Benzer belgeler
Diferansiyel denklemler için Cauchy problemleri. Birinci dereceden diferansiyel denklemin çözümünün grafiği. Ayrılabilir değişkenli denklemler ve homojen bir denkleme indirgenmesi. Birinci mertebeden homojen ve homojen olmayan doğrusal denklemler. Bernoulli denklemi.
ders, 18.08.2012 eklendi
Adi diferansiyel denklemler teorisinin temel kavramları. Toplam diferansiyellerde bir denklemin işareti, genel bir integralin oluşturulması. İntegral faktörünü bulmanın en basit örnekleri. Yalnızca X'e ve yalnızca Y'ye bağlı olan bir çarpan durumu.
kurs çalışması, eklendi 24.12.2014
Fonksiyonlar ve türevleri arasındaki ilişkiler olarak diferansiyel denklemlerin özellikleri. Çözümün varlık teoreminin ve tekliğinin kanıtı. Toplam diferansiyellerdeki denklemlerin çözümü için örnekler ve algoritma. Örneklerde bütünleştirici faktör.
kurs çalışması, eklendi 02/11/2014
Riccati diferansiyel denklemleri. Doğrusal bir denklemin genel çözümü. Bernoulli diferansiyel denkleminin tüm olası çözümlerini bulmak. Ayrılabilir değişkenli denklemlerin çözümü. Clairaut diferansiyel denkleminin genel ve özel çözümleri.
kurs çalışması, eklendi 26.01.2015
Ayrılabilir değişkenli denklem. Homojen ve doğrusal diferansiyel denklemler. İntegral eğrilerin geometrik özellikleri. İki değişkenli bir fonksiyonun tam diferansiyeli. Bernoulli yöntemleriyle integralin belirlenmesi ve keyfi bir sabitin varyasyonları.
özet, 24.08.2015 eklendi
Sabit analitik katsayılara sahip olanlar dahil, en basit diferansiyel denklemlerin ve keyfi dereceli diferansiyel denklemlerin kavramları ve çözümleri. Doğrusal denklem sistemleri. Bazı doğrusal sistemlerin çözümlerinin asimptotik davranışı.
tez, 06/10/2010 eklendi
Bir denklemin genel integrali, fonksiyonu bilinmeyen homojen olmayan bir doğrusal denklemin çözümünde Lagrange yönteminin uygulanması. Bir diferansiyel denklemin parametrik biçimde çözülmesi. Euler koşulu, toplam diferansiyellerde birinci dereceden denklem.
test, 11/02/2011 eklendi
Ayrılabilir değişkenli 1. mertebeden diferansiyel denklemler.
Tanım. Ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem, (3.1) formundaki bir denklem veya (3.2) formundaki bir denklemdir.
Denklem (3.1)’deki değişkenleri ayırmak için; bu denklemi ayrılmış değişken denklemine indirgemek için aşağıdakileri yapın: 
;
Şimdi denklemi çözmemiz gerekiyor g(y)= 0. Eğer gerçek bir çözümü varsa y=a, O y=a aynı zamanda denklem (3.1)'in de çözümü olacaktır.
Denklem (3.2), ürüne bölünerek ayrı bir denkleme indirgenir:
, denklem (3.2)'nin genel integralini elde etmemizi sağlar: 
. (3.3)
İntegral eğriler (3.3) çözümlerle desteklenecektir 
eğer bu tür çözümler mevcutsa.
1. mertebeden homojen diferansiyel denklemler.
Tanım 1. Birinci dereceden bir denklem, eğer sağ tarafı ilişkiyi sağlıyorsa homojen olarak adlandırılır. 
sıfır boyutlu iki değişkenli bir fonksiyonun homojenlik koşulu olarak adlandırılır.
Örnek 1. Fonksiyonun sıfır boyutta homojen olduğunu gösterin.
Çözüm. 
,
Q.E.D.
Teorem. Herhangi bir fonksiyon homojendir ve bunun tersine, sıfır boyutlu herhangi bir homojen fonksiyon forma indirgenir.
Kanıt. Teoremin ilk ifadesi açıktır çünkü . İkinci ifadeyi kanıtlayalım. O zaman homojen bir fonksiyon koyalım 
Kanıtlanması gereken şey buydu.
Tanım 2. Denklem (4.1) burada M Ve N– aynı dereceden homojen fonksiyonlar, yani Herkes için özelliğe sahip olanlara homojen denir. Açıkçası, bu denklem her zaman (4.2) formuna indirgenebilir, ancak bunu çözmek için bu gerekli olmayabilir. Homojen bir denklem, istenen fonksiyonun değiştirilmesiyle ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme indirgenir sen formüle göre y=zx, Nerede z(x)– yeni gerekli işlev. Denklem (4.2)'de bu ikameyi gerçekleştirdikten sonra şunu elde ederiz: veya veya .
İntegral alarak denklemin fonksiyona göre genel integralini elde ederiz. z(x) 
tekrarlanan değiştirmeden sonra orijinal denklemin genel integralini verir. Ek olarak, eğer denklemin kökleri varsa, o zaman fonksiyonlar verilen homojen bir denklemin çözümleridir. Eğer ise denklem (4.2) şu formu alır
Ve ayrılabilir değişkenleri olan bir denklem haline gelir. Çözümleri yarı doğrudandır: .
Yorum. Bazen yukarıdaki ikame yerine ikamenin kullanılması tavsiye edilir. x=zy.
Genelleştirilmiş homojen denklem.
Denklem M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 böyle bir sayıyı seçmek mümkünse genelleştirilmiş homojen olarak adlandırılır k, bu denklemin sol tarafının bir dereceye kadar homojen bir fonksiyon haline geldiği M nispeten x, y, dx Ve ölmekşartıyla X birinci boyutun değeri olarak kabul edilir, sen – k-ölçümler ,dx Ve dy – sırasıyla sıfır ve (k-1)ölçümler. Örneğin, bu denklem olurdu 
. (6.1) Ölçümlerle ilgili yapılan varsayımlara göre geçerlidir x, y, dx Ve ölmek sol taraftaki üyeler ve ölmek sırasıyla -2, 2 boyutlarına sahip olacak k Ve k-1. Bunları eşitleyerek gerekli sayının sağlaması gereken bir koşul elde ederiz. k: -2 = 2k=k-1. Bu koşul sağlandığında k= -1 (bununla k söz konusu denklemin sol tarafındaki tüm terimlerin boyutu -2) olacaktır. Sonuç olarak, denklem (6.1) homojen olarak genelleştirilmiştir.
kesinlikle 1 DU tipi
isminde birinci dereceden homojen diferansiyel denklem(ODÜ).
1. sıra Fonksiyon için aşağıdaki koşulların karşılanmasına izin verin:
1) sürekli
O halde ODE (1)'in aşağıdaki formülle verilen genel bir integrali vardır:
fonksiyonun bazı antiderivatifleri nerede İle keyfi bir sabittir.
Not 1 Bazıları için koşul karşılanırsa, ODE (1) çözümleme sürecinde formun çözümleri kaybolabilir; bu gibi durumlar daha dikkatli ele alınmalı ve her biri ayrı ayrı kontrol edilmelidir.
Böylece teoremden Th1 meli ODE'yi çözmek için genel algoritma (1):
1) Yenisini yapın:
2) Böylece entegre edilmesi gereken ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem elde edilecektir;
3) Eski değişkenlere dönüş;
4) Çözüme katılımları için değerleri kontrol edin orijinal uzaktan kumanda koşulun yerine getirileceği
5) Cevabı yazın.
örnek 1 DE (4)'ü çözün.
Çözüm: DE (4), (1) formuna sahip olduğundan homojen bir diferansiyel denklemdir. Hadi (3)'te bir değişiklik yapalım, bu denklem (4)'ü forma getirecektir:
Denklem (5), DE (4)'ün genel integralidir.
Değişkenleri ayırırken ve bölerken çözümlerin kaybolabileceğini unutmayın, ancak bu DE (4) için bir çözüm değildir; bu, eşitliğe (4) doğrudan ikame ile kolayca doğrulanır, çünkü bu değer tanım alanına dahil değildir. Orijinal DE'nin.
Cevap:
Not 2 Bazen ODE'leri değişkenlerin diferansiyelleri cinsinden yazabilirsiniz. X Ve sen. Uzaktan kumandanın bu gösteriminden türev aracılığıyla ifadeye geçilmesi ve ancak bundan sonra değiştirmenin (3) gerçekleştirilmesi önerilir.
Diferansiyel denklemler homojen denklemlere indirgenmiştir.
Def 2 Fonksiyon çağrılır k derecesinin homojen fonksiyonu bölgede eşitliğin sağlanacağı yer:
Çeşitli dönüşümlerden sonra (1) formuna indirgenebilen en yaygın diferansiyel denklem türleri şunlardır.
1) fonksiyon nerede homojendir, sıfır derece yani eşitlik geçerlidir: DE (6), yerine koyma (3) kullanılarak daha da entegre edilen 'i koyarsak, kolayca (1) formuna indirgenir.
2) (7), burada fonksiyonlar aynı derecede homojendir k . (7) formunun DE'si de ikame (3) kullanılarak entegre edilir.
Örnek 2 DE (8)'i çözün.
Çözüm: DE(8)'in homojen olduğunu gösterelim. DE(8)’in çözümü olmadığı için mümkün olana bölelim.
Hadi (3)'te bir değişiklik yapalım, bu denklem (9)'u forma getirecektir:
Denklem (10), DE (8)'in genel integralidir.
Değişkenleri ayırırken ve bölerken, ve değerlerine karşılık gelen çözümlerin kaybolabileceğini unutmayın. Bu ifadeleri kontrol edelim. Bunları DE (8)'de yerine koyalım:
Cevap:
Bu örneği çözerken sayının "işareti" adı verilen bir fonksiyonun ortaya çıktığını belirtmek ilginçtir. X(okur" işaret x"), şu ifadeyle tanımlanır:
Not 3 DE (6) veya (7)'yi (1) formuna indirgemek gerekli değildir; DE'nin homojen olduğu açıksa, hemen değiştirme işlemini yapabilirsiniz.
3) (11) formunun bir DE'si, bir ODE if olarak entegre edilir ve başlangıçta ikame gerçekleştirilir:
(12), sistemin çözümü nerede: (13) ve sonra fonksiyon için (3) yerine koymayı kullanın, genel integrali aldıktan sonra değişkenlere geri dönerler. X Ve en.
Eğer ise, denklem (11)'de varsayarsak, ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem elde ederiz.
Örnek 3 Cauchy problemini çözün (14).
Çözüm: DE'nin (14) homojen bir DE'ye indirgendiğini ve yukarıdaki şemaya göre entegre edildiğini gösterelim:
Homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemini (15) Cramer yöntemini kullanarak çözelim:
Değişkenlerde değişiklik yapalım ve ortaya çıkan denklemin integralini alalım:
(16) – DE (14)'ün genel integrali. Değişkenleri ayırırken, ikinci dereceden denklem çözüldükten sonra açıkça elde edilebilecek bir ifadeye bölündüğünde çözümler kaybolabilir. Ancak genel integralde (16) dikkate alınırlar.
Cauchy problemine bir çözüm bulalım: ve değerlerini genel integralin (16) yerine koyalım ve bulalım İle.
Böylece kısmi integral aşağıdaki formülle verilecektir:
Cevap:
4) Eğer formun yerine bir değişiklik uygularsak, bazı diferansiyel denklemleri yeni ve henüz bilinmeyen bir fonksiyon için homojen denklemlere indirgemek mümkündür:
Bu durumda sayı M elde edilen denklemin mümkünse bir dereceye kadar homojen olması koşulundan seçilir. Ancak bu yapılamazsa, söz konusu DE bu şekilde homojen hale getirilemez.
Örnek 4 DE'yi çöz. (18)
Çözüm: DE'nin (18) ikame (17) kullanılarak homojen bir DE'ye indirgendiğini ve ikame (3) kullanılarak daha da entegre edildiğini gösterelim:
Bulalım İle:
Böylece, DE (24)'ün özel bir çözümü şu forma sahiptir:
