I detta material ska vi titta på vad en potens av ett tal är. Utöver de grundläggande definitionerna kommer vi att formulera vilka krafter med naturliga, heltals, rationella och irrationella exponenter är. Som alltid kommer alla begrepp att illustreras med exempelproblem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Låt oss först formulera den grundläggande definitionen av en examen med en naturlig exponent. För att göra detta måste vi komma ihåg de grundläggande reglerna för multiplikation. Låt oss förtydliga i förväg att för nu kommer vi att ta ett reellt tal som bas (betecknat med bokstaven a) och ett naturligt tal som en indikator (betecknat med bokstaven n).

Definition 1

Potensen för ett tal a med naturlig exponent n är produkten av det n:te antalet faktorer, som var och en är lika med talet a. Graden skrivs så här: en, och i form av en formel kan dess sammansättning representeras enligt följande:

Till exempel, om exponenten är 1 och basen är a, så skrivs den första potensen av a som en 1. Med tanke på att a är värdet på faktorn och 1 är antalet faktorer kan vi dra slutsatsen att a 1 = a.

Generellt kan vi säga att en examen är en bekväm form för att skriva ett stort antal lika faktorer. Alltså ett register över formuläret 8 8 8 8 kan förkortas till 8 4 . På ungefär samma sätt hjälper produkten oss att undvika att skriva ett stort antal termer (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Vi har redan diskuterat detta i artikeln som ägnas åt multiplikation av naturliga tal.

Hur läser man examensinlägget korrekt? Det allmänt accepterade alternativet är "a till makten av n". Eller så kan du säga "nth power of a" eller "anth power". Om, säg, i exemplet vi stötte på posten 8 12 , kan vi läsa "8 till 12:e potens", "8 i 12:e potens" eller "12:e potens av 8".

Den andra och tredje potensen av tal har sina egna etablerade namn: kvadrat och kub. Om vi ​​ser den andra potensen, till exempel talet 7 (7 2), så kan vi säga "7 i kvadrat" eller "kvadrat av talet 7". På liknande sätt läses tredje graden så här: 5 3 - detta är "kuben av siffran 5" eller "5-kubad." Men du kan också använda standardformuleringen "till andra/tredje makten", detta kommer inte att vara ett misstag.

Exempel 1

Låt oss titta på ett exempel på en grad med en naturlig exponent: för 5 7 fem kommer att vara basen och sju kommer att vara exponenten.

Basen behöver inte vara ett heltal: för graden (4 , 32) 9 basen blir bråket 4, 32 och exponenten blir nio. Var uppmärksam på parentesen: denna notation är gjord för alla potenser vars baser skiljer sig från naturliga tal.

Till exempel: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Vad är parenteser till för? De hjälper till att undvika fel i beräkningar. Låt oss säga att vi har två poster: (− 2) 3 Och − 2 3 . Den första av dessa betyder ett negativt tal minus två upphöjt till en potens med en naturlig exponent av tre; den andra är talet som motsvarar gradens motsatta värde 2 3 .

Ibland kan du i böcker hitta en lite annorlunda stavning av kraften i ett tal - a^n(där a är basen och n är exponenten). Det vill säga, 4^9 är detsamma som 4 9 . Om n är ett flersiffrigt tal placeras det inom parentes. Till exempel, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Men vi kommer att använda notationen en som vanligare.

Det är lätt att gissa hur man beräknar värdet av en exponent med en naturlig exponent från dess definition: du behöver bara multiplicera ett n:te antal gånger. Vi skrev mer om detta i en annan artikel.

Begreppet grad är motsatsen till ett annat matematiskt begrepp - roten till ett tal. Om vi ​​vet värdet på potensen och exponenten kan vi beräkna dess bas. Examen har några specifika egenskaper som är användbara för att lösa problem, vilket vi diskuterade i ett separat material.

Exponenter kan inkludera inte bara naturliga tal, utan också alla heltalsvärden i allmänhet, inklusive negativa ettor och nollor, eftersom de också tillhör uppsättningen heltal.

Definition 2

Potensen för ett tal med en positiv heltalsexponent kan representeras som en formel: .

I detta fall är n vilket positivt heltal som helst.

Låt oss förstå begreppet nollgrad. För att göra detta använder vi ett tillvägagångssätt som tar hänsyn till kvotegenskapen för potenser med lika baser. Den är formulerad så här:

Definition 3

Jämlikhet a m: a n = a m − n kommer att vara sanna under följande förhållanden: m och n är naturliga tal, m< n , a ≠ 0 .

Det sista villkoret är viktigt eftersom det undviker division med noll. Om värdena på m och n är lika, får vi följande resultat: a n: a n = a n − n = a 0

Men samtidigt är a n: a n = 1 kvoten av lika tal en och a. Det visar sig att nollpotensen för ett tal som inte är noll är lika med ett.

Ett sådant bevis gäller dock inte för noll till nollpotens. För att göra detta behöver vi en annan egenskap hos makter - egenskapen för produkter av makter med lika baser. Det ser ut så här: a m · a n = a m + n .

Om n är lika med 0, då a m · a 0 = a m(denna jämställdhet bevisar också för oss det a 0 = 1). Men om och också är lika med noll, tar vår jämlikhet formen 0 m · 0 0 = 0 m, Det kommer att vara sant för alla naturliga värden av n, och det spelar ingen roll vad exakt värdet på graden är lika med 0 0 , det vill säga det kan vara lika med vilket tal som helst, och detta kommer inte att påverka träffsäkerheten. Därför en notering av formen 0 0 har inte sin egen speciella betydelse, och vi kommer inte att tillskriva den den.

Om så önskas är det lätt att kontrollera det a 0 = 1 konvergerar med gradegenskapen (a m) n = a m n förutsatt att gradens bas inte är noll. Potensen för alla icke-nolltal med exponent noll är således ett.

Exempel 2

Låt oss titta på ett exempel med specifika siffror: Så, 5 0 - enhet, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , och värdet 0 0 odefinierad.

Efter nollgraden måste vi bara räkna ut vad en negativ grad är. För att göra detta behöver vi samma egenskap hos produkten av potenser med lika baser som vi redan använde ovan: a m · a n = a m + n.

Låt oss introducera villkoret: m = − n, då ska a inte vara lika med noll. Det följer att a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Det visar sig att ett n och a−n vi har ömsesidiga siffror.

Som ett resultat är a till den negativa hela potensen inget annat än bråkdelen 1 a n.

Denna formulering bekräftar att för en grad med en heltals negativ exponent är alla samma egenskaper giltiga som en grad med en naturlig exponent har (förutsatt att basen inte är lika med noll).

Exempel 3

En potens a med en negativ heltalsexponent n kan representeras som en bråkdel 1 a n . Således är a - n = 1 a n med förbehåll för a ≠ 0 och n är vilket naturligt tal som helst.

Låt oss illustrera vår idé med specifika exempel:

Exempel 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

I den sista delen av stycket kommer vi att försöka skildra allt som har sagts tydligt i en formel:

Definition 4

Potensen för ett tal med en naturlig exponent z är: a z = a z, e med l och z - positivt heltal 1, z = 0 och a ≠ 0, (för z = 0 och a = 0 är resultatet 0 0, värden för uttrycket 0 0 är inte definieras) 1 a z, om och z är ett negativt heltal och a ≠ 0 (om z är ett negativt heltal och a = 0 får du 0 z, t.ex. är värdet obestämt)

Vad är potenser med en rationell exponent?

Vi undersökte fall där exponenten innehåller ett heltal. Du kan dock höja ett tal till en potens även när dess exponent innehåller ett bråktal. Detta kallas en potens med en rationell exponent. I det här avsnittet kommer vi att bevisa att det har samma egenskaper som andra krafter.

Vad är rationella tal? Deras mängd innehåller både heltal och bråktal, och bråktal kan representeras som vanliga bråktal (både positiva och negativa). Låt oss formulera definitionen av potensen av ett tal a med en bråkdelsexponent m / n, där n är ett naturligt tal och m är ett heltal.

Vi har någon grad med en bråkdelsexponent a m n . För att makten att driva egendom ska hålla måste likheten a m n n = a m n · n = a m vara sann.

Med tanke på definitionen av den n:e roten och att a m n n = a m, kan vi acceptera villkoret a m n = a m n om a m n är vettigt för de givna värdena av m, n och a.

Ovanstående egenskaper för en grad med en heltalsexponent kommer att vara sanna under villkoret a m n = a m n .

Huvudslutsatsen från vårt resonemang är denna: potensen av ett visst tal a med bråkexponent m / n är den n:te roten av talet a till potensen m. Detta är sant om uttrycket a m n förblir meningsfullt för givna värden på m, n och a.

1. Vi kan begränsa värdet på gradens bas: låt oss ta a, som för positiva värden av m kommer att vara större än eller lika med 0, och för negativa värden - strikt mindre (eftersom för m ≤ 0 vi får 0 m, men en sådan grad är inte definierad). I det här fallet kommer definitionen av en grad med en bråkdelsexponent att se ut så här:

En potens med bråkexponent m/n för något positivt tal a är den n:te roten av a upphöjd till potensen m. Detta kan uttryckas som en formel:

För en potens med nollbas är denna bestämmelse också lämplig, men bara om dess exponent är ett positivt tal.

En potens med en bas noll och en bråkdel positiv exponent m/n kan uttryckas som

0 m n = 0 m n = 0 förutsatt att m är ett positivt heltal och n är ett naturligt tal.

För ett negativt förhållande m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Låt oss notera en punkt. Eftersom vi införde villkoret att a är större än eller lika med noll, slutade vi med att vi kasserade några fall.

Uttrycket a m n är ibland fortfarande meningsfullt för vissa negativa värden av a och vissa m. Således är de korrekta inmatningarna (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, där basen är negativ.

2. Det andra tillvägagångssättet är att separat betrakta roten a m n med jämna och udda exponenter. Sedan kommer vi att behöva införa ytterligare ett villkor: graden a, i vars exponent det finns en reducerbar ordinär bråkdel, anses vara graden a, i vars exponent det finns motsvarande irreducerbara bråk. Senare kommer vi att förklara varför vi behöver detta tillstånd och varför det är så viktigt. Alltså, om vi har notationen a m · k n · k , så kan vi reducera den till a m n och förenkla beräkningarna.

Om n är ett udda tal och värdet på m är positivt och a är vilket icke-negativt tal som helst, då är a m n vettigt. Villkoret för att ett ska vara icke-negativt är nödvändigt eftersom en rot av en jämn grad inte kan extraheras från ett negativt tal. Om värdet på m är positivt, så kan a vara både negativt och noll, eftersom Den udda roten kan tas från vilket reellt tal som helst.

Låt oss kombinera alla ovanstående definitioner i en post:

Här betyder m/n ett irreducerbart bråktal, m är vilket heltal som helst och n är vilket naturligt tal som helst.

Definition 5

För varje vanlig reducerbar bråkdel m · k n · k kan graden ersättas med en m n .

Kraften för ett tal a med en irreducerbar bråkexponent m / n – kan uttryckas som en m n i följande fall: - för alla reella a, positiva heltalsvärden m och udda naturvärden n. Exempel: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

För alla reella a som inte är noll, negativa heltalsvärden på m och udda värden på n, till exempel 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

För alla icke-negativa a, positivt heltal m och jämnt n, till exempel, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

För varje positivt a, negativt heltal m och jämnt n, till exempel, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Vid andra värden bestäms inte graden med bråkdelsexponent. Exempel på sådana grader: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Låt oss nu förklara vikten av villkoret som diskuterats ovan: varför ersätta en bråkdel med en reducerbar exponent med en bråkdel med en irreducerbar exponent. Om vi ​​inte hade gjort detta skulle vi ha haft följande situationer, säg 6/10 = 3/5. Då borde det vara sant (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , men - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , och (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definitionen av en grad med en bråkdelsexponent, som vi presenterade först, är bekvämare att använda i praktiken än den andra, så vi kommer att fortsätta att använda den.

Definition 6

Således definieras potensen av ett positivt tal a med en bråkdelsexponent m/n som 0 m n = 0 m n = 0. Vid negativ a beteckningen a m n är inte vettig. Potensen noll för positiva bråkexponenter m/n definieras som 0 m n = 0 m n = 0 , för negativa bråkexponenter definierar vi inte graden av noll.

Avslutningsvis noterar vi att du kan skriva vilken bråkdel som helst både som ett blandat tal och som ett decimaltal: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Vid beräkning är det bättre att ersätta exponenten med ett vanligt bråktal och sedan använda definitionen av exponent med en bråkexponent. För exemplen ovan får vi:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Vad är potenser med irrationella och reella exponenter?

Vad är reella tal? Deras uppsättning innehåller både rationella och irrationella tal. Därför, för att förstå vad en grad med en verklig exponent är, måste vi definiera grader med rationella och irrationella exponenter. Vi har redan nämnt rationella ovan. Låt oss ta itu med irrationella indikatorer steg för steg.

Exempel 5

Låt oss anta att vi har ett irrationellt tal a och en sekvens av dess decimala approximationer a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Låt oss till exempel ta värdet a = 1,67175331. . . , Då

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Vi kan associera sekvenser av approximationer med en sekvens av grader a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Om vi ​​kommer ihåg vad vi sa tidigare om att höja siffror till rationella makter, så kan vi själva beräkna värdena för dessa makter.

Låt oss ta till exempel a = 3, sedan a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . etc.

Potenssekvensen kan reduceras till ett tal, vilket blir värdet av potensen med basen a och irrationell exponent a. Som ett resultat: en examen med en irrationell exponent av formen 3 1, 67175331. . kan reduceras till siffrorna 6, 27.

Definition 7

Potensen för ett positivt tal a med en irrationell exponent a skrivs som en a . Dess värde är gränsen för sekvensen a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , där a 0 , a 1 , a 2 , . . . är successiva decimala approximationer av det irrationella talet a. En grad med nollbas kan också definieras för positiva irrationella exponenter, med 0 a = 0 Så, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Men detta kan inte göras för negativa, eftersom till exempel värdet 0 - 5, 0 - 2 π inte är definierat. En enhet som höjs till någon irrationell makt förblir till exempel en enhet och 1 2, 1 5 i 2 och 1 - 5 kommer att vara lika med 1.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

I den här artikeln kommer vi att ta reda på vad det är grad av. Här kommer vi att ge definitioner av styrkan hos ett tal, medan vi i detalj kommer att överväga alla möjliga exponenter, som börjar med den naturliga exponenten och slutar med den irrationella. I materialet hittar du många exempel på grader, som täcker alla finesser som uppstår.

Sidnavigering.

Potens med naturlig exponent, kvadrat av ett tal, kub av ett tal

Låt oss börja med . När vi blickar framåt, låt oss säga att definitionen av potensen av ett tal a med naturlig exponent n ges för a, som vi kommer att kalla examensbasis, och n, som vi kommer att kalla exponent. Vi noterar också att en grad med naturlig exponent bestäms genom en produkt, så för att förstå materialet nedan behöver du ha förståelse för att multiplicera tal.

Definition.

Potens för ett tal med naturlig exponent när ett uttryck för formen a n, vars värde är lika med produkten av n faktorer, som var och en är lika med a, det vill säga .
Speciellt är potensen av ett tal a med exponent 1 talet a själv, det vill säga a 1 =a.

Det är värt att genast nämna om reglerna för att läsa examina. Det universella sättet att läsa notationen a n är: "a till makten av n". I vissa fall är följande alternativ också acceptabla: "a till n:te potens" och "n:te potens av a". Låt oss till exempel ta makten 8 12, detta är "åtta till tolv potens", eller "åtta till tolfte potensen", eller "tolfte potensen av åtta".

Den andra potensen av ett tal, liksom den tredje potensen av ett tal, har sina egna namn. Andra potensen av ett tal kallas kvadrat talet, till exempel, 7 2 läses som "sju kvadrat" eller "kvadraten på talet sju." Den tredje potensen av ett tal kallas kubade siffror, till exempel, 5 3 kan läsas som "fem kuber" eller så kan du säga "kub av talet 5".

Det är dags att ta med exempel på grader med naturliga exponenter. Låt oss börja med graden 5 7, här är 5 gradens bas och 7 är exponenten. Låt oss ge ett annat exempel: 4,32 är basen och det naturliga talet 9 är exponenten (4,32) 9 .

Observera att i det sista exemplet är basen för potensen 4.32 skriven inom parentes: för att undvika avvikelser kommer vi att sätta alla baser av potensen som skiljer sig från naturliga tal inom parentes. Som exempel ger vi följande grader med naturliga exponenter , deras baser är inte naturliga tal, så de skrivs inom parentes. Tja, för fullständig tydlighet kommer vi nu att visa skillnaden som finns i poster av formen (−2) 3 och −2 3. Uttrycket (−2) 3 är en potens av −2 med en naturlig exponent av 3, och uttrycket −2 3 (det kan skrivas som −(2 3) ) motsvarar talet, värdet av potensen 2 3 .

Observera att det finns en notation för potensen av ett tal a med en exponent n av formen a^n. Dessutom, om n är ett naturligt tal med flera värden, tas exponenten inom parentes. Till exempel är 4^9 en annan notation för potensen 4 9 . Och här är några fler exempel på att skriva grader med symbolen "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . I det följande kommer vi i första hand att använda gradnotation av formen a n .

Ett av problemen omvänt till att höja till en potens med en naturlig exponent är problemet med att hitta basen för en potens från ett känt värde på potensen och en känd exponent. Denna uppgift leder till .

Det är känt att uppsättningen av rationella tal består av heltal och bråk, och varje bråk kan representeras som ett positivt eller negativt vanligt bråk. Vi definierade en grad med en heltalsexponent i föregående stycke, därför, för att slutföra definitionen av en grad med en rationell exponent, måste vi ge betydelse till graden av talet a med en bråkdelsexponent m/n, där m är ett heltal och n är ett naturligt tal. Vi gör det.

Låt oss överväga en grad med en bråkdelsexponent av formen . För att makt-till-makt-egenskapen ska förbli giltig måste jämlikheten gälla . Om vi ​​tar hänsyn till den resulterande jämlikheten och hur vi bestämde , då är det logiskt att acceptera det förutsatt att uttrycket är vettigt för givna m, n och a.

Det är lätt att kontrollera att för alla egenskaper hos en grad med en heltalsexponent är giltiga (detta gjordes i avsnittet egenskaper för en grad med en rationell exponent).

Ovanstående resonemang tillåter oss att göra följande slutsats: om uttrycket ger m, n och a är det meningsfullt, då kallas potensen av a med bråkexponent m/n den n:te roten av a i m potens.

Detta påstående för oss nära definitionen av en grad med en bråkdelsexponent. Allt som återstår är att beskriva vid vilka m, n och a uttrycket är vettigt. Beroende på de restriktioner som läggs på m, n och a finns det två huvudsakliga tillvägagångssätt.

Det enklaste sättet är att sätta en begränsning på a genom att ta a≥0 för positiv m och a>0 för negativ m (eftersom för m≤0 graden 0 för m inte är definierad). Då får vi följande definition av en grad med bråkexponent.

Definition.

Potens för ett positivt tal a med bråkexponent m/n, där m är ett heltal och n är ett naturligt tal, kallas den n:te roten av talet a till potensen m, det vill säga .

Bråkpotensen noll bestäms också med den enda varningen att indikatorn måste vara positiv.

Definition.

Potens för noll med bråkdel positiv exponent m/n, där m är ett positivt heltal och n är ett naturligt tal, definieras som .
När graden inte bestäms, det vill säga graden av talet noll med en negativ bråkdelsexponent är inte meningsfull.

Det bör noteras att med denna definition av en grad med en bråkdelsexponent finns det en varning: för vissa negativa a och vissa m och n är uttrycket vettigt, och vi förkastade dessa fall genom att införa villkoret a≥0. Till exempel är posterna vettiga eller , och definitionen ovan tvingar oss att säga att makter med en bråkdelsexponent av formen inte vettigt, eftersom basen inte bör vara negativ.

Ett annat tillvägagångssätt för att bestämma en grad med en bråkdelsexponent m/n är att separat beakta jämna och udda exponenter för roten. Detta tillvägagångssätt kräver ett ytterligare villkor: potensen av talet a, vars exponent är , anses vara potensen av talet a, vars exponent är motsvarande irreducerbara bråktal (vi kommer att förklara vikten av detta villkor nedan ). Det vill säga, om m/n är en irreducerbar bråkdel, då för alla naturliga tal k ersätts graden först av .

För jämn n och positiv m är uttrycket meningsfullt för alla icke-negativa a (en jämn rot av ett negativt tal är inte meningsfullt); för negativt m måste talet a fortfarande skilja sig från noll (annars blir det division med noll). Och för udda n och positivt m kan talet a vara vilket som helst (roten av en udda grad definieras för vilket reellt tal som helst), och för negativt m måste talet a skilja sig från noll (så att det inte finns någon division med noll).

Ovanstående resonemang leder oss till denna definition av en grad med bråkexponent.

Definition.

Låt m/n vara ett irreducerbart bråktal, m ett heltal och n ett naturligt tal. För varje reducerbar bråkdel ersätts graden av . Potensen för ett tal med en irreducerbar bråkdelsexponent m/n är för



Låt oss förklara varför en grad med en reducerbar bråkexponent först ersätts med en grad med en irreducerbar exponent. Om vi ​​helt enkelt definierade graden som , och inte gjorde en reservation om irreducerbarheten av bråkdelen m/n, skulle vi ställas inför situationer som liknar följande: eftersom 6/10 = 3/5, så måste jämlikheten gälla , Men , A .

Tabell över potenser 2 (tvåor) från 0 till 32

Tabellen nedan visar, förutom tvåpotenser, de maximala antal som en dator kan lagra för ett givet antal bitar. Dessutom både för heltal och tecken med tal.

Historiskt sett använde datorer det binära talsystemet, och följaktligen datalagring. Således kan vilket tal som helst representeras som en sekvens av nollor och ettor (informationsbitar). Det finns flera sätt att representera tal som en binär sekvens.

Låt oss överväga det enklaste av dem - det här är ett positivt heltal. Sedan ju större antal vi behöver skriva, desto längre bitsekvens behöver vi.

Under är tabell över potenser av nummer 2. Det kommer att ge oss en representation av det nödvändiga antalet bitar som vi behöver för att lagra siffror.

Hur man använder tabell över potenser av nummer två?

Den första kolumnen är tvåkraft, som samtidigt anger antalet bitar som representerar talet.

Andra kolumnen - värde tvåor till lämplig potens (n).

Ett exempel på att hitta kraften i 2. Vi hittar siffran 7 i den första kolumnen Vi tittar längs linjen till höger och hittar värdet två till sjunde potens(2 7) är 128

Tredje kolumnen - det maximala antalet som kan representeras med ett givet antal bitar(i första kolumnen).

Ett exempel på att bestämma det maximala heltal utan tecken. Med hjälp av data från föregående exempel vet vi att 2 7 = 128. Detta är sant om vi vill förstå vad antal siffror, kan representeras med hjälp av sju bitar. Men eftersom den första siffran är noll, då är det maximala antalet som kan representeras med sju bitar 128 - 1 = 127. Detta är värdet på den tredje kolumnen.

tvåpotens (n)	Kraft av två värde 2n	Maximalt antal osignerat skrivet med n bitar	Max antal undertecknat skrivet med n bitar
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

Vi kom på vad en potens av ett tal faktiskt är. Nu måste vi förstå hur man beräknar det korrekt, d.v.s. höja siffrorna till makter. I detta material kommer vi att analysera de grundläggande reglerna för beräkning av grader i fallet med heltal, naturliga, bråkdelar, rationella och irrationella exponenter. Alla definitioner kommer att illustreras med exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Begreppet exponentiering

Låt oss börja med att formulera grundläggande definitioner.

Definition 1

Exponentiering- detta är beräkningen av värdet av styrkan för ett visst tal.

Det vill säga orden "beräkna värdet av en makt" och "höja till en makt" betyder samma sak. Så om problemet säger "Höj talet 0, 5 till femte potensen", bör detta förstås som "beräkna värdet på potensen (0, 5) 5.

Nu presenterar vi de grundläggande reglerna som måste följas när man gör sådana beräkningar.

Låt oss komma ihåg vad en potens av ett tal med en naturlig exponent är. För en potens med basen a och exponenten n blir detta produkten av det n:te antalet faktorer, som var och en är lika med a. Detta kan skrivas så här:

För att beräkna värdet på en grad måste du utföra en multiplikationsåtgärd, det vill säga multiplicera baserna för graden det angivna antalet gånger. Själva konceptet med en grad med en naturlig exponent bygger på förmågan att snabbt multiplicera. Låt oss ge exempel.

Exempel 1

Skick: höj - 2 till makten 4.

Lösning

Med hjälp av definitionen ovan skriver vi: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Därefter behöver vi bara följa dessa steg och få 16.

Låt oss ta ett mer komplicerat exempel.

Exempel 2

Beräkna värdet 3 2 7 2

Lösning

Det här inlägget kan skrivas om till 3 2 7 · 3 2 7 . Tidigare har vi tittat på hur man korrekt multiplicerar de blandade talen som nämns i villkoret.

Låt oss utföra dessa steg och få svaret: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Om problemet indikerar behovet av att höja irrationella tal till en naturlig potens, måste vi först avrunda deras baser till den siffra som gör att vi kan få ett svar med den nödvändiga noggrannheten. Låt oss titta på ett exempel.

Exempel 3

Utför kvadraten på π.

Lösning

Låt oss först avrunda det till hundradelar. Sedan π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Om π ≈ 3. 14159, då får vi ett mer exakt resultat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Observera att behovet av att beräkna potenser av irrationella tal uppstår relativt sällan i praktiken. Vi kan sedan skriva svaret som potensen (ln 6) 3 själv, eller konvertera om möjligt: ​​5 7 = 125 5 .

Separat bör det anges vad den första potensen av ett tal är. Här kan du helt enkelt komma ihåg att alla tal som höjs till den första potensen kommer att förbli sig själv:

Detta framgår av inspelningen .

Det beror inte på examen.

Exempel 4

Så, (− 9) 1 = − 9, och 7 3 upphöjda till första potens kommer att förbli lika med 7 3.

För enkelhetens skull kommer vi att undersöka tre fall separat: om exponenten är ett positivt heltal, om det är noll och om det är ett negativt heltal.

I det första fallet är detta detsamma som att höja till en naturlig kraft: trots allt hör positiva heltal till mängden naturliga tal. Vi har redan pratat ovan om hur man arbetar med sådana examina.

Låt oss nu se hur man korrekt höjer till nolleffekten. För en annan bas än noll ger denna beräkning alltid 1. Vi har tidigare förklarat att 0:e potensen av a kan definieras för vilket reellt tal som helst som inte är lika med 0, och a 0 = 1.

Exempel 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ej definierad.

Vi har bara fallet med en grad med en heltals negativ exponent. Vi har redan diskuterat att sådana grader kan skrivas som en bråkdel 1 a z, där a är vilket tal som helst och z är ett negativt heltal. Vi ser att nämnaren för detta bråk inte är något annat än en vanlig potens med en positiv heltalsexponent, och vi har redan lärt oss hur man beräknar den. Låt oss ge exempel på uppgifter.

Exempel 6

Höj 3 till makten - 2.

Lösning

Med hjälp av definitionen ovan skriver vi: 2 - 3 = 1 2 3

Låt oss räkna ut nämnaren för denna bråkdel och få 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Då är svaret: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exempel 7

Höj 1,43 till -2-effekten.

Lösning

Låt oss omformulera: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Vi beräknar kvadraten i nämnaren: 1,43·1,43. Decimaler kan multipliceras på detta sätt:

Som ett resultat fick vi (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Allt vi behöver göra är att skriva detta resultat i form av ett vanligt bråk, för vilket vi måste multiplicera det med 10 tusen (se materialet om att konvertera bråk).

Svar: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ett specialfall är att höja en siffra till minus första potens. Värdet på denna grad är lika med det reciproka av det ursprungliga värdet av basen: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Exempel 8

Exempel: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Hur man höjer ett tal till en bråkpotens

För att utföra en sådan operation måste vi komma ihåg den grundläggande definitionen av en grad med en bråkdelsexponent: a m n = a m n för varje positivt a, heltal m och naturligt n.

Definition 2

Således måste beräkningen av en bråkpotens utföras i två steg: höjning till en heltalspotens och hitta roten till den n:te potensen.

Vi har likheten a m n = a m n , som med hänsyn till rötternas egenskaper vanligtvis används för att lösa problem i formen a m n = a n m . Det betyder att om vi höjer ett tal a till en bråkpotens m / n, så tar vi först den n:te roten av a, sedan höjer vi resultatet till en potens med en heltalsexponent m.

Låt oss illustrera med ett exempel.

Exempel 9

Beräkna 8 - 2 3 .

Lösning

Metod 1: Enligt den grundläggande definitionen kan vi representera detta som: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Låt oss nu beräkna graden under roten och extrahera den tredje roten från resultatet: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metod 2. Förvandla den grundläggande jämlikheten: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Efter detta extraherar vi roten 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 och kvadrerar resultatet: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vi ser att lösningarna är identiska. Du kan använda den hur du vill.

Det finns fall då graden har en indikator uttryckt som ett blandat tal eller ett decimaltal. För att förenkla beräkningar är det bättre att ersätta det med en vanlig bråkdel och beräkna enligt ovan.

Exempel 10

Höj 44, 89 till styrkan 2, 5.

Lösning

Låt oss omvandla värdet på indikatorn till en vanlig bråkdel - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Nu utför vi i ordning alla åtgärder som anges ovan: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 03001 = 51007 1 = 0 501, 25107

Svar: 13 501, 25107.

Om täljaren och nämnaren för en bråkdelsexponent innehåller stora tal, är det ett ganska svårt jobb att beräkna sådana exponenter med rationella exponenter. Det kräver vanligtvis datorteknik.

Låt oss separat uppehålla oss vid potenser med en nollbas och en bråkdelsexponent. Ett uttryck av formen 0 m n kan ges följande betydelse: om m n > 0, då 0 m n = 0 m n = 0; om m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Hur man höjer ett nummer till en irrationell makt

Behovet av att beräkna värdet av en potens vars exponent är ett irrationellt tal uppstår inte så ofta. I praktiken är uppgiften vanligtvis begränsad till att beräkna ett ungefärligt värde (upp till ett visst antal decimaler). Detta beräknas vanligtvis på en dator på grund av komplexiteten i sådana beräkningar, så vi kommer inte att uppehålla oss i detalj, vi kommer bara att ange de viktigaste bestämmelserna.

Om vi ​​behöver beräkna värdet av en potens a med en irrationell exponent a, så tar vi exponentens decimalapproximation och räknar från den. Resultatet blir ett ungefärligt svar. Ju mer exakt decimal approximationen är, desto mer exakt är svaret. Låt oss visa med ett exempel:

Exempel 11

Beräkna det ungefärliga värdet på 21, 174367....

Lösning

Låt oss begränsa oss till decimalapproximationen a n = 1, 17. Låt oss utföra beräkningar med detta nummer: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Om vi ​​till exempel tar approximationen a n = 1, 1743, så blir svaret lite mer exakt: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Kalkylatorn hjälper dig att snabbt höja en siffra till en makt online. Gradens bas kan vara vilket tal som helst (både heltal och reella tal). Exponenten kan också vara ett heltal eller reellt, och kan också vara positivt eller negativt. Tänk på att för negativa tal är det odefinierat att höja till en icke-heltalspotens, så räknaren kommer att rapportera ett fel om du försöker det.

Gradkalkylator

Upp till makten

Exponentieringar: 28402

Vad är en naturlig kraft för ett tal?

Talet p kallas n:te potensen av ett tal om p är lika med talet a multiplicerat med sig själv n gånger: p = a n = a·...·a
n - kallas exponent, och siffran a är examensbasis.

Hur höjer man ett nummer till en naturlig kraft?

För att förstå hur man höjer olika siffror till naturliga krafter, överväg några exempel:

Exempel 1. Höj siffran tre till fjärde potensen. Det vill säga, det är nödvändigt att beräkna 3 4
Lösning: som nämnts ovan, 34 = 3·3·3·3 = 81.
Svar: 3 4 = 81 .

Exempel 2. Höj siffran fem till femte potensen. Det vill säga, det är nödvändigt att beräkna 5 5
Lösning: på liknande sätt, 55 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Svar: 5 5 = 3125 .

Alltså, för att höja ett tal till en naturlig kraft behöver du bara multiplicera det med sig själv n gånger.

Vad är en negativ potens av ett tal?

Den negativa potensen -n av a är en dividerad med a till potensen av n: a -n = .

I det här fallet finns en negativ potens endast för tal som inte är noll, eftersom division med noll annars skulle inträffa.

Hur höjer man ett tal till en negativ heltalspotens?

För att höja ett tal som inte är noll till en negativ potens, måste du beräkna värdet av detta tal till samma positiva potens och dividera ett med resultatet.

Exempel 1. Höj siffran två till negativ fjärde potens. Det vill säga, du måste beräkna 2 -4

Lösning: som nämnts ovan, 2 -4 = = = 0,0625.

Svar: 2 -4 = 0.0625 .