Në këtë material do të shohim se çfarë është fuqia e një numri. Përveç përkufizimeve bazë, do të formulojmë se cilat janë fuqitë me eksponentë natyrorë, të plotë, racionalë dhe iracionalë. Si gjithmonë, të gjitha konceptet do të ilustrohen me shembuj të problemeve.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Së pari, le të formulojmë përkufizimin bazë të një shkalle me një eksponent natyror. Për ta bërë këtë, duhet të kujtojmë rregullat themelore të shumëzimit. Le të sqarojmë paraprakisht se tani për tani do të marrim një numër real si bazë (të shënuar me shkronjën a), dhe një numër natyror si tregues (të shënuar me shkronjën n).

Përkufizimi 1

Fuqia e një numri a me eksponent natyror n është prodhimi i numrit të n-të të faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me numrin a. Diploma shkruhet kështu: a n, dhe në formën e një formule përbërja e tij mund të përfaqësohet si më poshtë:

Për shembull, nëse eksponenti është 1 dhe baza është a, atëherë fuqia e parë e a shkruhet si a 1. Duke qenë se a është vlera e faktorit dhe 1 është numri i faktorëve, mund të konkludojmë se a 1 = a.

Në përgjithësi, mund të themi se një diplomë është një formë e përshtatshme për të shkruar një numër të madh faktorësh të barabartë. Pra, një procesverbal i formularit 8 8 8 8 mund të shkurtohet në 8 4 . Në të njëjtën mënyrë, produkti na ndihmon të shmangim shkrimin e një numri të madh termash (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Ne e kemi diskutuar tashmë këtë në artikullin kushtuar shumëzimit të numrave natyrorë.

Si të lexoni saktë hyrjen e diplomës? Opsioni i pranuar përgjithësisht është "a në fuqinë e n". Ose mund të thoni "fuqia e n-të e a" ose "fuqia e ntë". Nëse, le të themi, në shembull kemi hasur hyrjen 8 12 , mund të lexojmë "8 në fuqinë e 12-të", "8 në fuqinë e 12" ose "fuqinë e 12-të të 8".

Fuqitë e dyta dhe të treta të numrave kanë emrat e tyre të vendosur: katror dhe kub. Nëse shohim fuqinë e dytë, për shembull, numrin 7 (7 2), atëherë mund të themi "7 në katror" ose "katrori i numrit 7". Në mënyrë të ngjashme, shkalla e tretë lexohet kështu: 5 3 - ky është "kubi i numrit 5" ose "5 kubik". Sidoqoftë, mund të përdorni edhe formulimin standard "në fuqinë e dytë/të tretë"; ky nuk do të jetë një gabim.

Shembulli 1

Le të shohim një shembull të një shkalle me një eksponent natyror: për 5 7 pesë do të jenë baza dhe shtatë do të jenë eksponenti.

Baza nuk duhet të jetë një numër i plotë: për shkallën (4 , 32) 9 baza do të jetë thyesa 4, 32, dhe eksponenti do të jetë nëntë. Kushtojini vëmendje kllapave: ky shënim është bërë për të gjitha fuqitë, bazat e të cilave ndryshojnë nga numrat natyrorë.

Për shembull: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Për çfarë janë kllapat? Ato ndihmojnë në shmangien e gabimeve në llogaritjet. Le të themi se kemi dy hyrje: (− 2) 3 Dhe − 2 3 . E para nga këto nënkupton një numër negativ minus dy të ngritur në një fuqi me një eksponent natyror prej tre; i dyti është numri që korrespondon me vlerën e kundërt të shkallës 2 3 .

Ndonjëherë në libra mund të gjeni një drejtshkrim paksa të ndryshëm të fuqisë së një numri - a^n(ku a është baza dhe n është eksponenti). Kjo do të thotë, 4^9 është njësoj si 4 9 . Nëse n është një numër shumëshifror, ai vendoset në kllapa. Për shembull, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Por ne do të përdorim shënimin a n si më të zakonshme.

Është e lehtë të merret me mend se si të llogaritet vlera e një eksponenti me një eksponent natyror nga përkufizimi i tij: thjesht duhet të shumëzoni numrin e n-të herë. Ne kemi shkruar më shumë për këtë në një artikull tjetër.

Koncepti i shkallës është anasjellta e një koncepti tjetër matematikor - rrënja e një numri. Nëse e dimë vlerën e fuqisë dhe eksponentit, mund të llogarisim bazën e tij. Shkalla ka disa veti specifike që janë të dobishme për zgjidhjen e problemeve, të cilat i diskutuam në një material të veçantë.

Eksponentët mund të përfshijnë jo vetëm numra natyrorë, por edhe çdo vlerë të plotë në përgjithësi, duke përfshirë ato negative dhe zero, sepse ato gjithashtu i përkasin grupit të numrave të plotë.

Përkufizimi 2

Fuqia e një numri me një eksponent të plotë pozitiv mund të përfaqësohet si një formulë: .

Në këtë rast, n është çdo numër i plotë pozitiv.

Le të kuptojmë konceptin e shkallës zero. Për ta bërë këtë, ne përdorim një qasje që merr parasysh vetinë e koeficientit për fuqitë me baza të barabarta. Është formuluar kështu:

Përkufizimi 3

Barazia a m: a n = a m − n do të jetë e vërtetë në kushtet e mëposhtme: m dhe n janë numra natyrorë, m< n , a ≠ 0 .

Kushti i fundit është i rëndësishëm sepse shmang ndarjen me zero. Nëse vlerat e m dhe n janë të barabarta, atëherë marrim rezultatin e mëposhtëm: a n: a n = a n − n = a 0

Por në të njëjtën kohë a n: a n = 1 është herësi i numrave të barabartë a n dhe a. Rezulton se fuqia zero e çdo numri jozero është e barabartë me një.

Megjithatë, një provë e tillë nuk vlen për zero në fuqinë zero. Për ta bërë këtë, ne kemi nevojë për një pronë tjetër të fuqive - pronë e produkteve të fuqive me baza të barabarta. Duket kështu: a m · a n = a m + n .

Nëse n është e barabartë me 0, atëherë a m · a 0 = a m(kjo barazi na e vërteton edhe këtë a 0 = 1). Por nëse dhe është gjithashtu e barabartë me zero, barazia jonë merr formën 0 m · 0 0 = 0 m, Do të jetë e vërtetë për çdo vlerë natyrore të n, dhe nuk ka rëndësi se me çfarë saktësisht është e barabartë vlera e shkallës 0 0 , domethënë mund të jetë i barabartë me çdo numër dhe kjo nuk do të ndikojë në saktësinë e barazisë. Prandaj, një shënim i formës 0 0 nuk ka kuptimin e vet të veçantë dhe ne nuk do t'ia atribuojmë.

Nëse dëshironi, është e lehtë ta kontrolloni atë a 0 = 1 konvergon me vetinë e shkallës (a m) n = a m n me kusht që baza e shkallës të mos jetë zero. Kështu, fuqia e çdo numri jozero me eksponent zero është një.

Shembulli 2

Le të shohim një shembull me numra specifikë: Pra, 5 0 - njësi, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , dhe vlera 0 0 të papërcaktuara.

Pas shkallës zero, ne vetëm duhet të kuptojmë se çfarë është një shkallë negative. Për ta bërë këtë, na duhet e njëjta veti e produktit të fuqive me baza të barabarta që kemi përdorur tashmë më lart: a m · a n = a m + n.

Le të paraqesim kushtin: m = − n, atëherë a nuk duhet të jetë e barabartë me zero. Nga kjo rrjedh se a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Rezulton se një n dhe a−n kemi numra reciprokë.

Si rezultat, a në fuqinë e tërë negative nuk është asgjë më shumë se fraksioni 1 a n.

Ky formulim konfirmon se për një shkallë me një eksponent negativ numër të plotë, vlejnë të gjitha të njëjtat veti që ka një shkallë me një eksponent natyror (me kusht që baza të mos jetë e barabartë me zero).

Shembulli 3

Një fuqi a me një eksponent negativ n mund të përfaqësohet si një fraksion 1 a n. Kështu, a - n = 1 a n subjekt të a ≠ 0 dhe n është çdo numër natyror.

Le ta ilustrojmë idenë tonë me shembuj specifik:

Shembulli 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Në pjesën e fundit të paragrafit, ne do të përpiqemi të përshkruajmë gjithçka që është thënë qartë në një formulë:

Përkufizimi 4

Fuqia e një numri me një eksponent natyror z është: a z = a z, e me l dhe z - numër i plotë pozitiv 1, z = 0 dhe a ≠ 0, (për z = 0 dhe a = 0 rezultati është 0 0, vlerat e shprehjes 0 0 nuk janë të përcaktuara) 1 a z, nëse dhe z është një numër i plotë negativ dhe a ≠ 0 (nëse z është një numër i plotë negativ dhe a = 0 ju merrni 0 z, egoz vlera është e pacaktuar)

Cilat janë fuqitë me një eksponent racional?

Shqyrtuam rastet kur eksponenti përmban një numër të plotë. Megjithatë, ju mund ta ngrini një numër në një fuqi edhe kur eksponenti i tij përmban një numër thyesor. Kjo quhet fuqi me një eksponent racional. Në këtë pjesë do të vërtetojmë se ka të njëjtat veti si fuqitë e tjera.

Çfarë janë numrat racional? Grupi i tyre përfshin numra të plotë dhe thyesorë, dhe numrat thyesorë mund të përfaqësohen si thyesa të zakonshme (si pozitive ashtu edhe negative). Le të formulojmë përkufizimin e fuqisë së një numri a me një eksponent thyesor m / n, ku n është një numër natyror dhe m është një numër i plotë.

Kemi një shkallë me një eksponent thyesor a m n . Në mënyrë që vetia e fuqisë për të fuqizuar të mbajë, barazia a m n n = a m n · n = a m duhet të jetë e vërtetë.

Duke pasur parasysh përkufizimin e rrënjës së n-të dhe se a m n n = a m, ne mund të pranojmë kushtin a m n = a m n nëse një m n ka kuptim për vlerat e dhëna të m, n dhe a.

Vetitë e mësipërme të një shkalle me një eksponent numër të plotë do të jenë të vërteta nën kushtin a m n = a m n.

Përfundimi kryesor nga arsyetimi ynë është ky: fuqia e një numri të caktuar a me një eksponent thyesor m / n është rrënja e n-të e numrit a me fuqinë m. Kjo është e vërtetë nëse, për vlerat e dhëna të m, n dhe a, shprehja a m n mbetet kuptimplotë.

1. Mund të kufizojmë vlerën e bazës së shkallës: le të marrim a, e cila për vlerat pozitive të m do të jetë më e madhe ose e barabartë me 0, dhe për vlerat negative - rreptësisht më pak (pasi për m ≤ 0 marrim 0 m, por një shkallë e tillë nuk është e përcaktuar). Në këtë rast, përkufizimi i një shkalle me një eksponent thyesor do të duket si ky:

Një fuqi me një eksponent thyesor m/n për një numër pozitiv a është rrënja e n-të e a e ngritur në fuqinë m. Kjo mund të shprehet si formulë:

Për një fuqi me bazë zero, kjo dispozitë është gjithashtu e përshtatshme, por vetëm nëse eksponenti i saj është një numër pozitiv.

Një fuqi me bazë zero dhe një eksponent pozitiv thyesor m/n mund të shprehet si

0 m n = 0 m n = 0 me kusht që m është një numër i plotë pozitiv dhe n është një numër natyror.

Për një raport negativ m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Le të vërejmë një pikë. Meqenëse futëm kushtin që a është më i madh ose i barabartë me zero, përfunduam duke hedhur poshtë disa raste.

Shprehja a m n ndonjëherë ka ende kuptim për disa vlera negative të a dhe disa m. Kështu, hyrjet e sakta janë (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, në të cilat baza është negative.

2. Qasja e dytë është të shqyrtojmë veçmas rrënjën a m n me eksponentë çift dhe tek. Më pas do të na duhet të paraqesim edhe një kusht: shkalla a, në eksponentin e së cilës ka një thyesë të zakonshme të reduktueshme, konsiderohet të jetë shkalla a, në eksponentin e së cilës është fraksioni përkatës i pareduktueshëm. Më vonë do të shpjegojmë pse na duhet kjo gjendje dhe pse është kaq e rëndësishme. Kështu, nëse kemi shënimin a m · k n · k , atëherë mund ta zvogëlojmë atë në një m n dhe të thjeshtojmë llogaritjet.

Nëse n është një numër tek dhe vlera e m është pozitive dhe a është çdo numër jo negativ, atëherë një m n ka kuptim. Kushti që a të jetë jo negativ është i nevojshëm sepse një rrënjë e një shkalle çift nuk mund të nxirret nga një numër negativ. Nëse vlera e m është pozitive, atëherë a mund të jetë edhe negative edhe zero, sepse Rrënja tek mund të merret nga çdo numër real.

Le të kombinojmë të gjitha përkufizimet e mësipërme në një hyrje:

Këtu m/n do të thotë një thyesë e pakalueshme, m është çdo numër i plotë dhe n është çdo numër natyror.

Përkufizimi 5

Për çdo thyesë të zakonshme të reduktueshme m · k n · k shkalla mund të zëvendësohet me një m n .

Fuqia e një numri a me një eksponent thyesor të pakalueshëm m / n - mund të shprehet si m n në rastet e mëposhtme: - për çdo a real, vlerat e plota pozitive m dhe vlerat e çuditshme natyrore n. Shembull: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Për çdo a jo-zero reale, vlera të plota negative të m dhe vlera tek të n, për shembull, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Për çdo jo-negativ a, numër i plotë pozitiv m dhe çift n, për shembull, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Për çdo a pozitiv, numër i plotë negativ m dhe çift n, për shembull, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Në rastin e vlerave të tjera, shkalla me një eksponent thyesor nuk përcaktohet. Shembuj të shkallëve të tilla: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Tani le të shpjegojmë rëndësinë e kushtit të diskutuar më sipër: pse të zëvendësohet një thyesë me një eksponent të reduktueshëm me një thyesë me një eksponent të pakësueshëm. Nëse nuk do ta kishim bërë këtë, do të kishim situatat e mëposhtme, të themi, 6/10 = 3/5. Atëherë duhet të jetë e vërtetë (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , por - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, dhe (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Përkufizimi i një shkalle me një eksponent thyesor, të cilin e kemi paraqitur së pari, është më i përshtatshëm për t'u përdorur në praktikë sesa i dyti, kështu që ne do të vazhdojmë ta përdorim atë.

Përkufizimi 6

Kështu, fuqia e një numri pozitiv a me një eksponent thyesor m/n përcaktohet si 0 m n = 0 m n = 0. Në rast negativ a shënimi a m n nuk ka kuptim. Fuqia zero për eksponentët thyesorë pozitivë m/n përkufizohet si 0 m n = 0 m n = 0 , për eksponentë thyesorë negativë nuk e përkufizojmë shkallën zero.

Si përfundim, vërejmë se mund të shkruani çdo tregues thyesor si një numër i përzier ashtu edhe si një thyesë dhjetore: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Gjatë llogaritjes, është më mirë të zëvendësohet eksponenti me një fraksion të zakonshëm dhe më pas të përdoret përkufizimi i eksponentit me një eksponent thyesor. Për shembujt e mësipërm marrim:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Cilat janë fuqitë me eksponentë irracionalë dhe realë?

Cilët janë numrat realë? Grupi i tyre përfshin numra racionalë dhe irracionalë. Prandaj, për të kuptuar se çfarë është një shkallë me një eksponent real, duhet të përcaktojmë shkallët me eksponentë racionalë dhe iracionalë. I kemi përmendur më lart ato racionale. Le të merremi me treguesit irracionalë hap pas hapi.

Shembulli 5

Le të supozojmë se kemi një numër irracional a dhe një sekuencë të përafrimeve dhjetore të tij a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Për shembull, le të marrim vlerën a = 1.67175331. . . , Pastaj

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Ne mund t'i shoqërojmë sekuencat e përafrimeve me një sekuencë shkallësh a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Nëse kujtojmë atë që thamë më parë për ngritjen e numrave në fuqi racionale, atëherë mund t'i llogarisim vetë vlerat e këtyre fuqive.

Le të marrim për shembull a = 3, pastaj a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . etj.

Sekuenca e fuqive mund të reduktohet në një numër, i cili do të jetë vlera e fuqisë me bazë a dhe eksponent irracional a. Si rezultat: një shkallë me një eksponent irracional të formës 3 1, 67175331. . mund të reduktohet në numrin 6, 27.

Përkufizimi 7

Fuqia e një numri pozitiv a me një eksponent irracional a shkruhet si a . Vlera e tij është kufiri i sekuencës a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , ku a 0 , a 1 , a 2 , . . . janë përafrim dhjetore të njëpasnjëshme të numrit irracional a. Një shkallë me bazë zero mund të përcaktohet gjithashtu për eksponentët joracionalë pozitivë, me 0 a = 0 Pra, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Por kjo nuk mund të bëhet për ato negative, pasi, për shembull, vlera 0 - 5, 0 - 2 π nuk është përcaktuar. Një njësi e ngritur në çdo fuqi irracionale mbetet një njësi, për shembull, dhe 1 2, 1 5 në 2 dhe 1 - 5 do të jetë e barabartë me 1.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Në këtë artikull do të kuptojmë se çfarë është shkalla e. Këtu do të japim përkufizime të fuqisë së një numri, ndërsa do të shqyrtojmë në detaje të gjithë eksponentët e mundshëm, duke filluar nga eksponenti natyror dhe duke përfunduar me atë irracional. Në material do të gjeni shumë shembuj të gradave, duke mbuluar të gjitha hollësitë që dalin.

Navigimi i faqes.

Fuqia me eksponent natyror, katrori i një numri, kubi i një numri

Le të fillojmë me. Duke parë përpara, le të themi se përkufizimi i fuqisë së një numri a me eksponent natyror n është dhënë për a, të cilin do ta quajmë bazën e shkallës, dhe n, të cilat do t'i quajmë eksponent. Vëmë re gjithashtu se një shkallë me një eksponent natyror përcaktohet përmes një produkti, kështu që për të kuptuar materialin e mëposhtëm duhet të keni një kuptim të shumëzimit të numrave.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri me eksponent natyror nështë shprehje e formës a n, vlera e së cilës është e barabartë me produktin e n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a, pra .
Në veçanti, fuqia e një numri a me eksponent 1 është vetë numri a, domethënë a 1 =a.

Vlen të përmendet menjëherë për rregullat për leximin e gradave. Mënyra universale për të lexuar shënimin a n është: "a në fuqinë e n". Në disa raste, opsionet e mëposhtme janë gjithashtu të pranueshme: "a në fuqinë e n-të" dhe "fuqia e n-të e a". Për shembull, le të marrim fuqinë 8 12, kjo është "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "fuqia e dymbëdhjetë e tetë".

Fuqia e dytë e një numri, si dhe fuqia e tretë e një numri, kanë emrat e tyre. Fuqia e dytë e një numri quhet katrore numrin, për shembull, 7 2 lexohet si "shtatë në katror" ose "katrori i numrit shtatë". Fuqia e tretë e një numri quhet numrat në kub, për shembull, 5 3 mund të lexohet si "pesë kube" ose mund të thoni "kubi i numrit 5".

Është koha për të sjellë shembuj të shkallëve me eksponentë natyrorë. Le të fillojmë me shkallën 5 7, këtu 5 është baza e shkallës dhe 7 është eksponenti. Le të japim një shembull tjetër: 4.32 është baza, dhe numri natyror 9 është eksponenti (4.32) 9 .

Ju lutemi vini re se në shembullin e fundit, baza e fuqisë 4.32 është shkruar në kllapa: për të shmangur mospërputhjet, ne do të vendosim në kllapa të gjitha bazat e fuqisë që janë të ndryshme nga numrat natyrorë. Si shembull, japim shkallët e mëposhtme me eksponentë natyrorë , bazat e tyre nuk janë numra natyrorë, ndaj shkruhen në kllapa. Epo, për qartësi të plotë, në këtë pikë do të tregojmë ndryshimin që përmbahen në regjistrimet e formës (−2) 3 dhe −2 3. Shprehja (−2) 3 është një fuqi prej −2 me një eksponent natyror 3, dhe shprehja −2 3 (mund të shkruhet si −(2 3) ) korrespondon me numrin, vlerën e fuqisë 2 3 .

Vini re se ekziston një shënim për fuqinë e një numri a me një eksponent n të formës a^n. Për më tepër, nëse n është një numër natyror me shumë vlera, atëherë eksponenti merret në kllapa. Për shembull, 4^9 është një tjetër shënim për fuqinë e 4 9 . Dhe këtu janë disa shembuj të tjerë të shkrimit të shkallëve duke përdorur simbolin "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . Në atë që vijon, ne do të përdorim kryesisht shënimin e shkallës së formës a n.

Një nga problemet e anasjellta të rritjes në një fuqi me një eksponent natyror është problemi i gjetjes së bazës së një fuqie nga një vlerë e njohur e fuqisë dhe një eksponent i njohur. Kjo detyrë çon në.

Dihet se bashkësia e numrave racionalë përbëhet nga numra të plotë dhe thyesa, dhe secila thyesë mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme pozitive ose negative. Ne përcaktuam një shkallë me një eksponent numër të plotë në paragrafin e mëparshëm, prandaj, për të plotësuar përkufizimin e një shkalle me një eksponent racional, duhet t'i japim kuptim shkallës së numrit a me një eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Le ta bejme.

Le të shqyrtojmë një shkallë me një eksponent thyesor të formës . Që prona fuqi-fuqi të mbetet e vlefshme, barazia duhet të mbahet . Nëse marrim parasysh barazinë që rezulton dhe mënyrën se si përcaktuam , atëherë është logjike ta pranojmë atë me kusht që për m, n dhe a të dhëna të ketë kuptim shprehja.

Është e lehtë të kontrollohet nëse të gjitha vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë janë të vlefshme (kjo është bërë në seksionin vetitë e një shkalle me një eksponent racional).

Arsyetimi i mësipërm na lejon të bëjmë sa vijon përfundimi: nëse jepen m, n dhe a shprehja ka kuptim, atëherë fuqia e a-së me një eksponent thyesor m/n quhet rrënja e n-të e a-së në fuqinë e m.

Ky pohim na afron me përkufizimin e një shkalle me një eksponent thyesor. Mbetet vetëm për të përshkruar atë që m, n dhe a ka kuptim shprehja. Në varësi të kufizimeve të vendosura në m, n dhe a, ekzistojnë dy qasje kryesore.

Mënyra më e lehtë është të vendosësh një kufizim mbi a duke marrë a≥0 për m pozitive dhe a>0 për m negative (pasi për m≤0 shkalla 0 e m nuk është e përcaktuar). Pastaj marrim përkufizimin e mëposhtëm të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri pozitiv a me eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror, quhet rrënja e n-të e numrit a me fuqinë m, domethënë .

Fuqia fraksionale e zeros përcaktohet gjithashtu me paralajmërimin e vetëm që treguesi duhet të jetë pozitiv.

Përkufizimi.

Fuqia zero me eksponent pozitiv thyesor m/n, ku m është një numër i plotë pozitiv dhe n është një numër natyror, përkufizohet si .
Kur shkalla nuk përcaktohet, domethënë, shkalla e numrit zero me një eksponent negativ thyesor nuk ka kuptim.

Duhet të theksohet se me këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor, ka një paralajmërim: për disa negative a dhe disa m dhe n, shprehja ka kuptim dhe ne i hodhëm këto raste duke futur kushtin a≥0. Për shembull, hyrjet kanë kuptim ose , dhe përkufizimi i dhënë më sipër na detyron të themi se fuqitë me një eksponent thyesor të formës nuk kanë kuptim, pasi baza nuk duhet të jetë negative.

Një qasje tjetër për përcaktimin e një shkalle me një eksponent thyesor m/n është të merren parasysh veçmas eksponentët çift dhe tek të rrënjës. Kjo qasje kërkon një kusht shtesë: fuqia e numrit a, eksponenti i të cilit është , konsiderohet të jetë fuqia e numrit a, eksponenti i të cilit është thyesa përkatëse e pakësueshme (do të shpjegojmë rëndësinë e kësaj gjendjeje më poshtë ). Kjo do të thotë, nëse m/n është një thyesë e pakalueshme, atëherë për çdo numër natyror k shkalla zëvendësohet fillimisht me .

Për n dhe pozitiv m, shprehja ka kuptim për çdo jonegativ a (një rrënjë çift i një numri negativ nuk ka kuptim); për negativ m, numri a duhet të jetë ende i ndryshëm nga zero (përndryshe do të ketë ndarje me zero). Dhe për n tek dhe m pozitiv, numri a mund të jetë çdo (rrënja e një shkalle tek përcaktohet për çdo numër real), dhe për negativ m, numri a duhet të jetë i ndryshëm nga zero (në mënyrë që të mos ketë pjesëtim me zero).

Arsyetimi i mësipërm na çon në këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Le të jetë m/n një thyesë e pakalueshme, m një numër i plotë dhe n një numër natyror. Për çdo thyesë të reduktueshme, shkalla zëvendësohet me . Fuqia e një numri me një eksponent thyesor të pakalueshëm m/n është për



Le të shpjegojmë pse një shkallë me një eksponent thyesor të reduktueshëm zëvendësohet fillimisht nga një shkallë me një eksponent të pareduktueshëm. Nëse thjesht do ta përkufizonim shkallën si , dhe nuk do të bënim një rezervë për pakësueshmërinë e thyesës m/n, atëherë do të përballeshim me situata të ngjashme me sa vijon: meqenëse 6/10 = 3/5, atëherë barazia duhet të jetë , Por , A .

Tabela e fuqive 2 (dy) nga 0 në 32

Tabela e mëposhtme tregon, përveç fuqive të dy, numrat maksimalë që një kompjuter mund të ruajë për një numër të caktuar bitësh. Për më tepër, si për numrat e plotë ashtu edhe për numrat e nënshkruar.

Historikisht, kompjuterët përdorën sistemin binar të numrave dhe, në përputhje me rrethanat, ruajtjen e të dhënave. Kështu, çdo numër mund të përfaqësohet si një sekuencë zero dhe njësh (copë informacioni). Ka disa mënyra për të paraqitur numrat si një sekuencë binare.

Le të shqyrtojmë më të thjeshtat prej tyre - ky është një numër i plotë pozitiv. Atëherë sa më i madh të jetë numri që duhet të shkruajmë, aq më i gjatë është sekuenca e biteve që na duhen.

Më poshtë është tabela e fuqive të numrit 2. Do të na japë një paraqitje të numrit të kërkuar të biteve që na duhen për të ruajtur numrat.

Si të përdorni tabela e fuqive të numrit dy?

Kolona e parë është fuqia e dy, e cila njëkohësisht tregon numrin e biteve që përfaqësojnë numrin.

Kolona e dytë - vlera dy në fuqinë e duhur (n).

Një shembull i gjetjes së fuqisë së 2. Në kolonën e parë gjejmë numrin 7. Shikojmë përgjatë vijës djathtas dhe gjejmë vlerën dy deri në fuqinë e shtatë(2 7) është 128

Kolona e tretë - numri maksimal që mund të përfaqësohet duke përdorur një numër të caktuar bitësh(në kolonën e parë).

Një shembull i përcaktimit të numrit të plotë të panënshkruar maksimal. Duke përdorur të dhënat nga shembulli i mëparshëm, ne e dimë se 2 7 = 128. Kjo është e vërtetë nëse duam të kuptojmë se çfarë sasia e numrave, mund të përfaqësohet duke përdorur shtatë bit. Por, që nga numri i parë është zero, atëherë numri maksimal që mund të përfaqësohet duke përdorur shtatë bit është 128 - 1 = 127. Kjo është vlera e kolonës së tretë.

Fuqia e dy (n)	Fuqia me dy vlera 2n	Numri maksimal i panënshkruar shkruar me n bit	Numri maksimal i nënshkruar shkruar me n bit
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

Ne kuptuam se çfarë është në të vërtetë fuqia e një numri. Tani duhet të kuptojmë se si ta llogarisim saktë, d.m.th. ngriti numrat në fuqi. Në këtë material do të analizojmë rregullat bazë për llogaritjen e shkallëve në rastin e eksponentëve të plotë, natyrorë, thyesorë, racionalë dhe irracionalë. Të gjitha përkufizimet do të ilustrohen me shembuj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncepti i fuqizimit

Le të fillojmë duke formuluar përkufizimet bazë.

Përkufizimi 1

Eksponentimi- kjo është llogaritja e vlerës së fuqisë së një numri të caktuar.

Kjo do të thotë, fjalët "llogaritja e vlerës së një fuqie" dhe "rritja në një fuqi" nënkuptojnë të njëjtën gjë. Pra, nëse problemi thotë "Ngritni numrin 0, 5 në fuqinë e pestë", kjo duhet të kuptohet si "llogaritni vlerën e fuqisë (0, 5) 5.

Tani ne paraqesim rregullat themelore që duhet të ndiqen kur bëni llogaritje të tilla.

Le të kujtojmë se çfarë është fuqia e një numri me një eksponent natyror. Për një fuqi me bazë a dhe eksponent n, ky do të jetë prodhimi i numrit të n-të të faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Kjo mund të shkruhet kështu:

Për të llogaritur vlerën e një shkalle, duhet të kryeni një veprim shumëzimi, domethënë të shumëzoni bazat e shkallës me numrin e caktuar të herë. Vetë koncepti i një shkalle me një eksponent natyror bazohet në aftësinë për t'u shumëzuar shpejt. Le të japim shembuj.

Shembulli 1

Gjendja: ngritja - 2 në fuqi 4.

Zgjidhje

Duke përdorur përkufizimin e mësipërm, shkruajmë: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Më pas, ne vetëm duhet të ndjekim këto hapa dhe të marrim 16.

Le të marrim një shembull më të ndërlikuar.

Shembulli 2

Llogaritni vlerën 3 2 7 2

Zgjidhje

Kjo hyrje mund të rishkruhet si 3 2 7 · 3 2 7 . Më parë, ne shikuam se si të shumëzojmë saktë numrat e përzier të përmendur në kusht.

Le të kryejmë këto hapa dhe të marrim përgjigjen: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Nëse problemi tregon nevojën për të ngritur numrat irracionalë në një fuqi natyrore, do të duhet së pari të rrumbullakosim bazat e tyre në shifrën që do të na lejojë të marrim një përgjigje të saktësisë së kërkuar. Le të shohim një shembull.

Shembulli 3

Kryeni katrorin e π.

Zgjidhje

Së pari, le ta rrumbullakojmë atë në të qindtat. Pastaj π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Nëse π ≈ 3. 14159, atëherë marrim një rezultat më të saktë: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Vini re se nevoja për të llogaritur fuqitë e numrave irracionalë lind relativisht rrallë në praktikë. Më pas mund ta shkruajmë përgjigjen si vetë fuqia (ln 6) 3, ose të konvertojmë nëse është e mundur: 5 7 = 125 5 .

Më vete, duhet të tregohet se cila është fuqia e parë e një numri. Këtu thjesht mund të mbani mend se çdo numër i ngritur në fuqinë e parë do të mbetet vetë:

Kjo duket qartë nga regjistrimi .

Nuk varet nga shkalla.

Shembulli 4

Pra, (− 9) 1 = − 9, dhe 7 3 e ngritur në fuqinë e parë do të mbetet e barabartë me 7 3.

Për lehtësi, do të shqyrtojmë tre raste veç e veç: nëse eksponenti është një numër i plotë pozitiv, nëse është zero dhe nëse është një numër i plotë negativ.

Në rastin e parë, kjo është njësoj si ngritja në një fuqi natyrore: në fund të fundit, numrat e plotë pozitiv i përkasin grupit të numrave natyrorë. Ne kemi folur tashmë më lart se si të punojmë me diploma të tilla.

Tani le të shohim se si të ngrihet saktë në fuqinë zero. Për një bazë të ndryshme nga zero, kjo llogaritje jep gjithmonë 1. Më parë shpjeguam se fuqia 0 e a mund të përcaktohet për çdo numër real jo të barabartë me 0, dhe a 0 = 1.

Shembulli 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nuk është përcaktuar.

Na mbetet vetëm rasti i një shkalle me një eksponent negativ numër të plotë. Ne kemi diskutuar tashmë se shkallë të tilla mund të shkruhen si një thyesë 1 a z, ku a është çdo numër dhe z është një numër i plotë negativ. Ne shohim se emëruesi i kësaj thyese nuk është gjë tjetër veçse një fuqi e zakonshme me një eksponent pozitiv të numrit të plotë dhe tashmë kemi mësuar se si ta llogarisim atë. Le të japim shembuj të detyrave.

Shembulli 6

Ngrini 3 në fuqi - 2.

Zgjidhje

Duke përdorur përkufizimin e mësipërm, ne shkruajmë: 2 - 3 = 1 2 3

Le të llogarisim emëruesin e kësaj thyese dhe të marrim 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Atëherë përgjigja është: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Shembulli 7

Ngrini 1.43 në fuqinë -2.

Zgjidhje

Le të riformulojmë: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Njehsojmë katrorin në emërues: 1,43·1,43. Dhjetorët mund të shumëzohen në këtë mënyrë:

Si rezultat, morëm (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Gjithçka që duhet të bëjmë është ta shkruajmë këtë rezultat në formën e një thyese të zakonshme, për të cilën duhet ta shumëzojmë me 10 mijë (shiko materialin për shndërrimin e thyesave).

Përgjigje: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Një rast i veçantë është ngritja e një numri në fuqinë e parë minus. Vlera e kësaj shkalle është e barabartë me reciprocitetin e vlerës fillestare të bazës: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Shembulli 8

Shembull: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Si të ngrini një numër në një fuqi thyesore

Për të kryer një veprim të tillë, duhet të kujtojmë përkufizimin bazë të një shkalle me një eksponent thyesor: a m n = a m n për çdo a pozitiv, numër të plotë m dhe n natyror.

Përkufizimi 2

Kështu, llogaritja e një fuqie thyesore duhet të kryhet në dy hapa: ngritja në një fuqi numër të plotë dhe gjetja e rrënjës së fuqisë së n-të.

Kemi barazinë a m n = a m n , e cila, duke marrë parasysh vetitë e rrënjëve, zakonisht përdoret për zgjidhjen e problemeve në formën a m n = a n m . Kjo do të thotë që nëse e ngremë një numër në një fuqi thyesore m / n, atëherë së pari marrim rrënjën e n-të të a, pastaj e ngremë rezultatin në një fuqi me një eksponent numër të plotë m.

Le ta ilustrojmë me një shembull.

Shembulli 9

Llogaritni 8 - 2 3 .

Zgjidhje

Metoda 1: Sipas përkufizimit bazë, ne mund ta paraqesim këtë si: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Tani le të llogarisim shkallën nën rrënjë dhe nxjerrim rrënjën e tretë nga rezultati: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Transformoni barazinë bazë: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Pas kësaj, nxjerrim rrënjën 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dhe katrore rezultatin: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Ne shohim se zgjidhjet janë identike. Ju mund ta përdorni atë në çdo mënyrë që ju pëlqen.

Ka raste kur shkalla ka një tregues të shprehur si një numër i përzier ose një thyesë dhjetore. Për të thjeshtuar llogaritjet, është më mirë ta zëvendësoni atë me një fraksion të zakonshëm dhe të llogarisni siç tregohet më sipër.

Shembulli 10

Ngrini 44, 89 në fuqinë 2, 5.

Zgjidhje

Le ta transformojmë vlerën e treguesit në një fraksion të zakonshëm - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Tani kryejmë me radhë të gjitha veprimet e treguara më sipër: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1 = 25107 501, 25107

Përgjigje: 13 501, 25107.

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një eksponenti thyesor përmbajnë numra të mëdhenj, atëherë llogaritja e eksponentëve të tillë me eksponentë racionalë është një punë mjaft e vështirë. Zakonisht kërkon teknologji kompjuterike.

Le të ndalemi veçmas në fuqitë me një bazë zero dhe një eksponent thyesor. Një shprehje e formës 0 m n mund t'i jepet kuptimi i mëposhtëm: nëse m n > 0, atëherë 0 m n = 0 m n = 0; nëse m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Si të ngrini një numër në një fuqi joracionale

Nevoja për të llogaritur vlerën e një fuqie, eksponenti i së cilës është një numër irracional nuk lind aq shpesh. Në praktikë, detyra zakonisht kufizohet në llogaritjen e një vlere të përafërt (deri në një numër të caktuar të numrave dhjetorë). Kjo zakonisht llogaritet në një kompjuter për shkak të kompleksitetit të llogaritjeve të tilla, kështu që ne nuk do të ndalemi në këtë në detaje, ne do të tregojmë vetëm dispozitat kryesore.

Nëse duhet të llogarisim vlerën e një fuqie a me një eksponent irracional a, atëherë marrim përafrimin dhjetor të eksponentit dhe numërojmë prej tij. Rezultati do të jetë një përgjigje e përafërt. Sa më i saktë të jetë përafrimi dhjetor, aq më e saktë është përgjigja. Le të tregojmë me një shembull:

Shembulli 11

Llogaritni vlerën e përafërt të 21, 174367....

Zgjidhje

Le të kufizohemi në përafrimin dhjetor a n = 1, 17. Le të bëjmë llogaritjet duke përdorur këtë numër: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Nëse marrim, për shembull, përafrimin a n = 1, 1743, atëherë përgjigja do të jetë pak më e saktë: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Llogaritësi ju ndihmon të ngrini shpejt një numër në fuqi në internet. Baza e shkallës mund të jetë çdo numër (si numra të plotë ashtu edhe real). Eksponenti mund të jetë gjithashtu një numër i plotë ose real, dhe gjithashtu mund të jetë pozitiv ose negativ. Mbani në mend se për numrat negativ, ngritja në një fuqi jo të plotë është e papërcaktuar, kështu që kalkulatori do të raportojë një gabim nëse e provoni.

Llogaritësi i diplomës

Ngritja në pushtet

Shprehjet: 28402

Cila është fuqia natyrore e një numri?

Numri p quhet fuqia n e një numri nëse p është i barabartë me numrin a të shumëzuar me vetveten n herë: p = a n = a·...·a
n - thirri eksponent, dhe numri a është bazën e shkallës.

Si të ngrihet një numër në një fuqi natyrore?

Për të kuptuar se si të ngrini numra të ndryshëm në fuqi natyrore, merrni parasysh disa shembuj:

Shembulli 1. Ngrini numrin tre në fuqinë e katërt. Kjo do të thotë, është e nevojshme të llogaritet 3 4
Zgjidhje: siç u përmend më lart, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Përgjigju: 3 4 = 81 .

Shembulli 2. Ngrini numrin pesë në fuqinë e pestë. Kjo do të thotë, është e nevojshme të llogaritet 5 5
Zgjidhje: në mënyrë të ngjashme, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Përgjigju: 5 5 = 3125 .

Kështu, për të ngritur një numër në një fuqi natyrore, ju vetëm duhet ta shumëzoni atë në vetvete n herë.

Cila është fuqia negative e një numri?

Fuqia negative -n e a është një pjesëtuar me a në fuqinë e n: a -n = .

Në këtë rast, një fuqi negative ekziston vetëm për numrat jo zero, pasi përndryshe do të ndodhte ndarja me zero.

Si të ngrihet një numër në një fuqi numër të plotë negativ?

Për të ngritur një numër jo zero në një fuqi negative, duhet të llogarisni vlerën e këtij numri në të njëjtën fuqi pozitive dhe të ndani një me rezultatin.

Shembulli 1. Ngrini numrin dy në fuqinë e katërt negative. Kjo është, ju duhet të llogaritni 2 -4

Zgjidhje: siç u tha më sipër, 2 -4 = = = 0,0625.

Përgjigju: 2 -4 = 0.0625 .