როგორ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ცენტრიდანული აჩქარება? ცენტრიდანული აჩქარება - ფორმულის წარმოშობა და პრაქტიკული გამოყენება

საშუალებას გვაძლევს ვიარსებოთ ამ პლანეტაზე. როგორ გავიგოთ რა არის ცენტრიდანული აჩქარება? ამ ფიზიკური სიდიდის განმარტება წარმოდგენილია ქვემოთ.

დაკვირვებები

წრეში მოძრავი სხეულის აჩქარების უმარტივესი მაგალითი შეიძლება დავაკვირდეთ თოკზე ქვის ბრუნვას. თოკს აჭიმ, თოკი კი ქვას ცენტრისკენ მიჰყავს. დროის ყოველ მომენტში, თოკი გარკვეულ მოძრაობას ანიჭებს ქვას და ყოველ ჯერზე ახალი მიმართულებით. თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ თოკის მოძრაობა, როგორც სუსტი ხრტილების სერია. ჯოხი - და თოკი იცვლის მიმართულებას, მეორე ჯოხი - სხვა ცვლილება და ასე შემდეგ წრეში. თუ თოკს უეცრად გაათავისუფლებთ, ხტუნვა შეჩერდება და მასთან ერთად შეჩერდება სიჩქარის მიმართულების ცვლილება. ქვა მოძრაობს წრის ტანგენტის მიმართულებით. ჩნდება კითხვა: "რა აჩქარებით მოძრაობს სხეული ამ მომენტში?"

ცენტრიდანული აჩქარების ფორმულა

უპირველეს ყოვლისა, აღსანიშნავია, რომ სხეულის მოძრაობა წრეში რთულია. ქვა ერთდროულად მონაწილეობს ორი სახის მოძრაობაში: ძალის გავლენით ის მოძრაობს ბრუნვის ცენტრისკენ და ამავდროულად წრეზე ტანგენტის გასწვრივ, შორდება ამ ცენტრიდან. ნიუტონის მეორე კანონის თანახმად, ძალა, რომელიც ქვას თოკზე უჭირავს, მიმართულია თოკის გასწვრივ ბრუნვის ცენტრისკენ. აჩქარების ვექტორიც იქ იქნება მიმართული.

დავუშვათ, რომ გარკვეული დროის შემდეგ t ჩვენი ქვა, რომელიც თანაბრად მოძრაობს V სიჩქარით, გადადის A წერტილიდან B წერტილამდე. დავუშვათ, რომ იმ მომენტში, როდესაც სხეული გადაკვეთს B წერტილს, ცენტრიდანული ძალა წყვეტს მასზე მოქმედებას. შემდეგ, გარკვეული პერიოდის შემდეგ, ის მიაღწევს K წერტილს. ის დევს ტანგენტს. თუ დროის ერთსა და იმავე მომენტში სხეულზე მოქმედებდნენ მხოლოდ ცენტრიდანული ძალები, მაშინ t დროის განმავლობაში, იგივე აჩქარებით მოძრაობდა, ის აღმოჩნდებოდა O წერტილში, რომელიც მდებარეობს სწორ ხაზზე, რომელიც წარმოადგენს წრის დიამეტრს. ორივე სეგმენტი არის ვექტორიანი და ემორჩილება ვექტორის დამატების წესს. დროის t დროის განმავლობაში ამ ორი მოძრაობის შეჯამების შედეგად მივიღებთ მიღებულ მოძრაობას AB რკალის გასწვრივ.

თუ t დროის ინტერვალი უმნიშვნელოდ მცირედ მივიღეთ, მაშინ AB რკალი ოდნავ განსხვავდება AB აკორდისგან. ამრიგად, შესაძლებელია რკალის გასწვრივ მოძრაობის შეცვლა აკორდის გასწვრივ მოძრაობით. ამ შემთხვევაში ქვის მოძრაობა აკორდის გასწვრივ დაემორჩილება სწორხაზოვანი მოძრაობის კანონებს, ანუ AB გავლილი მანძილი ტოლი იქნება ქვის სიჩქარისა და მისი მოძრაობის დროის ნამრავლის ნამრავლის. AB = V x t.

სასურველი ცენტრიდანული აჩქარება ავღნიშნოთ ასო ა. შემდეგ მხოლოდ ცენტრიდანული აჩქარების გავლენის ქვეშ გავლილი გზა შეიძლება გამოითვალოს თანაბრად აჩქარებული მოძრაობის ფორმულის გამოყენებით:

მანძილი AB უდრის სიჩქარისა და დროის ნამრავლს, ანუ AB = V x t,

AO - ადრე გამოითვლება თანაბრად აჩქარებული მოძრაობის ფორმულის გამოყენებით სწორი ხაზით გადაადგილებისთვის: AO = 2/2-ზე.

ამ მონაცემების ფორმულაში ჩანაცვლებით და მისი გარდაქმნით, მივიღებთ ცენტრიდანული აჩქარების მარტივ და ელეგანტურ ფორმულას:

სიტყვებით, ეს შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად: წრეში მოძრავი სხეულის ცენტრიდანული აჩქარება ტოლია წრფივი სიჩქარის კოეფიციენტის კვადრატში იმ წრის რადიუსზე, რომლის გასწვრივაც სხეული ბრუნავს. ცენტრიდანული ძალა ამ შემთხვევაში გამოიყურება ქვემოთ მოცემულ სურათზე.

კუთხური სიჩქარე

კუთხური სიჩქარე ტოლია წრფივი სიჩქარის გაყოფილი წრის რადიუსზე. საპირისპირო დებულება ასევე მართალია: V = ωR, სადაც ω არის კუთხური სიჩქარე

თუ ამ მნიშვნელობას ჩავანაცვლებთ ფორმულაში, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ გამოხატულება ცენტრიდანული აჩქარებისთვის კუთხური სიჩქარისთვის. ეს ასე გამოიყურება:

აჩქარება სიჩქარის შეცვლის გარეშე

და მაინც, რატომ არ მოძრაობს ცენტრისკენ მიმართული აჩქარების მქონე სხეული უფრო სწრაფად და უახლოვდება ბრუნვის ცენტრს? პასუხი მდგომარეობს აჩქარების ფორმულირებაში. ფაქტები აჩვენებს, რომ წრიული მოძრაობა რეალურია, მაგრამ მის შესანარჩუნებლად საჭიროა ცენტრისკენ მიმართული აჩქარება. ამ აჩქარებით გამოწვეული ძალის გავლენის ქვეშ ხდება მოძრაობის მოცულობის ცვლილება, რის შედეგადაც მოძრაობის ტრაექტორია მუდმივად მრუდია, მუდმივად იცვლება სიჩქარის ვექტორის მიმართულება, მაგრამ მისი აბსოლუტური მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე. . წრეში მოძრავი ჩვენი სულგრძელი ქვა შიგნით მიისწრაფვის, თორემ ტანგენციალურად გააგრძელებდა მოძრაობას. დროის ყოველ წამს, ტანგენციურად მიდის, ქვა იზიდავს ცენტრს, მაგრამ არ ვარდება მასში. ცენტრიდანული აჩქარების კიდევ ერთი მაგალითი იქნება წყლის მოთხილამურე, რომელიც წყალზე პატარა წრეებს აკეთებს. სპორტსმენის ფიგურა დახრილია; ის თითქოს ეცემა, აგრძელებს მოძრაობას და წინ იხრება.

ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ აჩქარება არ ზრდის სხეულის სიჩქარეს, რადგან სიჩქარისა და აჩქარების ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია. სიჩქარის ვექტორს დამატებული აჩქარება მხოლოდ მოძრაობის მიმართულებას ცვლის და სხეულს ორბიტაზე აკავებს.

უსაფრთხოების ფაქტორის გადაჭარბება

წინა ექსპერიმენტში საქმე გვქონდა სრულყოფილ თოკთან, რომელიც არ წყდებოდა. მაგრამ დავუშვათ, რომ ჩვენი თოკი ყველაზე ჩვეულებრივია და თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ძალა, რის შემდეგაც ის უბრალოდ გატყდება. ამ ძალის გამოსათვლელად საკმარისია თოკის სიძლიერე შევადაროთ იმ დატვირთვას, რომელსაც იგი განიცდის ქვის ბრუნვის დროს. ქვის უფრო მაღალი სიჩქარით ბრუნვით, თქვენ მას უფრო დიდ მოძრაობას ანიჭებთ და, შესაბამისად, უფრო დიდ აჩქარებას.

ჯუთის თოკის დიამეტრით დაახლოებით 20 მმ, მისი დაჭიმვის სიმტკიცე არის დაახლოებით 26 კნ. აღსანიშნავია, რომ თოკის სიგრძე არსად არ ჩანს. 1 მ რადიუსის მქონე თოკზე 1 კგ დატვირთვის შემობრუნებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ, რომ მის გასატეხად საჭირო წრფივი სიჩქარე არის 26 x 10 3 = 1 კგ x V 2 / 1 მ გადაჭარბება იქნება √ 26 x 10 3 = 161 მ/წმ.

გრავიტაცია

ექსპერიმენტის განხილვისას ჩვენ უგულებელვყავით გრავიტაციის ეფექტი, რადგან ასეთი მაღალი სიჩქარით მისი გავლენა უმნიშვნელოა. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ გრძელი თოკის გადახვევისას სხეული აღწერს უფრო რთულ ტრაექტორიას და თანდათან უახლოვდება მიწას.

ციური სხეულები

თუ წრიული მოძრაობის კანონებს სივრცეში გადავიტანთ და ციური სხეულების მოძრაობას გამოვიყენებთ, შეგვიძლია თავიდან აღმოვაჩინოთ რამდენიმე დიდი ხნის ნაცნობი ფორმულა. მაგალითად, ძალა, რომლითაც სხეული იზიდავს დედამიწას, ცნობილია ფორმულით:

ჩვენს შემთხვევაში, ფაქტორი g არის იგივე ცენტრიდანული აჩქარება, რომელიც მიღებული იყო წინა ფორმულიდან. მხოლოდ ამ შემთხვევაში ქვის როლს ითამაშებს დედამიწისკენ მიზიდული ციური სხეული, თოკის როლს კი მიზიდულობის ძალა. g ფაქტორი გამოისახება ჩვენი პლანეტის რადიუსის და მისი ბრუნვის სიჩქარის მიხედვით.

შედეგები

ცენტრიდანული აჩქარების არსი არის მოძრავი სხეულის ორბიტაზე შენარჩუნების რთული და უმადური სამუშაო. პარადოქსული შემთხვევა შეინიშნება, როდესაც მუდმივი აჩქარებით სხეული არ ცვლის სიჩქარის მნიშვნელობას. გაუწვრთნელი გონებისთვის ასეთი განცხადება საკმაოდ პარადოქსულია. მიუხედავად ამისა, როგორც ბირთვის გარშემო ელექტრონის მოძრაობის გაანგარიშებისას, ასევე შავი ხვრელის გარშემო ვარსკვლავის ბრუნვის სიჩქარის გამოთვლისას, ცენტრიდანული აჩქარება მნიშვნელოვან როლს ასრულებს.

ნება მიეცით მატერიალურ წერტილს ერთნაირად მოძრაობდეს წრის გარშემო. მაშინ მისი სიჩქარის მოდული არ იცვლება ($v=const$). მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ მატერიალური წერტილის აჩქარება ნულის ტოლია. სიჩქარის ვექტორი მიმართულია ტანგენციალურად წერტილის ტრაექტორიაზე. წრის გარშემო მოძრაობისას სიჩქარე მუდმივად იცვლის მიმართულებას. ეს ნიშნავს, რომ წერტილი მოძრაობს აჩქარებით.

განვიხილოთ A და B წერტილები, რომლებიც მიეკუთვნებიან განსახილველი სხეულის ტრაექტორიას. სიჩქარის ცვლილების ვექტორი ამ წერტილებისთვის უდრის:

\[\დელტა \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(1\მარჯვნივ).\]

თუ A და B წერტილებს შორის მოძრაობის დრო მოკლეა, მაშინ რკალი AB მცირედ განსხვავდება AB აკორდისგან. სამკუთხედები AOB და BMN მსგავსია, ამიტომ:

\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(r)=\alpha \left(2\მარჯვნივ).\]

ჩვენ ვპოულობთ საშუალო აჩქარების მოდულს, როგორც:

\[\left\langle a\right\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(r\Delta t)\მარცხენა(3\მარჯვნივ).\]

მყისიერი აჩქარების სიდიდე შეიძლება მივიღოთ $\Delta t\ 0\ $-ზე $\მარცხნივ\langle a\right\rangle $-ზე გადასვლით:

საშუალო აჩქარების ვექტორი ქმნის კუთხეს სიჩქარის ვექტორის ტოლს:

\[\beta =\frac(\pi +\alpha)(2)\მარცხნივ(5\მარჯვნივ).\]

$\დელტა t\ to 0\ $ კუთხით $\alpha \ 0.$-მდე გამოდის, რომ მყისიერი აჩქარების ვექტორი ქმნის კუთხეს $\frac(\pi )(2)$ სიჩქარის ვექტორთან.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ მატერიალურ წერტილს, რომელიც ერთნაირად მოძრაობს წრის გარშემო, აქვს აჩქარება მიმართული მოძრაობის ტრაექტორიის ცენტრისკენ (სიჩქარის ვექტორზე პერპენდიკულარული), მისი სიდიდე უდრის კვადრატულ სიჩქარეს გაყოფილი წრის რადიუსზე. ეს აჩქარებას ცენტრალური ან ნორმალური ეწოდება, ჩვეულებრივ აღინიშნება $(\overline(a))_n$-ით.

სადაც $\omega $ არის მატერიალური წერტილის მოძრაობის კუთხური სიჩქარე ($v=\omega \cdot r$).

ცენტრიდანული აჩქარების განმარტება

განმარტება

Ისე, ცენტრიდანული აჩქარება(ზოგად შემთხვევაში) არის მატერიალური წერტილის მთლიანი აჩქარების კომპონენტი, რომელიც ახასიათებს რამდენად სწრაფად იცვლება სიჩქარის ვექტორის მიმართულება მრუდი მოძრაობის დროს. მთლიანი აჩქარების კიდევ ერთი კომპონენტია ტანგენციალური აჩქარება, რომელიც პასუხისმგებელია სიჩქარის ცვლილებაზე.

ცენტრიდანული აჩქარება უდრის:

\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )\left(7\მარჯვნივ),\]

სადაც $e_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ არის ერთეული ვექტორი, რომელიც მიმართულია ტრაექტორიის გამრუდების ცენტრიდან განსახილველ წერტილამდე.

პირველად, ცენტრიდანული აჩქარების სწორი ფორმულები მიიღო ჰ.ჰაიგენსმა.

ცენტრიდანული აჩქარების ერთეულების საერთაშორისო სისტემა არის მეტრი გაყოფილი კვადრატულ წამზე:

\[\left=\frac(m)(s^2).\]

პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტილებებით

მაგალითი 1

ვარჯიში.დისკი ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო. დისკის რადიუსის ბრუნვის კუთხის შეცვლის კანონი ადგენს განტოლებას: $\varphi =5t^2+7\ (რად)$. როგორია დისკის A წერტილის ცენტრიდანული აჩქარება, რომელიც ბრუნვის დაწყებიდან მეოთხე წამის ბოლოს $r=$0,5 მ მანძილზე მდებარეობს ბრუნვის ღერძიდან?

გამოსავალი.მოდით დავხატოთ ნახატი.

ცენტრიდანული აჩქარების მოდული ტოლია: \

წერტილის ბრუნვის კუთხური სიჩქარეს ვპოულობთ შემდეგნაირად:

\[\omega =\frac(d\varphi)(dt)\ (1.2)\]

ბრუნის კუთხის შეცვლის განტოლება დროის მიხედვით:

\[\omega =\frac(d\left(5t^2+7\right))(dt)=10t\ \left(1.3\მარჯვნივ).\]

მეოთხე წამის ბოლოს კუთხური სიჩქარე არის:

\[\omega \left(t=4\right)=10\cdot 4=40\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

გამოხატვის (1.1) გამოყენებით ჩვენ ვპოულობთ ცენტრიდანული აჩქარების მნიშვნელობას:

უპასუხე.$a_n=800\frac(m)(s^2)$.

მაგალითი 2

ვარჯიში.მატერიალური წერტილის მოძრაობა მითითებულია განტოლების გამოყენებით: $\overline(r)\left(t\right)=0.5\ (\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline( j) (\sin (\omega t)\ )\ ))$, სადაც $\omega =2\ \frac(rad)(s)$. რა არის წერტილის ნორმალური აჩქარების სიდიდე?

გამოსავალი.პრობლემის გადაჭრის საფუძვლად ჩვენ მივიღებთ ცენტრიდანული აჩქარების განმარტებას სახით:

პრობლემის პირობებიდან ირკვევა, რომ წერტილის ტრაექტორია არის წრე. პარამეტრულ ფორმაში განტოლებაა: $\overline(r)\left(t\right)=0.5\ (\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\ sin (\omega t)\ )\ ))$, სადაც $\omega =2\ \frac(rad)(s)$ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

\[\left\( \begin(მასივი)(c) x=0.5(\cos \left(2t\right);;\ ) \\ y=0.5(\sin \left(2t\right) .\ ) \ დასასრული (მასივი) \მარჯვნივ.\]

ტრაექტორიის რადიუსი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

სიჩქარის კომპონენტები ტოლია:

\ \

ავიღოთ სიჩქარის მოდული:

ჩაანაცვლეთ სიჩქარის მნიშვნელობა და წრის რადიუსი გამოსახულებით (2.2), გვაქვს:

უპასუხე.$a_n=2\frac(m)(s^2)$.

ცენტრიდანული აჩქარება- წერტილის აჩქარების კომპონენტი, რომელიც ახასიათებს მრუდის მქონე ტრაექტორიის სიჩქარის ვექტორის მიმართულების ცვლილებას. (მეორე კომპონენტი, ტანგენციალური აჩქარება, ხასიათდება სიჩქარის მოდულის ცვლილებით.) მიმართულია ტრაექტორიის გამრუდების ცენტრისკენ, რაც წარმოშობს ტერმინს. მნიშვნელობა უდრის სიჩქარის კვადრატს გაყოფილი გამრუდების რადიუსზე. ტერმინი "ცენტრული აჩქარება" ზოგადად ექვივალენტურია ტერმინის " ნორმალური აჩქარება"; განსხვავებები მხოლოდ სტილისტურია (ზოგჯერ ისტორიული).

ცენტრიდანული აჩქარების უმარტივესი მაგალითია აჩქარების ვექტორი წრეში ერთგვაროვანი მოძრაობისას (წრის ცენტრისკენ მიმართული).

ელემენტარული ფორმულა

სად არის ნორმალური (ცენტრული) აჩქარება, არის მოძრაობის (მყისიერი) წრფივი სიჩქარე ტრაექტორიის გასწვრივ, არის ამ მოძრაობის (მყისიერი) კუთხური სიჩქარე ტრაექტორიის გამრუდების ცენტრთან მიმართებაში, არის ტრაექტორიის გამრუდების რადიუსი. მოცემულ წერტილში. (პირველ ფორმულასა და მეორეს შორის კავშირი აშკარაა, გათვალისწინებით).

ზემოთ მოცემული გამონათქვამები მოიცავს აბსოლუტურ მნიშვნელობებს. ისინი ადვილად შეიძლება დაიწეროს ვექტორულ ფორმაში გამრავლებით - ერთეულ ვექტორზე ტრაექტორიის გამრუდების ცენტრიდან მოცემულ წერტილამდე:

ეს ფორმულები თანაბრად გამოიყენება მუდმივი (აბსოლუტური მნიშვნელობით) სიჩქარით მოძრაობის შემთხვევაში და თვითნებური შემთხვევისთვის. თუმცა, მეორეში უნდა გვახსოვდეს, რომ ცენტრიდანული აჩქარება არის არა სრული აჩქარების ვექტორი, არამედ მხოლოდ მისი კომპონენტი ტრაექტორიის პერპენდიკულარული (ან, რაც იგივეა, მყისიერი სიჩქარის ვექტორის პერპენდიკულარული); სრული აჩქარების ვექტორი ასევე მოიცავს ტანგენციალურ კომპონენტს ( ტანგენციალური აჩქარება), მიმართულებით, რომელიც ემთხვევა ტრაექტორიის ტანგენტს (ან, რაც იგივეა, მყისიერ სიჩქარესთან).

მოტივაცია და დასკვნა

ის ფაქტი, რომ აჩქარების ვექტორის კომპონენტებად დაშლა - ერთი ვექტორის ტრაექტორიის ტანგენტის გასწვრივ (ტანგენციალური აჩქარება) და მეორე ორთოგონალური (ნორმალური აჩქარება) - შეიძლება იყოს მოსახერხებელი და სასარგებლო, თავისთავად საკმაოდ აშკარაა. ამას ამძიმებს ის ფაქტი, რომ მუდმივი სიჩქარით მოძრაობისას ტანგენციალური კომპონენტი ნულის ტოლი იქნება, ანუ ამ მნიშვნელოვან კონკრეტულ შემთხვევაში ის რჩება მხოლოდნორმალური კომპონენტი. გარდა ამისა, როგორც ქვემოთ ჩანს, თითოეულ ამ კომპონენტს აქვს მკაფიოდ განსაზღვრული თვისებები და სტრუქტურა, ხოლო ნორმალური აჩქარება შეიცავს საკმაოდ მნიშვნელოვან და არატრივიალურ გეომეტრიულ შინაარსს მისი ფორმულის სტრუქტურაში. რომ აღარაფერი ვთქვათ წრეში მოძრაობის მნიშვნელოვან კონკრეტულ შემთხვევაზე (რომელიც, უფრო მეტიც, შეიძლება განზოგადდეს ზოგად შემთხვევაზე პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე).

გეომეტრიული წარმოშობა არათანაბარი წრიული მოძრაობისთვის

გეომეტრიული დასკვნა თვითნებური მოძრაობისთვის (თვითნებური ტრაექტორიის გასწვრივ)

ფორმალური დასკვნა

აჩქარების დაშლა ტანგენციალურ და ნორმალურ კომპონენტებად (რომელთაგან მეორე არის ცენტრიდანული ან ნორმალური აჩქარება) შეიძლება ვიპოვოთ დროის მიხედვით სიჩქარის ვექტორის დიფერენცირებით, რომელიც წარმოდგენილია ერთეული ტანგენტის ვექტორის სახით:

მე-19 საუკუნისთვის ცენტრიდანული აჩქარების გათვალისწინება სრულიად რუტინული გახდა როგორც წმინდა მეცნიერებისთვის, ასევე საინჟინრო გამოყენებისთვის.

მისგან გამომავალი ორი სხივი ქმნის კუთხეს. მისი მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს როგორც რადიანებში, ასევე გრადუსებში. ახლა, ცენტრალური წერტილიდან გარკვეულ მანძილზე, გონებრივად დავხატოთ წრე. კუთხის საზომი, გამოხატული რადიანებით, არის რკალის L სიგრძის მათემატიკური თანაფარდობა, რომელიც გამოყოფილია ორი სხივით, მანძილის მნიშვნელობას ცენტრალურ წერტილსა და წრის ხაზს შორის (R), ანუ:

თუ აღწერილ სისტემას ახლა წარმოვიდგენთ მასალად, მაშინ მას შეგვიძლია მივმართოთ არა მხოლოდ კუთხისა და რადიუსის ცნებას, არამედ ცენტრიდანული აჩქარებას, ბრუნვას და ა.შ. მათი უმრავლესობა აღწერს მბრუნავ წრეზე მდებარე წერტილის ქცევას. სხვათა შორის, მყარი დისკი ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წრეების ნაკრებით, რომელთა განსხვავება მხოლოდ ცენტრიდან დაშორებულია.

ასეთი მბრუნავი სისტემის ერთ-ერთი მახასიათებელია მისი ორბიტალური პერიოდი. ის მიუთითებს დროის მნიშვნელობაზე, რომლის დროსაც თვითნებური წრის წერტილი დაბრუნდება თავდაპირველ პოზიციაზე ან, რაც ასევე მართალია, 360 გრადუსით შემობრუნდება. მუდმივი ბრუნვის სიჩქარით, კორესპონდენცია T = (2*3.1416) / Ug დაკმაყოფილებულია (შემდგომში Ug არის კუთხე).

ბრუნვის სიჩქარე მიუთითებს 1 წამში შესრულებული სრული რევოლუციების რაოდენობაზე. მუდმივი სიჩქარით ვიღებთ v = 1 / T.

დამოკიდებულია დროზე და ე.წ ბრუნვის კუთხეზე. ანუ, თუ საწყისად ავიღებთ წრეზე თვითნებურ A წერტილს, მაშინ როდესაც სისტემა ბრუნავს, ეს წერტილი t დროში A1-ზე გადავა და ქმნის კუთხეს A-ცენტრსა და A1-ცენტრს შორის. იცოდეთ დრო და კუთხე, შეგიძლიათ გამოთვალოთ კუთხოვანი სიჩქარე.

და რადგან არის წრე, მოძრაობა და სიჩქარე, ეს ნიშნავს, რომ ცენტრიდანული აჩქარებაც არსებობს. ის წარმოადგენს ერთ-ერთ კომპონენტს, რომელიც აღწერს მოძრაობას მრუდი მოძრაობის შემთხვევაში. ტერმინები "ნორმალური" და "ცენტრული აჩქარება" იდენტურია. განსხვავება ისაა, რომ მეორე გამოიყენება წრეში მოძრაობის აღსაწერად, როდესაც აჩქარების ვექტორი მიმართულია სისტემის ცენტრისკენ. ამიტომ, ყოველთვის საჭიროა ზუსტად ვიცოდეთ, როგორ მოძრაობს სხეული (წერტილი) და მისი ცენტრიდანული აჩქარება. მისი განმარტება ასეთია: ეს არის სიჩქარის ცვლილების სიჩქარე, რომლის ვექტორი მიმართულია ვექტორის მიმართულების პერპენდიკულარულად და ცვლის ამ უკანასკნელის მიმართულებას. ენციკლოპედიაში ნათქვამია, რომ ჰაიგენსმა შეისწავლა ეს საკითხი. მის მიერ შემოთავაზებული ცენტრიდანული აჩქარების ფორმულა ასე გამოიყურება:

Acs = (v*v) / r,

სადაც r არის გავლილი ბილიკის გამრუდების რადიუსი; v - მოძრაობის სიჩქარე.

ცენტრიდანული აჩქარების გამოსათვლელად გამოყენებული ფორმულა კვლავ იწვევს ენთუზიასტებს შორის მწვავე დებატებს. მაგალითად, ცოტა ხნის წინ გაჟღერდა საინტერესო თეორია.

ჰაიგენსი, სისტემის გათვალისწინებით, გამომდინარეობს იქიდან, რომ სხეული მოძრაობს R რადიუსის წრეში V სიჩქარით, რომელიც იზომება A საწყის წერტილში. ვინაიდან ინერციის ვექტორი მიმართულია გასწვრივ, ტრაექტორია მიიღება სწორი ხაზის სახით. AB. ამასთან, ცენტრიდანული ძალა აკავებს სხეულს წრეზე C წერტილში. თუ ცენტრს მოვნიშნავთ როგორც O და გავავლებთ ხაზებს AB, BO (BS და CO-ს ჯამი), ისევე როგორც AO, მივიღებთ სამკუთხედს. პითაგორას კანონის მიხედვით:

BS=(a*(t*t)) / 2, სადაც a არის აჩქარება; t - დრო (a*t*t არის სიჩქარე).

თუ ახლა ვიყენებთ პითაგორას ფორმულას, მაშინ:

R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, სადაც R არის რადიუსი, ხოლო ალფანუმერული მართლწერა გამრავლების ნიშნის გარეშე არის ხარისხი.

ჰაიგენსმა აღიარა, რომ რადგან დრო t მცირეა, გამოთვლებში მისი იგნორირება შეიძლება. წინა ფორმულის გარდაქმნის შემდეგ, იგი მივიდა ცნობილ Acs = (v*v) / r.

თუმცა, იმის გამო, რომ დრო კვადრატია, ჩნდება პროგრესია: რაც უფრო დიდია t, მით უფრო მაღალია შეცდომა. მაგალითად, 0.9-ისთვის თითქმის მთლიანი ღირებულება 20% არ არის აღრიცხული.

ცენტრიდანული აჩქარების კონცეფცია მნიშვნელოვანია თანამედროვე მეცნიერებისთვის, მაგრამ, ცხადია, ჯერ ნაადრევია ამ საკითხის დასასრული.

ცენტრიდანული აჩქარება- წერტილის აჩქარების კომპონენტი, რომელიც ახასიათებს სიჩქარის ვექტორის მიმართულების ცვლილების სიჩქარეს გამრუდებით ტრაექტორიისთვის (მეორე კომპონენტი, ტანგენციალური აჩქარება, ახასიათებს სიჩქარის მოდულის ცვლილებას). მიმართულია ტრაექტორიის გამრუდების ცენტრისკენ, საიდანაც მოდის ეს ტერმინი. მნიშვნელობა უდრის სიჩქარის კვადრატს გაყოფილი გამრუდების რადიუსზე. ტერმინი "ცენტრული აჩქარება" ექვივალენტურია ტერმინის " ნორმალური აჩქარება" ძალების ჯამის იმ კომპონენტს, რომელიც იწვევს ამ აჩქარებას, ეწოდება ცენტრიდანული ძალა.

ცენტრიდანული აჩქარების უმარტივესი მაგალითია აჩქარების ვექტორი წრეში ერთგვაროვანი მოძრაობისას (წრის ცენტრისკენ მიმართული).

სწრაფი აჩქარებაღერძზე პერპენდიკულარულ სიბრტყეზე პროექციაში ის ჩნდება როგორც ცენტრიდანული.

ენციკლოპედიური YouTube

• 1 / 5

  A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)

  სად a n (\displaystyle a_(n)\ )- ნორმალური (ცენტრული) აჩქარება, v (\displaystyle v\)- (მყისიერი) მოძრაობის წრფივი სიჩქარე ტრაექტორიის გასწვრივ, ω (\displaystyle \omega\ )- ამ მოძრაობის (მყისიერი) კუთხური სიჩქარე ტრაექტორიის გამრუდების ცენტრთან მიმართებაში, R (\displaystyle R\ )- ტრაექტორიის გამრუდების რადიუსი მოცემულ წერტილში. (პირველ ფორმულასა და მეორეს შორის კავშირი აშკარაა, მოცემული v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).

  ზემოთ მოცემული გამონათქვამები მოიცავს აბსოლუტურ მნიშვნელობებს. ისინი ადვილად დაიწერება ვექტორული ფორმით გამრავლებით e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- ერთეული ვექტორი ტრაექტორიის გამრუდების ცენტრიდან მის მოცემულ წერტილამდე:

  a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R)) a n = ω 2 R. (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)

  ეს ფორმულები თანაბრად გამოიყენება მუდმივი (აბსოლუტური მნიშვნელობით) სიჩქარით მოძრაობის შემთხვევაში და თვითნებური შემთხვევისთვის. თუმცა, მეორეში უნდა გვახსოვდეს, რომ ცენტრიდანული აჩქარება არის არა სრული აჩქარების ვექტორი, არამედ მხოლოდ მისი კომპონენტი ტრაექტორიის პერპენდიკულარული (ან, რაც იგივეა, მყისიერი სიჩქარის ვექტორის პერპენდიკულარული); სრული აჩქარების ვექტორი ასევე მოიცავს ტანგენციალურ კომპონენტს ( ტანგენციალური აჩქარება) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau)=dv/dt\ ), მიმართულებით, რომელიც ემთხვევა ტრაექტორიის ტანგენტს (ან, რაც იგივეა, მყისიერ სიჩქარესთან).

  მოტივაცია და დასკვნა

  ის ფაქტი, რომ აჩქარების ვექტორის კომპონენტებად დაშლა - ერთი ვექტორის ტრაექტორიის ტანგენტის გასწვრივ (ტანგენციალური აჩქარება) და მეორე ორთოგონალური (ნორმალური აჩქარება) - შეიძლება იყოს მოსახერხებელი და სასარგებლო, თავისთავად საკმაოდ აშკარაა. მუდმივი მოდულის სიჩქარით მოძრაობისას ტანგენციალური კომპონენტი ხდება ნულის ტოლი, ანუ ამ მნიშვნელოვან კონკრეტულ შემთხვევაში ის რჩება მხოლოდნორმალური კომპონენტი. გარდა ამისა, როგორც ქვემოთ ჩანს, თითოეულ ამ კომპონენტს აქვს მკაფიოდ განსაზღვრული თვისებები და სტრუქტურა, ხოლო ნორმალური აჩქარება შეიცავს საკმაოდ მნიშვნელოვან და არატრივიალურ გეომეტრიულ შინაარსს მისი ფორმულის სტრუქტურაში. რომ აღარაფერი ვთქვათ წრიული მოძრაობის მნიშვნელოვან განსაკუთრებულ შემთხვევაზე.

  ფორმალური დასკვნა

  აჩქარების დაშლა ტანგენციალურ და ნორმალურ კომპონენტებად (რომელთაგან მეორე არის ცენტრიდანული ან ნორმალური აჩქარება) შეიძლება ვიპოვოთ სიჩქარის ვექტორის დროში დიფერენცირებით, წარმოდგენილი ფორმით. v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau ))ერთეული ტანგენტის ვექტორის მეშვეობით e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau)):

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (\mathbf (a) =( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( დ) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( ნ)\ ,)

  აქ ჩვენ ვიყენებთ აღნიშვნას ერთეული ვექტორის ნორმალური ტრაექტორიისა და l (\displaystyle l\ )- მიმდინარე ტრაექტორიის სიგრძისთვის ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); ბოლო გადასვლა ასევე იყენებს აშკარას

  d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )

  და გეომეტრიული მოსაზრებებიდან გამომდინარე,

  d e τ d l = e n R. (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).) v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )

  ნორმალური (ცენტრული) აჩქარება. უფრო მეტიც, მისი მნიშვნელობა, მასში შემავალი ობიექტების მნიშვნელობა, ისევე როგორც დადასტურება იმისა, რომ ის მართლაც ორთოგონალურია ტანგენტის ვექტორთან (ანუ e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- მართლაც ნორმალური ვექტორი) - გეომეტრიული მოსაზრებებიდან გამომდინარეობს (თუმცა, ის ფაქტი, რომ მუდმივი სიგრძის ვექტორის წარმოებული დროზე პერპენდიკულარულია თავად ამ ვექტორზე, საკმაოდ მარტივი ფაქტია; ამ შემთხვევაში ჩვენ ამ დებულებას ვიყენებთ d e τ d t (\displaystyle (\ frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))

  შენიშვნები

  ადვილი შესამჩნევია, რომ ტანგენციალური აჩქარების აბსოლუტური მნიშვნელობა დამოკიდებულია მხოლოდ მიწის აჩქარებაზე, რომელიც ემთხვევა მის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, განსხვავებით ნორმალური აჩქარების აბსოლუტური მნიშვნელობისა, რომელიც არ არის დამოკიდებული მიწის აჩქარებაზე, არამედ დამოკიდებულია მიწის სიჩქარე.

  აქ წარმოდგენილი მეთოდები ან მათი ვარიაციები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ისეთი ცნებების დასანერგად, როგორიცაა მრუდის გამრუდება და მრუდის გამრუდების რადიუსი (რადგან იმ შემთხვევაში, როდესაც მრუდი არის წრე, R (\displaystyle R)ემთხვევა ასეთი წრის რადიუსს; ასევე არც ისე რთულია იმის ჩვენება, რომ წრე სიბრტყეშია e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau),\,e_(n))ცენტრით მიმართულებით e n (\displaystyle e_(n)\ )მოცემული წერტილიდან მანძილზე R (\displaystyle R)მისგან - დაემთხვევა მოცემულ მრუდს - ტრაექტორიას - სიმცირის მეორე ხარისხამდე მოცემულ წერტილამდე მანძილით).

  ამბავი

  პირველი, ვინც მიიღო ცენტრიდანული აჩქარების (ან ცენტრიდანული ძალის) სწორი ფორმულები, როგორც ჩანს, იყო ჰაიგენსი. თითქმის ამ დროიდან, ცენტრიდანული აჩქარების განხილვა გახდა მექანიკური პრობლემების გადაჭრის ჩვეულებრივი ტექნიკის ნაწილი და ა.შ.

  ცოტა მოგვიანებით, ამ ფორმულებმა მნიშვნელოვანი როლი ითამაშეს უნივერსალური მიზიდულობის კანონის აღმოჩენაში (ცენტრული აჩქარების ფორმულა გამოიყენეს გრავიტაციული ძალის დამოკიდებულების კანონის მისაღებად მიზიდულობის წყარომდე მანძილს, კეპლერის მესამე კანონის საფუძველზე. დაკვირვებებიდან გამომდინარე).

  მე-19 საუკუნისთვის ცენტრიდანული აჩქარების გათვალისწინება სრულიად რუტინული გახდა როგორც წმინდა მეცნიერებისთვის, ასევე საინჟინრო გამოყენებისთვის.