Կոորդինատներ xՇրջանակի վրա ընկած կետերը հավասար են cos(θ), իսկ կոորդինատները yհամապատասխանում են sin(θ), որտեղ θ-ն անկյան մեծությունն է:
- Եթե դժվարանում եք հիշել այս կանոնը, պարզապես հիշեք, որ զույգում (cos; sin) «սինուսը վերջինն է»:
- Այս կանոնը կարող է ստացվել՝ դիտարկելով ուղղանկյուն եռանկյունները և այդ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը (անկյան սինուսը հավասար է հակառակ կողմի երկարության հարաբերությանը, իսկ հարակից կողմի կոսինուսը՝ հիպոթենուսին)։
Գրի՛ր շրջանագծի չորս կետերի կոորդինատները։«Միավոր շրջանակը» այն շրջանագիծն է, որի շառավիղը հավասար է մեկի: Օգտագործեք սա կոորդինատները որոշելու համար xԵվ yշրջանագծի հետ կոորդինատային առանցքների հատման չորս կետերում: Վերևում, պարզության համար, մենք այս կետերը նշանակեցինք որպես «արևելք», «հյուսիս», «արևմուտք» և «հարավ», թեև դրանք հստակ անվանումներ չունեն:
- «Արևելք»-ը համապատասխանում է կոորդինատներով կետին (1; 0) .
- «Հյուսիս»-ը համապատասխանում է կոորդինատներով կետին (0; 1) .
- «Արևմուտք»-ը համապատասխանում է կոորդինատներով կետին (-1; 0) .
- «Հարավ»-ը համապատասխանում է կոորդինատներով կետին (0; -1) .
- Սա նման է սովորական գրաֆիկի, ուստի կարիք չկա անգիր անել այս արժեքները, պարզապես հիշեք հիմնական սկզբունքը:
Հիշեք առաջին քառորդի կետերի կոորդինատները:Առաջին քառորդը գտնվում է շրջանագծի վերին աջ մասում, որտեղ կոորդինատները xԵվ yընդունել դրական արժեքներ. Սրանք միակ կոորդինատներն են, որոնք դուք պետք է հիշեք.
Գծի՛ր ուղիղ գծեր և որոշի՛ր շրջանագծի հետ դրանց հատման կետերի կոորդինատները։Եթե մեկ քառորդի կետերից ուղիղ հորիզոնական և ուղղահայաց գծեր գծեք, ապա այս գծերի շրջանագծի հետ հատման երկրորդ կետերը կունենան կոորդինատները. xԵվ yնույն բացարձակ արժեքներով, բայց տարբեր նշաններով։ Այլ կերպ ասած, առաջին քառորդի կետերից կարող եք հորիզոնական և ուղղահայաց գծեր գծել և շրջանագծի հետ հատման կետերը պիտակավորել նույն կոորդինատներով, բայց միևնույն ժամանակ ձախ կողմում բաց թողնել ճիշտ նշանի համար («+»): կամ "-").
Կոորդինատների նշանը որոշելու համար օգտագործեք համաչափության կանոնները:Կան մի քանի եղանակներ որոշելու, թե որտեղ պետք է տեղադրել «-» նշանը.
- Հիշեք սովորական գծապատկերների հիմնական կանոնները: Առանցք xձախ կողմում բացասական, աջ կողմում՝ դրական: Առանցք yբացասական ներքևում և դրական վերևում;
- սկսեք առաջին քառորդից և գծեր քաշեք դեպի այլ կետեր: Եթե գիծը հատում է առանցքը y, համակարգել xկփոխի իր նշանը. Եթե գիծը հատում է առանցքը x, կոորդինատի նշանը կփոխվի y;
- հիշեք, որ առաջին քառորդում բոլոր ֆունկցիաները դրական են, երկրորդում միայն սինուսն է դրական, երրորդում միայն շոշափողն է դրական, իսկ չորրորդում միայն կոսինուսն է դրական.
- Որ մեթոդն էլ որ օգտագործեք, առաջին քառորդում պետք է ստանաք (+,+), երկրորդում՝ (-,-), երրորդում՝ (+,-) և չորրորդում (+,-):
Ստուգեք՝ արդյոք սխալվել եք։Ստորև ներկայացված է «հատուկ» կետերի կոորդինատների ամբողջական ցանկը (բացառությամբ կոորդինատների առանցքների չորս կետերի), եթե դուք շարժվում եք միավորի շրջանակով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Հիշեք, որ այս բոլոր արժեքները որոշելու համար բավական է հիշել կետերի կոորդինատները միայն առաջին քառորդում.
- առաջին քառորդ: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)), (\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)), (\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- երկրորդ քառորդ: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- երրորդ քառորդ: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- չորրորդ քառորդ: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).
Եթե դուք արդեն ծանոթ եք եռանկյունաչափական շրջան , և դուք պարզապես ցանկանում եք թարմացնել ձեր հիշողությունը որոշակի տարրերի մասին, կամ դուք լիովին անհամբեր եք, ապա ահա այն.
Այստեղ մենք ամեն ինչ մանրամասն կվերլուծենք քայլ առ քայլ։
Եռանկյունաչափական շրջանակը շքեղություն չէ, այլ անհրաժեշտություն
Եռանկյունաչափություն
Շատերն այն կապում են անթափանց թավուտի հետ։ Հանկարծ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների այնքան արժեքներ են կուտակվում, այնքան շատ բանաձևեր են կուտակվում... Բայց կարծես սկզբում չստացվեց, և... մենք գնում ենք... կատարյալ թյուրիմացություն...
Շատ կարևոր է չհանձնվել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները,- ասում են, սփըրմին միշտ կարելի է արժեհամակարգով նայել։
Եթե դուք անընդհատ եռանկյունաչափական բանաձևերի արժեքներով աղյուսակ եք նայում, եկեք ձերբազատվեք այս սովորությունից:
Նա մեզ կօգնի։ Դուք կաշխատեք դրա հետ մի քանի անգամ, իսկ հետո այն կհայտնվի ձեր գլխում: Ինչո՞վ է այն ավելի լավ, քան սեղանը: Այո, աղյուսակում դուք կգտնեք սահմանափակ թվով արժեքներ, բայց շրջանագծի վրա՝ ԱՄԵՆ ԻՆՉ:
Օրինակ՝ նայելիս ասեք Եռանկյունաչափական բանաձևերի արժեքների ստանդարտ աղյուսակ , որքան է սինուսը հավասար, ասենք, 300 աստիճանի, կամ -45:
Ոչ մի կերպ... դուք, իհարկե, կարող եք միանալ նվազեցման բանաձևեր... Եվ նայելով եռանկյունաչափական շրջանին՝ հեշտությամբ կարող եք պատասխանել նման հարցերի։ Եվ դուք շուտով կիմանաք, թե ինչպես:
Եվ երբ լուծում ենք եռանկյունաչափական հավասարումներ և անհավասարություններ առանց եռանկյունաչափական շրջանագծի, դա բացարձակապես ոչ մի տեղ չէ:
Եռանկյունաչափական շրջանագծի ներածություն
Գնանք կարգով։
Նախ, եկեք դուրս գրենք թվերի այս շարքը.
Իսկ հիմա սա.
Եվ վերջապես սա.
Իհարկե, պարզ է, որ, ըստ էության, առաջին տեղում է, երկրորդ տեղում է, իսկ վերջին տեղում է: Այսինքն՝ մեզ ավելի շատ կհետաքրքրի շղթան։
Բայց որքան գեղեցիկ է ստացվել: Եթե ինչ-որ բան պատահի, մենք կվերականգնենք այս «հրաշք սանդուղքը».
Իսկ ինչի՞ն է դա մեզ պետք:
Այս շղթան առաջին եռամսյակում սինուսի և կոսինուսի հիմնական արժեքներն են:
Եկեք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գծենք միավորի շառավիղի շրջան (այսինքն՝ վերցնում ենք երկարությամբ ցանկացած շառավիղ և դրա երկարությունը հայտարարում ենք միավոր)։
«0-Start» ճառագայթից մենք անկյունները դնում ենք սլաքի ուղղությամբ (տես նկարը):
Մենք ստանում ենք շրջանագծի համապատասխան կետերը: Այսպիսով, եթե կետերը նախագծենք առանցքներից յուրաքանչյուրի վրա, ապա մենք կստանանք հենց արժեքները վերը նշված շղթայից:
Ինչու է սա, դուք հարցնում եք:
Եկեք ամեն ինչ չվերլուծենք. Եկեք դիտարկենք սկզբունք, որը թույլ կտա հաղթահարել այլ, նմանատիպ իրավիճակներ։
AOB եռանկյունը ուղղանկյուն է և պարունակում է. Եվ մենք գիտենք, որ b անկյան դիմաց ընկած է հիպոթենուսի կիսով չափ ոտք (մենք ունենք հիպոթենուս = շրջանագծի շառավիղը, այսինքն՝ 1):
Սա նշանակում է AB= (և հետևաբար OM=): Եվ ըստ Պյութագորասի թեորեմի
Հուսով եմ, որ ինչ-որ բան արդեն պարզ է դառնում:
Այսպիսով, B կետը կհամապատասխանի արժեքին, իսկ M կետը կհամապատասխանի արժեքին
Նույնը առաջին եռամսյակի մյուս արժեքների հետ:
Ինչպես հասկանում եք, ծանոթ առանցքը (եզ) կլինի կոսինուսի առանցքև առանցքը (oy) – սինուսների առանցքը . Ավելի ուշ։
Կոսինուսի առանցքի երկայնքով զրոյից ձախ (սինուսի առանցքի երկայնքով զրոյից ցածր) իհարկե բացասական արժեքներ կլինեն:
Ուրեմն, ահա՛ Ամենակարողն է, առանց որի եռանկյունաչափության մեջ ոչ մի տեղ չկա։
Բայց մենք կխոսենք այն մասին, թե ինչպես օգտագործել եռանկյունաչափական շրջանակը:
Եռանկյունաչափությունը, որպես գիտություն, առաջացել է Հին Արևելքում։ Առաջին եռանկյունաչափական հարաբերակցությունները ստացվել են աստղագետների կողմից՝ ստեղծելու ճշգրիտ օրացույց և կողմնորոշում աստղերի կողմից: Այս հաշվարկները վերաբերում էին գնդաձև եռանկյունաչափությանը, մինչդեռ դպրոցական դասընթացում ուսումնասիրում են հարթ եռանկյան կողմերի և անկյունների հարաբերությունները։
Եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները և եռանկյունների կողմերի և անկյունների փոխհարաբերությունները։
1-ին հազարամյակում մշակույթի և գիտության ծաղկման շրջանում գիտելիքը Հին Արևելքից տարածվեց Հունաստան։ Բայց եռանկյունաչափության հիմնական հայտնագործությունները Արաբական խալիֆայության տղամարդկանց արժանիքն են: Մասնավորապես, թուրքմեն գիտնական ալ-Մարազվին ներկայացրել է այնպիսի գործառույթներ, ինչպիսիք են շոշափողն ու կոտանգենսը, և կազմել է սինուսների, շոշափողների և կոտանգենսների արժեքների առաջին աղյուսակները: Սինուս և կոսինուս հասկացությունները ներկայացվել են հնդիկ գիտնականների կողմից: Եռանկյունաչափությունը մեծ ուշադրության է արժանացել հնության այնպիսի մեծ գործիչների աշխատանքներում, ինչպիսիք են Էվկլիդեսը, Արքիմեդը և Էրատոսթենեսը:
Եռանկյունաչափության հիմնական մեծությունները
Թվային փաստարկի հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն են՝ սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը։ Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր գրաֆիկը՝ սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս:
Այս մեծությունների արժեքները հաշվարկելու բանաձևերը հիմնված են Պյութագորասի թեորեմի վրա: Դպրոցականներին ավելի հայտնի է «Պյութագորասյան շալվարները բոլոր ուղղություններով հավասար են» ձևակերպմամբ, քանի որ ապացույցը տրված է հավասարաչափ ուղղանկյուն եռանկյունու օրինակով:
Սինուսը, կոսինուսը և այլ հարաբերությունները հաստատում են ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների և կողմերի միջև կապը: Ներկայացնենք A անկյան համար այս մեծությունները հաշվարկելու բանաձևերը և հետևենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև եղած հարաբերություններին.
Ինչպես տեսնում եք, tg-ն և ctg-ն հակադարձ ֆունկցիաներ են: Եթե պատկերացնենք a ոտքը որպես մեղք A-ի և c հիպոթենուսի արտադրյալ, իսկ b ոտքը՝ որպես cos A*c, ապա կստանանք տանգենսի և կոտանգենսի հետևյալ բանաձևերը.
Եռանկյունաչափական շրջան
Գրաֆիկորեն նշված քանակությունների միջև կապը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.
Շրջանակը, այս դեպքում, ներկայացնում է α անկյան բոլոր հնարավոր արժեքները՝ 0°-ից մինչև 360°: Ինչպես երևում է նկարից, յուրաքանչյուր ֆունկցիա վերցնում է բացասական կամ դրական արժեք՝ կախված անկյունից: Օրինակ, sin α-ն կունենա «+» նշան, եթե α-ն պատկանում է շրջանագծի 1-ին և 2-րդ քառորդներին, այսինքն՝ գտնվում է 0°-ից մինչև 180° միջակայքում։ α-ի համար 180°-ից մինչև 360° (III և IV քառորդներ) sin α-ն կարող է լինել միայն բացասական արժեք:
Փորձենք կառուցել եռանկյունաչափական աղյուսակներ կոնկրետ անկյունների համար և պարզել մեծությունների նշանակությունը։
α-ի արժեքները, որոնք հավասար են 30°, 45°, 60°, 90°, 180° և այլն, կոչվում են հատուկ դեպքեր: Նրանց համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները հաշվարկվում և ներկայացվում են հատուկ աղյուսակների տեսքով:
Այս անկյունները պատահական չեն ընտրվել։ Աղյուսակներում π նշանակումը ռադիանների համար է: Ռադը այն անկյունն է, որով շրջանագծի աղեղի երկարությունը համապատասխանում է նրա շառավղին։ Այս արժեքը ներդրվել է ռադիաններով հաշվարկելիս ունիվերսալ կախվածություն հաստատելու համար, շառավիղի իրական երկարությունը սմ-ով նշանակություն չունի:
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակների անկյունները համապատասխանում են ռադիանի արժեքներին.
Այսպիսով, դժվար չէ կռահել, որ 2π-ը ամբողջական շրջան է կամ 360°։
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները՝ սինուս և կոսինուս
Սինուսի և կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հիմնական հատկությունները դիտարկելու և համեմատելու համար անհրաժեշտ է գծել դրանց գործառույթները: Դա կարելի է անել երկչափ կոորդինատային համակարգում տեղակայված կորի տեսքով։
Դիտարկենք սինուսի և կոսինուսի հատկությունների համեմատական աղյուսակը.
| Սինուսային ալիք | Կոսինուս |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ՕՁ [-1; 1] | ՕՁ [-1; 1] |
| sin x = 0, x = πk-ի համար, որտեղ k ϵ Z | cos x = 0, x = π/2 + πk-ի համար, որտեղ k ϵ Z |
| sin x = 1, x = π/2 + 2πk-ի համար, որտեղ k ϵ Z | cos x = 1, ժամը x = 2πk, որտեղ k ϵ Z |
| sin x = - 1, ժամը x = 3π/2 + 2πk, որտեղ k ϵ Z | cos x = - 1, x = π + 2πk-ի համար, որտեղ k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, այսինքն՝ ֆունկցիան կենտ է | cos (-x) = cos x, այսինքն՝ ֆունկցիան զույգ է |
| ֆունկցիան պարբերական է, ամենափոքր պարբերությունը 2π է | |
| sin x › 0, x-ը պատկանում է 1-ին և 2-րդ քառորդներին կամ 0°-ից մինչև 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, որտեղ x-ը պատկանում է I և IV քառորդներին կամ 270°-ից մինչև 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, x-ը պատկանում է երրորդ և չորրորդ քառորդներին կամ 180°-ից մինչև 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, x-ը պատկանում է 2-րդ և 3-րդ քառորդներին կամ 90°-ից մինչև 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| աճում է միջակայքում [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | աճում է [-π + 2πk, 2πk] միջակայքում |
| նվազում է ընդմիջումներով [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | նվազում է ընդմիջումներով |
| ածանցյալ (sin x)’ = cos x | ածանցյալ (cos x)’ = - sin x |
Որոշել՝ արդյոք ֆունկցիան հավասար է, թե ոչ, շատ պարզ է: Բավական է պատկերացնել եռանկյունաչափական շրջան՝ եռանկյունաչափական մեծությունների նշաններով և մտովի «ծալել» գրաֆիկը OX առանցքի նկատմամբ։ Եթե նշանները համընկնում են, ֆունկցիան զույգ է, հակառակ դեպքում՝ կենտ։
Ռադիանների ներմուծումը և սինուսային և կոսինուսային ալիքների հիմնական հատկությունների ցուցակագրումը թույլ են տալիս մեզ ներկայացնել հետևյալ օրինաչափությունը.
Շատ հեշտ է ստուգել, որ բանաձևը ճիշտ է։ Օրինակ, x = π/2-ի համար սինուսը 1 է, ինչպես նաև x = 0-ի կոսինուսը: Ստուգումը կարող է կատարվել աղյուսակների հետ խորհրդակցելով կամ տրված արժեքների համար ֆունկցիայի կորերը հետագծելով:
Տանգենսոիդների և կոտանգենսոիդների հատկությունները
Շոշափող և կոտանգենս ֆունկցիաների գրաֆիկները էապես տարբերվում են սինուսային և կոսինուսային ֆունկցիաներից։ tg և ctg արժեքները միմյանց փոխադարձ են:
- Y = tan x.
- Շոշափողը ձգտում է y արժեքներին x = π/2 + πk-ում, բայց երբեք չի հասնում դրանց:
- Տանգենտոիդի ամենափոքր դրական պարբերությունը π է:
- Tg (- x) = - tg x, այսինքն՝ ֆունկցիան կենտ է:
- Tg x = 0, x = πk-ի համար:
- Ֆունկցիան մեծանում է.
- Tg x › 0, x ϵ-ի համար (πk, π/2 + πk):
- Tg x ‹ 0, x ϵ-ի համար (— π/2 + πk, πk):
- Ածանցյալ (tg x)' = 1/cos 2 x:
Դիտարկենք տեքստի ստորև բերված կոտանգենտոիդի գրաֆիկական պատկերը:
Կոտանգենտոիդների հիմնական հատկությունները.
- Y = cotg x.
- Ի տարբերություն սինուսի և կոսինուսի ֆունկցիաների, տանգենոիդում Y-ը կարող է ընդունել բոլոր իրական թվերի բազմության արժեքները:
- Կոտանգենտոիդը ձգտում է դեպի y արժեքները x = πk-ում, բայց երբեք չի հասնում դրանց:
- Կոտանգենտոիդի ամենափոքր դրական շրջանը π է:
- Ctg (- x) = - ctg x, այսինքն՝ ֆունկցիան կենտ է:
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk-ի համար:
- Ֆունկցիան նվազում է։
- Ctg x › 0, x ϵ-ի համար (πk, π/2 + πk):
- Ctg x ‹ 0, x ϵ-ի համար (π/2 + πk, πk):
- Ածանցյալ (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Ճիշտ է
Եռանկյունաչափական շրջան. Միավոր շրջանակ: Թվերի շրջան. Ինչ է դա?
Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութերը Հատուկ բաժին 555.
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ…»)
Շատ հաճախ տերմիններ եռանկյունաչափական շրջան, միավոր շրջան, թվային շրջանուսանողների կողմից վատ հասկացված. Եվ բոլորովին ապարդյուն: Այս հասկացությունները հզոր և ունիվերսալ օգնական են եռանկյունաչափության բոլոր ոլորտներում: Փաստորեն, սա օրինական խաբեության թերթիկ է: Ես գծեցի եռանկյունաչափական շրջան և անմիջապես տեսա պատասխանները: Գայթակղիչ. Ուրեմն եկեք սովորենք, մեղք կլինի նման բան չօգտագործելը։ Ընդ որում, ամենևին էլ դժվար չէ։
Եռանկյունաչափական շրջանի հետ հաջողությամբ աշխատելու համար անհրաժեշտ է իմանալ միայն երեք բան.
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Եկեք սովորենք - հետաքրքրությամբ!)
Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
