معادلات دیفرانسیل همگن تعمیم یافته مرتبه اول. معادلات دیفرانسیل سخنرانی ویژگی های مشتقات تعمیم یافته

معادله م(ایکس, y) dx+ ن(ایکس, y) دو=0 اگر امکان انتخاب چنین عددی وجود داشته باشد، همگن تعمیم یافته نامیده می شود ک، که سمت چپ این معادله تا حدودی تابع همگن می شود متر به طور نسبی ایکس, y, dx و دو به شرطی که ایکس ارزش بعد اول در نظر گرفته می شود، y – ک‑ اندازه گیری ها , dx و دو – به ترتیب صفر و (ک-1) اندازه گیری ها به عنوان مثال، این معادله خواهد بود. (6.1)

بر اساس مفروضات انجام شده در مورد اندازه گیری معتبر است

ایکس, y, dx و دو اعضای سمت چپ
و دو به ترتیب دارای ابعاد -2، 2 خواهد بود کو ک-1. با برابر کردن آنها، شرطی را به دست می آوریم که تعداد مورد نیاز باید برآورده شود ک: -2 = 2ک = ک-1. این شرط زمانی ارضا می شود ک = -1 (با این کتمام عبارات سمت چپ معادله مورد نظر دارای بعد 2- خواهند بود. در نتیجه، معادله (6.1) همگن تعمیم یافته است.

یک معادله همگن تعمیم یافته با استفاده از جایگزینی به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می یابد
، جایی که z- عملکرد ناشناخته جدید. اجازه دهید معادله (6.1) را با استفاده از روش نشان داده شده یکپارچه کنیم. زیرا ک = -1، پس
، پس از آن معادله را بدست می آوریم.

با ادغام آن، متوجه می شویم
، جایی که
. این یک راه حل کلی برای معادله (6.1) است.

§ 7. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه 1.

معادله خطی مرتبه 1 معادله ای است که نسبت به تابع مورد نظر و مشتق آن خطی است. به نظر می رسد:

, (7.1)

جایی که پ(ایکس) و س(ایکس) - توابع پیوسته داده شده از ایکس. اگر تابع
, سپس معادله (7.1) به شکل زیر است:
(7.2)

و معادله همگن خطی نامیده می شود، در غیر این صورت
به آن معادله ناهمگن خطی می گویند.

معادله دیفرانسیل همگن خطی (7.2) معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک است:

(7.3)

عبارت (7.3) حل کلی معادله (7.2) است. برای یافتن یک جواب کلی برای معادله (7.1)، که در آن تابع پ(ایکس) نشان دهنده همان تابع معادله (7.2) است، ما تکنیکی به نام روش تغییر یک ثابت دلخواه را اعمال می کنیم و شامل موارد زیر است: سعی می کنیم تابع را انتخاب کنیم. C=C(ایکس) به طوری که جواب کلی معادله همگن خطی (7.2) حل معادله خطی ناهمگن (7.1) خواهد بود. سپس برای مشتق تابع (7.3) به دست می آوریم:

.

با جایگزینی مشتق یافت شده به معادله (7.1)، خواهیم داشت:

یا
.

جایی که
، جایی که - ثابت دلخواه در نتیجه، جواب کلی معادله خطی ناهمگن (7.1) برابر (7.4) خواهد بود.

عبارت اول در این فرمول، جواب کلی (7.3) معادله دیفرانسیل همگن خطی (7.2) را نشان می دهد، و جمله دوم فرمول (7.4) راه حل خاصی از معادله ناهمگن خطی (7.1) است که از کلی (7.1) به دست می آید. 7.4) با
. ما این نتیجه گیری مهم را در قالب یک قضیه برجسته می کنیم.

قضیه.اگر یک راه حل خاص از یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی شناخته شود
، سپس همه راه حل های دیگر فرم دارند
، جایی که
- حل کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه.

با این حال، باید توجه داشت که برای حل معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 1 (7.1)، روش دیگری بیشتر استفاده می شود که گاهی اوقات روش برنولی نامیده می شود. ما به دنبال حل معادله (7.1) در فرم خواهیم بود
. سپس
. بیایید مشتق یافت شده را با معادله اصلی جایگزین کنیم:
.

اجازه دهید برای مثال، عبارت دوم و سوم آخرین عبارت را با هم ترکیب کرده و تابع را استخراج کنیم تو(ایکس) پشت براکت:
(7.5)

ما باید پرانتز را باطل کنیم:
.

اجازه دهید این معادله را با تنظیم یک ثابت دلخواه حل کنیم سی برابر با صفر:
. با تابع یافت شده v(ایکس) به معادله (7.5) برگردیم:
.

با حل آن، دریافت می کنیم:
.

در نتیجه، جواب کلی معادله (7.1) شکل دارد.

معادلات دیفرانسیل در توابع تعمیم یافته

بگذارید یک معادله وجود داشته باشد. اگر یک تابع معمولی است، پس راه حل آن یک پاد مشتق است، یعنی. حالا یک تابع تعمیم یافته باشد.

تعریف. تابع تعمیم یافته را تابع تعمیم یافته اولیه اگر می نامند. اگر یک تابع تعمیم یافته منفرد است، پس مواردی ممکن است که ضد مشتق آن یک تابع تعمیم یافته منظم باشد. به عنوان مثال، یک ضد مشتق است؛ ضد مشتق یک تابع است و جواب معادله را می توان به شکل زیر نوشت: , Where.

یک معادله خطی از مرتبه هفتم با ضرایب ثابت وجود دارد

کجا یک تابع تعمیم یافته است. اجازه دهید یک چند جمله ای دیفرانسیل از مرتبه هفتم باشد.

تعریف. جواب تعمیم یافته معادله دیفرانسیل (8) یک تابع تعمیم یافته است که رابطه زیر برای آن برقرار است:

اگر یک تابع پیوسته باشد، تنها راه حل معادله (8) جواب کلاسیک است.

تعریف. یک راه حل اساسی برای معادله (8) هر تابع تعمیم یافته ای است که.

تابع گرین یک راه حل اساسی است که شرایط مرزی، اولیه یا مجانبی را برآورده می کند.

قضیه. جواب معادله (8) وجود دارد و به شکل زیر است:

مگر اینکه پیچیدگی تعریف شده باشد.

اثبات واقعا، . با توجه به خاصیت پیچیدگی به شرح زیر است: .

به راحتی می توان فهمید که راه حل اساسی این معادله، از آنجایی است که

خواص مشتقات تعمیم یافته

عملیات تمایز خطی و پیوسته از تا زیر است:

در، اگر در;

هر تابع تعمیم یافته بی نهایت قابل تمایز است. در واقع، اگر، پس; به نوبه خود و غیره؛

نتیجه تمایز به ترتیب تمایز بستگی ندارد. مثلا، ؛

اگر و، پس فرمول لایب نیتس برای تمایز یک محصول معتبر است. مثلا، ؛

اگر یک تابع تعمیم یافته است، پس؛

اگر یک سری متشکل از توابع قابل ادغام محلی به طور یکنواخت در هر مجموعه فشرده همگرا شود، آنگاه می توان آن را هر تعداد بار (به عنوان یک تابع تعمیم یافته) ترم به ترم متمایز کرد و سری حاصل در همگرا می شود.

مثال. اجازه دهید

تابع Heaviside یا تابع واحد نامیده می شود. این به صورت محلی قابل ادغام است و بنابراین می تواند به عنوان یک تابع تعمیم یافته در نظر گرفته شود. می توانید مشتق آن را پیدا کنید. طبق تعریف، i.e. .

توابع تعمیم یافته مربوط به فرم های درجه دوم با ضرایب مختلط

تاکنون فقط فرم های درجه دوم با ضرایب واقعی در نظر گرفته شده است. در این بخش فضای تمام فرم های درجه دوم با ضرایب مختلط را بررسی می کنیم.

وظیفه تعیین تابع تعمیم یافته است، جایی که یک عدد مختلط است. با این حال، در حالت کلی، یک تابع تحلیلی منحصر به فرد وجود نخواهد داشت. بنابراین در فضای تمام صورت های درجه دوم، «نیمه صفحه بالایی» صورت های درجه دوم با قسمت موهومی معین مثبت جدا شده و برای آنها تابعی تعیین می شود. یعنی اگر یک شکل درجه دوم متعلق به این "نیم صفحه" باشد، فرض می شود که کجا. چنین تابعی یک تابع تحلیلی منحصر به فرد است.

اکنون می توانیم تابع را با یک تابع تعمیم یافته مرتبط کنیم:

جایی که ادغام در کل فضا انجام می شود. انتگرال (13) در این نیم صفحه همگرا می شود و تابعی تحلیلی از آن است. با ادامه این تابع به صورت تحلیلی، تابعی برای مقادیر دیگر مشخص می شود.

برای اشکال درجه دوم با قسمت فرضی معین مثبت، نقاط مفرد توابع پیدا شده و باقیمانده این توابع در نقاط مفرد محاسبه می شود.

تابع تعمیم یافته از نظر تحلیلی نه تنها به ضرایب شکل درجه دوم بستگی دارد. بنابراین، این یک تابع تحلیلی در "نیم صفحه" بالایی همه اشکال درجه دوم فرم است که در آن یک شکل قطعی مثبت وجود دارد. در نتیجه، به طور منحصر به فرد توسط مقادیر آن در "نیمه محور خیالی" تعیین می شود، یعنی در مجموعه ای از اشکال درجه دوم فرم، جایی که یک شکل قطعی مثبت است.

با کلیک بر روی دکمه «دانلود بایگانی» فایل مورد نیاز خود را کاملاً رایگان دانلود خواهید کرد.
قبل از دانلود این فایل، به مقالات، تست ها، ترم ها، پایان نامه ها، مقالات و سایر اسناد خوب که بدون ادعا در رایانه شما قرار دارند فکر کنید. این کار شماست، باید در پیشرفت جامعه مشارکت داشته باشد و به نفع مردم باشد. این آثار را بیابید و به پایگاه دانش ارائه دهید.
ما و همه دانشجویان، دانشجویان فارغ التحصیل، دانشمندان جوانی که از دانش پایه در تحصیل و کار خود استفاده می کنند از شما بسیار سپاسگزار خواهیم بود.

برای دانلود آرشیو با سند، یک عدد پنج رقمی را در فیلد زیر وارد کنید و روی دکمه "دانلود بایگانی" کلیک کنید.

اسناد مشابه

مسائل کوشی برای معادلات دیفرانسیل. نمودار حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول. معادلات با متغیرهای قابل تفکیک و کاهش به یک معادله همگن. معادلات خطی همگن و ناهمگن مرتبه اول. معادله برنولی.

سخنرانی، اضافه شده در 2012/08/18


مفاهیم اساسی تئوری معادلات دیفرانسیل معمولی. علامت معادله در مجموع دیفرانسیل، ساخت یک انتگرال کلی. ساده ترین موارد برای یافتن عامل یکپارچه. حالت ضربی که فقط به X و فقط به Y بستگی دارد.

کار دوره، اضافه شده در 2014/12/24


ویژگی های معادلات دیفرانسیل به عنوان روابط بین توابع و مشتقات آنها. اثبات قضیه وجود و یکتایی راه حل. مثال ها و الگوریتم حل معادلات در مجموع دیفرانسیل. عامل یکپارچه سازی در مثال ها

کار دوره، اضافه شده در 2014/02/11


معادلات دیفرانسیل ریکاتی حل کلی معادله خطی یافتن تمام راه حل های ممکن برای معادله دیفرانسیل برنولی. حل معادلات با متغیرهای قابل تفکیک راه حل های عمومی و ویژه معادله دیفرانسیل Clairaut.

کار دوره، اضافه شده در 2015/01/26


معادله با متغیرهای قابل تفکیک معادلات دیفرانسیل همگن و خطی. ویژگی های هندسی منحنی های انتگرال. دیفرانسیل کامل یک تابع از دو متغیر. تعیین انتگرال با روش برنولی و تغییرات یک ثابت دلخواه.

چکیده، اضافه شده در 2015/08/24


مفاهیم و راه حل های ساده ترین معادلات دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل با نظم دلخواه، از جمله معادلات با ضرایب تحلیلی ثابت. سیستم های معادلات خطی. رفتار مجانبی راه حل های برخی از سیستم های خطی.

پایان نامه، اضافه شده 06/10/2010


انتگرال عمومی یک معادله، کاربرد روش لاگرانژ برای حل معادله خطی ناهمگن با تابع مجهول. حل معادله دیفرانسیل به صورت پارامتریک شرط اویلر، معادله مرتبه اول در مجموع دیفرانسیل.

تست، اضافه شده در 11/02/2011

معادلات دیفرانسیل درجه یک با متغیرهای قابل تفکیک.

تعریف.یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک، معادله ای از شکل (3.1) یا معادله ای از شکل (3.2) است.

به منظور تفکیک متغیرهای معادله (3.1)، یعنی. این معادله را به معادله متغیر جدا شده کاهش دهید، موارد زیر را انجام دهید: ;

حالا باید معادله را حل کنیم g(y)= 0. اگر راه حل واقعی داشته باشد y=a،که y=aحل معادله (3.1) نیز خواهد بود.

معادله (3.2) با تقسیم بر حاصل ضرب به یک معادله جدا می شود:

، که به ما امکان می دهد انتگرال کلی معادله (3.2) را بدست آوریم: . (3.3)

منحنی های انتگرال (3.3) با راه حل ها تکمیل خواهند شد ، اگر چنین راه حل هایی وجود داشته باشد.

معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه 1.

تعریف 1.یک معادله مرتبه اول همگن نامیده می شود که سمت راست آن رابطه را برآورده کند ، شرط همگنی تابع دو متغیر با بعد صفر نامیده می شود.

مثال 1.نشان دهید که تابع با بعد صفر همگن است.

راه حل. ,

Q.E.D.

قضیه.هر تابعی همگن است و برعکس، هر تابع همگن با بعد صفر به شکل تقلیل می یابد.

اثباتبیان اول قضیه بدیهی است، زیرا . بیایید جمله دوم را ثابت کنیم. سپس برای یک تابع همگن قرار می دهیم ، چیزی بود که باید ثابت می شد.

تعریف 2.معادله (4.1) که در آن مو ن- توابع همگن با همان درجه، به عنوان مثال. دارای خاصیت برای همه، به نام همگن. بدیهی است که همیشه می توان این معادله را به شکل (4.2) تقلیل داد، اگرچه ممکن است برای حل آن نیازی به این نباشد. یک معادله همگن با جایگزینی تابع مورد نظر به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می یابد. yطبق فرمول y=zxجایی که z(x)- عملکرد مورد نیاز جدید پس از انجام این جایگزینی در معادله (4.2)، به دست می آوریم: یا یا.

با یکپارچه سازی، انتگرال کلی معادله را با توجه به تابع به دست می آوریم z(x) ، که پس از تعویض مکرر انتگرال کلی معادله اصلی را به دست می دهد. علاوه بر این، اگر ریشه های معادله باشند، آنگاه توابع راه حل های یک معادله داده شده همگن هستند. اگر، معادله (4.2) شکل می گیرد

و تبدیل به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک می شود. راه حل های آن نیمه مستقیم است: .

اظهار نظر.گاهی اوقات توصیه می شود از جایگزینی به جای جایگزین فوق استفاده کنید x=zy.

معادله همگن تعمیم یافته

معادله M(x,y)dx+N(x,y)dy=0اگر امکان انتخاب چنین عددی وجود داشته باشد، همگن تعمیم یافته نامیده می شود ک، که سمت چپ این معادله تا حدودی تابع همگن می شود متربه طور نسبی x، y، dxو دوبه شرطی که ایکسارزش بعد اول در نظر گرفته می شود، y – k-اندازه گیری ها ، dxو دی –به ترتیب صفر و (k-1)اندازه گیری ها به عنوان مثال، این معادله خواهد بود . (6.1) بر اساس فرضی که در مورد اندازه گیری ها ایجاد شده است معتبر است x، y، dxو دواعضای سمت چپ و دوبه ترتیب دارای ابعاد -2، 2 خواهد بود کو ک-1. با برابر کردن آنها، شرطی را به دست می آوریم که تعداد مورد نیاز باید برآورده شود ک: -2 = 2ک=ک-1. این شرط زمانی ارضا می شود ک= -1 (با این کتمام عبارات سمت چپ معادله مورد نظر دارای بعد 2- خواهند بود. در نتیجه، معادله (6.1) همگن تعمیم یافته است.

دف 1 نوع DU

تماس گرفت معادله دیفرانسیل همگن مرتبه اول(ODU).

Th 1 اجازه دهید شرایط زیر برای تابع وجود داشته باشد:

1) پیوسته در

سپس ODE (1) یک انتگرال کلی دارد که با فرمول ارائه می شود:

جایی که مقداری پاد مشتق تابع وجود دارد بایک ثابت دلخواه است.

یادداشت 1اگر برای برخی شرایط برآورده شود، در فرآیند حل ODE (1) ممکن است راه حل های فرم از بین بروند؛ چنین مواردی باید با دقت بیشتری درمان شوند و هر یک از آنها باید جداگانه بررسی شوند.

بنابراین از قضیه Th1باید الگوریتم کلی برای حل ODE (1):

1) جایگزینی ایجاد کنید:

2) بنابراین، یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک به دست می آید که باید یکپارچه شوند.

3) بازگشت به gvariable های قدیمی.

4) مقادیر را برای دخالت آنها در راه حل بررسی کنید ریموت کنترل اصلی، که به موجب آن شرط برقرار می شود

5) پاسخ را یادداشت کنید.

مثال 1 DE (4) را حل کنید.

راه حل: DE (4) یک معادله دیفرانسیل همگن است، زیرا شکل (1) دارد. بیایید یک تغییر (3) ایجاد کنیم، این معادله (4) را به شکل زیر در می آورد:

معادله (5) انتگرال کلی DE (4) است.

توجه داشته باشید که هنگام جداسازی متغیرها و تقسیم بر، راه حل ها ممکن است از دست بروند، اما این راه حلی برای DE (4) نیست، که به راحتی با جایگزینی مستقیم به برابری (4) تأیید می شود، زیرا این مقدار در دامنه تعریف گنجانده نشده است. از DE اصلی.

پاسخ:

تبصره 2گاهی اوقات می توانید ODE ها را بر حسب دیفرانسیل متغیرها بنویسید ایکسو توتوصیه می شود از این علامت کنترل از راه دور به عبارت از طریق مشتق حرکت کنید و تنها پس از آن جایگزینی (3) را انجام دهید.

معادلات دیفرانسیل به معادلات همگن کاهش یافت.

دف 2 تابع فراخوانی می شود تابع همگن درجه k در منطقه، که برای آن برابری برآورده می شود:

در اینجا رایج ترین انواع معادلات دیفرانسیل است که می توان آنها را پس از تبدیل های مختلف به شکل (1) کاهش داد.

1) تابع کجاست همگن است، درجه صفر، یعنی برابری معتبر است: DE (6) به راحتی به شکل (1) کاهش می یابد، اگر قرار دهیم که با استفاده از جایگزینی (3) بیشتر یکپارچه می شود.

2) (7)، که در آن توابع به همان درجه همگن هستند ک . DE از فرم (7) نیز با استفاده از جایگزینی (3) یکپارچه شده است.

مثال 2 DE (8) را حل کنید.

راه حل:اجازه دهید نشان دهیم که DE (8) همگن است. اجازه دهید تقسیم بر آنچه ممکن است، زیرا راه حلی برای DE نیست (8).

بیایید یک تغییر (3) ایجاد کنیم، این معادله (9) را به شکل زیر در می آورد:

معادله (10) انتگرال کلی DE (8) است.

توجه داشته باشید که هنگام جداسازی متغیرها و تقسیم بر، راه حل های مربوط به مقادیر و ممکن است از دست بروند. بیایید این عبارات را بررسی کنیم. بیایید آنها را با DE (8) جایگزین کنیم:

پاسخ:

جالب است بدانید که هنگام حل این مثال، تابعی به نام "علامت" عدد ظاهر می شود ایکس(می خواند " علامت x")، با عبارت:

نکته 3کاهش DE (6) یا (7) به فرم (1) ضروری نیست؛ اگر واضح است که DE همگن است، می توانید بلافاصله جایگزین کنید.

3) یک DE از شکل (11) به عنوان یک ODE ادغام می شود اگر، و جایگزینی در ابتدا انجام می شود:

(12) محلول سیستم کجاست: (13) و سپس از جایگزین (3) برای تابع استفاده کنید.پس از دریافت انتگرال کلی به متغیرها برمی گردند. ایکسو در.

اگر، پس با فرض معادله (11)، یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک به دست می آوریم.

مثال 3حل مسئله کوشی (14).

راه حل:اجازه دهید نشان دهیم که DE (14) به یک DE همگن کاهش می یابد و طبق طرح بالا یکپارچه می شود:

اجازه دهید سیستم ناهمگن معادلات جبری خطی (15) را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:

بیایید تغییری در متغیرها ایجاد کنیم و معادله حاصل را ادغام کنیم:

(16) – انتگرال عمومی DE (14). هنگام جداسازی متغیرها، جواب ها می توانند هنگام تقسیم بر یک عبارت از بین بروند، که می تواند به صراحت پس از حل معادله درجه دوم به دست آید. با این حال، آنها در انتگرال عمومی (16) در نظر گرفته می شوند

بیایید یک راه حل برای مشکل کوشی پیدا کنیم: مقادیر را جایگزین کنید و به انتگرال عمومی (16) و پیدا کنید. با.

بنابراین، انتگرال جزئی با فرمول داده می شود:

پاسخ:

4) ممکن است برای یک تابع جدید و هنوز ناشناخته، برخی از معادلات دیفرانسیل را به معادلات همگن کاهش دهیم، اگر جایگزینی برای شکل اعمال کنیم:

در این مورد شماره متراز این شرایط انتخاب می شود که معادله حاصل، در صورت امکان، تا حدی همگن شود. با این حال، اگر نمی توان این کار را انجام داد، آنگاه DE مورد بررسی را نمی توان از این طریق به یک همگن کاهش داد.

مثال 4 DE را حل کنید. (18)

راه حل:اجازه دهید نشان دهیم که DE (18) با استفاده از جایگزینی (17) به یک DE همگن کاهش می یابد و با استفاده از جایگزینی (3) بیشتر ادغام می شود:

بیایید پیدا کنیم با:

بنابراین، یک راه حل خاص از DE (24) شکل دارد