در این مطلب به بررسی توان یک عدد خواهیم پرداخت. علاوه بر تعاریف اولیه، به بیان اینکه چه قدرت هایی با شارح طبیعی، صحیح، منطقی و غیرمنطقی هستند، خواهیم پرداخت. مثل همیشه، تمام مفاهیم با مثال‌هایی نشان داده می‌شوند.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ابتدا بیایید تعریف اولیه درجه را با توان طبیعی فرمول بندی کنیم. برای انجام این کار، باید قوانین اساسی ضرب را به خاطر بسپاریم. اجازه دهید از قبل توضیح دهیم که در حال حاضر یک عدد واقعی را به عنوان پایه (که با حرف a مشخص می شود) و یک عدد طبیعی را به عنوان نشانگر (که با حرف n مشخص می شود) در نظر می گیریم.

تعریف 1

توان یک عدد a با توان طبیعی n حاصل ضرب nامین تعداد عامل است که هر کدام برابر با عدد a است. مدرک به این صورت نوشته می شود: a n، و در قالب یک فرمول ترکیب آن را می توان به صورت زیر نشان داد:

به عنوان مثال، اگر توان 1 و پایه a باشد، اولین توان a به صورت نوشته می شود یک 1. با توجه به اینکه a مقدار عامل و 1 تعداد فاکتورها است، می توان نتیجه گرفت که a 1 = a.

به طور کلی، می توان گفت که مدرک یک شکل مناسب برای نوشتن تعداد زیادی از عوامل مساوی است. بنابراین، یک رکورد از فرم 8 8 8 8را می توان کوتاه کرد به 8 4 . به همین ترتیب، محصول به ما کمک می کند تا از نوشتن تعداد زیادی اصطلاح اجتناب کنیم (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4). ما قبلاً در مقاله ای که به ضرب اعداد طبیعی اختصاص داده شده است ، درباره این موضوع بحث کرده ایم.

چگونه ورودی مدرک را به درستی بخوانیم؟ گزینه عمومی پذیرفته شده "a به توان n" است. یا می توانید بگویید "قدرت n ام" یا "قدرت آنت". اگر مثلاً در مثال با ورودی مواجه شدیم 8 12 ، می توان "8 به توان 12"، "8 به توان 12" یا "دوازدهمین توان از 8" را خواند.

قدرت های دوم و سوم اعداد نام های مشخص خود را دارند: مربع و مکعب. اگر توان دوم را مثلاً عدد 7 (7 2) ببینیم، می توانیم بگوییم "7 مربع" یا "مربع عدد 7". به همین ترتیب، درجه سوم به این صورت خوانده می شود: 5 3 - این "مکعب عدد 5" یا "5 مکعب" است. با این حال، می توانید از فرمول استاندارد "به قدرت دوم / سوم" نیز استفاده کنید؛ این یک اشتباه نخواهد بود.

مثال 1

بیایید به مثالی از یک درجه با توان طبیعی نگاه کنیم: for 5 7 پنج پایه و هفت نشانگر خواهد بود.

لازم نیست پایه یک عدد صحیح باشد: برای درجه (4 , 32) 9 مبنا کسر 4، 32 و توان 9 خواهد بود. به پرانتز توجه کنید: این نماد برای تمام توان هایی که پایه آنها با اعداد طبیعی متفاوت است ساخته شده است.

به عنوان مثال: 1 2 3، (- 3) 12، - 2 3 5 2، 2، 4 35 5، 7 3.

پرانتز برای چیست؟ آنها به جلوگیری از اشتباهات در محاسبات کمک می کنند. فرض کنید دو ورودی داریم: (− 2) 3 و − 2 3 . اولین مورد به معنای عدد منفی منهای دو است که به توانی با توان طبیعی سه افزایش یافته است. دومی عدد مربوط به مقدار مخالف درجه است 2 3 .

گاهی اوقات در کتاب ها می توانید املای کمی متفاوت از قدرت یک عدد پیدا کنید - a^n(که در آن a پایه و n توان است). یعنی 4^9 همان است 4 9 . اگر n عددی چند رقمی باشد در پرانتز قرار می گیرد. به عنوان مثال، 15 ^ (21) , (- 3 , 1) ^ (156) . اما ما از علامت گذاری استفاده خواهیم کرد a nبه عنوان رایج تر.

به راحتی می توان حدس زد که چگونه می توان مقدار یک توان را با یک توان طبیعی از تعریف آن محاسبه کرد: فقط باید یک n ام را ضرب کنید. در مقاله دیگری در این مورد بیشتر نوشتیم.

مفهوم درجه معکوس یک مفهوم ریاضی دیگر - ریشه یک عدد است. اگر مقدار توان و توان را بدانیم، می توانیم پایه آن را محاسبه کنیم. درجه دارای برخی از ویژگی های خاص است که برای حل مسائل مفید است، که ما در یک مطلب جداگانه به آن پرداختیم.

نماها می توانند نه تنها اعداد طبیعی، بلکه به طور کلی هر عدد صحیحی از جمله منفی و صفر را نیز شامل شوند، زیرا آنها نیز به مجموعه اعداد صحیح تعلق دارند.

تعریف 2

توان یک عدد با نما عدد صحیح مثبت را می توان به صورت فرمول نشان داد: .

در این مورد، n هر عدد صحیح مثبت است.

بیایید مفهوم درجه صفر را درک کنیم. برای انجام این کار، از رویکردی استفاده می‌کنیم که ویژگی ضریب توان‌های با پایه‌های مساوی را در نظر می‌گیرد. به این صورت فرموله شده است:

تعریف 3

برابری a m: a n = a m − nدر شرایط زیر درست خواهد بود: m و n اعداد طبیعی هستند، m< n , a ≠ 0 .

آخرین شرط مهم است زیرا از تقسیم بر صفر جلوگیری می کند. اگر مقادیر m و n برابر باشند، نتیجه زیر را می گیریم: a n: a n = a n − n = a 0

اما در عین حال a n: a n = 1 ضریب اعداد مساوی است a nو الف معلوم می شود که توان صفر هر عدد غیر صفر برابر با یک است.

با این حال، چنین اثباتی برای صفر تا توان صفر صدق نمی کند. برای انجام این کار، ما به ویژگی دیگری از قدرت ها نیاز داریم - خاصیت محصولات توان ها با پایه های مساوی. به نظر می رسد این است: a m · a n = a m + n .

اگر n برابر با 0 باشد، پس a m · a 0 = a m(این برابری نیز این را به ما ثابت می کند a 0 = 1). اما اگر و نیز برابر با صفر باشد، تساوی ما شکل می گیرد 0 متر · 0 0 = 0 متر، برای هر مقدار طبیعی n درست خواهد بود، و مهم نیست که مقدار درجه دقیقاً با چه چیزی برابر است. 0 0 یعنی با هر عددی می تواند برابر باشد و این تاثیری در صحت تساوی ندارد. بنابراین، یک نماد از فرم 0 0 معنای خاص خود را ندارد و ما آن را به آن نسبت نمی دهیم.

در صورت تمایل، بررسی آن آسان است a 0 = 1با ویژگی درجه همگرا می شود (a m) n = a m nمشروط بر اینکه پایه مدرک صفر نباشد. بنابراین، توان هر عدد غیر صفر با توان صفر یک است.

مثال 2

بیایید به یک مثال با اعداد خاص نگاه کنیم: بنابراین، 5 0 - واحد، (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 و مقدار 0 0 تعریف نشده

بعد از درجه صفر، فقط باید بفهمیم که درجه منفی چیست. برای انجام این کار، به همان خاصیت حاصل ضرب توان ها با پایه های مساوی نیاز داریم که قبلاً در بالا استفاده کردیم: a m · a n = a m + n.

اجازه دهید شرط را معرفی کنیم: m = - n، پس a نباید برابر با صفر باشد. نتیجه می شود که a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. معلوم می شود که یک n و a-nما اعداد متقابل داریم.

در نتیجه، a به توان کل منفی چیزی بیش از کسری 1 a n نیست.

این فرمول تأیید می کند که برای درجه ای با توان منفی صحیح، تمام ویژگی های یک درجه با توان طبیعی معتبر است (به شرطی که پایه برابر با صفر نباشد).

مثال 3

توان a با توان منفی n را می توان به صورت کسری 1 a n نشان داد. بنابراین، a - n = 1 a n موضوع به a ≠ 0و n هر عدد طبیعی است.

اجازه دهید ایده خود را با مثال های خاص توضیح دهیم:

مثال 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

در قسمت آخر پاراگراف، سعی می کنیم تمام آنچه را که به وضوح گفته شد در یک فرمول به تصویر بکشیم:

تعریف 4

توان عددی با توان طبیعی z برابر است با: a z = a z، e با l و z - عدد صحیح مثبت 1، z = 0 و a ≠ 0، (برای z = 0 و a = 0 نتیجه 0 0 است، مقادیر عبارت 0 0 تعریف نشده است) 1 a z، اگر و z یک عدد صحیح منفی است و a ≠ 0 (اگر z یک عدد صحیح منفی باشد و a = 0 شما 0 z دریافت می کنید، egoz مقدار نامشخص است)

قدرت های دارای توان منطقی چیست؟

مواردی را بررسی کردیم که توان دارای یک عدد صحیح باشد. با این حال، شما می توانید یک عدد را به توان افزایش دهید حتی زمانی که نمایش دارای یک عدد کسری باشد. به این یک توان با توان منطقی می گویند. در این بخش ثابت خواهیم کرد که دارای همان ویژگی های قدرت های دیگر است.

اعداد گویا چیست؟ مجموعه آنها شامل اعداد کامل و کسری است و اعداد کسری را می توان به عنوان کسرهای معمولی (هم مثبت و هم منفی) نشان داد. اجازه دهید تعریف توان یک عدد a را با توان کسری m / n فرموله کنیم، که در آن n یک عدد طبیعی و m یک عدد صحیح است.

درجه ای با توان کسری a m n داریم. برای اینکه خاصیت قدرت به قدرت باقی بماند، برابری a m n n = a m n · n = a m باید درست باشد.

با توجه به تعریف ریشه n و اینکه a m n n = a m ، می توانیم شرط a m n = a m n را بپذیریم اگر m n برای مقادیر داده شده m ، n و a معنی داشته باشد.

خواص فوق یک درجه با توان عدد صحیح تحت شرط a m n = a m n صادق خواهد بود.

نتیجه اصلی از استدلال ما این است: توان یک عدد معین a با توان کسری m / n ریشه n عدد a به توان m است. این در صورتی درست است که برای مقادیر داده شده m، n و a، عبارت a m n معنادار باقی بماند.

1. می توانیم مقدار پایه درجه را محدود کنیم: بیایید a را در نظر بگیریم که برای مقادیر مثبت m بزرگتر یا مساوی 0 خواهد بود و برای مقادیر منفی - کاملاً کمتر (زیرا برای m ≤ 0 ما گرفتیم 0 متر، اما چنین مدرکی تعریف نشده است). در این مورد، تعریف یک درجه با توان کسری به صورت زیر خواهد بود:

توانی با توان کسری m/n برای تعدادی عدد مثبت a، nامین ریشه a است که به توان m افزایش یافته است. این را می توان به صورت یک فرمول بیان کرد:

برای توان با پایه صفر، این شرط نیز مناسب است، اما تنها در صورتی که توان آن یک عدد مثبت باشد.

توانی با پایه صفر و توان مثبت کسری m/n را می توان به صورت بیان کرد

0 m n = 0 m n = 0 به شرط اینکه m یک عدد صحیح مثبت و n یک عدد طبیعی باشد.

برای نسبت منفی m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

به یک نکته توجه کنیم. از آنجایی که شرط a بزرگتر یا مساوی صفر را معرفی کردیم، در نهایت برخی موارد را کنار گذاشتیم.

گاهی اوقات عبارت a m n هنوز برای برخی از مقادیر منفی a و برخی m منطقی است. بنابراین، ورودی های صحیح عبارتند از (- 5) 2 3، (- 1، 2) 5 7، - 1 2 - 8 4، که در آن پایه منفی است.

2-رویکرد دوم این است که ریشه a m n را به صورت مجزا با توان های زوج و فرد در نظر بگیریم. سپس باید یک شرط دیگر را معرفی کنیم: درجه a که در توان آن یک کسر معمولی تقلیل پذیر وجود دارد، درجه a در نظر گرفته می شود که در توان آن کسر تقلیل ناپذیر مربوطه وجود دارد. بعداً توضیح خواهیم داد که چرا به این شرایط نیاز داریم و چرا اینقدر مهم است. بنابراین، اگر نماد a m · k n · k را داشته باشیم، می توانیم آن را به m n کاهش دهیم و محاسبات را ساده کنیم.

اگر n عددی فرد باشد و مقدار m مثبت و a هر عدد غیرمنفی باشد، m n منطقی است. شرط منفی نبودن a ضروری است زیرا از یک عدد منفی نمی توان ریشه یک درجه زوج را استخراج کرد. اگر مقدار m مثبت باشد، a می تواند هم منفی و هم صفر باشد، زیرا ریشه فرد را می توان از هر عدد واقعی گرفت.

بیایید تمام تعاریف بالا را در یک ورودی ترکیب کنیم:

در اینجا m/n به معنای کسر غیر قابل تقلیل است، m هر عدد صحیح و n هر عدد طبیعی است.

تعریف 5

برای هر کسر قابل تقلیل معمولی m · k n · k درجه را می توان با m n جایگزین کرد.

توان یک عدد a با توان کسری غیرقابل تقلیل m / n - را می توان به صورت m n در موارد زیر بیان کرد: - برای هر a واقعی، مقادیر صحیح مثبت m و مقادیر طبیعی فرد n. مثال: 2 5 3 = 2 5 3، (- 5، 1) 2 7 = (- 5، 1) - 2 7، 0 5 19 = 0 5 19.

برای هر غیر صفر واقعی a، مقادیر صحیح منفی m و مقادیر فرد از n، به عنوان مثال، 2 - 5 3 = 2 - 5 3، (- 5، 1) - 2 7 = (- 5، 1) - 2 7

برای هر غیر منفی a، عدد صحیح مثبت m و زوج n، به عنوان مثال، 2 1 4 = 2 1 4، (5، 1) 3 2 = (5، 1) 3، 0 7 18 = 0 7 18.

برای هر a مثبت، عدد صحیح منفی m و حتی n، به عنوان مثال، 2 - 1 4 = 2 - 1 4، (5، 1) - 3 2 = (5، 1) - 3، .

در مورد سایر مقادیر، درجه با توان کسری تعیین نمی شود. نمونه هایی از این درجه ها: - 2 11 6، - 2 1 2 3 2، 0 - 2 5.

حالا بیایید اهمیت شرط مورد بحث در بالا را توضیح دهیم: چرا یک کسری را با یک توان تقلیل پذیر با یک کسری با یک توان تقلیل ناپذیر جایگزین کنیم. اگر این کار را انجام نمی دادیم، موقعیت های زیر را داشتیم، مثلاً 6/10 = 3/5. سپس باید درست باشد (- 1) 6 10 = - 1 3 5 ، اما - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 و (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

تعریف درجه با توان کسری که ابتدا ارائه کردیم، در عمل راحت تر از دومی است، بنابراین به استفاده از آن ادامه خواهیم داد.

تعریف 6

بنابراین، توان یک عدد مثبت a با توان کسری m/n به صورت 0 m n = 0 m n = 0 تعریف می شود. در صورت منفی بودن آنماد a m n معنی ندارد. توان صفر برای توان های کسری مثبت m/nبه صورت 0 m n = 0 m n = 0 تعریف می شود، برای توان های کسری منفی، درجه صفر را تعریف نمی کنیم.

در نتیجه گیری، توجه می کنیم که شما می توانید هر نشانگر کسری را هم به عنوان یک عدد مختلط و هم به صورت کسری اعشاری بنویسید: 5 1، 7، 3 2 5 - 2 3 7.

در هنگام محاسبه بهتر است کسری معمولی را جایگزین توان کرده و سپس از تعریف توان با توان کسری استفاده کنید. برای مثال های بالا دریافت می کنیم:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

قدرت های با شارح غیرمنطقی و واقعی چیست؟

اعداد واقعی چیست؟ مجموعه آنها شامل اعداد گویا و غیر منطقی است. بنابراین، برای اینکه بفهمیم درجه با توان واقعی چیست، باید درجاتی را با توان های منطقی و غیرمنطقی تعریف کنیم. ما قبلاً موارد عقلی را در بالا ذکر کردیم. بیایید قدم به قدم به شاخص های غیرمنطقی بپردازیم.

مثال 5

بیایید فرض کنیم که یک عدد غیر منطقی a و دنباله ای از تقریب های اعشاری آن a 0، a 1، a 2، را داریم. . . . برای مثال، بیایید مقدار a = 1.67175331 را در نظر بگیریم. . . ، سپس

a 0 = 1، 6، a 1 = 1، 67، a 2 = 1، 671، . . . 0 = 1.67، a 1 = 1.6717، a 2 = 1.671753، . . .

می‌توانیم دنباله‌ای از تقریب‌ها را با دنباله‌ای از درجه a a 0، a a 1، a a 2، مرتبط کنیم. . . . اگر آنچه را که قبلاً در مورد افزایش اعداد به قوای عقلانی گفتیم به خاطر بیاوریم، می توانیم خود مقادیر این قدرت ها را محاسبه کنیم.

به عنوان مثال در نظر بگیریم a = 3، سپس a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . و غیره.

توالی توان ها را می توان به یک عدد کاهش داد که مقدار توان با پایه a و توان غیر منطقی a خواهد بود. در نتیجه: درجه ای با توان غیرمنطقی به شکل 3 1, 67175331. . را می توان به عدد 6، 27 کاهش داد.

تعریف 7

توان یک عدد مثبت a با توان غیر منطقی a به صورت a نوشته می شود. مقدار آن حد دنباله a a 0، a a 1، a a 2، است. . . , که در آن 0 , a 1 , a 2 , . . . تقریب های اعشاری متوالی عدد غیر منطقی a هستند. درجه ای با پایه صفر نیز می تواند برای شارهای غیر منطقی مثبت تعریف شود، با 0 a = 0 بنابراین، 0 6 = 0، 0 21 3 3 = 0. اما این را نمی توان برای موارد منفی انجام داد، زیرا، به عنوان مثال، مقدار 0 - 5، 0 - 2 π تعریف نشده است. برای مثال، یک واحد افزایش یافته به هر توان غیرمنطقی یک واحد باقی می‌ماند و 1 2، 1 5 در 2 و 1 - 5 برابر با 1 خواهد بود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در این مقاله خواهیم فهمید که چیست درجه از. در اینجا ما تعاریفی از توان یک عدد ارائه می دهیم، در حالی که همه توان های ممکن را به تفصیل در نظر می گیریم، از توان طبیعی شروع می کنیم و با توان غیر منطقی خاتمه می دهیم. در مطالب شما نمونه های زیادی از درجات را خواهید یافت که تمام ظرافت هایی را که به وجود می آید را پوشش می دهد.

پیمایش صفحه.

توان با توان طبیعی، مربع یک عدد، مکعب یک عدد

بیا شروع کنیم با . با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم که تعریف توان یک عدد a با توان طبیعی n برای a داده شده است که آن را می نامیم. پایه مدرکو n که ما آنها را صدا خواهیم کرد توان. همچنین توجه می کنیم که درجه ای با توان طبیعی از طریق یک محصول تعیین می شود، بنابراین برای درک مطالب زیر باید درک درستی از ضرب اعداد داشته باشید.

تعریف.

توان عددی با توان طبیعی nعبارتی از شکل a n است که مقدار آن برابر حاصل ضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است، یعنی .
به طور خاص، توان یک عدد a با توان 1، خود عدد a است، یعنی a 1 =a.

شایان ذکر است فوراً در مورد قوانین خواندن مدارک تحصیلی ذکر شود. روش جهانی برای خواندن نماد a n این است: "a به توان n". در برخی موارد، گزینه های زیر نیز قابل قبول است: "الف به توان n ام" و "نام قدرت a". برای مثال، بیایید توان 8 12 را در نظر بگیریم، این "هشت به توان دوازده" یا "هشت به توان دوازدهم" یا "دوازدهمین توان از هشت" است.

توان دوم یک عدد و همچنین توان سوم یک عدد نام های خاص خود را دارند. توان دوم یک عدد نامیده می شود مربع عددبه عنوان مثال، 7 2 به عنوان "هفت مربع" یا "مربع عدد هفت" خوانده می شود. توان سوم یک عدد نامیده می شود اعداد مکعبیبه عنوان مثال، 5 3 را می توان به عنوان "پنج مکعب" خواند یا می توانید بگویید "مکعب عدد 5".

وقت آوردن است نمونه هایی از درجه با توان طبیعی. بیایید با درجه 5 7 شروع کنیم، در اینجا 5 پایه درجه است و 7 توان است. بیایید مثال دیگری بزنیم: 4.32 پایه است و عدد طبیعی 9 توان (4.32) 9 است.

لطفا توجه داشته باشید که در مثال آخر، پایه توان 4.32 در پرانتز نوشته شده است: برای جلوگیری از مغایرت، تمام پایه های توان را که با اعداد طبیعی متفاوت هستند را در پرانتز قرار می دهیم. به عنوان مثال، درجات زیر را با توان های طبیعی می آوریم ، پایه های آنها اعداد طبیعی نیستند، بنابراین در پرانتز نوشته می شوند. خوب، برای وضوح کامل، در این مرحله تفاوت موجود در رکوردهای فرم (-2) 3 و -2 3 را نشان خواهیم داد. عبارت (-2) 3 توان 2- با توان طبیعی 3 است و عبارت -2 3 (می توان آن را به صورت -(2 3) نوشت) با عدد، مقدار توان 2 3 مطابقت دارد. .

توجه داشته باشید که یک نماد برای توان یک عدد a با توان n به شکل a^n وجود دارد. علاوه بر این، اگر n یک عدد طبیعی چند مقداری باشد، توان در پرانتز گرفته می شود. به عنوان مثال، 4^9 نماد دیگری برای توان 4 9 است. و در اینجا چند نمونه دیگر از نوشتن درجه با استفاده از نماد "^" وجود دارد: 14^(21) , (−2,1)^(155) . در موارد زیر، ما در درجه اول از نماد درجه به شکل a n استفاده خواهیم کرد.

یکی از مشکلات معکوس افزایش توان با توان طبیعی، مشکل یافتن پایه یک توان از یک مقدار شناخته شده توان و یک توان شناخته شده است. این وظیفه منجر به .

مشخص است که مجموعه اعداد گویا از اعداد صحیح و کسری تشکیل شده است و هر کسر را می توان به صورت یک کسر معمولی مثبت یا منفی نشان داد. ما در پاراگراف قبل یک درجه را با توان عدد صحیح تعریف کردیم، بنابراین برای تکمیل تعریف درجه با توان گویا، باید درجه عدد a را با توان کسری m/n معنی کنیم، در جایی که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. بیایید آن را انجام دهیم.

بیایید درجه ای را با توان کسری شکل در نظر بگیریم. برای اینکه ویژگی قدرت به قدرت معتبر بماند، برابری باید برقرار باشد . اگر برابری حاصل و نحوه تعیین مان را در نظر بگیریم، منطقی است که آن را بپذیریم، مشروط بر اینکه برای m، n و a داده شده، عبارت معنا داشته باشد.

به راحتی می توان بررسی کرد که همه ویژگی های یک درجه با توان صحیح معتبر هستند (این کار در بخش خصوصیات یک درجه با توان گویا انجام شد).

استدلال فوق به ما اجازه می دهد تا موارد زیر را بیان کنیم نتیجه: اگر عبارت m، n و a معنی داشته باشد، توان a با توان کسری m/n را ریشه n ام به توان m می نامند.

این عبارت ما را به تعریف درجه با توان کسری نزدیک می کند. تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که توصیف کنیم که عبارت در چه چیزی m، n و a معنا دارد. بسته به محدودیت هایی که بر روی m، n و a اعمال می شود، دو رویکرد اصلی وجود دارد.

ساده ترین راه این است که با گرفتن a≥0 برای m مثبت و a>0 برای m منفی، یک محدودیت بر a اعمال کنیم (زیرا برای m≤0 درجه 0 m تعریف نشده است). سپس تعریف زیر را از درجه با توان کسری بدست می آوریم.

تعریف.

توان یک عدد مثبت a با توان کسری m/n، جایی که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است، ریشه n عدد a به توان m نامیده می شود، یعنی .

توان کسری صفر نیز با این نکته مشخص می شود که نشانگر باید مثبت باشد.

تعریف.

توان صفر با توان مثبت کسری m/n، که در آن m یک عدد صحیح مثبت و n یک عدد طبیعی است، به صورت تعریف می شود .
وقتی درجه تعیین نمی شود، یعنی درجه عدد صفر با توان منفی کسری معنی ندارد.

لازم به ذکر است که با این تعریف از درجه با توان کسری، یک اخطار وجود دارد: برای برخی منفی a و برخی m و n، عبارت معنا پیدا می کند و ما با ارائه شرط a≥0 این موارد را کنار گذاشتیم. به عنوان مثال، ورودی ها منطقی هستند یا، و تعریفی که در بالا داده شد ما را مجبور می کند بگوییم که توان هایی با توان کسری شکل منطقی نیست، زیرا پایه نباید منفی باشد.

روش دیگر برای تعیین درجه با توان کسری m/n، در نظر گرفتن مجزا نماهای زوج و فرد ریشه است. این روش مستلزم یک شرط اضافی است: توان عدد a که توان آن برابر است به عنوان توان عدد a در نظر گرفته می شود که توان آن کسر تقلیل ناپذیر مربوطه است (در زیر اهمیت این شرط را توضیح خواهیم داد. ). یعنی اگر m/n کسری غیر قابل تقلیل باشد، برای هر عدد طبیعی k درجه ابتدا با .

برای n زوج و m مثبت، عبارت برای هر غیر منفی a معنی دارد (ریشه زوج یک عدد منفی معنی ندارد)؛ برای m منفی، عدد a باید همچنان با صفر متفاوت باشد (در غیر این صورت تقسیم وجود خواهد داشت. با صفر). و برای n فرد و m مثبت عدد a می تواند هر باشد (ریشه یک درجه فرد برای هر عدد واقعی تعریف می شود) و برای m منفی عدد a باید با صفر متفاوت باشد (به طوری که تقسیم بر وجود نداشته باشد. صفر).

استدلال فوق ما را به این تعریف از درجه با توان کسری می رساند.

تعریف.

فرض کنید m/n یک کسری تقلیل ناپذیر، m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی باشد. برای هر کسر قابل تقلیل، درجه با . توان عددی با توان کسری تقلیل ناپذیر m/n برابر است



اجازه دهید توضیح دهیم که چرا درجه ای با توان کسری تقلیل پذیر ابتدا با درجه ای با توان تقلیل ناپذیر جایگزین می شود. اگر صرفاً درجه را به صورت تعریف کنیم و در مورد تقلیل ناپذیری کسر m/n قید نکنیم، با موقعیت‌هایی مشابه موارد زیر مواجه می‌شویم: از آنجایی که 6/10 = 3/5 است، پس برابری باید برقرار باشد. ، ولی ، آ .

جدول توان های 2 (دو) از 0 تا 32

جدول زیر، علاوه بر توان های دو، حداکثر اعدادی را که یک کامپیوتر می تواند برای تعداد معینی از بیت ها ذخیره کند، نشان می دهد. علاوه بر این، هم برای اعداد صحیح و هم برای اعداد امضا شده.

از لحاظ تاریخی، رایانه ها از سیستم اعداد باینری و بر این اساس از ذخیره سازی داده ها استفاده می کردند. بنابراین، هر عددی را می توان به عنوان دنباله ای از صفر و یک (بیت های اطلاعات) نشان داد. راه های مختلفی برای نمایش اعداد به عنوان یک دنباله باینری وجود دارد.

بیایید ساده ترین آنها را در نظر بگیریم - این یک عدد صحیح مثبت است. سپس هر چه عددی که باید بنویسیم بزرگتر باشد، دنباله بیت های بیشتری نیاز داریم.

در زیر آمده است جدول قدرت های شماره 2. به ما نمایشی از تعداد بیت مورد نیازی که برای ذخیره اعداد نیاز داریم به ما می دهد.

نحوه استفاده جدول قدرت های شماره دو?

ستون اول است قدرت دو، که به طور همزمان تعداد بیت هایی را نشان می دهد که عدد را نشان می دهد.

ستون دوم - مقدار دو به توان مناسب (n).

نمونه ای از یافتن توان 2. در ستون اول عدد 7 را پیدا می کنیم در امتداد خط سمت راست نگاه می کنیم و مقدار را پیدا می کنیم دو تا توان هفتم(2 7) 128 است

ستون سوم - حداکثر عددی که می توان با استفاده از تعداد معینی از بیت ها نمایش داد(در ستون اول).

نمونه ای از تعیین حداکثر عدد صحیح بدون علامت. با استفاده از داده های مثال قبلی، می دانیم که 2 7 = 128. این درست است اگر بخواهیم بفهمیم چیست مقدار اعداد، می تواند با استفاده از هفت بیت نمایش داده شود. اما از آنجایی که عدد اول صفر است، سپس حداکثر عددی که می توان با استفاده از هفت بیت نمایش داد 128 - 1 = 127 است. این مقدار ستون سوم است.

توان دو (n)	قدرت دو مقدار 2n	حداکثر عدد بدون امضا با n بیت نوشته شده است	حداکثر تعداد امضا شده با n بیت نوشته شده است
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

ما فهمیدیم که قدرت یک عدد واقعاً چیست. اکنون باید بدانیم که چگونه آن را به درستی محاسبه کنیم، i.e. اعداد را به قدرت برساند در این مطلب قوانین اساسی برای محاسبه درجات را در مورد توانای اعداد صحیح، طبیعی، کسری، گویا و غیر منطقی تحلیل خواهیم کرد. تمام تعاریف با مثال توضیح داده خواهد شد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

مفهوم توانمندی

بیایید با تدوین تعاریف اولیه شروع کنیم.

تعریف 1

توانمندی- این محاسبه مقدار توان یک عدد معین است.

یعنی کلمه «محاسبه ارزش یک قدرت» و «افزایش به قدرت» به همین معناست. بنابراین، اگر مشکل می گوید "عدد 0، 5 را به توان پنجم برسانید"، این باید به عنوان "مقدار توان (0، 5) 5 را محاسبه کنید.

اکنون قوانین اساسی را ارائه می کنیم که باید هنگام انجام چنین محاسباتی رعایت شوند.

بیایید به یاد داشته باشیم که یک عدد با توان طبیعی چقدر است. برای توانی با پایه a و توان n، این حاصل ضرب nامین تعداد عامل ها خواهد بود که هر کدام برابر a است. این را می توان اینگونه نوشت:

برای محاسبه مقدار یک درجه، باید یک عمل ضرب انجام دهید، یعنی پایه های درجه را در تعداد مشخص شده ضرب کنید. مفهوم درجه با توان طبیعی مبتنی بر توانایی ضرب سریع است. بیایید مثال بزنیم.

مثال 1

وضعیت: افزایش - 2 به توان 4.

راه حل

با استفاده از تعریف بالا، می نویسیم: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . در مرحله بعد، ما فقط باید این مراحل را دنبال کنیم و 16 بگیریم.

بیایید یک مثال پیچیده تر بیاوریم.

مثال 2

مقدار 3 2 7 2 را محاسبه کنید

راه حل

این ورودی را می توان به صورت 3 2 7 · 3 2 7 بازنویسی کرد. قبلاً نحوه ضرب صحیح اعداد مختلط ذکر شده در شرط را بررسی کردیم.

بیایید این مراحل را انجام دهیم و پاسخ را دریافت کنیم: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

اگر مشکل نیاز به افزایش اعداد غیر منطقی به توان طبیعی را نشان می‌دهد، ابتدا باید پایه‌های آن‌ها را تا رقمی گرد کنیم که به ما امکان می‌دهد پاسخی با دقت لازم به دست آوریم. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 3

مربع π را اجرا کنید.

راه حل

ابتدا آن را به صدم گرد می کنیم. سپس π 2 ≈ (3، 14) 2 = 9، 8596. اگر π ≈ 3. 14159، سپس نتیجه دقیق تری دریافت می کنیم: π 2 ≈ (3، 14159) 2 = 9، 8695877281.

توجه داشته باشید که نیاز به محاسبه توان اعداد غیر منطقی در عمل نسبتاً نادر است. سپس می‌توانیم پاسخ را به عنوان توان (ln 6) 3 بنویسیم، یا در صورت امکان تبدیل کنیم: 5 7 = 125 5.

به طور جداگانه باید مشخص شود که اولین توان یک عدد چقدر است. در اینجا می توانید به سادگی به یاد داشته باشید که هر عددی که به توان اول افزایش یابد، خودش باقی می ماند:

این از ضبط مشخص است .

بستگی به مدرک تحصیلی ندارد.

مثال 4

بنابراین، (- 9) 1 = - 9، و 7 3 به توان اول افزایش یافته است برابر با 7 3 باقی می ماند.

برای سهولت، سه حالت را جداگانه بررسی می کنیم: اگر توان یک عدد صحیح مثبت باشد، اگر عدد صفر باشد و اگر یک عدد صحیح منفی باشد.

در مورد اول، این همان افزایش به یک توان طبیعی است: از این گذشته، اعداد صحیح مثبت به مجموعه اعداد طبیعی تعلق دارند. قبلاً در مورد نحوه کار با چنین مدارکی در بالا صحبت کرده ایم.

حالا بیایید ببینیم که چگونه به درستی توان صفر را افزایش دهیم. برای پایه ای غیر از صفر، این محاسبه همیشه 1 را خروجی می دهد. قبلاً توضیح دادیم که توان 0 a را می توان برای هر عدد واقعی که مساوی 0 نباشد و 0 = 1 تعریف کرد.

مثال 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - تعریف نشده است.

فقط مورد درجه ای با توان منفی صحیح باقی می ماند. قبلاً بحث کردیم که چنین درجاتی را می توان به صورت کسری 1 a z نوشت که a هر عددی است و z یک عدد صحیح منفی است. می بینیم که مخرج این کسری چیزی بیش از یک توان معمولی با توان عدد صحیح مثبت نیست و قبلاً نحوه محاسبه آن را یاد گرفته ایم. بیایید نمونه هایی از وظایف را بیان کنیم.

مثال 6

3 را به قدرت برسانید - 2.

راه حل

با استفاده از تعریف بالا، می نویسیم: 2 - 3 = 1 2 3

بیایید مخرج این کسر را محاسبه کنیم و 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 بدست آوریم.

سپس پاسخ این است: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

مثال 7

1.43 را به توان -2 برسانید.

راه حل

بیایید دوباره فرمول بندی کنیم: 1، 43 - 2 = 1 (1، 43) 2

ما مربع را در مخرج محاسبه می کنیم: 1.43·1.43. اعشار را می توان به این صورت ضرب کرد:

در نتیجه، ما (1، 43) - 2 = 1 (1، 43) 2 = 1 2، 0449 دریافت کردیم. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که این نتیجه را به شکل یک کسر معمولی بنویسیم که برای آن باید آن را در 10 هزار ضرب کنیم (به مطالب تبدیل کسرها مراجعه کنید).

پاسخ: (1، 43) - 2 = 10000 20449

یک مورد خاص افزایش یک عدد به منهای توان اول است. مقدار این درجه برابر است با متقابل مقدار اصلی پایه: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

مثال 8

مثال: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

چگونه یک عدد را به توان کسری برسانیم

برای انجام چنین عملیاتی، باید تعریف اولیه درجه را با توان کسری به خاطر بسپاریم: a m n = a m n برای هر a مثبت، عدد صحیح m و n طبیعی.

تعریف 2

بنابراین، محاسبه توان کسری باید در دو مرحله انجام شود: افزایش به یک توان صحیح و یافتن ریشه توان n.

برابری a m n = a m n را داریم که با در نظر گرفتن خصوصیات ریشه ها معمولاً برای حل مسائل به شکل a m n = a n m استفاده می شود. این بدان معناست که اگر عدد a را به توان کسری m/n برسانیم، ابتدا ریشه n a را می گیریم، سپس نتیجه را به توانی با توان عدد صحیح m می رسانیم.

بیایید با یک مثال توضیح دهیم.

مثال 9

8 - 2 3 را محاسبه کنید.

راه حل

روش 1: با توجه به تعریف اولیه، می توانیم این را به صورت زیر نمایش دهیم: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

حال بیایید درجه زیر ریشه را محاسبه کرده و ریشه سوم را از نتیجه استخراج کنیم: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

روش 2. تبدیل برابری اساسی: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

پس از این، ریشه 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 را استخراج می کنیم و نتیجه را مربع می کنیم: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

می بینیم که راه حل ها یکسان هستند. شما می توانید از آن به هر شکلی که دوست دارید استفاده کنید.

مواردی وجود دارد که درجه دارای یک شاخص است که به صورت یک عدد مختلط یا یک کسری اعشاری بیان می شود. برای ساده کردن محاسبات، بهتر است آن را با یک کسر معمولی جایگزین کنید و همانطور که در بالا نشان داده شد محاسبه کنید.

مثال 10

44، 89 را به توان 2، 5 برسانید.

راه حل

بیایید مقدار نشانگر را به یک کسر معمولی تبدیل کنیم - 44، 89 2، 5 = 49، 89 5 2.

اکنون تمام اقدامات ذکر شده در بالا را به ترتیب انجام می دهیم: 44، 89 5 2 = 44، 89 5 = 44، 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1 = 25107 = 1307 501, 25107

پاسخ: 13 501، 25107.

اگر صورت و مخرج یک توان کسری شامل اعداد بزرگ باشد، محاسبه چنین توانایی با توان های گویا کار نسبتاً دشواری است. معمولاً به فناوری رایانه نیاز دارد.

اجازه دهید به طور جداگانه به توان هایی با پایه صفر و توان کسری بپردازیم. یک عبارت به شکل 0 m n را می توان به این معنا داد: اگر m n > 0، آنگاه 0 m n = 0 m n = 0. اگر m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

چگونه یک عدد را به توان غیر منطقی برسانیم

نیاز به محاسبه مقدار توانی که توان آن یک عدد غیرمنطقی است، اغلب به وجود نمی آید. در عمل، کار معمولاً به محاسبه یک مقدار تقریبی (تا تعداد معینی از رقم اعشار) محدود می شود. این معمولاً به دلیل پیچیدگی چنین محاسباتی در رایانه محاسبه می شود ، بنابراین ما در این مورد با جزئیات صحبت نمی کنیم ، فقط مفاد اصلی را نشان می دهیم.

اگر بخواهیم مقدار توان a را با توان غیر منطقی a محاسبه کنیم، تقریب اعشاری توان را می گیریم و از آن می شماریم. نتیجه یک پاسخ تقریبی خواهد بود. هرچه تقریب اعشاری دقیق تر باشد، پاسخ دقیق تر است. بیایید با یک مثال نشان دهیم:

مثال 11

مقدار تقریبی 21, 174367 را محاسبه کنید ....

راه حل

اجازه دهید خود را به تقریب اعشاری a n = 1، 17 محدود کنیم. بیایید محاسبات را با استفاده از این عدد انجام دهیم: 2 1، 17 ≈ 2، 250116. اگر به عنوان مثال، تقریب a n = 1، 1743 را در نظر بگیریم، پاسخ کمی دقیق تر خواهد بود: 2 1، 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

ماشین حساب به شما کمک می کند تا به سرعت یک عدد را به صورت آنلاین افزایش دهید. پایه درجه می تواند هر عددی باشد (اعم از اعداد صحیح و واقعی). نما همچنین می تواند یک عدد صحیح یا واقعی باشد و همچنین می تواند مثبت یا منفی باشد. به خاطر داشته باشید که برای اعداد منفی، افزایش به یک توان غیر صحیح تعریف نشده است، بنابراین اگر آن را امتحان کنید، ماشین حساب خطا را گزارش می کند.

ماشین حساب مدرک

به قدرت برسانید

توان: 28402

توان طبیعی یک عدد چیست؟

عدد p را توان n ام یک عدد می نامند اگر p برابر باشد با عدد a ضرب در خودش n برابر: p = a n = a·...·a
ن - نامیده شد توان، و عدد a است پایه مدرک.

چگونه یک عدد را به توان طبیعی برسانیم؟

برای درک چگونگی افزایش اعداد مختلف به توان طبیعی، چند مثال را در نظر بگیرید:

مثال 1. عدد سه را به توان چهارم برسانید. یعنی باید 3 4 محاسبه شود
راه حل: همانطور که در بالا ذکر شد، 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
پاسخ: 3 4 = 81 .

مثال 2. عدد پنج را به توان پنجم برسانید. یعنی باید 5 5 محاسبه شود
راه حل: به طور مشابه، 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
پاسخ: 5 5 = 3125 .

بنابراین، برای بالا بردن یک عدد به توان طبیعی، فقط باید آن را در خودش n برابر ضرب کنید.

توان منفی یک عدد چیست؟

توان منفی -n a یک تقسیم بر a به توان n است: a -n = .

در این حالت، یک توان منفی فقط برای اعداد غیر صفر وجود دارد، زیرا در غیر این صورت تقسیم بر صفر اتفاق می افتد.

چگونه یک عدد را به توان عدد صحیح منفی برسانیم؟

برای رساندن یک عدد غیر صفر به توان منفی، باید مقدار این عدد را به همان توان مثبت محاسبه کنید و یک را بر نتیجه تقسیم کنید.

مثال 1. عدد دو را به توان چهارم منفی برسانید. یعنی باید 2 -4 را محاسبه کنید

راه حل: همانطور که در بالا گفته شد، 2 -4 = = 0.0625.

پاسخ: 2 -4 = 0.0625 .