Pöörlemine on tüüpiline mehaanilise liikumise tüüp, mida sageli leidub looduses ja tehnoloogias. Igasugune pöörlemine toimub mingi välisjõu mõjul vaadeldavale süsteemile. See jõud loob nn Mis see on, millest see sõltub, sellest räägitakse artiklis.
Pöörlemisprotsess
Enne pöördemomendi kontseptsiooni käsitlemist iseloomustame süsteeme, mille puhul seda kontseptsiooni saab rakendada. Pöörlemissüsteem eeldab telje olemasolu, mille ümber toimub ringliikumine või pöörlemine. Kaugust sellest teljest süsteemi materiaalsete punktideni nimetatakse pöörlemisraadiuseks.
Kinemaatika seisukohalt iseloomustab protsessi kolm nurga suurust:
- pöördenurk θ (mõõdetuna radiaanides);
- nurkkiirus ω (mõõdetuna radiaanides sekundis);
- nurkkiirendus α (mõõdetuna radiaanides ruutsekundi kohta).
Need suurused on omavahel seotud järgmiste võrdustega:
Pöörlemise näideteks looduses on planeetide liikumine nende orbiitidel ja ümber nende telgede ning tornaadode liikumine. Igapäevaelus ja tehnikas on kõnealune liikumine tüüpiline mootorimootoritele, mutrivõtmetele, ehituskraanadele, uste avamisele jne.
Jõumomendi määramine
Liigume nüüd artikli vahetu teema juurde. Füüsikalise definitsiooni järgi on see jõu rakendamise vektori pöördetelje suhtes ja jõu enda vektori vektorkorrutis. Vastava matemaatilise avaldise saab kirjutada järgmiselt:
Siin on vektor r¯ suunatud pöördeteljelt jõu F¯ rakenduspunkti.
Selles pöördemomendi M¯ valemis saab jõudu F¯ mis tahes viisil suunata telje suuna suhtes. Kuid teljega paralleelne jõukomponent ei tekita pöörlemist, kui telg on jäigalt fikseeritud. Enamiku füüsikaülesannete puhul tuleb arvestada jõududega F¯, mis asuvad pöörlemisteljega risti olevatel tasapindadel. Sellistel juhtudel saab pöördemomendi absoluutväärtuse määrata järgmise valemi abil:
|M¯| = |r¯|*|F¯|*sin(β).
Kus β on nurk vektorite r¯ ja F¯ vahel.
Mis on võimendus?
Jõuhoob mängib olulist rolli jõumomendi suuruse määramisel. Et mõista, millest me räägime, kaaluge järgmist joonist.
Siin on kujutatud varras pikkusega L, mis on fikseeritud pöörlemispunkti ühe otsaga. Teisele otsale mõjub jõud F, mis on suunatud teravnurga φ alla. Jõumomendi määratluse kohaselt võime kirjutada:
M = F*L*sin(180 o -φ).
Nurk (180 o -φ) ilmnes seetõttu, et vektor L¯ on suunatud fikseeritud otsast vabasse. Võttes arvesse trigonomeetrilise siinusfunktsiooni perioodilisust, saame selle võrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:
Nüüd pöörame tähelepanu täisnurksele kolmnurgale, mis on ehitatud külgedele L, d ja F. Siinusfunktsiooni definitsiooni kohaselt annab hüpotenuusi L ja nurga φ siinuse korrutis jala d väärtuse. Siis jõuame võrdsuseni:
Lineaarset suurust d nimetatakse jõu kangiks. See on võrdne kaugusega jõuvektorist F¯ pöörlemisteljest. Nagu valemist näha, on jõuhoova mõistet mugav kasutada momendi M arvutamisel. Saadud valem ütleb, et teatud jõu F maksimaalne pöördemoment tekib ainult siis, kui raadiuse vektori pikkus r¯ ( L¯ ülaltoodud joonisel) on võrdne jõu hoovaga, see tähendab, et r¯ ja F¯ on üksteisega risti.
Suuruse M¯ toimesuund
Eespool on näidatud, et pöördemoment on antud süsteemi vektorkarakteristik. Kuhu see vektor on suunatud? Sellele küsimusele vastamine pole eriti keeruline, kui meeles pidada, et kahe vektori korrutise tulemuseks on kolmas vektor, mis asub teljel, mis on risti algvektorite asukohatasandiga.
Jääb otsustada, kas jõumoment suunatakse mainitud tasapinna suhtes üles või alla (lugeja poole või sellest eemale). Seda saab määrata kas kerereegli või parema käe reegli järgi. Siin on mõlemad reeglid:
- Parema käe reegel. Kui asetate parema käe nii, et selle neli sõrme liiguvad vektori r¯ algusest selle lõpuni ja seejärel vektori F¯ algusest lõpuni, siis näitab väljaulatuv pöial selles suunas. hetke M¯.
- Kinnitusreegel. Kui kujuteldava võlli pöörlemissuund langeb kokku süsteemi pöörlemissuunaga, siis sõõri translatsiooniline liikumine näitab vektori M¯ suunda. Pidage meeles, et see pöörleb ainult päripäeva.
Mõlemad reeglid on võrdsed, nii et igaüks saab kasutada seda, mis talle mugavam on.
Praktiliste ülesannete lahendamisel võetakse arvesse pöördemomendi erinevaid suundi (üles-alla, vasakule-paremale) kasutades märke "+" või "-". Tuleb meeles pidada, et momendi M¯ positiivset suunda peetakse selliseks, mis viib süsteemi pöörlemiseni vastupäeva. Seega, kui teatud jõud paneb süsteemi kella suunas pöörlema, on selle loomise hetkel negatiivne väärtus.
Suuruse M¯ füüsikaline tähendus
Pöörlemise füüsikas ja mehaanikas määrab väärtus M¯ jõu või jõudude summa võimet pöörata pöörlemist. Kuna väärtuse M¯ matemaatiline definitsioon ei sisalda mitte ainult jõudu, vaid ka selle rakendamise raadiuse vektorit, määrab see viimane suuresti ära märgitud pöörlemisvõime. Et oleks selgem, millisest võimest me räägime, on siin mõned näited:
- Iga inimene püüdis vähemalt korra elus ust avada, mitte käepidemest kinni haarates, vaid seda hingede lähedale surudes. Viimasel juhul peate soovitud tulemuse saavutamiseks tegema märkimisväärseid jõupingutusi.
- Mutri poldi küljest lahti keeramiseks kasutage spetsiaalseid mutrivõtmeid. Mida pikem on mutrivõti, seda lihtsam on mutrit lahti keerata.
- Jõuhoova tähtsuse tunnetamiseks kutsume lugejaid tegema järgmist katset: võtke tool ja proovige seda ühe käega rippus hoida, ühel juhul toetage käsi vastu keha, teisel juhul - sooritage ülesanne sirge käsi. Viimane jääb paljudele võimatuks ülesandeks, kuigi tooli kaal jääb samaks.
Pöördemomendi ühikud
Paar sõna tuleks öelda ka SI-ühikute kohta, milles pöördemomenti mõõdetakse. Selle jaoks üles kirjutatud valemi järgi mõõdetakse seda njuutonites meetri kohta (N*m). Kuid need ühikud mõõdavad tööd ja energiat ka füüsikas (1 N*m = 1 džaul). Momendi džaul M¯ ei kehti, kuna töö on skalaarsuurus, samas kui M¯ on vektor.
Jõumomendi ühikute kokkulangemine energiaühikutega ei ole aga juhuslik. Süsteemi pööramiseks tehtud töö hetke M järgi arvutatakse järgmise valemiga:
Siit leiame, et M-i saab väljendada ka džaulides radiaani kohta (J/rad).
Pöörlemise dünaamika
Artikli alguses panime kirja kinemaatilised omadused, mida kasutatakse pöörleva liikumise kirjeldamiseks. Pöörlemisdünaamikas on neid omadusi kasutav põhivõrrand järgmine:
Momendi M mõju süsteemile, mille inertsmoment on I, toob kaasa nurkkiirenduse α.
Seda valemit kasutatakse tehnoloogias pöörlemise nurksageduste määramiseks. Näiteks teades asünkroonmootori pöördemomenti, mis sõltub staatori poolis oleva voolu sagedusest ja muutuva magnetvälja suurusest, samuti teades pöörleva rootori inertsiaalseid omadusi, on võimalik kindlaks teha millisele pöörlemiskiirusele ω mootori rootor teadaoleva aja t jooksul üles pöörleb.
Näide probleemi lahendamisest
Kaaluta hooval, mille pikkus on 2 meetrit, on keskel tugi. Millise raskusega tuleks asetada kangi ühele otsale, et see oleks tasakaaluseisundis, kui 10 kg kaaluv koorem lamab toe teisel küljel 0,5 meetri kaugusel sellest?
Ilmselgelt, mis saab siis, kui koormuste tekitatud jõumomendid on suurusjärgus võrdsed. Selles probleemis hetke loov jõud on keha kaal. Jõuhoovad on võrdsed kaugustega koormustest toele. Kirjutame vastava võrdsuse:
m 1 *g*d1 = m2 *g*d2 =>
P2 = m2 *g = m1 *g*d1/d2.
Kaalu P 2 saame, kui asendame ülesandetingimustest väärtused m 1 = 10 kg, d 1 = 0,5 m, d 2 = 1 m. Vastuse annab kirjalik võrdsus: P 2 = 49,05 njuutonit.
Definitsioon
Raadiuse vektorkorrutist - vektorit (), mis tõmmatakse punktist O (joonis 1) punktini, milleni jõud rakendub vektorile endale, nimetatakse jõumomendiks () punkti O suhtes:
Joonisel 1 on punkt O ning jõuvektor () ja raadiuse vektor joonise tasapinnal. Sel juhul on jõumomendi () vektor joonise tasapinnaga risti ja selle suund on meist eemal. Jõumomendi vektor on aksiaalne. Jõumomendi vektori suund valitakse nii, et jõu ja vektori suunas pöörlemine ümber punkti O loob parempoolse süsteemi. Jõumomendi ja nurkkiirenduse suund langevad kokku.
Vektori suurusjärk on:
kus on nurk raadiuse ja jõuvektori suundade vahel, on jõu õlg punkti O suhtes.
Jõumoment telje ümber
Jõumoment telje suhtes on füüsikaline suurus, mis võrdub jõumomendi vektori projektsiooniga valitud telje punkti suhtes antud teljele. Sel juhul ei oma punkti valik tähtsust.
Peamine jõumoment
Jõude hulga põhimomenti punkti O suhtes nimetatakse vektoriks (jõumomendiks), mis võrdub kõigi süsteemis sama punkti suhtes mõjuvate jõudude momentide summaga:
Sel juhul nimetatakse punkti O jõudude süsteemi redutseerimiskeskuseks.
Kui ühel jõudude süsteemil on kaks põhimomenti ( ja ) kahe erineva toojõukeskuse (O ja O’) jaoks, siis on need seotud avaldisega:
kus on raadiuse vektor, mis on tõmmatud punktist O punkti O’, on jõusüsteemi põhivektor.
Üldjuhul on suvalise jõudude süsteemi toime tulemus tahkele kehale sama, mis jõudude süsteemi põhimomendi ja jõudude süsteemi põhivektori mõju kehale, mis on rakendatakse redutseerimise keskpunktis (punkt O).
Pöörleva liikumise dünaamika põhiseadus
kus on pöörleva keha nurkimment.
Tugeva keha puhul võib seda seadust esitada järgmiselt:
kus I on keha inertsimoment ja nurkiirendus.
Pöördemomendi ühikud
Jõumomendi põhimõõtühik SI-süsteemis on: [M]=N m
GHS-is: [M] = din cm
Näited probleemide lahendamisest
Näide
Harjutus. Joonisel 1 on kujutatud keha, mille pöörlemistelg on OO". Kehale antud telje suhtes rakendatav jõumoment on võrdne nulliga? Telg ja jõuvektor asuvad joonise tasapinnal.
Lahendus. Probleemi lahendamise aluseks võtame valemi, mis määrab jõumomendi:
Vektorkorrutis (näha jooniselt). Jõuvektori ja raadiusvektori vaheline nurk erineb samuti nullist (või seetõttu ei ole vektori korrutis (1.1) võrdne nulliga. See tähendab, et jõumoment erineb nullist.
Vastus.
Näide
Harjutus. Pöörleva jäiga keha nurkkiirus muutub vastavalt joonisel 2 näidatud graafikule. Millistes graafikul näidatud punktides on kehale mõjuvate jõudude moment võrdne nulliga?
Mis võrdub jõu korrutisega selle õlaga.
Jõumoment arvutatakse järgmise valemi abil:
Kus F- jõud, l- jõu õlg.
Võimu õlg- see on lühim kaugus jõu toimejoonest keha pöörlemisteljeni. Alloleval joonisel on kujutatud jäik korpus, mis võib ümber telje pöörata. Selle keha pöörlemistelg on risti joonise tasapinnaga ja läbib punkti, mis on tähistatud tähega O. Jõu õlg Ft siin on vahemaa l, pöörlemisteljelt jõu toimejoonele. See on määratletud nii. Esimese sammuna tõmmatakse jõu toimejoon, seejärel punktist O, mida läbib keha pöörlemistelg, langetatakse jõu toimejoonega risti. Selle risti pikkus osutub antud jõu haruks.
Jõumoment iseloomustab jõu pöörlevat toimet. See toiming sõltub nii tugevusest kui ka võimendusest. Mida suurem on käsi, seda vähem tuleb jõudu rakendada, et saavutada soovitud tulemus, st sama jõumoment (vt joonis ülal). Seetõttu on hingede lähedalt lükates ust palju keerulisem avada kui käepidemest kinni võttes ning mutrit on palju lihtsam lahti keerata pika kui lühikese mutrivõtmega.
Jõumomendi SI ühikuks loetakse jõumomenti 1 N, mille õlg on võrdne 1 m - njuutonmeeter (N m).
Hetkede reegel.
Jäik keha, mis suudab pöörlema ümber fikseeritud telje, on tasakaalus, kui jõumoment M 1 selle pööramine päripäeva võrdub jõumomendiga M 2 , mis pöörab seda vastupäeva:
Momentide reegel on ühe mehaanika teoreemi tagajärg, mille sõnastas prantsuse teadlane P. Varignon 1687. aastal.
Paar jõudu.
Kui kehale avaldab mõju 2 võrdset ja vastassuunalist jõudu, mis ei asu samal sirgel, siis selline keha ei ole tasakaalus, kuna nende jõudude tekkiv moment ühegi telje suhtes ei ole võrdne nulliga, kuna mõlemal jõul on samas suunas suunatud momendid . Nimetatakse kahte sellist kehale samaaegselt mõjuvat jõudu paar jõudu. Kui keha on fikseeritud teljele, pöörleb see paari jõu mõjul. Kui vabale kehale rakendatakse paar jõudu, siis see pöörleb ümber oma telje. keha raskuskeskme läbimine, kujund b.
Jõupaari moment on sama mis tahes telje suhtes, mis on paari tasapinnaga risti. Täielik hetk M paarid on alati võrdne ühe jõu korrutisega F kaugusele l jõudude vahel, mida nimetatakse paari õlg, olenemata segmentidest l ja jagab paari õla telje asukohta:
Mitme jõu moment, mille resultant on null, on kõigi üksteisega paralleelsete telgede suhtes sama, seetõttu saab kõigi nende jõudude mõju kehale asendada ühe sama jõupaari mõjuga. hetk.
Artiklis räägime jõumomendist punkti ja telje suhtes, definitsioonidest, joonistest ja graafikutest, millisest jõumomendi mõõtühikust, tööst ja jõust pöörleval liikumisel, samuti näidetest ja probleemidest.
Võimu hetk tähistab vektorit, mille füüsikaline suurus on võrdne vektorite korrutisega õla tugevus(osakese raadiuse vektor) ja tugevus, tegutsedes punkti järgi. Jõuhoob on vektor, mis ühendab punkti, mida läbib jäiga keha pöörlemistelg punktiga, millele jõud rakendatakse.
kus: r on jõuõlg, F on kehale rakendatav jõud.
Vektori suund hetkejõud alati risti vektoritega r ja F määratletud tasapinnaga.
Peaasi- mis tahes jõudude süsteemi tasapinnal aktsepteeritud pooluse suhtes nimetatakse selle süsteemi kõigi jõudude momendi algebraliseks momendiks selle pooluse suhtes.
Pöörlevate liikumiste puhul pole olulised mitte ainult füüsikalised suurused ise, vaid ka see, kuidas need pöörlemistelje suhtes paiknevad, st nende asukoht. hetked. Teame juba, et pöörleva liikumise puhul pole oluline mitte ainult mass, vaid ka. Jõu korral määrab selle tõhususe kiirenduse käivitamisel viis, kuidas jõudu rakendatakse pöörlemisteljele.
Kirjeldab suhet jõu ja selle rakendamisviisi vahel JÕU HETK. Jõumoment on jõuõla vektorkorrutis R jõuvektorile F:
Nagu iga vektorprodukti puhul, nii ka siin
Seetõttu ei mõjuta jõud pöörlemist, kui jõuvektorite vaheline nurk F ja kang R võrdub 0 o või 180 o. Millist mõju avaldab jõumomendi rakendamine M?
Kasutame Newtoni teist liikumisseadust ning köie ja nurkkiiruse vahelist seost v = Rω skalaarkujul kehtivad siis, kui vektorid R Ja ω üksteisega risti
Korrutades võrrandi mõlemad pooled R-ga, saame
Kuna mR 2 = I, järeldame, et
Ülaltoodud sõltuvus kehtib ka materiaalse keha puhul. Pange tähele, et kuigi väline jõud annab lineaarse kiirenduse a, annab välisjõu moment nurkkiirenduse ε.
Jõumomendi mõõtühik
Jõumomendi põhimõõt SI-süsteemi koordinaadis on: [M]=N m
GHS-is: [M] = din cm
Töö ja jõud pöörleval liikumisel
Töö lineaarses liikumises määratakse üldavaldisega,
aga pöörlevas liikumises,
ja järelikult
Kolme vektori segakorrutise omaduste põhjal saame kirjutada
Seetõttu oleme saanud avaldise jaoks töötage pöörleva liikumisega:
Võimsus pöörleval liikumisel:
Otsi jõu hetk, kehale alljärgnevatel joonistel näidatud olukordades. Oletame, et r = 1m ja F = 2N.
A) kuna vektorite r ja F vaheline nurk on 90°, siis sin(a)=1:
M = r F = 1m 2N = 2N m
b) kuna vektorite r ja F vaheline nurk on 0°, siis sin(a)=0:
M = 0
jah suunatud jõudu ei oska punkti anda pöörlev liikumine.
c) kuna vektorite r ja F vaheline nurk on 30°, siis sin(a)=0,5:
M = 0,5 r F = 1 N m.
Seega suunatud jõud põhjustab keha pöörlemine selle mõju on aga väiksem kui juhul a).
Jõumoment telje ümber
Oletame, et andmed on punkt O(poolus) ja võimsus P. Punktis O võtame ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi alguspunkti. Võimu hetk R pooluste suhtes O tähistab vektorit M alates (R), (pilt allpool) .
Ükskõik milline punkt A liinil P
on koordinaadid (xo, yo, zo).
Jõuvektor P
on koordinaadid Px, Py, Pz.
Kombineerimispunkt A (xo, yo, zo) süsteemi algusega saame vektori lk. Jõuvektori koordinaadid P
pooluse suhtes O tähistatud sümbolitega Mx, Minu, Mz.
Neid koordinaate saab arvutada antud determinandi miinimumidena, kus ( i, j, k) - ühikvektorid koordinaattelgedel (valikud): i, j, k
Pärast determinandi lahendamist on hetke koordinaadid võrdsed:
Momendivektori koordinaadid Mo (P) nimetatakse jõumomentideks vastava telje ümber. Näiteks jõumoment P telje suhtes Ozümbritseb mall:
Mz = Pyxo - Pxyo
Seda mustrit tõlgendatakse geomeetriliselt, nagu on näidatud alloleval joonisel.
Selle tõlgenduse põhjal jõumoment telje ümber Oz võib defineerida kui jõu projektsioonimomenti P
teljega risti Oz selle tasandi telje läbimispunkti suhtes. Jõu projektsioon P
on näidatud teljega risti Pxy
ja tasapinna läbitungimispunkt Oxy- telg OS sümbol O.
Ülaltoodud jõumomendi telje suhtes definitsioonist järeldub, et jõumoment telje suhtes on null, kui jõud ja telg on võrdsed, samal tasapinnal (kui jõud on paralleelne teljega või kui jõud lõikub teljega).
Kasutades valemeid Mx, Minu, Mz,
saame arvutada jõumomendi väärtuse P
punkti suhtes O ja määrake vektori vahelised nurgad M
ja süsteemi teljed:
Pöördemomendi märk:
pluss (+) - jõu pöörlemine ümber O-telje päripäeva,
miinus (-) — jõu pöörlemine ümber O-telje vastupäeva.
Hetk võimust jõu toimetasandi suvalise keskpunkti suhtes nimetatakse jõumooduli ja õla korrutist.
Õlg- lühim kaugus keskpunktist O jõu toimejooneni, kuid mitte jõu rakenduspunktini, sest jõu libisemise vektor.
Hetke märk:
Päripäeva - miinus, vastupäeva - pluss;
Jõumomenti saab väljendada vektorina. See on Gimleti reegli kohaselt tasapinnaga risti.
Kui tasapinnal paikneb mitu jõudu või jõudude süsteem, siis nende momentide algebraline summa annab meile Peaasi jõudude süsteemid.
Vaatleme jõumomenti telje ümber, arvutame jõumomenti Z-telje suhtes;
Projekteerime F-le XY;
F xy =F cosα= ab
m 0 (F xy) = m z (F), see tähendab, m z = F xy * h= F cosα* h
Jõumoment telje suhtes on võrdne selle projektsiooni momendiga teljega risti olevale tasapinnale telgede ja tasapinna ristumiskohas
Kui jõud on teljega paralleelne või lõikub sellega, siis m z (F)=0
Jõumomendi väljendamine vektoravaldisena
Joonistame r a punkti A. Vaatleme OA x F.
See on kolmas vektor m o, mis on tasandiga risti. Ristkorrutise suuruse saab arvutada varjutatud kolmnurga kahekordse pindala abil.
Jõu analüütiline väljendus koordinaattelgede suhtes.
Oletame, et Y ja Z, X teljed ühikvektoritega i, j, k on seotud punktiga O. Arvestades, et:
r x =X * Fx ; r y =Y * F y; r z =Z * F y saame: m o (F)=x =
Laiendame determinanti ja saame:
m x = YF z - ZF y
m y = ZF x - XF z
m z = XF y - YF x
Need valemid võimaldavad arvutada vektori momendi projektsiooni teljel ja seejärel vektori momendi enda.
Varignoni teoreem resultandi momendi kohta
Kui jõudude süsteemil on resultant, siis on selle moment mis tahes keskpunkti suhtes võrdne kõigi selle punktiga seotud jõudude momentide algebralise summaga
Kui rakendame Q= -R, siis süsteem (Q,F 1 ... F n) on võrdselt tasakaalus.
Suvalise keskpunkti hetkede summa on võrdne nulliga.
Tasapinnalise jõudude süsteemi analüütiline tasakaalutingimus
See on tasane jõudude süsteem, mille toimejooned asuvad samal tasapinnal
Seda tüüpi ülesannete arvutamise eesmärk on määrata välisühenduste reaktsioonid. Selleks kasutatakse põhivõrrandeid tasapinnalises jõudude süsteemis.
Võib kasutada 2 või 3 momendi võrrandit.
Näide
Loome võrrandi kõigi X- ja Y-telje jõudude summa kohta:
Kõigi punkti A suhtes mõjuvate jõudude momentide summa:
Paralleelsed jõud
Punkti A võrrand:
Punkti B võrrand:
Jõudude projektsioonide summa Y-teljel.
