Koordinaadid x ringil asuvad punktid on võrdsed cos(θ) ja koordinaatidega y vastavad sin(θ), kus θ on nurga suurus.
- Kui teil on raske seda reeglit meeles pidada, pidage meeles, et paaris (cos; sin) "siinus on viimane".
- Selle reegli saab tuletada, võttes arvesse täisnurkseid kolmnurki ja nende trigonomeetriliste funktsioonide definitsiooni (nurga siinus võrdub vastaskülje pikkuse ja külgneva külje koosinuse suhtega hüpotenuusiga).
Kirjutage ringi nelja punkti koordinaadid."Ühikring" on ring, mille raadius on võrdne ühega. Kasutage seda koordinaatide määramiseks x Ja y neljas koordinaattelgede ja ringjoone lõikepunktis. Selguse huvides määrasime ülalpool need punktid "ida", "põhja", "lääne" ja "lõuna", kuigi neil pole väljakujunenud nimesid.
- "Ida" vastab koordinaatidega punktile (1; 0) .
- "Põhja" vastab koordinaatidega punktile (0; 1) .
- "Lääs" vastab koordinaatidega punktile (-1; 0) .
- "Lõuna" vastab koordinaatidega punktile (0; -1) .
- See sarnaneb tavalise graafikuga, seega pole vaja neid väärtusi pähe õppida, piisab peamisest põhimõttest.
Pidage meeles esimese kvadrandi punktide koordinaate. Esimene kvadrant asub ringi paremas ülanurgas, kus on koordinaadid x Ja y võta positiivseid väärtusi. Need on ainsad koordinaadid, mida peate meeles pidama:
Joonistage sirgjooned ja määrake nende ja ringiga ristumispunktide koordinaadid. Kui tõmbate ühe kvadrandi punktidest sirged horisontaalsed ja vertikaalsed jooned, on nende joonte ja ringiga ristumispunktide teisel punktil koordinaadid x Ja y samade absoluutväärtustega, kuid erinevate märkidega. Teisisõnu saab esimese kvadrandi punktidest tõmmata horisontaalseid ja vertikaalseid jooni ning sildistada ringjoonega ristumispunktid samade koordinaatidega, kuid samal ajal jätta vasakule ruumi õige märgi jaoks ("+" või "-").
Koordinaatide märgi määramiseks kasutage sümmeetriareegleid. Märgi "-" asukoha määramiseks on mitu võimalust:
- Pidage meeles tavaliste diagrammide põhireegleid. Telg x negatiivne vasakul ja positiivne paremal. Telg y negatiivne alt ja positiivne ülevalt;
- alustage esimesest kvadrandist ja tõmmake jooned teistesse punktidesse. Kui joon ristub teljega y, koordineerida x muudab oma märki. Kui joon ristub teljega x, muutub koordinaadi märk y;
- pidage meeles, et esimeses kvadrandis on kõik funktsioonid positiivsed, teises kvadrandis on positiivne ainult siinus, kolmandas kvadrandis on positiivne ainult puutuja ja neljandas on positiivne ainult koosinus;
- Ükskõik millist meetodit kasutate, peaksite saama (+,+) esimesse kvadrandi, (-,+) teise, (-,-) kolmandasse ja (+,-) neljandasse.
Kontrollige, kas tegite vea. Allpool on täielik loetelu eripunktide koordinaatidest (välja arvatud neli punkti koordinaatide telgedel), kui liigute mööda ühikuringi vastupäeva. Pidage meeles, et kõigi nende väärtuste määramiseks piisab, kui meeles pidada punktide koordinaate ainult esimeses kvadrandis:
- esimene kvadrant:( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1) (2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1) (2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- teine kvadrant:( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1) (2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1) (2))));
- kolmas kvadrant:( − 3 2, − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1) (2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- neljas kvadrant:( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1) (2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1) (2)))).
Kui olete juba tuttav trigonomeetriline ring , ja soovite lihtsalt teatud elementide mälu värskendada või olete täiesti kannatamatu, siis siin see on:
Siin analüüsime kõike üksikasjalikult samm-sammult.
Trigonomeetriline ring ei ole luksus, vaid vajadus
Trigonomeetria
Paljud inimesed seostavad seda läbimatu tihnikuga. Järsku kuhjub nii palju trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi, nii palju valemeid... Aga see on nii, et alguses see ei õnnestunud ja... lähme... täielik arusaamatus...
Väga oluline on mitte alla anda trigonomeetriliste funktsioonide väärtused, - öeldakse, väärtuste tabeliga saab alati kannust vaadata.
Kui vaatate pidevalt trigonomeetriliste valemite väärtustega tabelit, siis vabaneme sellest harjumusest!
Ta aitab meid hädast välja! Töötate sellega mitu korda ja siis hüppab see teile pähe. Kuidas on see parem kui laud? Jah, tabelist leiate piiratud arvu väärtusi, kuid ringilt - KÕIK!
Näiteks öelge vaadates trigonomeetriliste valemite väärtuste standardtabel , milline on siinus, mis võrdub näiteks 300 kraadiga või -45.
Mitte mingil juhul?.. saate muidugi ühendada redutseerimisvalemid... Ja vaadates trigonomeetrilist ringi, saate sellistele küsimustele lihtsalt vastata. Ja varsti saate teada, kuidas!
Ja kui lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid ja võrratusi ilma trigonomeetrilise ringita, pole see absoluutselt mitte kuhugi.
Sissejuhatus trigonomeetrilisse ringi
Lähme järjekorras.
Kõigepealt kirjutame välja selle numbrite jada:
Ja nüüd see:
Ja lõpuks see:
Muidugi on selge, et tegelikult on esimesel kohal , teisel kohal ja viimasel kohal . See tähendab, et oleme ahela vastu rohkem huvitatud.
Aga kui ilus see välja tuli! Kui midagi juhtub, taastame selle "imeredeli".
Ja miks me seda vajame?
See ahel on siinuse ja koosinuse peamised väärtused esimeses kvartalis.
Joonistame ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ühikulise raadiusega ringi (st võtame pikkuseks suvalise raadiuse ja kuulutame selle pikkuse ühikuks).
"0-Start" talalt paneme nurgad alla noole suunas (vt joonist).
Ringil saame vastavad punktid. Seega, kui projitseerida punktid igale teljele, saame ülaltoodud ahelast täpselt väärtused.
Miks see nii on, küsite?
Ärme kõike analüüsime. Mõelgem põhimõte, mis võimaldab teil toime tulla teiste sarnaste olukordadega.
Kolmnurk AOB on ristkülikukujuline ja sisaldab . Ja me teame, et nurga b vastas asub pool hüpotenuusi suurusest jalg (meil on hüpotenuus = ringi raadius, see tähendab 1).
See tähendab AB= (ja seega OM=). Ja Pythagorase teoreemi järgi
Loodan, et midagi on juba selgeks saanud?
Nii et punkt B vastab väärtusele ja punkt M vastab väärtusele
Sama ka esimese kvartali teiste väärtustega.
Nagu aru saate, on tuttav telg (härg). koosinustelg ja telg (oy) – siinuste telg . Hiljem.
Piki koosinustelge nullist vasakul (alla nulli piki siinustelge) on loomulikult negatiivsed väärtused.
Niisiis, siin ta on, KÕIKVÕIMAS, ilma kelleta pole trigonomeetrias kusagil.
Kuid me räägime sellest, kuidas trigonomeetrilist ringi kasutada.
Trigonomeetria kui teadus sai alguse Vana-Idast. Esimesed trigonomeetrilised suhted tuletasid astronoomid, et luua täpne kalender ja tähtede orientatsioon. Need arvutused olid seotud sfäärilise trigonomeetriaga, samas kui koolikursuses uuritakse tasapinnalise kolmnurga külgede ja nurkade suhet.
Trigonomeetria on matemaatika haru, mis käsitleb trigonomeetriliste funktsioonide omadusi ning kolmnurkade külgede ja nurkade vahelisi seoseid.
Kultuuri ja teaduse õitseajal 1. aastatuhandel pKr levisid teadmised Vana-Idast Kreekasse. Kuid trigonomeetria peamised avastused on Araabia kalifaadi meeste teene. Eelkõige tutvustas Türkmenistani teadlane al-Marazwi selliseid funktsioone nagu puutuja ja kotangents ning koostas esimesed siinuste, puutujate ja kotangentide väärtuste tabelid. Siinuse ja koosinuse mõisted võtsid kasutusele India teadlased. Trigonomeetria pälvis palju tähelepanu selliste antiikaja suurkujude nagu Euclid, Archimedes ja Eratosthenes töödes.
Trigonomeetria põhisuurused
Numbriargumendi põhilised trigonomeetrilised funktsioonid on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Igal neist on oma graafik: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens.
Nende suuruste väärtuste arvutamise valemid põhinevad Pythagorase teoreemil. See on koolilastele paremini teada sõnastuses: "Pythagorase püksid on igas suunas võrdsed", kuna tõestus on esitatud võrdhaarse täisnurkse kolmnurga näitel.
Siinus, koosinus ja muud seosed loovad seose mis tahes täisnurkse kolmnurga teravnurkade ja külgede vahel. Anname valemid nende suuruste arvutamiseks nurga A jaoks ja jälgime trigonomeetriliste funktsioonide vahelisi seoseid:
Nagu näete, on tg ja ctg pöördfunktsioonid. Kui kujutleme jalga a patu A ja hüpotenuusi c korrutisena ning jalga b kui cos A * c, saame puutuja ja kotangensi jaoks järgmised valemid:
Trigonomeetriline ring
Graafiliselt saab nimetatud suuruste vahelist seost kujutada järgmiselt:
Ring tähistab sel juhul kõiki võimalikke nurga α väärtusi - 0° kuni 360°. Nagu jooniselt näha, saab iga funktsioon sõltuvalt nurgast negatiivse või positiivse väärtuse. Näiteks sin α on plussmärgiga, kui α kuulub ringi 1. ja 2. veerandisse, see tähendab, et see on vahemikus 0 ° kuni 180 °. α puhul 180° kuni 360° (III ja IV veerand) võib sin α olla ainult negatiivne väärtus.
Proovime koostada trigonomeetrilisi tabeleid kindlate nurkade jaoks ja saame teada suuruste tähenduse.
α väärtusi, mis on võrdne 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ja nii edasi, nimetatakse erijuhtumiteks. Nende trigonomeetriliste funktsioonide väärtused arvutatakse ja esitatakse spetsiaalsete tabelite kujul.
Neid nurki ei valitud juhuslikult. Tabelites on tähis π radiaanide jaoks. Rad on nurk, mille juures ringikaare pikkus vastab selle raadiusele. See väärtus võeti kasutusele universaalse sõltuvuse tuvastamiseks radiaanides arvutamisel, raadiuse tegelik pikkus cm-des ei oma tähtsust.
Nurgad trigonomeetriliste funktsioonide tabelites vastavad radiaani väärtustele:
Seega pole raske arvata, et 2π on täisring ehk 360°.
Trigonomeetriliste funktsioonide omadused: siinus ja koosinus
Siinuse ja koosinuse, puutuja ja kotangensi põhiomaduste käsitlemiseks ja võrdlemiseks on vaja joonistada nende funktsioonid. Seda saab teha kahemõõtmelises koordinaatsüsteemis paikneva kõvera kujul.
Mõelge siinuse ja koosinuse omaduste võrdlevale tabelile:
| Siinuslaine | Koosinus |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, kui x = πk, kus k ϵ Z | cos x = 0, kui x = π/2 + πk, kus k ϵ Z |
| sin x = 1, kui x = π/2 + 2πk, kus k ϵ Z | cos x = 1, kui x = 2πk, kus k ϵ Z |
| sin x = -1, x = 3π/2 + 2πk, kus k ϵ Z | cos x = - 1, kui x = π + 2πk, kus k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, st funktsioon on paaritu | cos (-x) = cos x, st funktsioon on paaris |
| funktsioon on perioodiline, väikseim periood on 2π | |
| sin x › 0, kusjuures x kuulub 1. ja 2. veerandisse või 0° kuni 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, kusjuures x kuulub I ja IV kvartalisse või 270° kuni 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, kusjuures x kuulub kolmandasse ja neljandasse veerandisse või 180° kuni 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, kusjuures x kuulub 2. ja 3. veerandisse või 90° kuni 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| suureneb intervallis [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | suureneb intervallil [-π + 2πk, 2πk] |
| väheneb intervallidega [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | väheneb intervallidega |
| tuletis (sin x)’ = cos x | tuletis (cos x)’ = - sin x |
Määrata, kas funktsioon on paaris või mitte, on väga lihtne. Piisab, kui kujutate ette trigonomeetrilist ringi trigonomeetriliste suuruste märkidega ja "voltige" graafik vaimselt OX-telje suhtes. Kui märgid langevad kokku, on funktsioon paaris, muidu paaritu.
Radiaanide kasutuselevõtt ning siinus- ja koosinuslainete põhiomaduste loetlemine võimaldab meil esitada järgmise mustri:
Valemi õigsust on väga lihtne kontrollida. Näiteks x = π/2 korral on siinus 1, nagu ka koosinus x = 0. Kontrolli saab teha tabelite abil või antud väärtuste funktsioonikõverate järgi.
Tangentsoidide ja kotangentsoidide omadused
Puutuja- ja kootangensfunktsioonide graafikud erinevad oluliselt siinus- ja koosinusfunktsioonidest. Väärtused tg ja ctg on üksteise pöördväärtused.
- Y = punakaspruun x.
- Puutuja kaldub y väärtustele x = π/2 + πk, kuid ei jõua kunagi nendeni.
- Tangentoidi väikseim positiivne periood on π.
- Tg (- x) = - tg x, st funktsioon on paaritu.
- Tg x = 0, kui x = πk.
- Funktsioon suureneb.
- Tg x › 0, kui x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, kui x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Tuletis (tg x)’ = 1/cos 2x.
Mõelge tekstis allpool oleva kotangentoidi graafilisele kujutisele.
Kotangentoidide peamised omadused:
- Y = võrevoodi x.
- Erinevalt siinus- ja koosinusfunktsioonidest võib tangentoidis Y võtta kõigi reaalarvude hulga väärtused.
- Kotangentoid kaldub y väärtustele x = πk, kuid ei jõua kunagi nendeni.
- Kotangentoidi väikseim positiivne periood on π.
- Ctg (- x) = - ctg x, st funktsioon on paaritu.
- Ctg x = 0, kui x = π/2 + πk.
- Funktsioon väheneb.
- Ctg x › 0, kui x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, kui x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Tuletis (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Õige
Trigonomeetriline ring. Üksuse ring. Numbriring. Mis see on?
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid sisse Eriosa 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")
Väga sageli terminid trigonomeetriline ring, ühikring, arvringõpilastele halvasti mõistetav. Ja täiesti asjata. Need kontseptsioonid on võimas ja universaalne abiline kõigis trigonomeetria valdkondades. Tegelikult on see juriidiline petuleht! Joonistasin trigonomeetrilise ringi ja nägin kohe vastuseid! Ahvatlev? Nii et õppigem, patt oleks sellist asja mitte kasutada. Pealegi pole see sugugi keeruline.
Trigonomeetrilise ringiga edukaks töötamiseks peate teadma ainult kolme asja.
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
