Η περιστροφική κίνηση γύρω από έναν σταθερό άξονα είναι μια άλλη ειδική περίπτωση κίνησης άκαμπτου σώματος.
Περιστροφική κίνηση άκαμπτου σώματος γύρω από σταθερό άξονα
ονομάζεται μια τέτοια κίνηση στην οποία όλα τα σημεία του σώματος περιγράφουν κύκλους, τα κέντρα των οποίων βρίσκονται στην ίδια ευθεία, που ονομάζεται άξονας περιστροφής, ενώ τα επίπεδα στα οποία ανήκουν αυτοί οι κύκλοι είναι κάθετα. άξονα περιστροφής
(Εικ.2.4).
Στην τεχνολογία, αυτός ο τύπος κίνησης συμβαίνει πολύ συχνά: για παράδειγμα, η περιστροφή των αξόνων των κινητήρων και των γεννητριών, των στροβίλων και των ελίκων αεροσκαφών.
Γωνιακή ταχύτητα
. Κάθε σημείο ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, κινείται σε κύκλο και διαφορετικά σημεία ταξιδεύουν διαφορετικά μονοπάτια με την πάροδο του χρόνου. Άρα, , άρα το μέτρο της σημειακής ταχύτητας ΕΝΑπερισσότερο από ένα σημείο ΣΕ (Εικ.2.5). Αλλά οι ακτίνες των κύκλων περιστρέφονται κατά την ίδια γωνία με την πάροδο του χρόνου. Γωνία - η γωνία μεταξύ του άξονα OHκαι διάνυσμα ακτίνας, που καθορίζει τη θέση του σημείου Α (βλ. Εικ. 2.5).
Αφήστε το σώμα να περιστρέφεται ομοιόμορφα, δηλαδή να περιστρέφεται κατά ίσες γωνίες σε οποιαδήποτε ίσα χρονικά διαστήματα. Η ταχύτητα περιστροφής ενός σώματος εξαρτάται από τη γωνία περιστροφής του διανύσματος ακτίνας, η οποία καθορίζει τη θέση ενός από τα σημεία του άκαμπτου σώματος για μια δεδομένη χρονική περίοδο. χαρακτηρίζεται γωνιακή ταχύτητα
.
Για παράδειγμα, εάν ένα σώμα περιστρέφεται κατά γωνία κάθε δευτερόλεπτο και το άλλο κατά γωνία, τότε λέμε ότι το πρώτο σώμα περιστρέφεται 2 φορές πιο γρήγορα από το δεύτερο.
Γωνιακή ταχύτητα σώματος κατά την ομοιόμορφη περιστροφή
είναι ένα μέγεθος ίσο με τον λόγο της γωνίας περιστροφής του σώματος προς τη χρονική περίοδο κατά την οποία συνέβη αυτή η περιστροφή.
Θα συμβολίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα με το ελληνικό γράμμα ω
(ωμέγα). Τότε εξ ορισμού
Η γωνιακή ταχύτητα εκφράζεται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (rad/s).
Για παράδειγμα, η γωνιακή ταχύτητα της περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της είναι 0,0000727 rad/s, και αυτή ενός δίσκου λείανσης είναι περίπου 140 rad/s 1 .
Η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να εκφραστεί μέσω Ταχύτητα περιστροφής
, δηλαδή ο αριθμός των πλήρων περιστροφών σε 1s. Εάν ένα σώμα κάνει (ελληνικό γράμμα «nu») στροφές σε 1s, τότε ο χρόνος μιας περιστροφής είναι ίσος με δευτερόλεπτα. Αυτή η ώρα ονομάζεται περίοδος εναλλαγής
και συμβολίζεται με το γράμμα Τ. Έτσι, η σχέση μεταξύ συχνότητας και περιόδου περιστροφής μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
Μια πλήρης περιστροφή του σώματος αντιστοιχεί σε μια γωνία. Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (2.1)
Εάν κατά την ομοιόμορφη περιστροφή η γωνιακή ταχύτητα είναι γνωστή και την αρχική χρονική στιγμή η γωνία περιστροφής είναι , τότε η γωνία περιστροφής του σώματος κατά τη διάρκεια του χρόνου tσύμφωνα με την εξίσωση (2.1) ισούται με:
Αν , τότε , ή 
.
Η γωνιακή ταχύτητα παίρνει θετικές τιμές εάν η γωνία μεταξύ του διανύσματος ακτίνας, που καθορίζει τη θέση ενός από τα σημεία του άκαμπτου σώματος, και του άξονα OHαυξάνεται και αρνητικό όταν μειώνεται.
Έτσι, μπορούμε να περιγράψουμε τη θέση των σημείων ενός περιστρεφόμενου σώματος ανά πάσα στιγμή.
Σχέση γραμμικών και γωνιακών ταχυτήτων.
Η ταχύτητα ενός σημείου που κινείται σε κύκλο ονομάζεται συχνά γραμμική ταχύτητα
, για να τονιστεί η διαφορά του από τη γωνιακή ταχύτητα.
Έχουμε ήδη σημειώσει ότι όταν ένα άκαμπτο σώμα περιστρέφεται, τα διαφορετικά σημεία του έχουν άνισες γραμμικές ταχύτητες, αλλά η γωνιακή ταχύτητα είναι ίδια για όλα τα σημεία.
Υπάρχει σχέση μεταξύ της γραμμικής ταχύτητας οποιουδήποτε σημείου ενός περιστρεφόμενου σώματος και της γωνιακής του ταχύτητας. Ας το εγκαταστήσουμε. Ένα σημείο που βρίσκεται σε έναν κύκλο ακτίνας R, θα καλύψει την απόσταση σε μία περιστροφή. Δεδομένου ότι ο χρόνος μιας περιστροφής ενός σώματος είναι μια περίοδος Τ, τότε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου μπορεί να βρεθεί ως εξής:
Όταν περιγράφουμε την κίνηση ενός σημείου κατά μήκος ενός κύκλου, θα χαρακτηρίσουμε την κίνηση του σημείου από τη γωνία Δφ , που περιγράφει το διάνυσμα ακτίνας ενός σημείου με την πάροδο του χρόνου Δt. Γωνιακή μετατόπιση σε απειροελάχιστο χρονικό διάστημα dtσυμβολίζεται με dφ.
Η γωνιακή μετατόπιση είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Η κατεύθυνση του διανύσματος (ή ) καθορίζεται από τον κανόνα του τεμαχίου: αν περιστρέψετε το διάνυσμα (βίδα με ένα δεξιό σπείρωμα) προς την κατεύθυνση της κίνησης του σημείου, το διάνυσμα θα κινηθεί προς την κατεύθυνση του διανύσματος γωνιακής μετατόπισης. Στο Σχ. 14 σημείο M κινείται δεξιόστροφα αν κοιτάξετε το επίπεδο κίνησης από κάτω. Εάν στρίψετε το διάνυσμα προς αυτή την κατεύθυνση, το διάνυσμα θα κατευθυνθεί προς τα πάνω.
Έτσι, η κατεύθυνση του διανύσματος γωνιακής μετατόπισης καθορίζεται από την επιλογή της θετικής φοράς περιστροφής. Η θετική φορά περιστροφής καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού σπειρώματος. Ωστόσο, με την ίδια επιτυχία θα μπορούσε κανείς να πάρει ένα gimlet με ένα αριστερό νήμα. Σε αυτή την περίπτωση, η κατεύθυνση του διανύσματος γωνιακής μετατόπισης θα ήταν αντίθετη.
Όταν εξετάζουμε μεγέθη όπως η ταχύτητα, η επιτάχυνση, το διάνυσμα μετατόπισης, δεν προέκυψε το ζήτημα της επιλογής της κατεύθυνσης τους: προσδιορίστηκε φυσικά από τη φύση των ίδιων των ποσοτήτων. Τέτοια διανύσματα ονομάζονται πολικά. Τα διανύσματα παρόμοια με το διάνυσμα γωνιακής μετατόπισης ονομάζονται αξονικός,ή ψευδοφορείς. Η κατεύθυνση του αξονικού διανύσματος προσδιορίζεται επιλέγοντας τη θετική φορά περιστροφής. Επιπλέον, το αξονικό διάνυσμα δεν έχει σημείο εφαρμογής. Πολικοί φορείς, που εξετάσαμε μέχρι τώρα, εφαρμόζονται σε ένα κινούμενο σημείο. Για ένα αξονικό διάνυσμα, μπορείτε να υποδείξετε μόνο την κατεύθυνση (άξονας, άξονας - Λατινικά) κατά μήκος της οποίας κατευθύνεται. Ο άξονας κατά μήκος του οποίου κατευθύνεται το διάνυσμα γωνιακής μετατόπισης είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής. Συνήθως, το διάνυσμα γωνιακής μετατόπισης σχεδιάζεται σε έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου (Εικ. 14), αν και μπορεί να σχεδιαστεί οπουδήποτε, συμπεριλαμβανομένου ενός άξονα που διέρχεται από το εν λόγω σημείο.
Στο σύστημα SI, οι γωνίες μετρώνται σε ακτίνια. Ακτίνιο είναι μια γωνία της οποίας το μήκος τόξου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Έτσι, η συνολική γωνία (360 0) είναι 2π ακτίνια.
Κίνηση σημείου σε κύκλο
Γωνιακή ταχύτητα– διανυσματική ποσότητα, αριθμητικά ίση με τη γωνία περιστροφής ανά μονάδα χρόνου. Η γωνιακή ταχύτητα συνήθως συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα ω. Εξ ορισμού, η γωνιακή ταχύτητα είναι η παράγωγος μιας γωνίας ως προς το χρόνο:
. (19)
Η κατεύθυνση του διανύσματος γωνιακής ταχύτητας συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος γωνιακής μετατόπισης (Εικ. 14). Το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας, όπως και το διάνυσμα γωνιακής μετατόπισης, είναι ένα αξονικό διάνυσμα.
Η διάσταση της γωνιακής ταχύτητας είναι rad/s.
Η περιστροφή με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ονομάζεται ομοιόμορφη, με ω = φ/t.
Η ομοιόμορφη περιστροφή μπορεί να χαρακτηριστεί από την περίοδο περιστροφής Τ, η οποία νοείται ως ο χρόνος κατά τον οποίο το σώμα κάνει μία περιστροφή, δηλαδή περιστρέφεται κατά γωνία 2π. Εφόσον το χρονικό διάστημα Δt = T αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής Δφ = 2π, τότε
(20)
Ο αριθμός των στροφών ανά μονάδα χρόνου ν είναι προφανώς ίσος με:
(21)
Η τιμή του ν μετριέται σε Hertz (Hz). Ένα hertz είναι μία περιστροφή ανά δευτερόλεπτο, ή 2π rad/s.
Οι έννοιες της περιόδου περιστροφής και του αριθμού των περιστροφών ανά μονάδα χρόνου μπορούν επίσης να διατηρηθούν για ανομοιόμορφη περιστροφή, κατανοώντας από τη στιγμιαία τιμή T τον χρόνο κατά τον οποίο το σώμα θα έκανε μία περιστροφή εάν περιστρεφόταν ομοιόμορφα με μια δεδομένη στιγμιαία τιμή της γωνιακής ταχύτητας, και με το ν σημαίνει τον αριθμό των περιστροφών που θα έκανε ένα σώμα ανά μονάδα χρόνου υπό παρόμοιες συνθήκες.
Εάν η γωνιακή ταχύτητα μεταβάλλεται με το χρόνο, τότε η περιστροφή ονομάζεται ανομοιόμορφη. Σε αυτή την περίπτωση εισάγετε γωνιώδης επιτάχυνσημε τον ίδιο τρόπο που εισήχθη η γραμμική επιτάχυνση για την ευθύγραμμη κίνηση. Η γωνιακή επιτάχυνση είναι η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας ανά μονάδα χρόνου, που υπολογίζεται ως η παράγωγος της γωνιακής ταχύτητας ως προς το χρόνο ή η δεύτερη παράγωγος της γωνιακής μετατόπισης ως προς το χρόνο:
(22)
Ακριβώς όπως η γωνιακή ταχύτητα, η γωνιακή επιτάχυνση είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Το διάνυσμα γωνιακής επιτάχυνσης είναι ένα αξονικό διάνυσμα, στην περίπτωση επιταχυνόμενης περιστροφής κατευθύνεται προς την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας (Εικ. 14). Στην περίπτωση αργής περιστροφής, το διάνυσμα γωνιακής επιτάχυνσης κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας.
Με ομοιόμορφα μεταβλητή περιστροφική κίνηση, λαμβάνουν χώρα σχέσεις παρόμοιες με τους τύπους (10) και (11), οι οποίοι περιγράφουν ομοιόμορφα μεταβλητή ευθύγραμμη κίνηση:
ω = ω 0 ± εt,
.
Η κυκλική κίνηση είναι μια ειδική περίπτωση καμπυλόγραμμης κίνησης. Η ταχύτητα ενός σώματος σε οποιοδήποτε σημείο μιας καμπυλόγραμμης τροχιάς κατευθύνεται εφαπτομενικά σε αυτό (Εικ. 2.1). Σε αυτή την περίπτωση, η ταχύτητα ως διάνυσμα μπορεί να αλλάξει τόσο σε μέγεθος (μέγεθος) όσο και σε κατεύθυνση. Εάν η μονάδα ταχύτητας 
παραμένει αμετάβλητο, τότε μιλάμε για ομοιόμορφη καμπυλόγραμμη κίνηση.
Αφήστε ένα σώμα να κινηθεί σε κύκλο με σταθερή ταχύτητα από το σημείο 1 στο σημείο 2.
Σε αυτή την περίπτωση, το σώμα θα διανύσει μια διαδρομή ίση με το μήκος του τόξου ℓ 12 μεταξύ των σημείων 1 και 2 σε χρόνο t. Ταυτόχρονα, το διάνυσμα ακτίνας R που σύρεται από το κέντρο του κύκλου 0 προς το σημείο θα περιστρέφεται κατά μια γωνία Δφ.
Το διάνυσμα ταχύτητας στο σημείο 2 διαφέρει από το διάνυσμα ταχύτητας στο σημείο 1 κατά κατεύθυνσημε την τιμή ΔV:
;
Για να χαρακτηρίσουμε την αλλαγή στο διάνυσμα της ταχύτητας με την τιμή δv, εισάγουμε την επιτάχυνση:
(2.4)
Διάνυσμα 
σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς που κατευθύνεται κατά μήκος της ακτίνας Rк κέντροκύκλος κάθετος στο διάνυσμα της ταχύτητας V 2. Επομένως η επιτάχυνση 
, που χαρακτηρίζει τη μεταβολή της ταχύτητας κατά την καμπυλόγραμμη κίνηση 
στην κατεύθυνση ονομάζεται κεντρομόλος ή κανονικός. Έτσι, η κίνηση ενός σημείου κατά μήκος ενός κύκλου με σταθερή απόλυτη ταχύτητα είναι επιταχύνθηκε.
Αν η ταχύτητα 
αλλάζει όχι μόνο ως προς την κατεύθυνση, αλλά και στο μέτρο (μέγεθος), στη συνέχεια εκτός από την κανονική επιτάχυνση 
εισάγουν επίσης εφαπτομένη (εφαπτομένη)επιτάχυνση 
, που χαρακτηρίζει τη μεταβολή της ταχύτητας σε μέγεθος:
ή 
Κατευθυνόμενο διάνυσμα 
κατά μήκος μιας εφαπτομένης σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς (δηλαδή συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος 
). Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων 
Και 
ισούται με 90 0.
Η συνολική επιτάχυνση ενός σημείου που κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης διαδρομής ορίζεται ως διανυσματικό άθροισμα (Εικ. 2.1.).
.
Διάνυσμα ενότητα 
.
Γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση
Όταν ένα υλικό σημείο κινείται περιφερειακάΤο διάνυσμα ακτίνας R, σχεδιασμένο από το κέντρο του κύκλου O προς το σημείο, περιστρέφεται κατά γωνία Δφ (Εικ. 2.1). Για τον χαρακτηρισμό της περιστροφής, εισάγονται οι έννοιες της γωνιακής ταχύτητας ω και της γωνιακής επιτάχυνσης ε.
Η γωνία φ μπορεί να μετρηθεί σε ακτίνια. 1 radείναι ίση με τη γωνία που στηρίζεται στο τόξο ℓ ίση με την ακτίνα R του κύκλου, δηλ.
ή ℓ
12
=
Rφ
(2.5.)
Ας διαφοροποιήσουμε την εξίσωση (2.5.)
(2.6.)
Τιμή dℓ/dt=V στιγμιαία. Λέγεται η ποσότητα ω =dφ/dt γωνιακή ταχύτητα(μετριέται σε rad/s). Ας πάρουμε τη σχέση μεταξύ γραμμικών και γωνιακών ταχυτήτων:
Η ποσότητα ω είναι διάνυσμα. Διάνυσμα κατεύθυνση 
προσδιορίζεται κανόνας βίδας: συμπίπτει με τη φορά κίνησης της βίδας, προσανατολισμένη κατά τον άξονα περιστροφής ενός σημείου ή σώματος και περιστρεφόμενη κατά τη φορά περιστροφής του σώματος (Εικ. 2.2), δηλ. 
.
Γωνιώδης επιτάχυνση
ονομάζεται παράγωγος διανυσματικής ποσότητας της γωνιακής ταχύτητας (στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση)
,
(2.8.)
Διάνυσμα 
συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής και κατευθύνεται στην ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα 
, εάν η περιστροφή επιταχύνεται και προς την αντίθετη κατεύθυνση εάν η περιστροφή είναι αργή.
Ταχύτηταnσώματα ανά μονάδα χρόνου λέγονταιΤαχύτητα περιστροφής .
Ο χρόνος Τ για μια πλήρη περιστροφή του σώματος ονομάζεταιπερίοδος εναλλαγής . ΕνRπεριγράφει τη γωνία Δφ=2π ακτίνια
Με αυτό που λέγεται
,
(2.9)
Η εξίσωση (2.8) μπορεί να γραφτεί ως εξής:
(2.10)
Στη συνέχεια η εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης
και =R(2.11)
Η κανονική επιτάχυνση a n μπορεί να εκφραστεί ως εξής:
λαμβάνοντας υπόψη τα (2.7) και (2.9)
(2.12)
Μετά πλήρης επιτάχυνση.
Για περιστροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση , μπορούμε να γράψουμε την κινηματική εξίσωση κατ' αναλογία με την εξίσωση (2.1) – (2.3) για μεταφορική κίνηση:
,
.
1.Ομοιόμορφη κίνηση σε κύκλο
2. Γωνιακή ταχύτητα περιστροφικής κίνησης.
3. Περίοδος εναλλαγής.
4. Ταχύτητα περιστροφής.
5. Σχέση γραμμικής ταχύτητας και γωνιακής ταχύτητας.
6.Κεντρομόλος επιτάχυνση.
7. Εξίσου εναλλασσόμενη κίνηση σε κύκλο.
8. Γωνιακή επιτάχυνση σε ομοιόμορφη κυκλική κίνηση.
9. Εφαπτομενική επιτάχυνση.
10. Νόμος ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης σε κύκλο.
11. Μέση γωνιακή ταχύτητα σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση σε κύκλο.
12. Τύποι που καθορίζουν τη σχέση μεταξύ γωνιακής ταχύτητας, γωνιακής επιτάχυνσης και γωνίας περιστροφής σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση σε κύκλο.
1.Ομοιόμορφη κίνηση γύρω από έναν κύκλο– κίνηση κατά την οποία ένα υλικό σημείο διέρχεται ίσα τμήματα κυκλικού τόξου σε ίσα χρονικά διαστήματα, δηλ. το σημείο κινείται κυκλικά με σταθερή απόλυτη ταχύτητα. Στην περίπτωση αυτή, η ταχύτητα είναι ίση με την αναλογία του τόξου ενός κύκλου που διανύει το σημείο προς το χρόνο κίνησης, δηλ.
και ονομάζεται γραμμική ταχύτητα κίνησης σε κύκλο.
Όπως και στην καμπυλόγραμμη κίνηση, το διάνυσμα της ταχύτητας κατευθύνεται εφαπτομενικά στον κύκλο προς την κατεύθυνση της κίνησης (Εικ. 25).
2. Γωνιακή ταχύτητα σε ομοιόμορφη κυκλική κίνηση– λόγος της γωνίας περιστροφής της ακτίνας προς το χρόνο περιστροφής:
Σε ομοιόμορφη κυκλική κίνηση, η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή. Στο σύστημα SI, η γωνιακή ταχύτητα μετριέται σε (rad/s). Ένα ακτίνιο - ένα rad είναι η κεντρική γωνία που υποτάσσει ένα τόξο ενός κύκλου με μήκος ίσο με την ακτίνα. Μια πλήρης γωνία περιέχει ακτίνια, δηλ. ανά περιστροφή η ακτίνα περιστρέφεται κατά γωνία ακτίνων.
3. Περίοδος εναλλαγής– χρονικό διάστημα T κατά το οποίο ένα υλικό σημείο κάνει μια πλήρη περιστροφή. Στο σύστημα SI, η περίοδος μετριέται σε δευτερόλεπτα.
4. Συχνότητα περιστροφής– ο αριθμός των περιστροφών που έγιναν σε ένα δευτερόλεπτο. Στο σύστημα SI, η συχνότητα μετριέται σε Hertz (1Hz = 1). Ένα hertz είναι η συχνότητα με την οποία ολοκληρώνεται μια περιστροφή σε ένα δευτερόλεπτο. Είναι εύκολο να το φανταστεί κανείς
Αν κατά τη διάρκεια του χρόνου t ένα σημείο κάνει n στροφές γύρω από έναν κύκλο τότε .
Γνωρίζοντας την περίοδο και τη συχνότητα περιστροφής, η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
5 Σχέση γραμμικής ταχύτητας και γωνιακής ταχύτητας. Το μήκος ενός τόξου ενός κύκλου είναι ίσο με το πού είναι η κεντρική γωνία, εκφρασμένη σε ακτίνια, η ακτίνα του κύκλου που υποκλίνει το τόξο. Τώρα γράφουμε τη γραμμική ταχύτητα στη φόρμα
Συχνά είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τους τύπους: ή Η γωνιακή ταχύτητα ονομάζεται συχνά κυκλική συχνότητα και η συχνότητα ονομάζεται γραμμική συχνότητα.
6. Κεντρομόλος επιτάχυνση. Σε ομοιόμορφη κίνηση γύρω από έναν κύκλο, η μονάδα ταχύτητας παραμένει αμετάβλητη, αλλά η κατεύθυνσή της αλλάζει συνεχώς (Εικ. 26). Αυτό σημαίνει ότι ένα σώμα που κινείται ομοιόμορφα σε κύκλο παρουσιάζει επιτάχυνση, η οποία κατευθύνεται προς το κέντρο και ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχυνση.
Έστω μια απόσταση ίση με ένα τόξο κύκλου σε μια χρονική περίοδο. Ας μετακινήσουμε το διάνυσμα, αφήνοντάς το παράλληλο με τον εαυτό του, ώστε η αρχή του να συμπίπτει με την αρχή του διανύσματος στο σημείο Β. Ο συντελεστής μεταβολής της ταχύτητας είναι ίσος με και ο συντελεστής κεντρομόλου επιτάχυνσης ίσος
Στο Σχ. 26, τα τρίγωνα AOB και DVS είναι ισοσκελές και οι γωνίες στις κορυφές O και B είναι ίσες, όπως και οι γωνίες με αμοιβαία κάθετες πλευρές AO και OB. Αυτό σημαίνει ότι τα τρίγωνα AOB και DVS είναι παρόμοια. Επομένως, εάν, δηλαδή, το χρονικό διάστημα λάβει αυθαίρετα μικρές τιμές, τότε το τόξο μπορεί να θεωρηθεί περίπου ίσο με τη χορδή ΑΒ, δηλ. . Επομένως, μπορούμε να γράψουμε Θεωρώντας ότι VD = , OA = R λαμβάνουμε Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της τελευταίας ισότητας με , λαμβάνουμε περαιτέρω την έκφραση για το συντελεστή κεντρομόλου επιτάχυνσης σε ομοιόμορφη κίνηση σε κύκλο: . Λαμβάνοντας υπόψη ότι έχουμε δύο τύπους που χρησιμοποιούνται συχνά:
Έτσι, σε ομοιόμορφη κίνηση γύρω από έναν κύκλο, η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι σταθερή σε μέγεθος.
Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι στο όριο υπό γωνία . Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες στη βάση του DS του τριγώνου ICE τείνουν στην τιμή , και το διάνυσμα αλλαγής ταχύτητας γίνεται κάθετο στο διάνυσμα ταχύτητας, δηλ. κατευθύνεται ακτινικά προς το κέντρο του κύκλου.
7. Εξίσου εναλλασσόμενη κυκλική κίνηση– κυκλική κίνηση κατά την οποία η γωνιακή ταχύτητα μεταβάλλεται κατά το ίδιο ποσό σε ίσα χρονικά διαστήματα.
8. Γωνιακή επιτάχυνση σε ομοιόμορφη κυκλική κίνηση– ο λόγος της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας προς το χρονικό διάστημα κατά το οποίο συνέβη αυτή η αλλαγή, δηλ.
όπου η αρχική τιμή της γωνιακής ταχύτητας, η τελική τιμή της γωνιακής ταχύτητας, η γωνιακή επιτάχυνση, στο σύστημα SI μετράται σε . Από την τελευταία ισότητα παίρνουμε τύπους για τον υπολογισμό της γωνιακής ταχύτητας
Κι αν .
Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές αυτών των ισοτήτων με και λαμβάνοντας υπόψη ότι , είναι η εφαπτομενική επιτάχυνση, δηλ. επιτάχυνση που κατευθύνεται εφαπτομενικά στον κύκλο, λαμβάνουμε τύπους για τον υπολογισμό της γραμμικής ταχύτητας:
Κι αν .
9. Επιτάχυνση κατά την εφαπτομένηαριθμητικά ίση με τη μεταβολή της ταχύτητας ανά μονάδα χρόνου και κατευθυνόμενη κατά μήκος της εφαπτομένης στον κύκλο. Αν >0, >0, τότε η κίνηση επιταχύνεται ομοιόμορφα. Αν<0 и <0 – движение.
10. Νόμος ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης σε κύκλο. Η διαδρομή που διανύθηκε γύρω από έναν κύκλο στο χρόνο σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση υπολογίζεται από τον τύπο:
Αντικαθιστώντας το , και μειώνοντας με , παίρνουμε τον νόμο της ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης σε κύκλο:
Ή αν.
Εάν η κίνηση είναι ομοιόμορφα αργή, π.χ.<0, то
11.Ολική επιτάχυνση σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση. Σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση σε κύκλο, η κεντρομόλος επιτάχυνση αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου, επειδή Λόγω της εφαπτομενικής επιτάχυνσης, η γραμμική ταχύτητα αυξάνεται. Πολύ συχνά, η κεντρομόλος επιτάχυνση ονομάζεται κανονική και συμβολίζεται ως. Δεδομένου ότι η συνολική επιτάχυνση σε μια δεδομένη στιγμή καθορίζεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα (Εικ. 27).
12. Μέση γωνιακή ταχύτητα σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση σε κύκλο. Η μέση γραμμική ταχύτητα σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση σε κύκλο είναι ίση με . Αντικαθιστώντας εδώ και και μειώνοντας κατά παίρνουμε
Αν τότε.
12. Τύποι που καθορίζουν τη σχέση μεταξύ γωνιακής ταχύτητας, γωνιακής επιτάχυνσης και γωνίας περιστροφής σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση σε κύκλο.
Αντικαθιστώντας τις ποσότητες , , , , στον τύπο
και μειώνοντας κατά , παίρνουμε
Διάλεξη-4. Δυναμική.
1. Δυναμική
2. Αλληλεπίδραση σωμάτων.
3. Αδράνεια. Η αρχή της αδράνειας.
4. Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα.
5. Ελεύθερο υλικό σημείο.
6. Αδρανειακό σύστημα αναφοράς.
7. Μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς.
8. Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου.
9. Γαλιλαίοι μετασχηματισμοί.
11. Προσθήκη δυνάμεων.
13. Πυκνότητα ουσιών.
14. Κέντρο μάζας.
15. Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα.
16. Μονάδα δύναμης.
17. Τρίτος νόμος του Νεύτωνα
1. Δυναμικήυπάρχει ένας κλάδος της μηχανικής που μελετά τη μηχανική κίνηση, ανάλογα με τις δυνάμεις που προκαλούν αλλαγή σε αυτή την κίνηση.
2.Αλληλεπιδράσεις σωμάτων. Τα σώματα μπορούν να αλληλεπιδράσουν τόσο σε άμεση επαφή όσο και σε απόσταση μέσω ενός ειδικού τύπου ύλης που ονομάζεται φυσικό πεδίο.
Για παράδειγμα, όλα τα σώματα έλκονται μεταξύ τους και αυτή η έλξη πραγματοποιείται μέσω του βαρυτικού πεδίου και οι δυνάμεις έλξης ονομάζονται βαρυτικές.
Τα σώματα που φέρουν ηλεκτρικό φορτίο αλληλεπιδρούν μέσω ενός ηλεκτρικού πεδίου. Τα ηλεκτρικά ρεύματα αλληλεπιδρούν μέσω ενός μαγνητικού πεδίου. Αυτές οι δυνάμεις ονομάζονται ηλεκτρομαγνητικές.
Τα στοιχειώδη σωματίδια αλληλεπιδρούν μέσω πυρηνικών πεδίων και αυτές οι δυνάμεις ονομάζονται πυρηνικές.
3.Αδράνεια. Τον 4ο αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. Ο Έλληνας φιλόσοφος Αριστοτέλης υποστήριξε ότι η αιτία της κίνησης ενός σώματος είναι η δύναμη που ασκείται από άλλο σώμα ή σώματα. Ταυτόχρονα, σύμφωνα με την κίνηση του Αριστοτέλη, μια σταθερή δύναμη προσδίδει σταθερή ταχύτητα στο σώμα και, με τη διακοπή της δράσης της δύναμης, η κίνηση σταματά.
Τον 16ο αιώνα Ο Ιταλός φυσικός Galileo Galilei, πραγματοποιώντας πειράματα με σώματα που κυλούν σε κεκλιμένο επίπεδο και με σώματα που πέφτουν, έδειξε ότι μια σταθερή δύναμη (σε αυτή την περίπτωση, το βάρος ενός σώματος) προσδίδει επιτάχυνση στο σώμα.
Έτσι, με βάση πειράματα, ο Γαλιλαίος έδειξε ότι η δύναμη είναι η αιτία της επιτάχυνσης των σωμάτων. Ας παρουσιάσουμε το σκεπτικό του Galileo. Αφήστε μια πολύ λεία μπάλα να κυλήσει κατά μήκος ενός λείου οριζόντιου επιπέδου. Εάν τίποτα δεν παρεμβαίνει στη μπάλα, τότε μπορεί να κυλήσει για όσο χρόνο θέλετε. Αν χυθεί ένα λεπτό στρώμα άμμου στο μονοπάτι της μπάλας, θα σταματήσει πολύ σύντομα, γιατί επηρεάστηκε από τη δύναμη τριβής της άμμου.
Έτσι, ο Γαλιλαίος κατέληξε στη διατύπωση της αρχής της αδράνειας, σύμφωνα με την οποία ένα υλικό σώμα διατηρεί μια κατάσταση ηρεμίας ή ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση, εάν δεν ενεργούν πάνω του εξωτερικές δυνάμεις. Αυτή η ιδιότητα της ύλης ονομάζεται συχνά αδράνεια και η κίνηση ενός σώματος χωρίς εξωτερικές επιρροές ονομάζεται κίνηση με αδράνεια.
4. Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα. Το 1687, με βάση την αρχή της αδράνειας του Γαλιλαίου, ο Νεύτων διατύπωσε τον πρώτο νόμο της δυναμικής - τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα:
Ένα υλικό σημείο (σώμα) βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας ή ομοιόμορφης γραμμικής κίνησης εάν άλλα σώματα δεν ενεργούν πάνω του ή οι δυνάμεις που δρουν από άλλα σώματα είναι ισορροπημένες, δηλ. αποζημιωθεί.
5.Δωρεάν υλικό σημείο- ένα υλικό σημείο που δεν επηρεάζεται από άλλους φορείς. Μερικές φορές λένε - ένα απομονωμένο υλικό σημείο.
6. Αδρανειακό σύστημα αναφοράς (IRS)– σύστημα αναφοράς σε σχέση με το οποίο ένα απομονωμένο υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα και ομοιόμορφα ή βρίσκεται σε ηρεμία.
Κάθε σύστημα αναφοράς που κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα σε σχέση με το ISO είναι αδρανειακό,
Ας δώσουμε μια άλλη διατύπωση του πρώτου νόμου του Νεύτωνα: Υπάρχουν συστήματα αναφοράς σχετικά με τα οποία ένα ελεύθερο υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα και ομοιόμορφα ή βρίσκεται σε ηρεμία. Τέτοια συστήματα αναφοράς ονομάζονται αδρανειακά. Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα ονομάζεται συχνά νόμος της αδράνειας.
Στον πρώτο νόμο του Νεύτωνα μπορεί επίσης να δοθεί η ακόλουθη διατύπωση: κάθε υλικό σώμα αντιστέκεται σε μια αλλαγή στην ταχύτητά του. Αυτή η ιδιότητα της ύλης ονομάζεται αδράνεια.
Εκδηλώσεις αυτού του νόμου συναντάμε καθημερινά στις αστικές συγκοινωνίες. Όταν το λεωφορείο ανεβάζει ταχύτητα ξαφνικά, πιέζουμε την πλάτη του καθίσματος. Όταν το λεωφορείο επιβραδύνει, το σώμα μας γλιστρά προς την κατεύθυνση του λεωφορείου.
7. Μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς –ένα σύστημα αναφοράς που κινείται άνισα σε σχέση με το ISO.
Ένα σώμα που, σε σχέση με το ISO, βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας ή ομοιόμορφης γραμμικής κίνησης. Κινείται άνισα σε σχέση με ένα μη αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς.
Οποιοδήποτε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς είναι ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς, επειδή σε αυτό το σύστημα το σώμα βιώνει κεντρομόλο επιτάχυνση.
Δεν υπάρχουν φορείς στη φύση ή στην τεχνολογία που θα μπορούσαν να λειτουργήσουν ως ISO. Για παράδειγμα, η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της και οποιοδήποτε σώμα στην επιφάνειά της βιώνει κεντρομόλο επιτάχυνση. Ωστόσο, για αρκετά σύντομα χρονικά διαστήματα, το σύστημα αναφοράς που σχετίζεται με την επιφάνεια της Γης μπορεί, σε κάποια προσέγγιση, να θεωρηθεί ISO.
8.Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου.Το ISO μπορεί να είναι όσο αλάτι θέλετε. Επομένως, τίθεται το ερώτημα: πώς μοιάζουν τα ίδια μηχανικά φαινόμενα σε διαφορετικά ISO; Είναι δυνατόν, χρησιμοποιώντας μηχανικά φαινόμενα, να ανιχνεύσουμε την κίνηση του ISO στο οποίο παρατηρούνται.
Η απάντηση σε αυτά τα ερωτήματα δίνεται από την αρχή της σχετικότητας της κλασικής μηχανικής, που ανακάλυψε ο Γαλιλαίος.
Η έννοια της αρχής της σχετικότητας της κλασικής μηχανικής είναι η δήλωση: όλα τα μηχανικά φαινόμενα εξελίσσονται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς.
Αυτή η αρχή μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Όλοι οι νόμοι της κλασικής μηχανικής εκφράζονται με τους ίδιους μαθηματικούς τύπους. Με άλλα λόγια, κανένα μηχανικό πείραμα δεν θα μας βοηθήσει να ανιχνεύσουμε την κίνηση του ISO. Αυτό σημαίνει ότι η προσπάθεια ανίχνευσης της κίνησης ISO δεν έχει νόημα.
Συναντήσαμε την εκδήλωση της αρχής της σχετικότητας ταξιδεύοντας με τρένα. Τη στιγμή που το τρένο μας στέκεται στο σταθμό, και το τρένο που στέκεται στη διπλανή γραμμή αρχίζει σιγά-σιγά να κινείται, τότε τις πρώτες στιγμές μας φαίνεται ότι το τρένο μας κινείται. Συμβαίνει όμως και το αντίστροφο, όταν το τρένο μας ανεβάζει ομαλά ταχύτητα, μας φαίνεται ότι το γειτονικό τρένο έχει αρχίσει να κινείται.
Στο παραπάνω παράδειγμα, η αρχή της σχετικότητας εκδηλώνεται σε μικρά χρονικά διαστήματα. Καθώς η ταχύτητα αυξάνεται, αρχίζουμε να νιώθουμε κραδασμούς και ταλαντεύσεις του αυτοκινήτου, δηλαδή το σύστημα αναφοράς μας γίνεται μη αδρανειακό.
Έτσι, η προσπάθεια ανίχνευσης της κίνησης ISO είναι άσκοπη. Κατά συνέπεια, είναι απολύτως αδιάφορο ποιο ISO θεωρείται ακίνητο και ποιο κινείται.
9. Μεταμορφώσεις του Γαλιλαίου. Αφήστε δύο ISO να κινούνται μεταξύ τους με ταχύτητα. Σύμφωνα με την αρχή της σχετικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το ISO K είναι ακίνητο και το ISO κινείται σχετικά με ταχύτητα. Για απλότητα, υποθέτουμε ότι οι αντίστοιχοι άξονες συντεταγμένων των συστημάτων και είναι παράλληλοι, και οι άξονες και συμπίπτουν. Αφήστε τα συστήματα να συμπίπτουν τη στιγμή της έναρξης και η κίνηση να γίνει κατά μήκος των αξόνων και, δηλ. (Εικ.28)
