Bildungsministerium der Autonomen Republik Krim
Tauride National University benannt nach. Wernadski
Studium des physikalischen Rechts
HOOKES GESETZ
Abgeschlossen von: Student im 1. Studienjahr
Fakultät für Physik Gr. F-111
Potapov Evgeniy
Simferopol-2010
Planen:
Der Zusammenhang zwischen welchen Phänomenen oder Größen wird durch das Gesetz ausgedrückt.
Erklärung des Gesetzes
Mathematischer Ausdruck des Gesetzes.
Wie wurde das Gesetz entdeckt: basierend auf experimentellen Daten oder theoretisch?
Erlebte Tatsachen, auf deren Grundlage das Gesetz formuliert wurde.
Experimente, die die Gültigkeit des auf der Grundlage der Theorie formulierten Gesetzes bestätigen.
Beispiele für die Anwendung des Gesetzes und die Berücksichtigung der Wirkung des Gesetzes in der Praxis.
Literatur.
Die Beziehung zwischen welchen Phänomenen oder Größen wird durch das Gesetz ausgedrückt:
Das Hookesche Gesetz verknüpft Phänomene wie Spannung und Verformung eines Festkörpers, Elastizitätsmodul und Dehnung. Der Modul der elastischen Kraft, die bei der Verformung eines Körpers entsteht, ist proportional zu seiner Dehnung. Die Dehnung ist ein Merkmal der Verformbarkeit eines Materials und wird anhand der Längenzunahme einer Probe dieses Materials bei Dehnung beurteilt. Eine elastische Kraft ist eine Kraft, die bei der Verformung eines Körpers entsteht und dieser Verformung entgegenwirkt. Spannung ist ein Maß für innere Kräfte, die in einem verformbaren Körper unter dem Einfluss äußerer Einflüsse entstehen. Eine Verformung ist eine Änderung der relativen Position von Partikeln eines Körpers, die mit ihrer Bewegung relativ zueinander verbunden ist. Diese Konzepte sind durch den sogenannten Steifigkeitskoeffizienten miteinander verbunden. Sie hängt von den elastischen Eigenschaften des Materials und der Körpergröße ab.
Stellungnahme zum Gesetz:
Das Hookesche Gesetz ist eine Gleichung der Elastizitätstheorie, die Spannung und Verformung eines elastischen Mediums in Beziehung setzt.
Die Formulierung des Gesetzes lautet, dass die elastische Kraft direkt proportional zur Verformung ist.
Mathematischer Ausdruck des Gesetzes:
Für einen dünnen Zugstab hat das Hookesche Gesetz die Form:
Hier F Stabspannungskraft, Δ l- seine Dehnung (Kompression) und k angerufen Elastizitätskoeffizient(oder Steifigkeit). Das Minus in der Gleichung zeigt an, dass die Zugkraft immer in die der Verformung entgegengesetzte Richtung gerichtet ist.
Wenn Sie die relative Dehnung eingeben
und Normalspannung im Querschnitt
dann wird das Hookesche Gesetz so geschrieben
In dieser Form gilt es für beliebige kleine Materievolumina.
Im allgemeinen Fall sind Spannung und Dehnung Tensoren zweiten Ranges im dreidimensionalen Raum (sie haben jeweils 9 Komponenten). Der Tensor der sie verbindenden elastischen Konstanten ist ein Tensor vierten Ranges C ijkl und enthält 81 Koeffizienten. Aufgrund der Symmetrie des Tensors C ijkl sowie Spannungs- und Dehnungstensoren sind nur 21 Konstanten unabhängig. Das Hookesche Gesetz sieht folgendermaßen aus:
wo σ ij- Spannungstensor, - Dehnungstensor. Für ein isotropes Material der Tensor C ijkl enthält nur zwei unabhängige Koeffizienten.
Wie wurde das Gesetz entdeckt: basierend auf experimentellen Daten oder theoretisch:
Das Gesetz wurde 1660 vom englischen Wissenschaftler Robert Hooke (Hook) anhand von Beobachtungen und Experimenten entdeckt. Die Entdeckung, wie Hooke in seinem 1678 veröffentlichten Aufsatz „De potentia restitutiva“ feststellt, wurde von ihm 18 Jahre zuvor gemacht und 1676 in einem anderen seiner Bücher unter dem Deckmantel des Anagramms „ceiiinosssttuv“ platziert, was bedeutet „Ut tensio sic vis“ . Nach der Erläuterung des Autors gilt das obige Proportionalitätsgesetz nicht nur für Metalle, sondern auch für Holz, Steine, Horn, Knochen, Glas, Seide, Haare usw.
Erfahrungswerte, auf deren Grundlage das Gesetz formuliert wurde:
Die Geschichte schweigt darüber.
Experimente, die die Gültigkeit des auf der Grundlage der Theorie formulierten Gesetzes bestätigen:
Das Gesetz wird auf der Grundlage experimenteller Daten formuliert. In der Tat, wenn ein Körper (Draht) mit einem bestimmten Steifigkeitskoeffizienten gedehnt wird k auf einen Abstand Δ lch, dann ist ihr Produkt gleich groß wie die Kraft, die den Körper (Draht) dehnt. Dieser Zusammenhang gilt jedoch nicht für alle Verformungen, wohl aber für kleine. Bei großen Verformungen verliert das Hookesche Gesetz seine Gültigkeit und der Körper kollabiert.
Beispiele für die Anwendung des Gesetzes und die Berücksichtigung der Wirkung des Gesetzes in der Praxis:
Wie aus dem Hookeschen Gesetz hervorgeht, kann die Dehnung einer Feder verwendet werden, um die auf sie wirkende Kraft zu beurteilen. Diese Tatsache wird genutzt, um Kräfte mit einem Dynamometer zu messen – einer Feder mit einer linearen Skala, die für verschiedene Kraftwerte kalibriert ist.
Literatur.
1. Internetressourcen: - Wikipedia-Website (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).
2. Lehrbuch der Physik Peryshkin A.V. 9.Klasse
3. Lehrbuch der Physik V.A. Kasyanov 10. Klasse
4. Vorlesungen über Mechanik Ryabushkin D.S.
Der Koeffizient E in dieser Formel heißt Elastizitätsmodul. Der Elastizitätsmodul hängt nur von den Eigenschaften des Materials ab und ist nicht von der Größe und Form des Körpers abhängig. Für verschiedene Materialien variiert der Elastizitätsmodul stark. Für Stahl beispielsweise ist E ≈ 2·10 11 N/m 2 und für Gummi E ≈ 2·10 6 N/m 2 , also fünf Größenordnungen weniger.
Das Hookesche Gesetz kann auf komplexere Verformungen verallgemeinert werden. Zum Beispiel wann Biegeverformung die elastische Kraft ist proportional zur Auslenkung des Stabes, dessen Enden auf zwei Stützen liegen (Abb. 1.12.2).
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Abbildung 1.12.2. Biegeverformung.  |
Die elastische Kraft, die von der Seite der Stütze (oder Aufhängung) auf den Körper einwirkt, wird aufgerufen Bodenreaktionskraft. Wenn die Körper in Kontakt kommen, ist die Stützreaktionskraft gerichtet aufrecht Kontaktflächen. Deshalb wird es oft als Stärke bezeichnet normaler Druck. Liegt ein Körper auf einem horizontalen stationären Tisch, ist die Stützreaktionskraft senkrecht nach oben gerichtet und gleicht die Schwerkraft aus: Die Kraft, mit der der Körper auf den Tisch einwirkt, heißt Körpergewicht.
In der Technik spiralförmig Federn(Abb. 1.12.3). Beim Dehnen oder Zusammendrücken von Federn entstehen elastische Kräfte, die ebenfalls dem Hookeschen Gesetz gehorchen. Der Koeffizient k heißt Federsteifigkeit. Im Rahmen der Anwendbarkeit des Hookeschen Gesetzes können Federn ihre Länge stark verändern. Daher werden sie häufig zur Messung von Kräften eingesetzt. Eine Feder, deren Spannung in Krafteinheiten gemessen wird, heißt Dynamometer. Es ist zu beachten, dass beim Strecken oder Zusammendrücken einer Feder komplexe Torsions- und Biegeverformungen in ihren Windungen auftreten.
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| Abbildung 1.12.3. Verformung der Federverlängerung. |
Im Gegensatz zu Federn und einigen elastischen Materialien (z. B. Gummi) gehorcht die Zug- oder Druckverformung elastischer Stäbe (oder Drähte) innerhalb sehr enger Grenzen dem Hookeschen linearen Gesetz. Bei Metallen sollte die relative Verformung ε = x/l 1 % nicht überschreiten. Bei großen Verformungen kommt es zu irreversiblen Phänomenen (Fließfähigkeit) und zur Zerstörung des Materials.
§ 10. Elastische Kraft. Hookes Gesetz
Arten von Verformungen
Verformung bezeichnet eine Veränderung der Form, Größe oder des Volumens des Körpers. Verformungen können durch äußere Kräfte verursacht werden, die auf den Körper einwirken.
Als Verformungen werden Verformungen bezeichnet, die vollständig verschwinden, nachdem die Einwirkung äußerer Kräfte auf den Körper aufhört elastisch und Verformungen, die auch dann bestehen bleiben, wenn keine äußeren Kräfte mehr auf den Körper einwirken – Plastik.
Unterscheiden Zugbelastung oder Kompression(einseitig oder umfassend), Biegen, Drehung Und Schicht.
Elastische Kräfte
Bei der Verformung eines Festkörpers werden seine an den Knotenpunkten des Kristallgitters befindlichen Teilchen (Atome, Moleküle, Ionen) aus ihrer Gleichgewichtslage verschoben. Dieser Verschiebung wirken die Wechselwirkungskräfte zwischen den Teilchen eines Festkörpers entgegen, die diese Teilchen in einem gewissen Abstand zueinander halten. Daher entstehen bei jeder Art von elastischer Verformung innere Kräfte im Körper, die dessen Verformung verhindern.
Die Kräfte, die in einem Körper bei seiner elastischen Verformung entstehen und entgegen der durch die Verformung verursachten Verschiebungsrichtung der Teilchen des Körpers gerichtet sind, werden als elastische Kräfte bezeichnet. Elastische Kräfte wirken in jedem Abschnitt eines verformten Körpers sowie an der Stelle, an der er den Körper berührt und eine Verformung verursacht. Bei einseitiger Zug- oder Druckbelastung ist die elastische Kraft entlang der Geraden gerichtet, entlang derer die äußere Kraft wirkt, und führt zu einer Verformung des Körpers, entgegen der Richtung dieser Kraft und senkrecht zur Körperoberfläche. Die Natur elastischer Kräfte ist elektrischer Natur.
Wir betrachten den Fall des Auftretens elastischer Kräfte bei einseitiger Spannung und Kompression eines Festkörpers.
Hookes Gesetz
Der Zusammenhang zwischen der elastischen Kraft und der elastischen Verformung eines Körpers (bei kleinen Verformungen) wurde von Newtons Zeitgenossen, dem englischen Physiker Hooke, experimentell nachgewiesen. Der mathematische Ausdruck des Hookeschen Gesetzes für einseitige Spannungs- (Druck-) Verformung hat die Form
wobei f die elastische Kraft ist; x - Dehnung (Verformung) des Körpers; k ist ein von der Größe und dem Material des Körpers abhängiger Proportionalitätskoeffizient, der als Steifigkeit bezeichnet wird. Die SI-Einheit der Steifigkeit ist Newton pro Meter (N/m).
Hookes Gesetz für einseitige Spannung (Druck) wird wie folgt formuliert: Die bei der Verformung eines Körpers entstehende elastische Kraft ist proportional zur Dehnung dieses Körpers.
Betrachten wir ein Experiment, das das Hookesche Gesetz veranschaulicht. Lassen Sie die Symmetrieachse der zylindrischen Feder mit der geraden Linie Ax zusammenfallen (Abb. 20, a). Ein Ende der Feder ist in der Stütze am Punkt A befestigt, das zweite ist frei und daran ist der Körper M befestigt. Wenn die Feder nicht verformt ist, befindet sich ihr freies Ende am Punkt C. Dieser Punkt wird angenommen als der Ursprung der Koordinate x, die die Position des freien Endes der Feder bestimmt.
Dehnen wir die Feder so, dass ihr freies Ende im Punkt D liegt, dessen Koordinate x>0 ist: An diesem Punkt wirkt die Feder mit einer elastischen Kraft auf den Körper M
Lassen Sie uns nun die Feder so zusammendrücken, dass sich ihr freies Ende im Punkt B befindet, dessen Koordinate x ist<0. В этой точке пружина действует на тело М упругой силой
Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Projektion der elastischen Kraft der Feder auf die Ax-Achse immer ein zum Vorzeichen der x-Koordinate entgegengesetztes Vorzeichen hat, da die elastische Kraft immer auf die Gleichgewichtslage C gerichtet ist. 20, b zeigt eine Grafik des Hookeschen Gesetzes. Auf der Abszissenachse sind die Werte der Dehnung x der Feder aufgetragen, auf der Ordinatenachse die elastischen Kraftwerte. Die Abhängigkeit von fx von x ist linear, daher ist der Graph eine gerade Linie, die durch den Koordinatenursprung verläuft.
Betrachten wir ein anderes Experiment.
Ein Ende eines dünnen Stahldrahtes sei an einer Halterung befestigt und am anderen Ende eine Last aufgehängt, deren Gewicht eine äußere Zugkraft F sei, die senkrecht zu seinem Querschnitt auf den Draht einwirkt (Abb. 21).
Die Wirkung dieser Kraft auf den Draht hängt nicht nur vom Kraftmodul F, sondern auch von der Querschnittsfläche des Drahtes S ab.
Unter dem Einfluss einer äußeren Kraft wird der Draht verformt und gedehnt. Wenn die Dehnung nicht zu groß ist, ist diese Verformung elastisch. In einem elastisch verformten Draht entsteht eine elastische Kraft f Einheit.
Nach dem dritten Newtonschen Gesetz ist die elastische Kraft der auf den Körper wirkenden äußeren Kraft gleich groß und entgegengesetzt gerichtet, d.h.
f up = -F (2.10)
Der Zustand eines elastisch verformten Körpers wird durch den Wert s charakterisiert, genannt normale mechanische Beanspruchung(oder kurz: einfach normale Spannung). Normalspannung s ist gleich dem Verhältnis des Moduls der elastischen Kraft zur Querschnittsfläche des Körpers:
s=f up /S (2.11)
Die Anfangslänge des ungedehnten Drahtes sei L 0 . Nach Anwendung der Kraft F dehnte sich der Draht und seine Länge wurde gleich L. Man nennt den Wert DL=L-L 0 absolute Drahtdehnung. Größe
angerufen relative Körperdehnung. Für Zugdehnung e>0, für Druckdehnung e<0.
Beobachtungen zeigen, dass bei kleinen Verformungen die Normalspannung s proportional zur relativen Dehnung e ist:
Die Formel (2.13) ist eine der Arten, das Hookesche Gesetz für einseitige Spannung (Kompression) zu schreiben. In dieser Formel wird die relative Dehnung modulo berechnet, da sie sowohl positiv als auch negativ sein kann. Der Proportionalitätskoeffizient E im Hookeschen Gesetz wird als Längselastizitätsmodul (Young-Modul) bezeichnet.
Lassen Sie uns die physikalische Bedeutung des Elastizitätsmoduls ermitteln. Wie aus Formel (2.12) ersichtlich ist, ist e=1 und L=2L 0 mit DL=L 0 . Aus Formel (2.13) folgt, dass in diesem Fall s=E. Folglich ist der Elastizitätsmodul numerisch gleich der Normalspannung, die im Körper entstehen sollte, wenn seine Länge verdoppelt wird. (wenn das Hookesche Gesetz für eine so große Verformung wahr wäre). Aus Formel (2.13) geht auch klar hervor, dass im SI der Elastizitätsmodul in Pascal ausgedrückt wird (1 Pa = 1 N/m2).
Spannungsdiagramm
Mit der Formel (2.13) kann man aus den experimentellen Werten der relativen Dehnung e die entsprechenden Werte der im deformierten Körper auftretenden Normalspannung s berechnen und ein Diagramm der Abhängigkeit von s von e erstellen. Dieser Graph heißt Dehnungsdiagramm. Ein ähnliches Diagramm für eine Metallprobe ist in Abb. dargestellt. 22. In Abschnitt 0-1 sieht der Graph wie eine gerade Linie aus, die durch den Ursprung verläuft. Dies bedeutet, dass die Verformung bis zu einem bestimmten Spannungswert elastisch ist und das Hookesche Gesetz erfüllt ist, d. h. die Normalspannung ist proportional zur relativen Dehnung. Man nennt den Maximalwert der Normalspannung sp, bei dem das Hookesche Gesetz noch erfüllt ist Grenze der Verhältnismäßigkeit.
Bei weiterer Belastungszunahme wird die Abhängigkeit der Spannung von der relativen Dehnung nichtlinear (Abschnitt 1-2), obwohl die elastischen Eigenschaften des Körpers weiterhin erhalten bleiben. Man nennt den Maximalwert s der Normalspannung, bei dem noch keine Restverformung auftritt Elastizitätsgrenze. (Die Elastizitätsgrenze überschreitet die Proportionalitätsgrenze nur um Hundertstel Prozent.) Eine Erhöhung der Belastung über die Elastizitätsgrenze (Abschnitt 2-3) führt dazu, dass die Verformung restlich wird.
Dann beginnt sich die Probe bei nahezu konstanter Spannung zu dehnen (Abschnitt 3-4 der Grafik). Dieses Phänomen wird materielle Fluidität genannt. Die Normalspannung s t, bei der die Restverformung einen bestimmten Wert erreicht, wird aufgerufen Streckgrenze.
Bei Spannungen über der Streckgrenze werden die elastischen Eigenschaften des Körpers bis zu einem gewissen Grad wiederhergestellt und er beginnt wieder, Verformungen zu widerstehen (Abschnitt 4-5 der Grafik). Als Maximalwert der Normalspannung spr wird bezeichnet, oberhalb dessen die Probe reißt Zugfestigkeit.
Energie eines elastisch verformten Körpers
Wenn wir die Werte von s und e aus den Formeln (2.11) und (2.12) in die Formel (2.13) einsetzen, erhalten wir
f up /S=E|DL|/L 0 .
Daraus folgt, dass die elastische Kraft fūn, die bei der Verformung des Körpers entsteht, durch die Formel bestimmt wird
f up =ES|DL|/L 0 . (2.14)
Bestimmen wir die Arbeit A def, die bei der Verformung des Körpers geleistet wird, und die potentielle Energie W des elastisch deformierten Körpers. Nach dem Energieerhaltungssatz gilt
W=A def. (2.15)
Wie aus Formel (2.14) ersichtlich ist, kann sich der Modul der elastischen Kraft ändern. Sie nimmt proportional zur Verformung des Körpers zu. Um die Verformungsarbeit zu berechnen, muss daher der Durchschnittswert der elastischen Kraft herangezogen werden
Dann bestimmt durch die Formel A def =
A def = ES|DL| 2 /2L 0 .
Wenn wir diesen Ausdruck in die Formel (2.15) einsetzen, ermitteln wir den Wert der potentiellen Energie eines elastisch verformten Körpers:
W=ES|DL| 2 /2L 0 . (2.17)
Für eine elastisch verformte Feder ist ES/L 0 =k die Federsteifigkeit; x ist die Ausdehnung der Feder. Daher kann die Formel (2.17) in der Form geschrieben werden
W=kx 2 /2. (2.18)
Formel (2.18) bestimmt die potentielle Energie einer elastisch verformten Feder.
Fragen zur Selbstkontrolle:
Was ist Verformung?
Welche Verformung wird als elastisch bezeichnet? Plastik?
Nennen Sie die Arten der Verformungen.
Was ist elastische Kraft? Wie wird es geleitet? Was ist die Natur dieser Kraft?
Wie wird das Hookesche Gesetz für einseitige Spannung (Kompression) formuliert und geschrieben?
Was ist Starrheit? Was ist die SI-Einheit der Härte?
Zeichnen Sie ein Diagramm und erklären Sie ein Experiment, das das Hookesche Gesetz veranschaulicht. Zeichnen Sie ein Diagramm dieses Gesetzes.
Nachdem Sie eine erläuternde Zeichnung erstellt haben, beschreiben Sie den Vorgang des Streckens eines Metalldrahts unter Last.
Was ist normale mechanische Belastung? Welche Formel drückt die Bedeutung dieses Konzepts aus?
Was nennt man absolute Dehnung? relative Dehnung? Welche Formeln drücken die Bedeutung dieser Konzepte aus?
Welche Form hat das Hookesche Gesetz in einer Aufzeichnung mit normaler mechanischer Spannung?
Was nennt man Elastizitätsmodul? Was ist seine physikalische Bedeutung? Was ist die SI-Einheit des Young-Moduls?
Zeichnen und erklären Sie das Spannungs-Dehnungs-Diagramm einer Metallprobe.
Was nennt man die Grenze der Verhältnismäßigkeit? Elastizität? Umsatz? Stärke?
Erhalten Sie Formeln, die die Verformungsarbeit und die potentielle Energie eines elastisch verformten Körpers bestimmen.
Alles, was in der Natur geschieht, basiert auf der Wirkung verschiedener Kräfte – das Hookesche Gesetz ist ein Beweis dafür. Dies ist eines der grundlegenden Phänomene der Wissenschaft.
Dieser Prozess ist das bestimmende Element bei den Prozessen des Komprimierens, Biegens, Streckens und anderer Modifikationen von Materialien verschiedener Strukturen.
Lassen Sie uns herausfinden, was dieses Gesetz ist, wie die Hooke-Regel in der Praxis angewendet werden kann und ob sie immer wahr ist.
Definition und Formel des Hookeschen Gesetzes
Seit langem wird versucht, den Ursprung der Phänomene Kompression und Spannung zu erklären. Mangelndes Wissen war der Grund für die Anhäufung experimenteller Daten. Tatsächlich hat der englische Tester Hooke seinen Satz durch seine Beobachtungen und Experimente entdeckt. Erst später, nach dem Tod des Wissenschaftlers, werden seine Zeitgenossen das von ihm abgeleitete Axiom als Hookesches Gesetz bezeichnen.
Der Forscher stellte fest, dass bei jedem elastischen Aufprall auf ein Objekt eine Kraft entsteht, die es in seine ursprüngliche Form zurückbringt. Dies war der Beginn der Experimente.
Hookes Axiom besagt:
Bei sehr kleinen elastischen Einflüssen entsteht eine Kraft, die proportional zur Veränderung des Objekts ist, jedoch im Hinblick auf den Absolutwert der Bewegung seiner Teilchen umgekehrtes Vorzeichen hat.
Mathematisch kann diese Definition wie folgt geschrieben werden:
F x= FKontrolle= — k*x,
wobei auf der linken Seite angegeben ist:
auf einen Körper wirkende Kraft;
X– Körperbewegung (m);
k– Verformungskoeffizient, abhängig von den Eigenschaften des Objekts.
Die Maßeinheit ist wie bei jeder anderen Kraft Newton.
Übrigens, k Auch Körpersteifigkeit genannt, sie wird in N/m gemessen. Die Steifigkeit wird nicht durch die äußeren Parameter des Objekts bestimmt, sondern hängt von seinem Material ab.
Es ist jedoch zu bedenken, dass sein Gesetz nur für elastische Verformungen gilt.
Elastische Kraft
Die Formulierung basiert auf der Definition der elastischen Kraft. Was ist der Unterschied zu anderen Wirkungen auf den Körper?
Tatsächlich kann bei der elastischen Verformung an jedem Punkt des Körpers eine elastische Kraft entstehen. Was ist mit einem solchen Einfluss gemeint? Dabei handelt es sich um eine Veränderung der Körperform, bei der ein Gegenstand nach einer gewissen Zeit wieder in seine ursprüngliche Form zurückkehrt.
Und dies wiederum geschieht aufgrund der molekularen Wirkung von Partikeln: Bei jeder Verformung ändert sich der Abstand zwischen den Molekülen des Objekts und die Coulomb-Anziehungs- oder Abstoßungskräfte neigen dazu, den Körper in seine ursprüngliche Position zurückzubringen.
Das einfachste Modell zur Demonstration der Wirkung elastischer Kräfte ist ein Federpendel.
Welche Formel drückt das vom Wissenschaftler in diesem Fall aufgestellte Axiom aus?
Hier wird Hookes Axiom in der Form geschrieben:
ε = α * S,
wobei ε die relative Dehnung des Körpers ist (sein Wert ist gleich dem Verhältnis von Dehnung zu Verschiebung);
α – Proportionalitätskoeffizient (umgekehrt proportional zum Elastizitätsmodul E);
S ist die mechanische Spannung des Objekts (sein Wert entspricht dem Verhältnis der elastischen Kraft zur Querschnittsfläche des Körpers).
Unter Berücksichtigung des oben Gesagten kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden:
Δx/ X= FKontrolle/ E*S,
wobei Δx die maximale Scherung während der Verformung ist.
Es lohnt sich, diesen Ausdruck umzuwandeln, dann erhalten wir Folgendes:
FKontrolle = (E*S/ X) Δx= k * Δx.
Da die elastische Kraft dem äußeren Einfluss entgegengesetzt ist, kann das Gesetz kurz wie folgt gelesen werden:
FKontrolle= — k * Δx.
Nicht umsonst werden darin kleine Verformungen erwähnt: Für sie gilt Δx ̴ x, also F control = - k * x.
Unter welchen Bedingungen gilt das Hookesche Gesetz?
Sehen wir uns nun an, wo die Grenzen der Anwendbarkeit dieses Ausdrucks liegen und unter welchen Bedingungen er im Allgemeinen wahr ist.
Sie sollten wissen, dass die Hauptbedingung ist:
S= E*e,
Dabei steht auf der linken Seite der Gleichung die bei der Verformung entstehende Spannung und auf der rechten Seite der Elastizitätsmodul und die Dehnung.
Darüber hinaus hängt E von den Eigenschaften der Partikel des Objekts ab, nicht jedoch von seinen Formparametern, und der zweite Faktor wird modulo berechnet.
Im Allgemeinen gilt das Hookesche Axiom für viele Situationen.
Bei elastischer Biegung einer auf zwei Stützen liegenden Feder sieht die mathematische Darstellung des Satzes also wie folgt aus:
FKontrolle= — m*g
FKontrolle= — k*x
In anderen Situationen (bei Torsion, verschiedenen Pendeln und anderen Verformungsprozessen) wird die Wirkung von Kräften auf ein Objekt auf ähnliche Weise erfasst.
Wie man das Gesetz der elastischen Verformung in der Praxis anwendet
Dieses (für viele Situationen verallgemeinerte) Gesetz ist grundlegend für die Dynamik und Statik von Körpern und findet daher in Bereichen Anwendung, in denen die Steifigkeit und Verformungsspannung von Objekten berechnet werden muss.
Zunächst muss die Hookesche Regel im Bauwesen und in der Technik angewendet werden. Daher müssen die Arbeiter genau wissen, welche maximale Last ein Turmdrehkran heben kann oder welcher Belastung das Fundament eines zukünftigen Gebäudes standhalten kann.
Keiner der Züge kommt ohne Zug- und Druckverformung aus, daher gilt auch für diese Situationen das Hookesche Gesetz. Darüber hinaus basieren auch die Mechanik und das Funktionsprinzip aller Dynamometer, die mit einigen Teilen der technischen Ausrüstung ausgestattet sind, auf diesem wunderbaren Gesetz.
Das Hookesche Gesetz ist in allen Objekten erfüllt, die Analoga des „Federpendel“-Modells sind.
Im alltäglichen Leben, zu Hause, kann man die Anwendbarkeit dieses Gesetzes an den Federn einiger Mechanismen erkennen.
Somit ist das Hookesche Gesetz in vielen Bereichen des menschlichen Lebens anwendbar. Es ist eines der Grundphänomene, auf dem die Existenz allen Lebens auf dem Planeten beruht.
Abschluss
Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Hookesche Gesetz ein universeller Helfer bei Problemen mit Lösungen zur Verformung von Objekten ist, nicht nur in Studentenbüchern zur Festigkeit von Werkstoffen, sondern auch in verschiedenen Bereichen des Ingenieurwesens.
Es sind diese einfachen Aufgaben, die Wissenschaftlern und Handwerkern helfen, neue technische Modelle zu schaffen, die unter den Bedingungen des modernen technologischen Fortschritts notwendig sind.
Kontrollfragen
1) Was nennt man Verformung? Welche Arten von Verformungen kennen Sie?
Verformung- eine mit ihrer Bewegung verbundene Änderung der relativen Position von Körperpartikeln. Verformung ist das Ergebnis von Änderungen der interatomaren Abstände und der Neuanordnung von Atomblöcken. Typischerweise geht eine Verformung mit einer Änderung der Größe interatomarer Kräfte einher, deren Maß die elastische Spannung ist.
Arten von Verformungen:
Spannung-Kompression- im Widerstand von Materialien - eine Art Längsverformung eines Stabes oder Balkens, die auftritt, wenn eine Last entlang seiner Längsachse auf ihn ausgeübt wird (die Resultierende der auf ihn einwirkenden Kräfte steht senkrecht zum Querschnitt des Stabes und verläuft). durch seinen Massenschwerpunkt).
Zug führt zu einer Verlängerung des Stabes (auch Bruch und Restverformung sind möglich), Druck führt zu einer Verkürzung des Stabes (Stabilitätsverlust und Längsbiegung sind möglich).
Biegen- eine Art Verformung, bei der es zu einer Krümmung der Achsen gerader Stäbe oder zu einer Änderung der Krümmung der Achsen gebogener Stäbe kommt. Die Biegung ist mit dem Auftreten von Biegemomenten in den Balkenquerschnitten verbunden. Direkte Biegung tritt auf, wenn das Biegemoment in einem bestimmten Querschnitt eines Balkens in einer Ebene wirkt, die durch eine der zentralen Hauptträgheitsachsen dieses Abschnitts verläuft. Für den Fall, dass die Wirkungsebene des Biegemoments in einem bestimmten Balkenquerschnitt nicht durch eine der Hauptträgheitsachsen dieses Abschnitts verläuft, spricht man von einer Schräge.
Wenn bei direkter oder schräger Biegung nur ein Biegemoment im Querschnitt des Balkens wirkt, liegt dementsprechend eine reine gerade oder reine schräge Biegung vor. Wirkt im Querschnitt zusätzlich eine Querkraft, so liegt eine Quergeradkrümmung oder eine Querschrägbiegung vor.
Drehung- eine der Arten der Körperverformung. Tritt auf, wenn auf einen Körper eine Last in Form eines Kräftepaares (Moment) in seiner Querebene ausgeübt wird. In diesem Fall tritt in den Körperquerschnitten nur ein innerer Kraftfaktor auf – das Drehmoment. Zug-Druckfedern und Wellen wirken auf Torsion.
Arten der Verformung eines Festkörpers. Die Verformung ist elastisch und plastisch.
Verformung Fester Körper kann eine Folge von Phasenumwandlungen sein, die mit Volumenänderungen, Wärmeausdehnung, Magnetisierung (magnetostriktiver Effekt), dem Auftreten einer elektrischen Ladung (piezoelektrischer Effekt) oder dem Ergebnis der Einwirkung äußerer Kräfte verbunden sind.
Eine Verformung heißt elastisch, wenn sie nach Wegfall der Belastung, die sie verursacht hat, verschwindet, und plastisch, wenn sie nach Wegfall der Belastung nicht (zumindest vollständig) verschwindet. Alle realen Festkörper haben bei Verformung mehr oder weniger plastische Eigenschaften. Unter bestimmten Voraussetzungen können die plastischen Eigenschaften von Körpern vernachlässigt werden, wie dies in der Elastizitätstheorie der Fall ist. Bei hinreichender Genauigkeit kann ein fester Körper als elastisch betrachtet werden, das heißt, er zeigt erst dann spürbare plastische Verformungen, wenn die Belastung eine bestimmte Grenze überschreitet.
Die Art der plastischen Verformung kann je nach Temperatur, Belastungsdauer oder Dehnungsgeschwindigkeit variieren. Bei einer konstanten Belastung des Körpers ändert sich die Verformung mit der Zeit; Dieses Phänomen wird Kriechen genannt. Mit steigender Temperatur nimmt die Kriechgeschwindigkeit zu. Sonderfälle des Kriechens sind Relaxation und elastische Nachwirkung. Eine der Theorien, die den Mechanismus der plastischen Verformung erklären, ist die Theorie der Versetzungen in Kristallen.
Herleitung des Hookeschen Gesetzes für verschiedene Verformungsarten.
Nettoverschiebung:
Reine Torsion: 
4) Wie nennt man Schubmodul und Torsionsmodul, welche physikalische Bedeutung haben sie?
Schubmodul oder Steifigkeitsmodul (G oder μ) charakterisiert die Fähigkeit eines Materials, Formänderungen zu widerstehen und gleichzeitig sein Volumen beizubehalten; Sie ist definiert als das Verhältnis von Scherspannung zu Scherdehnung, definiert als die Änderung des rechten Winkels zwischen den Ebenen, entlang derer Scherspannungen wirken. Der Schermodul ist eine der Komponenten des Viskositätsphänomens.
Schubmodul:
Torsionsmodul: 
5) Was ist der mathematische Ausdruck des Hookeschen Gesetzes? In welchen Einheiten werden Elastizitätsmodul und Spannung gemessen?
Gemessen in Pa, - Hookesches Gesetz
Das Hookesche Gesetz ist wie folgt formuliert: Die elastische Kraft, die auftritt, wenn ein Körper durch Einwirkung äußerer Kräfte verformt wird, ist proportional zu seiner Dehnung. Eine Verformung wiederum ist eine Veränderung des interatomaren oder intermolekularen Abstands eines Stoffes unter dem Einfluss äußerer Kräfte. Die elastische Kraft ist die Kraft, die dazu neigt, diese Atome oder Moleküle wieder in einen Gleichgewichtszustand zu versetzen.
Formel 1 – Hookesches Gesetz.
F – elastische Kraft.
k - Körpersteifigkeit (Proportionalitätskoeffizient, der vom Material des Körpers und seiner Form abhängt).
x – Körperverformung (Dehnung oder Stauchung des Körpers).
Dieses Gesetz wurde 1660 von Robert Hooke entdeckt. Er führte ein Experiment durch, das aus Folgendem bestand. An einem Ende war eine dünne Stahlschnur befestigt, auf das andere Ende wurde unterschiedlich viel Kraft ausgeübt. Vereinfacht ausgedrückt wurde eine Schnur an der Decke aufgehängt und mit einer Last unterschiedlicher Masse beaufschlagt.
Abbildung 1 – Dehnung der Saite unter dem Einfluss der Schwerkraft.
Als Ergebnis des Experiments fand Hooke heraus, dass in kleinen Gängen die Abhängigkeit der Dehnung eines Körpers von der elastischen Kraft linear ist. Das heißt, wenn eine Krafteinheit ausgeübt wird, verlängert sich der Körper um eine Längeneinheit.
Abbildung 2 – Diagramm der Abhängigkeit der elastischen Kraft von der Körperdehnung.
Null in der Grafik ist die ursprüngliche Länge des Körpers. Alles auf der rechten Seite ist eine Zunahme der Körperlänge. In diesem Fall hat die elastische Kraft einen negativen Wert. Das heißt, sie strebt danach, den Körper wieder in seinen ursprünglichen Zustand zu versetzen. Sie ist dementsprechend der Verformungskraft entgegengerichtet. Alles auf der linken Seite ist Körperkompression. Die elastische Kraft ist positiv.
Die Dehnung der Saite hängt nicht nur von der äußeren Kraft ab, sondern auch vom Querschnitt der Saite. Eine dünne Saite dehnt sich aufgrund ihres geringen Gewichts irgendwie. Nimmt man aber eine Schnur gleicher Länge, aber mit einem Durchmesser von beispielsweise 1 m, kann man sich kaum vorstellen, wie viel Gewicht zum Dehnen erforderlich ist.
Um zu beurteilen, wie eine Kraft auf einen Körper mit einem bestimmten Querschnitt wirkt, wird der Begriff der normalen mechanischen Spannung eingeführt.
Formel 2 – normale mechanische Beanspruchung.
S-Querschnittsfläche.
Diese Belastung ist letztendlich proportional zur Dehnung des Körpers. Die relative Dehnung ist das Verhältnis des Längenzuwachses eines Körpers zu seiner Gesamtlänge. Und der Proportionalitätskoeffizient wird Elastizitätsmodul genannt. Modul, weil der Wert der Dehnung des Körpers modulo ohne Berücksichtigung des Vorzeichens berechnet wird. Dabei wird nicht berücksichtigt, ob der Körper verkürzt oder verlängert wird. Es ist wichtig, die Länge zu ändern.
Formel 3 – Elastizitätsmodul.
|e| – Relative Dehnung des Körpers.
s ist die normale Körperspannung.
