Na ravni se prave nazivaju paralelnim ako nemaju zajedničkih tačaka, odnosno ne seku. Da biste označili paralelizam, koristite posebnu ikonu || (paralelne prave a || b).
Za prave koje leže u prostoru nije dovoljan uslov da nema zajedničkih tačaka - da bi bile paralelne u prostoru, moraju pripadati istoj ravni (u suprotnom će se preseći).
Ne morate ići daleko za primjerima paralelnih linija koje nas prate posvuda, u prostoriji - to su linije presjeka zida sa stropom i podom, na listu sveske - suprotne ivice, itd.
Sasvim je očigledno da će, imajući dve prave paralelne i treću paralelnu sa jednom od prve dve, biti paralelan i sa drugom.
Paralelne prave na ravni su povezane tvrdnjom koja se ne može dokazati pomoću aksioma planimetrije. Prihvaćeno je kao činjenica, kao aksiom: za bilo koju tačku na ravni koja ne leži na pravoj, postoji jedinstvena prava koja prolazi kroz nju paralelno sa datom. Svaki učenik šestog razreda zna ovaj aksiom.
Njegova prostorna generalizacija, odnosno tvrdnja da za bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na pravoj, postoji jedinstvena prava koja prolazi kroz nju paralelno sa datom, lako se dokazuje korištenjem već poznatog aksioma paralelizma o avion.
Svojstva paralelnih pravih
- Ako je bilo koja od dvije paralelne prave paralelna s trećom, onda su one međusobno paralelne.
Ovo svojstvo imaju paralelne prave i na ravni i u prostoru.
Kao primjer, razmotrite njegovo opravdanje u stereometriji.
Pretpostavimo da su prave b i prava a paralelne.
Slučaj kada sve prave leže u istoj ravni biće prepušten planimetriji.
Pretpostavimo da a i b pripadaju beta ravni, a gama je ravan kojoj pripadaju a i c (prema definiciji paralelizma u prostoru, prave moraju pripadati istoj ravni).
Ako pretpostavimo da su beta i gama ravni različite i označimo određenu tačku B na pravoj b iz beta ravni, tada ravan povučena kroz tačku B i prava c moraju seći beta ravan u pravoj liniji (označimo je b1) .
Ako bi rezultujuća ravna linija b1 presekla gama ravan, tada bi, s jedne strane, tačka preseka morala da leži na a, pošto b1 pripada beta ravni, a sa druge strane, takođe bi trebalo da pripada c, pošto b1 pripada trećoj ravni.
Ali paralelne prave a i c ne bi trebale da se sijeku.
Dakle, prava b1 mora pripadati betta ravni i istovremeno nema zajedničkih tačaka sa a, pa se, prema aksiomu paralelizma, poklapa sa b.
Dobili smo pravu b1 koja se poklapa sa pravom b, koja pripada istoj ravni sa pravom c i ne siječe je, odnosno b i c su paralelne
- Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, samo jedna prava može proći paralelno sa datom pravom.
- Dvije prave koje leže na ravni okomitoj na treću su paralelne.
- Ako ravan siječe jednu od dvije paralelne prave, i druga prava siječe istu ravan.
- Odgovarajući i unakrsno ležeći unutrašnji uglovi nastali presekom dve paralelne prave sa trećom su jednaki, zbir nastalih unutrašnjih jednostranih uglova je 180°.
Tačne su i suprotne tvrdnje, koje se mogu uzeti kao znaci paralelizma dvije prave.
Uslov za paralelne prave
Gore formulisana svojstva i karakteristike predstavljaju uslove za paralelnost pravih, a mogu se dokazati geometrijskim metodama. Drugim riječima, da bi se dokazala paralelnost dvije postojeće prave, dovoljno je dokazati njihovu paralelnost s trećom pravom ili jednakost uglova, bilo odgovarajućih ili unakrsnih, itd.
Za dokaz uglavnom koriste metodu „kontradikcijom“, odnosno uz pretpostavku da prave nisu paralelne. Na osnovu ove pretpostavke lako se može pokazati da se u ovom slučaju krše navedeni uslovi, na primjer, unutrašnji uglovi koji se nalaze jedan preko drugog ispadaju nejednaki, što dokazuje netačnost postavljene pretpostavke.
Znakovi paralelizma dvije prave
Teorema 1. Ako, kada se dvije prave seku sa sekantom:
ukršteni uglovi su jednaki, ili
odgovarajući uglovi su jednaki, ili
tada je zbir jednostranih uglova 180°
prave su paralelne(Sl. 1).
Dokaz. Ograničavamo se na dokazivanje slučaja 1.
Neka su prave a i b ukrštene, a uglovi AB jednaki. Na primjer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo da je a || b.
Pretpostavimo da prave a i b nisu paralelne. Tada se sijeku u nekoj tački M i stoga će jedan od uglova 4 ili 6 biti vanjski ugao trougla ABM. Radi određenosti, neka je ∠ 4 vanjski ugao trougla ABM, a ∠ 6 unutrašnji. Iz teoreme o spoljašnjem uglu trougla sledi da je ∠ 4 veći od ∠ 6, a to je u suprotnosti sa uslovom, što znači da se prave a i 6 ne mogu seći, pa su paralelne.
Zaključak 1. Dvije različite prave u ravni okomitoj na istu pravu su paralelne(Sl. 2).
Komentar. Način na koji smo upravo dokazali slučaj 1 teoreme 1 nazivamo metodom dokaza kontradikcijom ili svođenjem na apsurd. Ova metoda je dobila svoje prvo ime jer se na početku argumentacije postavlja pretpostavka koja je suprotna (suprotna) onome što treba dokazati. To se naziva dovođenjem do apsurda zbog činjenice da, rezonujući na osnovu postavljene pretpostavke, dolazimo do apsurdnog zaključka (do apsurda). Primanje takvog zaključka tjera nas da odbacimo pretpostavku iznesenu na početku i prihvatimo onu koju je trebalo dokazati.
Zadatak 1. Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku M i paralelna sa datom pravom a, a ne prolazi kroz tačku M.
Rješenje. Provlačimo pravu p kroz tačku M okomitu na pravu a (slika 3).
Zatim povučemo pravu b kroz tačku M okomitu na pravu p. Prava b je paralelna pravoj a prema posljedici teoreme 1.
Iz razmatranog problema proizlazi važan zaključak:
kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj uvek je moguće povući pravu paralelnu datoj.
Glavno svojstvo paralelnih linija je sljedeće.
Aksiom paralelnih pravih. Kroz datu tačku koja ne leži na datoj pravoj prolazi samo jedna prava paralelna sa datom.
Razmotrimo neka svojstva paralelnih pravih koja slijede iz ovog aksioma.
1) Ako prava seče jednu od dve paralelne prave, onda seče i drugu (slika 4).
2) Ako su dvije različite prave paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne (slika 5).
Sljedeća teorema je također tačna.
Teorema 2. Ako su dvije paralelne prave presečene transverzalom, onda:
poprečni uglovi su jednaki;
odgovarajući uglovi su jednaki;
zbir jednostranih uglova je 180°.
Zaključak 2. Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu(vidi sliku 2).
Komentar. Teorema 2 se naziva inverzna teorema 1. Zaključak teoreme 1 je uslov teoreme 2. A uslov teoreme 1 je zaključak teoreme 2. Nema svaka teorema inverzna, tj. ako je data teorema tačno, onda inverzna teorema može biti netačna.
Objasnimo ovo na primjeru teoreme o vertikalnim uglovima. Ova teorema se može formulirati na sljedeći način: ako su dva ugla okomita, onda su jednaki. Obrnuti teorem bi bio: ako su dva ugla jednaka, onda su vertikalni. A ovo, naravno, nije tačno. Dva jednaka ugla ne moraju biti vertikalna.
Primjer 1. Dvije paralelne prave se ukrštaju trećom. Poznato je da je razlika između dva unutrašnja jednostrana ugla 30°. Pronađite ove uglove.
Rješenje. Neka slika 6 ispuni uslov.
Ovaj članak govori o paralelnim linijama i paralelnim linijama. Prvo se daje definicija paralelnih pravih na ravni i u prostoru, uvode se oznake, daju se primjeri i grafičke ilustracije paralelnih pravih. Zatim se razmatraju znaci i uslovi za paralelnost pravih. U zaključku su prikazana rješenja tipičnih problema dokazivanja paralelizma pravih, koja su data određenim jednačinama prave u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni i u trodimenzionalnom prostoru.
Navigacija po stranici.
Paralelne linije - osnovne informacije.
Definicija.
Zovu se dvije prave u ravni paralelno, ako nemaju zajedničke tačke.
Definicija.
Zovu se dvije linije u trodimenzionalnom prostoru paralelno, ako leže u istoj ravni i nemaju zajedničke tačke.
Imajte na umu da je klauzula „ako leže u istoj ravni“ u definiciji paralelnih pravih u prostoru veoma važna. Pojasnimo ovu tačku: dvije prave u trodimenzionalnom prostoru koje nemaju zajedničke tačke i ne leže u istoj ravni nisu paralelne, već seku.
Evo nekoliko primjera paralelnih linija. Suprotne ivice lista sveske leže na paralelnim linijama. Prave linije duž kojih ravnina zida kuće siječe ravnine stropa i poda su paralelne. Željezničke šine na ravnom terenu također se mogu smatrati paralelnim prugama.
Za označavanje paralelnih linija koristite simbol “”. To jest, ako su prave a i b paralelne, onda možemo ukratko napisati a b.
Imajte na umu: ako su prave a i b paralelne, onda možemo reći da je prava a paralelna pravoj b, kao i da je prava b paralelna pravoj a.
Recimo tvrdnju koja igra važnu ulogu u proučavanju paralelnih pravih na ravni: kroz tačku koja ne leži na datoj, prolazi jedina prava paralelna datoj. Ova tvrdnja se prihvata kao činjenica (ne može se dokazati na osnovu poznatih aksioma planimetrije), a naziva se aksiomom paralelnih pravih.
Za slučaj u prostoru važi teorema: kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na datoj pravoj, prolazi jedna prava paralelna sa datom. Ova teorema se lako dokazuje korištenjem gornje aksiome paralelnih pravih (dokaz možete pronaći u udžbeniku geometrije za 10-11 razred, koji je naveden na kraju članka u popisu literature).
Za slučaj u prostoru važi teorema: kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na datoj pravoj, prolazi jedna prava paralelna sa datom. Ova teorema se može lako dokazati korištenjem gornjeg aksioma paralelne prave.
Paralelnost pravih - znaci i uslovi paralelizma.
Znak paralelizma pravih je dovoljan uslov da prave budu paralelne, odnosno uslov čije ispunjenje garantuje da su prave paralelne. Drugim riječima, ispunjenje ovog uslova je dovoljno da se utvrdi činjenica da su prave paralelne.
Takođe postoje neophodni i dovoljni uslovi za paralelnost pravih na ravni iu trodimenzionalnom prostoru.
Objasnimo značenje izraza "neophodan i dovoljan uslov za paralelne prave".
Već smo se bavili dovoljnim uslovom za paralelne prave. Šta je "neophodan uslov za paralelne prave"? Iz naziva „neophodan“ jasno je da je ispunjenje ovog uslova neophodno za paralelne prave. Drugim riječima, ako nije ispunjen neophodan uvjet da prave budu paralelne, tada prave nisu paralelne. dakle, neophodan i dovoljan uslov za paralelne prave je uslov čije je ispunjenje neophodno i dovoljno za paralelne prave. Odnosno, s jedne strane, ovo je znak paralelizma pravih, a s druge strane, ovo je svojstvo koje imaju paralelne prave.
Prije nego što formulišemo neophodan i dovoljan uslov za paralelnost linija, preporučljivo je prisjetiti se nekoliko pomoćnih definicija.
Sekantna linija je prava koja siječe svaku od dvije date nepodudarne prave.
Kada se dvije prave linije seku sa transverzalom, formira se osam nerazvijenih. U formulaciji neophodnog i dovoljnog uslova za paralelnost pravih, tzv ležeći poprečno, odgovarajući I jednostrani uglovi. Pokažimo ih na crtežu.
Teorema.
Ako se dvije prave u ravni sijeku transverzalom, tada je potrebno i dovoljno da su uglovi koji se seku jednaki, ili da su odgovarajući uglovi jednaki, ili je zbir jednostranih uglova jednak 180 da bi bile paralelne. stepeni.
Pokažimo grafičku ilustraciju ovog neophodnog i dovoljnog uslova za paralelnost pravih na ravni.
Dokaze za ove uslove za paralelnost pravih možete pronaći u udžbenicima geometrije za 7-9 razred.
Imajte na umu da se ovi uvjeti mogu koristiti i u trodimenzionalnom prostoru - glavna stvar je da dvije prave i sekansa leže u istoj ravni.
Evo još nekoliko teorema koje se često koriste za dokazivanje paralelizma pravih.
Teorema.
Ako su dvije prave u ravni paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne. Dokaz ovog kriterija slijedi iz aksioma paralelnih pravih.
Sličan uslov postoji i za paralelne linije u trodimenzionalnom prostoru.
Teorema.
Ako su dvije prave u prostoru paralelne s trećom linijom, onda su paralelne. O dokazu ovog kriterija govori se na časovima geometrije u 10. razredu.
Ilustrujmo navedene teoreme.
Predstavimo još jednu teoremu koja nam omogućava da dokažemo paralelizam pravih na ravni.
Teorema.
Ako su dvije prave u ravni okomite na treću pravu, onda su paralelne.
Postoji slična teorema za linije u prostoru.
Teorema.
Ako su dvije prave u trodimenzionalnom prostoru okomite na istu ravan, onda su paralelne.
Nacrtajmo slike koje odgovaraju ovim teoremama.
Sve gore formulisane teoreme, kriterijumi i neophodni i dovoljni uslovi odlični su za dokazivanje paralelizma pravih metodama geometrije. Odnosno, da biste dokazali paralelizam dvije date prave, morate pokazati da su one paralelne s trećom linijom, ili pokazati jednakost poprečno ležećih uglova itd. Mnogi slični problemi rješavaju se na časovima geometrije u srednjoj školi. Međutim, treba napomenuti da je u mnogim slučajevima zgodno koristiti koordinatnu metodu za dokazivanje paralelnosti pravih na ravni ili u trodimenzionalnom prostoru. Hajde da formulišemo neophodne i dovoljne uslove za paralelnost pravih koje su određene u pravougaonom koordinatnom sistemu.
Paralelizam pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu.
U ovom paragrafu članka ćemo formulisati neophodni i dovoljni uslovi za paralelne prave u pravougaonom koordinatnom sistemu, u zavisnosti od vrste jednačina koje definišu ove prave, a daćemo i detaljna rešenja karakterističnih problema.
Počnimo sa uslovom paralelnosti dve prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy. Njegov dokaz se zasniva na definiciji vektora pravca prave i definicije vektora normale prave na ravni.
Teorema.
Da bi dvije nepodudarne prave bile paralelne u ravni, potrebno je i dovoljno da vektori smjera ovih pravih budu kolinearni, ili da su vektori normale ovih pravi kolinearni, ili da je vektor smjera jedne prave okomit na normalu vektor druge linije.
Očigledno, uvjet paralelizma dvije prave na ravni se svodi na (vektori pravca prava ili normalni vektori pravih) ili na (vektor smjera jedne prave i normalni vektor druge linije). Dakle, ako su i vektori smjera linija a i b, i 
I 
su normalni vektori pravih a i b, redom, tada će nužan i dovoljan uslov za paralelnost pravih a i b biti zapisan kao 
, ili 
, ili , gdje je t neki realni broj. Zauzvrat, koordinate vodilica i (ili) normalnih vektora linija a i b nalaze se pomoću poznatih jednačina linija.
Konkretno, ako prava linija a u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy na ravni definiše opštu pravolinijsku jednačinu oblika 
, i prava b - 
, tada normalni vektori ovih pravih imaju koordinate i, respektivno, a uslov paralelnosti pravih a i b biće zapisan kao .
Ako linija a odgovara jednadžbi prave sa ugaonim koeficijentom oblika , a prava b - , tada normalni vektori ovih pravih imaju koordinate i , a uslov paralelnosti ovih pravih ima oblik 
. Shodno tome, ako su linije na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu paralelne i mogu se specificirati jednačinama linija sa ugaonim koeficijentima, tada će ugaoni koeficijenti pravih biti jednaki. I obrnuto: ako se nepodudarne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu mogu specificirati jednačinama prave sa jednakim ugaonim koeficijentima, onda su takve prave paralelne.
Ako su prava a i prava b u pravougaonom koordinatnom sistemu određene kanonskim jednačinama prave na ravni oblika 
I 
, ili parametarske jednadžbe prave linije na ravni oblika 
I 
shodno tome, vektori smjera ovih linija imaju koordinate i , a uvjet za paralelnost linija a i b zapisuje se kao .
Pogledajmo rješenja na nekoliko primjera.
Primjer.
Jesu li linije paralelne? 
i ?
Rješenje.
Prepišimo jednadžbu prave u segmentima u obliku opšte jednačine prave: 
. Sada možemo vidjeti da je to normalni vektor linije , a je normalni vektor prave. Ovi vektori nisu kolinearni, jer ne postoji pravi broj t za koji je jednakost ( 
). Shodno tome, nužan i dovoljan uslov za paralelnost pravih na ravni nije zadovoljen, pa date prave nisu paralelne.
odgovor:
Ne, prave nisu paralelne.
Primjer.
Da li su prave i paralelne?
Rješenje.
Svedujmo kanonsku jednačinu prave na jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom: . Očigledno je da jednačine pravih i nisu iste (u ovom slučaju date prave bi bile iste) i ugaoni koeficijenti pravih su jednaki, dakle, originalne prave su paralelne.
1. Ako su dvije prave paralelne s trećom linijom, onda su paralelne:
Ako a||c I b||c, To a||b.
2. Ako su dvije prave okomite na treću pravu, onda su paralelne:
Ako a⊥c I b⊥c, To a||b.
Preostali znaci paralelizma pravih zasnovani su na uglovima koji nastaju kada se dve prave seku sa trećom.
3. Ako je zbir unutrašnjih jednostranih uglova 180°, tada su prave paralelne:
Ako je ∠1 + ∠2 = 180°, onda a||b.
4. Ako su odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne:
Ako je ∠2 = ∠4, onda a||b.
5. Ako su unutrašnji poprečni uglovi jednaki, tada su prave paralelne:
Ako je ∠1 = ∠3, onda a||b.
Svojstva paralelnih pravih
Izjave inverzne osobinama paralelnih pravih su njihova svojstva. Oni se zasnivaju na svojstvima uglova nastalih presekom dve paralelne prave sa trećom linijom.
1. Kada dvije paralelne prave sijeku treću pravu, zbir unutrašnjih jednostranih uglova koji su formirane njima jednak je 180°:
Ako a||b, tada ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Kada dvije paralelne prave sijeku treću pravu, odgovarajući uglovi formirani od njih su jednaki:
Ako a||b, tada je ∠2 = ∠4.
3. Kada dvije paralelne prave sijeku treću pravu, poprečni uglovi koje formiraju su jednaki:
Ako a||b, tada je ∠1 = ∠3.
Sljedeće svojstvo je poseban slučaj za svako prethodno:
4. Ako je prava na ravni okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu:
Ako a||b I c⊥a, To c⊥b.
Peto svojstvo je aksiom paralelnih pravih:
5. Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, može se povući samo jedna prava paralelna datoj pravoj.
Oni se ne ukrštaju, bez obzira koliko dugo se nastavljaju. Paralelizam pravih linija u pisanju označava se na sljedeći način: AB|| WITHE
Mogućnost postojanja takvih linija dokazuje se teoremom.
Teorema.
Kroz bilo koju tačku uzetu izvan date prave, može se povući tačka paralelna ovoj pravoj.
Neka AB ova prava linija i WITH neka tačka uzeta izvan nje. To je potrebno dokazati kroz WITH možete nacrtati pravu liniju paralelnoAB. Spustimo ga na AB od tačke WITH okomitoWITHD a onda ćemo sprovesti WITHE^ WITHD, šta je moguće. Pravo C.E. paralelno AB.
Da bismo ovo dokazali, pretpostavimo suprotno, tj C.E. seče AB u nekom trenutku M. Onda iz tačke M na pravu liniju WITHD imali bismo dvije različite okomice MD I GOSPOĐA, što je nemoguće. znači, C.E. ne mogu ukrstiti sa AB, tj. WITHE paralelno AB.
Posljedica.
Dvije okomice (CEID.B.) na jednu pravu liniju (CD) su paralelne.
Aksiom paralelnih pravih.
Kroz istu tačku nemoguće je povući dvije različite prave paralelne sa istom pravom.
Dakle, ako je pravo WITHD, povučen kroz tačku WITH paralelno sa linijom AB, zatim svaki drugi red WITHE, povučen kroz istu tačku WITH, ne može biti paralelno AB, tj. ona je na nastavku će se ukrštati With AB.
Pokazalo se da je dokazivanje ove ne sasvim očigledne istine nemoguće. Prihvaća se bez dokaza, kao neophodna pretpostavka (postulatum).
Posljedice.
1. Ako ravno(WITHE) seče sa jednim od paralelno(NE), tada se siječe s drugim ( AB), jer inače kroz istu tačku WITH bile bi dvije različite linije koje prolaze paralelno AB, što je nemoguće.
2. Ako svaki od njih direktno (AIB) su paralelne sa istom trećom linijom ( WITH) , onda oni paralelno između sebe.
Zaista, ako to pretpostavimo A I B seku u nekom trenutku M, tada bi dvije različite prave paralelne ovoj tački prolazile WITH, što je nemoguće.
Teorema.
Ako linija je okomita na jednu od paralelnih pravih, onda je ona okomita na drugu paralelno.
Neka AB || WITHD I E.F. ^ AB.To je potrebno dokazati E.F. ^ WITHD.
PerpendicularEF, ukrštanje sa AB, sigurno će prijeći i WITHD. Neka je tačka preseka H.
Pretpostavimo sada to WITHD nije okomito na E.H.. Zatim neka druga prava linija, na primjer H.K., bit će okomita na E.H. i stoga kroz istu tačku H biće dva ravna paralela AB: jedan WITHD, po stanju i drugo H.K. kao što je prethodno dokazano. Pošto je to nemoguće, ne može se ni pretpostaviti NE nije bila okomita na E.H..
