03.07.202327.05.2017

Neka realna funkcija zadovolji Dirichletove uslove na intervalu - L, L. Zapisujemo njegovu ekspanziju u trigonometrijski Fourierov red:

Ako u (10.1) izrazimo i kroz eksponencijalnu funkciju imaginarnog argumenta:

onda dobijamo seriju

gdje je zbog (10.2)

Posljednje tri formule mogu se kombinirati:

Niz (10.3) sa koeficijentima (10.4) naziva se trigonometrijski Fourierov red u kompleksnom obliku.

Primjer 1 Proširite funkciju, gdje je kompleksan broj, u Fourierov niz na intervalu.

Rješenje . Pronađite Fourierove koeficijente:

Od tada

Tražena dekompozicija će imati oblik

gde se uzima u obzir da

Primjenom na niz (10.5) Parsevalova jednakost

možete pronaći zbir drugog niza brojeva. Zaista, u našem slučaju

Tada iz (10.6) slijedi

Vježba 1. Dokažite to

indikacija. Stavite (10.5) X= 0 i X = .

Vježba 2. Dokažite da za

Fourierov integral

Konvergencija Fourierovog integrala

Neka je funkcija definirana na cijeloj realnoj osi. Uz pretpostavku da na proizvoljnom konačnom intervalu - L, L data funkcija zadovoljava Dirichletove uslove, predstavljamo je kao trigonometrijski Fourierov red u kompleksnom obliku:

Frekvencija k-th harmonic; .

Unoseći izraze (11.2) u (11.1), dobijamo

Kada vrijednost. Desna strana formule (11.3) je slična integralnoj sumi za funkciju u odnosu na promenljivu u intervalu. Stoga možemo očekivati da nakon prelaska u (11.3) do granice na , umjesto niza, dobijemo integral

Formula (11.4) naziva se formula Fourierovog integrala, a njena desna strana se naziva Fourierov integral.

Obrazloženje kojim se dobija formula (11.4) nije rigorozno i ima samo sugestivni karakter. Uslovi pod kojima vrijedi Fourierova integralna formula utvrđeni su teoremom, koju prihvatamo bez dokaza.

Teorema. Neka je funkcija, prvo, apsolutno integrabilna na intervalu, tj. integral konvergira, i, kao drugo, zadovoljava Dirichletove uslove na svakom konačnom intervalu (- L, L). Tada Fourierov integral konvergira (u smislu glavne vrijednosti) svuda na, tj. jednakost (11.4) vrijedi za sve X iz intervala. Ovdje se, kao i prije, pretpostavlja da je u tački diskontinuiteta vrijednost funkcije jednaka polovini sume njenih jednostranih granica u ovoj tački.

Fourierova transformacija

Formulu Fourierovog integrala (11.4) transformiramo na sljedeći način. Hajde da stavimo

Ako je funkcija kontinuirana i apsolutno integrabilna na cijeloj osi, tada je funkcija kontinuirana na intervalu. Zaista, od tada

a pošto integral na desnoj strani konvergira, integral na lijevoj strani konvergira. stoga integral u (12.1) apsolutno konvergira. Jednakost (12.2) važi istovremeno za sve, pa integral (12.1) konvergira jednolično u odnosu na. Otuda slijedi da je funkcija kontinuirana (baš kao što uniformna konvergencija niza sastavljenog od kontinuiranih funkcija implicira kontinuitet njenog sume).

Iz (11.4) dobijamo

Kompleksna funkcija definirana formulom (12.1) naziva se Fourierova transformacija ili Fourierova transformacija funkcije. Zauzvrat, formula (12.3) definira kao inverznu Fourierovu transformaciju, ili inverznu sliku funkcije. Jednakost (12.3) za datu funkciju može se posmatrati kao integralna jednačina u odnosu na funkciju čije je rješenje dato formulom (12.1). I obrnuto, rješenje integralne jednadžbe (12.1) u odnosu na funkciju za datu je dato formulom (12.3).

U formuli (12.3), izraz specificira, uslovno rečeno, paket kompleksnih harmonika sa frekvencijama koje su kontinuirano raspoređene preko jaza i ukupnom kompleksnom amplitudom. Funkcija se naziva spektralna gustina. Formula (12.2), napisana kao

može se tumačiti kao dekompozicija funkcije na zbir harmonijskih paketa čije frekvencije čine kontinuirani spektar raspoređen u intervalu.

Parseval jednakosti. Neka su i Fourierove slike realnih funkcija i, respektivno. Onda

one. unutrašnji proizvodi i norme funkcija su invarijante Fourierove transformacije. Dokažimo ovu tvrdnju. po definiciji skalarnog proizvoda, imamo. Zamjenom funkcije njenim izrazom (12.3) u terminima Fourierove transformacije dobijamo

Zbog (12.1)

Stoga, tj. formula (12.4) je dokazana. Formula (12.5) je dobijena iz (12.4) pri.

Kosinus i sinus Fourierove transformacije. Ako je realna funkcija parna, onda je njena Fourierova transformacija, koju ovdje označavamo, također realna parna funkcija. stvarno,

Posljednji integral, zbog neparnosti integrala, nestaje. dakle,

Ovdje se koristi svojstvo (7.1) parnih funkcija.

Iz (12.6) slijedi da je funkcija realna i ravnomjerno ovisi o njoj, jer ulazi u (12.6) samo preko kosinusa.

Formula (12.3) inverzne Fourierove transformacije u ovom slučaju daje

Budući da su i parne i neparne funkcije varijable, onda

Formule (12.6) i (12.7) definiraju Fourierovu kosinusnu transformaciju.

Slično, ako je realna funkcija neparna, onda je njena Fourierova transformacija, gdje je realna neparna funkcija od. Gde

Jednačine (12.8), (12.9) definiraju sinusnu Fourierovu transformaciju.

Imajte na umu da formule (12.6) i (12.8) uključuju vrijednosti funkcije samo za. Stoga se kosinusne i sinusne Fourierove transformacije mogu primijeniti i na funkciju definiranu na polubeskonačnom intervalu. U ovom slučaju, za , integrali u formulama (12.7) i (12.9) konvergiraju datoj funkciji, a za , njenim parnim i neparnim ekstenzijama, respektivno.

Koji su se već prilično zasitili. I osjećam da je došao trenutak kada je došlo vrijeme da se iz strateških rezervi teorije izvuče nova konzervirana hrana. Da li je moguće proširiti funkciju u niz na neki drugi način? Na primjer, izraziti segment prave linije u smislu sinusa i kosinusa? Čini se nevjerovatnim, ali takve naizgled udaljene funkcije su pogodne za sebe
"ponovno okupljanje". Pored poznatih diploma u teoriji i praksi, postoje i drugi pristupi proširenju funkcije u niz.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa trigonometrijskim Fourierovim redom, dotaknuti se pitanja njegove konvergencije i sume i, naravno, analiziraćemo brojne primere za proširenje funkcija u Fourierov red. Iskreno sam želio nazvati članak "Furierov niz za lutke", ali to bi bilo lukavo, jer će rješavanje problema zahtijevati poznavanje drugih dijelova matematičke analize i određeno praktično iskustvo. Stoga će preambula ličiti na obuku astronauta =)

Prvo, proučavanju materijala stranice treba pristupiti u odličnoj formi. Pospan, odmoran i priseban. Bez jakih emocija o slomljenoj šapi hrčka i opsesivnih misli o teškoćama života akvarijskih riba. Fourierova serija nije teška sa stanovišta razumijevanja, međutim, praktični zadaci jednostavno zahtijevaju povećanu koncentraciju pažnje - idealno bi trebalo potpuno napustiti vanjske podražaje. Situaciju otežava činjenica da ne postoji jednostavan način da se proveri rešenje i odgovor. Dakle, ako je vaše zdravlje ispod prosjeka, onda je bolje učiniti nešto jednostavnije. Da li je istina.

Drugo, prije letenja u svemir potrebno je proučiti instrument ploču letjelice. Počnimo s vrijednostima funkcija koje treba kliknuti na mašini:

Za bilo koju prirodnu vrijednost:

1) . I zapravo, sinusoida "treperi" x-osu kroz svako "pi":
. U slučaju negativnih vrijednosti argumenta, rezultat će, naravno, biti isti: .

2). Ali nisu svi to znali. Kosinus "pi en" je ekvivalent "blistavom svjetlu":

Negativan argument ne mijenja slučaj: .

Mozda dosta.

I treće, dragi kosmonautski zbor, morate biti u stanju da ... integrisati.
Konkretno, svakako dovesti funkciju pod diferencijalni predznak, integrirati po dijelovima i biti u dobrim odnosima sa Newton-Leibnizova formula. Počnimo sa važnim vježbama prije leta. Izričito ne preporučujem da ga preskačete, kako se kasnije ne biste spljoštili u nultom gravitaciji:

Primjer 1

Izračunati određene integrale

gdje preuzima prirodne vrijednosti.

Rješenje: integracija se vrši preko varijable "x" i u ovoj fazi se diskretna varijabla "en" smatra konstantom. U svim integralima dovesti funkciju pod znak diferencijala:

Kratka verzija rješenja, na koju bi bilo dobro pucati, izgleda ovako:

navikavanje na:

Četiri preostale tačke su same za sebe. Pokušajte da se savjesno odnosite prema zadatku i na kratak način posložite integrale. Primjeri rješenja na kraju lekcije.

Nakon KVALITETNE vježbe obukli smo skafandere
i spremam se za početak!

Proširivanje funkcije u Fourierov red na intervalu

Razmotrimo funkciju koja odlučan barem na intervalu (i, eventualno, na većem intervalu). Ako je ova funkcija integrabilna na segmentu, onda se može proširiti u trigonometriju Fourierova serija:
, gdje se nalaze tzv Fourierovi koeficijenti.

U ovom slučaju se poziva broj period raspadanja, a broj je razlaganje poluraspada.

Očigledno, u opštem slučaju, Fourierov red se sastoji od sinusa i kosinusa:

Zaista, hajde da to napišemo detaljno:

Nulti član serije obično se piše kao .

Fourierovi koeficijenti se izračunavaju pomoću sljedećih formula:

Savršeno dobro razumijem da su novi pojmovi još uvijek nejasni za početnike da proučavaju temu: period raspadanja, poluciklus, Fourierovi koeficijenti i drugi Bez panike, to se ne može porediti sa uzbuđenjem prije svemirske šetnje. Hajde da sve shvatimo u najbližem primjeru, prije izvođenja kojeg je logično postaviti goruća praktična pitanja:

Šta treba da uradite u sledećim zadacima?

Proširite funkciju u Fourierov niz. Osim toga, često je potrebno nacrtati graf funkcije, graf zbira niza, parcijalni zbir, au slučaju sofisticiranih profesorskih fantazija, učiniti nešto drugo.

Kako proširiti funkciju u Fourierov red?

U suštini, morate pronaći Fourierovi koeficijenti, odnosno sastaviti i izračunati tri određeni integrali.

Molimo kopirajte opći oblik Fourierove serije i tri radne formule u svoju bilježnicu. Veoma mi je drago da se nekim posetiocima sajta ostvario san iz detinjstva da postanu astronaut pred mojim očima =)

Primjer 2

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu . Napravi graf, graf zbira niza i parcijalnog zbira.

Rješenje: prvi dio zadatka je proširiti funkciju u Fourierov red.

Početak je standardan, obavezno zapišite:

U ovom problemu, period ekspanzije, poluperiod.

Proširujemo funkciju u Fourierov red na interval:

Koristeći odgovarajuće formule, nalazimo Fourierovi koeficijenti. Sada treba da sastavimo i izračunamo tri određeni integrali. Radi praktičnosti, numerisaću tačke:

1) Prvi integral je najjednostavniji, ali već zahtijeva oko i oko:

2) Koristimo drugu formulu:

Ovaj integral je dobro poznat i uzima to po komadu:

Kada se nađe korišteno metoda dovođenja funkcije pod diferencijalni predznak.

U zadatku koji se razmatra, pogodnije je odmah koristiti formula za integraciju po dijelovima u određenom integralu :

Par tehničkih napomena. Prvo, nakon primjene formule cijeli izraz mora biti stavljen u velike zagrade, pošto postoji konstanta ispred originalnog integrala. Nemojmo ga izgubiti! Zagrade se mogu otvoriti na bilo kom daljem koraku, ja sam to uradio na poslednjem koraku. U prvom "komadu" pokazujemo izuzetnu tačnost u zameni, kao što vidite, konstanta je van funkcije, a granice integracije su zamenjene u proizvodu. Ova radnja je označena uglastim zagradama. Pa, integral drugog "komadića" formule vam je dobro poznat iz zadatka za obuku ;-)

I što je najvažnije - krajnja koncentracija pažnje!

3) Tražimo treći Furijeov koeficijent:

Dobija se relativ prethodnog integrala, koji je takođe integrisan po dijelovima:

Ovaj primjer je malo složeniji, komentirat ću dalje korake korak po korak:

(1) Čitav izraz je stavljen u velike zagrade.. Nisam želio da izgledam kao dosadno, prečesto gube konstantu.

(2) U ovom slučaju, odmah sam proširio te velike zagrade. Posebna pažnja posvećujemo prvom “komadu”: stalno puši sa strane i ne učestvuje u zamjeni granica integracije ( i ) u proizvod. S obzirom na nered u zapisu, ponovo je preporučljivo ovu radnju istaknuti u uglastim zagradama. Sa drugim "komadom" sve je jednostavnije: ovdje se razlomak pojavio nakon otvaranja velikih zagrada, a konstanta - kao rezultat integracije poznatog integrala ;-)

(3) U uglastim zagradama vršimo transformacije, au desnom integralu zamjenjujemo granice integracije.

(4) Izvadimo “flašer” iz uglastih zagrada: , nakon čega otvaramo unutrašnje zagrade: .

(5) Poništimo 1 i -1 u zagradama, napravimo konačna pojednostavljenja.

Konačno pronađena sva tri Furijeova koeficijenta:

Zamijenite ih u formulu :

Ne zaboravite podijeliti na pola. U poslednjem koraku, konstanta ("minus dva"), koja ne zavisi od "en", izvlači se iz zbira.

Tako smo dobili proširenje funkcije u Fourierov red na intervalu:

Proučimo pitanje konvergencije Fourierovog reda. Posebno ću objasniti teoriju Dirichletova teorema, doslovno "na prste", pa ako su vam potrebne stroge formulacije, pogledajte udžbenik iz matematike (na primjer, 2. tom Bohana; ili 3. tom Fihtenholca, ali je u njemu teže).

U drugom dijelu zadatka potrebno je nacrtati graf, graf sume serije i graf parcijalne sume.

Grafikon funkcije je uobičajen prava linija na ravni, koji je nacrtan crnom isprekidanom linijom:

Bavimo se zbirom serije. Kao što znate, funkcionalni nizovi konvergiraju funkcijama. U našem slučaju, konstruisani Fourierov red za bilo koju vrijednost "x" konvergira funkciji prikazanoj crvenom bojom. Ova funkcija podliježe pauze 1. vrste u tačkama, ali i definisane u njima (crvene tačke na crtežu)

ovako: . Lako je uočiti da se značajno razlikuje od originalne funkcije, zbog čega je u notaciji umjesto znaka jednakosti koristi se tilda.

Proučimo algoritam pomoću kojeg je zgodno konstruirati zbir niza.

Na središnjem intervalu, Fourierov red konvergira samoj funkciji (središnji crveni segment poklapa se sa crnom isprekidanom linijom linearne funkcije).

Hajdemo sada malo o prirodi razmatrane trigonometrijske ekspanzije. Fourierova serija uključuje samo periodične funkcije (konstante, sinuse i kosinuse), dakle zbir serije je također periodična funkcija.

Šta to znači u našem konkretnom primjeru? A to znači da je zbir serije –obavezno periodično a crveni segment intervala mora se beskonačno ponavljati lijevo i desno.

Mislim da je sada konačno postalo jasno značenje izraza "period raspadanja". Jednostavno rečeno, svaki put se situacija iznova ponavlja.

U praksi je obično dovoljno prikazati tri perioda dekompozicije, kao što je urađeno na crtežu. Pa, i još "panjeva" susjednih perioda - da bude jasno da se grafikon nastavlja.

Od posebnog interesa su tačke diskontinuiteta 1. vrste. U takvim tačkama Fourierov red konvergira ka izolovanim vrednostima, koje se nalaze tačno na sredini „skoka“ diskontinuiteta (crvene tačke na crtežu). Kako pronaći ordinate ovih tačaka? Prvo, pronađimo ordinatu "gornjeg kata": za ovo izračunavamo vrijednost funkcije u krajnjoj desnoj tački centralnog perioda proširenja: . Da biste izračunali ordinatu „donjeg sprata“, najlakši način je da uzmete krajnju levu vrednost istog perioda: . Ordinata srednje vrijednosti je aritmetička sredina zbira "vrh i dna": . Lijepo je to što ćete prilikom izrade crteža odmah vidjeti da li je sredina ispravno ili netačno izračunata.

Konstruirajmo parcijalni zbir niza i u isto vrijeme ponovimo značenje pojma "konvergencija". Motiv je poznat iz lekcije o zbir niza brojeva. Hajde da detaljno opišemo naše bogatstvo:

Da biste napravili delimičan zbir, potrebno je da zapišete nula + još dva člana serije. To je,

Na crtežu je grafik funkcije prikazan zelenom bojom i, kao što vidite, prilično čvrsto obavija ukupan zbir. Ako uzmemo u obzir djelomični zbir pet članova serije, tada će graf ove funkcije još preciznije aproksimirati crvene linije, ako postoji stotinu članova, tada će se "zelena zmija" zapravo potpuno spojiti s crvenim segmentima, itd. Dakle, Fourierov red konvergira svom zbiru.

Zanimljivo je napomenuti da bilo koji parcijalni zbroj jeste kontinuirana funkcija, ali je ukupan zbroj serije i dalje diskontinuiran.

U praksi, nije neuobičajeno da se napravi graf parcijalne sume. Kako uraditi? U našem slučaju, potrebno je razmotriti funkciju na segmentu, izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u međutočkama (što više tačaka uzmete u obzir, to će graf biti tačniji). Zatim treba da označite ove tačke na crtežu i pažljivo nacrtate grafikon na periodu, a zatim ga „replicirate“ u susedne intervale. Kako drugačije? Uostalom, aproksimacija je također periodična funkcija ... ... njen graf me nekako podsjeća na ujednačen srčani ritam na displeju medicinskog uređaja.

Naravno, nije baš zgodno izvoditi konstrukciju, jer morate biti izuzetno oprezni, održavajući tačnost ne manju od pola milimetra. Ipak, ugodit ću čitaocima koji se ne slažu sa crtanjem - u "pravom" zadatku, daleko od toga nije uvijek potrebno crtanje, negdje u 50% slučajeva je potrebno proširiti funkciju u Fourierov niz i to je to.

Nakon završetka crteža, završavamo zadatak:

Odgovori:

U mnogim zadacima funkcija trpi ruptura 1. vrste pravo na period raspadanja:

Primjer 3

Proširite u Fourierov red funkciju datu na intervalu . Nacrtajte graf funkcije i ukupnog zbroja niza.

Predložena funkcija je data po komadima (i, imajte na umu, samo na segmentu) i izdržati ruptura 1. vrste u tački . Da li je moguće izračunati Fourierove koeficijente? Nema problema. I lijevi i desni dio funkcije su integrabilni na svojim intervalima, tako da integrale u svakoj od tri formule treba predstaviti kao zbir dva integrala. Pogledajmo, na primjer, kako se to radi za nulti koeficijent:

Pokazalo se da je drugi integral jednak nuli, što je smanjilo rad, ali to nije uvijek slučaj.

Dva druga Fourierova koeficijenta pišu se slično.

Kako prikazati zbir niza? Na lijevom intervalu crtamo segment prave linije, a na intervalu - segment prave linije (označite dio ose podebljano-podebljano). Odnosno, na intervalu proširenja, zbir niza se poklapa sa funkcijom svuda, osim za tri "loše" tačke. U tački diskontinuiteta funkcije, Fourierov red konvergira do izolovane vrijednosti, koja se nalazi tačno u sredini „skoka“ diskontinuiteta. Nije teško to vidjeti usmeno: lijevo ograničenje:, desna granica: i, očigledno, ordinata sredine je 0,5.

Zbog periodičnosti sume, slika se mora „pomnožiti“ u susjedne periode, posebno prikazati istu stvar na intervalima i . U ovom slučaju, u tačkama, Fourierov red konvergira srednjim vrijednostima.

U stvari, tu nema ničeg novog.

Pokušajte sami riješiti ovaj problem. Približan uzorak finog dizajna i crteža na kraju lekcije.

Proširenje funkcije u Fourierov red na proizvoljan period

Za proizvoljni period ekspanzije, gdje je "el" bilo koji pozitivan broj, formule za Fourierov red i Fourierove koeficijente razlikuju se u malo kompliciranijem sinusnom i kosinusnom argumentu:

Ako je , tada dobivamo formule za interval s kojim smo započeli.

Algoritam i principi za rješavanje problema u potpunosti su očuvani, ali se povećava tehnička složenost proračuna:

Primjer 4

Proširite funkciju u Fourierov red i nacrtajte zbir.

Rješenje: zapravo, analog primjera br. 3 sa ruptura 1. vrste u tački . U ovom problemu, period ekspanzije, poluperiod. Funkcija je definirana samo na poluintervalu, ali to ne mijenja stvari - važno je da su oba dijela funkcije integrabilna.

Proširimo funkciju u Fourierov niz:

Budući da je funkcija diskontinuirana u početku, svaki Fourierov koeficijent očito treba napisati kao zbir dvaju integrala:

1) Prvi integral ću napisati što je moguće detaljnije:

2) Pažljivo zavirite u površinu mjeseca:

Drugi integral uzeti u delovima:

Na šta treba obratiti posebnu pažnju nakon što otvorimo nastavak rješenja sa zvjezdicom?

Prvo, ne gubimo prvi integral , gdje odmah izvršavamo dovodeći pod znak diferencijala. Drugo, ne zaboravite na nesrećnu konstantu ispred velikih zagrada i nemojte se zbuniti znakovima kada koristite formulu. Velike zagrade, na kraju krajeva, pogodnije je otvoriti odmah u sljedećem koraku.

Ostalo je stvar tehnike, samo nedovoljno iskustvo u rješavanju integrala može uzrokovati poteškoće.

Da, nisu uzalud bili ogorčeni eminentni kolege francuskog matematičara Fouriera - kako se usudio da razloži funkcije u trigonometrijske nizove ?! =) Inače, vjerovatno sve zanima praktično značenje dotičnog zadatka. I sam Fourier je radio na matematičkom modelu provođenja toplote, a potom je serija nazvana po njemu počela da se koristi za proučavanje mnogih periodičnih procesa, koji su očigledno nevidljivi u spoljnom svetu. Sada sam, inače, uhvatio sebe kako mislim da nije slučajno što sam uporedio grafikon drugog primjera s periodičnim srčanim ritmom. Zainteresovani se mogu upoznati sa praktičnom primjenom Fourierove transformacije iz izvora trećih strana. ... Iako je bolje ne - pamtiće se kao Prva ljubav =)

3) S obzirom na više puta spominjane slabe karike, bavimo se trećim koeficijentom:

Integracija po dijelovima:

Pronađene Fourierove koeficijente zamjenjujemo u formulu , ne zaboravljajući podijeliti nulti koeficijent na pola:

Nacrtajmo zbir serije. Ponovimo ukratko postupak: na intervalu gradimo liniju, a na intervalu - liniju. Sa nultom vrijednošću "x", stavljamo tačku u sredinu "skoka" jaza i "repliciramo" grafikon za susjedne periode:

Na "spojnicama" perioda, zbir će takođe biti jednak sredinama "skoka" jaza.

Spreman. Podsjećam da je sama funkcija uvjetno definirana samo na poluintervalu i očito se poklapa sa zbrojem nizova na intervalima

Odgovori:

Ponekad je funkcija zadana po komadima također kontinuirana u periodu ekspanzije. Najjednostavniji primjer: . Rješenje (Vidi Bohan tom 2) je isto kao u prethodna dva primjera: uprkos kontinuitet funkcije u tački , svaki Fourier koeficijent se izražava kao zbir dva integrala.

U intervalu raskida tačke diskontinuiteta 1. vrste i/ili "spojnih" tačaka grafa može biti više (dvije, tri i općenito bilo koje final količina). Ako je funkcija integrabilna na svakom dijelu, onda je i proširiva u Fourierov red. Ali iz praktičnog iskustva ne pamtim takvu limenku. Ipak, postoje i teži zadaci nego što su samo razmatrani, a na kraju članka za svakoga su linkovi na Fourierove serije povećane složenosti.

U međuvremenu, opustimo se, zavalivši se u fotelje i promatrajući beskrajna zvjezdana prostranstva:

Primjer 5

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu i nacrtajte zbir tog niza.

U ovom zadatku, funkcija kontinuirano na poluintervalu dekompozicije, što pojednostavljuje rješenje. Sve je vrlo slično primjeru #2. Ne možete pobjeći od svemirskog broda - morate odlučiti =) Primjer dizajna na kraju lekcije, raspored je u prilogu.

Proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red

Uz parne i neparne funkcije, proces rješavanja problema je značajno pojednostavljen. I zato. Vratimo se na proširenje funkcije u Fourierov red na period od "dva pi" i proizvoljna tačka "dva ala" .

Pretpostavimo da je naša funkcija parna. Opšti pojam serije, kao što vidite, sadrži parne kosinuse i neparne sinuse. A ako dekomponiramo EVEN funkciju, zašto su nam onda potrebni neparni sinusi?! Resetujmo nepotreban koeficijent: .

dakle, parna funkcija se proširuje u Fourierov red samo u kosinusima:

Zbog integrali parnih funkcija preko segmenta integracije simetričan u odnosu na nulu može se udvostručiti, tada se ostali Furijeovi koeficijenti također pojednostavljuju.

za raspon:

Za proizvoljan interval:

Primjeri udžbenika koji se nalaze u gotovo svakom udžbeniku računanja uključuju proširenja parnih funkcija . Osim toga, više puta su se sreli u mojoj ličnoj praksi:

Primjer 6

Zadata funkcija. Obavezno:

1) proširiti funkciju u Fourierov red s periodom, gdje je proizvoljan pozitivan broj;

2) zapisati ekspanziju na intervalu, izgraditi funkciju i nacrtati ukupan zbir niza.

Rješenje: u prvom pasusu se predlaže da se problem riješi na opći način, i to je vrlo zgodno! Biće potrebe - samo zamijenite svoju vrijednost.

1) U ovom problemu, period ekspanzije , poluperiod . U toku daljih radnji, posebno tokom integracije, "el" se smatra konstantom

Funkcija je parna, što znači da se širi u Fourierov niz samo u kosinusima: .

Fourierovi koeficijenti se traže po formulama . Obratite pažnju na njihove apsolutne prednosti. Prvo, integracija se vrši preko pozitivnog segmenta proširenja, što znači da se sigurno rješavamo modula , uzimajući u obzir samo "x" od dva komada. I, drugo, integracija je primjetno pojednostavljena.

dva:

Integracija po dijelovima:

ovako:
, dok se konstanta , koja ne zavisi od "en", uzima iz zbira.

Odgovori:

2) Zapisujemo proširenje na intervalu, za to zamjenjujemo željenu vrijednost poluperioda u opću formulu:

Trigonometrijska Fourierova serija se zove serija

a0 /2 + a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos2 x + b 2 sin2 x + ... + a ncos nx + b n sin nx + ...

gdje su brojevi a0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n b n,... - Furijeovi koeficijenti.

Sažetija notacija Fourierove serije sa simbolom "sigma":

Kao što smo upravo ustanovili, za razliku od potencijskog reda, u Fourierovom redu, umjesto najjednostavnijih funkcija uzimaju se trigonometrijske funkcije

1/2 cos x, sin x, cos2 x, sin2 x, ..., cos nx, sin nx, ... .

Fourierovi koeficijenti se izračunavaju pomoću sljedećih formula:

Sve gore navedene funkcije u Fourierovom redu su periodične funkcije s periodom od 2 π . Svaki član trigonometrijskog Fourierovog reda je periodična funkcija sa periodom 2 π .

Prema tome, svaki djelimični zbir Furijeovog reda ima period od 2 π . Iz toga slijedi da ako Fourierov red konvergira na segmentu [- π , π ] , tada konvergira na cijelu realnu pravu i njen zbir, kao granica niza periodičnih parcijalnih suma, je periodična funkcija s periodom 2 π .

Konvergencija Fourierovog reda i zbira reda

Neka funkcija F(x) definirana na cijeloj brojevnoj pravoj i periodična sa periodom 2 π , je periodični nastavak funkcije f(x) , ako je na segmentu [- π , π ] se javlja F(x) = f(x)

Ako u intervalu [- π , π ] Fourierov red konvergira funkciji f(x) , tada konvergira na cijeloj brojevnoj pravoj do svog periodičnog produžetka.

Odgovor na pitanje pod kojim uslovima je Fourierov red funkcije f(x) konvergira ovoj funkciji, data je sljedećom teoremom.

Teorema. Neka funkcija f(x) i njegov derivat f"(x) - kontinuirano na intervalu [- π , π ] ili na sebi imaju konačan broj tačaka diskontinuiteta prve vrste. Zatim Fourierov red funkcije f(x) konvergira na cijeloj brojevnoj pravoj iu svakoj tački x koji pripadaju segmentu [- π , π ] , pri čemu f(x) je kontinuiran, zbir niza je f(x) i u svakoj tački x0 diskontinuitet funkcije, zbir niza je jednak aritmetičkoj sredini granica funkcije f(x) desno i lijevo:

Gdje I .

Na krajevima segmenta [- π , π ] zbroj serije jednak je aritmetičkoj sredini vrijednosti funkcije u krajnjoj lijevoj i krajnjoj desnoj tački perioda ekspanzije:

U bilo kom trenutku x koji pripadaju segmentu [- π , π ] , zbir Furijeovog reda je jednak F(x) , Ako x- tačka kontinuiteta F(x) , i jednaka je aritmetičkoj sredini granica F(x) lijevo i desno:

Ako x- tačka preloma F(x) , Gdje F(x) - periodični nastavak f(x) .

Primjer 1 Periodična funkcija f(x) sa periodom 2 π definiran na sljedeći način:

Ovu funkciju je lakše napisati kao f(x) = |x| . Proširite funkciju u Fourierov red, odredite konvergenciju reda i zbroj niza.

Rješenje. Definirajmo Fourierove koeficijente ove funkcije:

Sada imamo sve da dobijemo Fourierov niz ove funkcije:

Ovaj niz konvergira u svim tačkama, a njegov zbir je jednak datoj funkciji.

Riješite sami problem Fourierovog reda, a zatim pogledajte rješenje

Fourierov red za parne i neparne funkcije

Neka funkcija f(x) je definiran na segmentu [- π , π ] i paran je, tj. f(- x) = f(x) . Zatim njegovi koeficijenti bn jednaki su nuli. I za koeficijente an sljedeće formule su tačne:

Sada neka funkcija f(x) definiran na intervalu [- π , π ] , neparan, tj. f(x) = -f(- x) . Zatim Fourierovi koeficijenti an jednaki su nuli, a koeficijenti bn određuje se formulom

Kao što se može vidjeti iz gornjih formula, if funkcija f(x) je paran, onda Fourierov red sadrži samo kosinuse, a ako je neparan, onda samo sinuse.

Primjer 3

Rješenje. Ovo je neparna funkcija, tako da su njeni Fourierovi koeficijenti, a da biste pronašli, morate izračunati definitivni integral:

Ova jednakost vrijedi za bilo koje . U tačkama se zbir Fourierovog reda, prema teoremi datoj u drugom paragrafu, ne poklapa sa vrijednostima funkcije, već je jednak . Izvan segmenta, suma serije je periodični nastavak funkcije , njen graf je dat gore kao ilustracija zbira niza.

Primjer 4 Proširite funkciju u Fourierov niz.

Rješenje. Ovo je parna funkcija, tako da su njeni Fourierovi koeficijenti, a da biste ih pronašli, morate izračunati određene integrale:

Dobijamo Fourierov niz ove funkcije:

Ova jednakost vrijedi za bilo koje, budući da se u tačkama zbroj Furijeovog reda u ovom slučaju poklapa sa vrijednostima funkcije, budući da .

Fourierov red s obzirom na bilo koji ortogonalni sistem funkcija

Niz funkcija kontinuirano na intervalu [ a,b], zove se ortogonalni sistem funkcija na intervalu[a,b], ako su sve funkcije niza parno ortogonalne na ovom segmentu, tj.

Sistem se naziva ortogonalnim i normalizovanim (ortonormalnim) na intervalu,

ako je uslov ispunjen

Pusti sada f(x) - bilo koja funkcija kontinuirana na intervalu [ a,b]. Blizu Fouriera takvu funkciju f(x) na segmentu [ a,b] po ortogonalnom sistemu red se zove:

čiji su koeficijenti određeni jednakošću:

N=1,2,...

Ako je ortogonalni sistem funkcija na segmentu [ a,b] je ortonormalno, onda u ovom slučaju

Gdje n=1,2,...

Pusti sada f(x) je svaka funkcija koja je kontinuirana ili ima konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste na segmentu [ a,b]. Blizu Fourierove takve funkcije f(x) na istom segmentu

prema ortogonalnom sistemu, niz se naziva:

Ako je Fourierov red funkcije f(x) prema sistemu (1) konvergira funkciji f(x) na svakoj njenoj tački kontinuiteta koja pripada segmentu [ a,b]. U ovom slučaju to kažu f(x) na segmentu [ a,b] se širi u niz u terminima ortogonalnog sistema (1).

Kompleksni oblik Fourierovog reda

Izraz se naziva kompleksnim oblikom Fourierovog reda funkcije f(x) ako je definirano jednakošću

,Gdje

Prijelaz iz Fourierovog niza u složenom obliku na niz u realnom obliku i obrnuto vrši se pomoću formula:

(n=1,2, . . .)

Problem vibracije strune

Neka je niz dužine rastegnut u ravnoteži l upoznaj x= 0 i x=l. Pretpostavimo da je struna van ravnoteže i da slobodno oscilira. Razmotrićemo male vibracije strune koje se javljaju u vertikalnoj ravni.

Pod gore navedenim pretpostavkama može se pokazati da je funkcija u(x,t) karakterizirajući položaj niza u svakom trenutku vremena t, zadovoljava jednačinu

(1) , gdje je a pozitivan broj.

Naš zadatak je pronaći funkciju u(x,t), čiji graf daje oblik niza u bilo kojem trenutku t, tj. pronaći rješenje jednadžbe (1) na granici:

i početni uslovi:

Prvo ćemo tražiti rješenja jednačine (1) koja zadovoljavaju granične uslove (2). Lako je to vidjeti u(x,t) 0 je rješenje jednačine (1) koje zadovoljava granične uslove (2). Tražit ćemo rješenja koja nisu identično jednaka 0, a koja se mogu predstaviti kao proizvod u(x,t)=X(x)T(t), (4) , gdje je , .

Zamjena izraza (4) u jednačinu (1) daje:

Od čega se naš zadatak svodi na pronalaženje rješenja jednadžbi:

Koristeći ovaj uslov X(0)=0, X(l)=0, dokazat ćemo da je to negativan broj ispitivanjem svih slučajeva.

a) Neka Onda X”=0 i njegovo opće rješenje je zapisano na sljedeći način:

odakle i , što je nemoguće, budući da razmatramo rješenja koja ne nestaju identično.

b) Neka . Zatim rješavanje jednačine

dobijamo , i, podređujući, nalazimo to

c) Ako onda

Jednačine imaju korijene:

Gdje - proizvoljne konstante. Iz početnog stanja nalazimo:

odakle, tj.

(n=1,2,...)

(n=1,2,...).

S obzirom na ovo, možemo napisati:

(N=1,2,...).

i zbog toga

, (n=1,2,...),

ali pošto su A i B različiti za različite vrijednosti n, imamo

, (n=1,2,...),

gdje su i proizvoljne konstante, koje ćemo pokušati odrediti na način da niz zadovolji jednačinu (1), granične uslove (2) i početne uslove (3).

Dakle, dodijelimo funkciju u(x,t) na početne uslove, odnosno biramo i tako da se uslovi

Ove jednakosti su, respektivno, proširenja funkcija i na segmente u Fourierovom redu u smislu sinusa. (To znači da će se koeficijenti izračunati kao za neparne funkcije). Dakle, rješenje za vibraciju strune sa datim graničnim i početnim uvjetima je dato formulom

(n=1,2,...)

Fourierov integral

Dovoljni uslovi za reprezentativnost funkcije u Fourierovom integralu.

Da bi f(x) je predstavljen Fourierovim integralom u svim tačkama kontinuiteta i regularnim tačkama diskontinuiteta, dovoljno je:

1) apsolutna integrabilnost uključena

(tj. integral konvergira)

2) na bilo kojem konačnom segmentu [- L, L] funkcija bi bila glatka po komadima

3) u tačkama diskontinuiteta funkcije, njen Fourierov integral je određen poluzbirom lijeve i desne granice u tim tačkama, a u tačkama kontinuiteta same funkcije f(x)

Fourierov integral funkcije f(x) je integral oblika: