Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
SAŽETAK
“Potpuna studija funkcije i konstrukcije njenog grafa.”
UVOD
Proučavanje svojstava funkcije i crtanje njenog grafa jedna je od najljepših primjena izvoda. Ova metoda proučavanja funkcije je više puta podvrgnuta pažljivoj analizi. Glavni razlog je to što je u primjenama matematike bilo potrebno baviti se sve složenijim funkcijama koje su se pojavljivale prilikom proučavanja novih pojava. Pojavili su se izuzeci od pravila koja je razvila matematika, pojavili su se slučajevi kada stvorena pravila uopće nisu bila prikladna, pojavile su se funkcije koje ni u jednom trenutku nisu imale izvod.
Svrha izučavanja kursa algebre i elementarne analize u 10.-11. razredu je sistematsko proučavanje funkcija, otkrivanje primijenjene vrijednosti opštih metoda matematike u vezi sa proučavanjem funkcija.
Razvoj funkcionalnih koncepata u toku izučavanja algebre i početak analize na višem nivou obrazovanja pomaže srednjoškolcima da steknu vizuelne ideje o kontinuitetu i diskontinuitetima funkcija, uče o kontinuitetu bilo koje elementarne funkcije iz oblasti njegovu primjenu, nauče da konstruišu njihove grafove i generalizuju informacije o glavnim elementarnim funkcijama i razumiju njihovu ulogu u proučavanju fenomena stvarnosti, u ljudskoj praksi.
Povećajuće i opadajuće funkcije
Rješavanje različitih problema iz oblasti matematike, fizike i tehnologije dovodi do uspostavljanja funkcionalnog odnosa između varijabli uključenih u ovaj fenomen.
Ako se takva funkcionalna zavisnost može izraziti analitički, odnosno u obliku jedne ili više formula, onda je moguće proučavati je pomoću matematičke analize.
Ovo se odnosi na mogućnost pojašnjenja ponašanja funkcije kada se mijenja jedna ili druga varijabla (gdje se funkcija povećava, gdje smanjuje, gdje dostiže maksimum, itd.).
Primjena diferencijalnog računa u proučavanju funkcije temelji se na vrlo jednostavnoj vezi koja postoji između ponašanja funkcije i svojstava njenog izvoda, prvenstveno njenih prvih i drugih izvoda.
Razmotrimo kako možemo pronaći intervale povećanja ili smanjenja funkcije, odnosno intervale njene monotonosti. Na osnovu definicije monotono opadajuće i rastuće funkcije, moguće je formulisati teoreme koje nam omogućavaju da povežemo vrednost prvog izvoda date funkcije sa prirodom njene monotonosti.
Teorema 1.1. Ako je funkcija y
=
f
(
x
)
, diferencibilan na intervalu(
a
,
b
)
, monotono raste u ovom intervalu, zatim u bilo kojoj tački
(
x
) >0;
ako se monotono smanjuje, tada u bilo kojoj tački intervala (
x
)<0.
Dokaz. Neka funkcijay = f ( x ) monotono raste za( a , b ) , To znači da za svakoga dovoljno malog > 0 vrijedi sljedeća nejednakost:
f ( x - ) < f ( x ) < f ( x + ) (Sl. 1.1).
Rice. 1.1
Uzmite u obzir granicu
.
Ako je > 0, onda 
> 0 ako< 0, то
< 0.
U oba slučaja, izraz pod predznakom granice je pozitivan, što znači da je granica pozitivna, tj ( x )>0 , što je trebalo dokazati. Drugi dio teoreme, koji se odnosi na monotoni pad funkcije, dokazuje se na sličan način.
Teorema 1.2. Ako je funkcija y = f ( x ) , kontinuirano na segmentu[ a , b ] i razlikuje se u svim svojim unutrašnjim točkama, i, pored toga, ( x ) >0 za bilo koga x ϵ ( a , b ) , tada se ova funkcija monotono povećava za( a , b ) ; Ako
( x ) <0 za bilo koga xϵ ( a , b ), tada se ova funkcija monotono smanjuje za( a , b ) .
Dokaz. Uzmimo ϵ ( a , b ) I ϵ ( a , b ) , i< . Prema Lagrangeovoj teoremi
( c ) = .
Ali ( c )>0 i > 0, što znači ( > 0, tj
(. Dobiveni rezultat ukazuje na monotono povećanje funkcije, što je i trebalo dokazati. Drugi dio teoreme dokazuje se na sličan način.
Ekstremi funkcije
Pri proučavanju ponašanja funkcije posebnu ulogu imaju tačke koje jedna od druge odvajaju intervale monotonog porasta od intervala njenog monotonog pada.
Definicija 2.1. Dot naziva maksimalnom tačkom funkcije
y
=
f
(
x
)
, ako postoji, koliko god mali ,
(
< 0
, а точка
naziva se minimalna tačka ako (
> 0.
Minimalne i maksimalne tačke se zajednički nazivaju tačkama ekstrema. Komadično monotona funkcija takvih tačaka ima konačan broj na konačnom intervalu (slika 2.1).
Rice. 2.1
Teorema 2.1 (neophodan uslov za postojanje ekstremuma). Ako se može razlikovati na intervalu( a , b ) funkcija ima u tački iz ovog intervala je maksimum, tada je njegov izvod u ovoj tački jednak nuli. Isto se može reći i za minimalnu tačku .
Dokaz ove teoreme slijedi iz Rolleove teoreme, u kojoj je pokazano da u tačkama minimuma ili maksimuma = 0, a tangenta povučena na graf funkcije u tim tačkama je paralelna sa osomOX .
Iz teoreme 2.1 slijedi da ako je funkcijay = f ( x ) ima derivaciju u svim tačkama, onda može dostići ekstrem u onim tačkama gde = 0.
Međutim, ovaj uslov nije dovoljan, jer postoje funkcije za koje je navedeni uslov zadovoljen, ali ne postoji ekstremum. Na primjer, funkcijay= u tački x = 0 derivacija je nula, ali u ovom trenutku nema ekstrema. Osim toga, ekstrem može biti u onim tačkama gdje izvod ne postoji. Na primjer, funkcijay = | x | postoji minimum na tačkix = 0 , iako izvod u ovom trenutku ne postoji.
Definicija 2.2. Tačke u kojima derivacija funkcije nestaje ili ima diskontinuitet nazivaju se kritične točke ove funkcije.
Stoga, teorema 2.1 nije dovoljna za određivanje ekstremnih tačaka.
Teorema 2.2 (dovoljan uslov za postojanje ekstremuma). Neka funkcija y = f ( x ) kontinuirano u intervalu( a , b ) , koji sadrži svoju kritičnu tačku , i diferencibilan je u svim tačkama ovog intervala, sa mogućim izuzetkom same tačke . Zatim, ako se prilikom prolaska ove tačke s lijeva na desno, predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, onda je to maksimalna točka, i obrnuto, od minusa do plusa - minimalna točka.
Dokaz. Ako derivacija funkcije promijeni predznak prilikom prolaska kroz tačku s lijeva na desno od plusa do minusa, tada se funkcija pomiče od povećanja ka opadajućoj, odnosno dostiže tačku njegov maksimum i obrnuto.
Iz navedenog slijedi shema za proučavanje funkcije na ekstremu:
1) naći domen definicije funkcije;
2) izračunati derivat;
3) pronalaženje kritičnih tačaka;
4) promenom predznaka prvog izvoda određuje se njihov karakter.
Zadatak proučavanja funkcije za ekstrem ne treba miješati sa zadatkom određivanja minimalne i maksimalne vrijednosti funkcije na segmentu. U drugom slučaju, potrebno je pronaći ne samo ekstremne tačke na segmentu, već ih i uporediti sa vrijednošću funkcije na njegovim krajevima.
Intervali konveksnih i konkavnih funkcija
Još jedna karakteristika grafa funkcije koja se može odrediti pomoću izvoda je njegova konveksnost ili konkavnost.
Definicija 3.1. Funkcija y = f ( x ) naziva se konveksna na intervalu( a , b ) , ako se njegov graf nalazi ispod bilo koje tangente povučene na njega u datom intervalu, i obrnuto, naziva se konkavnim ako je njegov graf iznad bilo koje tangente povučene na njega u datom intervalu.
Dokažimo teoremu koja nam omogućava da odredimo intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije.
Teorema 3.1. Ako u svim tačkama intervala( a , b ) drugi izvod funkcije ( x ) je kontinuirana i negativna, onda je funkcijay = f ( x ) konveksna i obrnuto, ako je drugi izvod kontinuiran i pozitivan, tada je funkcija konkavna.
Provodimo dokaz za interval konveksnosti funkcije. Uzmimo proizvoljnu tačkuϵ ( a , b ) i nacrtajte tangentu na graf funkcije u ovoj tačkiy = f ( x ) (Sl. 3.1).
Teorema će biti dokazana ako se pokaže da su sve tačke krive na intervalu( a , b ) leži ispod ove tangente. Drugim riječima, potrebno je to dokazati za iste vrijednostix ordinate krivey = f ( x ) manja od ordinate tangente povučene na njega u tački .
Rice. 3.1
Radi određenosti, označavamo jednačinu krive: = f ( x ) , i jednadžbu tangente na nju u tački :
- f ( ) = ( )( x - )
ili
= f ( ) + ( )( x - ) .
Hajde da nadoknadimo razliku i :
- = f(x) – f( ) - ( )(x- ).
Primijenite na razlikuf ( x ) – f ( ) Lagrangeova teorema srednje vrijednosti:
- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,
Gdje ϵ ( , x ).
Primijenimo sada Lagrangeovu teoremu na izraz u uglastim zagradama:
- = ( )( - )( x - ) , Gdje ϵ ( , ).
Kao što se vidi sa slike,x > , Onda x - > 0 I - > 0 . Štaviše, prema teoremi, ( )<0.
Množenjem ova tri faktora dobijamo to , što je trebalo dokazati.
Definicija 3.2. Tačka koja razdvaja konveksni interval od konkavnog intervala naziva se tačka pregiba.
Iz definicije 3.1 proizilazi da u datoj tački tangenta siječe krivu, odnosno, s jedne strane kriva se nalazi ispod tangente, a s druge - iznad.
Teorema 3.2. Ako u tački drugi izvod funkcije
y = f ( x ) jednaka je nuli ili ne postoji, i kada prolazi kroz tačku predznak druge derivacije se mijenja u suprotan, tada je ova tačka prevojna tačka.
Dokaz ove teoreme slijedi iz činjenice da su znakovi ( x ) na suprotnim stranama tačke su različiti. To znači da je na jednoj strani tačke funkcija konveksna, a na drugoj konkavna. U ovom slučaju, prema definiciji 3.2, tačka je tačka pregiba.
Proučavanje funkcije za konveksnost i konkavnost provodi se prema istoj shemi kao i studija za ekstremum.
4. Asimptote funkcije
U prethodnim paragrafima razmatrane su metode za proučavanje ponašanja funkcije pomoću izvoda. Međutim, među pitanjima koja se odnose na kompletno proučavanje funkcije postoje i ona koja nisu vezana za derivaciju.
Dakle, na primjer, potrebno je znati kako se funkcija ponaša kada se tačka na njenom grafu beskonačno udaljava od početka. Ovaj problem može nastati u dva slučaja: kada argument funkcije ide u beskonačnost i kada, tokom diskontinuiteta druge vrste na krajnjoj tački, sama funkcija ide u beskonačnost. U oba ova slučaja može nastati situacija kada funkcija teži nekoj pravoj liniji, koja se zove njena asimptota.
Definicija . Asimptota grafa funkcijey = f ( x ) je prava linija koja ima svojstvo da udaljenost od grafa do ove prave linije teži nuli kako se tačka grafikona kreće beskonačno od početka.
Postoje dvije vrste asimptota: vertikalne i kose.
Vertikalne asimptote uključuju prave linijex
=
, koji imaju svojstvo da graf funkcije u njihovoj blizini ide u beskonačnost, odnosno da je uvjet zadovoljen: 
.
Očigledno, ovdje je zadovoljen zahtjev navedene definicije: udaljenost od grafa krive do prave linijex = teži nuli, a sama kriva ide u beskonačnost. Dakle, u tačkama diskontinuiteta druge vrste, funkcije imaju vertikalne asimptote, na primjer,y= u tački x = 0 . Prema tome, određivanje vertikalnih asimptota funkcije koincidira sa pronalaženjem diskontinuiteta druge vrste.
Kose asimptote se opisuju opštom jednačinom prave linije na ravni, tj.y = kx + b . To znači da je, za razliku od vertikalnih asimptota, ovdje potrebno odrediti brojevek I b .
Pa neka krivulja = f ( x ) ima kosu asimptotu, odnosno atx tačke krive prilaze pravoj liniji koliko god želite = kx + b (Sl. 4.1). Neka M ( x , y ) - tačka koja se nalazi na krivulji. Njegova udaljenost od asimptote će biti okarakterisana dužinom okomice| MN | .
Da biste u potpunosti proučili funkciju i nacrtali njen graf, preporučuje se sljedeća shema:
A) pronaći domen definicije, tačke prekida; istražite ponašanje funkcije u blizini tačaka diskontinuiteta (nađite granice funkcije s lijeve i desne strane u tim točkama). Označite vertikalne asimptote.
B) utvrditi da li je funkcija parna ili neparna i zaključiti da postoji simetrija. Ako je , tada je funkcija parna i simetrična oko ose OY; kada je funkcija neparna, simetrična u odnosu na ishodište; a ako je funkcija općeg oblika.
C) pronaći točke presjeka funkcije sa koordinatnim osama OY i OX (ako je moguće), odrediti intervale konstantnog predznaka funkcije. Granice intervala konstantnog predznaka funkcije određene su tačkama u kojima je funkcija jednaka nuli (funkcija nula) ili ne postoji i granicama domene definicije ove funkcije. U intervalima gdje se graf funkcije nalazi iznad ose OX, a gdje - ispod ove ose.
D) pronaći prvi izvod funkcije, odrediti njene nule i intervale konstantnog predznaka. U intervalima u kojima funkcija raste, a gdje opada. Donesite zaključak o prisutnosti ekstrema (tačke u kojima postoji funkcija i derivacija i pri prolasku kroz koje mijenja predznak. Ako se predznak mijenja sa plusa na minus, tada funkcija ima maksimum, a ako je od minusa u plus , zatim minimum). Pronađite vrijednosti funkcije u tačkama ekstrema.
D) naći drugi izvod, njegove nule i intervale konstantnog predznaka. U intervalima gdje< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) pronađite nagnute (horizontalne) asimptote čije jednadžbe imaju oblik 
; Gdje 
.
At 
graf funkcije će imati dvije kose asimptote, a svaka vrijednost x at i može odgovarati i dvije vrijednosti b.
G) pronaći dodatne tačke za pojašnjenje grafa (ako je potrebno) i konstruisati graf.
Primjer 1
Istražite funkciju i izgradite njen graf. Rješenje: A) domena definicije 
; funkcija je kontinuirana u svom domenu definicije; – tačka prekida, jer 
;
. Zatim – vertikalna asimptota.
B)
one. y(x) je funkcija općeg oblika.
C) Naći tačke preseka grafika sa OY osom: postaviti x=0; tada je y(0)=–1, tj. graf funkcije siječe os u tački (0;-1). Nule funkcije (tačke preseka grafika sa OX osom): postaviti y=0; Onda 
.
Diskriminanta kvadratne jednačine je manja od nule, što znači da nema nula. Tada je granica intervala konstantnog predznaka tačka x=1, u kojoj funkcija ne postoji.
Predznak funkcije u svakom od intervala određuje se metodom parcijalnih vrijednosti:
Iz dijagrama je jasno da se u intervalu grafik funkcije nalazi ispod ose OX, a u intervalu – iznad ose OX.
D) Otkrivamo prisustvo kritičnih tačaka.
.
Kritične tačke (gdje ili ne postoje) nalazimo iz jednakosti i .
Dobijamo: x1=1, x2=0, x3=2. Kreirajmo pomoćnu tabelu
Tabela 1 
(Prvi red sadrži kritične tačke i intervale na koje su te tačke podeljene po OX osi; u drugom redu su prikazane vrednosti derivacije u kritičnim tačkama i predznaci na intervalima. Predznaci su određeni parcijalnom vrednošću Metoda Treći red pokazuje vrijednosti funkcije y(x) u kritičnim točkama i pokazuje ponašanje funkcije - povećanje ili smanjenje u odgovarajućim intervalima numeričke ose naznačeno.
D) Naći intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije.
; napravite tabelu kao u tački D); Samo u drugom redu zapisujemo znakove, au trećem označavamo vrstu konveksnosti. Jer ; tada je kritična tačka jedan x=1.
tabela 2 
Tačka x=1 je tačka pregiba.
E) Pronađite kose i horizontalne asimptote 
Tada je y=x kosa asimptota.
G) Na osnovu dobijenih podataka gradimo graf funkcije 
1). Opseg funkcije.
Očigledno je da je ova funkcija definirana na cijeloj brojevnoj pravoj, osim tačaka “” i “”, jer u ovim tačkama imenilac je jednak nuli i, prema tome, funkcija ne postoji, a prave su i vertikalne asimptote.
2). Ponašanje funkcije kao argumenta teži beskonačnosti, postojanje tačaka diskontinuiteta i provjera prisutnosti kosih asimptota.
Prvo provjerimo kako se funkcija ponaša dok se približava beskonačnosti lijevo i desno. 
Dakle, kada funkcija teži 1, tj. – horizontalna asimptota.
U blizini tačaka diskontinuiteta, ponašanje funkcije se određuje na sljedeći način: 
One. Kada se približava tačkama diskontinuiteta na lijevoj strani, funkcija se beskonačno smanjuje, a desno se beskonačno povećava.
Određujemo prisustvo kose asimptote uzimajući u obzir jednakost: 
Nema kosih asimptota.
3). Tačke sjecišta sa koordinatnim osa.
Ovdje je potrebno razmotriti dvije situacije: pronaći točku sjecišta s osom Ox i osom Oy. Predznak presjeka sa Ox osom je nulta vrijednost funkcije, tj. potrebno je riješiti jednačinu:
Ova jednadžba nema korijene, stoga graf ove funkcije nema presječne točke sa Ox osom.
Predznak preseka sa Oy osom je vrednost x = 0. U ovom slučaju
,
one. – tačka presjeka grafa funkcije sa osom Oy.
4).Određivanje ekstremnih tačaka i intervala porasta i smanjenja.
Da bismo proučili ovo pitanje, definišemo prvi izvod: 
.
Izjednačimo vrijednost prvog izvoda sa nulom. 
.
Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac jednak nuli, tj. .
Odredimo intervale povećanja i smanjenja funkcije.
Dakle, funkcija ima jednu tačku ekstrema i ne postoji u dvije tačke.
Dakle, funkcija raste na intervalima i i opada na intervalima i .
5). Pregibne tačke i područja konveksnosti i konkavnosti.
Ova karakteristika ponašanja funkcije određuje se pomoću drugog izvoda. Prvo odredimo prisustvo pregibnih tačaka. Drugi izvod funkcije jednak je 
Kada i funkcija je konkavna;
kada i funkcija je konveksna.
6). Grafički prikaz funkcije.
Koristeći pronađene vrijednosti u točkama, shematski ćemo konstruirati graf funkcije:
Primjer 3
Funkcija istraživanja 
i izgradi njegov graf. Rješenje
Zadata funkcija je neperiodična funkcija općeg oblika. Njegov graf prolazi kroz ishodište koordinata, budući da .
Domen definicije date funkcije su sve vrijednosti varijable osim i za koje nazivnik razlomka postaje nula.
Prema tome, tačke su tačke diskontinuiteta funkcije.
Jer 
, 
Jer 
,
, tada je tačka diskontinuitet druge vrste.
Prave linije su vertikalne asimptote grafa funkcije.
Jednačine kosih asimptota, gdje je, 
.
At 
,
.
Dakle, za i graf funkcije ima jednu asimptotu.
Nađimo intervale povećanja i smanjenja funkcije i ekstremnih tačaka.
.
Prvi izvod funkcije at i, prema tome, at i funkcija raste.
Kada , Dakle, kada , funkcija se smanjuje.
ne postoji za , . 
, dakle, kada 
Grafikon funkcije je konkavan.
At 
, dakle, kada 
Graf funkcije je konveksan. 
Prilikom prolaska kroz točke , , mijenja predznak. Kada , funkcija nije definirana, stoga graf funkcije ima jednu prevojnu točku.
Napravimo graf funkcije. 
Proučavanje funkcije se izvodi po jasnoj shemi i zahtijeva od studenta solidno poznavanje osnovnih matematičkih pojmova kao što su domen definicije i vrijednosti, kontinuitet funkcije, asimptota, tačke ekstrema, parnost, periodičnost itd. . Učenik mora biti sposoban da slobodno razlikuje funkcije i rješava jednačine, koje ponekad mogu biti vrlo složene.
Odnosno, ovaj zadatak testira značajan sloj znanja, svaki jaz u kojem će postati prepreka za dobivanje ispravnog rješenja. Posebno često se javljaju poteškoće sa konstruisanjem grafova funkcija. Ova greška je odmah uočljiva nastavniku i može uveliko oštetiti vašu ocjenu, čak i ako je sve ostalo ispravno urađeno. Ovdje možete pronaći problemi istraživanja online funkcija: primjeri učenja, preuzimanje rješenja, narudžbe.
Istražite funkciju i nacrtajte graf: primjeri i rješenja na mreži
Pripremili smo za vas mnoštvo gotovih studija funkcija, kako plaćenih u knjizi rješenja tako i besplatnih u rubrici Primjeri studija funkcija. Na osnovu ovih riješenih zadataka moći ćete se detaljno upoznati sa metodologijom za obavljanje sličnih zadataka, te po analogiji provesti svoje istraživanje.
Nudimo gotove primjere kompletnog istraživanja i crtanja funkcija najčešćih tipova: polinoma, razlomka-racionalnih, iracionalnih, eksponencijalnih, logaritamskih, trigonometrijskih funkcija. Svaki riješeni problem prati gotov graf sa istaknutim ključnim tačkama, asimptotama, maksimumima i minimumima rješavanje se izvodi pomoću algoritma za proučavanje funkcije.
U svakom slučaju, riješeni primjeri će vam biti od velike pomoći jer pokrivaju najpopularnije vrste funkcija. Nudimo vam stotine već riješenih zadataka, ali, kao što znate, u svijetu postoji beskonačan broj matematičkih funkcija, a nastavnici su veliki stručnjaci u izmišljanju sve škakljivijih zadataka za siromašne učenike. Dakle, dragi studenti, kvalifikovana pomoć vam neće naškoditi.
Rješavanje problema istraživanja prilagođenih funkcija
U tom slučaju, naši partneri će Vam ponuditi drugu uslugu - online istraživanje pune funkcije naručiti. Zadatak će za vas biti obavljen u skladu sa svim zahtjevima za algoritam za rješavanje ovakvih problema, što će uvelike zadovoljiti vašeg nastavnika.
Uradićemo kompletnu studiju funkcije za vas: naći ćemo domen definicije i domen vrednosti, ispitati kontinuitet i diskontinuitet, uspostaviti parnost, proveriti periodičnost vaše funkcije i pronaći tačke preseka sa koordinatnim osa . I, naravno, dalje korištenjem diferencijalnog računa: naći ćemo asimptote, izračunati ekstreme, točke pregiba i konstruirati sam graf.
Izgradnja grafa funkcije pomoću singularnih točaka uključuje proučavanje same funkcije: određivanje raspona dopuštenih vrijednosti argumenta, određivanje raspona varijacije funkcije, određivanje je li funkcija parna ili neparna, određivanje prijelomnih tačaka funkcije, pronalaženje intervala konstantnog predznaka funkcije, nalaženje asimptota grafa funkcije. Koristeći prvi izvod, možete odrediti intervale povećanja (spadanja) funkcije i prisutnost ekstremnih tačaka. Pomoću drugog izvoda možete odrediti intervale konveksnosti (konkavnosti) grafa funkcije, kao i točke pregiba. Istovremeno, vjerujemo da ako u nekom trenutku xo tangenta na graf funkcije iznad krive, tada graf funkcije u ovoj tački ima konveksnost; ako je tangenta ispod krive, tada graf funkcije u ovoj tački ima udubljenje.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Studija funkcije.
a) Raspon dozvoljenih vrijednosti argumenta: (-∞,+∞).
b) Područje promjene funkcije: (-∞, +∞).
c) Funkcija je neparna, jer y(-x) = -y(x), one. graf funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
d) Funkcija je kontinuirana, nema tačaka diskontinuiteta, dakle nema vertikalnih asimptota.
e) Pronalaženje jednačine kose asimptote y(x) = k∙x + b, Gdje
k = /x I b = 
U ovom primjeru, parametri asimptote su respektivno jednaki:
k = , jer najviši stepen brojnika i imenioca su isti, jednaki su tri, a odnos koeficijenata na ovim najvišim stepenima jednak je jedan. Kada je x→ + ∞ treća izuzetna granica je korištena za izračunavanje granice.
b = = = 0, kada se računa granica na x→ + ∞ koristio treću izvanrednu granicu. Dakle, graf ove funkcije ima nagnutu asimptotu y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - derivacija se izračunava pomoću formule diferencijacije kvocijenta.
a) Odredite nule izvoda i tačku diskontinuiteta, izjednačavajući brojnik i imenilac izvoda sa nulom, respektivno: y´=0, Ako x=0. 1. izvod nema tačaka diskontinuiteta.
b) Određujemo intervale konstantnog predznaka derivacije, tj. intervali monotonosti funkcije: at -∞
3. Proučavanje funkcije koristeći 2. izvod.
Koristeći formulu za diferenciranje količnika i izvođenje algebarskih transformacija, dobivamo: y´´ = /(x²+3)³
a) Odredite nule 2. izvoda i intervale konstantnog predznaka: y´´ = 0, Ako x=0 I x= + 3 . 2. izvod nema tačaka diskontinuiteta.
b) Odredimo intervale konstantnosti 2. izvodnice, tj. intervali konveksnosti ili konkavnosti grafa funkcije. Na -∞
Primjer: Istražite funkciju i nacrtajte je y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Studija funkcije.
a) Raspon prihvatljivih vrijednosti: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Područje promjene funkcije: (-∞,+∞).
d) Ova funkcija ima tačku diskontinuiteta 2. vrste na x=0.
e) Pronalaženje asimptota. Jer funkcija ima tačku diskontinuiteta 2. vrste na x=0, tada funkcija ima vertikalnu asimptotu x=0. Ova funkcija nema kosih ili horizontalnih asimptota.
2.Proučavanje funkcije koristeći prvi izvod.
Transformirajmo funkciju izvodeći sve algebarske operacije. Kao rezultat toga, oblik funkcije bit će značajno pojednostavljen: y(x)=x²-x-1+(1/x). Vrlo je lako uzeti izvod iz zbira pojmova i dobijamo: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
a) Odrediti nule i tačke diskontinuiteta 1. izvoda. Dovodimo izraze za 1. izvod na zajednički nazivnik i, izjednačavajući brojilac, a zatim i imenilac na nulu, dobijamo: y´=0 at x=1, y´ - ne postoji kada x=0.
b) Odredimo intervale monotonosti funkcije, tj. intervali konstantnog predznaka derivacije. Na -∞<x<0
I 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. Koristeći 2. izvod, određujemo intervale konveksnosti ili konkavnosti grafa funkcije, kao i, ako ih ima, tačke pregiba. Predstavimo izraz za drugi izvod sa zajedničkim nazivnikom, a zatim, izjednačavajući brojilac i imenilac redom sa nulom, dobijamo: y´´=0 at x=-1, y´´- ne postoji kada x=0.
Na -∞
pirinač. 4 sl. 5
Primjer: Istražite funkciju i nacrtajte je y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Studija funkcije.
a) Raspon dozvoljenih vrijednosti argumenata: logaritamska funkcija postoji samo za argumente koji su striktno veći od nule, dakle, x²+4x+5>0 – ovaj uslov je zadovoljen za sve vrijednosti argumenta, tj. O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Područje promjene funkcije: (0, +∞). Transformirajmo izraz pod znakom logaritma i izjednačimo funkciju sa nulom: ln((x+2)²+1) =0. One. funkcija ide na nulu kada x=-2. Grafikon funkcije će biti simetričan u odnosu na pravu liniju x=-2.
c) Funkcija je kontinuirana i nema tačaka prekida.
d) Graf funkcije nema asimptote.
2.Proučavanje funkcije koristeći prvi izvod.
Koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije, dobijamo: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Odredimo nule i tačke diskontinuiteta derivacije: y´=0, at x=-2. Prvi izvod nema tačaka diskontinuiteta.
b) Određujemo intervale monotonosti funkcije, tj. intervali konstantnog predznaka prvog izvoda: na -∞<x<-2
derivat y´<0,
dakle, funkcija se smanjuje kada -2
3.Proučavanje funkcije u terminima 2. izvodnice.
Hajde da predstavimo prvi izvod u sledećem obliku: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)²).
a) Odredimo intervale konstantnog predznaka drugog izvoda. Pošto je nazivnik 2. izvoda uvijek nenegativan, predznak drugog izvoda je određen samo brojicom. y´´=0 at x=-3 I x=-1.
At -∞
Primjer: Istražite funkciju i nacrtajte grafikon y(x) = x²/(x+2)²
1.Studija funkcije.
a) Raspon prihvatljivih vrijednosti argumenta (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) Područje promjene funkcije².
a) Odredimo nule i intervale konstantnog predznaka drugog izvoda. Jer Budući da je nazivnik razlomka uvijek pozitivan, predznak drugog izvoda je u potpunosti određen brojnikom. Na -∞
