Уравнението М(х, г) dx+ н(х, г) dy=0 се нарича обобщено хомогенно, ако е възможно да се избере такова число к, че лявата страна на това уравнение става хомогенна функция от известна степен м относително х, г, dx И dy при условие че х се счита за стойността на първото измерение, г – к‑ тия измервания , dx И dy – съответно нула и (к-1) тия измервания. Например, това би било уравнението. (6.1)
Валидно при предположенията, направени по отношение на измерванията
х,
г,
dx
И dy
членове на лявата страна 
И dy
ще има размери съответно -2, 2 кИ
к-1. Приравнявайки ги, получаваме условие, на което трябва да отговаря търсеното число к:
-2 = 2к
=
к-1. Това условие е изпълнено, когато к
= -1 (с това квсички членове от лявата страна на разглежданото уравнение ще имат размерност -2). Следователно уравнението (6.1) е обобщено хомогенно.
Обобщено хомогенно уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи чрез заместване 
, Където z– нова неизвестна функция. Нека интегрираме уравнението (6.1), използвайки посочения метод. защото к
= -1, тогава 
, след което получаваме уравнението.
Интегрирайки го, намираме 
, където 
. Това е общо решение на уравнение (6.1).
§ 7. Линейни диференциални уравнения от 1-ви ред.
Линейно уравнение от 1-ви ред е уравнение, което е линейно по отношение на желаната функция и нейната производна. Изглежда като:
,
(7.1)
Където П(х)
И
Q(х)
– дадени непрекъснати функции на х.
Ако функцията
,
тогава уравнение (7.1) има формата: 
(7.2)
и се нарича линейно хомогенно уравнение, иначе 
нарича се линейно нехомогенно уравнение.
Линейното хомогенно диференциално уравнение (7.2) е уравнение с разделими променливи:
(7.3)
Израз (7.3) е общото решение на уравнение (7.2). Да се намери общо решение на уравнение (7.1), в което функцията П(х) обозначава същата функция като в уравнение (7.2), прилагаме техника, наречена метод на вариация на произволна константа и се състои от следното: ще се опитаме да изберем функцията C=C(х) така че общото решение на линейното хомогенно уравнение (7.2) би било решение на нехомогенното линейно уравнение (7.1). Тогава за производната на функция (7.3) получаваме:
.
Замествайки намерената производна в уравнение (7.1), ще имаме:
или 
.
Където 
, Където 
- произволна константа. В резултат на това общото решение на нехомогенното линейно уравнение (7.1) ще бъде (7.4) 
Първият член в тази формула представлява общото решение (7.3) на линейното хомогенно диференциално уравнение (7.2), а вторият член на формула (7.4) е частно решение на линейното нехомогенно уравнение (7.1), получено от общото ( 7.4) с 
. Подчертаваме това важно заключение под формата на теорема.
Теорема.Ако е известно едно конкретно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение 
, тогава всички останали решения имат формата 
, Където 
- общо решение на съответното линейно хомогенно диференциално уравнение.
Все пак трябва да се отбележи, че за решаване на линейно нехомогенно диференциално уравнение от 1-ви ред (7.1) по-често се използва друг метод, понякога наричан метод на Бернули. Ще търсим решение на уравнение (7.1) във формата 
. Тогава 
. Нека заместим намерената производна в оригиналното уравнение: 
.
Нека комбинираме, например, втория и третия член на последния израз и да извлечем функцията u(х)
зад скобата: 
(7.5)
Изискваме скобите да бъдат анулирани: 
.
Нека решим това уравнение, като зададем произволна константа ° С
равно на нула: 
. С намерената функция v(х)
Нека се върнем към уравнение (7.5): 
.
Решавайки го, получаваме: 
.
Следователно общото решение на уравнение (7.1) има формата.
Диференциални уравнения в обобщени функции
Нека има уравнение. Ако е обикновена функция, тогава нейното решение е антипроизводна, т.е. Нека сега е обобщена функция.
Определение. Обобщена функция се нарича примитивна обобщена функция, ако. Ако е единична обобщена функция, тогава има възможни случаи, когато нейната първоизводна е регулярна обобщена функция. Например, антидериват е; първоизводната е функция и решението на уравнението може да бъде записано във формата: , където.
Има линейно уравнение от ти ред с постоянни коефициенти
където е обобщена функция. Нека е диференциален полином от ти порядък.
Определение. Обобщено решение на диференциалното уравнение (8) е обобщена функция, за която е в сила следната зависимост:
Ако е непрекъсната функция, тогава единственото решение на уравнение (8) е класическото решение.
Определение. Фундаментално решение на уравнение (8) е всяка обобщена функция, такава че.
Функцията на Грийн е фундаментално решение, което удовлетворява гранично, начално или асимптотично условие.
Теорема. Решение на уравнение (8) съществува и има формата:
освен ако не е дефинирана конволюция.
Доказателство. Наистина ли, . Съгласно свойството на конволюция следва: .
Лесно е да се види, че фундаменталното решение на това уравнение е, тъй като
Свойства на обобщените производни
Операцията на диференциране е линейна и непрекъсната от до:
в, ако в;
Всяка обобщена функция е безкрайно диференцируема. Наистина, ако, тогава; на свой ред и т.н.;
Резултатът от диференциацията не зависи от реда на диференциация. Например, ;
Ако и, тогава формулата на Лайбниц за диференциране на продукт е валидна. Например, ;
Ако това е обобщена функция, тогава;
Ако серия, съставена от локално интегрируеми функции, се сближава равномерно във всяко компактно множество, тогава тя може да бъде диференцирана член по член произволен брой пъти (като обобщена функция) и получената серия ще се сближи.
Пример. Позволявам
Функцията се нарича функция на Хевисайд или функция на единица. Тя е локално интегрируема и следователно може да се разглежда като обобщена функция. Можете да намерите неговата производна. Според дефиницията, т.е. .
Обобщени функции, съответстващи на квадратни форми с комплексни коефициенти
Досега са разглеждани само квадратни форми с реални коефициенти. В този раздел изучаваме пространството на всички квадратни форми с комплексни коефициенти.
Задачата е да се определи обобщената функция, където е комплексно число. В общия случай обаче няма да има уникална аналитична функция на. Следователно в пространството на всички квадратни форми се изолира “горната полуравнина” на квадратни форми с положително определена имагинерна част и за тях се определя функция. А именно, ако квадратна форма принадлежи на тази „полуравнина“, тогава се приема, че където. Такава функция е уникална аналитична функция на.
Вече можем да свържем функцията с обобщена функция:
където интеграцията се извършва в цялото пространство. Интеграл (13) се събира в и е аналитична функция на в тази полуравнина. Продължавайки тази функция аналитично, се определя функционалът за други стойности.
За квадратни форми с положително определена имагинерна част се намират особените точки на функциите и се изчисляват остатъците на тези функции в особените точки.
Обобщената функция аналитично зависи не само от, но и от коефициентите на квадратичната форма. По този начин, това е аналитична функция в горната „полуравнина“ на всички квадратични форми на формата, където има положително определена форма. Следователно, той се определя еднозначно от своите стойности на „въображаемата полуос“, т.е. на множеството от квадратни форми на формата, където е положително определена форма.
С натискане на бутона "Изтегляне на архив" вие ще изтеглите напълно безплатно необходимия ви файл.
Преди да изтеглите този файл, помислете за онези добри есета, тестове, курсови работи, дисертации, статии и други документи, които лежат непотърсени на вашия компютър. Това е ваша работа, тя трябва да участва в развитието на обществото и да носи полза на хората. Намерете тези произведения и ги изпратете в базата знания.
Ние и всички студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдем много благодарни.
За да изтеглите архив с документ, въведете петцифрен номер в полето по-долу и щракнете върху бутона "Изтегляне на архив"
Подобни документи
Задачи на Коши за диференциални уравнения. Графика на решението на диференциално уравнение от първи ред. Уравнения с разделими променливи и свеждане до хомогенно уравнение. Хомогенни и нехомогенни линейни уравнения от първи ред. Уравнение на Бернули.
лекция, добавена на 18.08.2012
Основни понятия от теорията на обикновените диференциални уравнения. Знак на уравнение в тотални диференциали, построяване на общ интеграл. Най-простите случаи на намиране на интегриращия фактор. Случаят на множител, който зависи само от X и само от Y.
курсова работа, добавена на 24.12.2014 г
Характеристики на диференциалните уравнения като връзки между функции и техните производни. Доказателство на теоремата за съществуване и единственост на решението. Примери и алгоритъм за решаване на уравнения в тотални диференциали. Интегриращ фактор в примери.
курсова работа, добавена на 11.02.2014 г
Диференциални уравнения на Рикати. Общо решение на линейно уравнение. Намиране на всички възможни решения на диференциалното уравнение на Бернули. Решаване на уравнения с разделими променливи. Общи и специални решения на диференциалното уравнение на Клеро.
курсова работа, добавена на 26.01.2015 г
Уравнение с разделими променливи. Хомогенни и линейни диференциални уравнения. Геометрични свойства на интегралните криви. Пълен диференциал на функция на две променливи. Определяне на интеграла по методите на Бернули и вариации на произволна константа.
резюме, добавено на 24.08.2015 г
Понятия и решения на най-простите диференциални уравнения и диференциалните уравнения от произволен ред, включително тези с постоянни аналитични коефициенти. Системи линейни уравнения. Асимптотично поведение на решения на някои линейни системи.
дисертация, добавена на 06/10/2010
Общ интеграл на уравнение, приложение на метода на Лагранж за решаване на нехомогенно линейно уравнение с неизвестна функция. Решаване на диференциално уравнение в параметрична форма. Условие на Ойлер, уравнение от първи ред в общите диференциали.
тест, добавен на 11/02/2011
Диференциални уравнения от първи ред с разделими променливи.
Определение.Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение от формата (3.1) или уравнение от формата (3.2)
За да се разделят променливите в уравнение (3.1), т.е. редуцирайте това уравнение до така нареченото уравнение с отделена променлива, направете следното: 
;
Сега трябва да решим уравнението g(y)= 0. Ако има реално решение y=a,Че y=aсъщо ще бъде решение на уравнение (3.1).
Уравнение (3.2) се свежда до отделно уравнение чрез разделяне на произведението:
, което ни позволява да получим общия интеграл на уравнение (3.2): 
. (3.3)
Интегралните криви (3.3) ще бъдат допълнени с решения 
, ако съществуват такива решения.
Хомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред.
Определение 1.Уравнение от първи ред се нарича хомогенно, ако дясната му страна удовлетворява съотношението 
, наречено условие за хомогенност на функция на две променливи с нулева размерност.
Пример 1.Покажете, че функцията е хомогенна с нулева размерност.
Решение. 
,
Q.E.D.
Теорема.Всяка функция е хомогенна и, обратно, всяка хомогенна функция с нулева размерност се свежда до формата .
Доказателство.Първото твърдение на теоремата е очевидно, т.к . Нека докажем второто твърдение. Нека поставим тогава за хомогенна функция 
, което трябваше да се докаже.
Определение 2.Уравнение (4.1), в което МИ н– еднородни функции от еднаква степен, т.е. имат свойството за всички , наречени хомогенни. Очевидно това уравнение винаги може да се сведе до формата (4.2), въпреки че това може да не е необходимо за решаването му. Хомогенното уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи чрез заместване на желаната функция гспоред формулата y=zx,Където z(x)– нова необходима функция. След като извършим това заместване в уравнение (4.2), получаваме: или или .
Интегрирайки, получаваме общия интеграл на уравнението по отношение на функцията z(x) 
, което след многократна замяна дава общия интеграл на първоначалното уравнение. Освен това, ако са корените на уравнението, тогава функциите са решения на дадено хомогенно уравнение. Ако , тогава уравнение (4.2) приема формата
И става уравнение с разделими променливи. Решенията му са полупреки: .
Коментирайте.Понякога е препоръчително да използвате заместването вместо горното заместване x=zy.
Обобщено хомогенно уравнение.
Уравнението M(x,y)dx+N(x,y)dy=0се нарича обобщено хомогенно, ако е възможно да се избере такова число к, че лявата страна на това уравнение става хомогенна функция от известна степен мотносително x, y, dxИ dyпри условие че хсе счита за стойността на първото измерение, г – к‑тия измервания ,dxИ ди –съответно нула и (к-1)тия измервания. Например, това би било уравнението 
. (6.1) Валидно при предположението, направено по отношение на измерванията x, y, dxИ dyчленове на лявата страна и dyще има размери съответно -2, 2 кИ к-1. Приравнявайки ги, получаваме условие, на което трябва да отговаря търсеното число к: -2 = 2к=к-1. Това условие е изпълнено, когато к= -1 (с това квсички членове от лявата страна на разглежданото уравнение ще имат размерност -2). Следователно уравнението (6.1) е обобщено хомогенно.
деф 1 тип DU
Наречен хомогенно диференциално уравнение от първи ред(ODU).
Th 1 Нека са изпълнени следните условия за функцията:
1) непрекъснато при
Тогава ODE (1) има общ интеграл, който се дава по формулата:
където е някаква първоизводна на функцията се произволна константа.
Бележка 1Ако за някои условието е изпълнено, тогава в процеса на решаване на ODE (1) решенията на формата могат да бъдат загубени; такива случаи трябва да се третират по-внимателно и всеки от тях трябва да се проверява отделно.
Така от теоремата Th1Трябва общ алгоритъм за решаване на ODE (1):
1) Направете замяна:
2) Така ще се получи диференциално уравнение с разделими променливи, които трябва да се интегрират;
3) Връщане към старите gпроменливи;
4) Проверете стойностите за тяхното участие в решението оригинално дистанционно, при което условието ще бъде изпълнено
5) Запишете отговора.
Пример 1Решете DE (4).
Решение: DE (4) е хомогенно диференциално уравнение, тъй като има формата (1). Нека направим промяна (3), това ще доведе уравнение (4) до формата:
Уравнение (5) е общият интеграл на DE (4).
Имайте предвид, че при разделяне на променливи и деление на, решенията могат да бъдат загубени, но това не е решение на DE (4), което лесно се проверява чрез директно заместване в равенство (4), тъй като тази стойност не е включена в областта на дефиницията на оригиналния DE.
Отговор:
Бележка 2Понякога можете да напишете ODE по отношение на диференциали на променливи хИ u.Препоръчително е да преминете от тази нотация на дистанционното управление към израза чрез производната и едва след това да извършите замяната (3).
Диференциални уравнения, сведени до хомогенни.
дефиниция 2 Функцията се извиква хомогенна функция от степен k в района, за които ще бъде изпълнено равенството:
Ето най-често срещаните видове диференциални уравнения, които могат да бъдат редуцирани до форма (1) след различни трансформации.
1) къде е функцията е хомогенна, степен нула, тоест равенството е валидно: DE (6) лесно се редуцира до формата (1), ако поставим , което допълнително се интегрира чрез заместване (3).
2) (7), където функциите са еднородни от еднаква степен к . DE на формата (7) също се интегрира с помощта на заместване (3).
Пример 2Решете DE (8).
Решение:Нека покажем, че DE (8) е хомогенен. Нека разделим на възможното, тъй като не е решение на DE (8).
Нека направим промяна (3), това ще доведе уравнение (9) до формата:
Уравнение (10) е общият интеграл на DE (8).
Имайте предвид, че когато разделяте променливи и разделяте на, решенията, съответстващи на стойностите на и могат да бъдат загубени. Нека проверим тези изрази. Нека ги заместим в DE (8):
Отговор:
Интересно е да се отбележи, че при решаването на този пример се появява функция, наречена „знак“ на числото х(чете се " signum x"), дефиниран от израза:
Бележка 3Намаляването на DE (6) или (7) до формата (1) не е необходимо; ако е очевидно, че DE е хомогенен, можете веднага да направите замяната
3) DE от формата (11) се интегрира като ODE, ако , и първоначално се извършва заместването:
(12), където е решението на системата: (13), и след това използвайте замяна (3) за функцията След получаване на общия интеграл се връщат към променливите хИ при.
Ако , тогава, приемайки в уравнение (11), получаваме диференциално уравнение с разделими променливи.
Пример 3Решете проблема на Коши (14).
Решение:Нека покажем, че DE (14) се редуцира до хомогенен DE и се интегрира съгласно горната схема:
Нека решим нехомогенната система от линейни алгебрични уравнения (15), използвайки метода на Крамер:
Нека направим промяна на променливите и интегрираме полученото уравнение:
(16) – Общ интеграл на DE (14). При разделяне на променливи, решенията могат да бъдат загубени при деление на израз, който може да бъде получен изрично след решаване на квадратното уравнение. Те обаче се вземат предвид в общия интеграл (16) при
Нека намерим решение на проблема на Коши: заместваме стойностите и в общия интеграл (16) и намираме с.
Така частичният интеграл ще бъде даден по формулата:
Отговор:
4) Възможно е да се редуцират някои диференциални уравнения до хомогенни за нова, все още неизвестна функция, ако приложим заместване на формата:
В този случай числото мсе избира от условието, че полученото уравнение, ако е възможно, става хомогенно до известна степен. Ако обаче това не може да се направи, тогава разглежданият DE не може да бъде намален до хомогенен по този начин.
Пример 4Решете DE. (18)
Решение:Нека покажем, че DE (18) се редуцира до хомогенен DE с помощта на заместване (17) и допълнително се интегрира с помощта на заместване (3):
Да намерим с:
Така конкретно решение на DE (24) има формата
