Ротационното движение около фиксирана ос е друг специален случай на движение на твърдо тяло.
Ротационно движение на твърдо тяло около неподвижна ос
нарича се такова движение, при което всички точки на тялото описват окръжности, центровете на които са на една и съща права линия, наречена ос на въртене, докато равнините, към които принадлежат тези окръжности, са перпендикулярни ос на въртене
(Фиг.2.4).
В технологията този тип движение се среща много често: например въртенето на валовете на двигатели и генератори, турбини и витла на самолети.
Ъглова скорост
. Всяка точка от тяло, въртящо се около ос, минаваща през точката ОТНОСНО, се движи в кръг и различните точки изминават различни пътища във времето. И така, , следователно модулът на скоростта на точката Аповече от точка IN (Фиг.2.5). Но радиусите на кръговете се въртят под същия ъгъл с течение на времето. Ъгъл - ъгълът между оста ОХи радиус вектор, който определя позицията на точка А (виж фиг. 2.5).
Нека тялото се върти равномерно, т.е. да се върти на равни ъгли за всякакви равни интервали от време. Скоростта на въртене на тялото зависи от ъгъла на въртене на радиус вектора, който определя позицията на една от точките на твърдото тяло за даден период от време; се характеризира ъглова скорост
.
Например, ако едното тяло се върти на ъгъл всяка секунда, а другото на ъгъл, тогава казваме, че първото тяло се върти 2 пъти по-бързо от второто.
Ъглова скорост на тялото при равномерно въртене
е количество, равно на съотношението на ъгъла на завъртане на тялото към периода от време, през който е настъпило това завъртане.
Ъгловата скорост ще означаваме с гръцката буква ω
(омега). Тогава по дефиниция
Ъгловата скорост се изразява в радиани в секунда (rad/s).
Например ъгловата скорост на въртене на Земята около оста й е 0,0000727 rad/s, а тази на шлифовъчния диск е около 140 rad/s 1 .
Ъгловата скорост може да се изрази чрез скорост на въртене
, т.е. броят на пълните обороти за 1s. Ако едно тяло прави (гръцката буква „ну”) обороти за 1 s, тогава времето на едно оборот е равно на секунди. Това време се нарича период на въртене
и се обозначава с буквата T. По този начин връзката между честотата и периода на въртене може да бъде представена като:
Пълното завъртане на тялото съответства на ъгъл. Следователно, съгласно формула (2.1)
Ако по време на равномерно въртене ъгловата скорост е известна и в началния момент от време ъгълът на въртене е , тогава ъгълът на въртене на тялото за време Tсъгласно уравнение (2.1) е равно на:
Ако , тогава , или 
.
Ъгловата скорост приема положителни стойности, ако ъгълът между радиус вектора, който определя позицията на една от точките на твърдото тяло, и оста ОХсе увеличава и е отрицателен, когато намалява.
Така можем да опишем позицията на точките на въртящо се тяло по всяко време.
Връзка между линейни и ъглови скорости.
Често се нарича скоростта на движение на точка в кръг линейна скорост
, за да подчертае разликата му от ъгловата скорост.
Вече отбелязахме, че когато едно твърдо тяло се върти, различните му точки имат различни линейни скорости, но ъгловата скорост е една и съща за всички точки.
Съществува връзка между линейната скорост на всяка точка на въртящо се тяло и нейната ъглова скорост. Да го инсталираме. Точка, разположена върху окръжност с радиус Р, ще измине разстоянието за един оборот. Тъй като времето на едно завъртане на тялото е период T, тогава модулът на линейната скорост на точката може да се намери, както следва:
Когато описваме движението на точка по окръжност, ще характеризираме движението на точката с ъгъла Δφ , който описва радиус вектора на точка във времето Δt. Ъглово преместване за безкрайно малък период от време дтобозначен с dφ.
Ъгловото преместване е векторна величина. Посоката на вектора (или ) се определя от правилото на гимлета: ако завъртите гимлета (винт с дясна резба) в посоката на движение на точката, гимлетът ще се движи в посоката на вектора на ъгловото изместване. На фиг. 14 точка М се движи по посока на часовниковата стрелка, ако погледнете равнината на движение отдолу. Ако завъртите гимлета в тази посока, векторът ще бъде насочен нагоре.
По този начин посоката на вектора на ъгловото изместване се определя от избора на положителната посока на въртене. Положителната посока на въртене се определя от правилото за дясна резба. Със същия успех обаче може да се вземе гимлет с лява резба. В този случай посоката на вектора на ъгловото изместване би била противоположна.
При разглеждането на такива величини като скорост, ускорение, вектор на изместване не възниква въпросът за избора на тяхната посока: тя се определя естествено от естеството на самите величини. Такива вектори се наричат полярни. Наричат се вектори, подобни на вектора на ъгловото преместване аксиален,или псевдовектори. Посоката на аксиалния вектор се определя чрез избора на положителната посока на въртене. Освен това аксиалният вектор няма точка на приложение. Полярни вектори, които разгледахме досега, се прилагат към движеща се точка. За аксиален вектор можете да посочите само посоката (ос, axis - лат.), по която е насочен. Оста, по която е насочен векторът на ъгловото преместване, е перпендикулярна на равнината на въртене. Обикновено векторът на ъгловото отместване се начертава върху ос, минаваща през центъра на окръжността (фиг. 14), въпреки че може да се начертае навсякъде, включително върху ос, минаваща през въпросната точка.
В системата SI ъглите се измерват в радиани. Радианът е ъгъл, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса на окръжността. Така общият ъгъл (360 0) е 2π радиана.
Движение на точка в окръжност
Ъглова скорост– векторна величина, числено равна на ъгъла на завъртане за единица време. Ъгловата скорост обикновено се обозначава с гръцката буква ω. По дефиниция ъгловата скорост е производната на ъгъл по отношение на времето:
. (19)
Посоката на вектора на ъгловата скорост съвпада с посоката на вектора на ъгловото преместване (фиг. 14). Векторът на ъгловата скорост, точно както векторът на ъгловото изместване, е аксиален вектор.
Размерът на ъгловата скорост е rad/s.
Въртенето с постоянна ъглова скорост се нарича равномерно, като ω = φ/t.
Равномерното въртене може да се характеризира с периода на въртене T, който се разбира като времето, през което тялото прави едно завъртане, т.е. се завърта на ъгъл от 2π. Тъй като интервалът от време Δt = T съответства на ъгъла на завъртане Δφ = 2π, тогава
(20)
Броят на оборотите за единица време ν очевидно е равен на:
(21)
Стойността на ν се измерва в херци (Hz). Един херц е един оборот в секунда или 2π rad/s.
Концепциите за периода на въртене и броя на оборотите за единица време също могат да бъдат запазени за неравномерно въртене, разбирайки под моментната стойност T времето, през което тялото би направило един оборот, ако се върти равномерно с дадена моментна стойност на ъгловата скорост, а чрез ν означава този брой обороти, които едно тяло би направило за единица време при подобни условия.
Ако ъгловата скорост се променя с времето, тогава въртенето се нарича неравномерно. В този случай въведете ъглово ускорениепо същия начин, както линейното ускорение е въведено за праволинейно движение. Ъгловото ускорение е промяната в ъгловата скорост за единица време, изчислена като производната на ъгловата скорост по отношение на времето или втората производна на ъгловото изместване по отношение на времето:
(22)
Точно като ъгловата скорост, ъгловото ускорение е векторна величина. Векторът на ъгловото ускорение е аксиален вектор, в случай на ускорено въртене е насочен в същата посока като вектора на ъгловата скорост (фиг. 14); при бавно въртене векторът на ъгловото ускорение е насочен противоположно на вектора на ъгловата скорост.
При равномерно променливо въртеливо движение се осъществяват съотношения, подобни на формулите (10) и (11), които описват равномерно променливото праволинейно движение:
ω = ω 0 ± εt,
.
Кръговото движение е специален случай на криволинейно движение. Скоростта на тялото във всяка точка на криволинейна траектория е насочена тангенциално към него (фиг. 2.1). В този случай скоростта като вектор може да се променя както по големина (величина), така и по посока. Ако скоростният модул 
остава непроменена, тогава говорим за равномерно криволинейно движение.
Нека тяло се движи в кръг с постоянна скорост от точка 1 до точка 2.
В този случай тялото ще измине път, равен на дължината на дъгата ℓ 12 между точки 1 и 2 за време t. През същото време радиус-векторът R, начертан от центъра на окръжността 0 до точката, ще се завърти на ъгъл Δφ.
Векторът на скоростта в точка 2 се различава от вектора на скоростта в точка 1 с посокапо стойността ΔV:
;
За да характеризираме промяната във вектора на скоростта чрез стойността δv, въвеждаме ускорение:
(2.4)
вектор 
във всяка точка от траекторията, насочена по радиуса Rк центърокръжност, перпендикулярна на вектора на скоростта V 2. Следователно ускорението 
, който характеризира промяната на скоростта по време на криволинейно движение 
в посока се нарича центростремителна или нормална. По този начин движението на точка по окръжност с постоянна абсолютна скорост е ускорено.
Ако скоростта 
промени не само в посоката, но и в модула (величината), тогава в допълнение към нормалното ускорение 
те също въвеждат допирателна (тангенциална)ускорение 
, което характеризира промяната на скоростта в величина:
или 
Насочен вектор 
по допирателна във всяка точка от траекторията (т.е. съвпада с посоката на вектора 
). Ъгъл между векторите 
И 
е равно на 90 0.
Общото ускорение на точка, движеща се по крива траектория, се определя като векторна сума (фиг. 2.1.).
.
Векторен модул 
.
Ъглова скорост и ъглово ускорение
Когато една материална точка се движи околовръстноРадиус векторът R, изтеглен от центъра на окръжността O до точката, се завърта на ъгъл Δφ (фиг. 2.1). За характеризиране на въртенето се въвеждат понятията ъглова скорост ω и ъглово ускорение ε.
Ъгълът φ може да бъде измерен в радиани. 1 раде равен на ъгъла, който лежи върху дъгата ℓ, равен на радиуса R на окръжността, т.е.
или ℓ
12
=
Рφ
(2.5.)
Нека диференцираме уравнение (2.5.)
(2.6.)
Стойност dℓ/dt=V момент. Величината ω =dφ/dt се нарича ъглова скорост(измерено в rad/s). Нека получим връзката между линейната и ъгловата скорости:
Величината ω е векторна. Векторна посока 
определен винтово правило: съвпада с посоката на движение на винта, ориентиран по оста на въртене на точка или тяло и завъртян по посока на въртене на тялото (фиг. 2.2), т.е. 
.
Ъглово ускорение
наречена векторна производна на ъгловата скорост (моментно ъглово ускорение)
,
(2.8.)
вектор 
съвпада с оста на въртене и е насочена в същата посока като вектора 
, ако въртенето е ускорено, и в обратна посока, ако въртенето е бавно.
Скоростнтела за единица време се наричатскорост на въртене .
Времето T за един пълен оборот на тялото се наричапериод на въртене . При коетоРописва ъгъла Δφ=2π радиана
С това казано
,
(2.9)
Уравнение (2.8) може да се запише, както следва:
(2.10)
След това тангенциалната компонента на ускорението
и =R(2.11)
Нормалното ускорение a n може да се изрази, както следва:
като се вземат предвид (2.7) и (2.9)
(2.12)
След това пълно ускорение.
За въртеливо движение с постоянно ъглово ускорение можем да напишем кинематичното уравнение по аналогия с уравнение (2.1) – (2.3) за транслационно движение:
,
.
1.Равномерно движение в кръг
2. Ъглова скорост на въртеливо движение.
3. Период на ротация.
4. Скорост на въртене.
5. Връзка между линейна скорост и ъглова скорост.
6. Центростремително ускорение.
7. Еднакво редуващо се движение в кръг.
8. Ъглово ускорение при равномерно кръгово движение.
9. Тангенциално ускорение.
10. Закон за равномерно ускорено движение в окръжност.
11. Средна ъглова скорост при равномерно ускорено движение по окръжност.
12. Формули, установяващи връзката между ъглова скорост, ъглово ускорение и ъгъл на завъртане при равномерно ускорено движение в окръжност.
1.Равномерно движение около кръг– движение, при което материална точка преминава през равни интервали от време през равни сегменти от кръгова дъга, т.е. точката се движи в кръг с постоянна абсолютна скорост. В този случай скоростта е равна на отношението на дъгата на окръжност, измината от точката, към времето на движение, т.е.
и се нарича линейна скорост на движение в кръг.
Както при криволинейното движение, векторът на скоростта е насочен тангенциално към окръжността по посока на движението (фиг. 25).
2. Ъглова скорост при равномерно кръгово движение– отношение на ъгъла на завъртане на радиуса към времето на завъртане:
При равномерно кръгово движение ъгловата скорост е постоянна. В системата SI ъгловата скорост се измерва в (rad/s). Един радиан - рад е централният ъгъл, обхващащ дъга от окръжност с дължина, равна на радиуса. Пълният ъгъл съдържа радиани, т.е. за оборот радиусът се завърта на ъгъл от радиани.
3. Период на въртене– интервал от време T, през който материална точка прави един пълен оборот. В системата SI периодът се измерва в секунди.
4. Честота на въртене– броят на оборотите, направени за една секунда. В системата SI честотата се измерва в херци (1Hz = 1). Един херц е честотата, при която едно завъртане се извършва за една секунда. Лесно е да си го представим
Ако за време t дадена точка направи n оборота около кръг, тогава .
Познавайки периода и честотата на въртене, ъгловата скорост може да се изчисли по формулата:
5 Връзка между линейна скорост и ъглова скорост. Дължината на дъга от окръжност е равна на централния ъгъл, изразен в радиани, радиусът на окръжността, обхващаща дъгата. Сега записваме линейната скорост във формата
Често е удобно да се използват формулите: или Ъгловата скорост често се нарича циклична честота, а честотата се нарича линейна честота.
6. Центростремително ускорение. При равномерно движение по окръжност модулът на скоростта остава непроменен, но посоката му непрекъснато се променя (фиг. 26). Това означава, че едно тяло, което се движи равномерно в кръг, изпитва ускорение, което е насочено към центъра и се нарича центростремително ускорение.
Нека изминат разстояние, равно на дъга от окръжност за определен период от време. Нека преместим вектора, като го оставим успореден на себе си, така че началото му да съвпадне с началото на вектора в точка B. Модулът на изменение на скоростта е равен на , а модулът на центростремителното ускорение е равен на
На фиг.26 триъгълниците AOB и DVS са равнобедрени и ъглите при върховете O и B са равни, както и ъглите с взаимно перпендикулярни страни AO и OB.Това означава, че триъгълниците AOB и DVS са подобни. Следователно, ако, т.е. интервалът от време приема произволно малки стойности, тогава дъгата може да се счита приблизително равна на хордата AB, т.е. . Следователно можем да напишем Като се има предвид, че VD = , OA = R получаваме Умножавайки двете страни на последното равенство по , допълнително получаваме израза за модула на центростремителното ускорение при равномерно движение в окръжност: . Имайки предвид, че получаваме две често използвани формули:
И така, при равномерно движение около кръг центростремителното ускорение е постоянно по големина.
Лесно е да се разбере, че в границата на , ъгъл . Това означава, че ъглите в основата на DS на триъгълника ICE клонят към стойността и векторът на промяна на скоростта става перпендикулярен на вектора на скоростта, т.е. насочен радиално към центъра на кръга.
7. Еднакво редуващи се кръгови движения– кръгово движение, при което ъгловата скорост се променя еднакво за равни интервали от време.
8. Ъглово ускорение при равномерно кръгово движение– съотношението на изменението на ъгловата скорост към интервала от време, през който е настъпило това изменение, т.е.
където началната стойност на ъгловата скорост, крайната стойност на ъгловата скорост, ъгловото ускорение, в системата SI се измерва в . От последното равенство получаваме формули за изчисляване на ъгловата скорост
И ако .
Умножавайки двете страни на тези равенства по и вземайки предвид, че , е тангенциалното ускорение, т.е. ускорение, насочено тангенциално към кръга, получаваме формули за изчисляване на линейната скорост:
И ако .
9. Тангенциално ускорениечислено равна на изменението на скоростта за единица време и насочена по допирателната към окръжността. Ако >0, >0, тогава движението е равномерно ускорено. Ако<0 и <0 – движение.
10. Закон за равномерно ускорено движение в окръжност. Пътят, изминат по окръжност във времето при равномерно ускорено движение, се изчислява по формулата:
Замествайки , , и намалявайки с , получаваме закона за равномерно ускорено движение в окръжност:
Или ако.
Ако движението е равномерно бавно, т.е.<0, то
11.Пълно ускорение при равномерно ускорено кръгово движение. При равномерно ускорено движение в кръг центростремителното ускорение се увеличава с течение на времето, т.к Поради тангенциалното ускорение линейната скорост се увеличава. Много често центростремителното ускорение се нарича нормално и се обозначава като. Тъй като общото ускорение в даден момент се определя от Питагоровата теорема (фиг. 27).
12. Средна ъглова скорост при равномерно ускорено движение по окръжност. Средната линейна скорост при равномерно ускорено движение по окръжност е равна на . Замествайки тук и намалявайки с получаваме
Ако, тогава.
12. Формули, установяващи връзката между ъглова скорост, ъглово ускорение и ъгъл на завъртане при равномерно ускорено движение в окръжност.
Заместване на количествата , , , , във формулата
и намалявайки с , получаваме
Лекция 4. Динамика.
1. Динамика
2. Взаимодействие на телата.
3. Инертност. Принципът на инерцията.
4. Първи закон на Нютон.
5. Безплатна материална точка.
6. Инерциална отправна система.
7. Неинерциална отправна система.
8. Принципът на относителността на Галилей.
9. Галилееви трансформации.
11. Добавяне на сили.
13. Плътност на веществата.
14. Център на масата.
15. Втори закон на Нютон.
16. Единица сила.
17. Трети закон на Нютон
1. Динамикаима клон на механиката, който изучава механичното движение в зависимост от силите, които причиняват промяна в това движение.
2.Взаимодействия на телата. Телата могат да си взаимодействат както при пряк контакт, така и от разстояние чрез специален вид материя, наречена физическо поле.
Например, всички тела се привличат едно към друго и това привличане се осъществява чрез гравитационното поле, а силите на привличане се наричат гравитационни.
Телата, носещи електрически заряд, взаимодействат чрез електрическо поле. Електрическите токове взаимодействат чрез магнитно поле. Тези сили се наричат електромагнитни.
Елементарните частици взаимодействат чрез ядрени полета и тези сили се наричат ядрени.
3.Инертност. През 4 век. пр.н.е д. Гръцкият философ Аристотел твърди, че причината за движението на едно тяло е силата, действаща от друго тяло или тела. В същото време, според движението на Аристотел, постоянната сила придава постоянна скорост на тялото и с прекратяване на действието на силата движението спира.
През 16 век Италианският физик Галилео Галилей, провеждайки експерименти с тела, търкалящи се по наклонена равнина и с падащи тела, показа, че постоянна сила (в този случай теглото на тялото) придава ускорение на тялото.
И така, въз основа на експерименти, Галилей показа, че силата е причината за ускоряването на телата. Нека представим разсъжденията на Галилей. Оставете много гладка топка да се търкаля по гладка хоризонтална равнина. Ако нищо не пречи на топката, тя може да се търкаля толкова дълго, колкото желае. Ако върху пътя на топката се изсипе тънък слой пясък, тя ще спре много скоро, т.к беше повлиян от силата на триене на пясъка.
Така Галилей стигна до формулировката на принципа на инерцията, според който материалното тяло поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение, ако върху него не действат външни сили. Това свойство на материята често се нарича инерция, а движението на тялото без външни влияния се нарича движение по инерция.
4. Първият закон на Нютон. През 1687 г., въз основа на принципа на инерцията на Галилей, Нютон формулира първия закон на динамиката - първия закон на Нютон:
Материална точка (тяло) е в състояние на покой или равномерно праволинейно движение, ако върху нея не действат други тела или силите, действащи от други тела, са уравновесени, т.е. компенсиран.
5.Безплатна материална точка- материална точка, която не се влияе от други тела. Понякога казват - изолирана материална точка.
6. Инерциална референтна система (IRS)– отправна система, спрямо която изолирана материална точка се движи праволинейно и равномерно или е в покой.
Всяка референтна система, която се движи равномерно и праволинейно спрямо ISO, е инерционна,
Нека дадем друга формулировка на първия закон на Нютон: Има отправни системи, спрямо които свободната материална точка се движи праволинейно и равномерно или е в покой. Такива референтни системи се наричат инерциални. Първият закон на Нютон често се нарича закон на инерцията.
На първия закон на Нютон може да се даде и следната формулировка: всяко материално тяло се съпротивлява на промяна в скоростта си. Това свойство на материята се нарича инерция.
С проявленията на този закон се сблъскваме всеки ден в градския транспорт. Когато автобусът внезапно набере скорост, ние сме притиснати към облегалката на седалката. Когато автобусът намалява, тялото ни се плъзга по посока на автобуса.
7. Неинерциална отправна система –референтна система, която се движи неравномерно спрямо ISO.
Тяло, което спрямо ISO е в състояние на покой или равномерно праволинейно движение. Той се движи неравномерно спрямо неинерциална отправна система.
Всяка въртяща се отправна система е неинерциална отправна система, т.к в тази система тялото изпитва центростремително ускорение.
Няма тела в природата или технологията, които биха могли да служат като ISO. Например Земята се върти около оста си и всяко тяло на нейната повърхност изпитва центростремително ускорение. Въпреки това, за сравнително кратки периоди от време референтната система, свързана със земната повърхност, може, до известно приближение, да се счита за ISO.
8.Принципът на относителността на Галилей. ISO може да бъде толкова сол, колкото искате. Следователно възниква въпросът: как изглеждат едни и същи механични явления в различни ISO? Възможно ли е чрез механични явления да се засече движението на ISO, в което се наблюдават.
Отговор на тези въпроси дава принципът на относителността на класическата механика, открит от Галилей.
Смисълът на принципа на относителността на класическата механика е твърдението: всички механични явления протичат по същия начин във всички инерционни отправни системи.
Този принцип може да се формулира по следния начин: всички закони на класическата механика се изразяват с едни и същи математически формули. С други думи, никакви механични експерименти няма да ни помогнат да открием движението на ISO. Това означава, че опитите за откриване на ISO движение са безсмислени.
Сблъскахме се с проявлението на принципа на относителността, докато пътувахме във влаковете. В момента, когато нашият влак стои на гарата и влакът, стоящ на съседния коловоз, бавно започва да се движи, тогава в първите моменти ни се струва, че нашият влак се движи. Но се случва и обратното, когато нашият влак плавно набира скорост, ни се струва, че съседният влак е започнал да се движи.
В горния пример принципът на относителността се проявява на малки интервали от време. С увеличаване на скоростта започваме да усещаме удари и люлеене на автомобила, т.е. референтната ни система става неинерционна.
Така че опитите за откриване на ISO движение са безсмислени. Следователно е абсолютно безразлично кой ISO се счита за неподвижен и кой се движи.
9. Галилееви трансформации. Нека два ISO се движат един спрямо друг със скорост. В съответствие с принципа на относителността можем да приемем, че ISO K е неподвижен, а ISO се движи относително със скорост. За простота приемаме, че съответните координатни оси на системите и са успоредни, а осите и съвпадат. Нека системите съвпадат в момента на началото и движението става по осите и , т.е. (фиг.28)
