Вращение является типичным видом механического движения, которое часто встречается в природе и технике. Любое вращение возникает в результате воздействия некоторой внешней силы на рассматриваемую систему. Эта сила создает так называемый Что он собой представляет, от чего зависит, рассматривается в статье.
Процесс вращения
Прежде чем рассматривать концепцию вращающего момента, дадим характеристику систем, к которым может быть применена эта концепция. Система вращения предполагает наличие в ней оси, вокруг которой осуществляется круговое движение или поворот. Расстояние от этой оси до материальных точек системы называется радиусом вращения.
С точки зрения кинематики, процесс характеризуется тремя угловыми величинами:
- углом поворота θ (измеряется в радианах);
- угловой скоростью ω (измеряется в радианах в секунду);
- ускорением угловым α (измеряется в радианах в секунду квадратную).
Эти величины связаны друг с другом следующими равенствами:
Примерами вращения в природе являются движения планет по своим орбитам и вокруг своих осей, движения смерчей. В быту и технике рассматриваемое движение характерно для моторов двигателей, гаечных ключей, строительных кранов, открывания дверей и так далее.
Определение момента силы
Теперь перейдем к непосредственной теме статьи. Согласно физическому определению, представляет собой векторное произведение вектора приложения силы относительно оси вращения на вектор самой силы. Соответствующее математическое выражение можно записать так:
Здесь вектор r¯ направлен от оси вращения к точке приложения силы F¯.
В этой формуле вращающего момента M¯ сила F¯ может быть направлена как угодно относительно направления оси. Тем не менее параллельная оси компонента силы не будет создавать вращения, если ось жестко закреплена. В большинстве задач по физике приходится рассматривать силы F¯, которые лежат в плоскостях перпендикулярных оси вращения. В этих случаях абсолютное значение вращающего момента можно определить по следующей формуле:
|M¯| = |r¯|*|F¯|*sin(β).
Где β является углом между векторами r¯ и F¯.
Что такое рычаг силы?
Рычаг силы играет важную роль при определении величины момента силы. Чтобы понять, о чем идет речь, рассмотрим следующий рисунок.
Здесь показан некоторый стержень длиною L, который закреплен в точке вращения одним из своих концов. На другой конец действует сила F, направленная под острым углом φ. Согласно определению момента силы, можно записать:
M = F*L*sin(180 o -φ).
Угол (180 o -φ) появился потому, что вектор L¯ направлен от закрепленного конца к свободному. Учитывая периодичность тригонометрической функции синуса, можно переписать это равенство в таком виде:
Теперь обратим внимание на прямоугольный треугольник, построенный на сторонах L, d и F. По определению функции синуса, произведение гипотенузы L на синус угла φ дает значение катета d. Тогда приходим к равенству:
Линейная величина d называется рычагом силы. Он равен расстоянию от вектора силы F¯ до оси вращения. Как видно из формулы, понятием рычага силы удобно пользоваться при вычислении момента M. Полученная формула говорит о том, что вращающий момент максимальный для некоторой силы F будет возникать только тогда, когда длина радиус-вектора r¯ (L¯ на рисунке выше) будет равна рычагу силы, то есть r¯ и F¯ будут взаимно перпендикулярны.
Направление действия величины M¯
Выше было показано, что вращающий момент - это векторная характеристика для данной системы. Куда направлен этот вектор? Ответить на этот вопрос не представляет особого труда, если вспомнить, что результатом произведения двух векторов является третий вектор, который лежит на оси, перпендикулярной плоскости расположения исходных векторов.
Остается решить, будет ли направлен момент силы вверх или вниз (на читателя или от него) относительно упомянутой плоскости. Определить это можно или по правилу буравчика, или с помощью правила правой руки. Приведем оба правила:
- Правило правой руки. Если расположить правую кисть таким образом, чтобы четыре ее пальца двигались от начала вектора r¯ к его концу, а затем от начала вектора F¯ к его концу, то большой палец, оттопыренный, укажет на направление момента M¯.
- Правило буравчика. Если направление вращения воображаемого буравчика совпадает с направлением вращательного движения системы, то поступательное движение буравчика укажет на направление вектора M¯. Напомним, что он вращается только по часовой стрелке.
Оба правила являются равноправными, поэтому каждый может использовать то, которое является для него более удобным.
При решении практических задач разное направление вращающего момента (вверх - вниз, влево - вправо) учитывается с помощью знаков "+" или "-". Следует запомнить, что за положительное направление момента M¯ принято считать такое, которое приводит к вращению системы против часовой стрелки. Соответственно, если некоторая сила приводит к вращению системы по ходу стрелки часов, то создаваемый ее момент будет иметь отрицательную величину.
Физический смысл величины M¯
В физике и механике вращения величина M¯ определяет способность силы или суммы сил совершать вращение. Поскольку в математическом определении величины M¯ стоит не только сила, но и радиус-вектор ее приложения, то именно последний во многом определяет отмеченную вращательную способность. Чтобы понятнее было, о какой способности идет речь, приведем несколько примеров:
- Каждый человек, хотя бы один раз в жизни пытался открыть дверь, взявшись не за ручку, а толкнув ее недалеко от петель. В последнем случае приходится прилагать значительное усилие, чтобы добиться желаемого результата.
- Чтобы открутить гайку с болта, используют специальные гаечные ключи. Чем длиннее ключ, тем легче открутить гайку.
- Чтобы ощутить важность рычага силы, предлагаем читателям проделать следующий эксперимент: взять стул и попытаться удержать его одной рукой на весу, в одном случае руку прислонить к телу, в другом - выполнить задачу на прямой руке. Последнее для многих окажется непосильной задачей, хотя вес стула остался тем же самым.
Единицы измерения момента силы
Несколько слов также следует сказать о том, в каких единицах в СИ измеряется вращающий момент. Согласно записанной для него формуле, он измеряется в ньютонах на метр (Н*м). Однако в этих единицах также измеряется работа и энергия в физике (1 Н*м = 1 джоуль). Джоуль для момента M¯ не применяется, поскольку работа является скалярной величиной, M¯ же - это вектор.
Тем не менее совпадение единиц момента силы с единицами энергии не является случайным. Работа по вращению системы, совершенная моментом M, рассчитывается по формуле:
Откуда получаем, что M также может быть выражен в джоулях на радиан (Дж/рад).
Динамика вращения
В начале статьи мы записали кинематические характеристики, которые используются для описания движения вращения. В динамике вращения главным уравнением, которое использует эти характеристики, является следующее:
Действие момента M на систему, имеющую момент инерции I, приводит к появлению углового ускорения α.
Данную формулу применяют, для определения угловых частот вращения в технике. Например, зная вращающий момент асинхронного двигателя, который зависит от частоты тока в катушке статора и от величины изменяющегося магнитного поля, а также зная инерционные свойства вращающегося ротора, можно определить, до какой скорости вращения ω раскручивается ротор двигателя за известное время t.
Пример решения задачи
Невесомый рычаг, длина которого составляет 2 метра, посередине имеет опору. Какой вес следует положить на один конец рычага, чтобы он находился в состоянии равновесия, если с другой стороны опоры на расстоянии 0,5 метра от нее лежит груз массой 10 кг?
Очевидно, что наступит, если моменты сил, создаваемые грузами, будут равны по модулю. Сила, создающая момент в данной задаче, представляет собой вес тела. Рычаги силы равны расстояниям от грузов до опоры. Запишем соответствующее равенство:
m 1 *g*d 1 = m 2 *g*d 2 =>
P 2 = m 2 *g = m 1 *g*d 1 /d 2 .
Вес P 2 получим, если подставим из условия задачи значения m 1 = 10 кг, d 1 = 0,5 м, d 2 = 1 м. Записанное равенство дает ответ: P 2 = 49,05 ньютона.
Определение
Векторное произведение радиус – вектора (), который проведен из точки О (рис.1) в точку к которой приложена сила на сам вектор называют моментом силы ()по отношению к точке O:
На рис.1 точка О и вектор силы ()и радиус – вектор находятся в плоскости рисунка. В таком случае вектор момента силы () перпендикулярен плоскости рисунка и имеет направление от нас. Вектор момента силы является аксиальным. Направление вектора момента силы выбирается таким образом, что вращение вокруг точки О в направлении силы и вектор создают правовинтовую систему. Направление момента сил и углового ускорения совпадают.
Величина вектора равна:
где – угол между направлениями радиус – вектора и вектора силы, – плечо силы относительно точки О.
Момент силы относительно оси
Моментом силы по отношению к оси является физическая величина, равная проекции вектора момента силы относительно точки избранной оси на данную ось. При этом выбор точки значения не имеет.
Главный момент сил
Главным моментом совокупности сил относительно точки О называется вектор (момент силы), который равен сумме моментов всех сил, действующих в системе по отношению к той же точке:
При этом точку О называют центром приведения системы сил.
Если имеются два главных моменты ( и )для одной системы сил для разных двух центров приведение сил (О и О’), то они связаны выражением:
где - радиус-вектор, который проведен из точки О к точке О’, – главный вектор системы сил.
В общем случае результат действия на твердое тело произвольной системы сил такое же, как действие на тело главного момента системы сил и главного вектора системы сил, который приложен в центре приведения (точка О).
Основной закон динамики вращательного движения
где – момент импульса тела находящегося во вращении.
Для твердого тела этот закон можно представить как:
где I – момент инерции тела, – угловое ускорение.
Единицы измерения момента силы
Основной единицей измерения момента силы в системе СИ является: [M]=Н м
В СГС: [M]=дин см
Примеры решения задач
Пример
Задание. На рис.1 показано тело, которое имеет ось вращения OO". Момент силы, приложенный к телу относительно заданной оси, будет равен нулю? Ось и вектор силы расположены в плоскости рисунка.
Решение. За основу решения задачи примем формулу, определяющую момент силы:
В векторном произведении (видно из рисунка) . Угол между вектором силы и радиус – вектором также будет отличен от нуля (или ), следовательно, векторное произведение (1.1) нулю не равно. Значит, момент силы отличен от нуля.
Ответ.
Пример
Задание. Угловая скорость вращающегося твердого тела изменяется в соответствии с графиком, который представлен на рис.2. В какой из указанных на графике точек момент сил, приложенных к телу равен нулю?
Которая равна произведению силы на ее плечо.
Момент силы вычисляют при помощи формулы:
где F - сила, l — плечо силы.
Плечо силы - это самое короткое расстояние от линии действия силы до оси вращения тела. На рисунке ниже изображено твердое тело, которое может вращаться вокруг оси. Ось вращения этого тела является перпендикулярной к плоскости рисунка и проходит через точку, которая обозначена как буква О. Пле-чом силы F t здесь оказывается расстояние l , от оси вращения до линии действия силы. Определяют его таким образом. Первым шагом проводят линию действия силы, далее из т. О, через которую проходит ось вращения тела, опускают на линию действия силы перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра оказывается плечом данной силы.
Момент силы характеризует вращающее действие силы . Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу необходимо приложить, чтобы получить желаемый результат, то есть один и тот же момент силы (см. рис. выше). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, намного сложнее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть намного легче длинным, чем коротким гаечным ключом.
За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н , плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н · м).
Правило моментов.
Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М 1 вращающей его по часовой стрелке, равняется моменту силы М 2 , которая вращает его против часовой стрелки:
Правило моментов есть следствие одной из теорем механики , которая была сформулирована французским ученым П. Вариньоном в 1687 г.
Пара сил.
Если на тело действуют 2 равные и противоположно направленные силы, которые не лежат на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, так как результирующий момент этих сил относительно любой оси не равняется нулю, так как обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил . Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена «свободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси. проходящей через центр тяжести тела, рисунке б .
Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние l между силами, которое называется плечом пары , независимо от того, на какие отрезки l , и разделяет положение оси плечо пары:
Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи-тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме нить действием одной пары сил с тем же моментом.
В статье мы расскажем про момент силы относительно точки и оси, определения, рисунки и графики, какая единица измерения момента силы, работа и сила во вращательном движении, а также примеры и задачи.
Момент силы представляет собой вектор физической величины, равный произведению векторов плеча силы (радиус-вектор частицы) и силы , действующей на точку. Силовой рычаг представляет собой вектор, соединяющий точку, через которую проходит ось вращения твердого тела с точкой, к которой приложена сила.
где: r — плечо силы, F — сила приложенная на тело.
Направление вектора силы момента всегда перпендикулярно плоскости, определяемой векторами r и F.
Главный момент — любая система сил на плоскости относительно принятого полюса называется алгебраическим моментом момента всех сил этой системы относительно этого полюса.
Во вращательных движениях важны не только сами физические величины, но и то, как они расположены относительно оси вращения, то есть их моменты . Мы уже знаем, что во вращательном движении важна не только масса, но и . В случае силы, ее эффективность для запуска ускорения определяется способом приложения этой силы к оси вращения.
Взаимосвязь между силой и способом ее применения описывает МОМЕНТ СИЛЫ. Момент силы — это векторное произведение силового плеча R на вектор силы F:
Как в каждом векторном произведении, так и здесь
Следовательно, сила не будет влиять на вращение, когда угол между векторами силы F и рычагом R равен 0 o или 180 o . Каков эффект применения момента силы М ?
Мы используем второй Закон движения Ньютона и связь между канатом и угловой скоростью v = Rω в скалярной форме, действительны, когда векторы R и ω перпендикулярны друг другу
Умножив обе части уравнения на R, получим
Поскольку mR 2 = I, мы заключаем, что
Вышеуказанная зависимость справедлива и для случая материального тела. Обратите внимание, что в то время как внешняя сила дает линейное ускорение a , момент внешней силы дает угловое ускорение ε.
Единица измерения момента силы
Основной мерой измерения момента силы в системной координате СИ является: [M]=Н м
В СГС: [M]=дин см
Работа и сила во вращательном движении
Работа в линейном движении определяется общим выражением,
но во вращательном движении,
а следовательно
Исходя из свойств смешанного произведения трех векторов, можно записать
Поэтому мы получили выражение для работы во вращательном движении:
Мощность во вращательном движении:
Найдите момент силы,
действующей на тело в ситуациях, показанных на рисунках ниже. Предположим, что r = 1m и F = 2N.
а) поскольку угол между векторами r и F равен 90°, то sin(a)=1:
M = r F = 1м 2N = 2Н м
б) потому что угол между векторами r и F равен 0°, поэтому sin(a)=0:
M = 0
да направленная сила
не может дать точке вращательное движение
.
c) поскольку угол между векторами r и F равен 30°, то sin(a)=0.5:
M = 0,5 r F = 1Н м.
Таким образом, направленная сила вызовет вращение тела , однако ее эффект будет меньше, чем в случае a) .
Момент силы относительно оси
Предположим, что данные являются точкой O (полюс) и мощность P . В точке O мы принимаем начало прямоугольной системы координат. Момент силы Р по отношению к полюсным O представляет собой вектор М из (Р ), (рисунок ниже).
Любая точка A
на линии P
имеет координаты (xo , yo , zo).
Вектор силы P
имеет координаты Px , Py, Pz
.
Комбинируя точку A (xo, yo, zo)
с началом системы, мы получаем вектор p
. Координаты вектора силы P
относительно полюса O
обозначены символами Mx, My, Mz.
Эти координаты могут быть вычислены как минимумы данного определителя, где (i, j, k
) — единичные векторы на осях координат (варианты): i, j, k
После решения определителя координаты момента будут равны:
Координаты вектора моментов Mo (P ) называются моментами силы относительно соответствующей оси. Например, момент силы P относительно оси Oz окружает шаблон:
Mz = Pyxo — Pxyo
Этот паттерн интерпретируется геометрически так, как показано на рисунке ниже.
На основании этой интерпретации момент силы относительно оси Oz
можно определить, как момент проекции силы P
на перпендикуляр оси Oz
относительно точки проникновения этой плоскости осью. Проекция силы P
на перпендикуляр оси обозначена Pxy
, а точка проникновения плоскости Oxy
— осью Oс
символом O.
Из приведенного выше определения момента силы относительно оси следует, что момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось равны, в одной плоскости (когда сила параллельна оси или когда сила пересекает ось).
Используя формулы на Mx, My, Mz,
мы можем рассчитать значение момента силы P
относительно точки O
и определить углы, содержащиеся между вектором M
и осями системы:
Метка крутящего момента:
плюс (+) — вращение силы вокруг оси O по часовой стрелке,
минус (-) — вращение силы вокруг оси O против часовой стрелки.
Моментом силы относительно произвольного центра в плоскости действия силы, называется произведение модуля силы на плечо.
Плечо - кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы, но не до точки приложения силы, т.к. сила-скользящий вектор.
Знак момента:
По часовой-минус, против часовой-плюс;
Момент силы можно выразить как вектор. Это перпендикуляр к плоскости по правилу Буравчика.
Если в плоскости расположены несколько сил или система сил, то алгебраическая сумма их моментов даст нам главный момент системы сил.
Рассмотрим момент силы относительно оси, вычислим момент силы относительно оси Z;
Спроецируем F на XY;
F xy =Fcosα = ab
m 0 (F xy)=m z (F), то есть m z =F xy * h = Fcosα * h
Момент силы относительно оси равен моменту ее проекции на плоскость перпендикулярную оси, взятому на пересечении осей и плоскости
Если сила параллельна оси или пересекает ее, то m z (F)=0
Выражение момента силы в виде векторного выражения
Проведем r а в точку A. Рассмотрим OA x F.
Это третий вектор m o , перпендикулярный плоскости. Модуль векторного произведения можно вычислить с помощью удвоенной площади заштрихованного треугольника.
Аналитическое выражение силы относительно координатных осей.
Предположим, что с точкой О связаны оси Y и Z, X с единичными векторами i, j, k Учитывая, что:
r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y получим: m o (F)=x =
Раскроем определитель и получим:
m x =YF z - ZF y
m y =ZF x - XF z
m z =XF y - YF x
Эти формулы дают возможность вычислить проекцию вектор-момента на оси, а потом и сам вектор-момент.
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
Если система сил имеет равнодействующую, то её момент относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этой точки
Если приложить Q= -R , то система (Q,F 1 … F n) будет равен уравновешиваться.
Сумма моментов относительно любого центра будет равен нулю.
Аналитическое условие равновесия плоской системы сил
Это плоская система сил, линии действия которых расположены в одной плоскости
Цель расчета задач данного типа - определение реакций внешних связей. Для этого используются основные уравнения в плоской системе сил.
Могут использоваться 2 или 3 уравнения моментов.
Пример
Составим уравнение суммы всех сил на ось X и Y:
Сумма моментов всех сил относительно точки А:
Параллельные силы
Уравнение относительно точки А:
Уравнение относительно точки В:
Сумма проекций сил на ось У.
