Уравнение M (x , y ) dx + N (x , y ) dy =0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k , что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x , y , dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k ‑ го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k -1) -го измерений. Например, таким будет уравнение . (6.1)
Действительно при сделанном предположении относительно измерений
x
,
y
,
dx
и dy
члены левой
части
иdy
будут иметь
соответственно измерения -2, 2k
и
k
-1.
Приравнивая их, получаем условие,
которому должно удовлетворять искомое
число k
:
-2 = 2k
=
k
-1.
Это условие выполняется при k
= -1 (при таком
k
все члены левой части рассматриваемого
уравнения будут иметь измерение -2).
Следовательно, уравнение (6.1) является
обобщенным однородным.
Обобщенное
однородное уравнение приводится к
уравнению с разделяющимися переменными
с помощью подстановки
,
гдеz
– новая неизвестная функция. Проинтегрируем
указанным методом уравнение (6.1). Так
как k
= -1, то
,
после чего получаем уравнение.
Интегрируя его,
находим
,
откуда
.
Это общее решение уравнения (6.1).
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:
,
(7.1)
где P
(x
)
и
Q
(x
)
– заданные непрерывные функции от x
.
Если функция
,
то уравнение
(7.1) имеет вид:
(7.2)
и называется
линейным однородным уравнением, в
противном случае
оно называется линейным неоднородным
уравнением.
Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:
(7.3)
Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P (x ) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x ) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:
.
Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:
или
.
Откуда
,
где
-
произвольная постоянная. В результате
общее решение неоднородного линейного
уравнения (7.1) будет(7.4)
Первое слагаемое
в этой формуле представляет общее
решение (7.3) линейного однородного
дифференциального уравнения (7.2), а
второе слагаемое формулы (7.4) есть частное
решение линейного неоднородного
уравнения (7.1), полученное из общего
(7.4) при
.
Этот важный вывод выделим в виде теоремы.
Теорема.
Если известно одно частное решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения
,
то все остальные решения имеют вид
,
где
- общее решение соответствующего
линейного однородного дифференциального
уравнения.
Однако надо
отметить, что для решения линейного
неоднородного дифференциального
уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется
другой метод, иногда называемый методом
Бернулли. Будем искать решение уравнения
(7.1) в виде
.
Тогда
.
Подставим найденную производную в
исходное уравнение:
.
Объединим, например,
второе и третье слагаемые последнего
выражения и вынесем функцию u
(x
)
за скобку:
(7.5)
Потребуем обращения
в нуль круглой скобки:
.
Решим это уравнение,
полагая произвольную постоянную C
равной нулю:
.
С найденной функциейv
(x
)
вернемся в уравнение (7.5):
.
Решая его, получим:
.
Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид.
Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях
Пусть существует уравнение. Если - обычная функция, то ее решение есть первообразная, то есть. Пусть теперь - обобщенная функция.
Определение. Обобщенная функция называется первообразной обобщенной функцией, если. Если - сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи, когда ее первообразная - регулярная обобщенная функция. Например, первообразная является; первообразная является функция, а решение уравнения можно записать в виде: , где.
Есть линейное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами
где - обобщенная функция. Пусть - дифференциальный полином -го порядка.
Определение. Обобщенным решением дифференциального уравнения (8) называется обобщенная функция, для которой выполняется соотношение:
Если - непрерывная функция, тогда единственным решением уравнения (8) является классическое решение.
Определение. Фундаментальным решением уравнения (8) называется любая обобщенная функция такая, что.
Функция Грина - фундаментальное решение, удовлетворяющее граничному, начальному или асимптотическому условию.
Теорема. Решение уравнения (8) существует и имеет вид:
если только свертка определена.
Доказательство. Действительно, . По свойству свертки следует: .
Нетрудно увидеть, что фундаментальным решением этого уравнения является, так как
Свойства обобщенных производных
Операция дифференцирования линейна и непрерывна из в:
в, если в;
Каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. Действительно, если, то; в свою очередь и т.д.;
Результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Например, ;
Если и, то справедлива формула Лейбница дифференцирования произведения. Например, ;
Если обобщенная функция, то;
Если ряд, составленный из локально интегрируемых функций, сходится равномерно на каждом компакте, то его можно почленно дифференцировать любое число раз (как обобщенную функцию), и полученные ряды будут сходится в.
Пример. Пусть
Функция называется функцией Хевисайда или единичной функцией. Она локально интегрируема и потому может рассматриваться как обобщенная функция. Можно найти ее производную. Согласно определению, т.е. .
Обобщенные функция, отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами
До сих пор рассматривались исключительно квадратичные формы с вещественными коэффициентами. В этом пункте исследуется пространство всех квадратичных форм с комплексными коэффициентами.
Задачей является определение обобщенной функции, где - комплексное число. Однако в общем случае не будет однозначной аналитической функцией от. Поэтому в пространстве всех квадратичных форм выделяют «верхнюю полуплоскость» квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью и определяют для них функцию. А именно, если квадратичная форма принадлежит этой «полуплоскости», то пологается, где. Такая функция является однозначной аналитической функцией от.
Можно сопоставить теперь функции обобщенную функцию:
где интегрирование ведется по всему пространству. Интеграл (13) сходится при и является в этой полуплоскости аналитической функцией от. Продолжая аналитически эту функцию, определяется функционал для других значений.
Для квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью находятся особые точки функций и вычисляются вычеты этих функций в особых точках.
Обобщенная функция аналитически зависит не только от, но и от коэффициентов квадратичной формы. Тем самым, является аналитической функцией в верхней «полуплоскости» всех квадратичных форм вида, где есть положительно определенная форма. Следовательно, однозначно определяется своими значениями на «мнимой полуоси», т. е. на множестве квадратичных форм вида, где - положительно определенная форма.
Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.
Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"
Подобные документы
Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция , добавлен 18.08.2012
Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Признак уравнения в полных дифференциалах, построение общего интеграла. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя. Случай множителя, зависящего только от Х и только от Y.
курсовая работа , добавлен 24.12.2014
Особенности дифференциальных уравнений как соотношения между функциями и их производными. Доказательство теоремы существования и единственности решения. Примеры и алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель в примерах.
курсовая работа , добавлен 11.02.2014
Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа , добавлен 26.01.2015
Уравнение с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения. Геометрические свойства интегральных кривых. Полный дифференциал функции двух переменных. Определение интеграла методами Бернулли и вариации произвольной постоянной.
реферат , добавлен 24.08.2015
Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа , добавлен 10.06.2010
Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа , добавлен 02.11.2011
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (3.1) или уравнение вида (3.2)
Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия: 
;
Теперь надо решить уравнение g(y)= 0 . Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).
Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :
, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): 
. (3.3)
Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями 
, если такие решения существуют.
Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Определение 1.
Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение 
, называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.
Пример 1. Показать, что функция - однородная нулевого измерения.
Решение.
,
что и требовалось доказать.
Теорема. Любая функция - однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .
Доказательство.
Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции 
, что и требовалось доказать.
Определение 2. Уравнение (4.1) в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным. Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: или или .
Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x)
, который после повторной замены дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения , то функции - решения однородного заданного уравнения. Если же , то уравнение (4.2) принимает вид
И становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: .
Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.
Обобщенное однородное уравнение.
Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k
, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m
относительно x, y, dx
и dy
при условии, что x
считается величиной первого измерения, y
– k‑
го измерения, dx
и dy –
соответственно нулевого и (k-1)
-го измерений. Например, таким будет уравнение 
. (6.1) Действительно при сделанном предположении относительно измерений x, y, dx
и dy
члены левой части и dy
будут иметь соответственно измерения -2, 2k
и k
-1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k
: -2 = 2k
= k
-1. Это условие выполняется при k
= -1 (при таком k
все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.
def 1 ДУ вида
называется однородным дифференциальным уравнением I порядка (ОДУ).
Th 1 Пусть для функции выполнены условия:
1) непрерывна при
Тогда ОДУ (1) имеет общий интеграл, который при задаётся формулой:
где - некоторая первообразная функции с – произвольная константа.
Замечание 1 Если при некоторых будет выполнено условие то в процессе решения ОДУ (1) могут быть потеряны решения вида к таким случаям надо относиться внимательнее и проверять каждый из них отдельно.
Таким образом из теоремы Th1 следует общий алгоритм решения ОДУ (1):
1) Сделать замену:
2) Таким образом, будет получено ДУ с разделяющимися переменными, которое следует проинтегрировать;
3) Вернуться к старым gпеременным;
4) Проверить значения , на их причастность к решению исходного ДУ , при которых будет выполнено условие
5) Записать ответ.
Пример 1 Решить ДУ (4).
Решение: ДУ (4) – это однородное дифференциальное уравнение, так как оно имеет вид (1). Сделаем замену (3), это приведёт уравнение (4) к виду:
Уравнение (5) – это общий интеграл ДУ (4).
Заметим, что при разделении переменных и делении на могли быть потеряны решения, однако не является решением ДУ (4), что легко проверяется непосредственной подстановкой в равенство (4), так как это значение не входит в область определения исходного ДУ.
Ответ:
Замечание 2 Иногда встречается запись ОДУ через дифференциалы переменных х и у. Рекомендуется от этой записи ДУ перейти к выражению через производную и только затем выполнять замену (3).
Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
def 2 Функцию называют однородной функцией степени k в области , для которой будет выполнено равенство:
Вот наиболее часто встречающиеся типы ДУ, которые допускают приведение к виду (1) после различных преобразований.
1) где функция является однородной, степени нуль , то есть справедливо равенство: ДУ (6) легко приводится к виду (1), если положить , которое далее интегрируется с использованием замены (3).
2) (7), где функции являются однородными одной и той же степени k . ДУ вида (7) также интегрируется с помощью замены (3).
Пример 2 Решить ДУ (8).
Решение: Покажем, что ДУ (8) является однородным. Разделим на что возможно, так как не является решением ДУ (8).
Сделаем замену (3), это приведёт уравнение (9) к виду:
Уравнение (10) – это общий интеграл ДУ (8).
Заметим, что при разделении переменных и делении на могли быть потеряны решения, соответствующие значениям и . Проверим эти выражения. Подставим их в ДУ (8):
Ответ:
Интересно отметить, что при решении данного примера появляется функция называемая «знак» числа х (читается «сигнум икс »), определённая выражением:
Замечание 3 Приводить ДУ (6) или (7) к виду (1) не является обязательным, если очевидно, что ДУ является однородным, то можно и сразу произвести замену
3) ДУ вида (11), интегрируется как ОДУ если , при этом первоначально выполняют подстановку:
(12), где - решение системы: (13), а затем используют замену (3) для функции После получения общего интеграла возвращаются к переменным х и у .
Если же , то, полагая в уравнении (11) получим ДУ с разделяющимися переменными.
Пример 3 Решить задачу Коши (14).
Решение: Покажем, что ДУ (14) приводится к однородному ДУ и интегрируется по вышеуказанной схеме:
Решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений (15) методом Крамера:
Сделаем замену переменных и проинтегрируем полученное уравнение:
(16) – Общий интеграл ДУ (14). При разделении переменных могли быть потеряны решения при делении на выражение , которые могут быть получены в явном виде после решения квадратного уравнения . Однако, они учтены в общем интеграле (16) при
Найдём решение задачи Коши: подставим значения и в общий интеграл (16) и найдём с .
Таким образом, частный интеграл будет задаваться формулой:
Ответ:
4) Некоторые ДУ возможно привести к однородным для новой, пока неизвестной функции , если применить замену вида:
При этом число m подбирается из условия того, чтобы полученное уравнение, если это возможно, стало однородным какой-либо степени. Однако, если этого сделать нельзя, значит, рассматриваемое ДУ привести к однородному таким способом нельзя.
Пример 4 Решить ДУ . (18)
Решение: Покажем, что ДУ (18) приводится к однородному ДУ с помощью подстановки (17) и далее интегрируется с использованием замены (3):
Найдём с:
Таким образом, частное решение ДУ (24) имеет вид
