Построить развертку боковой. Построение развертки конуса

Изобретение относится к обработке металлов давлением и может найти применение при изготовлении эксцентричных переходов между трубами большого диаметра в производстве теплообменных аппаратов. Получают заготовку прямого конуса, из которой формируют заготовку усеченного эксцентричного конуса с основаниями малого и большого диаметра и конусной поверхностью, одна из линий которой перпендикулярна основаниям. Формирование заготовки усеченного эксцентричного конуса осуществляют обрезкой концов заготовки прямого конуса. Эксцентричный переход получают отбортовкой большого и малого диаметров с помощью пуансона и матрицы. Причем для отбортовки малого диаметра заготовку усеченного эксцентричного конуса располагают вертикально малым диаметром вверх, матрицу размещают вокруг малого диаметра с касанием ее внутренней поверхности наружной поверхности заготовки не менее чем в четырех точках, продвигают пуансон внутри малого диаметра заготовки параллельно линии на конусной поверхности, перпендикулярной основаниям. Для отбортовки большого диаметра вместо матрицы используют пуансон и, соответственно, вместо пуансона - матрицу. Расширяются технологические возможности. 7 ил.

Рисунки к патенту РФ 2492016

Изобретение относится к обработке металлов давлением и может найти применение при изготовлении эксцентричных переходов между трубами большого диаметра в производстве теплообменных аппаратов.

Известен способ изготовления труб на станах холодной прокатки труб, согласно которому предварительно подготовленную исходную полую заготовку подают по оси прокатки на определенную величину (величину подачи) в очаг деформации и обжимают вращающимися валками с переменным радиусом ручья при одновременном перемещении прокатной клети (прямом ходе клети) в направлении подачи заготовки (Технология и оборудование трубного производства; учебное пособие для вузов / В.Я. Осадчий, А.С. Вавилин, В.Г. Зимовец, А.П. Коликов. - М.: Интерметинжиниринг, 2007. - с.448-452). В конечном (крайнем) положении клети ручьи валков образуют калибр, размер которого обеспечивает свободное прохождение через него заготовки (холостой участок продольной развертки профиля ручья). В этот момент заготовку с оправкой поворачивают вокруг своей оси на заданный угол (кантуют), после чего прокатная клеть совершает перемещение в обратном направлении в исходное положение (обратный ход клети) с одновременной деформацией предварительно обжатого при прямом ходе клети участка заготовки. Далее заготовку снова кантуют и повторяют описанный выше цикл обработки заготовки на оправке многократно до получения готовой трубы.

Описанный способ прокатки труб предусматривает деформацию металла с использованием сменного инструмента и оснастки в виде калибров, шестерен и реек, составленных из пар абсолютно идентичных деталей, что создает симметричность процесса деформации относительно горизонтальной плоскости. Оправка в таком процессе самоустанавливается в радиальном направлении относительно внутреннего диаметра трубы, что не позволяет существенно уменьшить величину эксцентричной составляющей разностенности и снижает точность холоднодеформированных труб, получаемых данным способом. Кроме того, большие усилия прокатки, требующие увеличения массы деформирующего оборудования и вызывающие большие упругие деформации клети, также ведут к снижению точности готовых труб, в том числе и из трудно деформированных сталей и сплавов.

Наиболее близким к предложенному способу является способ изготовления труб с эксцентричным переходом путем относительного смещения участков трубчатой заготовки с коническим переходом, согласно которому цилиндрический участок с меньшим диаметром жестко закрепляют, а на цилиндрическом участке с большим диаметром создают внутренний подпор, затем последовательно изгибают его и конический переход относительно цилиндрического участка с меньшим диаметром (Авторское свидетельство СССР № 806210, опубл. 23.02.1981 - прототип).

Известный способ может быть применим лишь для труб небольшого диаметра и не позволяет изготавливать переходы большого диаметра, т.е. диаметра более 1 м.

Задача решается тем, что в способе изготовления эксцентричного перехода, включающем получение заготовки прямого конуса, формирование из нее заготовки усеченного эксцентричного конуса с основаниями малого и большого диаметра и конусной поверхностью, одна из линий которой перпендикулярна основаниям, согласно изобретению, формирование заготовки усеченного эксцентричного конуса осуществляют обрезкой концов заготовки прямого конуса, который размещают большим диаметром вниз, наклоняют до принятия одной линии на его конусной поверхности вертикального положения, из верхней точки которой проводят горизонтальную линию, по которой срезают верхнюю часть заготовки прямого конуса, а нижнюю ее часть срезают по горизонтальной линии, проведенной из верхней точки большого основания, приподнятой при наклоне, эксцентричный переход получают отбортовкой большого малого диаметров с помощью пуансона, причем для отбортовки малого диаметра заготовку усеченного эксцентричного конуса располагают вертикально малым диаметром вверх, матрицу размещают вокруг малого диаметра с касанием ее внутренней поверхности наружной поверхности заготовки не менее, чем в четырех точках, продвигают пуансон внутри малого диаметра заготовки параллельно линии на конусной поверхности, перпендикулярной основаниям, а для отбортовки большого диаметра вместо матрицы используют пуансон и, соответственно, вместо пуансона - матрицу.

Сущность изобретения

В сфере машиностроения, а точнее в области изготовления теплообменных аппаратов, на сегодняшний день существует задача изготовления эксцентричных переходов между трубами большого диаметра с отбортовкой концов. Данная задача, как правило, либо не выполняется, либо выполняется по обходным технологиям с нарушением структуры металла. Существующее оборудование не приспособлено к решению именно этих задач и предприятия, имеющие это оборудование, часто все равно вынуждены уходить на обходные технологии при выполнении заказов.

В предложенном изобретении решается задача изготовления эксцентричного перехода большого диаметра.

Общий вид эксцентричного перехода представлен на фиг.1. На фиг.1 d - малый диаметр перехода, D - больший диаметр перехода, I - длина цилиндрической части перехода малого диаметра, L - длина цилиндрической части перехода большего диаметра, S - толщина стенки перехода, Н - длина перехода.

При изготовлении эксцентричного перехода выполняют изготовление развертки, из которой в последующем резкой сваркой и формированием получают заготовку будущего перехода.

Проводят изгиб заготовки на 3-х валкой машине. На фиг.2 показана схема изгиба заготовки перехода на трех валковой машине: 1 - заготовка перехода, 2 - торцы заготовки, 3 - валки. После изгиба заготовку сваривают встык по торцам 3. Получают прямой конус заготовки. Далее приступают к обрезке концов заготовки. Для удобства разметки при обрезке концов прямого конуса используют самоустанавливающиеся строительные лазерные уровни с обозначением вертикальной и горизонтальной плоскостей одновременно. На фиг.3 показана схема разметки: 4 - самоустанавливающиеся строительные лазерные уровни, 5 - вертикальные плоскости, 6 - горизонтальные плоскости, 7 - образующая конуса. Прямой конус 8 размещают большим диаметром внизу. Наклоняют прямой конус так, что одна линия на поверхности конуса 8 принимает вертикальное положение в вертикальной плоскости. Из верхней точки «А» вертикальной линии проводят горизонтальную линию 9. По этой линии срезают верхнюю часть конуса 8. Из верхней точки «Б» на большем диаметре конуса 8, оказавшейся приподнятой при наклоне, проводят горизонтальную линию 10. По этой линии срезают нижнюю часть конуса 8. Получают эксцентричный конус 11. Таким образом, заготовку эксцентричного конуса изготавливают из простого усеченного конуса с учетом припусков срезанием части прямого конуса. В результате получаем сплющенную заготовку эксцентричного перехода.

Подготавливают матрицу и пуансон для каждого из концов перехода из расчета толщины матрицы и пуансона не менее 5 размеров цилиндрической части перехода I и L. Для малого диаметра перехода схема подготовки представлена на фиг.4 и 5, для большего диаметра перехода - на фиг.6 и 7.

На фиг 4 и 5 обозначены: 11 - эксцентричный конус, 12 - матрица, 13 - упоры, 14 - зоны удаления усиления сварного шва, 15 - пуансон, 16 - стакан, 17 - пресс. Ширину матрицы 12 и пуансона 15 назначают не менее 3 соответствующих толщин стенки перехода S. Матрицу 12 и пуансон 15 снабжают устройствами для проведения грузоподъемных операций (не показаны). Для малого диаметра перехода d диаметр пуансон 15 выбирают в номинал с допуском в + на допуск изменения толщины металла перехода, диаметр матрицы 12 рассчитывают от диаметра пуансона, +2 толщины стенки S, +2 допуска на толщину стенки, +1,5 мм. Для большего диаметра перехода D основной является матрица, а производным пуансон (диаметр матрицы выбирают в номинал с допуском в - на допуск изменения толщины стенки, диаметр пуансона рассчитывают от диаметра матрицы, - 2 толщины стенки, - 2 допуска на толщину стенки, - 1,5 мм). Шероховатость рабочих поверхностей пуансона и матрицы выполняют не менее 11 квалитета.

На фиг.6 и 7 обозначены: 11 - эксцентричный конус, 14 - зоны удаления усиления сварного шва, 17 - пресс, 18 - матрица, 19 - упоры, 20 - пуансон, 21 - стакан.

Подготавливают оснастку.

На пунсоне 15 для малого диаметра и соответственно для матрицы большего диаметра 18 после радиуса закругления входной части следует участок под уклоном 20°±1°, цилиндрическая часть пуансона 15 или матрицы 18 составляет не менее половины их толщины. Для малого диаметра перехода для пуансона 15 применяют стакан 16 для крепления к прессу 17 с возможностью съема пуансона со стакана. Высоту стакана 16 рассчитывают из условия длины перехода Н с допусками + 3 толщины пуансона. Для матрицы 12 готовят не менее 3-х подставок высотой 3 толщины матрицы.

Для большего диаметра перехода готовят стакан 21 для матрицы и подставки для пуансона 20 аналогично вышеуказанному (фиг.6).

Производят отбортовку малого диаметра перехода. Для этого предварительно производят удаление усилений сварного шва в зоне штамповки 14 (фиг.4, фиг.6). На вертикально установленный эксцентричный конус 11 малым диаметром вверх одевают матрицу 12 и устанавливают в рабочее положение, т.е. положение матрицы 12 при штамповке. Расширяют овал малого диаметра в области меньшей оси, подгоняют овал к окружности. Для расширения используют гидравлический набор, например, для правки кузовов с максимальным усилием не менее 3-х тонн и набором надставок. Обеспечивают касание внутренней поверхности матрицы 12 и наружной поверхности эксцентричного конуса 11 не менее чем в 4-х точках «В» (для отбортовки большего диаметра «Г»). Проверяют наибольший зазор между матрицей 12 и эксцентричным конусом 11. Это влияет на величину зазора между нижней плоскостью матрицы и привариваемыми упорами. Снизу под матрицей к эксцентричному конусу приваривают 4 упора диаметрально в 2-х перпендикулярных плоскостях с зазором в толщину стенки перехода + половина максимального зазора (фиг.4). Для штамповки используют пресс с максимальным усилием не менее 100 тонн и высотой пролета, способной поместить под рабочим цилиндром предварительно собранную конструкцию. Под рабочим цилиндром собирают конструкцию из матрицы 12 на подставках и эксцентричного конуса 11 с вложенным в него стаканом 16 с установленным пуансоном 15. Стакан 16 крепят к площадке рабочего цилиндра пресса 17. На пуансон 15 и внутреннюю поверхность эксцентричного конуса 11 наносят смазку (графитовую или смесь графитового порошка и индустриально масла или смесь талька и жидкого мыла). Включают пресс 17, проводят пуансон 15 внутри эксцентричного конуса 11 параллельно вертикально плоскости 5. По завершению штамповки снимают пуансон 15 со стакана 16 и эксцентричный конус 11 со стакана 16. Отбортовка малого диаметра завершена.

Для отбортовки большего диаметра выполняют подготовительные операции, аналогичные операциям для отбортовки малого диаметра, с разницей операций для пуансона и матрицы (вместо матрицы - пуансон и соответственно вместо пуансона - матрица) (фиг.6). В последующем производят отбортовку большего диаметра (фиг.7).

Пример конкретного выполнения

Изготавливают переход с отбортовкой 1100-1600×12 мм. Величина отбортовки 40 мм с обоих концов. По фиг.1 d=1100 мм, D=1600 мм, I=L=40 мм, S=12 мм, r=R=20 мм, H=1500 мм.

Производят операции согласно фиг.1-7. Получают эксцентричный переход с высоким качеством поверхности.

Применение предложенного способа позволит выполнить эксцентричный переход большего диаметра.

ФОРМУЛА ИЗОБРЕТЕНИЯ

Способ изготовления эксцентричного перехода для соединения труб большого диаметра, включающий получение заготовки прямого конуса, формирование из нее заготовки усеченного эксцентричного конуса с основаниями малого и большого диаметра и конусной поверхностью, одна из линий которой перпендикулярна основаниям, отличающийся тем, что формирование заготовки усеченного эксцентричного конуса осуществляют обрезкой концов заготовки прямого конуса, который размещают большим диаметром вниз, наклоняют до принятия одной линии на его конусной поверхности вертикального положения, срезают верхнюю часть заготовки прямого конуса по горизонтальной линии, проведенной из верхней точки вертикальной линии конусной поверхности, а нижнюю ее часть срезают по горизонтальной линии, проведенной из верхней точки большого основания, приподнятой при наклоне, осуществляют отбортовку большого и малого диаметров с помощью пуансона и матрицы, причем для отбортовки малого диаметра заготовку усеченного эксцентричного конуса располагают вертикально малым диаметром вверх, матрицу размещают вокруг малого диаметра с касанием ее внутренней поверхности наружной поверхности заготовки не менее чем в четырех точках, продвигают пуансон внутри малого диаметра заготовки параллельно линии на конусной поверхности, перпендикулярной основаниям, а для отбортовки большого диаметра вместо матрицы используют пуансон и соответственно вместо пуансона - матрицу.

Разверткой называется фигура, полученная при совмещении поверхности с плоскостью. Естественно, что замкнутая поверхность не может быть совмещена с плоскостью без разрывов. Предварительно поверхность разрезают по некоторым линиям, а затем совмещают ее с плоскостью. Построение разверток поверхностей представляет большой практический интерес при конструировании различных сооружений и изделий из листового материала. На развертке сохраняются длины линий, лежащих на поверхности, величины углов между линиями и площади фигур, образованных замкнутыми линиями. Для построения развертки поверхности необходимо знать закон преобразования направляющих линий поверхности в линии на плоскости развертки и закон распределения прямых линий, соответствующих образующим поверхности. Закон преобразования поверхности в развертку может быть задан как аналитическими зависимостями, так и графическим алгоритмом.

Уже в самых первых сочинениях по начертательной геометрии хорошо отработаны алгоритмы построения точных разверток цилиндра, конуса и торса геликоида (открытой винтовой поверхности). Под разверткой поверхности понимается совмещение части (отсека) поверхности с плоскостью. Часть цилиндра разрезается одной из образующих и совмещается с плоскостью. Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра изображается в виде прямоугольника высотой l и длиной πd , где l – длина образующей цилиндрической поверхности, d – диаметр основания цилиндра (рис. 5.19).

Рис. 5.19. Развертка прямого кругового цилиндра

Кроме прямых линий изгиба и кручения на развертке можно провести множество других прямых линий, которым на поверхности соответствуют геодезические линии, определяющие кратчайшие расстояния между точками поверхности. На цилиндрической и конической поверхности геодезической линией является винтовая линия.

Разверткой прямого кругового конуса является сектор круга с радиусом l и углом φ , равным или 2π∙cosβ , где l – длина образующей, d – диаметр основания конуса (рис. 5.20). Конус и цилиндр рассматриваются как частный случай поверхности с ребром возврата, когда ребро возврата вырождается в конечную и бесконечно-удаленную точку. Коническая поверхность также имеет две полы, лежащие с разных сторон от вершины конуса.

Рис. 5.20. Развертка прямого кругового конуса

На рис. 5. 21 приведен пример построения развертки одной полы геликоида, ограниченного ребром возврата (гелисой – цилиндрической винтовой линией с диаметром d ), горизонтальными плоскостями с расстоянием между нимиравным h (высотой h) . Поверхность разрезается по ребру возврата и одной из образующих и совмещается с плоскостью. Винтовая линия на развертке преобразуется в дугу окружности с радиусом ρ и углом φ . Длина дуги окружности равна длине винтовой линии (L=π d/ cosβ ). Величину радиуса ρ определим из равенства 2 π ρ φ/360°= π d/ cosβ . Откуда ρ = d 180°/ cosβ∙φ . Образующие геликоида параллельны образующим направляющего конуса, отсюда сумма углов между образующими геликоида равна сумме углов между направляющими конуса (φ = 2π∙cosβ ). Если вместо φ подставить его значение, то получим ρ = d / 2cosβ 2 .

Поверхностью с ребром возврата имеет две полы, лежащие с разных сторон от точек касания. Если ребром возврата является плоская кривая линия, то поверхность превращается в плоскость.

На линейчатых поверхностях общего вида можно выделить линии сжатия (горло однополостного гиперболоида, линия сужения косой плоскости, стрикционные линии цилиндроида и т.п.), на которых пересекаются близлежащие образующие поверхности. Линии сжатия являются аналогом ребра возврата, с той лишь разницей, что образующие не касаются линии сжатия, а пересекают её под каким-либо углом. Поверхности цилиндрические, конические и с ребром возврата можно получить из плоскости развертки с помощью деформации изгиба. Линейчатые поверхности общего вида получаются из плоскости развертки с помощью деформации кручения и изгиба. Отметим также, что из плоскости развертки можно с помощью изгиба получить поверхность только теоретически, а практически наличие деформаций сжатия и растяжения неизбежно, так как не существует изделий без толщины.

Рис. 5. 21. Развертка эвольвентного (открытого) геликоида

Развертка поверхности отсека прямого закрытого геликоида с шагом Н и диаметром цилиндрической винтовой линии d представляет собой неполное кольцо (рис. 5.22). Шаг винтовой поверхности разворачивается в длину дуги окружности диаметром d 1 , Тогда, Н = π d 1 ∙ φ/360° . Определим величину угла φ из полученной зависимости: φ = Н ∙360°/π d 1 .Винтовая линия разворачивается в длину дуги окружности диаметром D . Тогда, L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360° . D = d + d 1 . Подставим значение D в предыдущее выражение: L = πd/cosβ = π(d + d 1) ∙ φ/360° . Определим величину угла φ , φ = πd360°/cosβ(d + d 1) . Величина диаметра d 1 можетопределена из сравнения формул для определения угла φ : d 1 = Нd cosβ/(π 2 d – Нcosβ) или d 1 = d sinβ/(π –sinβ) .

Рис. 5.22. Развертка прямого закрытого геликоида

Развертка поверхности отсека кольцевого закрытого геликоида с шагом Н и диаметрами внутренней и наружной цилиндрических винтовых линий d и d ׳ также представляет собой неполное кольцо (см. рис. 5.22). Внутренняя винтовая линия разворачивается в длину дуги окружности диаметром d ׳.Тогда, L ׳ = πd/cosβ = π d ׳ ∙ φ/360° . Определим величину угла φ , φ = d360°/cosβ d ׳. Наружная винтовая линия разворачивается в длину дуги окружности диаметром D . Тогда, L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360° . D = (d – d ׳) + d 1 . Подставим значение D в предыдущее выражение: L = πd/cosβ = π(d – d ׳+ d 1) ∙ φ/360° . Определим величину угла φ , φ = d360°/cosβ(d – d ׳+ d 1) .

Разверткой поверхности отсека косого закрытого геликоида является закрученное кольцо, образующие поверхности на развертке касаются окружности некоторого радиуса. Разверткой поверхности отсека однополостного гиперболоида вращения является также закрученное кольцо, образующие поверхности на развертке касаются окружности некоторого радиуса. Горло поверхности разворачивается в дугу окружности внутренней дуги окружности, а основание однополостного гиперболоида разворачивается в дугу окружности внешней дуги окружности. Для построения развертки линейчатой поверхности необходимо знать закон преобразования направляющих линий поверхности в линии на плоскости развертки и закон распределения прямых линий, соответствующих образующим поверхности. Закон преобразования поверхности в развертку может быть задан как аналитическими зависимостями, так и графическим алгоритмом. Развертка линейчатой поверхности строится для одной полы ограниченной части поверхности. Разделение поверхности на полы происходит по линии сжатия.

Если неизвестна закономерность перехода от поверхности к развертке, то строится приближенная развертка. Для этого поверхность заменяется вписанной или описанной многогранной поверхностью и строится ее развертка. Если поверхность разбивается на множество треугольников, то способ называется триангуляцией. Построение развертки связано с определением натуральной величины каждой грани. Рассмотренные на предыдущих лекциях метрические задачи являются составной частью построения развертки. Построение разверток – это комплексная метрическая задача, в которой важно рационально организовать графические построения, чтобы добиться точности и быстроты построения.

Для усеченного цилиндра и конуса, также для наклонных цилиндрических и конических поверхностей и других поверхностей строят приближенные развертки, так как недостаточно исследованы вопросы построения разверток: необходимо установить геометрическую проекционную связь между поверхностями и их развертками.

Рассмотрим пример построения развертки призмы методом раскатки и методом нормального сечения. Разрежем призму по ребру АА ׳ и будем вращать ее грани вокруг ребер до совмещения с фронтальной плоскостью, проходящей через ребро АА ׳ . Точки В , В ׳ , С и С ׳ при вращении перемещаются в плоскостях, перпендикулярных к ребрам (рис.5.23). От точки А 2 проведем дугу радиусом А 1 В 1 до пересечения с перпендикуляром из В 2 к А 2 А 2 ׳ и получим В о . Аналогично получаем остальные точки. Пристроим нижнее и верхнее основания и получим полную развертку призмы. Рассечем призму плоскостью α , перпендикулярной к ребрам, и определим натуральную величину сечения А"В"С" ׳ , например совместив его с π 1 . Нормальное сечение разворачивается в прямую линию А о В о С о .

С 2 ׳

Рис. 5.23. Развертка наклонной призмы

На практике для неразрывающихся нелинейчатых поверхностей также строят развертки, для этого их аппроксимируют развертывающимися поверхностями (разбивают их на части, которые заменяют плоскостями или развертываемыми поверхностями, т.е. вписывают или описывают вокруг них несколько цилиндрических, конических или других поверхностей), а затем строят для них развертки. Полученная развертка всей поверхности является условной, так как состоит из множества отдельных плоских фигур, для получения поверхности их необходимо склеивать между собой и отдельные участки подвергать сжатию и растяжению. Чем больше число разбиений, тем меньше кусочки, на которые распадается поверхность. Это принципиальное отличие условной развертки от приближенной.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова»

Бийский технологический институт (филиал)

Г.И. Куничан, Л.И. Идт

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК

ПОВЕРХНОСТЕЙ

171200, 120100, 171500, 170600

УДК 515.0(075.8)

Куничан Г.И., Идт Л.И. Построение разверток поверхностей:

Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600.

Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск.

Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 22с.

В методических рекомендациях подробно рассмотрены примеры построения разверток многогранников и поверхностей вращения по теме построение разверток поверхностей курса начертательной геометрии, которые изложены в виде лекционного материала. Методические рекомендации предлагаются для самостоятельной работы студентов дневной, вечерней и заочной форм обучения.

Рассмотрены и одобрены

на заседании

технической

Протокол №20 от 05.02.2004 г.

Рецензент: завкафедрой МРСиИ БТИ АлтГТУ, к.т.н. Фирсов А.М.

 Куничан Г.И., Идт Л.И., Леонова Г.Д., 2005

БТИ АлтГТУ, 2005

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЕРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Представляя поверхность в виде гибкой, но нерастяжимой пленки, можно говорить о таком преобразовании поверхности, при котором поверхность совмещается
с плоскостью без складок и разрывов. Следует указать, что далеко не каждая поверхность допускает такое преобразование. Ниже будет показано, какие типы поверхностей возможно совместить с плоскостью при помощи изгибания, без растяжения и сжатия.

Поверхности, которые допускают такое преобразование, называются развертывающимися , а фигура на плоскости, в которую поверхность преобразуется, называется разверткой поверхности .

Построение разверток поверхностей имеет большое практическое значение при конструировании различных изделий из листового материала. При этом необходимо отметить, что часто приходится изготовлять из листового материала не только развертывающиеся поверхности, но и неразвертывающиеся поверхности. В этом случае неразвертывающуюся поверхность разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверхностями, а затем строят развертки этих частей.

К числу развертывающихся линейчатых поверхностей относятся цилиндрические, конические и торы.

Все остальные кривые поверхности не развертываются на плоскость и поэтому при необходимости изготовления этих поверхностей из листового материала их приближенно заменяют развертывающимися поверхностями.

1 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПИРАМИДАЛЬНЫХ

ПОВЕР ХНОСТЕЙ

Построение разверток пирамидальных поверхностей приводит к многократному построению натурального вида треугольников, из которых состоит данная пирамидальная поверхность или многогранная поверхность, вписанная (или описанная) в какую-либо коническую или линейчатую поверхность, которой заменяется указанная поверхность. Описываемый способ приводит к разбивке поверхности на треугольники, он называется способом треугольников (триангуляции).

Покажем применение этого способа для пирамидальных поверхностей. Если пренебречь графическими ошибками, то построенные развертки таких поверхностей можно считать точными.

Пример 1 . Построить полную развертку поверхности части треугольной пирамиды SABC .

Так как боковые грани пирамиды являются треугольниками, то для построения ее развертки нужно построить натуральные виды этих треугольников. Для этого предварительно должны быть определены натуральные величины боковых ребер. Натуральную величину боковых ребер можно определить при помощи прямоугольных треугольников, в каждом из которых одним катетом является превышение точки S над точками А , В и С , а вторым катетом – отрезок, равный горизонтальной проекции соответствующего бокового ребра (рисунок 1).

Так как стороны нижнего основания являются горизонталями, то их натуральные величины можно измерить на плоскости П 1 . После этого каждая боковая грань строится как треугольник по трем сторонам. Развертка боковой поверхности пирамиды получается в виде ряда примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной S (S 2 C*, S 2 A*, S 2 B* – являются натуральными величинами ребер пира-миды).

Для нанесения на развертку точек D , E и F , соответствующих вершинам сечения пирамиды плоскостью, нужно предварительно определить их натуральные расстояния от вершины S D* , E* и F* на соответствующие натуральные величины боковых ребер.

Рисунок 1

После построения развертки боковой поверхности усеченной части пирамиды, следует пристроить к ней треугольники АВС и DEF . Треугольник АВС является основанием усеченной пирамиды и изображен на горизонтальной плоскости проекций в натуральную величину.

2 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК КОНИЧЕСКИХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Рассмотрим построение разверток конических поверхностей. Несмотря на то, что конические поверхности являются развертывающимися и, следовательно, имеют теоретически точные развертки, практически строят их приближенные развертки, пользуясь способом треугольников . Для этого заменяют коническую поверхность вписанной в нее поверхностью пирамиды.

Пример 2 . Построить развертку прямого конуса с отсеченной вершиной (рису-нок 2а, б).

1. Необходимо предварительно построить развертку боковой поверхности конуса. Этой разверткой является круговой сектор, радиус которого равен натуральной величине образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса. Практически дугу сектора определяют при помощи ее хорд, которые принимают равными хордам, стягивающим дуги основания конуса. Иначе говоря, поверхность конуса заменяется поверхностью вписанной пирамиды.

2. Чтобы на развертку нанести точки фигуры сечения (А,В,С,D,F,G,K ), нужно предварительно определить их натуральные расстояния от вершины S , для чего следует перенести точки А 2 , В 2 , С 2 , D 2 , F 2 , G 2 , K 2 на соответствующие натуральные величины образующих конуса. Так как в прямом конусе все образующие равны, то достаточно перенести проекции точек сечения на крайние образующие S 2 1 2 и S 2 7 2 . Таким образом, отрезки S 2 A*, S 2 B*, S 2 D*, S 2 F*, S 2 G*, S 2 K* являются искомыми, т.е. равными натуральной величине расстояния от S до точек сечения.

Рисунок 2 (а)

Рисунок 2 (б)

Пример 3. Построить развертку боковой поверхности эллиптического конуса с круговым основанием (рисунок 3).

В данном примере коническая поверхность заменяется поверхностью вписанной двенадцатиугольной пирамиды. Так как коническая поверхность имеет плоскость симметрии, то можно построить развертку только одной половины поверхности. Разделив от точки О половину окружности основания конической поверхности на шесть равных частей и определив с помощью прямоугольных треугольников натуральные величины образующих, проведенных в точки деления, строим шесть примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной S.

Каждый из этих треугольников строится по трем сторонам; при этом две стороны равны натуральным величинам образующих, а третья – хорде, стягивающей дугу окружности основания между соседними точками деления (например О 1 -1 1 , 1 1 -2 1 , 2 1 - 3 1 и т.д.) После этого через точки 0, 1, 2 … разогнутого по способу хорд основания конической поверхности проводится плавная кривая.

Если на развертке надо нанести какую-либо точку М , находящуюся на поверхности конуса, то следует предварительно построить точку М* на гипотенузе S 2 –7* прямоугольного треугольника, с помощью которого определена натуральная величина образующей S – 7 , проходящей через точку М . После этого следует провести на развертке прямую S – 7 , определив точку 7 из условия равенства хорд 2 1 – 7 1 =2 – 7 , и на ней отложить расстояние SM=S 2 M* .

Рисунок 3

3 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ

И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей приводит в общем случае к многократному построению натурального вида трапеций, из которых состоит данная призматическая поверхность, или призматическая поверхность, вписанная (или описанная) в цилиндрическую поверхность и заменяющая ее. Если, в частности, призматическая или цилиндрическая поверхности ограничены параллельными основаниями, то трапеции, на которые разбивается поверхность, обращаются в прямоугольники или параллелограммы, в зависимости от того, перпендикулярны или нет плоскости оснований боковым ребрам или образующим поверхности.

Построение трапеций или параллелограммов проще всего произвести по их основаниям и высотам, причем необходимо также знать отрезки оснований, на которые они делятся высотой. Поэтому для построения развертки призматической или цилиндрической поверхности необходимо предварительно определить натуральный вид нормального сечения данной поверхности. Стороны этого сечения, в случае призматической поверхности, и будут высотами трапеций или параллелограммов, из которых состоит поверхность. В случае цилиндрической поверхности высотами будут хорды, стягивающие дуги нормального сечения, на которые разделена кривая, ограничивающая это сечение.

Так как указанный способ требует построения нормального сечения, то он называется способом нормального сечения .

Покажем применение этого способа для призматических поверхностей. Если пренебречь графическими ошибками, то построенные развертки этих поверхностей можно считать точными.

Пример 4. АВСDEF (рисунок 4).

Пусть данная призма расположена относительно плоскостей проекций так, что ее боковые ребра являются фронталями. Тогда они проецируются на плоскость проекций П 2 в натуральную величину и фронтально проецирующая плоскость S v , перпендикулярная боковым ребрам, определит нормальное сечение PQR призмы.

Построив натуральный вид P 4 Q 4 R 4 этого сечения, найдем натуральные величины P 4 Q 4 , Q 4 R 4 и R 4 P 4 - высот параллелограммов, из которых состоит боковая поверхность призмы.

Рисунок 4

Так как боковые ребра призмы параллельны между собой, а стороны нормального сечения им перпендикулярны, то из свойства сохранения углов на развертке следует, что на развертке призмы боковые ребра будут также параллельны между собой, а стороны нормального сечения развернутся в одну прямую. Поэтому для построения развертки призмы нужно отложить на произвольной прямой натуральные величины сторон нормального сечения, а затем через их концы провести прямые,

перпендикулярные к этой прямой. Если теперь отложить на этих перпендикулярах

по обе стороны от прямой QQ отрезки боковых ребер, измеренные на плоскости проекций П 2 , и соединить отрезками прямых концы отложенных отрезков, то получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединяя к этой развертке оба основания призмы, получим ее полную развертку.

Если боковые ребра данной призмы имели бы произвольное расположение относительно плоскостей проекций, то нужно было бы предварительно преобразовать их в прямые уровня.

Существуют также другие способы построения разверток призматических поверхностей, один из которых – раскатка на плоскости – рассмотрим на примере 5.

Пример 5. Построить полную развертку поверхности треугольной призмы ABCDEF (рисунок 5).

Рисунок 5

Эта призма расположена относительно плоскостей проекций так, что ее ребра являются фронталями, т.е. на фронтальной плоскости проекций П 2 изображены в натуральную величину. Это позволяет использовать один из методов вращения, позволяющих находить натуральную величину фигуры путем вращения ее вокруг прямой уровня. В соответствии с этим методом точки B,C,A,D,E,F, вращаясь вокруг ребер AD, BE и CF, совмещаются с фронтальной плоскостью проекций. Т.е. траектория движения точек В 2 и F 2 изобразится перпендикулярно A 2 D 2 .

Раствором циркуля, равным натуральной величине отрезка АВ (АВ=А 1 В 1 ), из точек А 2 и D 2 делаем засечки на траектории движения точек В 2 и F 2 . Полученная грань A 2 D 2 B F изображена в натуральную величину. Следующие две грани B F C E и C E AD строим аналогичным способом. Пристраиваем к развертке два основания АВС и DEF . Если призма расположена так, что ее ребра не являются прямыми уровня, то используя методы преобразования чертежа (замены плоскостей проекций или вращения), следует провести преобразование так, чтобы ребра призмы стали прямыми уровня.

Рассмотрим построение разверток цилиндрических поверхностей. Хотя цилиндрические поверхности являются развертывающимися, практически строят приближенные развертки, заменяя их вписанными призматическими поверхностями.

П ример 6. Построить развертку прямого цилиндра, усеченного плоскостью Sv (рисунок 6).

Рисунок 6

Построение развертки прямого цилиндра не представляет никакой сложности, т.к. является прямоугольником, длина одной стороны равняется 2πR, а длина другой равна образующей цилиндра. Но если требуется нанести на развертку контур усеченной части, то построение целесообразно вести, вписав в цилиндр двенад-цатигранную призму. Обозначим точки сечения (сечение является эллипсом), лежащие на соответствующих образующих, точками 1 2 , 2 2 , 3 2 … и по линиям связи
перенесем их на развертку цилиндра. Соединим эти точки плавной линией и пристроим натуральную величину сечения и основание к развертке.

Если цилиндрическая поверхность наклонная, то развертку можно строить двумя способами, рассмотренными ранее на рисунках 4 и 5.

П ример 7. Построить полную развертку наклонного цилиндра второго порядка (рисунок 7).

Рисунок 7

Образующие цилиндра параллельны плоскости проекций П 2, т.е. изображены на фронтальной плоскости проекций в натуральную величину. Основание цилиндра делят на 12 равных частей и через полученные точки проводят образующие. Развертку боковой поверхности цилиндра строят так же, как была построена развертка наклонной призмы, т.е. приближенным способом.

Для этого из точек 1 2 , 2 2 , …, 12 2 опускают перпендикуляры к очерковой образующей 1А и радиусом, равным хорде 1 1 2 1 , т.е. 1/12 части деления окружности основания, последовательно делают засечки на этих перпендикулярах. Например, делая засечку из точки 1 2 на перпендикуляре, проведенном из точки 2 2 , получают 2 . Принимая далее точку 2 за центр, тем же раствором циркуля делают засечку на перпендикуляре, проведенном из точки 3 2 , и получают точку 3 и т.д. Полученные точки 1 2 , 2 , 3 ,… , 1 соединяют плавной лекальной кривой. Развертка верхнего основания симметрична развертке нижнего, так как сохраняется равенство длин всех образующих цилиндра.

4 ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗВЕРТЫВАНИЕ ШАРОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Шаровая поверхность относится к так называемым неразвертываемым поверхностям, т. е. к таким, которые не могут быть совмещены с плоскостью, не претерпев при этом каких-либо повреждений (разрывов, складок). Таким образом, шаровая поверхность может быть развернута лишь приближенно.

Один из способов приближенной развертки шаровой поверхности рассмотрен на рисунке 8.

Сущность этого приема состоит в том, что шаровая поверхность при помощи меридианальных плоскостей, проходящих через ось шара SP , разбивается на ряд одинаковых частей.

На рисунке 8 шаровая поверхность разбита на 12 равных частей и показана горизонтальная проекция (s 1 , k 1 , l 1 ) только одной такой части. Затем дуга k 4 l заменена прямой (m 1 n 1 ), касательной к окружности, и эта часть шаровой поверхности заменена цилиндрической поверхностью с осью, проходящей через центр шара и параллельной касательной тп. Далее дуга s 2 4 2 разделена на четыре равные части. Точки 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 приняты за фронтальные проекции отрезков образующих цилиндрической поверхности с осью, параллельной тп. Их горизонтальные проекции: a 1 b 1 , c 1 d 1 , e 1 f 1 , т 1 п 1 . Затем на произвольной прямой MN отложен отрезок тп . Через его середину проведен перпендикуляр к MN и на нем отложены отрезки 4 2 3 2 , 3 2 2 2 , 2 2 1 2 , 1 2 S 2 , равные соответствующим дугам 4 2 3 2 , 3 2 2 2 , 2 2 1 2 , 1 2 s 2 . Через полученные точки проведены линии, параллельные тп, и на них отложены соответственно отрезки а 1 b 1 , c 1 d 1 , e 1 f 1 . Крайние точки этих отрезков соединены плавной кривой. Получилась развертка 1 / 12 части шаровой поверхности. Очевидно, для построения полной развертки шара надо вычертить 12 таких разверток.

5 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТКИ КОЛЬЦА

Пример 9 . Построить развертку поверхности кольца (рисунок 9).

Разобьем поверхность кольца при помощи меридианов на двенадцать равных частей и построим приближенную развертку одной части. Заменяем поверхность этой части описанной цилиндрической поверхностью, нормальным сечением которой будет средний меридиан рассматриваемой части кольца. Если теперь спрямить этот меридиан в отрезок прямой и через точки деления провести перпендикулярно к нему образующие цилиндрической поверхности, то, соединив их концы плавными кривыми, получим приближенную развертку 1/12 части поверхности кольца.

Рисунок 8

Рисунок 9

6 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТКИ ВОЗДУХОВОДА

В заключение покажем построение развертки поверхности одной технической детали, изготовляемой из листового материала.

На рисунке 10 изображена поверхность, с помощью которой осуществляется переход с квадратного сечения на круглое. Эта поверхность состоит из двух
конических поверхностей I , двух конических поверхностей II , двух плоских треугольников III и плоских треугольников IV и V .

Рисунок 10

Для построения развертки данной поверхности нужно предварительно определить натуральные величины тех образующих конических поверхностей I и II , с помощью которых эти поверхности заменяются совокупностью треугольников. На вспомогательном чертеже по способу прямоугольного треугольника построены натуральные величины этих образующих. После этого строят развертки конических поверхностей, а между ними в определенной последовательности строят треугольники III , IV и V , натуральный вид которых определяется по натуральной величине их сторон.

На чертеже (см. рисунок 10) показано построение развертки части от данной поверхности. Для построения полной развертки воздуховода следует достроить конические поверхности I, II и треугольник III.

Рисунок 11

На рисунке 11 приведен пример развертки воздуховода, поверхность которого можно разбить на 4 одинаковые цилиндрические поверхности и 4 одинаковые треугольника. Цилиндрические поверхности представляют собой наклонные цилиндры. Метод построения развертки наклонного цилиндра методом раскатки приведен подробно ранее на рисунке 7. Более удобным и наглядным для данной фигуры методом построения развертки представляется метод триангуляции, т.е. цилиндрическая поверхность разбивается на треугольники. А затем определяется натуральная величина сторон методом прямоугольного треугольника. Построение развертки цилиндрической части воздуховода обоими способами приведено на рисунке 11.

Вопросы для самоконтроля

1. Укажите приемы построения разверток цилиндрических и конических поверхностей.

2. Как построить развертку боковой поверхности усеченного конуса, если нельзя достроить этот конус до полного?

3. Как построить условную развертку сферической поверхности?

4. Что называется разверткой поверхности?

5. Какие поверхности относятся к развертывающимся?

6. Перечислите свойства поверхности, которые сохраняются на ее развертке.

7. Назовите способы построения разверток и сформулируйте содержание каждого из них.

8. В каких случаях для построения развертки используются способы нормального сечения, раскатки, треугольников?

Литература

Основная литература

1. Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии / В.О. Гордон, М.А. Семенцо-Огиевский; под ред. В.О. Гордона. – 25-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003.

2. Гордон, В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии / В.О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева; под ред. В.О. Гордона. – 9-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003.

3. Курс начертательной геометрии / под ред. В.О. Гордона. – 24-е изд, стер. – М.: Выcшая школа, 2002.

4. Начертательная геометрия / под ред. Н.Н. Крылова. – 7-е изд., перераб. и доп.- М.: Выcшая школа, 2000.

5. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика: программа, контрольные задания и методические указания для студентов-заочников инже-нерно-технических и педагогических специальностей вузов / А.А. Чекмарев,
А.В. Верховский, А.А. Пузиков; под ред. А.А. Чекмарева. – 2-е изд., испр. – М.: Выcшая школа, 2001.

Дополнительная литература

6. Фролов, С.А. Начертательная геометрия / С.А. Фролов. – М.: Машиностроение, 1978.

7. Бубенников, А.В. Начертательная геометрия / А.В. Бубенников, М.Я. Громов. – М.: Высшая школа, 1973.

8. Начертательная геометрия / под общей ред. Ю.Б. Иванова. – Минск: Вышейшая школа, 1967.

9. Боголюбов, С.К. Черчение: учебник для машиностроительных специальностей средних специальных учебных заведений / С.К. Боголюбов. – 3-е изд., испр. и дополн. – М.: Машиностроение, 2000.

Общие понятия о развертывании поверхностей………………………………………...3

1 Построение разверток пирамидальных поверхностей………………………………..3

2 Построение разверток конических поверхностей………………………………….….5

3 Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей………….9

4 Приближенное развертывание шаровой поверхности………………………….….. 14

5 Построение развертки кольца………………………………………………………....14

6 Построение развертки воздуховода…………………………………………………...16

Вопросы для самоконтроля……………………………………………………………...19

Литература………………………………………………………………………………..20

Куничан Галина Ивановна

Идт Любовь Ивановна

Построение разверток поверхностей

Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600

Редактор Идт Л.И.

Технический редактор Малыгина Ю.Н.

Корректор Малыгина И.В.

Подписано в печать 25.01.05. Формат 61х86 /8.

Усл. п. л. 2,67. Уч.-изд. л. 2,75.

Печать – ризография, множительно-копировальный

аппарат «RISO TR -1510»

Тираж 60 экз. Заказ 2005-06.

Издательство Алтайского государственного

технического университета,

656099, г. Барнаул, пр.-т Ленина, 46

Оригинал-макет подготовлен ИИЦ БТИ АлтГТУ.

Отпечатано в ИИЦ БТИ АлтГТУ.

659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 29

Г.И. Куничан, Л.И. Идт

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ

для самостоятельной работы студентов механических специальностей

Необходимо построить развертку поверхностей и перенести линию пересечения поверхностей на развертку. В основе данной задачи рассматриваются поверхности (конуса и цилиндра ) с их линией пересечения, приведенные в предыдущей задаче 8 .

Для решения таких задач по начертательной геометрии необходимо знать:

— порядок и методы построения разверток поверхностей;

— взаимное соответствие между поверхностью и ее разверткой;

— частные случаи построения разверток.

Порядок решения з адачи

1. Отметим, что разверткой называется фигура, получаемая в
результате разреза поверхности по какой-либо образующей и постепенного разгибания ее до полного совмещения с плоскостью. Отсюда развертка, прямого кругового конуса — сектор с радиусом, равным длине образующей, и основанием, равным длине окружности основания конуса. Все развертки строятся только из натуральных величин.

Рис.9.1

— длину окружности основания конуса, выраженную в натуральной величине делим на ряд долей: в нашем случае — 10, от количества долей зависит точность построения развертки (рис.9.1.а );

— откладываем полученные доли, заменяя их хордами, на длине
дуги, проведенной радиусом, равным длине образующей конуса l=|Sb|. Начало и конец отсчета долей соединяем с вершиной сектора — это и будет развертка боковой поверхности конуса.

Второй способ:

— строим сектор с радиусом, равным длине образующей конуса.
Заметим, что как в первом, так и во втором случае за радиус берется крайняя правая или левая образующие конуса l=|Sb|, т.к. они выражены в натуральной величине;

— при вершине сектора откладываем угол а, определяемый по формуле:

Рис.9.2

где r — величина радиуса основания конуса;

l — длина образующей конуса;

360 — постоянная переводная в градусы величина.

К сектору-развертке строим основание конуса радиуса r .

2. По условиям задачи требуется перенести линию пересечения
поверхностей конуса и цилиндра на развертку. Для этого используем свойства взаимной однозначности между поверхностью и ее разверткой, в частности, отметим, что каждой точке на поверхности соответствует точка на развертке и каждой линии на поверхности соответствует линия на развертке.

Отсюда вытекает последовательность перенесения точек и линий
с поверхности на развертку.

Рис.9.3

Для развертки конуса. Условимся, что разрез поверхности конуса произведен по образующей S ’ a ’ . Тогда точки 1, 2, 3,…6
будут лежать на окружностях (дугах на развертке) с радиусами соответственно равными величинам расстояний, взятым по образующей S ’ A ’ от вершины S ’ до соответствующей секущей плоскости с точками 1’ , 2’, 3’…6’ -| S 1|, | S 2|, | S 3|….| S 6| (рис.9.1.б) .

Положение точек на этих дугах определяется расстоянием, взятым с горизонтальной проекции от образующей Sa, по хорде до соответствующей точки, например до точки с, ас=35 мм (рис.9.1.а ). Если расстояние по хорде и дуге сильно разнятся, то для уменьшения погрешности можно разделить большее количество долей и отложить их на соответствующие дуги развертки. Таким способом переносятся любые точки с поверхности на ее развертку. Полученные точки соединятся плавной кривой по лекалу (рис.9.3 ).

Для развертки цилиндра .

Развертка цилиндра есть прямоугольник с высотой, равной высоте образующей, и длиной, равной длине окружности основания цилиндра. Таким образом, для построения развертки прямого кругового цилиндра необходимо построить прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра, в нашем случае 100мм , и длиной, равной длине окружности основания цилиндра, определенной по известным формулам: C =2 R =220мм , или делением окружности основания на ряд долей, как было указано выше. К верхней и нижней части полученной развертки пристраиваем основание цилиндра.

Условимся, что разрез произведен по образующей AA 1 (A ’ A ’ 1 ; AA 1) . Заметим, что разрез следует производить по характерным (опорным) точкам для более удобного построения. Учитывая, что длина развертки есть длина окружности основания цилиндра C , от точки A ’= A ’ 1 разреза фронтальной проекции берем расстояние по хорде (если расстояние большое, то необходимо его разделить на доли) до точки B ’ (в нашем примере — 17мм ) и откладываем его на развертке (по длине основания цилиндра) от точки А. Из полученной точки В проводим перпендикуляр (образующую цилиндра). Точка 1 должна находиться на этом перпендикуляре) на расстоянии от основания, взятого с горизонтальной проекции до точки. В нашем случае точка 1 лежит на оси симметрии развертки на расстоянии 100/2=50мм (рис.9.4) .

Рис.9.4

И так поступаем для нахождения на развертке всех других точек.

Подчеркнем, что расстояние по длине развертки для определения положения точек берется с фронтальной проекции, а расстояние по высоте — с горизонтальной, что соответствует их натуральным величинам. Полученные точки соединяем плавной кривой по лекалу (рис.9.4 ).

В вариантах задач, когда линия пересечения распадается на несколько ветвей, что соответствует полному пересечению поверхностей, способы построения (перенесения) линии пересечения на развертку аналогичны, описанным выше.

Раздел: Начертательная геометрия /

Вам понадобится

• Карандаш Линейка угольник циркуль транспортир Формулы вычисления угла по длине дуги и радиусу Формулы вычисления сторон геомтрических фигур

Инструкция

На листе бумаги постройте основание нужного геометрического тела. Если вам даны паралеллепипед или , измерьте длину и ширину основания и начертите на листе бумаги прямоугольник с соответствующими параметрами. Для построения развертки а или цилиндра вам необходимо радиус окружности основания. Если она не задана в условии, измерьте и вычислите радиус.

Рассмотрите паралеллепипед. Вы увидите, что все его грани расположены под углом к основанию, но параметры этих граней разные. Измерьте высоту геометрического тела и с помощью угольника начертите два перпендикуляра к длине основания. Отложите на них высоту паралеллепипеда. Концы получившихся отрезков соедините прямой. То же самое сделайте с противоположной стороны исходного .

От точек пересечения сторон исходного прямоугольника проведите перпендикуляры и к его ширине. Отложите на этих прямых высоту паралеллепипеда и соедините полученные точки прямой. То же самое сделайте и с другой стороны.

От внешнего края любого из новых прамоугольников, длина которого совпадает с длиной основания, постройте верхнюю грань паралеллепипеда. Для этого из точек пересечеения линий длины и ширины, расположенных на внешней стороне, проведите перпендикуляры. Отложите на них ширину основания и соедините точки прямой.

Для построения развертки конуса через центр окружности основания проведите радиус через любую точку окружности и продолжите его. Измерьте расстояние от основания до вершины конуса. Отложите это расстояние от точки пересечения радиуса и окружности. Отметьте точку вершины боковой поверхности. По радиусу боковой поверхности и длине дуги, которая равняется длине окружности основания, вычислите угол развертки и отложите его от уже проведенное через вершину основания прямой. С помощью циркуля соедините найденную ранее точку пересечения радиуса и окружности с этой новой точкой. Развертка конуса готова.

Для построения развертки пирамиды измерьте высоты ее сторон. Для этого найдите середину каждой стороны основания и измерьте длину перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды к этой точке. Начертив на листе основание пирамиды, найдите середины сторон и проведите к этим точкам перпендикуляры. Соредините полученные точки с точками пересечения сторон пирамиды.

Развертка цилиндра представляет собой две окружности и расположенный между ними прямоугольник, длина которого равна длине окружности, а высота - высоте цилиндра.