Цели:
- научить чертить, обозначать и называть углы, записывать название углов при помощи знака “? ” и букв;
- развивать математическую речь учащихся, умение устанавливать закономерности;
- совершенствовать навык использования чертежного инструмента - линейки, умение измерять и чертить отрезок заданной длины;
- воспитывать интерес к изучению математики.
Оборудование: аппликации из геометрических фигур, таблицы.
Ход урока
1. Актуализация знаний. - Посмотрите на аппликации и скажите, из каких геометрических фигур сделаны человечки? (Круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник, четырехугольник.)
На какие группы можно разделить данные фигуры? (Фигуры с углами и фигуры без углов.)
Назовите геометрические фигуры “без углов”, т.е. фигуры, ограниченные кривыми замкнутыми линиями. (Овал и круг.)
Назовите фигуры из группы тех, что “с углами”. (Квадрат, прямоугольник, треугольник, шестиугольник.)
Как по-другому можно назвать квадрат и прямоугольник? (Четырехугольники.)
Как назвать одним термином геометрические фигуры “с углами”? (Многоугольники.)
Назовите виды многоугольников. (Четырехугольник, треугольник, пятиугольник, шестиугольник.)
От чего зависит название многоугольника? (От количества углов в нем.)
Итак, угол - это элемент многоугольника, но все-таки нужно уточнить, какая фигура называется многоугольником. Являются ли многоугольниками фигуры, изображающие шляпы человечков?
2. Выравнивание знаний.
Незнайка приготовил задание, какие линии он начертил." назовите их по именам. (Прямая а, отрезок АВ, луч ОМ.)
Какая линия называется прямой, отрезком, лучом? (Прямая -это линия, не имеющая начала и конца, которую нужно чертить по линейке. Отрезок-это часть прямой, которая имеет начало и конец. Луч-это часть прямой, которая имеет начало.)
Что общего между прямой, лучом, отрезком? (Луч и отрезок являются частью прямой.)
Чем они различаются? (Отрезок можно измерить, а прямую и луч измерить нельзя, они бесконечны.)
Чем отличаются прямая и луч? (Прямую можно продолжить в двух направлениях, а луч - только в одном. Ведь с другой стороны он ограничен точкой. Это начало луча.)
3. Построение углов.
Какие фигуры: прямую, луч или отрезок - нужно выбрать для построения угла? (Нужно выбрать два луча.)
Незнайка выбрал два луча.
Построил ли он угол? (Нет.)
Почему? (Незнайка не совместил начало лучей.)
Как должны располагаться лучи? (Лучи должны выходить из одной точки.)
Как называется эта точка? (Вершина угла.)
Как называются лучи? (Сторонами угла.)
Итак, что необходимо выбрать для построения угла? (Нужно выбрать точку и провести из нее два луча.)
Сейчас каждый из вас построит угол в тетради.
Каким инструментом будете пользоваться? (Линейкой.)
Обозначьте вершину красным карандашом, стороны - синим и зеленым.
Давайте попробуем дать формулировку углу. Что такое угол? (Угол - это геометрическая фигура, для построения которой нужно выбрать точку и провести из нее два луча.)
4. Постановка учебной задачи и ее решение.
Я очень рада, что сегодня на уроке присутствуют все 27 учеников нашего класса. Сколько углов вы построили? (Столько же, 27.)
Как же различать такое количество углов между собой? (Нужно дать углам имена.)
Как вы думаете, как можно обозначить угол? (Можно назвать вершина.)
Назовите угол, (Угол А)
А если я начерчу несколько углов с вершиной в точке А, то как их различать? (Надо как-то “полнее обозначать углы.)
У кого есть другие варианты обозначения? (Можно обозначить лучи: луч АВ и луч АС.)
Итак, мы обозначили угол, попробуйте назвать его, прочитайте имя. (Угол ВАС, угол CAB, угол АСВ, угол ABC, угол А.)
Нам нужно выбрать из предложенных вами правильные названия из данных. Для этого я предлагаю выйти к доске и показать угол.
(Дети по-разному показывают углы.)
Ребята, в математике принято показывать угол от одной из сторон к вершине и от вершины к стороне. Как вы думаете, какие из названных вами имен угла будут верными? (Угол ВАС, угол CAB, угол А.)
Правильно. Нужно запомнить, что букву, которой мы обозначаем вершину угла, необходимо называть второй.
Слово “угол” в математике обозначается таким знаком “? ”.
Итак, сколько букв может быть в имени угла? (Одна буква или три.)
Запишите название начерченного вами в тетради угла. Я запишу названия того угла, что на доске, а вы мне подскажете. (Угол ВАС, угол CAB, или просто угол А.)
Как записать названия углов, когда одна точка является началом нескольких лучей? (Сначала надо обозначить лучи, расставить буквы М, К, С, Д.)
Сколько углов получилось у нас? (Два, три, даже больше.)
Чтобы показать, какие углы нужно назвать, их обозначают дугами. Назовите и запишите углы, которые я обозначаю. (Угол МАК, угол САД, угол MAC.)
Есть ли еще углы на этом чертеже? (Да, угол МАД, угол КАД, угол САМ.)
При затруднении учитель показывает угол, и дети его называют. Это задание для “сильных” учеников, для их развития. Вслед за ними учатся и остальные.
5. Обобщение. Углубление знаний о многоугольнике.
Что надо помнить, называя и записывая углы? (Букву, обозначающую вершину, называем посередине.)
Как показывать угол? (Указкой надо “пройти” по лучу - от стороны к вершине, а потом от вершины - по другой стороне.)
6. Физминутка.
Я покажу карточки с геометрическими фигурами. Увидев многоугольник, вы должны присесть. Увидев фигуру, не являющуюся многоугольником, вы должны встать.
Раз, два, три, четыре, пять,
Все умеем мы считать,
Отдыхать умеем тоже –
Руки за спину положим
Голову поднимем выше
И легко-легко подышим.
7. Закрепление по учебнику.
Стр. 29 № 68. Запиши имена углов, используя этот знак “? ”. Данное задание выполняется комментировано.
Сколько имен может иметь один угол? (Три имени.)
8. Закрепление нового материала в группах. (Семь групп).
Каждой группе предлагается дать три варианта названия угла.
После выполнения задания командир группы отчитывается. Например:
9. Совершенствование устных вычислительных навыков.
Игра “Расшифруй слово”. Каждому значению выражения соответствует определенная буква. 4 - Г, 5 - Л, 6 - У, 7 - О.
10-8 + 4 = 6 У 2+7-5=4 Г 8-3+2=7 О 1+9-5=5 Л
Прочитайте слово. (Угол.)
10. Поиск углов в окружающей действительности.
Посмотрите внимательно вокруг и назовите предметы, в которых есть углы. (Доска, тетрадь, парта, окно и т.д.)
11. Итог.
Чему новому научились на уроке? (Научились обозначать углы.)
Сколько имен может иметь угол? (Три.)
Что обозначает буква, которая по счету называется второй? (Эта буква обозначает вершину угла.)
Все ли было понятно на уроке? Сможет ли каждый из вас назвать угол и правильно прочитать имя угла? Если да - поднимите карточку с восклицательным знаком, если нет - с вопросительным знаком.
Сегодня на уроке все активно помогали Незнайке помочь усвоить новую тему “Угол”, но еще и уточняли знания о многоугольниках. Что каждый из вас узнал нового о них? (Как удобнее чертить, какая у угла граница. Как показать угол. Чтобы показать многоугольник, его надо закрашивать.)
Дома начертите 3 угла и дайте им названия. Еще постройте многоугольник и покажите в нем углы, дайте имя.
Существуют разные точки зрения на то, что считать многоугольником. В школьном курсе геометрии используют одно из следующих определений.
Определение 1
Многоугольник
— это фигура, составленная из отрезков
так, что смежные отрезки (то есть соседние отрезки с общей вершиной, например, A1A2 и A2A3) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
Определение 2
Многоугольником называется простая замкнутая .
Точки
называются вершинами многоугольника , отрезки
— сторонами многоугольника .
Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника .
Многоугольник, который имеет n вершин (а значит, и n сторон) называется n — угольником .
Многоугольник, который лежит в одной плоскости, называется плоским . Когда говорят о многоугольнике, если не сказано иначе, подразумевается, что речь идёт о плоском многоугольнике.
Две вершины, принадлежащие одной стороне многоугольника, называются соседними . Например, A1 и A2, A5 и A6 — соседние вершины.
Отрезок, который соединяет две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .
Выясним, сколько диагоналей имеет многоугольник.
Из каждой из n вершин многоугольника исходит n-3 диагонали
(всего вершин n. Не считаем саму вершину и две соседние, которые не образуют с данной вершиной диагонали. Для вершины A1, например, не учитываем саму A1 и соседние вершины A2 и A3).
Таким образом, каждой из n вершин соответствует n-3 диагонали. Поскольку одна диагональ относится сразу к двум вершинам, чтобы найти количество диагоналей многоугольника, надо произведение n(n-3) разделить пополам.
Следовательно, n — угольник имеет
диагонали.
Любой многоугольник делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с понятиями многоугольника и четырехугольниками, узнаете, чему равна сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника.
Многоугольники
Рассмотрим понятие «многоугольник». Интуитивно вы, конечно, представляете, что это за геометрическая фигура. Вы встречались с многоугольниками и в начальной школе, и в 5–6 классах. Вам знакомы частные случаи многоугольников: треугольник, прямоугольник, квадрат.
Сформулируем определение многоугольника и приведем примеры.
Для определения понятия «многоугольник» также используют понятия «ломаная». Ломаная – это геометрическая фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединенных друг с другом.
Используя понятие «ломаная», можно дать такое определение понятию «Многоугольник».
Рассмотрим примеры фигур, которые являются многоугольниками и не являются ими. На рисунках 1 и 2 приведены примеры многоугольников: выпуклые пятиугольник и семиугольник на рисунке 1 и невыпуклые четырехугольник и шестиугольник на рисунке 2.
Отрезки, из которых состоит ломаная, называются сторонами многоугольника , а концы отрезков – его вершинами .
Задание 1.
Изобразите у себя в тетрадях семиугольник, изображенный на рисунке 1. Продолжите его стороны за его вершины. Убедитесь в том, что для него справедливо наше утверждение.
Обозначьте вершины семиугольника. Выпишите их к себе в тетрадь. Выпишите стороны семиугольника.
Как вы видите, в любом n-угольнике количество вершин равно количеству сторон .
Теперь посмотрим на изображение невыпуклого четырехугольника. Проделаем ту же операцию с ним: продолжим его стороны за его вершины (рисунок 4).
Задание 2.
Изобразите у себя в тетрадях шестиугольник, изображенный на рисунке 2. Продолжите его стороны за его вершины. Убедитесь в том, что для него справедливо наше утверждение.
На рисунке 5 изображена замкнутая ломаная, которая многоугольников не является. Почему?
Многоугольником также называют геометрическую фигуру, состоящую из его сторон и внутренней области.
Поработайте с материалами первой части видеоурока «Многоугольники».
В материалах видеоурока сформулировано определение периметра многоугольника .
Определение. Периметром многоугольника называется сумма всех его сторон.
Кроме того, вы узнали, что среди многоугольников, как и среди треугольников, выделяются правильные многоугольники .
Определение. Правильным называется выпуклый многоугольник, все стороны и все углы которого равны.
Кроме таких элементов многоугольника как вершины и стороны, выделим диагонали многоугольника .
Определение. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий несмежные вершины.
Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника
Прежде чем переходить к изучению следующей части занятия, поработайте с электронным образовательным ресурсом « ».
Теперь сформулируем теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.
Теорема (о сумме углов выпуклого многоугольника).
Сумма углов выпуклого n
-угольника равна .
С доказательством этой теоремы познакомьтесь, поработав с материалами второй части видеоурока «Многоугольники».
Задание 3.
Запишите два варианта доказательства этой теоремы себе в тетрадь. Если у вас возникли вопросы, обсудите их на или в видеокомнате.
Пример 1.
Найдем сумму внутренних углов некоторых выпуклых многоугольников.
1. Четырехугольник
В четырехугольнике n = 4. Поэтому сумма углов четырехугольника равна
2. Пятиугольник
В пятиугольнике n = 5. Поэтому сумма углов пятиугольника равна
3. Шестиугольник
В шестиугольнике n = 6. Поэтому сумма углов шестиугольника равна
4. Восьмиугольник
В восьмиугольнике n = 8. Поэтому сумма углов восьмиугольника равна
5. Десятиугольник
В десятиугольнике n = 10. Поэтому сумма углов десятиугольника равна
В том случае, когда многоугольник является правильным, мы можем найти величину каждого его угла. Действительно, так как все углы правильного многоугольника равны, то величина каждого его угла равна .
Пример 2.
Найдем величину угла для некоторых правильных многоугольников.
1. Пятиугольник
В пятиугольнике n
= 5. Поэтому угол в пятиугольнике равен 
2. Шестиугольник
В шестиугольнике n
= 6. Поэтому угол в пятиугольнике равен 
3. Восьмиугольник
В восьмиугольнике n
= 8. Поэтому угол в восьмиугольнике равен 
4. Десятиугольник
Многоугольник - это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией , не имеющей самопересечений.
Звенья ломаной называются сторонами многоугольника , а её вершины - вершинами многоугольника .
Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.
Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью - пятиугольником и т. д.
Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник ABCDE :
В пятиугольнике ABCDE точки A , B , C , D и E - это вершины пятиугольника, а отрезки AB , BC , CD , DE и EA - стороны пятиугольника.
Выпуклые и вогнутые
Многоугольник называется выпуклым , если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым :
Периметр
Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром .
Периметр многоугольника ABCDE равен:
AB + BC + CD + DE + EA
Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным . Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.
Диагональ
Диагональ многоугольника - это отрезок , соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD является диагональю:
Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.
Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:
Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:
t = n - 2
где t - это количество треугольников, а n - количество сторон.
Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить .
