Men sizni aldash varaqlarini yozmaslikka ishontirishga harakat qilmayman. Yozing! Trigonometriya bo'yicha cheat varaqlari, shu jumladan. Keyinchalik men cheat varaqlari nima uchun kerakligini va nima uchun cheat varaqlari foydali ekanligini tushuntirishni rejalashtirmoqdaman. Va bu erda qanday o'rganish emas, balki ba'zi trigonometrik formulalarni eslab qolish haqida ma'lumot. Shunday qilib, trigonometriya varaqsiz! Biz yodlash uchun assotsiatsiyalardan foydalanamiz.
1. Qo‘shish formulalari:
Kosinuslar har doim "juft bo'lib keladi": kosinus-kosinus, sinus-sinus.
Va yana bir narsa: kosinuslar "etarsiz". Ular uchun "hamma narsa to'g'ri emas", shuning uchun ular belgilarni o'zgartiradilar: "-" "+" ga va aksincha.
Sinuslar - "aralash": sinus-kosinus, kosinus-sinus.
2. Yig‘indi va ayirma formulalari:
kosinuslar har doim "juft bo'lib keladi". Ikkita kosinus - "koloboks" qo'shilishi bilan biz bir juft kosinus - "koloboks" ni olamiz. Va ayirish orqali biz hech qanday koloboklarni olmaymiz. Biz bir nechta sinuslarni olamiz. Oldinda minus bilan ham.
Sinuslar - "aralash" :
3. Ko`paytmani yig`indiga va ayirmaga aylantirish formulalari.
Kosinus juftligini qachon olamiz? Biz kosinuslarni qo'shganda. Shunung uchun
Qachon biz bir nechta sinuslarni olamiz? Kosinuslarni ayirishda. Bu yerdan:
"Aralash" sinuslarni qo'shish va ayirish paytida ham olinadi. Qaysi qiziqarliroq: qo'shish yoki ayirish? To'g'ri, katlayın. Va formula uchun ular qo'shimcha oladilar:
Birinchi va uchinchi formulalarda yig'indisi qavs ichida. Shartlar joylarini qayta joylashtirish yig'indini o'zgartirmaydi. Buyurtma faqat ikkinchi formula uchun muhimdir. Ammo, chalkashmaslik uchun, eslab qolish qulayligi uchun, birinchi qavsdagi barcha uchta formulada biz farqni olamiz.
ikkinchidan - miqdor
Cho'ntagingizdagi cheat varaqlari sizga tinchlik beradi: agar formulani unutib qo'ysangiz, uni nusxalashingiz mumkin. Va ular sizga ishonch bag'ishlaydi: agar siz cheat varaqlaridan foydalanmasangiz, formulalarni osongina eslab qolishingiz mumkin.
Qo‘shish formulalari a va b burchaklarning sinuslari va kosinuslari orqali cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b) funksiyalarning qiymatlarini ifodalash uchun ishlatiladi.
Sinuslar va kosinuslar uchun qo'shimcha formulalar
Teorema: Har qanday a va b uchun quyidagi tenglik to‘g‘ri bo‘ladi: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).
Keling, bu teoremani isbotlaylik. Quyidagi rasmni ko'rib chiqing:
Unda Mo nuqtani mos ravishda a, -b va a+b burchaklariga aylantirish orqali Ma, M-b, M(a+b) nuqtalar olinadi. Sinus va kosinus taʼriflaridan bu nuqtalarning koordinatalari quyidagicha boʻladi: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+). b) (cos(a+ b); sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = burchakM-bOMa, shuning uchun MoOM(a+b) va M-bOMa uchburchaklari teng va ular teng yon tomonlardir. Bu MoM(a-b) va M-bMa asoslari teng ekanligini bildiradi. Shuning uchun (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.
sin(-a) = -sin(a) va cos(-a) = cos(a). Keling, tengligimizni ushbu formulalar va yig'indi va ayirma kvadratini hisobga olgan holda o'zgartiramiz, keyin:
1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.
Endi biz asosiy trigonometrik identifikatsiyani qo'llaymiz:
2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).
Keling, shunga o'xshashlarni beramiz va ularni -2 ga kamaytiramiz:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.
Quyidagi formulalar ham amal qiladi:
- cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
- sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
- sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).
Bu formulalarni yuqorida isbotlangan reduksiya formulalari yordamida va b ni -b bilan almashtirish orqali olish mumkin. Tangens va kotangens uchun qo'shimcha formulalar ham mavjud, ammo ular barcha argumentlar uchun haqiqiy bo'lmaydi.
Tangens va kotangentlarni qo'shish formulalari
a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n va a+b =pi/2 +pi*m bundan mustasno a,b burchaklar uchun, k,n,m butun sonlar uchun quyidagilar bo‘ladi. haqiqiy formula bo'lsin:
tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n va a-b =pi/2 +pi*m bundan mustasno a,b burchaklari uchun k,n,m butun sonlar uchun quyidagi formula bo‘ladi. yaroqli:
tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).
a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m bundan mustasno har qanday a,b burchaklar uchun va k,n,m butun sonlar uchun quyidagi formula amal qiladi:
ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).
Biz trigonometriyada eng ko'p ishlatiladigan formulalar haqida suhbatimizni davom ettiramiz. Ulardan eng muhimi qo'shish formulalaridir.
Ta'rif 1
Qo'shish formulalari ikki burchakning ayirmasi yoki yig'indisining funktsiyalarini ushbu burchaklarning trigonometrik funktsiyalaridan foydalangan holda ifodalash imkonini beradi.
Boshlash uchun biz qo'shimcha formulalarning to'liq ro'yxatini beramiz, keyin ularni isbotlaymiz va bir nechta illyustratsion misollarni tahlil qilamiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Trigonometriyada asosiy qo‘shish formulalari
Sakkizta asosiy formula mavjud: yig'indining sinusi va ikki burchak ayirmasining sinusi, yig'indisi va ayirmasining kosinuslari, yig'indi va ayirmaning tangenslari va kotangentlari. Quyida ularning standart formulalari va hisob-kitoblari keltirilgan.
1. Ikki burchak yig‘indisining sinusini quyidagicha olish mumkin:
Birinchi burchak sinusining ko'paytmasini va ikkinchi burchakning kosinusini hisoblaymiz;
Birinchi burchakning kosinusini birinchi burchakning sinusiga ko'paytiring;
Olingan qiymatlarni qo'shing.
Formulaning grafik yozuvi quyidagicha ko'rinadi: sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b
2. Farqning sinusi deyarli bir xil tarzda hisoblanadi, faqat hosil bo'lgan mahsulotlarni qo'shish kerak emas, balki bir-biridan ayiriladi. Shunday qilib, birinchi burchak sinusining ikkinchisining kosinusiga va birinchi burchakning kosinusining ikkinchisining sinusiga ko'paytmalarini hisoblaymiz va ularning farqini topamiz. Formula quyidagicha yoziladi: sin (a - b) = sin a · cos b + sin a · sin b.
3. Yig‘indining kosinusu. Buning uchun birinchi burchak kosinusining ikkinchisining kosinusiga va birinchi burchak sinusining ikkinchisining sinusiga koʻpaytmalarini topamiz va ularning farqini topamiz: cos (a + b) = cos a. · cos b - sin a · sin b
4. Farqning kosinusi: bu burchaklarning sinuslari va kosinuslarining ko`paytmalarini oldingidek hisoblang va ularni qo`shing. Formula: cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
5. Yig‘indining tangensi. Bu formula kasr sifatida ifodalanadi, uning numeratori kerakli burchaklar tangenslarining yig'indisi, maxraj esa kerakli burchaklar tangenslarining ko'paytmasi ayiriladigan birlikdir. Uning grafik belgilaridan hamma narsa aniq: t g (a + b) = t g a + t g b 1 - t g a · t g b.
6. Farqning tangensi. Biz bu burchaklarning tangenslarining farqi va mahsulotining qiymatlarini hisoblaymiz va shunga o'xshash tarzda davom etamiz. Maxrajda biz bittaga qo'shamiz, aksincha emas: t g (a - b) = t g a - t g b 1 + t g a · t g b.
7. Miqdorning kotangensi. Ushbu formuladan foydalanib hisoblash uchun bizga ushbu burchaklarning kotangentlari ko'paytmasi va yig'indisi kerak bo'ladi, biz buni quyidagicha davom ettiramiz: c t g (a + b) = - 1 + c t g a · c t g b c t g a + c t g b
8. Farqning kotangensi . Formula avvalgisiga o'xshaydi, lekin pay va maxraj minus, ortiqcha emas c t g (a - b) = - 1 - c t g a · c t g b c t g a - c t g b.
Ehtimol, bu formulalar juftlikda o'xshashligini payqagandirsiz. ± (ortiqcha-minus) va ∓ (minus-plyus) belgilaridan foydalanib, yozib olish qulayligi uchun ularni guruhlashimiz mumkin:
sin (a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b cos (a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b t g (a ± b) = t g a ± t g b 1 ∓ t g a · t g b c t g (a ± b) = - 1 ± c t g a · c t g b c t g a ± c t g b
Shunga ko'ra, bizda har bir qiymatning yig'indisi va farqi uchun bitta ro'yxatga olish formulasi mavjud, faqat bitta holatda biz yuqori belgiga, ikkinchisida - pastki belgiga e'tibor beramiz.
Ta'rif 2
Biz har qanday a va b burchaklarni olishimiz mumkin va kosinus va sinus uchun qo'shilish formulalari ular uchun ishlaydi. Agar biz bu burchaklarning tangenslari va kotangenslarining qiymatlarini to'g'ri aniqlay olsak, ular uchun tangens va kotangens uchun qo'shimcha formulalar ham tegishli bo'ladi.
Algebradagi ko'pgina tushunchalar singari, qo'shish formulalari ham isbotlanishi mumkin. Biz isbotlaydigan birinchi formula - bu farq kosinus formulasi. Qolgan dalillar shundan keyin osonlik bilan chiqarilishi mumkin.
Keling, asosiy tushunchalarga aniqlik kiritaylik. Bizga birlik doira kerak bo'ladi. Agar ma'lum bir A nuqtani olib, a va b burchaklarni markaz (O nuqta) atrofida aylantirsak, u ishlaydi. Keyin O A 1 → va O A → 2 vektorlari orasidagi burchak (a - b) + 2 p · z yoki 2 p - (a - b) + 2 p · z ga teng bo'ladi (z - har qanday butun son). Olingan vektorlar a - b yoki 2 p - (a - b) ga teng burchak hosil qiladi yoki bu qiymatlardan to'liq aylanishlarning butun soni bilan farq qilishi mumkin. Rasmga qarang:
Biz qisqartirish formulalaridan foydalandik va quyidagi natijalarga erishdik:
cos ((a - b) + 2 p z) = cos (a - b) cos (2 p - (a - b) + 2 p z) = cos (a - b)
Natija: O A 1 → va O A 2 → vektorlari orasidagi burchak kosinasi a - b burchak kosinusiga teng, shuning uchun cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (a - b).
Sinus va kosinusning ta'riflarini eslaylik: sinus - burchakning funktsiyasi, qarama-qarshi burchakning oyog'ining gipotenuzaga nisbatiga teng, kosinus - to'ldiruvchi burchakning sinusidir. Shuning uchun, nuqtalar A 1 Va A 2 koordinatalariga ega (cos a, sin a) va (cos b, sin b).
Biz quyidagilarni olamiz:
O A 1 → = (cos a, sin a) va O A 2 → = (cos b, sin b)
Agar aniq bo'lmasa, vektorlarning boshida va oxirida joylashgan nuqtalarning koordinatalariga qarang.
Vektorlarning uzunliklari 1 ga teng, chunki Bizda birlik doirasi bor.
Endi O A 1 → va O A 2 → vektorlarining skalyar ko‘paytmasini tahlil qilaylik. Koordinatalarda u quyidagicha ko'rinadi:
(O A 1 → , O A 2) → = cos a · cos b + sin a · sin b
Bundan biz tenglikni olishimiz mumkin:
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
Shunday qilib, farq kosinus formulasi isbotlangan.
Endi biz quyidagi formulani - yig'indining kosinusini isbotlaymiz. Bu osonroq, chunki biz oldingi hisob-kitoblardan foydalanishimiz mumkin. a + b = a - (- b) tasvirini olaylik. Bizda bor:
cos (a + b) = cos (a - (- b)) = = cos a cos (- b) + sin a sin (- b) = = cos a cos b + sin a sin b
Bu kosinus yig'indisi formulasining isbotidir. Oxirgi satrda qarama-qarshi burchaklarning sinus va kosinus xossalari qo'llaniladi.
Yig'indining sinusi formulasini farqning kosinus formulasidan olish mumkin. Buning uchun kamaytirish formulasini olaylik:
sin (a + b) = cos (p 2 (a + b)) shaklidagi. Shunday qilib
sin (a + b) = cos (p 2 (a + b)) = cos ((p 2 - a) - b) = = cos (p 2 - a) cos b + sin (p 2 - a) sin b = = sin a cos b + cos a sin b
Va bu erda sinus formulasi farqining isboti:
sin (a - b) = sin (a + (- b)) = sin a cos (- b) + cos a sin (- b) = = sin a cos b - cos a sin b.
Oxirgi hisoblashda qarama-qarshi burchaklarning sinus va kosinus xususiyatlaridan foydalanishga e'tibor bering.
Keyin bizga tangens va kotangens uchun qo'shish formulalarini isbotlash kerak. Keling, asosiy ta'riflarni eslaylik (tangens sinusning kosinusga nisbati va kotangens aksincha) va oldindan olingan formulalarni olamiz. Biz buni qildik:
t g (a + b) = sin (a + b) cos (a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos a cos b - sin a sin b.
Bizda murakkab kasr bor. Keyinchalik, cos a ≠ 0 va cos b ≠ 0 ekanligini hisobga olsak, uning soni va maxrajini cos a · cos b ga bo'lishimiz kerak:
sin a · cos b + cos a · sin b cos a · cos b cos a · cos b - sin a · sin b cos a · cos b = sin a · cos b cos a · cos b + cos a · sin b cos. a · cos b cos a · cos b cos a · cos b - sin a · sin b cos a · cos b.
Endi kasrlarni kamaytiramiz va quyidagi formulani olamiz: sin a cos a + sin b cos b 1 - sin a cos a · s i n b cos b = t g a + t g b 1 - t g a · t g b.
Biz t g (a + b) = t g a + t g b 1 - t g a · t g b ni oldik. Bu tangens qo'shish formulasining isbotidir.
Biz isbotlaydigan keyingi formula - bu farq formulasining tangensi. Hisob-kitoblarda hamma narsa aniq ko'rsatilgan:
t g (a - b) = t g (a + (- b)) = t g a + t g (- b) 1 - t g a t g (- b) = t g a - t g b 1 + t g a t g b
Kotangens formulalari shunga o'xshash tarzda isbotlangan:
c t g (a + b) = cos (a + b) sin (a + b) = cos a · cos b - sin a · sin b sin a · cos b + cos a · sin b = = cos a · cos b - sin a · sin b sin a · sin b sin a · cos b + cos a · sin b sin a · sin b = cos a · cos b sin a · sin b - 1 sin a · cos b sin a · sin b + cos a · sin b sin a · sin b = = - 1 + c t g a · c t g b c t g a + c t g b
Yana:
c t g (a - b) = c t g (a + (- b)) = - 1 + c t g a c t g (- b) c t g a + c t g (- b) = - 1 - c t g a c t g b c t g a - c t g
