Ushbu materialda biz raqamning kuchi nima ekanligini ko'rib chiqamiz. Asosiy ta'riflarga qo'shimcha ravishda, biz natural, butun, ratsional va irratsional ko'rsatkichlar bilan qanday darajalar ekanligini aniqlaymiz. Har doimgidek, barcha tushunchalar misol muammolari bilan tasvirlanadi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Birinchidan, tabiiy ko'rsatkichli darajaning asosiy ta'rifini tuzamiz. Buning uchun biz ko'paytirishning asosiy qoidalarini esga olishimiz kerak. Oldindan aniqlik kiritamizki, hozircha asos sifatida haqiqiy sonni (a harfi bilan belgilanadi), indikator sifatida natural sonni (n harfi bilan belgilanadi) olamiz.
Ta'rif 1
Tabiiy ko'rsatkichi n bo'lgan a sonining kuchi har biri a soniga teng bo'lgan n-sonli omillarning ko'paytmasiga teng. Darajasi quyidagicha yoziladi: a n, va formula shaklida uning tarkibi quyidagicha ifodalanishi mumkin:
Masalan, ko'rsatkich 1 va asosi a bo'lsa, a ning birinchi darajasi quyidagicha yoziladi a 1. a omilning qiymati va 1 omillar soni ekanligini hisobga olsak, biz shunday xulosaga kelishimiz mumkin a 1 = a.
Umuman olganda, daraja ko'p sonli teng omillarni yozishning qulay shakli deb aytishimiz mumkin. Shunday qilib, shaklning rekordi 8 8 8 8 ga qisqartirish mumkin 8 4 . Xuddi shu tarzda, mahsulot ko'p sonli atamalarni yozishdan qochishimizga yordam beradi (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Biz buni natural sonlarni ko'paytirishga bag'ishlangan maqolada allaqachon muhokama qilganmiz.
Darajani qanday qilib to'g'ri o'qish kerak? Umumiy qabul qilingan variant "a ning n kuchiga" dir. Yoki siz “a ning n-chi kuchi” yoki “chumoli kuchi” deb aytishingiz mumkin. Aytaylik, misolda biz yozuvga duch kelgan bo'lsak 8 12 , biz "8-dan 12-chi darajaga", "8-dan 12-chi darajaga" yoki "8-ning 12-chi kuchi" ni o'qiymiz.
Raqamlarning ikkinchi va uchinchi darajalari o'zlarining belgilangan nomlariga ega: kvadrat va kub. Agar biz ikkinchi kuchni, masalan, 7 (7 2) raqamini ko'rsak, unda "7 kvadrat" yoki "7 raqamining kvadrati" deb aytishimiz mumkin. Xuddi shunday, uchinchi daraja ham shunday o'qiladi: 5 3 - bu "5 raqamining kubi" yoki "5 kub". Biroq, siz "ikkinchi/uchinchi kuchga" standart formulasidan ham foydalanishingiz mumkin, bu xato bo'lmaydi.
1-misol
Keling, tabiiy ko'rsatkichli daraja misolini ko'rib chiqaylik: uchun 5 7 beshtasi asos bo'ladi, ettitasi esa ko'rsatkich bo'ladi.
Baza butun son bo'lishi shart emas: daraja uchun (4 , 32) 9 asos 4, 32 kasr, ko'rsatkich esa to'qqiz bo'ladi. Qavslarga e'tibor bering: bu belgi asoslari natural sonlardan farq qiladigan barcha darajalar uchun qilingan.
Masalan: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.
Qavslar nima uchun? Ular hisob-kitoblarda xatolardan qochishga yordam beradi. Aytaylik, bizda ikkita yozuv bor: (− 2) 3 Va − 2 3 . Ulardan birinchisi manfiy sonni minus ikkitani, tabiiy ko'rsatkichi uch bo'lgan darajaga ko'tarishni anglatadi; ikkinchisi - darajaning qarama-qarshi qiymatiga mos keladigan raqam 2 3 .
Ba'zan kitoblarda siz raqamning kuchining biroz boshqacha imlosini topishingiz mumkin - a^n(bu erda a - asos va n - ko'rsatkich). Ya'ni, 4^9 bilan bir xil 4 9 . Agar n ko'p xonali son bo'lsa, u qavs ichiga joylashtiriladi. Masalan, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ammo biz belgidan foydalanamiz a n kabi keng tarqalgan.
Tabiiy ko'rsatkichli ko'rsatkichning qiymatini uning ta'rifidan qanday hisoblashni taxmin qilish oson: shunchaki n-sonni ko'paytirish kerak. Bu haqda boshqa maqolada batafsil yozgan edik.
Daraja tushunchasi boshqa matematik tushunchaning teskarisi - sonning ildizidir. Agar biz kuch va ko'rsatkichning qiymatini bilsak, uning asosini hisoblashimiz mumkin. Daraja muammolarni hal qilish uchun foydali bo'lgan o'ziga xos xususiyatlarga ega, biz ularni alohida materialda muhokama qildik.
Ko'rsatkichlar nafaqat natural sonlarni, balki umuman har qanday butun son qiymatlarini, shu jumladan manfiy va nollarni ham o'z ichiga olishi mumkin, chunki ular ham butun sonlar to'plamiga tegishli.
Ta'rif 2
Musbat butun ko‘rsatkichli sonning kuchi quyidagi formula bilan ifodalanishi mumkin: 
.
Bu holda n har qanday musbat sondir.
Keling, nol daraja tushunchasini tushunaylik. Buning uchun biz asoslari teng bo'lgan kuchlar uchun ko'rsatkich xususiyatini hisobga oladigan yondashuvdan foydalanamiz. U shunday tuzilgan:
Ta'rif 3
Tenglik a m: a n = a m - n quyidagi sharoitlarda to'g'ri bo'ladi: m va n - natural sonlar, m< n , a ≠ 0 .
Oxirgi shart muhim, chunki u nolga bo'linishdan qochadi. Agar m va n qiymatlari teng bo'lsa, biz quyidagi natijani olamiz: a n: a n = a n - n = a 0
Lekin bir vaqtning o'zida a n: a n = 1 - teng sonlar bo'limi a n va a. Ma'lum bo'lishicha, har qanday nolga teng bo'lmagan raqamning nol darajasi birga teng.
Biroq, bunday dalil noldan nol kuchga taalluqli emas. Buning uchun bizga vakolatlarning yana bir mulki - teng asosli vakolatlar mahsuloti mulki kerak. Bu shunday ko'rinadi: a m · a n = a m + n .
Agar n 0 ga teng bo'lsa, u holda a m · a 0 = a m(bu tenglik ham bizga buni isbotlaydi a 0 = 1). Ammo agar va ham nolga teng bo'lsa, bizning tengligimiz shaklni oladi 0 m · 0 0 = 0 m, Bu n ning har qanday natural qiymati uchun to'g'ri bo'ladi va daraja qiymati aynan nimaga teng bo'lishi muhim emas. 0 0 , ya'ni har qanday songa teng bo'lishi mumkin va bu tenglikning aniqligiga ta'sir qilmaydi. Shuning uchun, shaklning yozuvi 0 0 o'ziga xos ma'noga ega emas va biz uni unga bog'lamaymiz.
Agar so'ralsa, buni tekshirish oson a 0 = 1 daraja xossasi bilan yaqinlashadi (a m) n = a m n darajaning asosi nolga teng bo'lmasligi sharti bilan. Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan ko'rsatkichli har qanday raqamning kuchi bitta.
2-misol
Keling, aniq raqamlar bilan misolni ko'rib chiqaylik: 5 0 - birlik, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 va qiymati 0 0 aniqlanmagan.
Nol darajadan keyin biz faqat salbiy daraja nima ekanligini aniqlashimiz kerak. Buni amalga oshirish uchun bizga yuqorida biz ishlatgan teng asosli kuchlar mahsulotining bir xil xususiyati kerak: a m · a n = a m + n.
Shartni kiritamiz: m = - n, u holda a nolga teng bo'lmasligi kerak. Bundan kelib chiqadi a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Ma'lum bo'lishicha, a n va a−n bizda o'zaro o'zaro raqamlar mavjud.
Natijada, a ga manfiy butun kuch 1 a n kasrdan boshqa narsa emas.
Bu formula butun manfiy koʻrsatkichli daraja uchun tabiiy koʻrsatkichli darajaga ega boʻlgan barcha xossalar amal qilishini tasdiqlaydi (agar asos nolga teng boʻlmasa).
3-misol
n manfiy butun ko'rsatkichli a daraja 1 a n kasr sifatida ifodalanishi mumkin. Shunday qilib, a - n = 1 a n bo'ysunadi a ≠ 0 n esa har qanday natural sondir.
Keling, o'z fikrimizni aniq misollar bilan tushuntiraylik:
4-misol
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
Paragrafning oxirgi qismida biz aytilgan hamma narsani bitta formulada aniq tasvirlashga harakat qilamiz:
Ta'rif 4
z natural ko‘rsatkichli sonning kuchi: a z = a z, l va z bilan e - musbat butun son 1, z = 0 va a ≠ 0, (z = 0 va a = 0 uchun natija 0 0, 0 0 ifodasining qiymatlari aniqlanmagan) 1 a z, agar va z manfiy butun son va a ≠ 0 bo'lsa (agar z manfiy butun son bo'lsa va a = 0 bo'lsa, siz 0 z ni olasiz, egoz qiymati aniqlanmagan)
Ratsional darajali kuchlar nima?
Biz ko'rsatkichda butun son bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdik. Biroq, ko'rsatkich kasr sonni o'z ichiga olgan bo'lsa ham, siz raqamni darajaga ko'tarishingiz mumkin. Bu ratsional ko'rsatkichli kuch deyiladi. Ushbu bo'limda biz boshqa kuchlar bilan bir xil xususiyatlarga ega ekanligini isbotlaymiz.
Ratsional sonlar nima? Ularning to'plami ham butun, ham kasr sonlarni o'z ichiga oladi va kasr sonlar oddiy kasrlar (ham musbat, ham manfiy) sifatida ifodalanishi mumkin. m/n kasr ko‘rsatkichli a sonining quvvati ta’rifini tuzamiz, bunda n natural son, m esa butun sondir.
Biz kasr ko'rsatkichi a m n bilan qandaydir darajaga egamiz. Xususiyatning kuchga ega bo'lishi uchun a m n n = a m n · n = a m tengligi to'g'ri bo'lishi kerak.
n- ildizning ta'rifini va a m n n = a m ekanligini hisobga olsak, a m n = a m n shartini qabul qilishimiz mumkin, agar a m m, n va a ning berilgan qiymatlari uchun mantiqiy bo'lsa.
Butun koʻrsatkichli darajaning yuqoridagi xossalari a m n = a m n shartida toʻgʻri boʻladi.
Bizning fikrimizdan kelib chiqadigan asosiy xulosa shu: kasr ko'rsatkichi m / n bo'lgan ma'lum a sonining kuchi m darajasiga a sonining n-chi ildizidir. Agar m, n va a ning berilgan qiymatlari uchun a m n ifodasi ma'noli bo'lib qolsa, bu to'g'ri bo'ladi.
1. Biz daraja asosining qiymatini cheklashimiz mumkin: keling, a ni olaylik, bu m ning ijobiy qiymatlari uchun 0 dan katta yoki teng bo'ladi va salbiy qiymatlar uchun - qat'iy kamroq (chunki m ≤ 0 uchun) olamiz 0 m, lekin bunday daraja aniqlanmagan). Bunday holda, kasr ko'rsatkichli darajaning ta'rifi quyidagicha bo'ladi:
Ba'zi musbat a soni uchun kasr ko'rsatkichi m/n bo'lgan daraja m darajasiga ko'tarilgan a ning n-chi ildizidir. Buni formula bilan ifodalash mumkin:
Nol asosga ega bo'lgan kuch uchun bu qoida ham mos keladi, lekin uning ko'rsatkichi ijobiy son bo'lsa.
Baza nol va kasr musbat ko'rsatkichi m/n bo'lgan darajani quyidagicha ifodalash mumkin
0 m n = 0 m n = 0 sharti bilan m musbat butun son, n esa natural son.
Salbiy nisbat uchun m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Bir nuqtaga e'tibor qaratamiz. Biz a ning noldan katta yoki teng bo'lishi shartini kiritganimiz sababli, biz ba'zi holatlarni bekor qildik.
a m n ifodasi ba'zan a va ba'zi m ning ba'zi salbiy qiymatlari uchun ma'noga ega. Shunday qilib, to'g'ri yozuvlar (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 bo'lib, unda asos salbiy.
2. Ikkinchi yondashuv - juft va toq darajali a m n ildizni alohida ko'rib chiqish. Keyin yana bir shartni kiritishimiz kerak bo'ladi: ko'rsatkichida kamaytiriladigan oddiy kasr mavjud bo'lgan a darajasi a daraja deb hisoblanadi, uning ko'rsatkichida mos keladigan qaytarilmas kasr mavjud. Keyinchalik biz bu shart nima uchun kerakligini va nima uchun bu juda muhimligini tushuntiramiz. Shunday qilib, agar bizda a m · k n · k yozuvi mavjud bo'lsa, biz uni a m n ga qisqartirishimiz va hisoblarni soddalashtirishimiz mumkin.
Agar n toq son bo'lsa va m qiymati musbat va a har qanday manfiy bo'lmagan son bo'lsa, u holda a m n mantiqiy bo'ladi. Manfiy bo'lmaganlik sharti zarur, chunki manfiy sondan juft darajali ildiz chiqarib bo'lmaydi. Agar m ning qiymati musbat bo'lsa, u holda a manfiy va nolga teng bo'lishi mumkin, chunki Toq ildiz har qanday haqiqiy sondan olinishi mumkin.
Keling, yuqoridagi barcha ta'riflarni bitta yozuvda birlashtiramiz:
Bu yerda m/n qaytarilmas kasrni, m har qanday butun sonni, n esa istalgan natural sonni bildiradi.
Ta'rif 5
Har qanday oddiy qaytariladigan kasr m · k n · k uchun darajani m n bilan almashtirish mumkin.
Qaytib bo'lmaydigan kasr ko'rsatkichi m / n bo'lgan a sonining kuchi quyidagi hollarda m n sifatida ifodalanishi mumkin: - har qanday haqiqiy a uchun musbat butun son qiymatlari m va toq natural qiymatlar n. Misol: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.
Har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy a uchun m ning manfiy butun qiymatlari va n ning toq qiymatlari, masalan, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7
Har qanday manfiy bo'lmagan a uchun musbat butun son m va hatto n, masalan, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.
Har qanday musbat a uchun manfiy butun m va hatto n, masalan, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .
Boshqa qiymatlar bo'lsa, kasr ko'rsatkichli daraja aniqlanmaydi. Bunday darajalarga misollar: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.
Endi yuqorida muhokama qilingan shartning ahamiyatini tushuntirib beraylik: nima uchun kasrni kamaytiruvchi darajali kasr bilan kamaytirilmaydigan darajali kasr bilan almashtirish kerak. Agar biz buni qilmaganimizda, bizda quyidagi holatlar bo'lar edi, masalan, 6/10 = 3/5. U holda u to'g'ri bo'lishi kerak (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , lekin - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , va (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.
Biz birinchi bo'lib taqdim etgan kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifi ikkinchisidan ko'ra amalda foydalanish uchun qulayroqdir, shuning uchun biz undan foydalanishda davom etamiz.
Ta'rif 6
Shunday qilib, kasr ko'rsatkichi m/n bo'lgan musbat a sonining kuchi 0 m n = 0 m n = 0 sifatida aniqlanadi. Salbiy bo'lsa a a m n belgisi mantiqiy emas. Musbat kasr ko'rsatkichlari uchun nol darajasi m/n 0 m n = 0 m n = 0 sifatida aniqlanadi, manfiy kasr ko'rsatkichlari uchun biz nol darajasini aniqlamaymiz.
Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, har qanday kasr ko'rsatkichini aralash son sifatida ham, o'nlik kasr sifatida ham yozishingiz mumkin: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.
Hisoblashda ko'rsatkichni oddiy kasr bilan almashtirgan ma'qul, keyin esa kasr ko'rsatkichi bilan ko'rsatkichning ta'rifini qo'llagan ma'qul. Yuqoridagi misollar uchun biz quyidagilarni olamiz:
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Irratsional va real ko'rsatkichli kuchlar nima?
Haqiqiy raqamlar nima? Ularning to'plami ham ratsional, ham irratsional sonlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun, haqiqiy ko'rsatkichli daraja nima ekanligini tushunish uchun biz ratsional va irratsional darajali darajalarni aniqlashimiz kerak. Biz yuqorida ratsionallarini aytib o'tdik. Keling, irratsional ko'rsatkichlar bilan bosqichma-bosqich shug'ullanamiz.
5-misol
Faraz qilaylik, bizda a irratsional son va uning o‘nlik yaqinliklari ketma-ketligi a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Masalan, a = 1,67175331 qiymatini olaylik. . . , Keyin
a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,. . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753,. . .
Biz yaqinlashishlar ketma-ketligini a a 0 , a 1 , a a 2 , darajalar ketma-ketligi bilan bog'lashimiz mumkin. . . . Raqamlarni oqilona kuchlarga ko'tarish haqida avval aytganlarimizni eslasak, bu kuchlarning qiymatlarini o'zimiz hisoblashimiz mumkin.
Keling, misol qilib olaylik a = 3, keyin a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753,. . . va hokazo.
Quvvatlar ketma-ketligi a asosi va irratsional ko'rsatkich a bo'lgan kuchning qiymati bo'lgan raqamga qisqartirilishi mumkin. Natijada: 3 1, 67175331 ko'rinishdagi irratsional ko'rsatkichli daraja. . 6, 27 raqamiga qisqartirilishi mumkin.
Ta'rif 7
Irratsional ko'rsatkichli a musbat sonining kuchi a sifatida yoziladi. Uning qiymati a a 0 , a 1 , a a 2 , ketma-ketlikning chegarasi. . . , bu erda a 0, a 1, a 2,. . . a irratsional sonining ketma-ket o'nli yaqinlashuvlari. Nol asosli daraja musbat irratsional ko'rsatkichlar uchun ham aniqlanishi mumkin, 0 a = 0 Demak, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ammo buni salbiy bo'lganlar uchun qilish mumkin emas, chunki, masalan, 0 - 5, 0 - 2 p qiymati aniqlanmagan. Har qanday irratsional kuchga ko'tarilgan birlik, masalan, birlik bo'lib qoladi va 2 va 1 - 5da 1 2, 1 5 1 ga teng bo'ladi.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Ushbu maqolada biz nima ekanligini aniqlaymiz darajasi. Bu erda biz sonning kuchining ta'riflarini beramiz, shu bilan birga tabiiy ko'rsatkichdan boshlab va irratsional darajagacha bo'lgan barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarni batafsil ko'rib chiqamiz. Materialda siz yuzaga keladigan barcha nozikliklarni o'z ichiga olgan darajalarning ko'plab misollarini topasiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Natural ko'rsatkichli kuch, sonning kvadrati, sonning kubi
dan boshlaylik. Oldinga qarab, deylik, tabiiy ko'rsatkichi n bo'lgan a sonining kuchining ta'rifi a uchun berilgan, biz uni chaqiramiz. daraja asosi, va n, biz ularni chaqiramiz ko'rsatkich. Shuni ham ta'kidlaymizki, tabiiy ko'rsatkichli daraja mahsulot orqali aniqlanadi, shuning uchun quyidagi materialni tushunish uchun siz sonlarni ko'paytirishni tushunishingiz kerak.
Ta'rif.
n natural ko'rsatkichli sonning kuchi a n ko’rinishdagi ifoda bo’lib, uning qiymati n ta omil ko’paytmasiga teng, har biri a ga teng, ya’ni.
Xususan, ko‘rsatkichi 1 bo‘lgan a sonining kuchi a sonining o‘zi, ya’ni 1 =a dir.
Darhol darajalarni o'qish qoidalari haqida eslatib o'tish kerak. a n belgisini o'qishning universal usuli: "a n kuchiga". Ba'zi hollarda quyidagi variantlar ham qabul qilinadi: "a ning n-darajali" va "a ning n-darajali". Misol uchun, 8 12 kuchini olaylik, bu "sakkizdan o'n ikki darajaga", yoki "sakkizdan o'n ikkinchi darajaga" yoki "sakkizning o'n ikkinchi darajasiga".
Raqamning ikkinchi darajasi ham, sonning uchinchi darajasi ham o'z nomlariga ega. Raqamning ikkinchi darajasi deyiladi raqamning kvadrati, masalan, 7 2 "etti kvadrat" yoki "etti sonining kvadrati" sifatida o'qiladi. Raqamning uchinchi darajasi deyiladi kubik raqamlar, masalan, 5 3 "besh kub" deb o'qilishi mumkin yoki siz "5 raqamining kubi" deb aytishingiz mumkin.
Olib kelish vaqti keldi tabiiy darajali darajalarga misollar. 5 7 darajadan boshlaylik, bu erda 5 daraja asosi, 7 esa ko'rsatkichdir. Yana bir misol keltiramiz: 4,32 asos, natural son 9 esa ko’rsatkich (4,32) 9 dir.
E'tibor bering, oxirgi misolda 4.32 kuchining asosi qavslar ichida yozilgan: nomuvofiqlikni oldini olish uchun biz natural sonlardan farq qiluvchi barcha quvvat asoslarini qavs ichiga qo'yamiz. Misol tariqasida tabiiy ko'rsatkichlar bilan quyidagi darajalarni beramiz 
, ularning asoslari natural sonlar emas, shuning uchun ular qavs ichida yoziladi. To'liq tushunarli bo'lishi uchun biz (−2) 3 va −2 3 ko'rinishdagi yozuvlardagi farqni ko'rsatamiz. (−2) 3 ifodasi −2 ning natural ko‘rsatkichi 3 ga teng bo‘lib, −2 3 (uni −(2 3) shaklida yozish mumkin) ifodasi 2 3 darajali songa mos keladi. .
E'tibor bering, a ^ n ko'rinishdagi n ko'rsatkichli a sonining kuchi uchun yozuv mavjud. Bundan tashqari, agar n ko'p qiymatli natural son bo'lsa, unda ko'rsatkich qavs ichida olinadi. Misol uchun, 4^9 49 kuchining yana bir belgisidir. “^” belgisi yordamida darajalarni yozishga yana bir qancha misollar: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Keyinchalik, biz birinchi navbatda a n shaklining daraja belgilaridan foydalanamiz.
Tabiiy ko'rsatkichli darajaga ko'tarishga teskari masalalardan biri kuchning ma'lum qiymati va ma'lum ko'rsatkichdan daraja asosini topish masalasidir. Bu vazifaga olib keladi.
Ma'lumki, ratsional sonlar to'plami butun va kasrlardan iborat bo'lib, har bir kasr musbat yoki manfiy oddiy kasr sifatida ifodalanishi mumkin. Oldingi paragrafda biz butun ko‘rsatkichli darajani aniqlagan edik, shuning uchun ratsional ko‘rsatkichli daraja ta’rifini yakunlash uchun m/n kasr ko‘rsatkichli a sonining darajasiga ma’no berishimiz kerak. m - butun son, n - natural son. Keling buni bajaramiz.
Keling, shaklning kasr ko'rsatkichi bilan darajani ko'rib chiqaylik. Quvvat-quvvat xususiyati amalda qolishi uchun tenglik amal qilishi kerak 
. Natijadagi tenglikni va qanday aniqlaganimizni hisobga olsak, berilgan m, n va a ifodasi uchun ma'noli bo'lishi sharti bilan uni qabul qilish mantiqan to'g'ri keladi.
Butun ko'rsatkichli darajaning barcha xossalari uchun haqiqiyligini tekshirish oson (bu ratsional darajali darajaning xususiyatlari bo'limida amalga oshirildi).
Yuqoridagi mulohazalar bizga quyidagilarni qilish imkonini beradi xulosa: agar m, n berilgan bo‘lsa va a ifoda ma’noli bo‘lsa, kasr ko‘rsatkichi m/n bo‘lgan a ning m ning n-darajali ildizi deyiladi.
Ushbu bayonot bizni kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifiga yaqinlashtiradi. Qolgan narsa m, n va a ifodasi nimani anglatishini tasvirlashdir. M, n va a ga qo'yilgan cheklovlarga qarab, ikkita asosiy yondashuv mavjud.
Eng oson yo'li musbat m uchun a≥0 va manfiy m uchun a>0 ni olish orqali a ga cheklov qo'yishdir (chunki m≤0 uchun m ning 0 darajasi aniqlanmagan). Keyin biz kasr ko'rsatkichli darajaning quyidagi ta'rifini olamiz.
Ta'rif.
Kasr ko'rsatkichi m/n bo'lgan musbat a sonining kuchi, bu yerda m butun son va n natural son, a sonining m darajasiga n-chi ildizi deyiladi, ya’ni.
Nolning kasr kuchi ham indikator ijobiy bo'lishi kerak bo'lgan yagona ogohlantirish bilan aniqlanadi.
Ta'rif.
Kasr musbat ko'rsatkichi m/n bilan nolning kuchi, bu yerda m musbat butun son va n natural son sifatida aniqlanadi 
.
Daraja aniqlanmaganda, ya'ni kasr manfiy ko'rsatkichli nol sonining darajasi mantiqiy bo'lmaydi.
Shuni ta'kidlash kerakki, kasr ko'rsatkichli darajaning bunday ta'rifi bilan bitta ogohlantirish bor: ba'zi salbiy a va ba'zi m va n uchun ifoda ma'noga ega va biz a≥0 shartini kiritish orqali bu holatlardan voz kechdik. Misol uchun, yozuvlar mantiqiy 
yoki , va yuqorida berilgan ta'rif bizni shaklning kasr ko'rsatkichi bo'lgan darajalar deyishga majbur qiladi 
mantiqiy emas, chunki baza salbiy bo'lmasligi kerak.
Kasr ko'rsatkichi m/n bilan darajani aniqlashning yana bir yondashuvi ildizning juft va toq ko'rsatkichlarini alohida ko'rib chiqishdir. Bu yondashuv qo'shimcha shartni talab qiladi: ko'rsatkichi ga teng bo'lgan a sonining kuchi, ko'rsatkichi mos keladigan qaytarilmas kasr bo'lgan a sonining kuchi deb hisoblanadi (bu shartning ahamiyatini quyida tushuntiramiz. ). Ya'ni, agar m/n qaytarilmas kasr bo'lsa, u holda har qanday natural k soni uchun daraja birinchi navbatda ga almashtiriladi.
Hatto n va musbat m uchun ifoda har qanday manfiy bo'lmagan a uchun ma'noga ega (salbiy sonning juft ildizi mantiqiy emas); manfiy m uchun a soni baribir noldan farq qilishi kerak (aks holda bo'linish bo'ladi. nolga). Toq n va musbat m uchun esa a soni har qanday bo‘lishi mumkin (toq darajaning ildizi har qanday haqiqiy son uchun aniqlanadi), manfiy m uchun esa a soni noldan farq qilishi kerak (shunda bo‘linish bo‘lmaydi). nol).
Yuqoridagi mulohaza bizni kasr ko'rsatkichli darajaning ushbu ta'rifiga olib keladi.
Ta'rif.
m/n qaytarilmas kasr, m butun son va n natural son bo‘lsin. Har qanday kamaytiriladigan kasr uchun daraja bilan almashtiriladi. Kamaytirilmas kasr ko'rsatkichi m/n bo'lgan sonning kuchi uchun
Keling, nima uchun kamaytiriladigan kasr ko'rsatkichli daraja birinchi navbatda kamaytirilmaydigan darajali darajaga almashtirilishini tushuntirib beraylik. Agar biz darajani oddiygina deb belgilagan bo'lsak va m/n kasrning qaytarilmasligi haqida shart qo'ymagan bo'lsak, unda biz quyidagiga o'xshash vaziyatlarga duch kelgan bo'lardik: 6/10 = 3/5 bo'lgani uchun, u holda tenglik saqlanishi kerak. 
, Lekin 
, A .
Kuchlar jadvali 2 (ikki) 0 dan 32 gacha
Quyidagi jadvalda ikkita quvvatga qo'shimcha ravishda ma'lum miqdordagi bitlar uchun kompyuter saqlashi mumkin bo'lgan maksimal raqamlar ko'rsatilgan. Bundan tashqari, ham butun sonlar, ham imzolangan raqamlar uchun.
Tarixan kompyuterlar ikkilik sanoq sistemasidan va shunga mos ravishda ma'lumotlarni saqlashdan foydalangan. Shunday qilib, har qanday sonni nollar va birliklar (axborot bitlari) ketma-ketligi sifatida ifodalash mumkin. Raqamlarni ikkilik ketma-ketlik sifatida ifodalashning bir necha usullari mavjud.
Keling, ulardan eng oddiyini ko'rib chiqaylik - bu musbat butun son. Keyin yozishimiz kerak bo'lgan raqam qanchalik katta bo'lsa, bizga kerak bo'lgan bitlar ketma-ketligi shunchalik uzun bo'ladi.
Quyida 2-sonli kuchlar jadvali. Bu bizga raqamlarni saqlashimiz kerak bo'lgan kerakli miqdordagi bitlar haqida ma'lumot beradi.
Qanday ishlatish ikkinchi raqamli kuchlar jadvali?
Birinchi ustun ikkining kuchi, bu bir vaqtning o'zida raqamni ifodalovchi bitlar sonini bildiradi.
Ikkinchi ustun - qiymat mos quvvatga ikki (n).
2 ning kuchini topishga misol. Birinchi ustunda 7 raqamini topamiz.O'ngdagi chiziq bo'ylab qaraymiz va qiymatni topamiz ikkidan ettinchi darajagacha(2 7) 128 ga teng
Uchinchi ustun - berilgan sonli bitlar yordamida ifodalanishi mumkin bo'lgan maksimal son(birinchi ustunda).
Maksimal belgisiz butun sonni aniqlashga misol. Oldingi misoldagi ma'lumotlardan foydalanib, biz 2 7 = 128 ekanligini bilamiz. Agar biz nimani tushunmoqchi bo'lsak, bu to'g'ri raqamlar miqdori, yetti bit yordamida ifodalanishi mumkin. Ammo, beri birinchi raqam nolga teng, keyin etti bit yordamida ifodalanishi mumkin bo'lgan maksimal raqam 128 - 1 = 127. Bu uchinchi ustunning qiymati.
| Ikkining kuchi (n) | Ikki qiymatli quvvat 2n | Maksimal imzosiz raqam n bit bilan yozilgan |
Imzolangan maksimal raqam n bit bilan yozilgan |
| 0 | 1 | - | - |
| 1 | 2 | 1 | - |
| 2 | 4 | 3 | 1 |
| 3 | 8 | 7 | 3 |
| 4 | 16 | 15 | 7 |
| 5 | 32 | 31 | 15 |
| 6 | 64 | 63 | 31 |
| 7 | 128 | 127 | 63 |
| 8 | 256 | 255 | 127 |
| 9 | 512 | 511 | 255 |
| 10 | 1 024 | 1 023 | 511 |
| 11 | 2 048 | 2 047 | 1023 |
| 12 | 40 96 | 4 095 | 2047 |
| 13 | 8 192 | 8 191 | 4095 |
| 14 | 16 384 | 16 383 | 8191 |
| 15 | 32 768 | 32 767 | 16383 |
| 16 | 65 536 | 65 535 | 32767 |
| 17 | 131 072 | 131 071 | 65 535 |
| 18 | 262 144 | 262 143 | 131 071 |
| 19 | 524 288 | 524 287 | 262 143 |
| 20 | 1 048 576 | 1 048 575 | 524 287 |
| 21 | 2 097 152 | 2 097 151 | 1 048 575 |
| 22 | 4 194 304 | 4 194 303 | 2 097 151 |
| 23 | 8 388 608 | 8 388 607 | 4 194 303 |
| 24 | 16 777 216 | 16 777 215 | 8 388 607 |
| 25 | 33 554 432 | 33 554 431 | 16 777 215 |
| 26 | 67 108 864 | 67 108 863 | 33 554 431 |
| 27 | 134 217 728 | 134 217 727 | 67 108 863 |
| 28 | 268 435 456 | 268 435 455 | 134 217 727 |
| 29 | 536 870 912 | 536 870 911 | 268 435 455 |
| 30 | 1 073 741 824 | 1 073 741 823 | 536 870 911 |
| 31 | 2 147 483 648 | 2 147 483 647 | 1 073 741 823 |
| 32 | 4 294 967 296 | 4 294 967 295 | 2 147 483 647 |
Biz raqamning kuchi nima ekanligini aniqladik. Endi biz uni qanday qilib to'g'ri hisoblashni tushunishimiz kerak, ya'ni. raqamlarni kuchga ko'taring. Ushbu materialda biz butun son, natural, kasr, ratsional va irratsional ko'rsatkichlar holatida darajalarni hisoblashning asosiy qoidalarini tahlil qilamiz. Barcha ta'riflar misollar bilan tasvirlanadi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Eksponentsiya tushunchasi
Keling, asosiy ta'riflarni shakllantirishdan boshlaylik.
Ta'rif 1
Eksponentsiya- bu ma'lum bir raqamning kuchining qiymatini hisoblash.
Ya'ni, "kuchning qadr-qimmatini hisoblash" va "qudratga ko'tarish" so'zlari bir xil ma'noni anglatadi. Shunday qilib, agar muammo "0, 5 sonini beshinchi darajaga ko'taring" deb aytilgan bo'lsa, buni "kuch (0, 5) 5 qiymatini hisoblang" deb tushunish kerak.
Endi biz bunday hisob-kitoblarni amalga oshirishda kuzatilishi kerak bo'lgan asosiy qoidalarni taqdim etamiz.
Tabiiy ko'rsatkichli sonning kuchi nima ekanligini eslaylik. Bazasi a va ko‘rsatkichi n bo‘lgan daraja uchun bu har biri a ga teng bo‘lgan n-sonli omillarning ko‘paytmasi bo‘ladi. Buni shunday yozish mumkin:
Darajaning qiymatini hisoblash uchun siz ko'paytirish amalini bajarishingiz kerak, ya'ni daraja asoslarini belgilangan necha marta ko'paytirishingiz kerak. Tabiiy ko'rsatkichli daraja tushunchasining o'zi tez ko'payish qobiliyatiga asoslangan. Keling, misollar keltiraylik.
1-misol
Vaziyat: ko'tarish - 2 quvvatga 4.
Yechim
Yuqoridagi ta'rifdan foydalanib, biz yozamiz: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Keyinchalik, biz faqat ushbu bosqichlarni bajarishimiz va 16 ni olishimiz kerak.
Keling, murakkabroq misolni olaylik.
2-misol
3 2 7 2 qiymatini hisoblang
Yechim
Ushbu yozuvni 3 2 7 · 3 2 7 sifatida qayta yozish mumkin. Ilgari biz shartda aytib o'tilgan aralash raqamlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni ko'rib chiqdik.
Keling, ushbu amallarni bajaramiz va javobni olamiz: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Agar muammo irratsional sonlarni tabiiy kuchga ko'tarish zarurligini ko'rsatsa, biz birinchi navbatda ularning asoslarini kerakli aniqlikdagi javobni olishimizga imkon beradigan raqamga yaxlitlashimiz kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
3-misol
p ning kvadratini bajaring.
Yechim
Birinchidan, uni yuzdan biriga yaxlitlaymiz. Keyin p 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Agar p ≈ 3 bo'lsa. 14159, keyin biz aniqroq natijaga erishamiz: p 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
E'tibor bering, irratsional sonlarning kuchlarini hisoblash zarurati amalda nisbatan kam uchraydi. Keyin javobni quvvat (ln 6) 3 ning o'zi sifatida yozishimiz yoki iloji bo'lsa o'zgartirishimiz mumkin: 5 7 = 125 5 .
Alohida-alohida, raqamning birinchi kuchi nima ekanligini ko'rsatish kerak. Bu erda siz birinchi darajaga ko'tarilgan har qanday raqam o'zi bo'lib qolishini eslashingiz mumkin:
Bu yozuvdan aniq 
.
Bu daraja asosiga bog'liq emas.
4-misol
Shunday qilib, (− 9) 1 = − 9 va birinchi darajaga ko'tarilgan 7 3 7 3 ga teng bo'lib qoladi.
Qulaylik uchun biz uchta holatni alohida ko'rib chiqamiz: agar ko'rsatkich musbat butun son bo'lsa, nol bo'lsa va manfiy butun bo'lsa.
Birinchi holda, bu tabiiy kuchga ko'tarilish bilan bir xil: axir, musbat butun sonlar natural sonlar to'plamiga tegishli. Biz yuqorida bunday darajalar bilan qanday ishlash haqida gapirgan edik.
Keling, nol kuchga qanday qilib to'g'ri ko'tarish kerakligini ko'rib chiqaylik. Noldan boshqa baza uchun bu hisob har doim 1 ni chiqaradi. Biz avvalroq a ning 0-darajasi 0 ga teng bo'lmagan har qanday haqiqiy son va 0 = 1 uchun aniqlanishi mumkinligini tushuntirgan edik.
5-misol
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - aniqlanmagan.
Bizda faqat butun manfiy ko'rsatkichli daraja holati qoladi. Bunday darajalarni 1 a z kasr shaklida yozish mumkinligini yuqorida muhokama qildik, bu erda a har qanday son, z esa manfiy butun sondir. Biz bu kasrning maxraji musbat butun ko'rsatkichli oddiy darajadan boshqa narsa emasligini ko'ramiz va biz uni qanday hisoblashni allaqachon bilib oldik. Keling, topshiriqlarga misollar keltiraylik.
6-misol
3 ni kuchga ko'taring - 2.
Yechim
Yuqoridagi ta'rifdan foydalanib, biz yozamiz: 2 - 3 = 1 2 3
Keling, bu kasrning maxrajini hisoblaymiz va 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 ni olamiz.
Keyin javob: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
7-misol
1,43 ni -2 quvvatga ko'taring.
Yechim
Keling, qayta shakllantiramiz: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
Kvadratni maxrajda hisoblaymiz: 1,43·1,43. O'nlik kasrlarni shu tarzda ko'paytirish mumkin: 
Natijada (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 ni oldik. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu natijani oddiy kasr shaklida yozish, buning uchun biz uni 10 mingga ko'paytirishimiz kerak (kasrlarni aylantirish bo'yicha materialga qarang).
Javob: (1, 43) - 2 = 10000 20449
Maxsus holat - bu raqamni minus birinchi darajaga ko'tarish. Bu darajaning qiymati bazaning asl qiymatining o'zaro tengligiga teng: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.
8-misol
Misol: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Raqamni kasr darajasiga qanday oshirish mumkin
Bunday operatsiyani bajarish uchun kasr ko'rsatkichli darajaning asosiy ta'rifini esga olishimiz kerak: a m n = a m n har qanday musbat a, butun m va natural n uchun.
Ta'rif 2
Shunday qilib, kasr darajasini hisoblash ikki bosqichda bajarilishi kerak: butun son darajaga ko'tarish va n-darajaning ildizini topish.
Bizda a m n = a m n tenglik mavjud bo‘lib, u ildizlarning xossalarini hisobga olgan holda odatda a m n = a n m ko‘rinishidagi masalalarni yechishda qo‘llaniladi. Bu shuni anglatadiki, agar a sonni kasr darajasi m / n ga ko'tarsak, u holda birinchi navbatda a ning n-chi ildizini olamiz, keyin natijani m butun ko'rsatkichli darajaga ko'taramiz.
Keling, misol bilan tushuntiramiz.
9-misol
8 - 2 3 ni hisoblang.
Yechim
1-usul: Asosiy ta'rifga ko'ra, biz buni quyidagicha ifodalashimiz mumkin: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
Endi ildiz ostidagi darajani hisoblab chiqamiz va natijadan uchinchi ildizni chiqaramiz: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
2-usul. Asosiy tenglikni o'zgartiring: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
Shundan so'ng biz 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ildizni chiqaramiz va natijani kvadratga aylantiramiz: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Biz yechimlar bir xil ekanligini ko'ramiz. Siz uni xohlagan tarzda ishlatishingiz mumkin.
Darajada aralash raqam yoki o'nlik kasr sifatida ifodalangan ko'rsatkich bo'lgan holatlar mavjud. Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun uni oddiy kasr bilan almashtirish va yuqorida ko'rsatilgandek hisoblash yaxshiroqdir.
10-misol
44, 89 ni 2, 5 ning kuchiga ko'taring.
Yechim
Indikatorning qiymatini oddiy kasrga aylantiramiz - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.
Endi biz yuqorida ko'rsatilgan barcha amallarni tartibda bajaramiz: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 2 = 11101 = 13010 501, 25107
Javob: 13 501, 25107.
Agar kasr ko'rsatkichining payi va maxraji katta sonlarni o'z ichiga olsa, bunday ko'rsatkichlarni ratsional darajalar bilan hisoblash juda qiyin ishdir. Bu odatda kompyuter texnologiyasini talab qiladi.
Keling, nol asos va kasr ko'rsatkichli darajalarga alohida to'xtalib o'tamiz. 0 m n ko'rinishdagi ifodaga quyidagi ma'no berilishi mumkin: agar m n > 0 bo'lsa, u holda 0 m n = 0 m n = 0; agar m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Raqamni irratsional kuchga qanday oshirish mumkin
Ko'rsatkichi irratsional son bo'lgan kuchning qiymatini hisoblash zarurati tez-tez paydo bo'lmaydi. Amalda, vazifa odatda taxminiy qiymatni hisoblash bilan cheklanadi (ma'lum miqdordagi o'nli kasrlargacha). Bu odatda bunday hisob-kitoblarning murakkabligi tufayli kompyuterda hisoblab chiqiladi, shuning uchun biz bu haqda batafsil to'xtalmaymiz, biz faqat asosiy qoidalarni ko'rsatamiz.
Agar irratsional ko'rsatkichli a darajasining qiymatini hisoblashimiz kerak bo'lsa, u holda ko'rsatkichning o'nli yaqinligini olamiz va undan hisoblaymiz. Natijada taxminiy javob bo'ladi. O'nlik yaqinlik qanchalik aniq bo'lsa, javob shunchalik aniq bo'ladi. Keling, misol bilan ko'rsatamiz:
11-misol
21 ning taxminiy qiymatini hisoblang, 174367....
Yechim
Keling, a n = 1, 17 o'nlik yaqinlashuvi bilan cheklanamiz. Keling, ushbu raqam yordamida hisob-kitoblarni amalga oshiramiz: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Agar biz, masalan, a n = 1, 1743 taxminini olsak, javob biroz aniqroq bo'ladi: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Kalkulyator raqamni tezda onlayn quvvatga oshirishga yordam beradi. Darajaning asosi har qanday raqam bo'lishi mumkin (ham butun, ham real). Ko'rsatkich butun son yoki haqiqiy bo'lishi mumkin, shuningdek, ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Yodda tutingki, manfiy sonlar uchun butun son bo'lmagan darajaga ko'tarilish aniqlanmagan, shuning uchun agar siz urinib ko'rsangiz, kalkulyator xato haqida xabar beradi.
Diplom kalkulyatori
Hokimiyatga ko'taring
Ko'rsatkichlar: 28402
Sonning tabiiy kuchi nima?
Agar p a sonining o‘ziga n marta ko‘paytirilganiga teng bo‘lsa, p soni sonning n-darajasi deyiladi: p = a n = a·...·a
n - chaqirilgan ko'rsatkich, va a soni daraja asosi.
Raqamni tabiiy kuchga qanday oshirish mumkin?
Turli raqamlarni tabiiy kuchlarga qanday oshirishni tushunish uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqing:
1-misol. Uch raqamni to'rtinchi darajaga ko'taring. Ya'ni, 3 4 ni hisoblash kerak
Yechim: yuqorida aytib o'tilganidek, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Javob: 3 4 = 81 .
2-misol. Beshinchi raqamni beshinchi darajaga ko'taring. Ya'ni, 5 5 ni hisoblash kerak
Yechim: xuddi shunday, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Javob: 5 5 = 3125 .
Shunday qilib, sonni tabiiy darajaga ko'tarish uchun uni o'ziga n marta ko'paytirish kifoya.
Raqamning manfiy kuchi nima?
a ning manfiy -n kuchi a ning n darajasiga bo'lingan: a -n =.Bunday holda, salbiy kuch faqat nolga teng bo'lmagan raqamlar uchun mavjud, chunki aks holda nolga bo'linish sodir bo'ladi.
Raqamni manfiy butun son darajasiga qanday oshirish mumkin?
Nolga teng bo'lmagan raqamni manfiy darajaga ko'tarish uchun siz ushbu raqamning qiymatini bir xil musbat quvvatga hisoblashingiz va natijaga bir qismini bo'lishingiz kerak.
1-misol. Ikki raqamni salbiy to'rtinchi darajaga ko'taring. Ya'ni, siz 2 -4 ni hisoblashingiz kerak
Yechim: yuqorida aytilganidek, 2 -4 = = = 0,0625.Javob: 2 -4 = 0.0625 .
