Koordinatalar x aylana ustida yotgan nuqtalar cos(th) va koordinatalariga teng y sin(th) ga to'g'ri keladi, bu erda th - burchakning kattaligi.
- Agar sizga ushbu qoidani eslab qolish qiyin bo'lsa, esda tutingki, juftlikda (cos; sin) "sinus oxirgi keladi".
- Ushbu qoidani to'g'ri burchakli uchburchaklar va ushbu trigonometrik funktsiyalarning ta'rifi (burchakning sinusi qarama-qarshi tomon uzunligi va qo'shni tomonning kosinusining gipotenuzaga nisbatiga teng) ko'rib chiqilishi mumkin.
Doiradagi to'rtta nuqtaning koordinatalarini yozing."Birlik doira" - bu radiusi birga teng bo'lgan doira. Bu koordinatalarni aniqlash uchun foydalaning x Va y koordinata o'qlarining doira bilan kesishgan to'rtta nuqtasida. Yuqorida, aniqlik uchun biz ushbu nuqtalarni "sharq", "shimoliy", "g'arbiy" va "janubiy" deb belgiladik, garchi ularning aniq nomlari yo'q.
- "Sharq" koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi (1; 0) .
- "Shimoliy" koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi (0; 1) .
- "G'arb" koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi (-1; 0) .
- "Janubiy" koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi (0; -1) .
- Bu oddiy grafikaga o'xshaydi, shuning uchun bu qiymatlarni yodlashning hojati yo'q, faqat asosiy printsipni eslab qoling.
Birinchi kvadrantdagi nuqtalarning koordinatalarini eslang. Birinchi kvadrant aylananing yuqori o'ng qismida joylashgan bo'lib, u erda koordinatalar joylashgan x Va y ijobiy qiymatlarni qabul qiling. Bu eslab qolishingiz kerak bo'lgan yagona koordinatalar:
To'g'ri chiziqlar chizing va ularning aylana bilan kesishgan nuqtalarining koordinatalarini aniqlang. Agar siz bitta kvadrant nuqtalaridan to'g'ri gorizontal va vertikal chiziqlar chizsangiz, bu chiziqlarning doira bilan kesishgan ikkinchi nuqtalari koordinatalarga ega bo'ladi. x Va y bir xil mutlaq qiymatlar bilan, lekin har xil belgilar bilan. Boshqacha qilib aytganda, siz birinchi kvadrant nuqtalaridan gorizontal va vertikal chiziqlar chizishingiz va aylana bilan kesishish nuqtalarini bir xil koordinatalar bilan belgilashingiz mumkin, lekin ayni paytda to'g'ri belgi uchun chap tomonda bo'sh joy qoldiring ("+" yoki "-").
Koordinatalar belgisini aniqlash uchun simmetriya qoidalaridan foydalaning."-" belgisini qaerga qo'yishni aniqlashning bir necha yo'li mavjud:
- Oddiy jadvallar uchun asosiy qoidalarni eslang. Eksa x chapda salbiy va o'ngda ijobiy. Eksa y pastdan salbiy va yuqoridan ijobiy;
- birinchi kvadrantdan boshlang va boshqa nuqtalarga chiziqlar torting. Agar chiziq o'qni kesib o'tsa y, muvofiqlashtirish x belgisini o'zgartiradi. Agar chiziq o'qni kesib o'tsa x, koordinataning belgisi o'zgaradi y;
- esda tutingki, birinchi kvadrantda barcha funksiyalar ijobiy, ikkinchi chorakda faqat sinus musbat, uchinchi chorakda faqat tangens musbat, to'rtinchi chorakda faqat kosinus musbat;
- Qaysi usuldan foydalansangiz, birinchi chorakda (+,+), ikkinchisida (-,+), uchinchisida (-,-) va to'rtinchisida (+,-) olish kerak.
Xato qilganingizni tekshiring. Quyida "maxsus" nuqtalarning koordinatalarining to'liq ro'yxati (koordinata o'qlaridagi to'rtta nuqtadan tashqari), agar siz birlik doirasi bo'ylab soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilsangiz. Esda tutingki, ushbu qiymatlarning barchasini aniqlash uchun faqat birinchi kvadrantdagi nuqtalarning koordinatalarini eslab qolish kifoya:
- birinchi kvadrant: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- ikkinchi kvadrant: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- uchinchi kvadrant: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- to'rtinchi kvadrant: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2))).
Agar siz allaqachon tanish bo'lsangiz trigonometrik doira , va siz shunchaki ma'lum elementlar haqida xotirangizni yangilashni xohlaysiz yoki butunlay sabrsiz bo'lsangiz, mana bu:
Bu erda biz hamma narsani bosqichma-bosqich batafsil tahlil qilamiz.
Trigonometrik doira hashamat emas, balki zaruratdir
Trigonometriya
Ko'pchilik uni o'tib bo'lmaydigan chakalakzor bilan bog'laydi. To'satdan, trigonometrik funktsiyalarning juda ko'p qiymatlari, juda ko'p formulalar to'planib qoldi ... Lekin bu boshida ishlamaganga o'xshaydi va ... biz ketamiz ... to'liq tushunmovchilik ...
Taslim bo'lmaslik juda muhim trigonometrik funksiyalarning qiymatlari, - deyishadi, siz har doim qiymatlar jadvali bilan shpurga qarashingiz mumkin.
Agar siz doimo trigonometrik formulalar qiymatlari bo'lgan jadvalga qarasangiz, keling, bu odatdan xalos bo'laylik!
U bizga yordam beradi! Siz u bilan bir necha marta ishlaysiz, keyin u sizning boshingizda paydo bo'ladi. Qanday qilib stoldan yaxshiroq? Ha, jadvalda siz cheklangan miqdordagi qiymatlarni topasiz, lekin aylanada - HAMMA!
Masalan, qaraganingizda ayting trigonometrik formulalar qiymatlarining standart jadvali , sinus nimaga teng, aytaylik, 300 daraja yoki -45.
Hechqisi yo'q?.. siz, albatta, ulanishingiz mumkin kamaytirish formulalari... Va trigonometrik doiraga qarab, bunday savollarga osongina javob berishingiz mumkin. Va tez orada qanday qilib bilib olasiz!
Va trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni trigonometrik doirasiz yechishda, bu mutlaqo hech qanday joyda emas.
Trigonometrik doira bilan tanishtirish
Keling, tartibda boraylik.
Birinchidan, keling, ushbu raqamlar qatorini yozamiz:
Va endi bu:
Va nihoyat, bu:
Albatta, aniqki, aslida birinchi o'rinda , ikkinchi o'rinda , va oxirgi o'rinda . Ya'ni, biz zanjirga ko'proq qiziqish bildiramiz.
Ammo bu qanday go'zal bo'lib chiqdi! Agar biror narsa yuz bersa, biz bu "mo''jizaviy narvon" ni tiklaymiz.
Va nima uchun bizga kerak?
Bu zanjir birinchi chorakda sinus va kosinusning asosiy qiymatlari hisoblanadi.
To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida birlik radiusi bo'lgan doira chizamiz (ya'ni uzunligi bo'yicha istalgan radiusni olamiz va uning uzunligini birlik deb e'lon qilamiz).
"0-Start" nuridan biz burchaklarni o'q yo'nalishi bo'yicha yotqizamiz (rasmga qarang).
Biz doira bo'ylab mos keladigan nuqtalarni olamiz. Shunday qilib, agar biz nuqtalarni har bir o'qga proyeksiya qilsak, yuqoridagi zanjirdan aniq qiymatlarni olamiz.
Nega bu, deb so'rayapsizmi?
Keling, hamma narsani tahlil qilmaylik. Keling, ko'rib chiqaylik tamoyili, bu sizga boshqa, shunga o'xshash vaziyatlarni engishga imkon beradi.
AOB uchburchagi to'rtburchak bo'lib, ni o'z ichiga oladi. Va bilamizki, b burchagiga qarama-qarshi tomonda gipotenuzaning yarmi kattalikdagi oyoq yotadi (bizda gipotenuza = aylananing radiusi, ya'ni 1 ga teng).
Bu AB= (va shuning uchun OM =) degan ma'noni anglatadi. Va Pifagor teoremasiga ko'ra
Umid qilamanki, biror narsa allaqachon aniq bo'ladimi?
Shunday qilib, B nuqtasi qiymatga, M nuqtasi esa qiymatga mos keladi
Birinchi chorakning boshqa qiymatlari bilan bir xil.
Siz tushunganingizdek, tanish o'q (ho'kiz) bo'ladi kosinus o'qi, va o'q (oy) - sinuslar o'qi . Keyinchalik.
Kosinus o'qi bo'ylab nolning chap tomonida (sinus o'qi bo'ylab noldan pastda), albatta, salbiy qiymatlar bo'ladi.
Demak, mana, qudratli, usiz trigonometriyada hech qanday joy yo'q.
Ammo biz trigonometrik doiradan qanday foydalanish haqida gaplashamiz.
Trigonometriya fan sifatida Qadimgi Sharqda vujudga kelgan. Birinchi trigonometrik nisbatlar astronomlar tomonidan yulduzlar tomonidan aniq taqvim va yo'nalish yaratish uchun olingan. Ushbu hisoblar sferik trigonometriya bilan bog'liq, maktab kursida esa ular tekis uchburchakning tomonlari va burchaklarining nisbatlarini o'rganadilar.
Trigonometriya - trigonometrik funksiyalarning xossalari hamda uchburchaklarning tomonlari va burchaklari oʻrtasidagi bogʻliqliklarni oʻrganuvchi matematikaning boʻlimi.
Milodiy 1-ming yillikda madaniyat va fanning gullab-yashnagan davrida bilimlar Qadimgi Sharqdan Yunonistonga tarqaldi. Ammo trigonometriyaning asosiy kashfiyotlari Arab xalifaligi odamlarining xizmatlaridir. Xususan, turkman olimi al-Marazviy tangens va kotangens kabi funksiyalarni kiritdi va sinuslar, tangenslar va kotangentlar uchun dastlabki qiymatlar jadvallarini tuzdi. Sinus va kosinus tushunchalari hind olimlari tomonidan kiritilgan. Trigonometriyaga Evklid, Arximed, Eratosfen kabi antik davrning buyuk arboblarining asarlarida katta e'tibor berilgan.
Trigonometriyaning asosiy miqdorlari
Raqamli argumentning asosiy trigonometrik funktsiyalari sinus, kosinus, tangens va kotangensdir. Ularning har biri o'z grafigiga ega: sinus, kosinus, tangens va kotangens.
Ushbu miqdorlarning qiymatlarini hisoblash uchun formulalar Pifagor teoremasiga asoslanadi. Maktab o'quvchilariga "Hamma yo'nalishda teng Pifagor shimlari" formulasi ko'proq ma'lum, chunki dalil teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak misolida keltirilgan.
Sinus, kosinus va boshqa munosabatlar har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklari va tomonlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. Keling, A burchak uchun bu miqdorlarni hisoblash uchun formulalarni keltiramiz va trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi munosabatlarni kuzatamiz:
Ko'rib turganingizdek, tg va ctg teskari funktsiyalardir. Agar a oyog'ini sin A va gipotenuza c ko'paytmasi, b oyog'ini cos A * c deb tasavvur qilsak, tangens va kotangens uchun quyidagi formulalarni olamiz:
Trigonometrik doira
Grafik jihatdan ko'rsatilgan miqdorlar o'rtasidagi munosabatni quyidagicha ifodalash mumkin:
Aylana, bu holda, a burchagining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini ifodalaydi - 0 ° dan 360 ° gacha. Rasmdan ko'rinib turibdiki, har bir funktsiya burchakka qarab manfiy yoki ijobiy qiymat oladi. Masalan, agar a aylananing 1 va 2 choraklariga tegishli bo'lsa, ya'ni 0° dan 180° gacha bo'lgan oraliqda bo'lsa, sin a «+» belgisiga ega bo'ladi. 180° dan 360° gacha (III va IV chorak) a uchun sin a faqat manfiy qiymat bo'lishi mumkin.
Keling, aniq burchaklar uchun trigonometrik jadvallar tuzishga harakat qilaylik va miqdorlarning ma'nosini bilib olaylik.
30°, 45°, 60°, 90°, 180° va boshqalarga teng a qiymatlari maxsus holatlar deyiladi. Ular uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari hisoblab chiqiladi va maxsus jadvallar ko'rinishida taqdim etiladi.
Bu burchaklar tasodifan tanlanmagan. Jadvallardagi p belgisi radyanlar uchundir. Rad - aylana yoyi uzunligi uning radiusiga mos keladigan burchak. Ushbu qiymat universal bog'liqlikni o'rnatish uchun kiritilgan; radianlarda hisoblashda radiusning smdagi haqiqiy uzunligi muhim emas.
Trigonometrik funktsiyalar uchun jadvallardagi burchaklar radian qiymatlariga mos keladi:
Shunday qilib, 2p to'liq aylana yoki 360 ° ekanligini taxmin qilish qiyin emas.
Trigonometrik funksiyalarning xossalari: sinus va kosinus
Sinus va kosinus, tangens va kotangensning asosiy xossalarini ko'rib chiqish va solishtirish uchun ularning funktsiyalarini chizish kerak. Buni ikki o'lchovli koordinatalar tizimida joylashgan egri chiziq shaklida bajarish mumkin.
Sinus va kosinus xususiyatlarining qiyosiy jadvalini ko'rib chiqing:
| Sinus to'lqini | Kosinus |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, x = pk uchun, bu erda k s Z | cos x = 0, x = p/2 + pk uchun, bu erda k s Z |
| sin x = 1, x = p/2 + 2pk uchun, bu erda k s Z | cos x = 1, x = 2pk da, bu erda k s Z |
| sin x = - 1, x = 3p/2 + 2pk da, bu erda k s Z | cos x = - 1, x = p + 2pk uchun, bu erda k s Z |
| sin (-x) = - sin x, ya'ni funksiya toq | cos (-x) = cos x, ya'ni funksiya juft |
| funksiya davriy, eng kichik davri 2p | |
| sin x › 0, x 1 va 2 choraklarga tegishli yoki 0° dan 180° gacha (2pk, p + 2pk) | cos x › 0, x bilan I va IV choraklarga tegishli yoki 270° dan 90° gacha (- p/2 + 2pk, p/2 + 2pk) |
| sin x ‹ 0, x uchinchi va to'rtinchi choraklarga tegishli yoki 180° dan 360° gacha (p + 2pk, 2p + 2pk) | cos x ‹ 0, x 2 va 3 choraklarga tegishli yoki 90° dan 270° gacha (p/2 + 2pk, 3p/2 + 2pk) |
| [- p/2 + 2pk, p/2 + 2p] oraliqda ortadi. | [-p + 2pk, 2pk] oraliqda ortadi |
| [p/2 + 2pk, 3p/2 + 2p] oraliqlarda kamayadi | intervallarda kamayadi |
| hosila (sin x)’ = cos x | hosila (cos x)’ = - sin x |
Funksiyaning juft yoki juft emasligini aniqlash juda oddiy. Trigonometrik miqdorlarning belgilari bilan trigonometrik doirani tasavvur qilish va grafikni OX o'qiga nisbatan aqliy ravishda "katlash" kifoya. Agar belgilar bir-biriga to'g'ri kelsa, funktsiya juft, aks holda toq bo'ladi.
Radianlarning kiritilishi va sinus va kosinus to'lqinlarining asosiy xususiyatlarining ro'yxati bizga quyidagi naqshni taqdim etishga imkon beradi:
Formulaning to'g'riligini tekshirish juda oson. Misol uchun, x = p/2 uchun sinus 1 ga teng, x = 0 ning kosinasi kabi. Tekshirish jadvallarga murojaat qilish yoki berilgan qiymatlar uchun funktsiya egri chizig'ini kuzatish orqali amalga oshirilishi mumkin.
Tangensoidlar va kotangentsoidlarning xossalari
Tangens va kotangens funksiyalarning grafiklari sinus va kosinus funksiyalaridan sezilarli farq qiladi. tg va ctg qiymatlari bir-biriga o'zaro bog'liqdir.
- Y = tan x.
- Tangens x = p/2 + pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
- Tangentoidning eng kichik musbat davri p dir.
- Tg (- x) = - tg x, ya'ni funksiya toq.
- Tg x = 0, x = p uchun.
- Funktsiya ortib bormoqda.
- Tg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
- Tg x ‹ 0, x s uchun (— p/2 + pk, pk).
- Hosil (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Matndagi kotangentoidning grafik tasvirini ko'rib chiqing.
Kotangentoidlarning asosiy xususiyatlari:
- Y = karavot x.
- Sinus va kosinus funktsiyalaridan farqli o'laroq, tangentoidda Y barcha haqiqiy sonlar to'plamining qiymatlarini olishi mumkin.
- Kotangentoid x = pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
- Kotangentoidning eng kichik musbat davri p ga teng.
- Ctg (- x) = - ctg x, ya'ni funksiya toq.
- Ctg x = 0, x = p/2 + pk uchun.
- Funktsiya pasaymoqda.
- Ctg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
- Ctg x ‹ 0, x s uchun (p/2 + pk, pk).
- Hosil (ctg x)’ = - 1/sin 2 x To'g'ri
Trigonometrik doira. Birlik doirasi. Raqamli doira. Bu nima?
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
ichidagi materiallar Maxsus bo'lim 555.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Juda tez-tez atamalar trigonometrik doira, birlik doirasi, son doirasi talabalar tomonidan yomon tushuniladi. Va mutlaqo behuda. Bu tushunchalar trigonometriyaning barcha sohalarida kuchli va universal yordamchi hisoblanadi. Aslida, bu qonuniy aldash varag'i! Men trigonometrik doira chizdim va darhol javoblarni ko'rdim! Jozibalimi? Shunday qilib, o'rganamiz, bunday narsani ishlatmaslik gunoh bo'ladi. Bundan tashqari, bu umuman qiyin emas.
Trigonometrik doira bilan muvaffaqiyatli ishlash uchun siz faqat uchta narsani bilishingiz kerak.
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
