15.02.202427.05.2017

Dispersiyani tahlil qilish

1. Dispersiyani tahlil qilish tushunchasi

Dispersiyani tahlil qilish har qanday boshqariladigan o'zgaruvchan omillar ta'sirida belgining o'zgaruvchanligini tahlil qilish. Xorijiy adabiyotlarda dispersiya tahlili ko‘pincha ANOVA deb ataladi, u o‘zgaruvchanlikni tahlil qilish (Analysis of Variance) deb tarjima qilinadi.

ANOVA muammosi belgining umumiy o'zgaruvchanligidan boshqa turdagi o'zgaruvchanlikni ajratishdan iborat:

a) o'rganilayotgan mustaqil o'zgaruvchilarning har birining ta'siridan kelib chiqadigan o'zgaruvchanlik;

b) o'rganilayotgan mustaqil o'zgaruvchilarning o'zaro ta'siridan kelib chiqadigan o'zgaruvchanlik;

c) boshqa barcha noma'lum o'zgaruvchilar tufayli tasodifiy o'zgaruvchanlik.

O'rganilayotgan o'zgaruvchilarning harakati va ularning o'zaro ta'siri tufayli o'zgaruvchanlik tasodifiy o'zgaruvchanlik bilan bog'liq. Bu munosabatlarning ko'rsatkichi Fisherning F testidir.

F mezonini hisoblash formulasi dispersiyalarni baholashni, ya'ni atributning taqsimot parametrlarini o'z ichiga oladi, shuning uchun F mezon parametrik mezondir.

Belgining o'zgaruvchanligi o'rganilayotgan o'zgaruvchilar (omillar) yoki ularning o'zaro ta'siridan qanchalik ko'p bo'lsa, shuncha yuqori bo'ladi. empirik mezon qiymatlari.

Nol Dispersiyani tahlil qilishda gipoteza o'rganilayotgan samarali xarakteristikaning o'rtacha qiymatlari barcha gradatsiyalarda bir xil ekanligini bildiradi.

Muqobil gipoteza shuni ko'rsatadiki, o'rganilayotgan omilning turli darajalaridagi natijaviy xarakteristikaning o'rtacha qiymatlari har xil.

Dispersiyani tahlil qilish xarakteristikaning o'zgarishini aytishga imkon beradi, lekin ko'rsatmaydi yo'nalishi bu o'zgarishlar.

Dispersiya tahlilini ko'rib chiqishni faqat ning harakatini o'rganayotganda eng oddiy holatdan boshlaylik bitta o'zgaruvchan (bir omil).

2. Bog'liq bo'lmagan namunalar uchun dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish

2.1. Usulning maqsadi

Dispersiyani bir omilli tahlil qilish usuli omilning o'zgaruvchan sharoitlari yoki gradatsiyalari ta'sirida samarali xarakteristikaning o'zgarishi o'rganilgan hollarda qo'llaniladi. Usulning ushbu versiyasida omilning har bir gradatsiyasining ta'siri boshqacha mavzulardan namunalar. Faktorning kamida uchta gradatsiyasi bo'lishi kerak. (Ikki gradatsiya bo'lishi mumkin, ammo bu holda biz chiziqli bo'lmagan bog'liqliklarni o'rnatolmaymiz va oddiyroqlardan foydalanish oqilonaroq ko'rinadi).

Ushbu turdagi tahlilning parametrik bo'lmagan versiyasi Kruskal-Wallis H testidir.

Gipotezalar

H 0: Faktor darajalari orasidagi farqlar (turli shartlar) har bir guruh ichidagi tasodifiy farqlardan katta emas.

H 1: Faktor darajalari orasidagi farqlar (turli shartlar) har bir guruh ichidagi tasodifiy farqlardan kattaroqdir.

2.2. Bir-biriga bog'liq bo'lmagan namunalar uchun dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish cheklovlari

1. Dispersiyaning bir tomonlama tahlili omilning kamida uchta gradatsiyasini va har bir gradatsiyada kamida ikkita mavzuni talab qiladi.

2. Olingan xarakteristika o'rganilayotgan namunada normal taqsimlanishi kerak.

To'g'ri, biz butun o'rganilayotgan namunada yoki uning dispersiya kompleksini tashkil etuvchi qismida xarakteristikaning tarqalishi haqida gapirayapmizmi, odatda ko'rsatilmaydi.

3. Misol yordamida bog'liq bo'lmagan namunalar uchun dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish usuli yordamida masalani yechish misoli:

Oltita mavzudan iborat uchta turli guruhga o'nta so'zdan iborat ro'yxatlar berildi. Birinchi guruhga so‘zlar past tezlikda – 5 soniyada 1 so‘z, ikkinchi guruhga o‘rtacha tezlikda – 2 soniyada 1 so‘z, uchinchi guruhga esa yuqori tezlikda – soniyada 1 so‘z taqdim etildi. Reproduksiya samaradorligi so'zlarni taqdim etish tezligiga bog'liq bo'lishi taxmin qilingan. Natijalar jadvalda keltirilgan. 1.

Qayta ishlab chiqarilgan so'zlar soni 1-jadval

Mavzu raqami.	past tezlik	o'rtacha tezlik	yuqori tezlik








umumiy qiymat

H 0: So'zlarni ishlab chiqarish oralig'idagi farqlar orasida guruhlar tasodifiy farqlardan ko'ra aniqroq emas ichida har bir guruh.

H1: So'z ishlab chiqarish hajmidagi farqlar orasida guruhlar tasodifiy farqlarga qaraganda aniqroq ichida har bir guruh. Jadvalda keltirilgan eksperimental qiymatlardan foydalanish. 1, biz F mezonini hisoblash uchun zarur bo'lgan ba'zi qiymatlarni o'rnatamiz.

Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish uchun asosiy miqdorlarni hisoblash jadvalda keltirilgan:

jadval 2

3-jadval

Bir-biriga bog'liq bo'lmagan namunalar uchun dispersiyani bir tomonlama tahlil qilishda operatsiyalar ketma-ketligi

Ko'pincha ushbu va keyingi jadvallarda topilgan SS belgisi "kvadratlar yig'indisi" ning qisqartmasi hisoblanadi. Ushbu qisqartma ko'pincha tarjima manbalarida qo'llaniladi.

SS haqiqat o‘rganilayotgan omil ta’siridan xarakterning o‘zgaruvchanligini bildiradi;

SS umuman- belgining umumiy o'zgaruvchanligi;

S C.A.-hisobga olinmagan omillar ta'sirida o'zgaruvchanlik, "tasodifiy" yoki "qoldiq" o'zgaruvchanlik.

XONIM- "o'rtacha kvadrat" yoki kvadratlar yig'indisining matematik taxmini, mos keladigan SS ning o'rtacha qiymati.

df - parametrik bo'lmagan mezonlarni hisobga olgan holda biz yunoncha harf bilan belgilagan erkinlik darajalari soni v.

Xulosa: H 0 rad etiladi. H 1 qabul qilinadi. Guruhlar o'rtasidagi so'zlarni eslab qolishdagi farqlar har bir guruh ichidagi tasodifiy farqlardan ko'proq edi (a = 0,05). Shunday qilib, so'zlarni taqdim etish tezligi ularni ko'paytirish hajmiga ta'sir qiladi.

Excelda muammoni hal qilish misoli quyida keltirilgan:

Dastlabki ma'lumotlar:

Buyruq yordamida: Tools->Ma'lumotlarni tahlil qilish->Bir tomonlama ANOVA, biz quyidagi natijalarga erishamiz:

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, dispersiya usuli statistik guruhlarga chambarchas bog'liq bo'lib, o'rganilayotgan populyatsiyaning ta'sirini o'rganish kerak bo'lgan omil xususiyatlariga ko'ra guruhlarga bo'linganligini taxmin qiladi.

Dispersiyani tahlil qilish asosida quyidagilar ishlab chiqariladi:

1. bir yoki bir nechta omillar xarakteristikalari bo'yicha guruh vositalaridagi farqlarning ishonchliligini baholash;

2. omillarning o'zaro ta'sirining ishonchliligini baholash;

3. vositalar juftlari orasidagi qisman farqlarni baholash.

Dispersiya tahlilini qo‘llash xarakteristikaning dispersiyalarini (variatsiyalarini) tarkibiy qismlarga ajratish qonuniga asoslanadi.

Guruhlash paytida olingan xarakteristikaning umumiy o'zgarishi D o quyidagi tarkibiy qismlarga bo'linishi mumkin:

1. guruhlarga D m guruhlash xarakteristikasi bilan bog'liq;

2. qoldiq uchun(guruh ichidagi) D B guruhlash xarakteristikasiga aloqador emas.

Ushbu ko'rsatkichlar o'rtasidagi bog'liqlik quyidagicha ifodalanadi:

D o = D m + D in. (1,30)

Keling, misol bilan dispersiya tahlilidan foydalanishni ko'rib chiqaylik.

Aytaylik, siz ekish sanalari bug'doy hosildorligiga ta'sir qiladimi yoki yo'qligini isbotlamoqchisiz. Dispersiyani tahlil qilish uchun dastlabki eksperimental ma'lumotlar jadvalda keltirilgan. 8.

8-jadval

Bu misolda N = 32, K = 4, l = 8.

Keling, rentabellikning umumiy o'zgarishini aniqlaymiz, bu individual xususiyat qiymatlarining umumiy o'rtacha qiymatdan kvadrat og'ishlarining yig'indisi:

bu erda N - aholi birliklari soni; Y i – individual hosildorlik qiymatlari; Y o - butun aholi uchun umumiy o'rtacha hosil.

O'rganilayotgan omil tufayli samarali xarakteristikaning o'zgarishini aniqlaydigan guruhlararo umumiy o'zgarishlarni aniqlash uchun har bir guruh uchun samarali xarakteristikaning o'rtacha qiymatlarini bilish kerak. Ushbu umumiy o'zgarish har bir guruhdagi populyatsiya birliklari soniga qarab, belgining umumiy o'rtacha qiymatidan guruh o'rtachalarining kvadratik og'ishlarining yig'indisiga teng:

Guruh ichidagi umumiy o'zgarishlar har bir guruh uchun guruh o'rtacha ko'rsatkichlaridan belgining individual qiymatlarining populyatsiyadagi barcha guruhlar bo'yicha yig'ilgan kvadratik og'ishlarining yig'indisiga teng.

Omilning natijaviy belgiga ta'siri Dm va Dv o'rtasidagi munosabatda namoyon bo'ladi: o'rganilayotgan belgi qiymatiga omilning ta'siri qanchalik kuchli bo'lsa, Dm shuncha katta bo'lsa, Dv shunchalik kam bo'ladi.

Dispersiyani tahlil qilish uchun belgining o'zgaruvchanlik manbalarini, manbalar bo'yicha o'zgaruvchanlik hajmini aniqlash va o'zgaruvchanlikning har bir komponenti uchun erkinlik darajalari sonini aniqlash kerak.

O'zgaruvchanlik miqdori allaqachon o'rnatilgan; endi o'zgaruvchanlik darajasining sonini aniqlash kerak. Erkinlik darajalari soni xarakteristikaning individual qiymatlarining o'rtacha qiymatidan mustaqil og'ishlari soni. ANOVA dagi kvadratik og'ishlarning umumiy yig'indisiga mos keladigan erkinlik darajalarining umumiy soni o'zgaruvchanlik komponentlariga bo'linadi. Shunday qilib, kvadrat og'ishlarning umumiy yig'indisi D o N - 1 = 31 ga teng o'zgaruvchanlik erkinlik darajalari soniga to'g'ri keladi. D m guruh o'zgarishi K - 1 ga teng o'zgaruvchanlik erkinlik darajalari soniga to'g'ri keladi. = 3. Guruh ichidagi qoldiq o'zgaruvchanlik N – K = 28 ga teng o'zgaruvchanlik erkinlik darajalari soniga mos keladi.

Endi kvadrat og'ishlar yig'indisini va erkinlik darajalari sonini bilib, biz har bir komponent uchun dispersiyalarni aniqlashimiz mumkin. Bu dispersiyalarni belgilaymiz: d m - guruh va d in - guruh ichidagi.

Ushbu dispersiyalarni hisoblab chiqqandan so'ng, biz omilning natijaviy xususiyatga ta'sirining ahamiyatini aniqlashga kirishamiz. Buning uchun nisbatni topamiz: d M / d B = F f,

F f miqdori deyiladi Fisher mezoni , jadval bilan solishtirganda, F jadvali. Yuqorida aytib o'tilganidek, agar F f > F jadvali bo'lsa, unda omilning samarali atributga ta'siri isbotlangan. Agar F f< F табл то можно утверждать, что различие между дисперсиями находится в пределах возможных случайных колебаний и, следовательно, не доказывает с достаточной вероятностью влияние изучаемого фактора.

Nazariy qiymat ehtimollik bilan bog'liq bo'lib, jadvalda uning qiymati hukmning ma'lum bir ehtimollik darajasida berilgan. Ilovada eng ko'p ishlatiladigan hukm ehtimoli uchun F ning mumkin bo'lgan qiymatini belgilashga imkon beruvchi jadval mavjud: "nol gipoteza" ning ehtimollik darajasi 0,05 ga teng. "Nol gipoteza" ehtimollari o'rniga, jadvalni omil ta'sirining ahamiyati 0,95 ehtimoli uchun jadval deb atash mumkin. Ehtimollik darajasini oshirish, taqqoslash uchun jadvalning yuqori F qiymatini talab qiladi.

F jadvalining qiymati taqqoslanayotgan ikki dispersiyaning erkinlik darajalari soniga ham bog'liq. Agar erkinlik darajalari soni cheksizlikka moyil bo'lsa, F jadvali birlikka intiladi.

F jadval qiymatlari jadvali quyidagicha tuzilgan: jadval ustunlari kattaroq dispersiya uchun o'zgaruvchanlik erkinlik darajalarini, qatorlar esa kichikroq (guruh ichidagi) dispersiya uchun erkinlik darajalarini ko'rsatadi. F ning qiymati o'zgaruvchanlik erkinligining tegishli darajalari ustuni va satrining kesishmasida topiladi.

Shunday qilib, bizning misolimizda F f = 21,3/3,8 = 5,6. 0,95 ehtimollik va erkinlik darajalari uchun F jadvalining jadvalli qiymati mos ravishda 3 va 28 ga teng, F jadvali = 2,95.

Eksperimental ravishda olingan F f qiymati 0,99 ehtimollik uchun ham nazariy qiymatdan oshib ketadi. Binobarin, ehtimolligi 0,99 dan yuqori bo'lgan tajriba o'rganilayotgan omilning hosilga ta'sirini isbotlaydi, ya'ni tajribani ishonchli, isbotlangan deb hisoblash mumkin va shuning uchun ekish vaqti bug'doy hosildorligiga sezilarli ta'sir ko'rsatadi. Optimal ekish davri 10 dan 15 maygacha bo'lgan davr deb hisoblanishi kerak, chunki aynan shu ekish davrida eng yaxshi hosil olingan.

Biz bitta xarakteristikaga ko'ra guruhlash va guruh ichida takroriy taqsimlashda dispersiyani tahlil qilish usulini ko'rib chiqdik. Biroq, ko'pincha tajriba uchastkasida tuproq unumdorligi bo'yicha ba'zi farqlar bo'lishi va hokazolar sodir bo'ladi. Shuning uchun, variantlardan birining ko'proq sonli uchastkalari eng yaxshi qismga tushishi va uning ko'rsatkichlari ortiqcha baholanishi mumkin bo'lgan vaziyat yuzaga kelishi mumkin. boshqa variantdan - eng yomoni va bu holatda natijalar tabiiy ravishda yomonroq bo'ladi, ya'ni kam baholanadi.

Eksperiment bilan bog'liq bo'lmagan sabablarga ko'ra yuzaga keladigan o'zgarishlarni istisno qilish uchun replikatsiyalardan (bloklardan) hisoblangan dispersiyani guruh ichidagi (qoldiq) dispersiyadan ajratish kerak.

Bu holda kvadrat og'ishlarning umumiy yig'indisi 3 ta komponentga bo'linadi:

D o = D m + D takrorlash + D dam olish. (1,33)

Bizning misolimiz uchun takrorlash natijasida yuzaga kelgan kvadratik og'ishlar yig'indisi teng bo'ladi:

Shunday qilib, kvadrat og'ishlarning haqiqiy tasodifiy yig'indisi quyidagilarga teng bo'ladi:

D dam = D in - D takrorlash; D dam = 106 - 44 = 62.

Qoldiq dispersiya uchun erkinlik darajalari soni 28 – 7 = 21 ga teng bo'ladi. Dispersiyani tahlil qilish natijalari jadvalda keltirilgan. 9.

9-jadval

F-mezonining 0,95 ehtimoli bo'yicha haqiqiy qiymatlari jadvalda keltirilgan qiymatlardan oshib ketganligi sababli, ekish sanalari va takrorlashlarning bug'doy hosildorligiga ta'siri muhim deb hisoblanishi kerak. Tajribani qurishning ko'rib chiqilayotgan usuli, agar sayt oldindan nisbiy moslashtirilgan sharoitlarga ega bo'lgan bloklarga bo'lingan va sinovdan o'tgan variantlar blok ichida tasodifiy tartibda taqsimlangan bo'lsa, tasodifiy bloklar usuli deyiladi.

Dispersiya tahlilidan foydalanib, natijaga nafaqat bitta omilning, balki ikki yoki undan ortiq omillarning ta'sirini o'rganishingiz mumkin. Bu holda dispersiya tahlili chaqiriladi dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlili .

Ikki tomonlama ANOVA ikkita bir faktorlidan u bilan farq qiladi quyidagi savollarga javob berishi mumkin:

1. 1 ikkala omil birgalikda qanday ta'sir qiladi?

2. Ushbu omillarning kombinatsiyasi qanday rol o'ynaydi?

Tajribaning dispersiyasi tahlilini ko'rib chiqamiz, unda bug'doy hosildorligiga nafaqat ekish muddati, balki navlarning ham ta'sirini aniqlash kerak (10-jadval).

10-jadval. Ekish muddati va navlarining bug'doy hosildorligiga ta'siri bo'yicha tajriba ma'lumotlari

individual qiymatlarning umumiy o'rtacha qiymatdan kvadrat og'ishlarining yig'indisi.

Ekish vaqti va navining birgalikdagi ta'sirining o'zgarishi

- bu kichik guruh vositalarining takrorlanishlar soniga, ya'ni 4 ga og'irlikdagi umumiy o'rtacha qiymatdan kvadratik og'ishlarining yig'indisidir.

Faqat ekish sanalari ta'siriga asoslangan o'zgarishlarni hisoblash:

Qoldiq o'zgaruvchanlik umumiy o'zgarish va o'rganilayotgan omillarning birgalikdagi ta'siridan kelib chiqadigan o'zgarishlar o'rtasidagi farq sifatida aniqlanadi:

D dam = D o - D ps = 170 - 96 = 74.

Barcha hisob-kitoblar jadval shaklida taqdim etilishi mumkin (11-jadval).

Jadval 11. Dispersiyani tahlil qilish natijalari

Dispersiyani tahlil qilish natijalari shuni ko'rsatadiki, o'rganilayotgan omillarning, ya'ni ekish vaqti va navining bug'doy hosildorligiga ta'siri muhim, chunki omillarning har biri uchun haqiqiy F-mezonlari tegishli darajalar uchun topilgan jadvalda keltirilgan mezonlardan sezilarli darajada oshadi. erkinlik va shu bilan birga ancha yuqori ehtimollik bilan (p = 0,99). Bu holda omillar kombinatsiyasining ta'siri yo'q, chunki omillar bir-biridan mustaqildir.

Natijaga uchta omilning ta'sirini tahlil qilish ikkita omil uchun bo'lgani kabi bir xil printsip bo'yicha amalga oshiriladi, faqat bu holda omillar uchun uchta variatsiya va omillar kombinatsiyasi uchun to'rtta dispersiya bo'ladi. Omillar sonining ko'payishi bilan hisob-kitob ishlarining hajmi keskin oshadi va qo'shimcha ravishda, kombinatsiyalangan jadvalda dastlabki ma'lumotlarni tartibga solish qiyinlashadi. Shuning uchun dispersiya tahlili yordamida ko'p omillarning natijaga ta'sirini o'rganish qiyin; kichikroq raqamni olish yaxshidir, lekin iqtisodiy tahlil nuqtai nazaridan eng muhim omillarni tanlang.

Ko'pincha tadqiqotchi nomutanosib dispersiya komplekslari deb ataladigan, ya'ni variantlar sonining mutanosibligi kuzatilmaydiganlar bilan shug'ullanishi kerak.

Bunday komplekslarda omillarning umumiy ta'sirining o'zgarishi omillar o'rtasidagi o'zgarish va omillar kombinatsiyasining o'zgarishi yig'indisiga teng emas. U mutanosiblikning buzilishi natijasida yuzaga keladigan individual omillar o'rtasidagi bog'liqlik darajasiga qarab miqdor bilan farqlanadi.

Bunday holda, har bir omilning ta'sir darajasini aniqlashda qiyinchiliklar paydo bo'ladi, chunki individual ta'sirlar yig'indisi umumiy ta'sirga teng emas.

Nomutanosib kompleksni yagona tuzilishga qisqartirish usullaridan biri uni proportsional kompleks bilan almashtirishdir, bunda chastotalar guruhlar bo'yicha o'rtacha hisoblanadi. Bunday almashtirish amalga oshirilganda, muammo proportsional komplekslar tamoyillariga muvofiq hal qilinadi.

Dispersiyani tahlil qilish - bu ma'lum xususiyatlar va miqdoriy tavsifga ega bo'lmagan o'rganilayotgan omillar o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi farazlarni tekshirish, shuningdek omillarning ta'sir darajasini va ularning o'zaro ta'sirini aniqlash uchun mo'ljallangan statistik usullar to'plami. Ixtisoslashgan adabiyotlarda u ko'pincha ANOVA deb ataladi (inglizcha "Variatsiyalarni tahlil qilish" nomidan). Bu usul birinchi marta 1925 yilda R.Fisher tomonidan ishlab chiqilgan.

Dispersiyani tahlil qilish turlari va mezonlari

Bu usul sifat (nominal) belgilar va miqdoriy (uzluksiz) o'zgaruvchi o'rtasidagi bog'liqlikni o'rganish uchun ishlatiladi. Aslini olganda, u bir nechta namunalarning arifmetik vositalarining tengligi haqidagi gipotezani tekshiradi. Shunday qilib, uni bir vaqtning o'zida bir nechta namunalar markazlarini taqqoslash uchun parametrik mezon sifatida ko'rib chiqish mumkin. Agar bu usul ikkita namuna uchun ishlatilsa, dispersiyani tahlil qilish natijalari Student t-testi natijalari bilan bir xil bo'ladi. Biroq, boshqa mezonlardan farqli o'laroq, ushbu tadqiqot muammoni batafsilroq o'rganish imkonini beradi.

Statistikada dispersiyani tahlil qilish qonunga asoslanadi: birlashtirilgan tanlamaning kvadratik og'ishlari yig'indisi kvadratchali guruh ichidagi og'ishlar yig'indisiga va kvadratchalar guruhlararo og'ishlar yig'indisiga teng. Tadqiqotda guruhlararo va guruh ichidagi farqlar o'rtasidagi farqning ahamiyatini aniqlash uchun Fisher testidan foydalaniladi. Biroq, buning uchun zaruriy shartlar taqsimotning normalligi va namunalarning bir xilligi (dispersiyalarning tengligi) hisoblanadi. Dispersiyaning bir o'zgaruvchan (bir omilli) tahlili va ko'p o'lchovli (ko'p omilli) mavjud. Birinchisi, o'rganilayotgan qiymatning bir xususiyatga, ikkinchisi - bir vaqtning o'zida ko'pchilikka bog'liqligini ko'rib chiqadi va ular orasidagi bog'liqlikni aniqlashga imkon beradi.

Omillar

Omillar - bu yakuniy natijaga ta'sir qiluvchi boshqariladigan holatlar. Uning darajasi yoki ishlov berish usuli - bu holatning o'ziga xos namoyon bo'lishini tavsiflovchi qiymat. Ushbu raqamlar odatda nominal yoki tartibli o'lchov shkalasida taqdim etiladi. Ko'pincha chiqish qiymatlari miqdoriy yoki tartibli o'lchovlarda o'lchanadi. Keyin taxminan bir xil raqamli qiymatlarga mos keladigan bir qator kuzatuvlarda chiqish ma'lumotlarini guruhlash muammosi paydo bo'ladi. Agar guruhlar soni haddan tashqari ko'p bo'lsa, ulardagi kuzatuvlar soni ishonchli natijalarni olish uchun etarli bo'lmasligi mumkin. Agar siz raqamni juda kichik olsangiz, bu tizimga ta'sir qilishning muhim xususiyatlarini yo'qotishiga olib kelishi mumkin. Ma'lumotlarni guruhlashning o'ziga xos usuli qiymatlarning o'zgarishi miqdori va tabiatiga bog'liq. Bir o'zgaruvchan tahlilda oraliqlarning soni va hajmi ko'pincha teng oraliqlar printsipi yoki teng chastotalar printsipi bilan belgilanadi.

Dispersiya muammolarini tahlil qilish

Shunday qilib, ikki yoki undan ortiq namunalarni solishtirish kerak bo'lgan holatlar mavjud. Shunda dispersiya tahlilidan foydalanish tavsiya etiladi. Usulning nomi dispersiya komponentlarini o'rganish asosida xulosalar chiqarilishini ko'rsatadi. Tadqiqotning mohiyati shundaki, indikatorning umumiy o'zgarishi har bir alohida omilning ta'siriga mos keladigan tarkibiy qismlarga bo'linadi. Dispersiyaning tipik tahlili bilan echiladigan bir qator muammolarni ko'rib chiqamiz.

1-misol

Ustaxonada ma'lum bir qismni ishlab chiqaradigan bir qator avtomatik mashinalar mavjud. Har bir qismning o'lchami har bir mashinaning o'rnatilishiga va qismlarni ishlab chiqarish jarayonida yuzaga keladigan tasodifiy og'ishlarga bog'liq bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir. Qismlarning o'lchamlarini o'lchash ma'lumotlariga asoslanib, mashinalar bir xil tarzda tuzilgan yoki yo'qligini aniqlash kerak.

2-misol

Elektr moslamasini ishlab chiqarishda har xil turdagi izolyatsion qog'ozlardan foydalaniladi: kondansatör, elektr va boshqalar. Qurilma turli moddalar bilan singdirilishi mumkin: epoksi qatroni, lak, ML-2 smolasi va boshqalar. Oqishlarni vakuum ostida yo'q qilish mumkin. yuqori bosim, isitish bilan. Emprenye lakka botirish, lakning uzluksiz oqimi ostida va hokazolar orqali amalga oshirilishi mumkin.Elektr apparati umuman olganda ma'lum bir birikma bilan to'ldirilgan bo'lib, ulardan bir nechta variant mavjud. Sifat ko'rsatkichlari - izolyatsiyaning elektr quvvati, ish rejimida o'rashning haddan tashqari qizib ketish harorati va boshqalar. Qurilmalarni ishlab chiqarishning texnologik jarayonini ishlab chiqishda ro'yxatga olingan omillarning har biri qurilmaning ishlashiga qanday ta'sir qilishini aniqlash kerak.

3-misol

Trolleybus deposi bir nechta trolleybus yo‘nalishlariga xizmat ko‘rsatadi. Ularda turli rusumdagi trolleybuslar harakatlanadi, 125 nafar inspektor yo‘l haqi yig‘adi. Depo rahbariyatini savol qiziqtiradi: har bir nazoratchining (daromadning) iqtisodiy ko‘rsatkichlarini turli yo‘nalishlar va har xil turdagi trolleybuslarni hisobga olgan holda qanday solishtirish mumkin? Muayyan marshrutda ma'lum turdagi trolleybuslarni ishlab chiqarishning iqtisodiy maqsadga muvofiqligini qanday aniqlash mumkin? Har xil turdagi trolleybuslarda konduktor har bir marshrutda oladigan daromad miqdoriga qanday qilib oqilona talablarni belgilash mumkin?

Usulni tanlash vazifasi har bir omilning yakuniy natijaga ta'siri to'g'risida maksimal ma'lumotni qanday olish, bunday ta'sirning raqamli xususiyatlarini, ularning ishonchliligini minimal xarajatlar va eng qisqa vaqt ichida aniqlashdir. Dispersiyalarni tahlil qilish usullari bunday muammolarni hal qilishga imkon beradi.

Bir o'zgaruvchan tahlil

Tadqiqotning maqsadi ma'lum bir ishning tahlil qilingan ko'rib chiqishga ta'sirining hajmini baholashdir. Bir o'zgaruvchan tahlilning yana bir maqsadi ikki yoki undan ortiq holatlarni eslab qolishga ta'siridagi farqni aniqlash uchun bir-biri bilan solishtirish bo'lishi mumkin. Agar nol gipoteza rad etilsa, keyingi qadam olingan xususiyatlar uchun ishonch oraliqlarini hisoblash va qurishdir. Nol gipotezani rad etish mumkin bo'lmagan hollarda, odatda, u qabul qilinadi va ta'sirning tabiati haqida xulosa chiqariladi.

Dispersiyaning bir tomonlama tahlili Kruskal-Vallis darajali usulining parametrik bo'lmagan analogiga aylanishi mumkin. U 1952 yilda amerikalik matematik Uilyam Kruskal va iqtisodchi Uilson Uollis tomonidan ishlab chiqilgan. Ushbu mezon noma'lum, ammo o'rtacha qiymatlari teng bo'lgan o'rganilayotgan namunalarga ta'sirlar tengligining nol gipotezasini tekshirish uchun mo'ljallangan. Bunday holda, namunalar soni ikkitadan ko'p bo'lishi kerak.

Jonkhir-Terpstra mezoni 1952 yilda golland matematigi T. J. Terpstra va 1954 yilda britaniyalik psixolog E. R. Jonkhir tomonidan mustaqil ravishda taklif qilingan. Mavjud natijalar guruhlari ta'sirining o'sishi bilan tartibga solinganligi oldindan ma'lum bo'lganda qo'llaniladi. tartibli shkala bo'yicha o'lchanadigan o'rganilayotgan omil.

M - 1937 yilda ingliz statisti Moris Stivenson Bartlett tomonidan taklif qilingan Bartlett testi o'rganilayotgan namunalar olinadigan, odatda har xil o'lchamdagi (har birining soni) bir nechta oddiy populyatsiyalarning dispersiyalarining tengligi haqidagi nol gipotezani tekshirish uchun ishlatiladi. namuna kamida to'rtta bo'lishi kerak).

G - Kokran testi, uni 1941 yilda amerikalik Uilyam Gemmell Kokran kashf etgan. U teng o'lchamdagi mustaqil namunalarda oddiy populyatsiyalar dispersiyalarining tengligi haqidagi nol gipotezani tekshirish uchun ishlatiladi.

1960 yilda amerikalik matematik Xovard Leven tomonidan taklif qilingan parametrik bo'lmagan Leven testi o'rganilayotgan namunalar normal taqsimlanishiga ishonch bo'lmagan sharoitlarda Bartlett testiga muqobildir.

1974 yilda amerikalik statistik olimlar Morton B. Braun va Alan B. Forsythe Leven testidan biroz farq qiladigan testni (Braun-Forsythe testi) taklif qilishdi.

Ikki faktorli tahlil

Ikki tomonlama dispersiya tahlili tegishli normal taqsimlangan namunalar uchun qo'llaniladi. Amalda, ushbu usulning murakkab jadvallari ko'pincha qo'llaniladi, xususan, har bir katakda belgilangan darajadagi qiymatlarga mos keladigan ma'lumotlar to'plami (takroriy o'lchovlar) mavjud. Agar dispersiyaning ikki tomonlama tahlilini qoʻllash uchun zarur boʻlgan taxminlar bajarilmasa, u holda 1930-yil oxirida amerikalik iqtisodchi Milton Fridman tomonidan ishlab chiqilgan parametrik boʻlmagan Fridman darajali testidan foydalaning (Fridman, Kendall va Smit). Bu test turiga bogʻliq emas. tarqatish.

Qadriyatlarning taqsimlanishi bir xil va uzluksiz ekanligi va ularning o'zlari bir-biridan mustaqil ekanligi taxmin qilinadi. Nol gipotezani sinab ko'rishda chiqish ma'lumotlari to'rtburchaklar matritsa ko'rinishida taqdim etiladi, bunda qatorlar B omil darajalariga, ustunlar esa A darajalariga mos keladi. Jadvalning (blokning) har bir katagi bo'lishi mumkin. Bitta ob'ektda yoki ikkala omil darajasining doimiy qiymatlariga ega bo'lgan ob'ektlar guruhida parametrlarni o'lchash natijasi. Bunday holda, tegishli ma'lumotlar o'rganilayotgan namunaning barcha o'lchamlari yoki ob'ektlari uchun ma'lum bir parametrning o'rtacha qiymatlari sifatida taqdim etiladi. Chiqish mezonini qo'llash uchun o'lchovlarning bevosita natijalaridan ularning darajasiga o'tish kerak. Reyting har bir satr uchun alohida amalga oshiriladi, ya'ni qiymatlar har bir belgilangan qiymat uchun tartibga solinadi.

1963 yilda amerikalik statistik E. B. Peyj tomonidan taklif qilingan Peyj testi (L-testi) nol gipotezani tekshirish uchun mo'ljallangan. Katta namunalar uchun Page ning yaqinlashuvi qo'llaniladi. Ular, tegishli nol gipotezalarning haqiqatiga bo'ysunib, standart normal taqsimotga bo'ysunadilar. Agar manba jadvalining satrlari bir xil qiymatlarga ega bo'lsa, o'rtacha darajalardan foydalanish kerak. Bunday holda, xulosalarning aniqligi yomonroq bo'ladi, bunday o'yinlar soni qanchalik ko'p bo'lsa.

Q - Kokran mezoni, 1937 yilda V. Kokran tomonidan taklif qilingan. U bir hil sub'ektlar guruhlari ta'sirga duchor bo'lgan, ularning soni ikkitadan ortiq bo'lgan va qayta aloqa uchun ikkita variant mumkin bo'lgan hollarda qo'llaniladi - shartli salbiy (0) va. shartli ijobiy (1) . Nol gipoteza davolash effektlarining tengligidan iborat. Dispersiyaning ikki tomonlama tahlili davolash effektlarining mavjudligini aniqlash imkonini beradi, ammo bu ta'sir qaysi aniq ustunlar uchun mavjudligini aniqlashga imkon bermaydi. Ushbu muammoni hal qilish uchun tegishli namunalar uchun bir nechta Sheffe tenglamalari usuli qo'llaniladi.

Ko'p o'lchovli tahlil

Dispersiyani ko'p o'lchovli tahlil qilish muammosi ma'lum bir tasodifiy o'zgaruvchiga ikki yoki undan ortiq shartlarning ta'sirini aniqlash kerak bo'lganda paydo bo'ladi. Tadqiqot farq yoki nisbat shkalasida o'lchanadigan bitta bog'liq tasodifiy o'zgaruvchining va har biri nomlash yoki darajali shkalada ifodalangan bir nechta mustaqil o'zgaruvchilarning mavjudligini o'z ichiga oladi. Ma'lumotlarning dispersiyali tahlili - bu matematik statistikaning juda ko'p imkoniyatlarga ega bo'lgan etarlicha rivojlangan bo'limi. Tadqiqot kontseptsiyasi ham bir omilli, ham ko'p faktorli uchun umumiydir. Uning mohiyati shundan iboratki, umumiy dispersiya ma'lumotlarning ma'lum bir guruhlanishiga mos keladigan tarkibiy qismlarga bo'linadi. Har bir ma'lumotlarni guruhlash o'z modeliga ega. Bu erda biz faqat eng ko'p ishlatiladigan variantlarni tushunish va amaliy foydalanish uchun zarur bo'lgan asosiy qoidalarni ko'rib chiqamiz.

Omillarning tafovut tahlili kirish ma'lumotlarini to'plash va taqdim etishga, ayniqsa natijalarni sharhlashga juda ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lishni talab qiladi. Natijalari shartli ravishda ma'lum bir ketma-ketlikda joylashtirilishi mumkin bo'lgan bir faktorli testdan farqli o'laroq, ikki faktorli test natijalari yanada murakkab taqdimotni talab qiladi. Uch, to'rt yoki undan ortiq holatlar mavjud bo'lganda, vaziyat yanada murakkablashadi. Shu sababli, modelga uchta (to'rt) dan ortiq shartlarni kiritish juda kam uchraydi. Misol sifatida elektr doirasining sig'im va indüktansning ma'lum bir qiymatida rezonansning paydo bo'lishi mumkin; tizim qurilgan elementlarning ma'lum bir to'plami bilan kimyoviy reaktsiyaning namoyon bo'lishi; vaziyatlarning ma'lum bir tasodifida murakkab tizimlarda anomal effektlarning paydo bo'lishi. O'zaro ta'sirning mavjudligi tizim modelini tubdan o'zgartirishi va ba'zan eksperimentator shug'ullanayotgan hodisalarning tabiatini qayta ko'rib chiqishga olib kelishi mumkin.

Takroriy tajribalar bilan dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlili

O'lchov ma'lumotlarini ko'pincha ikkita emas, balki ko'proq omillar bo'yicha guruhlash mumkin. Shunday qilib, trolleybus g'ildiraklarining ishlash muddatining dispersiyaviy tahlilini sharoitlarni (ishlab chiqarish zavodi va shinalar ishlaydigan yo'nalish) hisobga olgan holda ko'rib chiqsak, unda biz alohida shart sifatida shinalar ishlab chiqarilgan mavsumni ajratib ko'rsatishimiz mumkin. shinalar ishlaydi (ya'ni: qishki va yozgi operatsiya). Natijada, bizda uch faktorli usul muammosi paydo bo'ladi.

Agar ko'proq shartlar mavjud bo'lsa, yondashuv ikki faktorli tahlil bilan bir xil bo'ladi. Barcha holatlarda ular modelni soddalashtirishga harakat qilishadi. Ikki omilning o'zaro ta'siri hodisasi unchalik tez-tez ko'rinmaydi va uch tomonlama o'zaro ta'sir faqat istisno hollarda sodir bo'ladi. Oldingi ma'lumotlar va ularni modelda hisobga olish uchun asosli sabablar mavjud bo'lgan o'zaro ta'sirlarni qo'shing. Alohida omillarni aniqlash va ularni hisobga olish jarayoni nisbatan sodda. Shuning uchun, ko'pincha ko'proq holatlarni ta'kidlash istagi bor. Siz bu bilan ovora bo'lmasligingiz kerak. Shartlar qancha ko'p bo'lsa, model shunchalik ishonchli bo'lmaydi va xatolik ehtimoli shunchalik yuqori bo'ladi. Ko'p sonli mustaqil o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan modelning o'zi talqin qilish uchun juda murakkab va amaliy foydalanish uchun noqulay bo'ladi.

Dispersiyani tahlil qilishning umumiy tushunchasi

Statistikada dispersiyani tahlil qilish - bu bir vaqtning o'zida ishlaydigan turli xil holatlarga bog'liq bo'lgan kuzatuv natijalarini olish va ularning ta'sirini baholash usuli. O'rganilayotgan ob'ektga ta'sir qilish usuliga mos keladigan va ma'lum vaqt oralig'ida ma'lum qiymatga ega bo'lgan boshqariladigan o'zgaruvchi omil deyiladi. Ular sifat va miqdoriy bo'lishi mumkin. Miqdoriy shartlarning darajalari sonli masshtabda ma'lum bir qiymatga ega bo'ladi. Masalan, harorat, bosim bosimi, moddaning miqdori. Sifat omillari turli moddalar, turli texnologik usullar, qurilmalar, plomba moddalardir. Ularning darajalari nomlar shkalasiga mos keladi.

Sifat shuningdek, qadoqlash materialining turini va dozalash shaklini saqlash sharoitlarini ham o'z ichiga olishi mumkin. Bundan tashqari, miqdoriy ahamiyatga ega bo'lgan, ammo miqdoriy shkala ishlatilsa, tartibga solish qiyin bo'lgan xom ashyoni maydalash darajasini, granulalarning fraksiyonel tarkibini kiritish oqilona. Sifat omillari soni dozalash shaklining turiga, shuningdek, dorivor moddalarning fizik va texnologik xususiyatlariga bog'liq. Masalan, tabletkalarni kristall moddalardan to'g'ridan-to'g'ri siqish orqali olish mumkin. Bunday holda, toymasin va moylash moddalarini tanlash kifoya.

Har xil turdagi dozalash shakllari uchun sifat omillariga misollar

Damlamalar. Ekstraktning tarkibi, ekstraktor turi, xom ashyoni tayyorlash usuli, ishlab chiqarish usuli, filtrlash usuli.
Ekstraktlar (suyuq, qalin, quruq). Ekstragentning tarkibi, ekstraktsiya usuli, o'rnatish turi, ekstraktor va balast moddalarini olib tashlash usuli.
Tabletkalar. Yordamchi moddalar, to'ldiruvchi, parchalovchi, bog'lovchi, moylash va moylash materiallarining tarkibi. Tabletkalarni olish usuli, texnologik jihozlar turi. Qobiq turi va uning tarkibiy qismlari, plyonka hosil qiluvchilar, pigmentlar, bo'yoqlar, plastifikatorlar, erituvchilar.
In'ektsiya uchun eritmalar. Erituvchi turi, filtrlash usuli, stabilizatorlar va konservantlarning tabiati, sterilizatsiya shartlari, ampulalarni to'ldirish usuli.
Suppozitorialar. Supozituar asosining tarkibi, shamlar ishlab chiqarish usuli, plomba moddalari, qadoqlash.
Malhamlar. Asosning tarkibi, konstruktiv komponentlari, malhamni tayyorlash usuli, jihozlarning turi, qadoqlash.
Kapsulalar. Qobiq materialining turi, kapsulalarni ishlab chiqarish usuli, plastifikator, konservant, bo'yoq turi.
Linimentlar. Tayyorlash usuli, tarkibi, uskuna turi, emulgator turi.
Suspenziyalar. Erituvchi turi, stabilizator turi, dispersiya usuli.

Planshet ishlab chiqarish jarayonida o'rganilgan sifat omillari va ularning darajalariga misollar

Pishiriq kukuni. Kartoshka kraxmal, oq loy, natriy gidrokarbonatning limon kislotasi bilan aralashmasi, asosiy magniy karbonat.
Bog'lovchi eritma. Suv, kraxmal pastasi, shakar siropi, metilselüloza eritmasi, gidroksipropilmetilselüloza eritmasi, polivinilpirolidon eritmasi, polivinil spirti eritmasi.
Sirpanuvchi modda. Aerosil, kraxmal, talk.
To'ldiruvchi. Shakar, glyukoza, laktoza, natriy xlorid, kaltsiy fosfat.
Yog '. Stearin kislotasi, polietilen glikol, kerosin.

Davlat raqobatbardoshligi darajasini o'rganishda variatsion tahlil modellari

Davlatning farovonligi va ijtimoiy-iqtisodiy rivojlanishi darajasi baholanadigan davlatning holatini baholashning eng muhim mezonlaridan biri bu raqobatbardoshlik, ya'ni milliy iqtisodiyotga xos bo'lgan xususiyatlar majmuidir. boshqa davlatlar bilan raqobatlashish qobiliyati. Davlatning jahon bozoridagi o'rni va rolini aniqlab, xalqaro miqyosda iqtisodiy xavfsizlikni ta'minlashning aniq strategiyasini belgilash mumkin, chunki bu Rossiya va jahon bozorining barcha ishtirokchilari: investorlar o'rtasidagi ijobiy munosabatlarning kalitidir. , kreditorlar va hukumatlar.

Davlatlarning raqobatbardoshlik darajasini solishtirish uchun mamlakatlar turli vaznli ko'rsatkichlarni o'z ichiga olgan murakkab indekslar yordamida tartiblanadi. Ushbu indekslar iqtisodiy, siyosiy va hokazo vaziyatga ta'sir qiluvchi asosiy omillarga asoslanadi. Davlat raqobatbardoshligini o'rganish uchun modellar to'plami ko'p o'lchovli statistik tahlil usullaridan (xususan, dispersiya tahlili (statistika), ekonometrik modellashtirish, qaror qabul qilish) foydalanishni o'z ichiga oladi va quyidagi asosiy bosqichlarni o'z ichiga oladi:

Ko'rsatkichlar tizimini shakllantirish.
Davlat raqobatbardoshlik ko'rsatkichlarini baholash va prognozlash.
Davlatlarning raqobatbardoshligi ko'rsatkichlarini taqqoslash.

Keling, ushbu kompleksning har bir bosqichining modellari mazmunini ko'rib chiqaylik.

Birinchi bosqichda ekspert tadqiqot usullaridan foydalangan holda, butun tizimning holatini aks ettiruvchi xalqaro reytinglar va statistika bo'limlari ma'lumotlari asosida uning rivojlanish xususiyatlarini hisobga olgan holda davlatning raqobatbardoshligini baholash uchun asosli iqtisodiy ko'rsatkichlar to'plami shakllantiriladi. va uning jarayonlari. Ushbu ko'rsatkichlarni tanlash amaliy nuqtai nazardan davlat darajasini, uning investitsion jozibadorligini va mavjud potentsial va haqiqiy tahdidlarni nisbiy mahalliylashtirish imkoniyatlarini aniqlashga imkon beradigan to'liqligini tanlash zarurati bilan oqlanadi.

Xalqaro reyting tizimlarining asosiy ko'rsatkichlari quyidagilardir:

Global raqobatbardoshlik (GC).
Iqtisodiy erkinlik (IES).
Inson taraqqiyoti (HRI).
Korruptsiyani idrok etish (CPC).
Ichki va tashqi tahdidlar (IVTH).
Xalqaro ta'sir salohiyati (IPIP).

Ikkinchi bosqich oʻrganilayotgan dunyoning 139 ta davlati boʻyicha xalqaro reytinglar boʻyicha davlat raqobatbardoshligi koʻrsatkichlarini baholash va prognozlashni nazarda tutadi.

Uchinchi bosqich korrelyatsiya va regressiv tahlil usullaridan foydalangan holda davlatlarning raqobatbardoshlik shartlarini taqqoslashni nazarda tutadi.

Tadqiqot natijalaridan foydalanib, davlat raqobatbardoshligining umumiy va alohida tarkibiy qismlari uchun jarayonlarning mohiyatini aniqlash mumkin; omillarning ta'siri va ularning munosabatlari haqidagi gipotezani tegishli ahamiyatga ega darajasida sinab ko'rish.

Taklif etilayotgan modellar to'plamini amalga oshirish nafaqat davlatlarning raqobatbardoshligi va investitsiya jozibadorligi darajasining hozirgi holatini baholash, balki boshqaruv kamchiliklarini tahlil qilish, noto'g'ri qarorlar qabul qilishda xatoliklarning oldini olish va inqiroz rivojlanishining oldini olish imkonini beradi. davlat.

Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish.

Dispersiyani tahlil qilish tushunchasi va modellari.

Mavzu 13. Dispersiya tahlili

Ma'ruza 1. Savollar:

Dispersiyani tahlil qilish tadqiqot usuli sifatida R.Fisherning (1918-1935) ishlarida qishloq xo’jaligidagi tadqiqotlar bilan bog’liq holda qishloq xo’jaligi ekinlarining sinovdan o’tgan navi maksimal hosil beradigan sharoitlarni aniqlashga qaratilgan. Dispersiyani tahlil qilish Yeats asarlarida yanada rivojlangan. Dispersiyani tahlil qilish bizga ma'lum omillar omilning o'zgaruvchanligiga sezilarli ta'sir qiladimi, degan savolga javob berishga imkon beradi, ularning qiymatlari tajriba natijasida olinishi mumkin. Statistik gipotezalarni sinab ko'rishda o'rganilayotgan omillarning tasodifiy o'zgarishlari qabul qilinadi. Dispersiyani tahlil qilishda bir yoki bir nechta omillar ma'lum tarzda o'zgartiriladi va bu o'zgarishlar kuzatish natijalariga ta'sir qilishi mumkin. Bunday ta'sirni o'rganish dispersiyani tahlil qilishning maqsadi hisoblanadi.

Hozirgi vaqtda iqtisod, sotsiologiya, biologiya va boshqalarda, ayniqsa, statistik hisob-kitoblarning noqulayligi muammolarini bartaraf etgan dasturiy ta'minot paydo bo'lgandan so'ng, dispersiya tahlilining tobora keng qo'llanilishi kuzatilmoqda.

Amaliy faoliyatda, fanning turli sohalarida biz ko'pincha turli omillarning ma'lum ko'rsatkichlarga ta'sirini baholash zarurati bilan duch kelamiz. Ko'pincha bu omillar sifatli xarakterga ega (masalan, iqtisodiy samaraga ta'sir qiluvchi sifat omili ishlab chiqarishni boshqarishning yangi tizimini joriy etish bo'lishi mumkin) va keyin dispersiya tahlili alohida ahamiyatga ega bo'ladi, chunki u tadqiqotning yagona statistik usuliga aylanadi. baholash.

Dispersiyani tahlil qilish ko'rib chiqilayotgan omillarning u yoki bu belgining o'zgaruvchanligiga sezilarli ta'sir ko'rsatishini aniqlashga, shuningdek, ularning umumiyligidagi har bir o'zgaruvchanlik manbasining "o'ziga xos og'irligini" miqdoriy baholashga imkon beradi. Ammo dispersiyani tahlil qilish bizga faqat muhim ta'sirning mavjudligi haqida ijobiy javob berishga imkon beradi, aks holda savol ochiq qoladi va qo'shimcha tadqiqotlarni talab qiladi (ko'pincha tajribalar sonining ko'payishi).

Dispersiyani tahlil qilishda quyidagi atamalar qo'llaniladi.

Faktor (X) Y natijaga (natijaviy atribut) ta'sir qilishi kerak deb hisoblagan narsadir.

Faktor darajasi (yoki qayta ishlash usuli, ba'zan tom ma'noda, masalan - ishlov berish usuli) - omil qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlar (X, i = 1,2,...I).

Javob - o'lchangan xarakteristikaning qiymati (natija qiymati Y).

ANOVA texnikasi o'rganilayotgan mustaqil omillar soniga qarab o'zgaradi. Agar xarakteristikaning o'rtacha qiymatida o'zgaruvchanlikni keltirib chiqaradigan omillar bitta manbaga tegishli bo'lsa, biz oddiy guruhlash yoki dispersiyaning bir omilli tahliliga ega bo'lamiz va keyin, shunga ko'ra, qo'sh guruhlash - ikki faktorli dispersiya, uch faktorli tahlil. dispersiyani tahlil qilish, ..., m-omil. Ko'p o'lchovli tahlildagi omillar odatda lotin harflari bilan belgilanadi: A, B, C va boshqalar.

Dispersiyani tahlil qilish vazifasi kuzatilgan tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha qiymatlarining o'zgaruvchanligiga ma'lum omillarning (yoki omillar darajalarining) ta'sirini o'rganishdir.

Dispersiya tahlilining mohiyati. Dispersiyani tahlil qilish o'zgaruvchanlikni keltirib chiqaradigan individual omillarni ajratish va baholashdan iborat. Buning uchun barcha oʻzgaruvchanlik manbalari taʼsirida yuzaga kelgan kuzatilayotgan qisman populyatsiyaning umumiy dispersiyasi (belgining umumiy dispersiyasi) mustaqil omillar taʼsirida hosil boʻlgan dispersiya komponentlariga ajraladi. Ushbu komponentlarning har biri umumiy populyatsiyadagi o'zgaruvchanlikning ma'lum bir manbasidan kelib chiqadigan , ,... dispersiyani baholashni ta'minlaydi. Ushbu komponentlar dispersiyasi baholarining ahamiyatini tekshirish uchun ular populyatsiyadagi umumiy dispersiya bilan solishtiriladi (Fisher testi).

Masalan, ikki faktorli tahlilda biz shaklning parchalanishini olamiz:

O'rganilayotgan belgining umumiy dispersiyasi C;

A omil ta'sirida yuzaga kelgan dispersiya ulushi;

B omil ta'siridan kelib chiqqan dispersiya ulushi;

A va B omillarning o'zaro ta'siridan kelib chiqadigan dispersiya nisbati;

Hisobga olinmagan tasodifiy sabablar tufayli yuzaga kelgan dispersiya ulushi (tasodifiy dispersiya);

Dispersiyani tahlil qilishda gipoteza ko'rib chiqiladi: H 0 - ko'rib chiqilayotgan omillarning hech biri belgining o'zgaruvchanligiga ta'sir qilmaydi. Har bir dispersiyani baholashning ahamiyati uning tasodifiy dispersiya bahosiga nisbati qiymati bilan tekshiriladi va Fisher-Snedecor F taqsimotining kritik qiymatlari jadvallari yordamida muhimlik a darajasida tegishli kritik qiymat bilan taqqoslanadi (4-ilova). . Agar F hisoblansa, u yoki bu o'zgaruvchanlik manbalariga tegishli H 0 gipotezasi rad etiladi. >F cr. (masalan, B omil uchun: S B 2 /S e 2 >F cr.).

Variant tahlili 3 turdagi tajribalarni ko'rib chiqadi:

a) barcha omillar tizimli (qat'iy) darajalarga ega bo'lgan tajribalar;

b) barcha omillar tasodifiy darajalarga ega bo'lgan tajribalar;

v) tasodifiy darajalarga ega bo'lgan omillar bilan bir qatorda qat'iy darajaga ega bo'lgan omillar mavjud bo'lgan tajribalar.

a), b), c) holatlar dispersiyani tahlil qilishda ko'rib chiqiladigan uchta modelga mos keladi.

Dispersiyani tahlil qilish uchun kirish ma'lumotlari odatda quyidagi jadval shaklida taqdim etiladi:

Kuzatish raqami j	Faktor darajalari
A 1	A 2	…	A r
	X 11	X 21	…	X p1
	X 12	X 22	…	Xp2
	X 13	X 23	…	X p3
.	.	.	…	…
.	.	.	…	…
.	.	.	…	…
n	X 1n	X2n	…	Xpn
NATIJALAR

Turli darajadagi p ni oladigan birlik omilini ko'rib chiqing va har bir darajada n ta kuzatuv o'tkazilib, N=np kuzatuvlar berilgan deb faraz qiling. (Biz dispersiyalarni tahlil qilishning birinchi modelini ko'rib chiqish bilan cheklanamiz - barcha omillar o'zgarmas darajaga ega.)

Natijalar X ij (i=1,2…,r; j=1,2,…,n) ko‘rinishda keltirilsin.

Har bir n ta kuzatuv darajasi uchun umumiy o'rtacha va tanlangan daraja tufayli uning o'zgarishi yig'indisiga teng bo'lgan o'rtacha qiymat mavjud deb taxmin qilinadi:

bu erda m - umumiy o'rtacha;

A i - omilning i – m darajasidan kelib chiqqan effekt;

e ij - individual omil darajasida natijalarning o'zgarishi. E ij atamasi barcha boshqarib bo'lmaydigan omillarni hisobga oladi.

Ruxsat etilgan omil darajasidagi kuzatishlar umumiy dispersiya s 2 bo'lgan o'rtacha m + A i atrofida normal taqsimlansin.

Keyin (indeks o'rniga nuqta ushbu indeks bo'yicha mos keladigan kuzatuvlarning o'rtacha qiymatini bildiradi):

A.X ij – X.. = (X i . – X..) + (X ij – X i .). (12.3)

Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, i va j ni yig'ib, biz quyidagilarga erishamiz:

beri, lekin

Aks holda, kvadratlar yig'indisi yozilishi mumkin: S = S 1 + S 2. S 1 qiymati p o'rtachalarning umumiy o'rtacha X dan og'ishidan hisoblanadi.., shuning uchun S 1 (p-1) erkinlik darajalariga ega. S 2 qiymati n ta kuzatuvning p namunaviy vositalardan chetlanishidan hisoblab chiqiladi va shuning uchun N-r = np - p=p(n-1) erkinlik darajalariga ega. S (N-1) erkinlik darajalariga ega. Hisoblash natijalari asosida dispersiyalarni tahlil qilish jadvali tuziladi.

ANOVA jadvali

Agar barcha darajalarning ta'siri teng degan gipoteza to'g'ri bo'lsa, u holda M 1 va M 2 (o'rtacha kvadratlar) s 2 ning xolis bahosi bo'ladi. Bu gipotezani nisbatni (M 1 / M 2) hisoblash va uni F cr bilan solishtirish orqali tekshirish mumkinligini anglatadi. n 1 = (p-1) va n 2 = (N-p) erkinlik darajalari bilan.

Agar F hisoblangan bo'lsa >F cr. , keyin kuzatishlar natijasiga A omilning ahamiyatsiz ta'siri haqidagi faraz qabul qilinmaydi.

F hisobidagi farqlarning ahamiyatini baholash uchun. F jadvali hisoblash:

a) eksperimental xato

b) vositalar farqidagi xatolik

c) eng kichik muhim farq

Variantlar uchun o'rtacha qiymatlardagi farqni NSR bilan taqqoslab, ular o'rtacha qiymatlar darajasidagi farqlar sezilarli degan xulosaga kelishadi.

Izoh. Dispersiya tahlilidan foydalanish quyidagilarni nazarda tutadi:

2) D(e ij)=s 2 = const,

3) e ij → N (0, s) yoki x ij → N (a, s).

Analitik statistik

7.1 Dispersiyani tahlil qilish. 2

Usulning ushbu versiyasida sub'ektlarning turli namunalari gradatsiyalarning har birining ta'siriga duchor bo'ladi. Faktorning kamida gradatsiyalari bo'lishi kerak uch.

1-misol. Oltita mavzudan iborat uchta turli guruhga o'nta so'zdan iborat ro'yxatlar berildi. Birinchi guruhga so‘zlar past tezlikda – 5 soniyada 1 so‘z, ikkinchi guruhga o‘rtacha tezlikda – 2 soniyada 1 so‘z, uchinchi guruhga esa yuqori tezlikda – soniyada 1 so‘z taqdim etildi. Reproduksiya samaradorligi so'zlarni taqdim etish tezligiga bog'liq bo'lishi taxmin qilingan. Natijalar jadvalda keltirilgan. 1.

1-jadval. Qayta ishlab chiqarilgan so'zlar soni (tomonidan J. Greene, MD "Olivera, 1989, 99-bet)

Mavzu raqami.	1-guruh past tezlik	2-guruh o'rtacha tezlik	3-guruh yuqori tezlik






miqdor
o'rtacha	7,17	6,17	4,00
Umumiy qiymat

Dispersiyaning bir o'zgaruvchan tahlili gipotezalarni sinab ko'rish imkonini beradi:

H0 : so'z ishlab chiqarish hajmidagi farqlar orasida guruhlar tasodifiy farqlardan ko'ra aniqroq emas ichida har bir guruh

H 1 : So'z ishlab chiqarish hajmidagi farqlar orasida guruhlar tasodifiy farqlarga qaraganda aniqroq ichida har bir guruh.

Bir-biriga bog'liq bo'lmagan namunalar uchun dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish bo'yicha operatsiyalar ketma-ketligi:

1. hisoblaylik SS haqiqati- o'rganilayotgan omil ta'siridan kelib chiqadigan belgining o'zgaruvchanligi. Umumiy belgi SS - "kvadratlar yig'indisi" ning qisqartmasi ( kvadratlar yig'indisi ). Ushbu qisqartma ko'pincha tarjima qilingan manbalarda qo'llaniladi (qarang, masalan: Glass J., Stanley J., 1976).

,(1)

Bu erda T c - har bir shart uchun individual qiymatlar yig'indisi. Bizning misolimiz uchun 43, 37, 24 (1-jadvalga qarang);

s – omilning shartlari (gradatsiyalari) soni (=3);

n – har bir guruhdagi fanlar soni (=6);

N - individual qiymatlarning umumiy soni (=18);

Shaxsiy qiymatlarning umumiy yig'indisining kvadrati (=104 2 = 10816)

O'rtasidagi farqga e'tibor bering, unda barcha individual qiymatlar birinchi navbatda kvadratga aylantiriladi va keyin yig'iladi va jami yig'indini olish uchun individual qiymatlar birinchi navbatda yig'iladi va keyin bu yig'indi kvadratga olinadi.

(1) formuladan foydalanib, belgining haqiqiy o'zgaruvchanligini hisoblab, biz quyidagilarni olamiz:

2. hisoblaylik SS generali- belgining umumiy o'zgaruvchanligi:

(2)

3. tasodifiy (qoldiq) qiymatni hisoblashSS slHisobga olinmagan omillar ta'siri ostida:

(3)

4.erkinlik darajalari soni teng:

=3-1=2(4)

5."o'rta kvadrat" yoki SS kvadratlarining tegishli yig'indilarining o'rtacha qiymati quyidagilarga teng:

(5)

6.ma'nosi kriteriyalar statistikasi F em formuladan foydalanib hisoblang:

(6)

Bizning misolimiz uchun bizda bor : F em =15,72/2,11=7,45

7.aniqlash F tanqid statistik jadvallarga muvofiq Ilovalar 3 df 1 =k 1 =2 va df 2 =k 2 =15 uchun statistikaning jadval qiymati 3,68 ga teng

8. agar F em< F kritik, keyin nol gipoteza qabul qilinadi, aks holda muqobil gipoteza qabul qilinadi. Bizning misolimiz uchun F em> F krit (7,45>3,68), shuning uchun b

Xulosa:Guruhlar o'rtasidagi so'zlarni eslab qolishdagi farqlar har bir guruhdagi tasodifiy farqlardan ko'ra aniqroqdir (p<0,05). Т.о. скорость предъявления слов влияет на объем их воспроизведения.

7.1.2 Tegishli namunalar uchun dispersiyani tahlil qilish

Tegishli namunalar uchun dispersiyani tahlil qilish usuli omillarning turli darajalari yoki turli xil sharoitlarning ta'siri bo'lgan hollarda qo'llaniladi. mavzularning bir xil namunasi. Faktorning kamida gradatsiyalari bo'lishi kerak uch.

Bunday holda, sub'ektlar o'rtasidagi farqlar farqlarning mumkin bo'lgan mustaqil manbai hisoblanadi. Tegishli namunalar uchun bir tomonlama ANOVAomillarning o'zgarishi egri chizig'i bilan ifodalangan tendentsiya yoki sub'ektlar o'rtasidagi individual farqlardan ustun bo'lgan narsani aniqlashga imkon beradi. Individual farqlar omili eksperimental sharoitlarning o'zgarishi omiliga qaraganda muhimroq bo'lishi mumkin.

2-misol.5 ta sub'ektdan iborat guruh intellektual qat'iyatni o'rganishga qaratilgan uchta eksperimental topshiriq yordamida tekshirildi (Sidorenko E. V., 1984). Har bir mavzu individual ravishda ketma-ket uchta bir xil anagramlar bilan taqdim etildi: to'rt harfli, besh harfli va olti harfli. Anagrammaning uzunlik omili uni hal qilishga urinishlar davomiyligiga ta'sir qiladi deb taxmin qilish mumkinmi?

2-jadval. Anagrammalarni yechish davomiyligi (sek)

Mavzu kodi	1-shart. to‘rt harfli anagramma	2-shart. Besh harfli anagramma	Shart 3. olti harfli anagramma	Sub'ektlar bo'yicha summalar





miqdor		1244		1342

Keling, gipotezalarni shakllantiraylik. Bunday holda, ikkita gipoteza to'plami mavjud.

A to'plami.

H 0 (A): Turli uzunlikdagi anagrammalarni echishga urinishlar davomiyligidagi farqlar tasodifiy sabablarga ko'ra farqlardan ko'ra aniqroq emas.

H 1 (A): Turli uzunlikdagi anagrammalarni echishga urinishlar davomiyligidagi farqlar tasodifiy sabablarga ko'ra farqlardan ko'ra aniqroqdir.

B to'plami.

N haqida (B): sub'ektlar o'rtasidagi individual farqlar tasodifiy sabablarga ko'ra farqlardan ko'ra aniqroq emas.

H 1 (B): sub'ektlar o'rtasidagi individual farqlar tasodifiy sabablarga ko'ra farqlarga qaraganda ko'proq aniqlanadi.

Tegishli namunalar uchun dispersiyani bir tomonlama tahlil qilishda operatsiyalar ketma-ketligi:

1. hisoblaylik SS haqiqati- (1) formula bo'yicha o'rganilayotgan omil ta'siridan kelib chiqqan belgining o'zgaruvchanligi.

Bu erda T c - har bir shart (ustun) uchun individual qiymatlar yig'indisi. Bizning misolimiz uchun 51, 1244, 47 (2-jadvalga qarang); s – omilning shartlari (gradatsiyalari) soni (=3); n – har bir guruhdagi fanlar soni (=5); N - individual qiymatlarning umumiy soni (=15); - individual qiymatlarning umumiy yig'indisining kvadrati (=1342 2)

2. hisoblaylik SS isp- sub'ektlarning individual qiymatlari tufayli belgining o'zgaruvchanligi.

Bu erda T va har bir mavzu uchun individual qiymatlar yig'indisi. Bizning misolimiz uchun 247, 631, 100, 181, 183 (2-jadvalga qarang); s – omilning shartlari (gradatsiyalari) soni (=3); N - individual qiymatlarning umumiy soni (=15);

3. hisoblaylik SS generali- (2) formula bo'yicha belgining umumiy o'zgaruvchanligi:

4. tasodifiy (qoldiq) qiymatni hisoblashSS sl, (3) formula bo'yicha hisobga olinmagan omillar ta'siri ostida:

5. erkinlik darajalari soni teng (4):

; ; ;

6. "o'rta kvadrat" yoki kvadratlar yig'indisini matematik kutish, SS kvadratlarining tegishli yig'indilarining o'rtacha qiymati (5) ga teng:

;

7. mezon statistik qiymati F em formula (6) yordamida hisoblang:

;

8. 3-ilovadagi statistik jadvallardan df 1 =k 1 =2 va df 2 =k 2 =8 statistikaning jadval qiymati F crit_fact =4,46, df 3 =k 3 =4 va df 2 =k uchun F kritini aniqlaymiz. 2 = 8 F crit_use =3.84

9. F em_fact> F kritik fakt (6.872>4.46), shuning uchun p muqobil gipoteza qabul qilinadi.

10. F em_use < F крит_исп (1,054<3,84), следовательно пNol gipoteza qabul qilinadi.

Xulosa:Turli xil sharoitlarda so'zlarni ko'paytirish hajmidagi farqlar tasodifiy sabablarga ko'ra farqlarga qaraganda ko'proq aniqlanadi (p).<0,05).Индивидуальные различия между испытуемыми являются не более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами.

7.2 Korrelyatsiya tahlili

7.2.1 Korrelyatsiya tushunchasi

Tadqiqotchi ko'pincha o'rganilayotgan bir yoki bir nechta namunadagi ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilar bir-biri bilan qanday bog'liqligi bilan qiziqadi. Masalan, tashvish darajasi yuqori bo'lgan o'quvchilar barqaror o'quv yutuqlarini namoyish qila oladimi yoki o'qituvchining maktabda ishlash muddati uning ish haqi miqdori bilan bog'liqmi yoki o'quvchilarning aqliy rivojlanish darajasiga ko'proq bog'liqmi - ularning matematika yoki adabiyot fanidan ishlash va hokazo.?

O'zgaruvchilar o'rtasidagi bunday bog'liqlik korrelyatsiya yoki korrelyatsiya deb ataladi. Korrelyatsiya ulanish- bu ikkita belgining muvofiqlashtirilgan o'zgarishi bo'lib, bir belgining o'zgaruvchanligi ikkinchisining o'zgaruvchanligiga mos kelishini aks ettiradi.

Ma'lumki, masalan, odamlarning bo'yi va vazni o'rtasida o'rtacha ijobiy bog'liqlik mavjud va bo'yi qanchalik katta bo'lsa, odamning vazni ham shunchalik ko'p bo'ladi. Biroq, bu qoidadan istisnolar mavjud bo'lib, nisbatan past bo'yli odamlar ortiqcha vaznga ega bo'lsa va aksincha, baland bo'yli astenik odamlar kam vaznga ega. Bunday istisnolarning sababi shundaki, har bir biologik, fiziologik yoki psixologik belgi ko'plab omillarning ta'siri bilan belgilanadi: ekologik, genetik, ijtimoiy, ekologik va boshqalar.

Korrelyatsion bog'lanishlar - bu matematik statistika usullaridan foydalangan holda faqat reprezentativ namunalarda o'rganilishi mumkin bo'lgan ehtimollik o'zgarishlari. "Ikkala atama", deb yozadi E.V. Sidorenko, - korrelyatsion bog'lanish va korrelyatsiya bog'liqligi- ko'pincha bir-birining o'rnida ishlatiladi. Bog'liqlik ta'sir, bog'lanish - yuzlab sabablar bilan izohlanishi mumkin bo'lgan har qanday muvofiqlashtirilgan o'zgarishlarni anglatadi. Korrelyatsiya bog'lanishlarini sabab-natija munosabatlarining dalili sifatida ko'rib chiqish mumkin emas, ular faqat bir xususiyatdagi o'zgarishlar, odatda, boshqasida ma'lum o'zgarishlar bilan birga bo'lishini ko'rsatadi;

Korrelyatsiya bog'liqligi - Bular bir xarakteristikaning qiymatlarini boshqa xarakteristikaning turli qiymatlari paydo bo'lish ehtimoliga kiritadigan o'zgarishlar (E.V. Sidorenko, 2000).

Korrelyatsiya tahlilining vazifasi o'zgaruvchan xususiyatlar o'rtasidagi munosabatlarning yo'nalishini (ijobiy yoki salbiy) va shaklini (chiziqli, chiziqli) aniqlash, uning yaqinligini o'lchash va nihoyat, olingan korrelyatsiya koeffitsientlarining ahamiyatlilik darajasini tekshirishdan iborat.

Korrelyatsiyalar turlicha shakl, yo'nalish va daraja (kuch) bo'yicha.

Shakl bo'yichakorrelyatsiya munosabati chiziqli yoki egri chiziqli bo'lishi mumkin. Misol uchun, simulyatordagi mashg'ulotlar soni va nazorat sessiyasidagi to'g'ri hal qilingan masalalar soni o'rtasidagi bog'liqlik to'g'ridan-to'g'ri bo'lishi mumkin. Misol uchun, motivatsiya darajasi va vazifaning samaradorligi o'rtasidagi bog'liqlik egri chiziqli bo'lishi mumkin (1-rasmga qarang). Motivatsiya ortib borishi bilan, birinchi navbatda, topshiriqni bajarish samaradorligi oshadi, keyin motivatsiyaning optimal darajasiga erishiladi, bu vazifani bajarishning maksimal samaradorligiga mos keladi; Motivatsiyaning yanada oshishi samaradorlikning pasayishi bilan birga keladi.

1-rasm. Muammoni hal qilish samaradorligi o'rtasidagi bog'liqlik

va motivatsion tendentsiyaning kuchi (J. V. A.ga ko'ra t k in o'g'li, 1974, 200-bet)

tomonkorrelyatsiya ijobiy ("to'g'ridan-to'g'ri") va salbiy ("teskari") bo'lishi mumkin. Ijobiy chiziqli korrelyatsiya bilan bir xususiyatning yuqori qiymatlari boshqasining yuqori qiymatlariga mos keladi va bir xususiyatning past qiymatlari boshqasining past qiymatlariga mos keladi. Salbiy korrelyatsiya bilan munosabatlar teskari bo'ladi. Ijobiy korrelyatsiya bilan korrelyatsiya koeffitsienti, masalan, ijobiy belgiga egar =+0,207, salbiy korrelyatsiya bilan - masalan, salbiy belgir = -0,207.

Daraja, kuch yoki zichlik korrelyatsiya aloqasi korrelyatsiya koeffitsientining qiymati bilan aniqlanadi.

Ulanishning mustahkamligi uning yo'nalishiga bog'liq emas va korrelyatsiya koeffitsientining mutlaq qiymati bilan belgilanadi.

Korrelyatsiya koeffitsientining maksimal mumkin bo'lgan mutlaq qiymatir =1,00; eng kam r =0,00.

Korrelyatsiyalarning umumiy tasnifi (Ivanter E.V., Korosov A.V., 1992 yilga ko'ra):

kuchli, yoki qattiq korrelyatsiya koeffitsienti bilanr >0,70;

o'rtacha da 0,50< r<0,69 ;

o'rtacha da 0,30< r<0,49 ;

zaif da 0,20< r<0,29 ;

juda zaif da r<0,19 .

X va Y o'zgaruvchilari turli shkalalarda o'lchanishi mumkin, bu tegishli korrelyatsiya koeffitsientini tanlashni belgilaydi (3-jadvalga qarang):

Jadval 3. O'zgaruvchilar turiga qarab korrelyatsiya koeffitsientidan foydalanish

Masshtab turi		Ulanish o'lchovi
X o'zgaruvchisi	Y o'zgaruvchisi
Interval yoki munosabat	Interval yoki munosabat	Pearson koeffitsienti
	Reyting, interval yoki nisbat	Spearman koeffitsienti
Reyting	Reyting	Kendall koeffitsienti
Dixotom	Dixotom	"j" koeffitsienti
Dixotom	Reyting	Ikki qatorli daraja
Dixotom	Interval yoki munosabat	Biserial

7.2.2 Pearson korrelyatsiya koeffitsienti

“Korrelyatsiya” atamasi fanga 1886-yilda taniqli ingliz tabiatshunosi Frensis Galton tomonidan kiritilgan. Biroq korrelyatsiya koeffitsientini hisoblashning aniq formulasini uning shogirdi Karl Pirson ishlab chiqqan.

Koeffitsient xarakteristikalar o'rtasida faqat chiziqli bog'liqlik mavjudligini tavsiflaydi, odatda X va Y belgilar bilan belgilanadi. Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash formulasi shunday tuzilganki, agar xarakteristikalar orasidagi bog'lanish chiziqli bo'lsa, Pearson koeffitsienti aniq belgilab beradi. bu munosabatlarning yaqinligi. Shuning uchun u Pearson chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti deb ham ataladi. Agar X va o'zgaruvchilar orasidagi bog'lanish Y chiziqli emas, u holda Pirson ushbu bog'lanishning yaqinligini baholash uchun korrelyatsiya deb ataladigan munosabatni taklif qildi.

Pearson chiziqli korrelyatsiya koeffitsientining qiymati +1 dan oshmasligi va -1 dan kam bo'lishi mumkin emas. Bu ikki raqam +1 va -1 korrelyatsiya koeffitsienti uchun chegaralardir. Hisoblash natijasida +1 dan katta yoki -1 dan kichik qiymat kelib chiqsa, hisob-kitoblarda xatolik yuz berdi.

Korrelyatsiya koeffitsientining belgisi natijaviy munosabatni izohlash uchun juda muhimdir. Yana bir bor ta'kidlab o'tamizki, agar chiziqli korrelyatsiya koeffitsientining belgisi plyus bo'lsa, u holda korrelyatsiya qiluvchi xususiyatlar o'rtasidagi munosabatlar shunday bo'ladiki, bir xususiyatning (o'zgaruvchining) kattaroq qiymati boshqa xususiyatning (boshqa o'zgaruvchining) katta qiymatiga mos keladi. Boshqacha qilib aytganda, agar bir ko'rsatkich (o'zgaruvchi) oshsa, ikkinchi ko'rsatkich (o'zgaruvchi) mos ravishda ortadi. Bu bog'liqlik to'g'ridan-to'g'ri proportsional bog'liqlik deyiladi.

Agar minus belgisi qabul qilinsa, u holda bir xarakteristikaning kattaroq qiymati boshqasining kichik qiymatiga to'g'ri keladi. Boshqacha qilib aytganda, minus belgisi mavjud bo'lsa, bir o'zgaruvchining (belgi, qiymat) ortishi boshqa o'zgaruvchining kamayishi bilan mos keladi. Bu bog'liqlik teskari proportsional bog'liqlik deyiladi.

Umuman olganda, korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash formulasi:

(7)

Qayerda X i- X namunasida olingan qiymatlar,

y i- Y namunasida qabul qilingan qiymatlar;

X uchun o'rtacha, - Y uchun o'rtacha.

Pearson korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash X va Y o'zgaruvchilari taqsimlanganligini nazarda tutadi. Yaxshi.

Formula (7) miqdorni o'z ichiga oladi ga bo'linganda n (X yoki Y o'zgaruvchining qiymatlari soni) deyiladi kovariatsiya. Formula (7) shuningdek, korrelyatsiya koeffitsientlarini hisoblashda X o'zgaruvchisi qiymatlari soni o'zgaruvchining qiymatlari soniga teng ekanligini taxmin qiladi. Y.

Erkinlik darajalari soni k = n -2.

3-misol. 10 nafar maktab o‘quvchilariga vizual-majoziy va og‘zaki fikrlash testlari topshirildi. Test topshiriqlarini echish uchun o'rtacha vaqt soniyalarda o'lchandi. Tadqiqotchini savol qiziqtiradi: bu muammolarni hal qilish uchun ketadigan vaqt o'rtasida bog'liqlik bormi? X o'zgaruvchisi vizual-majoziy topshiriqlarni echish uchun o'rtacha vaqtni, Y o'zgaruvchisi esa og'zaki test topshiriqlarini echish uchun o'rtacha vaqtni bildiradi.

Yechim. Dastlabki ma'lumotlarni 4-jadval ko'rinishida taqdim etamiz, unda formula (7) yordamida hisoblash uchun zarur bo'lgan qo'shimcha ustunlar mavjud.

4-jadval

Mavzular soni	x		x i -	(x i - ) 2	y men -	(y i -) 2
			16,7	278,89		51,84	120,24
				13,69	17,2	295,84	63,64
				7,29		51,84	19,44
				68,89		14,44	31,54
				59,29		7,84	21,56
				0,49		46,24	4,76
				10,89		17,64	13,86
				10,89		51,84	23,76
				68,89	10,8	116,64	89,64
				68,89	18,8	353,44	156,04
so'm	357	242		588,1		1007,6	416,6
O'rtacha	35,7	24,2

Biz (7) formuladan foydalanib, korrelyatsiya koeffitsientining empirik qiymatini hisoblaymiz:

Olingan korrelyatsiya koeffitsienti uchun kritik qiymatlarni 3-ilovadagi jadvalga muvofiq aniqlaymiz. Hisoblangan Pearson chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti uchun kritik qiymatlarni topishda erkinlik darajalari soni k = sifatida hisoblanadi. n – 2 = 8.

k kritik = 0,72 > 0,54, shuning uchun H 1 gipotezasi rad etiladi va gipoteza qabul qilinadi. H0 , boshqacha aytganda, vizual-majoziy va og'zaki test topshiriqlarini echish vaqti o'rtasidagi bog'liqlik isbotlanmagan.

7.3 Regressiya tahlili

Bu tasodifiy o'zgaruvchilar tizimida sodir bo'ladigan o'zgarishlar va bog'liqliklarni aniqlash va matematik tarzda ifodalashga qaratilgan usullar guruhidir. Agar bunday tizim pedagogikni modellashtirsa, demak, regressiya tahlili orqali psixologik-pedagogik hodisalar va ular orasidagi bog`liqliklar aniqlanadi va matematik tarzda ifodalanadi. Bu hodisalarning xarakteristikalari turli masshtablarda o‘lchanadi, bu esa o‘qituvchi-tadqiqotchi tomonidan o‘rganiladigan o‘zgarishlar va bog‘liqliklarni matematik ifodalash usullariga cheklovlar qo‘yadi.

Regression tahlil usullari, birinchi navbatda, barqaror normal taqsimot holatlari uchun mo'ljallangan, bunda sinovdan sudgacha bo'lgan o'zgarishlar faqat mustaqil sinovlar shaklida namoyon bo'ladi.

Regressiya tahlilining turli rasmiy muammolari aniqlanadi. Ular tuzilish, matematik vositalar va mehnat intensivligi jihatidan oddiy yoki murakkab bo'lishi mumkin. Keling, asosiy bo'lganlarni sanab o'tamiz va misollar bilan ko'rib chiqamiz.

Birinchi vazifa o'zgaruvchanlik faktini aniqlang ma'lum, lekin har doim ham aniq belgilanmagan sharoitlarda o'rganilayotgan hodisa. Oldingi ma'ruzada biz parametrik va parametrik bo'lmagan mezonlar yordamida bu muammoni hal qildik.

Ikkinchi vazifa - tendentsiyani aniqlang xarakteristikaning davriy o'zgarishi sifatida. Bu xususiyatning o'zi shart o'zgaruvchisiga bog'liq bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin (u tadqiqotchi tomonidan noma'lum yoki boshqarilmaydigan shartlarga bog'liq bo'lishi mumkin). Ammo bu ko'rib chiqilayotgan vazifa uchun muhim emas, bu faqat tendentsiya va uning xususiyatlarini aniqlash bilan chegaralanadi.

Trendning yo'qligi yoki mavjudligi haqidagi gipotezalarni sinash Abbe mezoni yordamida amalga oshirilishi mumkin . Abbe mezoni 4 uchun belgilangan o'rtacha qiymatlarning tengligi haqidagi farazlarni sinab ko'rish uchun mo'ljallangan

Abbe mezonining empirik qiymati quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

(8)

namunaning o'rtacha arifmetik qiymati qayerda;

P- namunadagi qiymatlar soni.

Mezonga ko'ra, agar statistikaning qiymati bo'lsa, vositalar tengligi gipotezasi rad etiladi (muqobil gipoteza qabul qilinadi). Statistikaning jadvalli (tanqidiy) qiymati Abbe q-mezoni jadvalidan aniqlanadi, bu qisqartmalar bilan L.N. kitobidan olingan. Bolysheva va N.V. Smirnova (3-ilovaga qarang).

Abbe mezoni qo'llanilishi mumkin bo'lgan bunday miqdorlar namunaviy ulushlar yoki foizlar, o'rtacha arifmetik ko'rsatkichlar va namunaviy taqsimotlarning boshqa statistik ma'lumotlari bo'lishi mumkin, agar ular normalga yaqin bo'lsa (yoki avval normallashtirilgan). Shuning uchun Abbe mezoni psixologik va pedagogik tadqiqotlarda keng qo'llanilishi mumkin. Keling, Abbe mezonidan foydalangan holda trendni aniqlash misolini ko'rib chiqaylik.

4-misol.Jadvalda 5 o'quvchilar foizining dinamikasini ko'rsatadi IV Universitet fakultetlaridan birida 10 yillik ish davomida qishki sessiyalarda imtihonlarni "a'lo" bilan topshirgan kurs, akademik ko'rsatkichlarni oshirish tendentsiyasi mavjudligini aniqlash kerak.

5-jadval. Fakultetning 10 yillik mehnat faoliyati davomida to‘rtinchi kurs a’lochi talabalari ulushining dinamikasi

O'quv yili
1995-96	10,8
1996-97	16,4
1997-98	17,4
1998-99	22,0
1999-00	23,0
2000-01	21,5
2001-02	26,1
2002-03	17,2
2003-04	27,5
2004-05	33,0

Sifatda null Biz tendentsiyaning yo'qligi, ya'ni foizlarning tengligi haqidagi gipotezani sinab ko'ramiz.

Biz jadvalda keltirilgan foizlarni o'rtacha hisoblaymiz. 5, biz =21,5 ekanligini topamiz. Biz namunadagi keyingi va oldingi qiymatlar o'rtasidagi farqlarni hisoblaymiz, ularni kvadratga aylantiramiz va ularni jamlaymiz:

Xuddi shunday har bir o'lchov va o'rtacha arifmetik o'rtasidagi farqlarning kvadratlarini yig'ib, (8) formuladagi maxrajni hisoblab chiqadi:

Endi (8) formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

3-ilovadagi Abbe mezonlari jadvalida biz n = 10 va muhimlik darajasi 0,05 bo'lsa, kritik qiymat biz olgan 0,41 dan katta ekanligini aniqlaymiz, shuning uchun "a'lo talabalar" foizining tengligi haqidagi gipoteza bo'lishi kerak. rad etilgan va biz tendentsiya mavjudligi haqidagi muqobil gipotezani qabul qilishimiz mumkin.

Uchinchi vazifa korrelyatsiya tenglamasi (regressiya) shaklida ifodalangan naqshni aniqlash.

5-misol.Estoniyalik tadqiqotchi J.Mikk matnni tushunishdagi qiyinchiliklarni o‘rganib, ko‘p chiziqli regressiya bo‘lgan “o‘qish formulasi”ni yaratdi:

Matnni tushunish qiyinligini baholash,

Bu erda x 1 - bosilgan belgilar sonidagi mustaqil jumlalar uzunligi,

x 2 - turli xil notanish so'zlarning foizi,

x 3 - otlar bilan ifodalangan takrorlanuvchi tushunchalarning mavhumligi .

Omillarning ta'sir darajasini ifodalovchi regressiya koeffitsientlarini solishtirsak, matnni tushunish qiyinligi birinchi navbatda uning mavhumligi bilan belgilanishini ko'rish mumkin. Matnni tushunish qiyinligi ikki baravar (0,27) notanish so'zlar soniga bog'liq va amalda gapning uzunligiga umuman bog'liq emas.