На площині прямі називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок, тобто вони не перетинаються. Для позначення паралельності використовують значок || (Паралельні прямі a || b).
Для прямих, що лежать у просторі, вимоги відсутності загальних точок недостатньо – щоб вони у просторі були паралельними, вони повинні належати одній площині (інакше вони схрещуються).
За прикладами паралельних прямих далеко йти не треба, вони супроводжують нас всюди, в кімнаті – це лінії перетину стіни зі стелею та підлогою, на зошитовому листі – протилежні краї тощо.
Цілком очевидно, що, маючи паралельність двох прямих і третю пряму, паралельну до однієї з перших двох, вона буде паралельна і другою.
Паралельні прямі пов'язані на площині твердженням, яке не доводиться за допомогою аксіом планіметрії. Його приймають як факт, як аксіома: для будь-якої точки на площині, що не лежить на прямій, існує єдина пряма, яка проходить через неї паралельно даній. Цю аксіому знає кожен шестикласник.
Її просторове узагальнення, тобто твердження, що для будь-якої точки у просторі, що не лежить на прямій, існує єдина пряма, яка проходить через неї паралельно даній, легко доводиться за допомогою вже відомої нам аксіоми паралельності на площині.
Властивості паралельних прямих
- Якщо будь-яка з паралельних двох прямих паралельна до третьої, то вони взаємно паралельні.
Ця властивість має паралельні прямі і на площині, і в просторі.
Як приклад розглянемо його обґрунтування у стереометрії.
Допустимо паралельність прямих b і з прямою a.
Випадок, коли всі прямі лежать в одній площині залишимо планіметрії.
Припустимо, a і b належать площині бета, а гамма - площину, якій належать a і з (за визначенням паралельності у просторі прямі повинні належати одній площині).
Якщо припустити, що площини бетта і гамма різні і відзначити на прямій b з бетта певну точку B, то площина, проведена через точку B і пряму з повинна перетнути площину бета по прямій (позначимо її b1).
Якби отримана пряма b1 перетинала площину гамма, то, з одного боку, точка перетину повинна була б лежати на a, оскільки b1 належить площині бета, а з іншого вона повинна належати і з, оскільки b1 належить третій площині.
Але ж паралельні прямі і з перетинатися не повинні.
Таким чином, пряма b1 повинна належати площині бета і при цьому не мати спільних точок a, отже, згідно з аксіомою паралельності, вона збігається з b.
Ми отримали пряму b пряму b1, яка належить одній і тій же площині з прямою с і при цьому її не перетинає, тобто b і с - паралельні
- Через точку, яка не лежить на заданій прямій, паралельна даній може проходити лише одна єдина пряма.
- Дві прямі паралельні, що лежать на площині перпендикулярно третій.
- За умови перетину площини однієї з паралельних двох прямих, цю ж площину перетинає друга пряма.
- Відповідні і навхрест лежачі внутрішні кути, утворені перетином паралельних двох прямих третьої, рівні, сума у внутрішніх односторонніх при цьому дорівнює 180°.
Вірні та зворотні твердження, які можна прийняти за ознаки паралельності двох прямих.
Умови паралельності прямих
Сформульовані вище властивості та ознаки є умовами паралельності прямих, і їх цілком можна довести методами геометрії. Інакше висловлюючись, задля доказу паралельності двох наявних прямих досить довести їх паралельність третьої прямої чи рівність кутів, чи то відповідних чи навхрест лежачих, тощо.
Для доказу переважно використовують метод «від неприємного», тобто з припущення, що прямі непаралельні. Виходячи з цього припущення, легко можна показати, що в цьому випадку порушуються задані умови, наприклад, навхрест внутрішні кути, що лежать, виявляються нерівними, що і доводить некоректність зробленого припущення.
Ознаки паралельності двох прямих
Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих січні:
навхрест лежачі кути рівні, або
відповідні кути рівні, або
сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то
прямі паралельні(Рис.1).
Доведення. Обмежимося підтвердженням випадку 1.
Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути, що лежать, рівні. Наприклад, ∠4 = ∠6. Доведемо, що а || b.
Припустимо, що прямі а та b не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М і, отже, один із кутів 4 або 6 буде зовнішнім кутом трикутника АВМ. Нехай для визначеності ∠4 – зовнішній кут трикутника АВМ, а ∠6 – внутрішній. З теореми про зовнішній вугіллі трикутника випливає, що ∠4 більше ∠6, а це суперечить умові, отже, прямі а і 6 не можуть перетинатися, тому вони паралельні.
Наслідок 1 . Дві різні прямі на площині, перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, паралельні(Рис.2).
Зауваження. Спосіб, яким ми щойно довели випадок 1 теореми 1, називається методом доказу від неприємності або приведенням до безглуздості. Першу назву цей спосіб отримав тому, що на початку міркування робиться припущення, неприємне (протилежне) тому, що потрібно довести. Приведенням до безглуздості він називається внаслідок того, що, розмірковуючи на підставі зробленого припущення, ми приходимо до безглуздого висновку (абсурду). Отримання такого висновку змушує нас відкинути зроблене спочатку припущення і прийняти те, що потрібно було довести.
Завдання 1.Побудувати пряму, що проходить через дану точку М і паралельну даній прямій а, що не проходить через точку М.
Рішення. Проводимо через точку М пряму р перпендикулярно до прямої а (рис. 3).
Потім проводимо через точку М пряму b перпендикулярно до прямої р. Пряма b паралельна прямий а відповідно до слідства теореми 1.
З розглянутого завдання випливає важливий висновок:
через точку, що не лежить на даній прямій, завжди можна провести пряму, паралельну даній.
Основна властивість паралельних прямих полягає у наступному.
Аксіома паралельних прямих. Через цю точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.
Розглянемо деякі властивості паралельних прямих, які випливають із цієї аксіоми.
1) Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу (рис.4).
2) Якщо дві різні прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні (рис.5).
Справедлива та наступна теорема.
Теорема 2. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то:
навхрест лежачі кути рівні;
відповідні кути рівні;
сума односторонніх кутів дорівнює 180 °.
Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої(Див. рис.2).
Зауваження. Теорема 2 називається зворотної теореми 1. Висновок теореми 1 є умовою теореми 2. А умова теореми 1 є укладанням теореми 2. Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, то зворотна теорема може бути невірна.
Пояснимо це на прикладі теореми про вертикальні кути. Цю теорему можна сформулювати так: якщо два кути вертикальні, то вони рівні. Зворотна їй теорема була б такою: якщо два кути рівні, то вони вертикальні. А це, звісно, не так. Два рівних кута не повинні бути вертикальними.
приклад 1.Дві паралельні прямі перетнуті третьою. Відомо, що різницю двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 30 °. Знайти ці кути.
Рішення. Нехай умові відповідає рисунок 6.
Ця стаття про паралельні прямі і про паралельність прямих. Спочатку дано визначення паралельних прямих на площині та у просторі, введено позначення, наведено приклади та графічні ілюстрації паралельних прямих. Далі розібрані ознаки та умови паралельності прямих. У висновку показані рішення характерних завдань на доказ паралельності прямих, які задані деякими рівняннями прямої прямокутної системи координат на площині і в тривимірному просторі.
Навігація на сторінці.
Паралельні прямі основні відомості.
Визначення.
Дві прямі на площині називаються паралельнимиякщо вони не мають спільних точок.
Визначення.
Дві прямі у тривимірному просторі називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.
Зауважте, що застереження «якщо вони лежать в одній площині» у визначенні паралельних прямих у просторі дуже важливе. Пояснимо цей момент: дві прямі в тривимірному просторі, які не мають спільних точок і не лежать в одній площині не є паралельними, а схрещуються.
Наведемо кілька прикладів паралельних прямих. Протилежні краї листа зошита лежать на паралельних прямих. Прямі, за якими площина стіни будинку перетинає площину стелі та підлоги, є паралельними. Залізничні колії на рівній місцевості також можна розглядати як паралельні прямі.
Для позначення паралельних прямих використовується символ «». Тобто якщо прямі а і b паралельні, то можна коротко записати а b .
Зверніть увагу: якщо прямі a і b паралельні, можна сказати, що пряма a паралельна прямий b , і навіть, що пряма b паралельна прямий a .
Озвучимо твердження, яке відіграє важливу роль щодо паралельних прямих на площині: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Це твердження приймається як факт (воно не може бути доведено на основі відомих аксіом планіметрії), і воно називається аксіомою паралельних прямих.
Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих (її доказ можна знайти в підручнику геометрії 10-11 клас, який вказаний наприкінці статті у списку літератури).
Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих.
Паралельність прямих - ознаки та умови паралельності.
Ознакою паралельності прямихє достатня умова паралельності прямих, тобто така умова, виконання якої гарантує паралельність прямих. Іншими словами, виконання цієї умови достатньо для того, щоб констатувати факт паралельності прямих.
Також існують необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у тривимірному просторі.
Пояснимо зміст фрази «необхідна та достатня умова паралельності прямих».
З достатньою умовою паралельності прямих ми вже розібралися. А що таке «необхідна умова паралельності прямих»? За назвою "необхідне" зрозуміло, що виконання цієї умови необхідне для паралельності прямих. Іншими словами, якщо необхідна умова паралельності прямих не виконано, то прямі не є паралельними. Таким чином, необхідна та достатня умова паралельності прямих- Це умова, виконання якого як необхідно, так і достатньо для паралельності прямих. Тобто, з одного боку це ознака паралельності прямих, з другого боку – це властивість, яким мають паралельні прямі.
Перш ніж сформулювати необхідну та достатню умову паралельності прямих, доцільно нагадати кілька допоміжних визначень.
Поточна пряма- Це пряма, яка перетинає кожну з двох заданих прямих.
При перетині двох прямих січної утворюються вісім нерозгорнутих. У формулюванні необхідної та достатньої умови паралельності прямих беруть участь так звані навхрест лежачі, відповідніі односторонні кути. Покажемо їх на кресленні.
Теорема.
Якщо дві прямі на площині пересічені січній, то для їх паралельності необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівні, або відповідні кути були рівні, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.
Покажемо графічну ілюстрацію цієї необхідної та достатньої умови паралельності прямих на площині.
Докази цих умов паралельності прямих можна знайти у підручниках геометрії за 7 -9 класи.
Зауважимо, що ці умови можна використовувати і в тривимірному просторі – головне, щоб дві прямі та січна лежали в одній площині.
Наведемо ще кілька теорем, які часто використовуються за доказом паралельності прямих.
Теорема.
Якщо дві прямі на площині паралельні до третьої прямої, то вони паралельні. Доказ цієї ознаки випливає з аксіоми паралельних прямих.
Існує аналогічна умова паралельності прямих у тривимірному просторі.
Теорема.
Якщо дві прямі у просторі паралельні третьої прямої, всі вони паралельні. Доказ цієї ознаки розглядається на уроках геометрії у 10 класі.
Проілюструємо озвучені теореми.
Наведемо ще одну теорему, що дозволяє доводити паралельність прямих на площині.
Теорема.
Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, вони паралельні.
Існує аналогічна теорема для прямих у просторі.
Теорема.
Якщо дві прямі в тривимірному просторі перпендикулярні до однієї площини, вони паралельні.
Зобразимо малюнки, які відповідають цим теоремам.
Всі сформульовані вище теореми, ознаки та необхідні та достатні умови чудово підходять для доказу паралельності прямих методами геометрії. Тобто, щоб довести паралельність двох заданих прямих потрібно показати, що вони паралельні третьої прямої, або показати рівність навхрест кутів, що лежать, і т.п. Безліч подібних завдань вирішується під час уроків геометрії у неповній середній школі. Однак слід зазначити, що у багатьох випадках зручно користуватися методом координат для доказу паралельності прямих на площині або тривимірному просторі. Сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямих, які задані у прямокутній системі координат.
Паралельність прямих у прямокутній системі координат.
У цьому пункті статті ми сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямиху прямокутній системі координат залежно від виду рівнянь, що визначають ці прямі, а також наведемо докладні розв'язки характерних завдань.
Почнемо з умови паралельності двох прямих на площині прямокутної системі координат Oxy . В основі його доказу лежить визначення напрямного вектора прямої та визначення нормального вектора прямої на площині.
Теорема.
Для паралельності двох неспівпадаючих прямих на площині необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, або нормальні вектори цих прямих були колінеарні, або напрямний вектор однієї прямої був перпендикулярний до нормального вектора другої прямої.
Очевидно, умова паралельності двох прямих на площині зводиться до (напрямних векторів прямих або нормальних векторів прямих) або до (напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора другої прямої). Таким чином, якщо і - напрямні вектори прямих a і b а 
і 
- нормальні вектори прямих a та b відповідно, то необхідна та достатня умова паралельності прямих а та b запишеться як 
, або 
, або де t - деяке дійсне число. У свою чергу координати напрямних та (або) нормальних векторів прямих a та b знаходяться за відомими рівняннями прямих.
Зокрема, якщо пряму a у прямокутній системі координат Oxy на площині задає загальне рівняння прямого виду 
, а пряму b - 
то нормальні вектори цих прямих мають координати і відповідно, а умова паралельності прямих a і b запишеться як .
Якщо прямий a відповідає рівняння прямий з кутовим коефіцієнтом виду , а прямий b - , то нормальні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності цих прямих набуде вигляду 
. Отже, якщо прямі на площині прямокутної системі координат паралельні і можуть бути задані рівняннями прямих з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнти прямих будуть рівні. І навпаки: якщо прямі, що не збігаються, на площині в прямокутній системі координат можуть бути задані рівняннями прямої з рівними кутовими коефіцієнтами, то такі прямі паралельні.
Якщо пряму a та пряму b у прямокутній системі координат визначають канонічні рівняння прямої на площині виду 
і 
, або параметричні рівняння прямої на площині виду 
і 
відповідно, напрямні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності прямих a і b записується як .
Розберемо рішення кількох прикладів.
приклад.
Чи паралельні прямі 
і?
Рішення.
Перепишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівняння прямої: 
. Тепер видно, що – нормальний вектор прямий а - нормальний вектор прямий. Ці вектори не колінеарні, тому що не існує такого дійсного числа t, для якого правильна рівність ( 
). Отже, не виконується необхідна та достатня умова паралельності прямих на площині, тому задані прямі не паралельні.
Відповідь:
Ні, прямі не паралельні.
приклад.
Чи є прямі та паралельними?
Рішення.
Наведемо канонічний рівняння прямої до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: . Вочевидь, що рівняння прямих і однакові (у разі задані прямі були збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже, вихідні прямі паралельні.
1. Якщо дві прямі паралельні третій прямий, то вони є паралельними:
Якщо a||cі b||c, то a||b.
2. Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні:
Якщо a⊥cі b⊥c, то a||b.
Інші ознаки паралельності прямих засновані на кутах, що утворюються при перетині двох прямих третьої.
3. Якщо сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні:
Якщо ∠1 + ∠2 = 180°, то a||b.
4. Якщо відповідні кути рівні, то прямі паралельні:
Якщо ∠2 = ∠4, то a||b.
5. Якщо внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то прямі паралельні:
Якщо ∠1 = ∠3, то a||b.
Властивості паралельних прямих
Твердження, обернені ознаками паралельності прямих, є їх властивостями. Вони засновані на властивостях кутів, утворених перетином двох паралельних прямих третьої прямої.
1. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої сума утворених ними внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°:
Якщо a||b, то ∠1 + ∠2 = 180 °.
2. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої, утворені ними відповідні кути рівні:
Якщо a||b, то ∠2 = ∠4.
3. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої, утворені ними навхрест лежачі кути рівні:
Якщо a||b, то ∠1 = ∠3.
Наступна властивість є окремим випадком для кожного попереднього:
4. Якщо пряма на площині перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої:
Якщо a||bі c⊥a, то c⊥b.
П'ята властивість - це аксіома паралельності прямих:
5. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.
Вони не перетинаються, хоч би скільки їх продовжували. Паралельність прямих на листі позначають так: AB|| ЗE
Можливість існування таких прямих доводиться теоремою.
Теорема.
Через будь-яку точку, взяту поза цією прямою, можна провести паралельну цій прямій.
Нехай ABдана пряма і Зякась точка, взята поза нею. Потрібно довести, що через Зможна провести пряму, паралельнуAB. Опустимо на ABз точки З перпендикулярЗDі потім проведемо ЗE^ ЗD, що можливо. Пряма CEпаралельна AB.
Для доказу припустимо неприємне, тобто, що CEперетинається з ABв деякій точці M. Тоді з точки Mдо прямої ЗDми мали б два різні перпендикуляри MDі MС, що неможливо. Значить, CEне може перетнутися з AB, тобто. ЗEпаралельна AB.
Слідство.
Два перпендикуляри (СEіDB) до однієї прямої (СD) паралельні.
Аксіома паралельних ліній.
Через ту саму точку не можна провести двох різних прямих, паралельних однієї й тієї ж прямий.
Так, якщо пряма ЗD, проведена через точку Зпаралельна прямий AB, то будь-яка інша пряма ЗE, проведена через ту саму точку З, не може бути паралельна AB, тобто. вона при продовженні перетнетьсяз AB.
Доказ цієї цілком очевидної істини виявляється неможливим. Її приймають без доказу як необхідне припущення (postulatum).
Наслідки.
1. Якщо пряма(ЗE) перетинається з однією з паралельних(СВ), то вона перетинається і з іншого ( AB), тому що в іншому випадку через одну і ту ж точку Зпроходили б дві різні прямі, паралельні AB, що неможливо.
2. Якщо кожна з двох прямих (AіB) паралельні одній і тій же третій прямій ( З) , то вони паралельніміж собою.
Справді, якщо припустити, що Aі Bперетинаються в деякій точці M, то тоді через цю точку проходили б дві різні прямі, паралельні З, що неможливо.
Теорема.
Якщо пряма перпендикулярнадо однієї з паралельних прямих, вона перпендикулярна і до іншої паралельною.
Нехай AB || ЗDі EF ^ AB. Потрібно довести, що EF ^ ЗD.
ПерпендикулярEF, перетинаючи з AB, неодмінно перетне і ЗD. Нехай точка перетину буде H.
Припустимо тепер, що ЗDне перпендикулярна до EH. Тоді якась інша пряма, наприклад HK, буде перпендикулярна до EHі, отже через ту саму точку Hпроходитимуть дві прямі паралельні AB: одна ЗD, за умовою, а інша HKза доведеним раніше. Так як це неможливо, то не можна припустити, що СВбула не перпендикулярна до EH.
