Обертальний рух навколо нерухомої осі - ще один окремий випадок руху твердого тіла.
Обертальним рухом твердого тіла навколо нерухомої осі
називається такий його рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, званій віссю обертання, при цьому площині, яким належать ці кола, перпендикулярні осі обертання
(рис.2.4).
У техніці такий вид руху зустрічається дуже часто: наприклад, обертання валів двигунів та генераторів, турбін та пропелерів літаків.
Кутова швидкість
. Кожна точка тіла, що обертається навколо осі, проходить через точку Про, рухається по колу, і різні точки проходять за час різних шляхів. Так, тому модуль швидкості точки Абільше, ніж у точки У (рис.2.5). Але радіуси кіл повертаються за час на той самий кут. Кут – кут між віссю ОХі радіус-вектором, що визначає положення точки А (див. рис.2.5).
Нехай тіло обертається рівномірно, тобто за будь-які рівні інтервали часу повертається на однакові кути. Швидкість обертання тіла залежить від кута повороту радіус-вектора, що визначає положення однієї з точок твердого тіла за проміжок часу; вона характеризується кутовий швидкістю
.
Наприклад, якщо одне тіло за кожну секунду повертається на кут, а інше - на кут, то ми говоримо, що перше тіло обертається швидше за друге в 2 рази.
Кутова швидкість тіла при рівномірному обертанні
називається величина, що дорівнює відношенню кута повороту тіла до проміжку часу, за який цей поворот відбувся.
Позначатимемо кутову швидкість грецькою буквою ω
(Омега). Тоді за визначенням
Кутова швидкість виявляється у радіанах на секунду (рад/с).
Наприклад, кутова швидкість обертання Землі навколо осі дорівнює 0,0000727 рад/с, а точильного диска - близько 140 рад/с1.
Кутову швидкість можна виразити через частоту обертання
, Т. е. Число повних оборотів за 1с. Якщо тіло здійснює (грецька літера «ню») оборотів за 1с, то час одного обороту дорівнює секунд. Цей час називають періодом обертання
і позначають буквою T. Таким чином, зв'язок між частотою та періодом обертання можна представити у вигляді:
Повному обігу тіла відповідає кут. Тому згідно з формулою (2.1)
Якщо при рівномірному обертанні кутова швидкість відома і в початковий момент часу кут повороту, то кут повороту тіла за час tзгідно з рівнянням (2.1) дорівнює:
Якщо , то , або 
.
Кутова швидкість набуває позитивних значень, якщо кут між радіус-вектором, що визначає положення однієї з точок твердого тіла, і віссю ОХзбільшується і негативні, коли він зменшується.
Тим самим ми можемо описати положення точок тіла, що обертається в будь-який момент часу.
Зв'язок між лінійною та кутовою швидкостями.
Швидкість точки, що рухається по колу, часто називають лінійною швидкістю
, щоб підкреслити її на відміну від кутової швидкості.
Ми вже зазначали, що при обертанні твердого тіла різні його точки мають різні лінійні швидкості, але кутова швидкість для всіх точок однакова.
Між лінійною швидкістю будь-якої точки тіла, що обертається, і його кутовою швидкістю існує зв'язок. Встановимо її. Крапка, що лежить на колі радіусом Rза один оборот пройде шлях. Оскільки час одного обороту тіла є період T, то модуль лінійної швидкості точки можна знайти так:
При описі руху точки по колу ми характеризуватимемо переміщення точки кутом Δφ , який описує радіус-вектор точки за час Δt. Кутове переміщення за нескінченно малий проміжок часу dtпозначається dφ.
Кутове рух – величина векторна. Визначається напрямок вектора (або ) за правилом буравчика: якщо обертати буравчик (гвинт з правостороннім різьбленням) у напрямку руху точки, то буравчик рухатиметься в напрямку вектора кутового зміщення. На рис. 14 точка М рухається за годинниковою стрілкою, якщо дивитися на площину руху знизу. Якщо крутити свердловин у цьому напрямку, то вектор буде спрямований вгору.
Таким чином, напрямок вектора кутового переміщення визначається вибором позитивного напрямку обертання. Позитивний напрямок обертання визначається правилом свердла з правостороннім різьбленням. Проте з таким самим успіхом можна було взяти свердлик з лівостороннім різьбленням. В цьому випадку напрямок вектора кутового зміщення було б протилежним.
При розгляді таких величин, як швидкість, прискорення, вектор зміщення не виникало питання про вибір їхнього напряму: воно визначалося природним чином із самих величин. Такі вектори називаються полярними. Вектори, подібні до вектора кутового переміщення, називаються аксіальними,або псевдовекторами. Напрямок аксіального вектора визначається вибором позитивного напрямку обертання. Крім того, аксіальний вектор не має точки застосування. Полярні вектори, які ми розглядали досі, прикладені до точки, що рухається. Для аксіального вектора можна лише вказати напрямок (вісь, axis – лат.), вздовж якої він спрямований. Вісь, вздовж якої спрямований вектор кутового усунення, перпендикулярна площині обертання. Зазвичай вектор кутового переміщення зображують на осі, що проходить через центр кола (мал. 14), хоча його можна намалювати в будь-якому місці, у тому числі на осі, що проходить через точку, що розглядається.
У системі СІ кути вимірюються у радіанах. Радіан – це такий кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола. Таким чином, повний кут (360 0) дорівнює 2π радіан.
Рух точки по колу
Кутова швидкість- Векторна величина, чисельно дорівнює куту повороту за одиницю часу. Позначається зазвичай кутова швидкість грецької буквою? За визначенням, кутова швидкість - це похідна кута за часом:
. (19)
Напрямок вектора кутової швидкості збігається із напрямом вектора кутового переміщення (рис. 14). Вектор кутової швидкості, як і вектор кутового переміщення, є аксіальним вектором.
Розмірність кутової швидкості – рад/с.
Обертання з постійною кутовою швидкістю називається рівномірним, при цьому ω = φ/t.
Рівномірне обертання можна характеризувати періодом звернення Т, під яким розуміють час, протягом якого тіло робить один оберт, т. е. повертається на кут 2π. Оскільки проміжку часу Δt = Т відповідає кут повороту Δφ = 2π, то
(20)
Число оборотів в одиницю часу ν, очевидно, дорівнює:
(21)
Величина вимірюється в герцах (Гц). Один герц – це один оберт на секунду, або 2π рад/с.
Поняття періоду обігу та числа оборотів в одиницю часу можна зберегти і для нерівномірного обертання, розуміючи під миттєвим значенням T той час, за який тіло зробило б один оборот, якби воно оберталося рівномірно з даним миттєвим значенням кутової швидкості, а під розуміючи то число оборотів, яке робило б тіло за одиницю часу за аналогічних умов.
Якщо кутова швидкість змінюється згодом, то обертання називається нерівномірним. У цьому випадку вводять кутове прискоренняаналогічно тому, як прямолінійного руху вводилося лінійне прискорення. Кутове прискорення – це зміна кутової швидкості за одиницю часу, що обчислюється як похідна кутової швидкості за часом або друга похідна кутового зсуву за часом:
(22)
Як і кутова швидкість, кутове прискорення є векторної величиною. Вектор кутового прискорення – аксіальний вектор, у разі прискореного обертання спрямований у той самий бік, як і вектор кутової швидкості (рис. 14); у разі уповільненого обертання вектор кутового прискорення направлений протилежно до вектора кутової швидкості.
При рівнозмінному обертальному русі мають місце співвідношення, аналогічні формулам (10) і (11), що описують рівнозмінний прямолінійний рух:
ω = ω 0 ± εt,
.
Рух по колу – окремий випадок криволінійного руху. Швидкість тіла у будь-якій точці криволінійної траєкторії спрямована по дотичній до неї (рис.2.1). Швидкість як вектор може змінюватися і за модулем (величині) і за напрямом. Якщо модуль швидкості 
залишається незмінним, то говорять про рівномірному криволінійному русі.
Нехай тіло рухається по колу з постійною за величиною швидкістю точки 1 в точку 2.
При цьому тіло пройде шлях, що дорівнює довжині дуги 12 між точками 1 і 2 за часt. За цей же час радіус- вектор R, проведений з центру кола 0 до точки, повернеться на кут Δφ.
Вектор швидкості в точці 2 відрізняється від вектора швидкості в точці 1 напрямкуна величину ΔV:
;
Для характеристики зміни вектора швидкості величину δv введемо прискорення:
(2.4)
Вектор 
у будь-якій точці траєкторії направлений по радіусуRк центрукола перпендикулярно до вектора швидкості V 2 . Тому прискорення 
, Що характеризує при криволінійному русі зміна швидкості 
за напрямом, називають доцентровим або нормальним. Таким чином, рух точки по колу з постійною за модулем швидкістю є прискореним.
Якщо швидкість 
змінюється не лише за напрямом, а й за модулем (величиною), то крім нормального прискорення 
вводять ще й дотичний (тангенціальний)прискорення 
, що характеризує зміну швидкості за величиною:
або 
Направлений вектор 
по дотичній у будь-якій точці траєкторії (тобто збігається з напрямком вектора 
). Кут між векторами 
і 
дорівнює 90 0 .
Повне прискорення точки, що рухається криволінійною траєкторією, визначається як векторна сума (рис.2.1.).
.
Модуль вектор 
.
Кутова швидкість та кутове прискорення
При русі матеріальної точки по колурадіус-вектор R, проведений з центру кола до точки, повертається на кут Δφ (рис.2.1). Для характеристики обертання вводяться поняття кутової швидкості і кутового прискорення ε.
Кут можна вимірювати в радіанах. 1 радийдорівнює куту, що спирається на дугу ℓ, рівну радіусуRокружності, тобто.
або ℓ
12
=
Rφ
(2.5.)
Продиференціюємо рівняння (2.5.)
(2.6.)
Розмір dℓ/dt=V мгн. Величину ω = dφ/dt називають кутовий швидкістю(Вимірюється в рад/с). Отримаємо зв'язок між лінійною та кутовою швидкостями:
Величина векторна. Напрямок вектора 
визначається правилом гвинта (буравчика): воно збігається з напрямом переміщення гвинта, орієнтованого вздовж осі обертання точки або тіла, що обертається у напрямку повороту тіла (рис.2.2), тобто. 
.
Кутовим прискоренням
називається векторна величина похідна від кутової швидкості (миттєве кутове прискорення)
,
(2.8.)
Вектор 
збігається з віссю обертання і спрямований у ту ж сторону, що вектор 
, якщо прискорене обертання, і в протилежну, якщо обертання уповільнене.
Число обертівnтіла в одиницю часу називаютьчастотою обертання .
Час Т одного повного обороту тіла називаютьперіодом обертання . При цьомуRопише кут Δφ=2π радіан
З урахуванням сказаного
,
(2.9)
Рівняння (2.8) можна записати так:
(2.10)
Тоді тангенційна складова прискорення
а =R(2.11)
Нормальне прискорення а n можна виразити так:
з урахуванням (2.7) та (2.9)
(2.12)
Тоді повне прискорення.
Для обертального руху з постійним кутовим прискоренням можна записати рівняння кінематики за аналогією з рівнянням (2.1) – (2.3) для поступального руху:
,
.
1.Рівномірний рух по колу
2.Кутова швидкість обертального руху.
3.Період обертання.
4. Частота обертання.
5. Зв'язок лінійної швидкості з кутовим.
6.Центрозривне прискорення.
7.Рівнозмінний рух по колу.
8. Кутове прискорення в рівнозмінному русі по колу.
9.Тангенційне прискорення.
10. Закон рівноприскореного руху по колу.
11. Середня кутова швидкість у рівноприскореному русі по колу.
12. Формули, що встановлюють зв'язок між кутовою швидкістю, кутовим прискоренням та кутом повороту в рівноприскореному русі по колу.
1.Рівномірний рух по колу– рух, у якому матеріальна точка за рівні інтервали часу проходить рівні відрізки дуги кола, тобто. точка рухається по колу з постійною модулем швидкістю. І тут швидкість дорівнює відношенню дуги кола, пройденої точкою на час руху, тобто.
і називається лінійною швидкістю руху по колу.
Як і в криволінійному русі вектор швидкості спрямований щодо до кола в напрямку руху (Рис.25).
2. Кутова швидкість в рівномірному русі по колу- Відношення кута повороту радіусу до часу повороту:
У рівномірному русі по колу кутова швидкість стала. У системі СІ кутова швидкість вимірюється(рад/c). Один радіан – радий це центральний кут, що стягує дугу кола довжиною рівною радіусу. Повний кут містить радіан, тобто. за один оберт радіус повертається на кут радіан.
3. Період обертання- Інтервал часу Т, протягом якого матеріальна точка здійснює один повний оборот. У системі СІ період вимірюється за секунди.
4. Частота обертів- Число оборотів , що здійснюються за одну секунду. У системі СІ частота вимірюється в герцах (1Гц = 1). Один герц - частота, коли за одну секунду відбувається один оборот. Легко збагнути, що
Якщо за час t точка здійснює n оборотів по колу.
Знаючи період і частоту обертання, кутову швидкість можна обчислювати за такою формулою:
5 Зв'язок лінійної швидкості з кутовим. Довжина дуги кола дорівнює де центральний кут, виражений у радіанах, стягує дугу радіус кола. Тепер лінійну швидкість запишемо у вигляді
Часто зручно використовувати формули: або Кутову швидкість часто називають циклічною частотою, а частоту лінійною частотою.
6. Центрошвидке прискорення. У рівномірному русі по колу модуль швидкості залишається постійним , а напрямок її безперервно змінюється (Рис.26). Це означає, що тіло, що рухається рівномірно по колу, відчуває прискорення, яке спрямоване до центру і називається доцентровим прискоренням.
Нехай за проміжок часу пройшов шлях рівний дузі кола. Перенесемо вектор , залишаючи його паралельним самому собі, так щоб його початок співпав з початком вектора в точці В. Модуль зміни швидкості дорівнює , а модуль доцентрового прискорення дорівнює
На Рис.26 трикутники АОВ і ДВЗ рівнобедрені і кути при вершинах О і В рівні, як кути із взаємно перпендикулярними сторонами АВ і ВВ Це означає, що трикутники АОВ і ДВЗ подібні. Отже Якщо тобто інтервал часу приймає як завгодно малі значення, то дугу можна приблизно вважати рівної хорді АВ, тобто. . Тому можемо записати Враховуючи, що ВД= , ОА=R отримаємо Помножуючи обидві частини останньої рівності на , отримаємо і далі вираз для модуля доцентрового прискорення в рівномірному русі по колу: . Враховуючи, що отримаємо дві часто застосовувані формули:
Отже, в рівномірному русі по колу доцентрове прискорення постійно по модулю.
Легко збагнути, що у межі при , кут . Це означає, що кути виходячи з ДС трикутника ДВС прагнуть значення , а вектор зміни швидкості стає перпендикулярним до вектора швидкості , тобто. спрямований по радіусу до центру кола.
7. Рівноперемінний рух по колу- Рух по колу, при якому за рівні інтервали часу кутова швидкість змінюється на ту саму величину.
8. Кутове прискорення в рівнозмінному русі по колу- Відношення зміни кутової швидкості до інтервалу часу, протягом якого ця зміна відбулася, тобто.
де початкове значення кутової швидкості, кінцеве значення кутової швидкості, кутове прискорення в системі СІ вимірюється в . З останньої рівності отримаємо формули для обчислення кутової швидкості
І якщо .
Помножуючи обидві частини цих рівнів і враховуючи, що , - тангенціальне прискорення, тобто. прискорення, спрямоване щодо дотичного до кола, отримаємо формули для обчислення лінійної швидкості:
І якщо .
9. Тангенціальне прискореннячисельно дорівнює зміні швидкості в одиницю часу і направлено вздовж дотичної до кола. Якщо >0, >0, рух рівноприскорений. Якщо<0 и <0 – движение.
10. Закон рівноприскореного руху по колу. Шлях, пройдений по колу за час у рівноприскореному русі, обчислюється за такою формулою:
Підставляючи сюди , скорочуючи на , отримаємо закон рівноприскореного руху по колу:
Або, якщо.
Якщо рух рівносповільнене, тобто.<0, то
11.Повне прискорення у рівноприскореному русі по колу. У рівноприскореному русі по колу доцентрове прискорення з часом зростає, т.к. завдяки тангенційному прискоренню зростає лінійна швидкість. Дуже часто доцентрове прискорення називають нормальним і позначають як . Так як повне прискорення в даний момент визначають теорему Піфагора (Рис.27).
12. Середня кутова швидкість у рівноприскореному русі по колу. Середня лінійна швидкість у рівноприскореному русі по колу дорівнює. Підставляючи сюди і скорочуючи на отримаємо
Якщо то .
12. Формули, що встановлюють зв'язок між кутовою швидкістю, кутовим прискоренням та кутом повороту в рівноприскореному русі по колу.
Підставляючи у формулу величини , , , ,
і скорочуючи на , отримаємо
Лекція-4. Динаміка.
1. Динаміка
2. Взаємодія тел.
3. Інерція. Принцип інерції
4. Перший закон Ньютона.
5. Вільна матеріальна точка.
6. Інерційна система відліку.
7. Неінерційна система відліку.
8. Принцип відносності Галілея.
9. Перетворення Галілея.
11. Додавання сил.
13. Щільність речовин.
14. Центр мас.
15. Другий закон Ньютона.
16. Одиниця виміру сили.
17. Третій закон Ньютона
1. Динамікає розділ механіки, що вивчає механічний рух, залежно від сил, що спричиняють зміну цього руху.
2.Взаємодія тел. Тіла можуть взаємодіяти як при безпосередньому зіткненні, так і на відстані за допомогою особливого виду матерії, званого фізичним полем.
Наприклад, всі тіла притягуються один до одного і це тяжіння здійснюється за допомогою гравітаційного поля, а сили тяжіння називаються гравітаційними.
Тіла, що несуть у собі електричний заряд, взаємодіють за допомогою електричного поля. Електричні струми взаємодіють у вигляді магнітного поля. Ці сили називають електромагнітними.
Елементарні частинки взаємодіють за допомогою ядерних полів і ці сили називають ядерними.
3.Інерція. У IV ст. до зв. е. Грецька філософ Аристотель стверджував, що причиною руху тіла є сила, що діє з боку іншого тіла або тіл. При цьому, на думку Аристотеля постійна сила повідомляє тілу постійну швидкість і з припиненням дії сили припиняється рух.
У 16 ст. італійський фізик Галілео Галілей, проводячи досліди з тілами, що скочуються по похилій площині і з тілами, що падають, показав, що постійна сила (в даному випадку вага тіла) повідомляє тілу прискорення.
Отже, на основі експериментів Галілей показав, що сила є причиною прискорення тіл. Наведемо міркування Галілея. Нехай дуже гладка куля котиться по гладкій горизонтальній площині. Якщо кулі нічого не заважає, то він може котитися скільки завгодно довго. Якщо ж по дорозі кулі насипати тонкий шар піску, він дуже швидко зупиниться, т.к. на нього подіяла сила тертя піску.
Так Галілей дійшов формулювання принципу інерції, за яким матеріальне тіло зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху, якщо не діють зовнішні сили. Часто цю властивість матерії називають інерцією, а рух тіла без зовнішніх впливів-рухом по інерції.
4. Перший закон Ньютона. У 1687 року з урахуванням принципу інерції Галілея Ньютон сформулював перший закон динаміки – перший закон Ньютона:
Матеріальна точка (тіло) перебуває у стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху, якщо її у дію інші тіла, чи сили, діючі із боку інших тіл, врівноважені, тобто. скомпенсовані.
5.Вільна матеріальна точка- Матеріальна точка, на яку не діють інші тіла. Іноді кажуть – ізольована матеріальна точка.
6. Інерційна система відліку (ІСО)– система відліку, щодо якої ізольована матеріальна точка рухається прямолінійно та рівномірно, або перебуває у стані спокою.
Будь-яка система відліку, яка рухається рівномірно та прямолінійно щодо ІСО є інерційною,
Наведемо ще одне формулювання першого закону Ньютона: Існують системи відліку, щодо яких вільна матеріальна точка рухається прямолінійно і рівномірно, або перебуває у стані спокою. Такі системи відліку називаються інерційними. Найчастіше перший закон Ньютона називають законом інерції.
Першому закону Ньютона можна дати ще й таке формулювання: всяке матеріальне тіло чинить опір зміні його швидкості. Ця властивість матерії називається інертністю.
З виявом цього закону ми стикаємось щодня у міському транспорті. Коли автобус різко набирає швидкість, нас притискає до спинки сидіння. Коли ж автобус гальмує, наше тіло заносить по ходу руху автобуса.
7. Неінерційна система відліку –система відліку, що рухається нерівномірно щодо ІСО.
Тіло, яке щодо ІСО знаходиться у стані спокою або рівномірного прямолінійного руху. Щодо неінерційної системи відліку рухається нерівномірно.
Будь-яка система відліку, що обертається, є неінерційна система відліку, т.к. у цій системі тіло зазнає доцентрового прискорення.
У природі та техніці немає тіл, які могли б служити як ІСО. Наприклад, Земля обертається навколо своєї осі і будь-яке тіло на її поверхні зазнає доцентрового прискорення. Однак протягом досить коротких проміжків часу систему відліку, пов'язану з поверхнею Землі в деякому наближенні, можна вважати ІСО.
8.Принцип відносності Галілея. ISO може бути сіль завгодно багато. Тому виникає запитання: як виглядають одні й самі механічні явища у різних ІСО? Чи можна, використовуючи механічні явища, виявити рух ІСО, в якій вони спостерігаються.
Відповідь ці питання дає принцип відносності класичної механіки, відкритий Галілеєм.
Сенс принципу відносності класичної механіки полягає у твердженні: всі механічні явища протікають абсолютно однаково у всіх інерційних системах відліку.
Цей принцип можна сформулювати і так: Усі закони класичної механіки виражаються однаковими математичними формулами. Іншими словами, ніякі механічні досліди не допоможуть нам виявити рух ISO. Це означає, що спроба виявити рух ISO не має сенсу.
З проявом принципу відносності ми стикалися, мандруючи поїздами. У момент, коли наш поїзд стоїть на станції, а поїзд, що стояв на сусідній дорозі, повільно починає рух, то в перші миті нам здається, що рухається наш поїзд. Але буває і навпаки, коли наш поїзд плавно набирає хід, нам здається, що рух розпочав сусідній поїзд.
У наведеному прикладі принцип відносності виявляється протягом малих інтервалів часу. Зі збільшенням швидкості ми починаємо відчувати поштовхи розгойдування вагона, тобто наша система відліку стає неінерційною.
Отже, спроба виявити рух ІСО не має сенсу. Отже, абсолютно байдуже, яку ІСО вважати нерухомою, а яку рухомою.
9. Перетворення Галілея. Нехай дві ІСО і рухаються один щодо одного зі швидкістю. Відповідно до принципу відносності ми можемо покласти, що ІСО К нерухома, а ІСО рухається відносно зі швидкістю . Для простоти припустимо, що відповідні осі координат систем і паралельні, а осі і збігаються. Нехай у момент початку систем збігаються і рух відбувається вздовж осей і, тобто. (Мал.28)
