У цьому матеріалі ми розберемо, що таке ступінь числа. Крім основних визначень ми сформулюємо, що таке ступеня з натуральними, цілими, раціональними та ірраціональними показниками. Як завжди, всі поняття будуть проілюстровані прикладами завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Спочатку сформулюємо базове визначення ступеня із натуральним показником. Для цього нам знадобиться згадати основні правила множення. Заздалегідь уточнимо, що як підстава будемо поки що брати дійсне число (позначимо його буквою a), а як показник – натуральне (позначимо буквою n).

Визначення 1

Ступінь числа a з натуральним показником n - це добуток n-ного числа множників, кожен з яких дорівнює числу а. Записується ступінь так: a n, а як формули її склад можна наступним чином:

Наприклад, якщо показник ступеня дорівнює 1 , а основа – a то перший ступінь числа a записується як a 1. Враховуючи, що a – це значення множника, а 1 – число множників, ми можемо дійти невтішного висновку, що a 1 = a.

Загалом можна сказати, що ступінь – це зручна форма запису великої кількості рівних множників. Так, запис виду 8 · 8 · 8 · 8можна скоротити до 8 4 . Приблизно так само твір допомагає нам уникнути запису великої кількості доданків (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); ми це вже розбирали у статті, присвяченій множенню натуральних чисел.

Як же правильно прочитати запис ступеня? Загальноприйнятий варіант - "a в ступені n". Або можна сказати «n-на ступінь a» або «a-n-ного ступеня». Якщо, скажімо, у прикладі зустрівся запис 8 12 , ми можемо прочитати «8 у 12-му ступені», «8 у ступені 12» або «12-й ступінь 8-ми».

Другий і третій ступеня числа мають усталені назви: квадрат і куб. Якщо бачимо другий ступінь, наприклад, числа 7 (7 2) , ми можемо сказати « 7 у квадраті» чи «квадрат числа 7 ». Аналогічно третій ступінь читається так: 5 3 - Це "куб числа 5" або "5 в кубі". Втім, вживати стандартне формулювання «у другому/третьому ступені» теж можна, це не буде помилкою.

Приклад 1

Розберемо приклад ступеня з натуральним показником: для 5 7 п'ятірка буде основою, а сімка – показником.

В основі не обов'язково має стояти ціле число: для ступеня (4 , 32) 9 основою буде дріб 4, 32, а показником – дев'ятка. Зверніть увагу на дужки: такий запис робиться для всіх ступенів, основи яких відрізняються від натуральних чисел.

Наприклад: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Навіщо потрібні дужки? Вони допомагають уникнути помилок у розрахунках. Скажімо, у нас є два записи: (− 2) 3 і − 2 3 . Перша їх означає негативне число мінус два, зведене у ступінь з натуральним показником три; друга – число, що відповідає протилежному значенню ступеня 2 3 .

Іноді у книгах можна зустріти трохи інше написання ступеня числа – a^n(Де а - основа, а n - показник). Тобто 4^9 – це те саме, що й 4 9 . У разі, якщо n є багатозначним числом, воно береться в дужки. Наприклад, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Але ми будемо використовувати позначення a nяк найбільш уживане.

Про те, як обчислити значення ступеня з натуральним показником, легко здогадатися з її визначення: потрібно просто перемножити a n число разів. Докладніше про це ми писали в іншій статті.

Поняття ступеня є оберненим до іншого математичного поняття – кореня числа. Якщо ми знаємо значення ступеня та показник, ми можемо обчислити її основу. Ступінь має деякі специфічні властивості, корисні для вирішення завдань, які ми розібрали в рамках окремого матеріалу.

У показниках ступеня можуть стояти як натуральні числа, а й взагалі будь-які цілі значення, зокрема негативні і нулі, адже вони теж належать до безлічі цілих чисел.

Визначення 2

Ступінь числа з цілим позитивним показником можна відобразити у вигляді формули: .

У цьому n – будь-яке ціле позитивне число.

Розберемося з поняттям нульового ступеня. Для цього ми використовуємо підхід, що враховує властивість приватного для ступеня з рівними основами. Воно формулюється так:

Визначення 3

Рівність a m: a n = a m − nбуде правильно за умов: m і n – натуральні числа, m< n , a ≠ 0 .

Остання умова важлива, оскільки дозволяє уникнути поділу на нуль. Якщо значення m і n рівні, ми отримаємо наступний результат: a n: a n = a n − n = a 0

Але при цьому a n : a n = 1 – приватне рівних чисел a nта a . Виходить, що нульовий ступінь будь-якого відмінного від нуля числа дорівнює одиниці.

Однак такий доказ не підходить для нуля в нульовому ступені. Для цього нам потрібна інша властивість ступенів – властивість творів ступенів із рівними основами. Воно виглядає так: a m · a n = a m + n .

Якщо n у нас дорівнює 0, то a m · a 0 = a m(така рівність також доводить нам, що a 0 = 1). Але якщо і так само нулю, наша рівність набуває вигляду 0 m · 0 0 = 0 m, Воно буде вірним за будь-якого натурального значення n , і неважливо при цьому, чому саме дорівнює значення ступеня 0 0 , тобто воно може бути рівне будь-якому числу, і на вірність рівності це не вплине. Отже, запис виду 0 0 свого особливого сенсу немає, і ми не будемо йому його приписувати.

За бажання легко перевірити, що a 0 = 1сходиться з властивістю ступеня (a m) n = a m · nза умови, що підстава ступеня не дорівнює нулю. Таким чином, ступінь будь-якого відмінного від нуля числа з нульовим показником дорівнює одиниці.

Приклад 2

Розберемо приклад із конкретними числами: Так, 5 0 - одиниця, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , а значення 0 0 НЕ визначено.

Після нульового ступеня нам залишилося розібратися, що собою являє ступінь негативний. Для цього нам знадобиться та ж властивість добутку ступенів з рівними основами, яку ми вже використовували вище: a m · a n = a m + n .

Введемо умову: m = − n , тоді a не повинно дорівнювати нулю. З цього виходить що a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Виходить, що a n і a − nу нас є взаємно зворотні числа.

Через війну a цілою негативною мірою не що інше, як дріб 1 a n .

Таке формулювання підтверджує, що для ступеня з цілим негативним показником дійсні ті ж властивості, якими володіє ступінь з натуральним показником (за умови, що підстава не дорівнює нулю).

Приклад 3

Ступінь a з цілим негативним показником n можна подати у вигляді дробу 1 a n . Таким чином, a - n = 1 a n за умови a ≠ 0та n – будь-яке натуральне число.

Проілюструємо нашу думку конкретними прикладами:

Приклад 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В останній частині параграфа спробуємо зобразити все сказане наочно в одній формулі:

Визначення 4

Ступінь числа a з натуральним показником z – це: a z = a z , e с л і z - ц е л е п о л о ж і т е л ь н о е ч і с л о 1 , z = 0 і a ≠ 0 , (п р і z = 0 і a = 0 отримає я 0 0 , зна ч е ня ви р а жен ня 0 0 не о п е д е л е т с я)   1 a z , е с л і z - ц е л о е д ри ц е т е л ь н о е ч і с л о і a ≠ 0 ( е с л і z - ц е л о е о т ри ц я т е л ь н о е ч і с л о і a = 0 отримає я 0 z , е г о з н а ч е н н е н е н о о п р і д е л е т с я)

Що таке ступеня з раціональним показником

Ми розібрали випадки, коли у показнику ступеня стоїть ціле число. Однак звести число в ступінь можна і тоді, коли в показнику стоїть дробове число. Це називається ступенем із раціональним показником. У цьому пункті ми доведемо, що вона має ті ж властивості, що й інші ступені.

Що таке раціональні числа? У їх безліч входять як цілі, і дробові числа, у своїй дробові числа можна у вигляді звичайних дробів (як позитивних, і негативних). Сформулюємо визначення ступеня числа a з дробовим показником m/n, де n – натуральне число, а m – ціле.

Ми маємо певний ступінь з дробовим показником a m n . Для того, щоб властивість ступеня в ступеня виконувалася, рівність a m n n = a m n · n = a m має бути вірною.

Враховуючи визначення кореня n - ного ступеня і що a m n n = a m , ми можемо прийняти умову a m n = a m n , якщо a m n має сенс за даних значень m , n і a .

Наведені вище властивості ступеня з цілим показником будуть вірними за умови amn = amn.

Основний висновок з наших міркувань такий: ступінь деякого числа a з дрібним показником m / n - це корінь n-го ступеня з числа a в ступені m. Це справедливо в тому випадку, якщо при даних значеннях m n і a вираз a m n зберігає сенс.

1. Ми можемо обмежити значення основи ступеня: візьмемо a , яке при позитивних значеннях m буде більше або дорівнює 0 , а для негативних – строго менше (оскільки при m ≤ 0 ми отримуємо 0 m, А такий ступінь не визначено). У такому разі визначення ступеня з дробовим показником виглядатиме так:

Ступінь з дробовим показником m/n для деякого позитивного числа a є корінь n-го ступеня з, зведеного в ступінь m. У вигляді формули це можна зобразити так:

Для ступеня з нульовою основою це положення також підходить, але тільки в тому випадку, якщо показник – позитивне число.

Ступінь з нульовою основою та дробовим позитивним показником m/n можна виразити як

0 m n = 0 m n = 0 за умови цілого позитивного m та натурального n .

При негативному відношенні m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Зазначимо один момент. Оскільки ми запровадили умову, що a більше чи дорівнює нулю, то у нас виявилися відкинуті деякі випадки.

Вираз a m n іноді все ж таки має сенс при деяких негативних значеннях a і деяких m . Так, вірні записи (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , в яких підстава негативна.

2. Другий підхід – це розглянути окремо корінь a m n з парними та непарними показниками. Тоді нам потрібно ввести ще одну умову: ступінь a , у показнику якого стоїть скоротитий звичайний дріб, вважається ступенем a , у показнику якого стоїть відповідний їй нескоротний дріб. Пізніше ми пояснимо, для чого нам ця умова і чому вона така важлива. Таким чином, якщо ми маємо запис a m · k n · k , то ми можемо звести його до a m n і спростити розрахунки.

Якщо n – непарне число, а значення m – позитивно, a – будь-яке невід'ємне число, то a m n має сенс. Умова неотрицательного a потрібна, оскільки корінь парного ступеня з негативного числа не беруть. Якщо значення m позитивно, то a то, можливо і негативним, і нульовим, т.к. корінь непарної міри можна витягти з будь-якого дійсного числа.

Об'єднаємо всі дані вище визначення одного запису:

Тут m/n означає нескоротний дріб, m – будь-яке ціле число, а n – будь-яке натуральне число.

Визначення 5

Для будь-якого звичайного скоротливого дробу m · k n · k ступінь можна замінити на a m n .

Ступінь числа a з нескоротним дробовим показником m / n – можна виразити у вигляді a m n у таких випадках: - для будь-яких дійсних a , цілих позитивних значень m та непарних натуральних значень n . Приклад: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Для будь-яких відмінних від нуля дійсних a цілих негативних значень m і непарних значень n наприклад, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Для будь-яких невід'ємних a цілих позитивних значень m і парних n наприклад, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Для будь-яких позитивних a цілих негативних m і парних n наприклад, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

У разі інших значень ступінь із дробовим показником не визначається. Приклади таких ступенів: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Тепер пояснимо важливість умови, про яку говорили вище: навіщо замінювати дріб із скоротимим показником на дріб із нескоротним. Якби ми цього не зробили, то вийшли б такі ситуації, скажімо, 6/10 = 3/5. Тоді має бути вірним (-1) 6 10 = - 1 3 5 , але - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , а (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Визначення ступеня з дробовим показником, яке ми навели першим, зручніше застосовувати на практиці, ніж друге, тому ми далі користуватимемося саме ним.

Визначення 6

Таким чином, ступінь позитивного числа з дробовим показником m / n визначається як 0 m n = 0 m n = 0 . У разі негативних aзапис a m n немає сенсу. Ступінь нуля для позитивних дробових показників m/nвизначається як 0 m n = 0 m n = 0 для негативних дробових показників ми ступінь нуля не визначаємо.

У висновках зазначимо, що можна записати будь-який дробовий показник як у вигляді змішаного числа, так і у вигляді десяткового дробу: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

При обчисленні краще замінювати показник ступеня звичайним дробом і далі користуватися визначенням ступеня з дробовим показником. Для прикладів вище у нас вийде:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Що таке ступеня з ірраціональним та дійсним показником

Що таке дійсні числа? У них входять як раціональні, і ірраціональні числа. Тому для того, щоб зрозуміти, що таке ступінь із дійсним показником, нам треба визначити ступеня з раціональними та ірраціональними показниками. Про раціональні ми згадували вище. Розберемося з ірраціональними показниками покроково.

Приклад 5

Припустимо, що ми маємо ірраціональне число a і послідовність його десяткових наближень a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Наприклад, візьмемо значення a = 1,67175331. . . тоді

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,. . . , a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,. . .

Послідовності наближень ми можемо поставити у відповідність послідовність ступенів a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Якщо згадати, що ми розповідали раніше про зведення чисел у раціональний ступінь, ми можемо самі підрахувати значення цих ступенів.

Візьмемо для прикладу a = 3, тоді a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . і т.д.

Послідовність ступенів можна звести до числа, яке і буде значенням ступеня з основою a та ірраціональним показником a . У результаті: ступінь з ірраціональним показником виду 31,67175331. . можна звести до 6 , 27 .

Визначення 7

Ступінь позитивного числа a з ірраціональним показником записується як a a . Його значення - це межа послідовності a a 0, a a 1, a a 2,. . . , де a 0, a 1, a 2,. . . є послідовними десятковими наближеннями ірраціонального числа a. Ступінь з нульовою основою можна визначити і для позитивних ірраціональних показників, при цьому 0 a = 0 Так, 06 = 0, 02133 = 0. А для негативних цього зробити не можна, оскільки, наприклад, значення 0 – 5, 0 – 2 π не визначено. Одиниця, зведена в будь-який ірраціональний ступінь, залишається одиницею, наприклад, і 12, 15 в 2 і 1 - 5 дорівнюють 1 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У цій статті ми розберемося, що таке степінь числа. Тут ми дамо визначення ступеня числа, у своїй докладно розглянемо все можливі показники ступеня, починаючи з натурального показника, закінчуючи ірраціональним. У матеріалі Ви знайдете масу прикладів ступенів, що покривають всі тонкощі, що виникають.

Навігація на сторінці.

Ступінь з натуральним показником, квадрат числа, куб числа

Для початку дамо. Забігаючи наперед, скажемо, що визначення ступеня числа a з натуральним показником n дається для a , яке називатимемо підставою ступеня, і n , яке називатимемо показником ступеня. Також відзначимо, що ступінь з натуральним показником визначається через добуток, так що для розуміння нижченаведеного матеріалу потрібно мати уявлення про множення чисел.

Визначення.

Ступінь числа a з натуральним показником n- це вираз виду a n, значення якого дорівнює добутку n множників, кожен з яких дорівнює a, тобто.
Зокрема, ступенем числа a з показником 1 називається саме число a тобто, a 1 =a .

Відразу варто сказати про правила читання ступенів. Універсальний спосіб читання запису a n такий: «a ступенем n ». У деяких випадках також допустимі такі варіанти: «a в n-му ступені» і «n-а ступінь числа a». Для прикладу візьмемо ступінь 8 12 , це «вісім за ступенем дванадцять», або «вісім у дванадцятому ступені», або «дванадцятий ступінь восьми».

Другий ступінь числа, а також третій ступінь числа мають свої назви. Другий ступінь числа називають квадратом числанаприклад, 7 2 читається як «сім у квадраті» або «квадрат числа сім». Третій ступінь числа називається кубом числа, Наприклад, 5 3 можна прочитати як «п'ять у кубі» або сказати «куб числа 5».

Настав час привести приклади ступенів із натуральними показниками. Почнемо зі ступеня 5 7 тут 5 - основа ступеня, а 7 - показник ступеня. Наведемо ще приклад: 4,32 є основою, а натуральне число 9 показником ступеня (4,32) 9 .

Зверніть увагу, що в останньому прикладі основа ступеня 4,32 записана в дужках: щоб уникнути різночитань ми братимемо в дужки всі основи ступеня, які відмінні від натуральних чисел. Як приклад наведемо такі ступеня з натуральними показниками , їх підстави є натуральними числами, тому вони записані в дужках. Ну і для повної ясності в цьому моменті покажемо різницю, що міститься в записах виду (-2) 3 і -2 3 . Вираз (−2) 3 – це ступінь −2 з натуральним показником 3, а вираз −2 3 (його можна записати як −(2 3) ) відповідає числу, значенню ступеня 2 3 .

Зауважимо, що є позначення ступеня числа a з показником n виду a^n . У цьому, якщо n – багатозначне натуральне число, то показник ступеня береться у дужки. Наприклад, 4^9 – це інший запис ступеня 49. А ще приклади запису ступенів за допомогою символу «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Надалі ми будемо переважно користуватися позначенням ступеня виду a n .

Однією із завдань, зворотної зведенню у ступінь з натуральним показником, є завдання знаходження основи ступеня за відомим значенням ступеня та відомим показником. Це завдання призводить до .

Відомо, що безліч раціональних чисел складається з цілих і дробових чисел, причому кожне дробове число може бути представлене у вигляді позитивного або негативного звичайного дробу. Ступінь із цілим показником ми визначили в попередньому пункті, тому, щоб закінчити визначення ступеня з раціональним показником, потрібно надати сенсу ступеня числа a з дробовим показником m/n , де m – ціле число, а n - натуральне. Зробимо це.

Розглянемо ступінь із дробовим показником виду. Щоб зберігати силу властивість ступеня, повинна виконуватися рівність . Якщо зважити на отриману рівність і те, як ми визначили , то логічно прийняти за умови, що при даних m , n і a вираз має сенс.

Неважко перевірити, що при справедливі всі властивості ступеня з цілим показником (це зроблено у розділі якості ступеня з раціональним показником).

Наведені міркування дозволяють зробити наступний висновок: якщо даних m , n і a вираз має сенс, то ступенем числа a з дробовим показником m/n називають корінь n -ого ступеня з a ступенем m .

Це твердження впритул підводить нас до визначення ступеня з дрібним показником. Залишається лише розписати, за яких m, n і a має сенс вираз. Залежно від обмежень, що накладаються на m, n та a існують два основні підходи.

Найпростіше накласти обмеження на a , прийнявши a≥0 для позитивних m і a>0 для негативних m (оскільки при m≤0 ступінь 0 m не визначений). Тоді ми отримуємо наступне визначення ступеня з дрібним показником.

Визначення.

Ступенем позитивного числа a з дробовим показником m/n, де m - ціле, а n - натуральне число, називається корінь n-ої з числа a в ступені m, тобто.

Також визначається дробовий ступінь нуля з тим лише застереженням, що показник має бути позитивним.

Визначення.

Ступінь нуля із дробовим позитивним показником m/n, де m – ціле позитивне, а n – натуральне число, визначається як .
При ступінь не визначається, тобто ступінь числа нуль з дробовим негативним показником не має сенсу.

Слід зазначити, що за такому визначенні ступеня з дробовим показником існує один нюанс: при деяких негативних a і деяких m і n вираз має сенс, а ми відкинули ці випадки, ввівши умову a≥0 . Наприклад, мають сенс запису або , а дане вище визначення змушує нас говорити, що ступеня з дробовим показником виду немає сенсу, оскільки основа має бути негативним.

Інший підхід до визначення ступеня з дробовим показником m/n полягає в роздільному розгляді парних та непарних показниках кореня. Цей підхід вимагає додаткової умови: ступінь числа a, показником якого є, вважається ступенем числа a, показником якого є відповідний нескоротний дріб (важливість цієї умови пояснимо трохи нижче). Тобто, якщо m/n – нескоротний дріб, то будь-якого натурального числа k ступінь попередньо замінюється на .

При парних n і позитивних m вираз має сенс за будь-якого неотрицательному a (корінь парного ступеня з негативного числа немає сенсу), при негативних m число a має бути ще відмінним від нуля (інакше буде розподіл на нуль). А при непарних n і позитивних m число a може бути будь-яким (корінь непарної міри визначений для будь-якого дійсного числа), а при негативних m число a має бути відмінним від нуля (щоб не було поділу на нуль).

Наведені міркування призводять нас до такого визначення ступеня з дрібним показником.

Визначення.

Нехай m/n – нескоротний дріб, m – ціле, а n – натуральне число. Для будь-якого скоротливого звичайного дробу ступінь замінюється на . Ступінь числа a з нескоротним дробовим показником m/n – це для



Пояснимо, навіщо ступінь із скоротитим дробовим показником попередньо замінюється ступенем із нескоротним показником. Якби ми просто визначили ступінь як , і не обмовилися про нескоротність дробу m/n , то ми зіткнулися б з ситуаціями, подібними до наступної: так як 6/10=3/5 , то повинна виконуватись рівність , але , а .

Таблиця ступенів 2 (двійки) від 0 до 32

Наведена таблиця, крім ступеня двійки, показує максимальні числа, які може зберігати комп'ютер для заданого числа біт. Причому як для цілих, так і чисел зі знаком.

Історично склалося, що комп'ютери використовують двійкову систему числення, відповідно, і зберігання даних. Отже, будь-яке число можна як послідовність нулів і одиниць (біт інформації). Існує кілька способів уявлення чисел у вигляді двійкової послідовності.

Розглянемо найпростіший їх - це ціле позитивне число. Тоді чим більше число нам потрібно записати, тим довша послідовність біт нам необхідна.

Нижче представлена таблиця ступенів числа 2. Вона дасть нам уявлення необхідного числа біт, яке необхідно для зберігання чисел.

Як користуватися таблицею ступенів числа два?

Перший стовпець - це ступінь двійки, Що одночасно, позначає число біт, яке представляє число.

Другий стовпець - значення двійки у відповідному ступені (n).

Приклад знаходження ступеня числа 2. Знаходимо в першому стовпці число 7. Дивимося по рядку праворуч і знаходимо значення два в сьомому ступені(2 7 ) - це 128

Третій стовпець - максимальне число, яке можна представити за допомогою заданого числа біт(У першому стовпці).

Приклад визначення максимальної кількості без знака. Якщо використовувати дані з попереднього прикладу, ми знаємо, що 27 = 128 . Це правильно, якщо ми хочемо зрозуміти, яке кількість чиселможна представити за допомогою семи біт. Але, оскільки перше число - це нуль, то максимальне число, яке можна представити за допомогою семи біт 128 – 1 = 127 . Це і є значення третього стовпця.

Ступінь двійки (n)	Значення ступеня двійки 2 n	Максимальна кількість без знака, записане за допомогою n біт	Максимальне число зі знаком, записане за допомогою n біт
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

Ми розібралися, що взагалі являє собою ступінь числа. Тепер треба зрозуміти, як правильно виконувати її обчислення, тобто. зводити числа до ступеня. У цьому матеріалі ми розберемо основні правила обчислення ступеня у разі цілого, натурального, дробового, раціонального та ірраціонального показника. Усі визначення будуть проілюстровані прикладами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Поняття зведення у ступінь

Почнемо із формулювання базових визначень.

Визначення 1

Зведення в ступінь- Це обчислення значення ступеня деякого числа.

Тобто слова "обчислення значення ступеня" і "зведення в ступінь" означають те саме. Так, якщо в задачі стоїть "Зведіть число 0, 5 у п'яту ступінь", це слід розуміти як "обчисліть значення ступеня (0, 5) 5 .

Тепер наведемо основні правила, яким потрібно дотримуватись при таких обчисленнях.

Згадаймо, що таке ступінь числа із натуральним показником. Для ступеня з основою a та показником n це буде добуток n-ного числа множників, кожен з яких дорівнює a. Це можна записати так:

Щоб обчислити значення ступеня, потрібно виконати дію множення, тобто перемножити основи ступеня вказане число разів. На вмінні швидко множити та засноване саме поняття ступеня з натуральним показником. Наведемо приклади.

Приклад 1

Умова: зведіть - 2 на ступінь 4 .

Рішення

Використовуючи визначення вище, запишемо: (−2) 4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) . Далі нам потрібно просто виконати вказані дії та отримати 16 .

Візьмемо приклад складніше.

Приклад 2

Обчисліть значення 3 2 7 2

Рішення

Цей запис можна переписати у вигляді 3 2 7 · 3 2 7 . Раніше ми розглядали, як правильно множити змішані числа, згадані за умови.

Виконаємо ці дії та отримаємо відповідь: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Якщо в задачі вказана необхідність зводити ірраціональні числа в натуральний ступінь, нам потрібно буде заздалегідь округлити їх підстави до розряду, який дозволить нам отримати відповідь потрібної точності. Розберемо приклад.

Приклад 3

Виконайте зведення в квадрат числа π.

Рішення

Для початку округлимо його до сотих. Тоді π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9,8596. Якщо ж π ≈ 3 . 14159 , ми отримаємо більш точний результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Зазначимо, необхідність вираховувати ступеня ірраціональних чисел практично виникає порівняно рідко. Ми можемо тоді записати відповідь у вигляді ступеня (ln 6) 3 або перетворити, якщо це можливо: 5 7 = 125 5 .

Окремо слід зазначити, що таке перший рівень числа. Тут можна просто запам'ятати, що будь-яке число, зведене в першу міру, залишиться самим собою:

Це зрозуміло із запису .

Від основи ступеня це не залежить.

Приклад 4

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , зведене до першого ступеня, залишиться 7 3 .

Для зручності розберемо окремо три випадки: якщо показник ступеня - ціле позитивне число, якщо це нуль і якщо це негативне число.

У першому випадку це те саме, що й зведення в натуральний ступінь: адже цілі позитивні числа належать до безлічі натуральних. Про те, як працювати з такими ступенями ми вже розповіли вище.

Тепер подивимося, як правильно зводити на нульовий ступінь. При підставі, яка відрізняється від нуля це обчислення завжди дає на виході 1 . Раніше ми вже пояснювали, що 0 -а ступінь a може бути визначена для будь-якого дійсного числа, не рівного 0 і a 0 = 1 .

Приклад 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 – не визначено.

У нас залишився лише випадок ступеня із цілим негативним показником. Ми вже розбирали, що такі ступені можна записати у вигляді дробу 1 a z , де а будь-яке число, а z - цілий негативний показник. Ми бачимо, що знаменник цього дробу є не що інше, як звичайний ступінь із цілим позитивним показником, а його обчислювати ми вже навчилися. Наведемо приклади завдань.

Приклад 6

Зведіть 3 у ступінь - 2 .

Рішення

Використовуючи визначення вище, запишемо: 2 - 3 = 1 2 3

Підрахуємо знаменник цього дробу та отримаємо 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тоді відповідь така: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Приклад 7

Зведіть 1 , 43 у ступінь - 2 .

Рішення

Переформулюємо: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Обчислюємо квадрат у знаменнику: 1,43 · 1,43. Десяткові дроби можна помножити в такий спосіб:

У результаті ми вийшло (1 , 43) - 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Цей результат нам залишилося записати у вигляді звичайного дробу, для чого необхідно помножити його на 10 тисяч (див. матеріал про перетворення дробів).

Відповідь: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Окремий випадок – зведення числа в мінус перший ступінь. Значення такого ступеня дорівнює числу, зворотному вихідному значенню основи: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Приклад 8

Приклад: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Як звести число в дробовий ступінь

Для виконання такої операції нам потрібно згадати базове визначення ступеня з дробовим показником: a m n = a m n за будь-якого позитивного a , загалом m і натурального n .

Визначення 2

Таким чином, обчислення дробового ступеня потрібно виконувати у дві дії: зведення в цілий ступінь і знаходження кореня n-ного ступеня.

Ми маємо рівність a m n = a m n , яка, враховуючи властивості коренів, зазвичай застосовується для розв'язання задач у вигляді a m n = a n m . Це означає, що й ми зводимо число a в дробову ступінь m / n , спочатку ми отримуємо корінь n -ної ступеня з а, потім зводимо результат у ступінь із цілим показником m .

Проілюструємо з прикладу.

Приклад 9

Обчисліть 8-2 3 ​​.

Рішення

Спосіб 1. Згідно з основним визначенням, ми можемо уявити це у вигляді: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Тепер підрахуємо ступінь під коренем і отримаємо корінь третього ступеня з результату: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Спосіб 2. Перетворимо основну рівність: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Після цього витягнемо корінь 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 і результат зведемо в квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Бачимо, що рішення ідентичні. Можна користуватися будь-яким способом, що сподобався.

Трапляються випадки, коли ступінь має показник, виражений змішаним числом або десятковим дробом. Для простоти обчислень його краще замінити звичайним дробом і рахувати, як зазначено вище.

Приклад 10

Побудуйте 44 , 89 у ступінь 2 , 5 .

Рішення

Перетворимо значення показника на звичайний дріб - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2 .

А тепер виконуємо по порядку всі дії, вказані вище: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 0 = 13 501 , 25107

Відповідь: 13 501 , 25107 .

Якщо в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня стоять великі числа, то обчислення таких ступенів з раціональними показниками – досить складна робота. Для неї зазвичай потрібна обчислювальна техніка.

Окремо зупинимося на ступені з нульовою основою та дробовим показником. Виразу виду 0 m n можна надати такий зміст: якщо m n > 0, то 0 m n = 0 m n = 0; якщо m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Як звести число до ірраціонального ступеня

Необхідність обчислити значення ступеня, у показнику якої стоїть ірраціональне число, виникає не так часто. Насправді завдання обмежується обчисленням приблизного значення (до деякої кількості знаків після коми). Зазвичай це вважають на комп'ютері через складність таких підрахунків, тому докладно зупинятись на цьому не будемо, зазначимо лише основні положення.

Якщо потрібно обчислити значення ступеня a з ірраціональним показником a , ми беремо десяткове наближення показника і вважаємо у ньому. Результат і буде наближеною відповіддю. Чим точніше взяте десяткове наближення, то точніше відповідь. Покажемо на прикладі:

Приклад 11

Обчисліть наближене значення 21, 174367.

Рішення

Обмежимося десятковим наближенням a n = 1,17. Проведемо обчислення з використанням цього числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Якщо взяти, наприклад, наближення a n = 1 , 1743 , то відповідь буде трохи точніше: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Калькулятор допомагає швидко звести число в онлайн. Підставою ступеня може бути будь-які числа (як цілі, і речові). Показник ступеня також може бути цілим або речовим, а також як позитивним, так і негативним. Слід пам'ятати, що для негативних чисел зведення в нецілу ступінь не визначено і тому калькулятор повідомить про помилку у випадку, якщо ви все ж таки спробуєте це виконати.

Калькулятор ступенів

Піднести до степеня

Зведень до ступеня: 28402

Що таке натуральний ступінь числа?

Число p називають n -ою ступенем числа a якщо p дорівнює числу a , помноженому саме на себе n разів: p = a n = a ...
n - називається показником ступеня, а число a - підставою ступеня.

Як звести число до натурального ступеня?

Щоб зрозуміти, як зводити різні числа в натуральному ступені, розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1. Звести число три на четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 3 4
Рішення: як було сказано вище, 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 .
Відповідь: 3 4 = 81 .

Приклад 2. Звести число п'ять на п'яту ступінь. Тобто необхідно обчислити 5 5
Рішення: аналогічно, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125 .
Відповідь: 5 5 = 3125 .

Таким чином, щоб звести число в натуральний ступінь, достатньо лише помножити його саме на себе n разів.

Що таке негативний рівень числа?

Негативний ступінь -n числа a - це одиниця, поділена на a ступенем n: a -n = .

При цьому негативний ступінь існує тільки для відмінних від нуля чисел, тому що в іншому випадку відбувалося б поділ на нуль.

Як звести число в цілий негативний ступінь?

Щоб звести відмінне від нуля число в негативний ступінь, потрібно обчислити значення цього числа в тій же позитивній мірі та розділити одиницю на отриманий результат.

Приклад 1. Звести число два мінус четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 2-4

Рішення: як було сказано вище, 2 -4 = = = 0.0625.

Відповідь: 2 -4 = 0.0625 .