Dönme, doğada ve teknolojide sıklıkla bulunan tipik bir mekanik hareket türüdür. Herhangi bir dönme, bazı dış kuvvetlerin söz konusu sistem üzerindeki etkisinin bir sonucu olarak meydana gelir. Bu kuvvetin sözde ne olduğu, neye bağlı olduğu makalede tartışılmaktadır.
Rotasyon süreci
Tork kavramını ele almadan önce bu kavramın uygulanabileceği sistemleri karakterize edelim. Bir dönme sistemi, etrafında dairesel hareketin veya dönmenin gerçekleştirildiği bir eksenin varlığını varsayar. Bu eksenden sistemin maddi noktalarına olan mesafeye dönme yarıçapı denir.
Kinematik açısından süreç üç açısal büyüklükle karakterize edilir:
- dönme açısı θ (radyan cinsinden ölçülür);
- açısal hız ω (saniyedeki radyan cinsinden ölçülür);
- açısal ivme α (saniye kare başına radyan cinsinden ölçülür).
Bu miktarlar birbirleriyle aşağıdaki eşitliklerle ilişkilidir:
Doğadaki dönmeye örnek olarak gezegenlerin kendi yörüngeleri ve kendi eksenleri etrafında hareketleri ve kasırgaların hareketleri gösterilebilir. Günlük yaşamda ve teknolojide söz konusu hareket, motor motorları, anahtarlar, inşaat vinçleri, kapıların açılması vb. için tipiktir.
Kuvvet momentinin belirlenmesi
Şimdi yazının hemen konusuna geçelim. Fiziksel tanıma göre, dönme eksenine göre kuvvet uygulama vektörü ile kuvvetin vektörünün vektör ürünüdür. İlgili matematiksel ifade şu şekilde yazılabilir:
Burada r¯ vektörü dönme ekseninden F¯ kuvvetinin uygulama noktasına yönlendirilir.
M¯ torkuna ilişkin bu formülde, F¯ kuvveti eksen yönüne göre herhangi bir şekilde yönlendirilebilir. Bununla birlikte, eksene paralel bir kuvvet bileşeni, eğer eksen katı bir şekilde sabitlenmişse, dönme üretmeyecektir. Fizikteki çoğu problemde, dönme eksenine dik düzlemlerde bulunan F¯ kuvvetleri dikkate alınmalıdır. Bu durumlarda torkun mutlak değeri aşağıdaki formül kullanılarak belirlenebilir:
|M¯| = |r¯|*|F¯|*sin(β).
Burada β, r¯ ve F¯ vektörleri arasındaki açıdır.
Kaldıraç nedir?
Kuvvet kolu, kuvvet momentinin büyüklüğünü belirlemede önemli bir rol oynar. Neden bahsettiğimizi anlamak için aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun.
Burada, dönme noktasına uçlarından biri ile sabitlenmiş L uzunluğunda bir çubuk gösterilmektedir. Diğer uca dar bir φ açısına yönlendirilmiş bir F kuvveti etki etmektedir. Kuvvet momentinin tanımına göre şunları yazabiliriz:
M = F*L*sin(180 o -φ).
Açı (180 o -φ) ortaya çıktı çünkü L¯ vektörü sabit uçtan serbest olana doğru yönlendirildi. Trigonometrik sinüs fonksiyonunun periyodikliğini dikkate alarak bu eşitliği şu şekilde yeniden yazabiliriz:
Şimdi dikkatimizi L, d ve F kenarları üzerine inşa edilmiş bir dik üçgene çevirelim. Sinüs fonksiyonunun tanımına göre, L hipotenüsü ile φ açısının sinüsünün çarpımı d bacağının değerini verir. Sonra eşitliğe geliyoruz:
Doğrusal miktar d'ye kuvvet kolu denir. F¯ kuvvet vektöründen dönme eksenine olan mesafeye eşittir. Formülden görülebileceği gibi, M momentinin hesaplanmasında kuvvet kolu kavramının kullanılması uygundur. Ortaya çıkan formül, belirli bir F kuvveti için maksimum torkun yalnızca r¯ yarıçap vektörünün uzunluğu olduğunda ortaya çıkacağını söyler ( L¯ yukarıdaki şekilde) kuvvet koluna eşittir, yani r¯ ve F¯ karşılıklı olarak dik olacaktır.
M¯ miktarının hareket yönü
Yukarıda torkun belirli bir sistem için bir vektör özelliği olduğu gösterilmiştir. Bu vektör nereye yönlendiriliyor? İki vektörün çarpımının sonucunun, orijinal vektörlerin konum düzlemine dik bir eksen üzerinde yer alan üçüncü bir vektör olduğunu hatırlarsak, bu soruyu yanıtlamak özellikle zor değildir.
Geriye, kuvvet momentinin bahsedilen düzleme göre yukarıya mı yoksa aşağıya mı (okuyucuya doğru veya okuyucudan uzağa) yönlendirileceğine karar vermek kalıyor. Bu, gimlet kuralı veya sağ el kuralıyla belirlenebilir. İşte her iki kural da:
- Sağ el kuralı. Sağ elinizi, dört parmağı r¯ vektörünün başlangıcından sonuna ve ardından F¯ vektörünün başlangıcından sonuna kadar hareket edecek şekilde konumlandırırsanız, çıkıntılı başparmak o yönü gösterecektir. şu an M¯.
- Gimlet kuralı. Eğer hayali bir burgunun dönüş yönü sistemin dönme hareketinin yönüyle çakışıyorsa, bu durumda jiletin öteleme hareketi M¯ vektörünün yönünü gösterecektir. Yalnızca saat yönünde döndüğünü unutmayın.
Her iki kural da eşittir, dolayısıyla herkes kendisi için daha uygun olanı kullanabilir.
Pratik problemleri çözerken, "+" veya "-" işaretleri kullanılarak farklı tork yönleri (yukarı - aşağı, sol - sağ) dikkate alınır. M¯ momentinin pozitif yönünün, sistemin saat yönünün tersine dönmesine yol açan yön olarak kabul edildiği unutulmamalıdır. Buna göre eğer belli bir kuvvet sistemin saat yönünde dönmesine neden oluyorsa yarattığı an negatif değere sahip olacaktır.
M¯ miktarının fiziksel anlamı
Dönme fiziği ve mekaniğinde M¯ değeri, bir kuvvetin veya kuvvetler toplamının dönme gerçekleştirme yeteneğini belirler. M¯ değerinin matematiksel tanımı sadece kuvveti değil aynı zamanda uygulanmasının yarıçap vektörünü de içerdiğinden, belirtilen dönme kabiliyetini büyük ölçüde belirleyen ikincisidir. Ne tür bir yetenekten bahsettiğimizi daha açık hale getirmek için işte birkaç örnek:
- Her insan hayatında en az bir kez kapıyı kolu tutarak değil, menteşelere doğru iterek açmaya çalışmıştır. İkinci durumda, istenen sonuca ulaşmak için önemli bir çaba sarf etmeniz gerekecektir.
- Somunu cıvatadan sökmek için özel anahtarlar kullanın. Anahtar ne kadar uzun olursa somunu sökmek o kadar kolay olur.
- Kuvvet kolunun önemini anlamak için okuyucuları şu deneyi yapmaya davet ediyoruz: Bir sandalye alın ve bir elinizle onu asılı tutmaya çalışın, bir durumda elinizi vücudunuza yaslayın, diğerinde ise görevi bir el ile gerçekleştirin. düz kol. İkincisi, sandalyenin ağırlığı aynı kalsa da çoğu kişi için imkansız bir görev olacaktır.
Tork birimleri
Torkun ölçüldüğü SI birimleri hakkında da birkaç söz söylenmelidir. Bunun için yazılan formüle göre metre başına Newton (N*m) cinsinden ölçülür. Ancak bu birimler aynı zamanda fizikte iş ve enerjiyi de ölçer (1 N*m = 1 joule). İş skaler bir miktar, M¯ ise bir vektör olduğu için M¯ an için joule geçerli değildir.
Ancak kuvvet momenti birimlerinin enerji birimleriyle çakışması tesadüfi değildir. M anına kadar gerçekleştirilen sistemi döndürmek için yapılan iş aşağıdaki formülle hesaplanır:
Bundan M'nin radyan başına joule (J/rad) cinsinden de ifade edilebileceğini buluyoruz.
Dönme dinamikleri
Makalenin başında dönme hareketini tanımlamakta kullanılan kinematik özellikleri yazmıştık. Dönme dinamiğinde bu özellikleri kullanan ana denklem aşağıdaki gibidir:
Atalet momenti I olan bir sistem üzerinde M momentinin etkisi, açısal ivmenin (α) ortaya çıkmasına neden olur.
Bu formül teknolojide dönmenin açısal frekanslarını belirlemek için kullanılır. Örneğin, stator bobinindeki akımın frekansına ve değişen manyetik alanın büyüklüğüne bağlı olan asenkron bir motorun torkunun bilinmesinin yanı sıra dönen rotorun atalet özelliklerinin bilinmesi, aşağıdakileri belirlemek mümkündür: Motor rotorunun bilinen bir t süresinde hangi dönüş hızına (ω) döndüğü.
Sorun çözümü örneği
2 metre uzunluğundaki ağırlıksız kolun ortasında bir destek bulunmaktadır. Desteğin diğer tarafında 0,5 metre mesafede 10 kg ağırlığında bir yük yatıyorsa, kolun bir ucuna denge durumunda olması için hangi ağırlık yerleştirilmelidir?
Yüklerin oluşturduğu kuvvet momentleri büyüklük olarak eşit olursa ne olacağı açıktır. Bu problemde anı yaratan kuvvet vücudun ağırlığıdır. Kuvvet kolları, yüklerden desteğe olan mesafelere eşittir. Karşılık gelen eşitliği yazalım:
m 1 *g*d 1 = m 2 *g*d 2 =>
P 2 = m 2 *g = m 1 *g*d 1 /d 2 .
Problem koşullarından m 1 = 10 kg, d 1 = 0,5 m, d 2 = 1 m değerlerini değiştirirsek P 2 ağırlığını elde ederiz.Yazılı eşitlik şu cevabı verir: P 2 = 49,05 newton.
Tanım
O noktasından (Şekil 1) kuvvetin vektörün kendisine uygulandığı noktaya kadar çizilen yarıçap - vektörün () vektör çarpımına, O noktasına göre kuvvet momenti () denir:
Şekil 1'de O noktası ile kuvvet vektörü () ve yarıçap vektörü şekil düzlemindedir. Bu durumda kuvvet momentinin vektörü () çizim düzlemine diktir ve bizden uzak bir yöne sahiptir. Kuvvet momentinin vektörü ekseneldir. Kuvvet moment vektörünün yönü, O noktası etrafında kuvvet yönünde dönme ve vektörün sağ yönlü bir sistem oluşturacağı şekilde seçilir. Kuvvetlerin momentinin yönü ve açısal ivme çakışmaktadır.
Vektörün büyüklüğü:
yarıçap ve kuvvet vektör yönleri arasındaki açı, O noktasına göre kuvvet koludur.
Eksen etrafındaki kuvvet momenti
Bir eksene göre kuvvet momenti, seçilen eksenin noktasına göre kuvvet momenti vektörünün belirli bir eksene izdüşümüne eşit fiziksel bir niceliktir. Bu durumda nokta seçiminin bir önemi yoktur.
Gücün ana anı
O noktasına göre bir dizi kuvvetin ana momentine, aynı noktaya göre sistemde etki eden tüm kuvvetlerin momentlerinin toplamına eşit olan bir vektör (kuvvet momenti) denir:
Bu durumda O noktasına kuvvetler sisteminin indirgenme merkezi denir.
Kuvvetleri getiren farklı iki merkeze (O ve O') ait bir kuvvet sistemi için iki ana moment ( ve ) varsa, bunlar şu ifadeyle ilişkilendirilir:
O noktasından O’ noktasına çizilen yarıçap vektörü kuvvet sisteminin ana vektörüdür.
Genel durumda, keyfi bir kuvvet sisteminin katı bir cisim üzerindeki etkisinin sonucu, kuvvetler sisteminin ana momentinin ve kuvvetler sisteminin ana vektörünün cisim üzerindeki etkisi ile aynıdır; indirgemenin merkezine (O noktası) uygulanır.
Dönme hareketi dinamiğinin temel yasası
dönme halindeki bir cismin açısal momentumu nerede.
Katı bir cisim için bu yasa şu şekilde temsil edilebilir:
burada I cismin eylemsizlik momentidir ve açısal ivmedir.
Tork birimleri
SI sisteminde kuvvet momentinin temel ölçüm birimi: [M]=N m
GHS'de: [M]=din cm
Problem çözme örnekleri
Örnek
Egzersiz yapmak.Şekil 1, OO" dönme eksenine sahip bir cismi göstermektedir. Belirli bir eksene göre cisme uygulanan kuvvetin momenti sıfıra eşit olacaktır? Eksen ve kuvvet vektörü şeklin düzleminde yer almaktadır.
Çözüm. Sorunu çözmek için temel olarak kuvvet momentini belirleyen formülü alacağız:
Vektör çarpımında (şekilde görülebilir). Kuvvet vektörü ile yarıçap vektörü arasındaki açı da sıfırdan farklı olacaktır (veya), dolayısıyla vektör çarpımı (1.1) sıfıra eşit olmayacaktır. Bu, kuvvet momentinin sıfırdan farklı olduğu anlamına gelir.
Cevap.
Örnek
Egzersiz yapmak. Dönen katı bir cismin açısal hızı, Şekil 2'de gösterilen grafiğe göre değişir. Grafikte gösterilen noktalardan hangisinde cisme uygulanan kuvvetlerin momenti sıfırdır?
Bu da omuz tarafından uygulanan kuvvetin çarpımına eşittir.
Kuvvet momenti aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Nerede F- güç, ben- güçlü omuz.
Gücün omuzu- bu, kuvvetin etki hattından vücudun dönme eksenine kadar olan en kısa mesafedir. Aşağıdaki şekil bir eksen etrafında dönebilen katı bir gövdeyi göstermektedir. Bu cismin dönme ekseni şeklin düzlemine diktir ve O harfi ile gösterilen noktadan geçer. Kuvvetin omuzu ft işte mesafe ben, dönme ekseninden kuvvetin etki çizgisine kadar. Bu şekilde tanımlanır. İlk adım, kuvvetin etki çizgisini çizmek, ardından cismin dönme ekseninin geçtiği O noktasından kuvvetin etki çizgisine dik bir çizgi çizmektir. Bu dikin uzunluğunun belirli bir kuvvetin kolu olduğu ortaya çıkar.
Kuvvet momenti, bir kuvvetin dönme hareketini karakterize eder. Bu eylem hem güce hem de kaldıraca bağlıdır. Kol ne kadar büyük olursa, istenen sonucu, yani aynı kuvvet momentini elde etmek için o kadar az kuvvet uygulanması gerekir (yukarıdaki şekle bakın). Bu nedenle bir kapıyı menteşelerin yakınına iterek açmak, kolu kavramaktan çok daha zordur ve bir somunu uzun bir anahtarla sökmek kısa bir anahtarla çözmekten çok daha kolaydır.
SI kuvvet momenti birimi, kolu 1 m - Newton metreye (Nm) eşit olan 1 N'lik bir kuvvet momenti olarak alınır.
Anların kuralı.
Sabit bir eksen etrafında dönebilen katı bir cisim, kuvvet momenti eşitse dengededir. M1 saat yönünde döndürmek kuvvet momentine eşittir M 2 saat yönünün tersine döndürür:
Momentler kuralı, 1687'de Fransız bilim adamı P. Varignon tarafından formüle edilen mekanik teoremlerinden birinin sonucudur.
Birkaç kuvvet.
Bir cismin üzerine aynı düz çizgi üzerinde yer almayan 2 eşit ve zıt yönlü kuvvet etki ediyorsa, bu durumda böyle bir cisim dengede değildir, çünkü bu kuvvetlerin herhangi bir eksene göre ortaya çıkan momenti sıfıra eşit değildir, çünkü her iki kuvvetin de aynı yöne yönlendirilmiş momentleri vardır. Bir cismin üzerine aynı anda etki eden iki kuvvete ne ad verilir? birkaç kuvvet. Vücut bir eksene sabitlenmişse, bir çift kuvvetin etkisi altında dönecektir. Serbest bir cisme birkaç kuvvet uygulanırsa kendi ekseni etrafında dönecektir. Vücudun ağırlık merkezinden geçen şekil B.
Bir kuvvet çiftinin momenti, kuvvet çiftinin düzlemine dik olan herhangi bir eksene göre aynıdır. Toplam an Mçiftleri her zaman kuvvetlerden birinin çarpımına eşittir F bir mesafeye ben denilen kuvvetler arasındaki çiftin omuz, hangi segment olursa olsun ben, ve çiftin omuz ekseninin konumunu paylaşır:
Bileşkesi sıfır olan birkaç kuvvetin momenti, birbirine paralel tüm eksenlere göre aynı olacaktır, bu nedenle tüm bu kuvvetlerin vücut üzerindeki etkisi, aynı kuvvete sahip bir çift kuvvetin etkisi ile değiştirilebilir. an.
Makalede bir nokta ve eksene göre kuvvet momenti, tanımlar, çizimler ve grafikler, kuvvet momentinin hangi ölçü birimi, dönme hareketinde iş ve kuvvetin yanı sıra örnekler ve problemlerden bahsedeceğiz.
Güç anı vektörlerin çarpımına eşit fiziksel miktardaki bir vektörü temsil eder omuz gücü(parçacığın yarıçap vektörü) ve kuvvet, bir noktaya göre hareket etmek. Kuvvet kolu, katı bir cismin dönme ekseninin geçtiği noktayı kuvvetin uygulandığı noktaya bağlayan bir vektördür.
burada: r kuvvet koludur, F gövdeye uygulanan kuvvettir.
Vektör yönü moment kuvvetleri r ve F vektörleri tarafından tanımlanan düzleme her zaman diktir.
Ana nokta- kabul edilen direğe göre bir düzlem üzerindeki herhangi bir kuvvet sistemine, bu sistemin tüm kuvvetlerinin bu direğe göre momentinin cebirsel momenti denir.
Dönme hareketlerinde sadece fiziksel büyüklükler değil, aynı zamanda dönme eksenine göre nasıl konumlandıkları da önemlidir. anlar. Dönme hareketinde sadece kütlenin değil aynı zamanda kütlenin de önemli olduğunu zaten biliyoruz. Bir kuvvet söz konusu olduğunda, ivmeyi tetiklemedeki etkinliği, kuvvetin dönme eksenine uygulanma şekliyle belirlenir.
Kuvvet ile uygulanma şekli arasındaki ilişki açıklanmaktadır. GÜÇ ANI. Kuvvet momenti kuvvet kolunun vektör ürünüdür R kuvvet vektörüne F:
Her vektör çarpımında olduğu gibi burada da
Bu nedenle kuvvet vektörleri arasındaki açı olduğunda kuvvet dönmeyi etkilemeyecektir. F ve kaldıraç R 0 o veya 180 o'ya eşittir. Bir anlık kuvvet uygulamanın etkisi nedir? M?
Newton'un İkinci Hareket Yasasını ve ip ile açısal hız arasındaki ilişkiyi kullanıyoruz v = Rω Skaler formda, vektörler aşağıdaki durumlarda geçerlidir: R Ve ω birbirine dik
Denklemin her iki tarafını da R ile çarparsak, şunu elde ederiz:
mR 2 = I olduğundan şu sonuca varıyoruz:
Yukarıdaki bağımlılık maddi bir cisim için de geçerlidir. Dış kuvvetin doğrusal bir ivme verdiğini unutmayın. A, dış kuvvetin momenti açısal ivmeyi verir ε.
Kuvvet momentinin ölçü birimi
SI sistem koordinatındaki kuvvet momentinin ana ölçüsü: [M]=N m
GHS'de: [M]=din cm
Dönme hareketinde iş ve kuvvet
Doğrusal harekette iş genel ifadeyle belirlenir,
ancak dönme hareketinde,
ve sonuç olarak
Üç vektörün karma çarpımının özelliklerine dayanarak şunu yazabiliriz:
Bu nedenle için bir ifade elde ettik. dönme hareketiyle çalışın:
Dönme hareketinde güç:
Bulmak güç anı, Aşağıdaki şekillerde gösterilen durumlarda vücuda etki eden. r = 1m ve F = 2N olduğunu varsayalım.
A) r ve F vektörleri arasındaki açı 90° olduğundan sin(a)=1:
M = r F = 1m 2N = 2Nm
B) r ve F vektörleri arasındaki açı 0° olduğundan sin(a)=0:
M = 0
evet yönlendirildi güç bir puan veremem dönme hareketi.
C) r ve F vektörleri arasındaki açı 30° olduğundan sin(a)=0,5:
M = 0,5 r F = 1 Nm.
Böylece yönlendirilen kuvvet neden olur vücut dönüşü ancak etkisi duruma göre daha az olacaktır. A).
Eksen etrafındaki kuvvet momenti
Verilerin bir nokta olduğunu varsayalım Ö(kutup) ve güç P. Noktada Ö dikdörtgen koordinat sisteminin kökenini alıyoruz. Güç anı R kutuplarla ilgili olarak Ö bir vektörü temsil eder M'den (R), (Resim aşağıda) .
Herhangi bir nokta Açevrimiçi P
koordinatları var (xo, yo, zo).
Kuvvet vektörü P
koordinatları var Px, Py, Pz.
Birleştirme noktası A (xo, yo, zo) sistemin başlangıcıyla vektörü elde ederiz P. Vektör koordinatlarını zorla P
direğe göre Ö sembollerle gösterilir Mx, Benim, Mz.
Bu koordinatlar belirli bir determinantın minimumları olarak hesaplanabilir, burada ( ben, j, k) - koordinat eksenlerindeki birim vektörler (seçenekler): ben, j, k
Determinant çözüldükten sonra anın koordinatları şuna eşit olacaktır:
Moment vektör koordinatları Ay (P) karşılık gelen eksene göre kuvvet momentleri denir. Örneğin kuvvet momenti P eksene göre Ozçevreleyen şablon:
Mz = Pikso - Pkyo
Bu desen aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi geometrik olarak yorumlanır.
Bu yoruma göre kuvvetin eksene göre momenti Oz kuvvet projeksiyon anı olarak tanımlanabilir P
eksene dik Oz eksen tarafından bu düzlemin nüfuz ettiği noktaya göre. Kuvvet projeksiyonu P
eksene dik olarak belirtilir Pxy
ve düzlem penetrasyon noktası Oksi- eksen işletim sistemi sembol Ö.
Bir eksen etrafındaki kuvvetin momentinin yukarıdaki tanımından, kuvvet ve eksen aynı düzlemde eşit olduğunda (kuvvet eksene paralel olduğunda veya kuvvet eksene göre olduğunda) bir kuvvetin eksen etrafındaki momentinin sıfır olduğu sonucu çıkar. kuvvet eksenle kesiştiğinde).
Formülleri kullanarak Mx, benim, Mz,
kuvvet momentinin değerini hesaplayabiliriz P
noktaya göre Ö ve vektör arasındaki açıları belirleyin M
ve sistem eksenleri:
Tork işareti:
artı (+) - kuvvetin O ekseni etrafında saat yönünde dönmesi,
eksi (-) — kuvvetin O ekseni etrafında saat yönünün tersine dönmesi.
Bir anlık güç kuvvetin etki düzlemindeki keyfi bir merkeze göre kuvvet modülü ile omuzun çarpımı denir.
Omuz- O merkezinden kuvvetin etki çizgisine kadar olan en kısa mesafe, ancak kuvvetin uygulama noktasına kadar değil, çünkü kuvvet kayan vektör.
An işareti:
Saat yönünde - eksi, saat yönünün tersine - artı;
Kuvvet momenti bir vektör olarak ifade edilebilir. Bu, Gimlet kuralına göre düzleme diktir.
Düzlemde birden fazla kuvvet veya kuvvet sistemi bulunuyorsa, bunların momentlerinin cebirsel toplamı bize şunu verecektir: ana nokta kuvvet sistemleri.
Kuvvetin eksene göre momentini ele alalım, kuvvetin Z eksenine göre momentini hesaplayalım;
F'yi XY'ye yansıtalım;
F xy =F cosa= ab
m 0 (F xy)=m z (F), yani m z =F xy * H= F cosa* H
Eksene göre kuvvet momenti, eksenlerin ve düzlemin kesişme noktasında alınan eksene dik düzlem üzerine izdüşüm anına eşittir.
Kuvvet eksene paralelse veya onu kesiyorsa m z (F)=0
Kuvvet momentinin vektör ifadesi olarak ifade edilmesi
A noktasına r a çizelim. OA x F'yi düşünün.
Bu, düzleme dik olan üçüncü m o vektörüdür. Çapraz çarpımın büyüklüğü, gölgeli üçgenin alanının iki katı kullanılarak hesaplanabilir.
Koordinat eksenlerine göre kuvvetin analitik ifadesi.
Birim vektörleri i, j, k olan Y ve Z, X eksenlerinin O noktasıyla ilişkili olduğunu varsayalım. Bunu dikkate alarak:
r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y şunu elde ederiz: m o (F)=x =
Determinantını genişletelim ve şunu elde edelim:
m x =YF z - ZF y
m y =ZF x - XF z
m z =XF y - YF x
Bu formüller, vektör momentinin eksen üzerindeki izdüşümünü ve ardından vektör momentinin kendisini hesaplamayı mümkün kılar.
Bileşke anına ilişkin Varignon teoremi
Bir kuvvetler sisteminin bir sonucu varsa, o zaman herhangi bir merkeze göre momenti, tüm kuvvetlerin bu noktaya göre momentlerinin cebirsel toplamına eşittir.
Q= -R uygularsak sistem (Q,F 1 ... F n) eşit derecede dengeli olacaktır.
Herhangi bir merkeze göre momentlerin toplamı sıfıra eşit olacaktır.
Düzlemsel kuvvetler sistemi için analitik denge koşulu
Bu, etki çizgileri aynı düzlemde bulunan düz bir kuvvet sistemidir.
Bu tip problemlerin hesaplanmasındaki amaç dış bağlantıların tepkilerini belirlemektir. Bunu yapmak için düzlem kuvvet sistemindeki temel denklemler kullanılır.
2 veya 3 moment denklemleri kullanılabilir.
Örnek
X ve Y eksenindeki tüm kuvvetlerin toplamı için bir denklem oluşturalım:
A noktasına göre tüm kuvvetlerin momentlerinin toplamı:
Paralel kuvvetler
A noktasının denklemi:
B noktasının denklemi:
Y ekseni üzerindeki kuvvetlerin izdüşümlerinin toplamı.
