Bu materyalde bir sayının kuvvetinin ne olduğuna bakacağız. Temel tanımların yanı sıra doğal, tamsayı, rasyonel ve irrasyonel üslü kuvvetlerin neler olduğunu formüle edeceğiz. Her zaman olduğu gibi tüm kavramlar örnek problemlerle anlatılacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İlk olarak, bir derecenin temel tanımını doğal bir üsle formüle edelim. Bunu yapmak için çarpma işleminin temel kurallarını hatırlamamız gerekir. Şimdilik gerçek sayıyı (a harfiyle gösterilen), gösterge olarak da doğal sayıyı (n harfiyle gösterilen) esas alacağımızı önceden belirtelim.

Tanım 1

Doğal üssü n olan bir a sayısının kuvveti, her biri a sayısına eşit olan n'inci faktör sayısının çarpımıdır. Derece şu şekilde yazılır: BİR ve bir formül biçiminde bileşimi şu şekilde temsil edilebilir:

Örneğin üs 1 ve taban a ise a'nın birinci kuvveti şu şekilde yazılır: 1. a'nın faktörün değeri ve 1'in faktör sayısı olduğu göz önüne alındığında, şu sonuca varabiliriz: bir 1 = bir.

Genel olarak derecenin çok sayıda eşit faktörü yazmanın uygun bir şekli olduğunu söyleyebiliriz. Yani formun bir kaydı 8 8 8 8 kısaltılabilir 8 4 . Aynı şekilde ürün, çok sayıda terim yazmaktan kaçınmamıza yardımcı olur (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Bunu doğal sayıların çarpımına ayrılmış makalede zaten tartışmıştık.

Derece girişi nasıl doğru okunur? Genel olarak kabul edilen seçenek “a üzeri n”dir. Veya “a'nın n'inci kuvveti” veya “anth kuvveti” diyebilirsiniz. Diyelim ki örnekte girişle karşılaştık 8 12 "8 üssü 12", "8 üssü 12" veya "8'in 12. kuvveti" şeklinde okuyabiliriz.

Sayıların ikinci ve üçüncü kuvvetlerinin kendi yerleşik isimleri vardır: kare ve küp. İkinci kuvveti görürsek örneğin 7 (7 2) sayısını görürsek “7'nin karesi” veya “7 sayısının karesi” diyebiliriz. Benzer şekilde üçüncü derece şu şekilde okunur: 5 3 - bu “5 ​​sayısının küpü” veya “5'in küpü”dür. Ancak standart formülasyonu “ikinci/üçüncü kuvvete” de kullanabilirsiniz; bu bir hata olmayacaktır.

örnek 1

Doğal üssü olan bir derece örneğine bakalım: 5 7 beşi taban, yedisi üs olacak.

Tabanın bir tam sayı olması gerekmez: derece için (4 , 32) 9 taban kesir 4, 32, üs ise dokuz olacaktır. Parantezlere dikkat edin: Bu gösterim, tabanları doğal sayılardan farklı olan tüm kuvvetler için yapılır.

Örneğin: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Parantez ne işe yarar? Hesaplamalardaki hataların önlenmesine yardımcı olurlar. Diyelim ki iki girdimiz var: (− 2) 3 Ve − 2 3 . Bunlardan ilki, doğal üssü üç olan bir kuvvete yükseltilmiş negatif bir sayı eksi iki anlamına gelir; ikincisi derecenin karşıt değerine karşılık gelen sayıdır 2 3 .

Bazen kitaplarda bir sayının kuvvetinin biraz farklı yazılışını bulabilirsiniz - bir^n(burada a taban ve n üstür). Yani 4^9 eşittir 4 9 . Eğer n çok basamaklı bir sayı ise parantez içine alınır. Örneğin, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ama notasyonu kullanacağız BİR daha yaygın olduğu için.

Bir üssün değerinin doğal bir üsle nasıl hesaplanacağını tanımından tahmin etmek kolaydır: sadece n'inci sayıda çarpmanız gerekir. Bunun hakkında daha fazla bilgiyi başka bir makalede yazdık.

Derece kavramı, başka bir matematik kavramının, bir sayının kökü olanın tersidir. Gücün değerini ve üssünü bilirsek tabanını hesaplayabiliriz. Derecenin, ayrı bir materyalde tartıştığımız, problemlerin çözümünde yararlı olan bazı spesifik özellikleri vardır.

Üsler yalnızca doğal sayıları değil, aynı zamanda tamsayılar kümesine ait oldukları için negatif olanlar ve sıfırlar da dahil olmak üzere genel olarak herhangi bir tamsayı değerini de içerebilir.

Tanım 2

Pozitif tamsayı üssü olan bir sayının kuvveti bir formülle temsil edilebilir: .

Bu durumda n herhangi bir pozitif tam sayıdır.

Sıfır derece kavramını anlayalım. Bunu yapmak için eşit tabanlara sahip kuvvetler için bölüm özelliğini dikkate alan bir yaklaşım kullanıyoruz. Bu şekilde formüle edilmiştir:

Tanım 3

Eşitlik a m: a n = a m - n aşağıdaki koşullar altında doğru olacaktır: m ve n doğal sayılardır, m< n , a ≠ 0 .

Son koşul önemlidir çünkü sıfıra bölünmeyi önler. M ve n değerleri eşitse aşağıdaki sonucu elde ederiz: bir n: bir n = bir n - n = bir 0

Ama aynı zamanda a n: a n = 1 eşit sayıların bölümüdür BİR ve bir. Sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin bire eşit olduğu ortaya çıktı.

Ancak böyle bir ispat sıfırın sıfırıncı kuvveti için geçerli değildir. Bunu yapmak için güçlerin başka bir özelliğine ihtiyacımız var; eşit temellere sahip güçlerin çarpımlarının özelliği. Şuna benziyor: bir m · bir n = bir m + n .

Eğer n 0'a eşitse, o zaman a m · a 0 = a m(Bu eşitlik aynı zamanda bize şunu da kanıtlıyor: 0 = 1). Ama eğer ve de sıfıra eşitse eşitliğimiz şu şekli alır: 0 m · 0 0 = 0 m n'nin herhangi bir doğal değeri için bu doğru olacaktır ve derecenin değerinin tam olarak neye eşit olduğu önemli değildir. 0 0 yani herhangi bir sayıya eşit olabilir ve bu eşitliğin doğruluğunu etkilemez. Bu nedenle formun notasyonu 0 0 kendine özel bir anlamı yoktur ve biz de ona atfetmeyeceğiz.

İstenirse bunu kontrol etmek kolaydır 0 = 1 derece özelliği ile yakınsar (bir m) n = bir m n derecenin tabanının sıfır olmaması şartıyla. Dolayısıyla sıfır üssü sıfır olan herhangi bir sayının kuvveti birdir.

Örnek 2

Belirli sayıların olduğu bir örneğe bakalım: 5 0 - birim, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ve değer 0 0 Tanımsız.

Sıfır dereceden sonra negatif derecenin ne olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için yukarıda kullandığımız eşit tabanlı kuvvetlerin çarpımının aynı özelliğine ihtiyacımız var: a m · a n = a m + n.

Şimdi şu koşulu getirelim: m = − n, o zaman a sıfıra eşit olmamalıdır. Şunu takip ediyor bir - n · bir n = bir - n + n = bir 0 = 1. Görünüşe göre bir n ve a−n Karşılıklı olarak karşılıklı sayılarımız var.

Sonuç olarak, a'nın negatif tam kuvveti 1 a n kesirinden başka bir şey değildir.

Bu formülasyon, negatif tam sayı üslü bir derece için, doğal üslü bir derecenin sahip olduğu tüm aynı özelliklerin geçerli olduğunu doğrular (tabanın sıfıra eşit olmaması şartıyla).

Örnek 3

Negatif tamsayı üssü n olan bir a kuvveti, 1 a n kesri olarak temsil edilebilir. Dolayısıyla a - n = 1 a n bir ≠ 0 ve n herhangi bir doğal sayıdır.

Fikrimizi spesifik örneklerle açıklayalım:

Örnek 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paragrafın son kısmında söylenen her şeyi net bir şekilde tek bir formülle tasvir etmeye çalışacağız:

Tanım 4

Doğal üssü z olan bir sayının kuvveti şöyledir: a z = a z, e ile l ve z - pozitif tamsayı 1, z = 0 ve a ≠ 0, (z = 0 ve a = 0 için sonuç 0 0'dır, ifadesinin değerleri 0 0 tanımlanmamıştır) 1 a z, if ve z negatif bir tam sayı ise ve a ≠ 0 ( z negatif bir tam sayı ise ve a = 0 ise 0 z elde edersiniz, egoz değeri belirsizdir)

Rasyonel üssü olan kuvvetler nelerdir?

Üssün tam sayı içerdiği durumları inceledik. Bununla birlikte, üssü kesirli bir sayı içerse bile bir sayının üssünü yükseltebilirsiniz. Buna rasyonel üssü olan kuvvet denir. Bu bölümde diğer güçlerle aynı özelliklere sahip olduğunu kanıtlayacağız.

Rasyonel sayılar nedir? Kümeleri hem tam hem de kesirli sayıları içerir ve kesirli sayılar sıradan kesirler (hem pozitif hem de negatif) olarak temsil edilebilir. Bir a sayısının kuvvetinin tanımını m / n kesirli üssüyle formüle edelim; burada n bir doğal sayı ve m bir tam sayıdır.

Kesirli a m n üssüne sahip bir derecemiz var. Güç-güç özelliğinin geçerli olabilmesi için a m n n = a m n · n = a m eşitliğinin doğru olması gerekir.

N'inci kökün tanımı ve a m n n = a m olduğu göz önüne alındığında, m, n ve a'nın verilen değerleri için a m n anlamlıysa a m n = a m n koşulunu kabul edebiliriz.

Tamsayı üssü olan bir derecenin yukarıdaki özellikleri a m n = a m n koşulu altında doğru olacaktır.

Akıl yürütmemizden çıkan ana sonuç şudur: m / n kesirli üssü olan belirli bir a sayısının kuvveti, a sayısının m üssünün n'inci köküdür. Verilen m, n ve a değerleri için a m n ifadesinin anlamlı kalması durumunda bu doğrudur.

1. Derecenin tabanının değerini sınırlayabiliriz: m'nin pozitif değerleri için 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak ve negatif değerler için - kesinlikle daha az olacak bir a alalım (çünkü m ≤ 0 için) aldık 0 m ancak böyle bir derece tanımlanmamıştır). Bu durumda kesirli üslü bir derecenin tanımı şöyle görünecektir:

Pozitif bir a sayısı için kesirli üssü m/n olan bir kuvvet, a'nın m kuvvetine yükseltilmiş n'inci köküdür. Bu bir formülle ifade edilebilir:

Sıfır tabanlı bir kuvvet için bu hüküm de uygundur, ancak yalnızca üssü pozitif bir sayı ise.

Tabanı sıfır ve kesirli pozitif üssü m/n olan bir kuvvet şu şekilde ifade edilebilir:

0 m n = 0 m n = 0, m'nin pozitif bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olması koşuluyla.

Negatif bir oran için m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Bir noktaya dikkat edelim. a'nın sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması koşulunu getirdiğimizden, bazı durumları göz ardı ettik.

A m n ifadesi bazen a ve bazı m'nin bazı negatif değerleri için hala anlamlıdır. Dolayısıyla doğru girişler (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 olup tabanı negatiftir.

2. İkinci yaklaşım, a m n kökünü çift ve tek üslerle ayrı ayrı ele almaktır. O zaman bir koşul daha eklememiz gerekecek: üssünde indirgenebilir bir sıradan kesir bulunan a derecesi, üssünde karşılık gelen indirgenemez kesirin bulunduğu a derecesi olarak kabul edilir. Daha sonra neden bu duruma ihtiyacımız olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu açıklayacağız. Dolayısıyla, eğer a m · k n · k notasyonuna sahipsek, bunu a m n'ye indirgeyebilir ve hesaplamaları basitleştirebiliriz.

Eğer n tek bir sayıysa ve m'nin değeri pozitifse ve a negatif olmayan herhangi bir sayıysa, o zaman a m n anlamlıdır. A'nın negatif olmaması koşulu gereklidir çünkü negatif bir sayıdan çift dereceli bir kök çıkarılamaz. Eğer m'nin değeri pozitifse, a hem negatif hem de sıfır olabilir, çünkü Tek kök herhangi bir gerçek sayıdan alınabilir.

Yukarıdaki tanımların tümünü tek bir girişte birleştirelim:

Burada m/n indirgenemez bir kesir anlamına gelir; m herhangi bir tam sayıdır ve n herhangi bir doğal sayıdır.

Tanım 5

Herhangi bir sıradan indirgenebilir kesir m · k n · k için derece, a m n ile değiştirilebilir.

İndirgenemez kesirli üssü m / n olan bir a sayısının kuvveti aşağıdaki durumlarda mn olarak ifade edilebilir: - herhangi bir gerçek a için, pozitif tamsayı değerleri m ve tek doğal değerler n. Örnek: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Sıfırdan farklı herhangi bir gerçek a, m'nin negatif tamsayı değerleri ve n'nin tek değerleri için, örneğin, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Negatif olmayan herhangi bir a, pozitif tam sayı m ve hatta n için, örneğin, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Herhangi bir pozitif a, negatif tamsayı m ve çift n için, örneğin, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Diğer değerlerde kesirli üslü derece belirlenmez. Bu tür derecelere örnekler: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Şimdi yukarıda tartışılan koşulun önemini açıklayalım: neden indirgenebilir üssü olan bir kesiri indirgenemez üssü olan bir kesirle değiştirelim? Eğer bunu yapmasaydık şu durumlarla karşı karşıya kalacaktık: 6/10 = 3/5. O halde doğru olmalıdır (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ancak - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ve (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

İlk olarak sunduğumuz kesirli üslü derece tanımının pratikte kullanılması ikinciye göre daha uygundur, bu yüzden onu kullanmaya devam edeceğiz.

Tanım 6

Böylece, kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır. Negatif olması durumunda A a m n notasyonu bir anlam ifade etmiyor. Pozitif kesirli üsler için sıfırın kuvveti a/n 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır, negatif kesirli üsler için sıfır derecesini tanımlamıyoruz.

Sonuç olarak, herhangi bir kesirli göstergeyi hem karışık sayı hem de ondalık kesir olarak yazabileceğinizi not ediyoruz: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Hesaplarken, üssü sıradan bir kesirle değiştirmek ve ardından üssün tanımını kesirli bir üsle kullanmak daha iyidir. Yukarıdaki örnekler için şunu elde ederiz:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

İrrasyonel ve gerçek üslü kuvvetler nelerdir?

Gerçek sayılar nedir? Kümeleri hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları içerir. Bu nedenle reel üslü derecenin ne olduğunu anlayabilmek için rasyonel ve irrasyonel üslü dereceleri tanımlamamız gerekir. Yukarıda rasyonel olanlardan bahsetmiştik. İrrasyonel göstergelerle adım adım ilgilenelim.

Örnek 5

İrrasyonel bir a sayısı ve onun ondalık yaklaşıkları olan a 0 , a 1 , a 2 , dizisine sahip olduğumuzu varsayalım. . . . Örneğin a = 1,67175331 değerini alalım. . . , Daha sonra

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Yaklaşım dizilerini a a 0 , a a 1 , a a 2 , derece dizileriyle ilişkilendirebiliriz. . . . Sayıların rasyonel kuvvetlere yükseltilmesi konusunda daha önce söylediklerimizi hatırlarsak, o zaman bu kuvvetlerin değerlerini kendimiz hesaplayabiliriz.

Örneğin ele alalım bir = 3, bu durumda a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . vesaire.

Kuvvetler dizisi, a tabanı ve irrasyonel üssü a olan kuvvetin değeri olacak bir sayıya indirgenebilir. Sonuç olarak: 3 1, 67175331 formunun irrasyonel üssüne sahip bir derece. . 6, 27 sayılarına kadar azaltılabilir.

Tanım 7

İrrasyonel bir a üssüne sahip pozitif bir a sayısının kuvveti a olarak yazılır. Değeri a a 0 , a a 1 , a a 2 , dizisinin limitidir. . . , burada a 0 , a 1 , a 2 , . . . a irrasyonel sayısının ardışık ondalık yaklaşımlarıdır. Pozitif irrasyonel üsler için sıfır tabanlı bir derece de tanımlanabilir; 0 a = 0 Yani, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ancak negatif olanlar için bu yapılamaz çünkü örneğin 0 - 5, 0 - 2 π değeri tanımlanmamıştır. Örneğin, herhangi bir irrasyonel güce yükseltilmiş bir birim bir birim olarak kalır ve 1 2, 1 5'te 2 ve 1 - 5, 1'e eşit olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu yazıda ne olduğunu anlayacağız derecesi. Burada bir sayının kuvvetinin tanımlarını vereceğiz ve doğal üsle başlayıp irrasyonel üsle biten tüm olası üsleri ayrıntılı olarak ele alacağız. Materyalde, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü kuvvet, sayının karesi, sayının küpü

İle başlayalım . İleriye baktığımızda, doğal üssü n olan bir a sayısının kuvvetinin tanımının a olarak adlandıracağımız a için verildiğini varsayalım. derece esası, ve n diyeceğiz üs. Ayrıca, doğal üslü bir derecenin bir çarpım yoluyla belirlendiğini de not ediyoruz; bu nedenle, aşağıdaki materyali anlamak için sayıları çarpma konusunda bilgi sahibi olmanız gerekir.

Tanım.

Doğal üssü n olan bir sayının kuvveti değeri, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımına eşit olan, yani n formunun bir ifadesidir.
Özellikle üssü 1 olan bir a sayısının kuvveti a sayısının kendisidir, yani a 1 =a'dır.

Derece okuma kurallarından hemen bahsetmeye değer. a n gösterimini okumanın evrensel yolu şudur: “a üzeri n”. Bazı durumlarda şu seçenekler de kabul edilebilir: "a'nın n'inci kuvveti" ve "a'nın n'inci kuvveti". Örneğin, 8 12'nin kuvvetini ele alalım, bu "sekiz üssü on iki" veya "sekiz üssü on ikinci" veya "sekizin on ikinci kuvveti".

Bir sayının ikinci kuvvetinin yanı sıra bir sayının üçüncü kuvvetinin de kendi isimleri vardır. Bir sayının ikinci kuvvetine denir sayının karesini almakörneğin 7 2, "yedi kare" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvvetine denir küplü sayılarörneğin 5 3 “beşin küpü” olarak okunabilir veya “5 sayısının küpü” diyebilirsiniz.

getirme zamanı geldi doğal üslü derece örnekleri. Derece 5 7 ile başlayalım, burada 5 derecenin tabanı, 7 ise üssü. Bir örnek daha verelim: 4,32 taban, 9 doğal sayısı ise (4,32) 9 üssüdür.

Son örnekte 4.32'nin üssünün parantez içinde yazıldığını lütfen unutmayın: Tutarsızlıkları önlemek için, doğal sayılardan farklı olan tüm kuvvet tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak aşağıdaki dereceleri doğal üslerle birlikte veriyoruz , tabanları doğal sayı olmadığından parantez içinde yazılırlar. Tam bir açıklık sağlamak için, bu noktada (−2) 3 ve −2 3 formundaki kayıtların içerdiği farkı göstereceğiz. (−2) 3 ifadesi −2'nin doğal üssü 3 olan bir kuvvetidir ve −2 3 ifadesi (−(2 3) olarak da yazılabilir) 2 3 kuvvetinin değeri olan sayıya karşılık gelir. .

a^n biçiminde bir n üssüne sahip bir a sayısının kuvveti için bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca n çok değerli bir doğal sayı ise üs parantez içine alınır. Örneğin, 4^9, 4 9'un kuvvetinin başka bir gösterimidir. Ve burada “^” sembolünü kullanarak derece yazmanın birkaç örneği daha var: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Aşağıda öncelikle a n formunun derece gösterimini kullanacağız.

Doğal üslü bir kuvvete yükseltmenin ters problemlerinden biri, kuvvetinin bilinen bir değerinden ve bilinen bir üssünden bir kuvvetin tabanını bulma problemidir. Bu görev şuna yol açar.

Rasyonel sayılar kümesinin tamsayılardan ve kesirlerden oluştuğu ve her kesrin pozitif veya negatif sıradan kesir olarak temsil edilebildiği bilinmektedir. Bir önceki paragrafta tamsayı üslü bir derece tanımlamıştık, dolayısıyla rasyonel üslü bir derecenin tanımını tamamlamak için a sayısının derecesine m/n kesirli üslü bir anlam vermemiz gerekiyor; m bir tamsayı, n ise bir doğal sayıdır. Hadi yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir dereceyi ele alalım. Güç-güç özelliğinin geçerli kalması için eşitliğin sağlanması gerekir . Ortaya çıkan eşitliği ve nasıl belirlediğimizi dikkate alırsak, verilen m, n ve a için ifadenin anlamlı olması koşuluyla bunu kabul etmek mantıklı olacaktır.

Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin geçerli olduğunu kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin bölüm özelliklerinde yapılmıştır).

Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: m, n ve a ifadesi anlamlıysa, o zaman a'nın m/n kesirli üssüne kuvveti, a'nın m üssünün n'inci kökü olarak adlandırılır.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye kalan tek şey m, n ve a ifadesinin hangi noktada anlamlı olduğunu açıklamaktır. M, n ve a'ya getirilen kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.

En kolay yol, pozitif m için a≥0 ve negatif m için a>0 alarak a'ya bir kısıtlama getirmektir (çünkü m≤0 için m'nin 0 derecesi tanımlanmamıştır). Daha sonra kesirli üslü bir derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.

Tanım.

Kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu ifadesine, a sayısının m üssünün n'inci kökü denir.

Sıfırın kesirli kuvveti de göstergenin pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla belirlenir.

Tanım.

Kesirli pozitif üssü m/n ile sıfırın kuvveti m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere şu şekilde tanımlanır: .
Derece belirlenmediğinde yani sıfır sayısının kesirli negatif üslü derecesinin bir anlamı kalmaz.

Kesirli üslü bir derecenin bu tanımında bir uyarı bulunduğunu belirtmek gerekir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve a≥0 koşulunu getirerek bu durumları göz ardı ettik. Örneğin, girişler anlamlıdır veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüne sahip kuvvetlerin olduğunu söylemeye zorluyor tabanın negatif olmaması gerektiği için mantıklı değil.

Kesirli m/n üssüyle bir derece belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım, kökün çift ve tek üslerini ayrı ayrı dikkate almaktır. Bu yaklaşım ek bir koşul gerektirir: Üssü 0 olan a sayısının kuvveti, üssü buna karşılık gelen indirgenemez kesir olan a sayısının kuvveti olarak kabul edilir (bu koşulun önemini aşağıda açıklayacağız) ). Yani, eğer m/n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir k doğal sayısı için derece ilk önce ile değiştirilir.

Çift n ve pozitif m için, ifade negatif olmayan herhangi bir a için anlamlıdır (negatif bir sayının çift kökü anlamlı değildir); negatif m için a sayısı yine de sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde bölme işlemi olacaktır) sıfır). Tek n ve pozitif m için a sayısı herhangi bir sayı olabilir (herhangi bir gerçek sayı için tek derecenin kökü tanımlanır) ve negatif m için a sayısı sıfırdan farklı olmalıdır (böylece sayıya bölünme olmaz) sıfır).

Yukarıdaki mantık bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına götürür.

Tanım.

m/n indirgenemez bir kesir, m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun. İndirgenebilir herhangi bir kesir için derece, ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üssü m/n olan bir sayının kuvveti



İndirgenebilir kesirli üssü olan bir derecenin neden ilk önce indirgenemez üssü olan bir dereceyle değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe olarak tanımlasaydık ve m/n kesirinin indirgenemezliği konusunda bir çekince koymasaydık aşağıdakine benzer durumlarla karşı karşıya kalırdık: 6/10 = 3/5 olduğuna göre eşitliğin sağlanması gerekir. , Ancak , A .

0'dan 32'ye kadar 2 (ikili) kuvvetler tablosu

Aşağıdaki tablo, ikinin katlarına ek olarak, bir bilgisayarın belirli sayıda bit için depolayabileceği maksimum sayıları gösterir. Üstelik hem tamsayılar hem de işaretli sayılar için.

Tarihsel olarak bilgisayarlar ikili sayı sistemini ve buna bağlı olarak veri depolamayı kullanıyordu. Böylece herhangi bir sayı, sıfırlar ve birler (bilgi bitleri) dizisi olarak temsil edilebilir. Sayıları ikili dizi olarak temsil etmenin birkaç yolu vardır.

En basitlerini ele alalım - bu pozitif bir tam sayıdır. O zaman yazmamız gereken sayı ne kadar büyük olursa, ihtiyacımız olan bit dizisi de o kadar uzun olur.

Aşağıda 2 numaralı kuvvetler tablosu. Bize sayıları saklamamız gereken gerekli bit sayısının bir temsilini verecektir.

Nasıl kullanılır iki numaralı kuvvetler tablosu?

İlk sütun ikinin gücü, aynı anda sayıyı temsil eden bit sayısını belirtir.

İkinci sütun - değer ikinin uygun kuvveti (n).

2'nin kuvvetini bulma örneği. İlk sütunda 7 sayısını buluyoruz, sağa doğru çizgi boyunca bakıp değeri buluyoruz ikinin yedinci kuvveti(2 7) 128'dir

Üçüncü sütun - belirli sayıda bit kullanılarak temsil edilebilecek maksimum sayı(ilk sütunda).

Maksimum işaretsiz tam sayının belirlenmesine bir örnek. Önceki örnekteki verileri kullanarak 2 7 = 128 olduğunu biliyoruz. Ne olduğunu anlamak istiyorsak bu doğrudur. sayıların miktarı, yedi bit kullanılarak temsil edilebilir. Ama o zamandan beri ilk sayı sıfırdır ise yedi bit kullanılarak temsil edilebilecek maksimum sayı 128 - 1 = 127'dir. Bu üçüncü sütunun değeridir.

İkinin kuvveti (n)	İki değerin kuvveti 2n	Maksimum imzasız sayı n bit ile yazılmış	Maksimum imzalı sayı n bit ile yazılmış
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

Bir sayının kuvvetinin gerçekte ne olduğunu bulduk. Şimdi bunu nasıl doğru hesaplayacağımızı anlamamız gerekiyor, yani. sayıları güçlere yükseltin. Bu materyalde tamsayı, doğal, kesirli, rasyonel ve irrasyonel üsler durumunda derece hesaplamanın temel kurallarını analiz edeceğiz. Tüm tanımlar örneklerle gösterilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Üs alma kavramı

Temel tanımları formüle ederek başlayalım.

Tanım 1

Üs alma- bu, belirli bir sayının gücünün değerinin hesaplanmasıdır.

Yani “bir gücün değerini hesaplamak” ile “bir güce yükseltmek” kelimeleri aynı anlama gelmektedir. Yani problem “0, 5 sayısını beşinci kuvvetine çıkar” diyorsa, bu “(0, 5) 5 kuvvetinin değerini hesapla” şeklinde anlaşılmalıdır.

Şimdi bu tür hesaplamaları yaparken uyulması gereken temel kuralları sunuyoruz.

Doğal üssü olan bir sayının kuvvetinin ne olduğunu hatırlayalım. Tabanı a ve üssü n olan bir kuvvet için bu, her biri a'ya eşit olan n'inci sayıda faktörün çarpımı olacaktır. Bu şu şekilde yazılabilir:

Bir derecenin değerini hesaplamak için çarpma işlemi yapmanız, yani derecenin tabanlarını belirtilen sayıda çarpmanız gerekir. Doğal üslü bir derece kavramı, hızlı bir şekilde çarpma yeteneğine dayanmaktadır. Örnekler verelim.

örnek 1

Durum: - 2'nin 4'üncü kuvvetine yükseltin.

Çözüm

Yukarıdaki tanımı kullanarak şunu yazıyoruz: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Daha sonra bu adımları takip edip 16 elde etmemiz gerekiyor.

Daha karmaşık bir örnek alalım.

Örnek 2

Değeri hesaplayın 3 2 7 2

Çözüm

Bu giriş 3 2 7 · 3 2 7 olarak yeniden yazılabilir. Daha önce koşulda belirtilen tam sayılı sayıların doğru şekilde nasıl çarpılacağına bakmıştık.

Şu adımları uygulayalım ve cevaba ulaşalım: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Eğer sorun irrasyonel sayıların doğal kuvvetine yükseltilmesi gerektiğini gösteriyorsa, öncelikle bunların tabanlarını gerekli doğrulukta bir cevap elde etmemizi sağlayacak rakama yuvarlamamız gerekecek. Bir örneğe bakalım.

Örnek 3

π'nin karesini gerçekleştirin.

Çözüm

Öncelikle bunu yüzlüğe yuvarlayalım. O halde π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Eğer π ≈ 3 ise. 14159, o zaman daha doğru bir sonuç elde ederiz: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

İrrasyonel sayıların kuvvetlerini hesaplama ihtiyacının pratikte nispeten nadiren ortaya çıktığını unutmayın. Daha sonra cevabı (ln 6) 3'ün kuvveti olarak yazabiliriz veya mümkünse 5 7 = 125 5'e dönüştürebiliriz.

Bir sayının birinci kuvvetinin ne olduğu ayrıca belirtilmelidir. Burada, birinci kuvvete yükseltilen herhangi bir sayının kendisi olarak kalacağını kolayca hatırlayabilirsiniz:

Kayıtlardan bu anlaşılıyor .

Derece esasına bağlı değildir.

Örnek 4

Yani (− 9) 1 = − 9 ve 7 3'ün birinci kuvveti 7 3'e eşit kalacaktır.

Kolaylık sağlamak için üç durumu ayrı ayrı inceleyeceğiz: Üs pozitif bir tam sayı ise, sıfır ise ve negatif bir tam sayı ise.

İlk durumda bu, doğal bir kuvvete yükselmekle aynıdır: sonuçta pozitif tam sayılar doğal sayılar kümesine aittir. Yukarıda bu derecelerle nasıl çalışılacağından bahsetmiştik.

Şimdi sıfırın gücüne doğru şekilde nasıl yükseltileceğini görelim. Sıfırdan farklı bir taban için bu hesaplama her zaman 1 sonucunu verir. Daha önce a'nın 0'ıncı kuvvetinin 0'a eşit olmayan herhangi bir reel sayı için tanımlanabileceğini ve a 0 = 1 olduğunu açıklamıştık.

Örnek 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - tanımlanmadı.

Elimizde yalnızca tamsayı negatif üssü olan bir derece durumu kaldı. Bu derecelerin, a'nın herhangi bir sayı ve z'nin negatif bir tam sayı olduğu 1 a z kesri olarak yazılabileceğini daha önce tartışmıştık. Bu kesrin paydasının, pozitif tamsayı üssü olan sıradan bir kuvvetten başka bir şey olmadığını görüyoruz ve bunu nasıl hesaplayacağımızı zaten öğrendik. Görev örnekleri verelim.

Örnek 6

3'ün üssünü - 2'ye yükseltin.

Çözüm

Yukarıdaki tanımı kullanarak şunu yazıyoruz: 2 - 3 = 1 2 3

Bu kesrin paydasını hesaplayalım ve 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 elde edelim.

O zaman cevap: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Örnek 7

1,43'ü -2'ye yükseltin.

Çözüm

Yeniden formüle edelim: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Paydanın karesini hesaplıyoruz: 1,43·1,43. Ondalık sayılar şu şekilde çarpılabilir:

Sonuç olarak, (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449'u elde ettik. Tek yapmamız gereken, bu sonucu 10 bin ile çarpmamız gereken sıradan bir kesir biçiminde yazmaktır (kesirlerin dönüştürülmesiyle ilgili materyale bakın).

Cevap: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Bir sayının eksi birinci kuvvetine yükseltilmesi özel bir durumdur. Bu derecenin değeri tabanın orijinal değerinin tersine eşittir: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Örnek 8

Örnek: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Bir sayının kesirli kuvvetine nasıl yükseltilir

Böyle bir işlemi gerçekleştirmek için, kesirli üslü bir derecenin temel tanımını hatırlamamız gerekir: herhangi bir pozitif a, tam sayı m ve doğal n için a m n = a m n.

Tanım 2

Bu nedenle, kesirli kuvvetin hesaplanması iki adımda gerçekleştirilmelidir: tamsayı kuvvetine yükseltmek ve n'inci kuvvetin kökünü bulmak.

Köklerin özelliklerini dikkate alarak genellikle a m n = a n m formundaki problemleri çözmek için kullanılan a m n = a m n eşitliğine sahibiz. Bu, eğer bir a sayısını m/n kesirli kuvvetine yükseltirsek, önce a'nın n'inci kökünü alırız, sonra sonucu m tamsayı üssüne sahip bir kuvvete yükseltiriz.

Bir örnekle açıklayalım.

Örnek 9

8 - 2 3'ü hesaplayın.

Çözüm

Yöntem 1: Temel tanıma göre bunu şu şekilde gösterebiliriz: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Şimdi kökün altındaki dereceyi hesaplayalım ve sonuçtan üçüncü kökü çıkaralım: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Yöntem 2. Temel eşitliği dönüştürün: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Bundan sonra 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 kökünü çıkarırız ve sonucun karesini alırız: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Çözümlerin aynı olduğunu görüyoruz. Dilediğiniz şekilde kullanabilirsiniz.

Derecenin karışık sayı veya ondalık kesir olarak ifade edilen bir göstergeye sahip olduğu durumlar vardır. Hesaplamaları basitleştirmek için, onu sıradan bir kesirle değiştirmek ve yukarıda belirtildiği gibi hesaplamak daha iyidir.

Örnek 10

44, 89'u 2, 5'e çıkar.

Çözüm

Göstergenin değerini sıradan bir kesire dönüştürelim - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Şimdi yukarıda belirtilen tüm işlemleri sırasıyla gerçekleştiriyoruz: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Cevap: 13 501, 25107.

Kesirli bir üssün payı ve paydası büyük sayılar içeriyorsa, bu tür üsleri rasyonel üslerle hesaplamak oldukça zor bir iştir. Genellikle bilgisayar teknolojisi gerektirir.

Sıfır tabanlı ve kesirli üssü olan kuvvetler üzerinde ayrı ayrı duralım. 0 mn formundaki bir ifadeye şu anlam verilebilir: eğer mn > 0 ise 0 mn = 0 mn = 0; eğer m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Bir sayının irrasyonel kuvvetine nasıl yükseltilir

Üssü irrasyonel bir sayı olan bir kuvvetin değerini hesaplama ihtiyacı çok sık ortaya çıkmaz. Uygulamada görev genellikle yaklaşık bir değerin (belirli sayıda ondalık basamağa kadar) hesaplanmasıyla sınırlıdır. Bu genellikle bu tür hesaplamaların karmaşıklığı nedeniyle bir bilgisayarda hesaplanır, bu nedenle bunun üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız, yalnızca ana hükümleri belirteceğiz.

Bir a kuvvetinin değerini irrasyonel bir a üssü ile hesaplamamız gerekiyorsa, o zaman üssün ondalık yaklaşımını alır ve ondan sayarız. Sonuç yaklaşık bir cevap olacaktır. Ondalık yaklaşım ne kadar doğru olursa cevap da o kadar doğru olur. Bir örnekle gösterelim:

Örnek 11

21, 174367...'nin yaklaşık değerini hesaplayın.

Çözüm

Kendimizi a n = 1, 17 ondalık yaklaşımıyla sınırlayalım. Bu sayıyı kullanarak hesaplamalar yapalım: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Örneğin, a n = 1, 1743 yaklaşımını alırsak, cevap biraz daha doğru olacaktır: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Hesap makinesi, bir sayıyı çevrimiçi olarak hızlı bir şekilde bir güce yükseltmenize yardımcı olur. Derecenin tabanı herhangi bir sayı olabilir (hem tam sayılar hem de gerçek sayılar). Üs aynı zamanda bir tam sayı ya da reel olabilir, ayrıca pozitif ya da negatif de olabilir. Negatif sayılar için tamsayı olmayan bir kuvvete yükseltmenin tanımsız olduğunu, dolayısıyla bunu yapmaya çalıştığınızda hesap makinesinin bir hata bildireceğini unutmayın.

Derece hesaplayıcı

Güce yükseltin

Üslü sayılar: 28402

Bir sayının doğal kuvveti nedir?

p, a sayısının kendisiyle n kez çarpılmasına eşitse, p sayısına o sayının n'inci kuvveti denir: p = a n = a·...·a
n - çağrıldı üs ve a sayısı derece esası.

Bir sayının doğal kuvvetine nasıl yükseltilir?

Çeşitli sayıların doğal güçlere nasıl yükseltileceğini anlamak için birkaç örneği düşünün:

örnek 1. Üç rakamını dördüncü kuvvete yükseltin. Yani 3 4'ü hesaplamak gerekiyor
Çözüm: yukarıda belirtildiği gibi, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Cevap: 3 4 = 81 .

Örnek 2. Beş sayısını beşinci kuvvetine yükseltin. Yani 5 5'i hesaplamak gerekiyor
Çözüm: benzer şekilde, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Cevap: 5 5 = 3125 .

Dolayısıyla bir sayıyı doğal kuvvete yükseltmek için onu kendisiyle n kez çarpmanız yeterlidir.

Bir sayının negatif kuvveti nedir?

a'nın negatif kuvveti -n, birin a bölü n'ye bölümüdür: a -n = .

Bu durumda, negatif kuvvet yalnızca sıfır olmayan sayılar için mevcuttur, aksi takdirde sıfıra bölme meydana gelir.

Bir sayının negatif tam sayı kuvvetine nasıl yükseltilir?

Sıfır olmayan bir sayıyı negatif kuvvete yükseltmek için bu sayının değerini aynı pozitif kuvvete göre hesaplayıp sonuca bölmeniz gerekir.

örnek 1. İki sayısını negatif dördüncü kuvvete yükseltin. Yani 2 -4'ü hesaplamanız gerekir

Çözüm: yukarıda belirtildiği gibi, 2 -4 = = = 0,0625.

Cevap: 2 -4 = 0.0625 .