Koordinatlar XÇemberin üzerinde bulunan noktalar cos(θ)'ya eşittir ve koordinatlar sen sin(θ)'a karşılık gelir; burada θ, açının büyüklüğüdür.
- Bu kuralı hatırlamakta zorlanıyorsanız, (cos; sin) çiftinde "sinüs en sonda gelir" ifadesini unutmayın.
- Bu kural, dik üçgenler ve bu trigonometrik fonksiyonların tanımı dikkate alınarak türetilebilir (bir açının sinüsü, karşı kenarın uzunluğunun oranına ve komşu kenarın kosinüsünün hipotenüse oranına eşittir).
Çember üzerindeki dört noktanın koordinatlarını yazınız.“Birim çember”, yarıçapı bire eşit olan bir çemberdir. Koordinatları belirlemek için bunu kullanın X Ve sen daire ile koordinat eksenlerinin kesiştiği dört noktada. Yukarıda, netlik sağlamak için bu noktaları, kesin isimleri olmasa da, “doğu”, “kuzey”, “batı” ve “güney” olarak belirledik.
- "Doğu" koordinatları olan noktaya karşılık gelir (1; 0) .
- "Kuzey" koordinatları olan noktaya karşılık gelir (0; 1) .
- "Batı" koordinatları olan noktaya karşılık gelir (-1; 0) .
- "Güney" koordinatları olan noktaya karşılık gelir (0; -1) .
- Bu normal bir grafiğe benzer, dolayısıyla bu değerleri ezberlemenize gerek yoktur, sadece temel prensibi hatırlayın.
İlk çeyrekteki noktaların koordinatlarını hatırlayın.İlk çeyrek dairenin koordinatlarının sağ üst kısmında bulunur. X Ve sen pozitif değerler alın. Hatırlamanız gereken tek koordinatlar bunlar:
Düz çizgiler çizin ve bunların daire ile kesiştiği noktaların koordinatlarını belirleyin. Bir çeyreğin noktalarından düz yatay ve dikey çizgiler çizerseniz, bu çizgilerin daire ile ikinci kesişme noktalarının koordinatları olacaktır. X Ve sen aynı mutlak değerlere ancak farklı işaretlere sahiptir. Başka bir deyişle, ilk çeyreğin noktalarından yatay ve dikey çizgiler çizebilir ve daire ile kesişme noktalarını aynı koordinatlarla etiketleyebilirsiniz, ancak aynı zamanda solda doğru işaret ("+") için boşluk bırakabilirsiniz. veya "-").
Koordinatların işaretini belirlemek için simetri kurallarını kullanın."-" işaretinin nereye yerleştirileceğini belirlemenin birkaç yolu vardır:
- Normal grafikler için temel kuralları hatırlayın. Eksen X solda negatif, sağda pozitif. Eksen sen aşağıdan negatif ve yukarıdan pozitif;
- ilk çeyrekten başlayın ve diğer noktalara çizgiler çizin. Çizgi ekseni geçiyorsa sen, koordinat X işaretini değiştirecek. Çizgi ekseni geçiyorsa X koordinatın işareti değişecek sen;
- birinci bölgede tüm fonksiyonların pozitif olduğunu, ikinci bölgede yalnızca sinüsün pozitif olduğunu, üçüncü bölgede yalnızca tanjantın pozitif olduğunu ve dördüncü bölgede yalnızca kosinüsün pozitif olduğunu unutmayın;
- Hangi yöntemi kullanırsanız kullanın, birinci çeyrekte (+,+), ikinci çeyrekte (-,+), üçüncü çeyrekte (-,-) ve dördüncü çeyrekte (+,-) elde etmelisiniz.
Hata yapıp yapmadığınızı kontrol edin. Birim daire boyunca saat yönünün tersine hareket ederseniz, aşağıda "özel" noktaların (koordinat eksenleri üzerindeki dört nokta hariç) koordinatlarının tam bir listesi bulunmaktadır. Tüm bu değerleri belirlemek için yalnızca ilk çeyrekteki noktaların koordinatlarını hatırlamanın yeterli olduğunu unutmayın:
- ilk çeyrek: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))),(\frac (\sqrt (3))(2)));
- ikinci çeyrek: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2))(\frac (1)(2))));
- üçüncü çeyrek: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2))),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2))),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- dördüncü çeyrek: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2))),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).
Zaten aşina iseniz trigonometrik daire ve sadece belirli unsurlarla ilgili hafızanızı tazelemek istiyorsunuz ya da tamamen sabırsızsınız, işte o zaman:
Burada her şeyi ayrıntılı olarak adım adım analiz edeceğiz.
Trigonometrik çember bir lüks değil, zorunluluktur
Trigonometri
Birçok insan onu aşılmaz bir çalılıkla ilişkilendirir. Aniden, trigonometrik fonksiyonların o kadar çok değeri, o kadar çok formül birikiyor ki... Ama sanki başlangıçta işe yaramadı ve... başlıyoruz... tam bir yanlış anlama...
Pes etmemek çok önemli trigonometrik fonksiyonların değerleri, - mahmuza her zaman bir değerler tablosuyla bakabileceğinizi söylüyorlar.
Sürekli trigonometrik formüllerin değerlerinin olduğu bir tabloya bakıyorsanız bu alışkanlıktan kurtulalım!
Bize yardım edecek! Onunla birkaç kez çalışacaksın ve sonra kafanda belirecek. Bir masadan nasıl daha iyi? Evet, tabloda sınırlı sayıda değer bulacaksınız, ancak daire üzerinde - HER ŞEY!
Örneğin, bakarken söyleyin trigonometrik formüllerin standart değer tablosu , diyelim ki 300 dereceye veya -45'e eşit olan sinüs nedir?
Mümkün değil mi?.. elbette bağlantı kurabilirsiniz azaltma formülleri... Ve trigonometrik çembere bakarak bu tür soruları rahatlıkla cevaplayabilirsiniz. Ve yakında nasıl yapılacağını öğreneceksiniz!
Ve trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri trigonometrik daire olmadan çözerken, kesinlikle hiçbir yerdedir.
Trigonometrik çembere giriş
Sırayla gidelim.
Öncelikle bu sayı dizisini yazalım:
Ve şimdi bu:
Ve son olarak bu:
Tabii ki, aslında birinci sırada, ikinci sırada ve son sırada olduğu açıktır. Yani zincirle daha çok ilgileneceğiz.
Ama ne kadar güzel çıktı! Bir şey olursa bu “mucize merdiveni” yeniden canlandıracağız.
Ve neden buna ihtiyacımız var?
Bu zincirin ilk çeyreğindeki sinüs ve kosinüslerin ana değerleridir.
Dikdörtgen bir koordinat sisteminde birim yarıçaplı bir daire çizelim (yani herhangi bir yarıçapın uzunluğunu alıp uzunluğunu birim olarak bildirelim).
“0-Başlangıç” kirişinden köşeleri ok yönünde yerleştiriyoruz (şekle bakın).
Çember üzerinde karşılık gelen noktaları alıyoruz. Yani noktaları eksenlerin her birine yansıtırsak, yukarıdaki zincirdeki değerleri tam olarak elde ederiz.
Neden bu, diye mi soruyorsun?
Her şeyi analiz etmeyelim. Hadi düşünelim prensip, diğer benzer durumlarla başa çıkmanıza olanak tanır.
AOB üçgeni dikdörtgendir ve içerir. Ve b açısının karşısında hipotenüsün yarısı büyüklüğünde bir kenar bulunduğunu biliyoruz (hipotenüs = dairenin yarıçapı, yani 1'e sahibiz).
Bu, AB= (ve dolayısıyla OM=) anlamına gelir. Ve Pisagor teoremine göre
Umarım bir şeyler zaten netleşiyordur?
Yani B noktası değere, M noktası da değere karşılık gelecektir.
İlk çeyreğin diğer değerleriyle aynı.
Anladığınız gibi tanıdık eksen (öküz) olacak kosinüs ekseni, ve eksen (oy) – sinüs ekseni . Daha sonra.
Kosinüs ekseni boyunca sıfırın solunda (sinüs ekseni boyunca sıfırın altında) elbette negatif değerler olacaktır.
İşte, trigonometride onsuz hiçbir yerin olamayacağı Yüce Allah burada.
Ancak trigonometrik çemberin nasıl kullanılacağı hakkında konuşacağız.
Trigonometri bir bilim olarak Antik Doğu'da ortaya çıkmıştır. İlk trigonometrik oranlar gökbilimciler tarafından doğru bir takvim ve yıldızların yönelimini oluşturmak için türetildi. Bu hesaplamalar küresel trigonometri ile ilgiliyken, okul derslerinde bir düzlem üçgenin kenarlarının ve açılarının oranı inceleniyor.
Trigonometri, trigonometrik fonksiyonların özellikleri ve üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkilerle ilgilenen bir matematik dalıdır.
MS 1. binyılda kültür ve bilimin en parlak döneminde, bilgi Antik Doğu'dan Yunanistan'a yayıldı. Ancak trigonometrinin ana keşifleri Arap Halifeliği'nin adamlarının erdemleridir. Özellikle Türkmen bilim adamı el-Marazwi, teğet ve kotanjant gibi fonksiyonları tanıtarak sinüs, teğet ve kotanjantlara ilişkin ilk değer tablolarını derledi. Sinüs ve kosinüs kavramları Hintli bilim adamları tarafından tanıtıldı. Trigonometri, Öklid, Arşimet ve Eratosten gibi antik çağın büyük figürlerinin eserlerinde büyük ilgi gördü.
Trigonometrinin temel büyüklükleri
Sayısal bir argümanın temel trigonometrik fonksiyonları sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanttır. Her birinin kendi grafiği vardır: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant.
Bu miktarların değerlerini hesaplamaya yönelik formüller Pisagor teoremine dayanmaktadır. Bu formülasyon okul çocukları tarafından daha iyi bilinir: "Pisagor pantolonları her yöne eşittir", çünkü kanıt ikizkenar dik üçgen örneği kullanılarak verilmiştir.
Sinüs, kosinüs ve diğer ilişkiler herhangi bir dik üçgenin dar açıları ve kenarları arasındaki ilişkiyi kurar. A açısı için bu büyüklükleri hesaplamak için formüller sunalım ve trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkileri izleyelim:
Gördüğünüz gibi tg ve ctg ters fonksiyonlardır. A kenarını günah A ve hipotenüs c'nin çarpımı olarak ve b kenarını cos A * c olarak hayal edersek, teğet ve kotanjant için aşağıdaki formülleri elde ederiz:
Trigonometrik daire
Bahsedilen miktarlar arasındaki ilişki grafiksel olarak şu şekilde gösterilebilir:
Bu durumda daire, α açısının 0° ila 360° arasındaki tüm olası değerlerini temsil eder. Şekilden de görülebileceği gibi her fonksiyon açıya bağlı olarak negatif veya pozitif değer alır. Örneğin, eğer α dairenin 1. ve 2. çeyreğine aitse, yani 0° ila 180° aralığındaysa sin α, “+” işaretine sahip olacaktır. α için 180° ila 360° (III ve IV çeyrekleri) için sin α yalnızca negatif bir değer olabilir.
Belirli açılar için trigonometrik tablolar oluşturmaya çalışalım ve büyüklüklerin anlamını öğrenelim.
α'nın 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ve benzeri değerlerine özel durumlar denir. Onlar için trigonometrik fonksiyonların değerleri hesaplanır ve özel tablolar halinde sunulur.
Bu açılar rastgele seçilmemiştir. Tablolardaki π gösterimi radyanlar içindir. Rad, bir daire yayının uzunluğunun yarıçapına karşılık geldiği açıdır. Bu değer evrensel bir bağımlılık oluşturmak için sunulmuştur; radyan cinsinden hesaplanırken yarıçapın cm cinsinden gerçek uzunluğu önemli değildir.
Trigonometrik fonksiyonlara ilişkin tablolardaki açılar radyan değerlerine karşılık gelir:
Dolayısıyla 2π'nin tam daire veya 360° olduğunu tahmin etmek zor değil.
Trigonometrik fonksiyonların özellikleri: sinüs ve kosinüs
Sinüs ve kosinüs, teğet ve kotanjantın temel özelliklerini dikkate almak ve karşılaştırmak için bunların fonksiyonlarını çizmek gerekir. Bu, iki boyutlu bir koordinat sisteminde yer alan bir eğri şeklinde yapılabilir.
Sinüs ve kosinüs için karşılaştırmalı özellik tablosunu göz önünde bulundurun:
| Sinüs dalgası | Kosinüs |
|---|---|
| y = günah x | y = çünkü x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, x = πk için, burada k ϵ Z | çünkü x = 0, x = π/2 + πk için, burada k ϵ Z |
| sin x = 1, x = π/2 + 2πk için, k ϵ Z | çünkü x = 1, x = 2πk'de, burada k ϵ Z |
| sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk'de, k ϵ Z | çünkü x = - 1, x = π + 2πk için, burada k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, yani fonksiyon tektir | cos (-x) = cos x, yani fonksiyon çifttir |
| fonksiyon periyodiktir, en küçük periyot 2π'dir | |
| sin x › 0, x I ve II çeyreklerine ait veya 0° ila 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, x I ve IV çeyreklerine ait veya 270° ila 90° arası (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, x üçüncü ve dördüncü çeyreğe veya 180° ila 360°'ye aittir (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, x 2. ve 3. çeyreğe veya 90° ila 270°'ye aittir (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] aralığında artar | [-π + 2πk, 2πk] aralığında artar |
| aralıklarla azalır [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | aralıklarla azalır |
| türev (sin x)’ = cos x | türev (cos x)’ = - sin x |
Bir fonksiyonun çift olup olmadığını belirlemek çok basittir. Trigonometrik büyüklüklerin işaretlerini içeren bir trigonometrik daire hayal etmek ve grafiği OX eksenine göre zihinsel olarak "katlamak" yeterlidir. İşaretler çakışıyorsa fonksiyon çifttir, aksi halde tektir.
Radyanların tanıtılması ve sinüs ve kosinüs dalgalarının temel özelliklerinin listelenmesi, aşağıdaki modeli sunmamıza olanak tanır:
Formülün doğru olduğunu doğrulamak çok kolaydır. Örneğin, x = π/2 için sinüs 1'dir, x = 0'ın kosinüsü de öyle. Kontrol, tablolara bakılarak veya verilen değerler için fonksiyon eğrileri izlenerek yapılabilir.
Teğetsoitlerin ve kotanjantsoitlerin özellikleri
Teğet ve kotanjant fonksiyonlarının grafikleri sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından önemli ölçüde farklıdır. Tg ve ctg değerleri birbirinin tersidir.
- Y = ten rengi x.
- Teğet, x = π/2 + πk noktasında y değerlerine yönelir, ancak onlara asla ulaşmaz.
- Teğetoidin en küçük pozitif periyodu π'dir.
- Tg (- x) = - tg x, yani fonksiyon tektir.
- x = πk için Tg x = 0.
- Fonksiyon artıyor.
- Tg x › 0, x ϵ için (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, x ϵ için (— π/2 + πk, πk).
- Türev (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Metinde aşağıdaki kotanjantoidin grafik görüntüsünü düşünün.
Kotanjantoidlerin ana özellikleri:
- Y = karyola x.
- Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından farklı olarak, teğetsel Y'de tüm gerçek sayılar kümesinin değerleri alınabilir.
- Kotanjantoid, x = πk'de y değerlerine yönelir, ancak onlara asla ulaşmaz.
- Bir kotangentoidin en küçük pozitif periyodu π'dir.
- Ctg (- x) = - ctg x, yani fonksiyon tektir.
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk için.
- Fonksiyon azalıyor.
- Ctg x › 0, x ϵ için (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, x ϵ için (π/2 + πk, πk).
- Türev (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Doğru
Trigonometrik daire. Birim çember. Sayı çemberi. Ne olduğunu?
Dikkat!
Ek var
içindeki malzemeler Özel bölüm 555.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Çok sık terimler trigonometrik çember, birim çember, sayı çemberiöğrenciler tarafından yeterince anlaşılmamıştır. Ve tamamen boşuna. Bu kavramlar trigonometrinin tüm alanlarında güçlü ve evrensel bir yardımcıdır. Aslında bu yasal bir kopya kağıdıdır! Trigonometrik bir daire çizdim ve cevapları hemen gördüm! Cazip? O halde öğrenelim, böyle bir şeyi kullanmamak günah olur. Üstelik hiç de zor değil.
Trigonometrik çemberle başarılı bir şekilde çalışmak için yalnızca üç şeyi bilmeniz gerekir.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
