Obrót jest typowym rodzajem ruchu mechanicznego, często spotykanym w przyrodzie i technologii. Każdy obrót następuje w wyniku działania jakiejś siły zewnętrznej na rozpatrywany układ. Siła ta tworzy tzw. Czym jest, od czego zależy, omówiono w artykule.
Proces rotacji
Zanim rozważymy koncepcję momentu obrotowego, scharakteryzujmy układy, do których można zastosować tę koncepcję. System rotacyjny zakłada obecność osi, wokół której wykonywany jest ruch kołowy lub obrót. Odległość tej osi od punktów materialnych układu nazywa się promieniem obrotu.
Z punktu widzenia kinematyki proces charakteryzuje się trzema wielkościami kątowymi:
- kąt obrotu θ (mierzony w radianach);
- prędkość kątowa ω (mierzona w radianach na sekundę);
- przyspieszenie kątowe α (mierzone w radianach na sekundę kwadratową).
Wielkości te powiązane są ze sobą następującymi równościami:
Przykładami rotacji w przyrodzie są ruchy planet na ich orbitach i wokół ich osi oraz ruchy tornad. W życiu codziennym i technologii omawiany ruch jest typowy dla silników silników, kluczy, dźwigów budowlanych, otwieranych drzwi i tak dalej.
Wyznaczanie momentu siły
Przejdźmy teraz do bezpośredniego tematu artykułu. Zgodnie z definicją fizyczną jest to iloczyn wektorowy wektora przyłożenia siły względem osi obrotu i wektora samej siły. Odpowiednie wyrażenie matematyczne można zapisać w następujący sposób:
Tutaj wektor r¯ jest skierowany od osi obrotu do punktu przyłożenia siły F¯.
We wzorze na moment M¯ siłę F¯ można skierować w dowolny sposób względem kierunku osi. Jednakże składowa siły równoległa do osi nie spowoduje obrotu, jeśli oś jest sztywno zamocowana. W większości problemów fizyki należy uwzględnić siły F¯, które leżą w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu. W takich przypadkach wartość bezwzględną momentu obrotowego można wyznaczyć za pomocą następującego wzoru:
|M¯| = |r¯|*|F¯|*sin(β).
Gdzie β jest kątem pomiędzy wektorami r¯ i F¯.
Co to jest dźwignia?
Dźwignia siły odgrywa ważną rolę w określaniu wielkości momentu siły. Aby zrozumieć, o czym mówimy, spójrz na poniższy rysunek.
Pokazano tutaj pręt o długości L, który jest umocowany w punkcie obrotu jednym ze swoich końców. Na drugi koniec działa siła F skierowana pod kątem ostrym φ. Zgodnie z definicją momentu siły możemy napisać:
M = F*L*sin(180 o -φ).
Kąt (180 o -φ) pojawił się, ponieważ wektor L¯ jest skierowany od końca nieruchomego do końca swobodnego. Biorąc pod uwagę okresowość funkcji trygonometrycznej sinus, możemy przepisać tę równość w następujący sposób:
Skupmy się teraz na trójkącie prostokątnym zbudowanym na bokach L, d i F. Z definicji funkcji sinus iloczyn przeciwprostokątnej L i sinusa kąta φ daje wartość nogi d. Następnie dochodzimy do równości:
Wielkość liniowa d nazywana jest dźwignią siły. Jest ona równa odległości wektora siły F¯ od osi obrotu. Jak widać ze wzoru, koncepcja dźwigni siły jest wygodna w użyciu przy obliczaniu momentu M. Otrzymany wzór mówi, że maksymalny moment obrotowy dla określonej siły F wystąpi tylko wtedy, gdy długość wektora promienia r¯ ( L¯ na powyższym rysunku) jest równa dźwigni siły, czyli r¯ i F¯ będą wzajemnie prostopadłe.
Kierunek działania wielkości M¯
Powyżej pokazano, że moment obrotowy jest wektorem charakterystycznym dla danego układu. Gdzie jest skierowany ten wektor? Odpowiedź na to pytanie nie jest szczególnie trudna, jeśli pamiętamy, że wynikiem iloczynu dwóch wektorów jest trzeci wektor, który leży na osi prostopadłej do płaszczyzny położenia wektorów pierwotnych.
Pozostaje rozstrzygnąć, czy moment siły będzie skierowany w górę, czy w dół (w stronę czytnika czy od niego) względem wspomnianej płaszczyzny. Można to określić za pomocą reguły świdra lub reguły prawej ręki. Oto oba zasady:
- Reguła prawej ręki. Jeśli prawą rękę ułożymy tak, aby jej cztery palce przesuwały się od początku wektora r¯ do jego końca, a następnie od początku wektora F¯ do jego końca, wówczas wystający kciuk będzie wskazywał kierunek chwili M¯.
- Zasada świdra. Jeżeli kierunek obrotu wyimaginowanego świdra pokrywa się z kierunkiem ruchu obrotowego układu, wówczas ruch translacyjny świdra będzie wskazywał kierunek wektora M¯. Pamiętaj, że obraca się tylko zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Obie zasady są sobie równe, więc każdy może skorzystać z tej, która jest dla niego wygodniejsza.
Przy rozwiązywaniu problemów praktycznych uwzględnia się różne kierunki momentu obrotowego (góra - dół, lewo - prawo) za pomocą znaków „+” lub „-”. Należy pamiętać, że za dodatni kierunek momentu M¯ uważa się taki, który prowadzi do obrotu układu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Odpowiednio, jeśli pewna siła powoduje obrót układu w kierunku zegara, wówczas moment, w którym zostanie utworzony, będzie miał wartość ujemną.
Fizyczne znaczenie wielkości M¯
W fizyce i mechanice obrotu wartość M¯ określa zdolność siły lub sumy sił do wykonania obrotu. Ponieważ matematyczna definicja wartości M¯ obejmuje nie tylko siłę, ale także wektor promienia jej przyłożenia, to właśnie ten ostatni w dużej mierze determinuje odnotowaną zdolność obrotową. Aby było jaśniejsze o jakim rodzaju zdolności mówimy, oto kilka przykładów:
- Każdy człowiek przynajmniej raz w życiu próbował otworzyć drzwi nie chwytając za klamkę, ale dociskając je blisko zawiasów. W tym drugim przypadku trzeba włożyć znaczny wysiłek, aby osiągnąć pożądany rezultat.
- Aby odkręcić nakrętkę od śruby, użyj specjalnych kluczy. Im dłuższy klucz, tym łatwiej odkręcić nakrętkę.
- Aby poczuć znaczenie dźwigni siły, zapraszamy czytelników do wykonania następującego eksperymentu: weź krzesło i spróbuj utrzymać je w zawieszeniu jedną ręką, w jednym przypadku oprzyj rękę o ciało, w drugim - wykonaj zadanie z proste ramię. To ostatnie dla wielu będzie zadaniem niemożliwym do wykonania, choć waga krzesła pozostaje taka sama.
Jednostki momentu obrotowego
Warto powiedzieć także kilka słów o jednostkach SI, w których mierzony jest moment obrotowy. Zgodnie z zapisanym dla niego wzorem mierzy się go w niutonach na metr (N*m). Jednakże jednostki te mierzą również pracę i energię w fizyce (1 N*m = 1 dżul). Dżul dla chwili M¯ nie ma zastosowania, ponieważ praca jest wielkością skalarną, zaś M¯ jest wektorem.
Jednak zbieżność jednostek momentu siły z jednostkami energii nie jest przypadkowa. Pracę wykonaną w celu obrotu układu, wykonaną w momencie M, oblicza się ze wzoru:
Z tego wynika, że M można również wyrazić w dżulach na radian (J/rad).
Dynamika obrotu
Na początku artykułu spisaliśmy charakterystyki kinematyczne, które służą do opisu ruchu obrotowego. W dynamice obrotowej główne równanie wykorzystujące te cechy jest następujące:
Działanie momentu M na układ posiadający moment bezwładności I prowadzi do pojawienia się przyspieszenia kątowego α.
Wzór ten służy do wyznaczania częstotliwości kątowych obrotu w technologii. Przykładowo, znając moment obrotowy silnika asynchronicznego, który zależy od częstotliwości prądu w uzwojeniu stojana i wielkości zmiennego pola magnetycznego, a także znając właściwości bezwładności obracającego się wirnika, można wyznaczyć do jakiej prędkości obrotowej ω rozkręca się wirnik silnika w znanym czasie t.
Przykład rozwiązania problemu
Nieważka dźwignia o długości 2 metrów posiada podporę pośrodku. Jaki ciężar należy umieścić na jednym końcu dźwigni, aby znalazła się w stanie równowagi, jeżeli po drugiej stronie podpory w odległości 0,5 metra leży ciężar o masie 10 kg?
Oczywiście, co się stanie, jeśli momenty siły wytwarzane przez obciążenia będą równe pod względem wielkości. Siłą tworzącą moment w tym zadaniu jest ciężar ciała. Dźwignie siły są równe odległościom ładunków od podpory. Zapiszmy odpowiednią równość:
m 1 *g*d 1 = m 2 *g*d 2 =>
P. 2 = m 2 *g = m 1 *g*d 1 /d 2 .
Masę P 2 otrzymamy, jeśli podstawimy z warunków problemowych wartości m 1 = 10 kg, d 1 = 0,5 m, d 2 = 1 m. Zapisana równość daje odpowiedź: P 2 = 49,05 niutona.
Definicja
Iloczyn wektorowy promienia - wektor (), który jest rysowany od punktu O (ryc. 1) do punktu, do którego siła jest przyłożona do samego wektora, nazywany jest momentem siły () względem punktu O:
Na ryc. 1 punkt O oraz wektor siły () i wektor promienia znajdują się w płaszczyźnie rysunku. W tym przypadku wektor momentu siły () jest prostopadły do płaszczyzny rysunku i ma kierunek od nas. Wektor momentu siły jest osiowy. Kierunek wektora momentu siły dobiera się tak, aby obrót wokół punktu O w kierunku siły i wektora tworzył układ prawoskrętny. Kierunek momentu sił i przyspieszenia kątowego pokrywają się.
Wielkość wektora wynosi:
gdzie jest kątem między promieniem a kierunkami wektora siły, jest ramieniem siły względem punktu O.
Moment siły względem osi
Moment siły względem osi jest wielkością fizyczną równą rzutowi wektora momentu siły względem punktu wybranej osi na daną oś. W tym przypadku wybór punktu nie ma znaczenia.
Główny moment siły
Moment główny układu sił względem punktu O nazywany jest wektorem (momentem siły), który jest równy sumie momentów wszystkich sił działających w układzie względem tego samego punktu:
W tym przypadku punkt O nazywany jest środkiem redukcji układu sił.
Jeżeli dla jednego układu sił istnieją dwa momenty główne ( i ) dla różnych dwóch środków przenoszenia sił (O i O’), to łączy je wyrażenie:
gdzie jest wektorem promienia, poprowadzonym od punktu O do punktu O’, jest wektorem głównym układu sił.
W ogólnym przypadku wynik działania dowolnego układu sił na ciało stałe jest taki sam, jak działanie na ciało głównego momentu układu sił i głównego wektora układu sił, czyli zastosowany w środku redukcji (punkt O).
Podstawowe zasady dynamiki ruchu obrotowego
gdzie jest moment pędu ciała w ruchu obrotowym.
Dla ciała stałego prawo to można przedstawić w postaci:
gdzie I jest momentem bezwładności ciała, a przyspieszeniem kątowym.
Jednostki momentu obrotowego
Podstawową jednostką miary momentu siły w układzie SI jest: [M]=Nm
W GHS: [M]=din cm
Przykłady rozwiązywania problemów
Przykład
Ćwiczenia. Rysunek 1 przedstawia ciało, które ma oś obrotu OO”. Moment siły przyłożonej do ciała względem danej osi będzie równy zeru? Oś i wektor siły znajdują się w płaszczyźnie figury.
Rozwiązanie. Za podstawę rozwiązania problemu przyjmiemy wzór określający moment siły:
W produkcie wektorowym (widać na rysunku). Kąt między wektorem siły a wektorem promienia również będzie różny od zera (lub), dlatego iloczyn wektorowy (1.1) nie jest równy zeru. Oznacza to, że moment siły jest różny od zera.
Odpowiedź.
Przykład
Ćwiczenia. Prędkość kątowa obracającego się ciała sztywnego zmienia się zgodnie z wykresem pokazanym na rys. 2. W którym z punktów zaznaczonych na wykresie moment sił przyłożonych do ciała jest równy zeru?
Co jest równe iloczynowi siły działającej na jego ramię.
Moment siły oblicza się ze wzoru:
Gdzie F- siła, l- ramię siły.
Ramię mocy- jest to najkrótsza odległość od linii działania siły do osi obrotu ciała. Poniższy rysunek przedstawia sztywny korpus, który może obracać się wokół osi. Oś obrotu tego ciała jest prostopadła do płaszczyzny figury i przechodzi przez punkt oznaczony literą O. Ramię siły Ft oto odległość l, od osi obrotu do linii działania siły. Definiuje się to w ten sposób. Pierwszym krokiem jest narysowanie linii działania siły, następnie z punktu O, przez który przechodzi oś obrotu ciała, obniż prostopadle do linii działania siły. Długość tej prostopadłej okazuje się być ramieniem danej siły.
Moment siły charakteryzuje obrotowe działanie siły. To działanie zależy zarówno od siły, jak i dźwigni. Im większe ramię, tym mniejszą siłę należy przyłożyć, aby uzyskać pożądany efekt, czyli ten sam moment siły (patrz rysunek powyżej). Dlatego znacznie trudniej otworzyć drzwi, dociskając je w pobliże zawiasów, niż chwytając za klamkę, a o wiele łatwiej odkręcić nakrętkę długim kluczem niż krótkim.
Za jednostkę momentu siły w układzie SI przyjmuje się moment siły 1 N, którego ramię jest równe 1 m - niutonometr (N m).
Zasada momentów.
Ciało sztywne, które może obracać się wokół ustalonej osi, znajduje się w równowadze, jeśli moment siły M 1 obrót go w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest równy momentowi siły M 2 , który obraca go w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:
Reguła momentów jest konsekwencją jednego z twierdzeń mechaniki, które sformułował francuski naukowiec P. Varignon w 1687 roku.
Parę sił.
Jeżeli na ciało działają 2 równe i przeciwnie skierowane siły, które nie leżą na tej samej prostej, to ciało takie nie jest w równowadze, gdyż wypadkowy moment tych sił względem dowolnej osi nie jest równy zeru, gdyż obie siły mają momenty skierowane w tym samym kierunku. Dwie takie siły działające jednocześnie na ciało nazywamy parę sił. Jeśli ciało jest zamocowane na osi, to pod działaniem pary sił będzie się obracać. Jeśli na wolne ciało przyłoży się kilka sił, wówczas obróci się ono wokół własnej osi. przechodząc przez środek ciężkości ciała, figura B.
Moment pary sił jest taki sam względem dowolnej osi prostopadłej do płaszczyzny pary. Całkowita chwila M par jest zawsze równa iloczynowi jednej z sił F na odległość l pomiędzy siłami, tzw ramię pary, bez względu na segmenty l, i dzieli położenie osi ramienia pary:
Moment kilku sił, których wypadkowa wynosi zero, będzie taki sam względem wszystkich osi równoległych do siebie, dlatego działanie wszystkich tych sił na ciało można zastąpić działaniem jednej pary sił o tych samych za chwilę.
W artykule omówimy moment siły względem punktu i osi, definicje, rysunki i wykresy, jaką jednostkę miary momentu siły, pracę i siłę w ruchu obrotowym, a także przykłady i problemy.
Chwila mocy reprezentuje wektor wielkości fizycznej równej iloczynowi wektorów siła ramion(wektor promienia cząstki) i wytrzymałość, działając w punkcie. Dźwignia siły to wektor łączący punkt, przez który przechodzi oś obrotu ciała sztywnego, z punktem, do którego przyłożona jest siła.
gdzie: r to ramię siły, F to siła przyłożona do ciała.
Kierunek wektora siły momentowe zawsze prostopadle do płaszczyzny określonej przez wektory r i F.
Głównym punktem- dowolny układ sił na płaszczyźnie względem przyjętego bieguna nazywany jest momentem algebraicznym momentu wszystkich sił tego układu względem tego bieguna.
W ruchach obrotowych ważne są nie tylko same wielkości fizyczne, ale także ich położenie względem osi obrotu, czyli ich chwile. Wiemy już, że w ruchu obrotowym ważna jest nie tylko masa, ale także. W przypadku siły o jej skuteczności w wywoływaniu przyspieszenia decyduje sposób, w jaki siła jest przyłożona do osi obrotu.
Opisuje związek pomiędzy siłą a sposobem jej zastosowania CHWILA MOCY. Moment siły jest iloczynem wektorowym ramienia siły R do wektora siły F:
Jak w każdym produkcie wektorowym, tak i tutaj
Dlatego siła nie będzie miała wpływu na obrót, gdy kąt między wektorami siły F i dźwignia R równy 0 o lub 180 o. Jaki jest skutek przyłożenia momentu siły M?
Korzystamy z drugiej zasady dynamiki Newtona i związku między liną a prędkością kątową v = Rω w postaci skalarnej, są ważne, gdy wektory R I ω prostopadle do siebie
Mnożąc obie strony równania przez R, otrzymujemy
Ponieważ mR 2 = I, wnioskujemy, że
Powyższa zależność obowiązuje także w przypadku ciała materialnego. Należy pamiętać, że podczas gdy siła zewnętrzna daje przyspieszenie liniowe A, moment siły zewnętrznej daje przyspieszenie kątowe ε.
Jednostka miary momentu siły
Główną miarą momentu siły we współrzędnych układu SI jest: [M]=Nm
W GHS: [M]=din cm
Praca i siła w ruchu obrotowym
Pracę w ruchu liniowym określa ogólne wyrażenie:
ale w ruchu obrotowym,
i konsekwentnie
Na podstawie właściwości iloczynu mieszanego trzech wektorów możemy napisać
Dlatego otrzymaliśmy wyrażenie dla praca w ruchu obrotowym:
Moc w ruchu obrotowym:
Znajdować chwila mocy, działające na organizm w sytuacjach przedstawionych na poniższych rysunkach. Załóżmy, że r = 1m i F = 2N.
A) ponieważ kąt między wektorami r i F wynosi 90°, to sin(a)=1:
M = r F = 1 m 2 N = 2 N m
B) ponieważ kąt między wektorami r i F wynosi 0°, zatem sin(a)=0:
M = 0
tak, reżyserowany siła nie mogę przyznać punktu ruch obrotowy.
C) ponieważ kąt pomiędzy wektorami r i F wynosi 30°, to sin(a)=0,5:
M = 0,5 r F = 1 N m.
Zatem skierowana siła spowoduje rotacja ciała jednak jego efekt będzie mniejszy niż w przypadku A).
Moment siły względem osi
Załóżmy, że dane są punktem O(biegun) i moc P. W punkcie O bierzemy początek prostokątnego układu współrzędnych. Chwila mocy R w stosunku do biegunów O reprezentuje wektor Jestem z (R), (zdjęcie poniżej) .
Dowolny punkt A online P
ma współrzędne (xo, jo, zo).
Wektor siły P
ma współrzędne Px, Py, Pz.
Łączenie punktu A (xo, jo, zo) z początkiem układu otrzymujemy wektor P. Współrzędne wektora siły P
względem bieguna O oznaczone symbolami Mx, My, Mz.
Współrzędne te można obliczyć jako minima danego wyznacznika, gdzie ( ja, j, k) - wektory jednostkowe na osiach współrzędnych (opcje): ja, j, k
Po rozwiązaniu wyznacznika współrzędne momentu będą równe:
Współrzędne wektora momentu Pon (P) nazywane są momentami siły względem odpowiedniej osi. Na przykład moment siły P względem osi Oz otacza szablon:
Mz = Pyxo – Pxyo
Ten wzór jest interpretowany geometrycznie, jak pokazano na poniższym rysunku.
Na podstawie tej interpretacji moment siły względem osi Oz można zdefiniować jako moment rzutowania siły P
prostopadle do osi Oz względem punktu przebicia tej płaszczyzny przez oś. Projekcja siły P
jest zaznaczona prostopadle do osi Pxy
i punkt penetracji płaszczyzny Oksy- oś system operacyjny symbol O.
Z powyższej definicji momentu siły względem osi wynika, że moment siły względem osi wynosi zero, gdy siła i oś są sobie równe, w tej samej płaszczyźnie (gdy siła jest równoległa do osi lub gdy siła przecina oś).
Korzystanie ze wzorów na Mx, Mój, Mz,
możemy obliczyć wartość momentu siły P
względem punktu O i wyznacz kąty zawarte pomiędzy wektorem M
i osie systemowe:
Znak momentu obrotowego:
plus (+) - obrót siły wokół osi O zgodnie z ruchem wskazówek zegara,
minus (-) — obrót siły wokół osi O w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Chwila mocy w stosunku do dowolnego środka w płaszczyźnie działania siły nazywa się iloczyn modułu siły i ramienia.
Ramię- najkrótsza odległość od środka O do linii działania siły, ale nie do punktu przyłożenia siły, ponieważ wektor przesuwania siły.
Znak chwili:
Zgodnie z ruchem wskazówek zegara - minus, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara - plus;
Moment siły można wyrazić jako wektor. Jest to prostopadłe do płaszczyzny zgodnie z regułą Gimleta.
Jeżeli na płaszczyźnie znajduje się kilka sił lub układ sił, wówczas otrzymamy algebraiczną sumę ich momentów Głównym punktem układy sił.
Rozważmy moment siły względem osi, obliczmy moment siły względem osi Z;
Rzutujmy F na XY;
Fxy =F cosα= ok
m 0 (F xy)=m z (F), czyli m z =F xy * H= F cosα* H
Moment siły względem osi jest równy momentowi jej rzutu na płaszczyznę prostopadłą do osi, przyjętym w miejscu przecięcia osi i płaszczyzny
Jeżeli siła jest równoległa do osi lub ją przecina, to m z (F)=0
Wyrażanie momentu siły jako wyrażenie wektorowe
Narysujmy r a do punktu A. Rozważmy OA x F.
Jest to trzeci wektor m o , prostopadły do płaszczyzny. Wielkość iloczynu krzyżowego można obliczyć, wykorzystując dwukrotność powierzchni zacieniowanego trójkąta.
Analityczne wyrażenie siły względem osi współrzędnych.
Załóżmy, że osie Y oraz Z, X o wektorach jednostkowych i, j, k są powiązane z punktem O. Biorąc pod uwagę, że:
rx =X * Fx ; r y = Y * F y ; r z =Z * F y otrzymujemy: m o (F)=x =
Rozwińmy wyznacznik i otrzymajmy:
m x = YF z - ZF y
m y = ZF x - XF z
m z =XF y - YF x
Wzory te umożliwiają obliczenie rzutu momentu wektorowego na oś, a następnie samego momentu wektorowego.
Twierdzenie Varignona o momencie wypadkowej
Jeżeli układ sił ma wypadkową, to jego moment względem dowolnego środka jest równy algebraicznej sumie momentów wszystkich sił względem tego punktu
Jeśli zastosujemy Q= -R, to układ (Q,F 1 ... F n) będzie jednakowo zrównoważony.
Suma momentów względem dowolnego środka będzie równa zeru.
Analityczny warunek równowagi dla płaskiego układu sił
Jest to płaski układ sił, którego linie działania znajdują się w tej samej płaszczyźnie
Celem obliczeń tego typu problemów jest określenie reakcji połączeń zewnętrznych. W tym celu stosuje się podstawowe równania płaskiego układu sił.
Można zastosować równania z 2 lub 3 momentami.
Przykład
Utwórzmy równanie na sumę wszystkich sił na osi X i Y:
Suma momentów wszystkich sił względem punktu A:
Siły równoległe
Równanie dla punktu A:
Równanie dla punktu B:
Suma rzutów sił na oś Y.
