W tym materiale przyjrzymy się, czym jest potęga liczby. Oprócz podstawowych definicji sformułujemy czym są potęgi z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi. Jak zawsze, wszystkie koncepcje zostaną zilustrowane przykładowymi problemami.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najpierw sformułujmy podstawową definicję stopnia z wykładnikiem naturalnym. Aby to zrobić, musimy pamiętać o podstawowych zasadach mnożenia. Wyjaśnijmy z góry, że na razie za podstawę przyjmiemy liczbę rzeczywistą (oznaczoną literą a), a za wskaźnik liczbę naturalną (oznaczoną literą n).

Definicja 1

Potęga liczby a z wykładnikiem naturalnym n jest iloczynem n-tej liczby czynników, z których każdy jest równy liczbie a. Stopień jest zapisany w następujący sposób: jakiś, a w formie wzoru jego skład można przedstawić w następujący sposób:

Na przykład, jeśli wykładnik wynosi 1, a podstawa to a, wówczas pierwszą potęgę a zapisuje się jako 1. Biorąc pod uwagę, że a jest wartością współczynnika, a 1 jest liczbą czynników, możemy to wywnioskować za 1 = za.

Ogólnie można powiedzieć, że stopień jest wygodną formą zapisywania dużej liczby równych czynników. A więc zapis formularza 8 8 8 8 można skrócić do 8 4 . W podobny sposób produkt pomaga nam uniknąć pisania dużej liczby terminów (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Mówiliśmy już o tym w artykule poświęconym mnożeniu liczb naturalnych.

Jak poprawnie odczytać wpis o dyplomie? Ogólnie przyjętą opcją jest „a do potęgi n”. Możesz też powiedzieć „n-ta potęga a” lub „anth potęga”. Jeśli, powiedzmy, w przykładzie natrafiliśmy na wpis 8 12 , możemy przeczytać „8 do potęgi 12”, „8 do potęgi 12” lub „12 potęgi 8”.

Druga i trzecia potęga liczb mają swoje własne ustalone nazwy: kwadrat i sześcian. Jeśli widzimy drugą potęgę, na przykład liczbę 7 (7 2), to możemy powiedzieć „7 do kwadratu” lub „kwadrat liczby 7”. Podobnie trzeci stopień czyta się w następujący sposób: 5 3 - to jest „kostka liczby 5” lub „5 kostek”. Można jednak użyć także standardowego sformułowania „do potęgi drugiej/trzeciej” – nie będzie to błędem.

Przykład 1

Spójrzmy na przykład stopnia z wykładnikiem naturalnym: for 5 7 pięć będzie podstawą, a siedem wykładnikiem.

Podstawa nie musi być liczbą całkowitą: dla stopnia (4 , 32) 9 podstawą będzie ułamek 4, 32, a wykładnikiem będzie dziewięć. Zwróć uwagę na nawiasy: ten zapis dotyczy wszystkich potęg, których podstawy różnią się od liczb naturalnych.

Na przykład: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Do czego służą nawiasy? Pomagają uniknąć błędów w obliczeniach. Załóżmy, że mamy dwa wpisy: (− 2) 3 I − 2 3 . Pierwsza z nich oznacza liczbę ujemną minus dwa podniesioną do potęgi z naturalnym wykładnikiem równym trzy; druga to liczba odpowiadająca przeciwnej wartości stopnia 2 3 .

Czasami w książkach można znaleźć nieco inną pisownię potęgi liczby - a^n(gdzie a jest podstawą, a n jest wykładnikiem). Oznacza to, że 4^9 jest tym samym, co 4 9 . Jeżeli n jest liczbą wielocyfrową, podaje się ją w nawiasach. Na przykład 15 ^ (21) , (- 3 , 1) ^ (156) . Ale będziemy używać notacji jakiś jako bardziej powszechne.

Łatwo zgadnąć, jak obliczyć wartość wykładnika z wykładnikiem naturalnym na podstawie jego definicji: wystarczy pomnożyć n-tą liczbę razy. Więcej na ten temat pisaliśmy w innym artykule.

Pojęcie stopnia jest odwrotnością innego pojęcia matematycznego – pierwiastka liczby. Znając wartość potęgi i wykładnik, możemy obliczyć jej podstawę. Stopień ma pewne specyficzne właściwości przydatne do rozwiązywania problemów, które omówiliśmy w osobnym materiale.

Wykładniki mogą obejmować nie tylko liczby naturalne, ale także ogólnie dowolne wartości całkowite, w tym także ujemne i zera, ponieważ one również należą do zbioru liczb całkowitych.

Definicja 2

Potęgę liczby o dodatnim wykładniku całkowitym można przedstawić za pomocą wzoru: .

W tym przypadku n jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą.

Rozumiemy pojęcie stopnia zerowego. Aby to zrobić, stosujemy podejście, które uwzględnia właściwość ilorazu dla potęg o równych podstawach. Jest sformułowane w następujący sposób:

Definicja 3

Równość za m: za n = za m - n będzie prawdziwe pod następującymi warunkami: m i n są liczbami naturalnymi, m< n , a ≠ 0 .

Ostatni warunek jest ważny, ponieważ pozwala uniknąć dzielenia przez zero. Jeśli wartości m i n są równe, otrzymamy następujący wynik: za n: za n = za n - n = za 0

Ale jednocześnie a n: a n = 1 jest ilorazem równych liczb jakiś i a. Okazuje się, że potęga zerowa dowolnej liczby niezerowej jest równa jeden.

Jednakże taki dowód nie dotyczy zera do potęgi zerowej. Aby to zrobić, potrzebujemy innej właściwości potęg - właściwości iloczynów potęg o równych podstawach. To wygląda tak: za m · za n = za m + n .

Jeśli n jest równe 0, to za m · za 0 = za m(ta równość również nam to udowadnia 0 = 1). Ale jeśli i jest również równe zero, nasza równość przybiera formę 0 m · 0 0 = 0 m, Będzie to prawdą dla dowolnej naturalnej wartości n i nie ma znaczenia, jaka dokładnie wartość stopnia jest równa 0 0 , to znaczy może być równy dowolnej liczbie, co nie wpłynie na dokładność równości. Dlatego zapis formy 0 0 nie ma swojego specjalnego znaczenia i nie będziemy mu go przypisywać.

W razie potrzeby łatwo to sprawdzić 0 = 1 jest zbieżny z właściwością stopnia (a m) n = za m n pod warunkiem, że podstawa stopnia nie jest równa zeru. Zatem potęga dowolnej liczby niezerowej z wykładnikiem zerowym wynosi jeden.

Przykład 2

Spójrzmy na przykład z konkretnymi liczbami: A zatem, 5 0 - jednostka, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 i wartość 0 0 nieokreślony.

Po stopniu zerowym musimy po prostu dowiedzieć się, jaki jest stopień ujemny. Aby to zrobić, potrzebujemy tej samej właściwości iloczynu potęg o równych podstawach, którą już wykorzystaliśmy powyżej: a m · a n = a m + n.

Wprowadźmy warunek: m = − n, wówczas a nie powinno być równe zero. Wynika, że za - n · za n = za - n + n = za 0 = 1. Okazuje się, że n i an-n mamy liczby wzajemnie odwrotne.

W rezultacie a do ujemnej potęgi całkowitej jest niczym więcej niż ułamkiem 1 a n.

Sformułowanie to potwierdza, że ​​dla stopnia z wykładnikiem całkowitym ujemnym obowiązują te same właściwości, jakie ma stopień z wykładnikiem naturalnym (pod warunkiem, że podstawa nie jest równa zero).

Przykład 3

Potęgę a z ujemnym wykładnikiem całkowitym n można przedstawić jako ułamek 1 an . Zatem a - n = 1 n podlega a ≠ 0 oraz n jest dowolną liczbą naturalną.

Zilustrujmy naszą myśl konkretnymi przykładami:

Przykład 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

W ostatniej części akapitu postaramy się przedstawić wszystko, co zostało powiedziane jasno, w jednej formule:

Definicja 4

Potęga liczby o wykładniku naturalnym z wynosi: a z = a z, e z l i z - dodatnia liczba całkowita 1, z = 0 i a ≠ 0, (dla z = 0 i a = 0 wynikiem jest 0 0, wartości wyrażenia 0 0 nie są zdefiniowane) 1 a z, jeśli i z jest ujemną liczbą całkowitą oraz a ≠ 0 (jeśli z jest ujemną liczbą całkowitą i a = 0 otrzymasz 0 z, egoz wartość jest nieokreślona)

Co to są potęgi z wymiernym wykładnikiem?

Zbadaliśmy przypadki, gdy wykładnik zawiera liczbę całkowitą. Można jednak podnieść liczbę do potęgi, nawet jeśli jej wykładnik zawiera liczbę ułamkową. Nazywa się to potęgą z wymiernym wykładnikiem. W tej części udowodnimy, że ma takie same właściwości jak inne potęgi.

Co to są liczby wymierne? Ich zbiór obejmuje zarówno liczby całkowite, jak i ułamkowe, a liczby ułamkowe można przedstawić w postaci ułamków zwykłych (zarówno dodatnich, jak i ujemnych). Sformułujmy definicję potęgi liczby a z wykładnikiem ułamkowym m/n, gdzie n jest liczbą naturalną, a m jest liczbą całkowitą.

Mamy pewien stopień z wykładnikiem ułamkowym a m n . Aby moc sprawowania władzy nad własnością mogła obowiązywać, równość a m n n = a m n · n = a m musi być prawdziwa.

Biorąc pod uwagę definicję n-tego pierwiastka i to, że a m n n = a m, możemy zaakceptować warunek a m ​​n = a m n, jeśli a m n ma sens dla danych wartości m, n i a.

Powyższe właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym będą prawdziwe pod warunkiem a m n = a m n .

Główny wniosek z naszego rozumowania jest następujący: potęga pewnej liczby a z wykładnikiem ułamkowym m / n jest n-tym pierwiastkiem liczby a do potęgi m. Jest to prawdą, jeśli dla danych wartości m, n i a wyrażenie a m n pozostaje znaczące.

1. Możemy ograniczyć wartość podstawy stopnia: weźmy a, które dla wartości dodatnich m będzie większe lub równe 0, a dla wartości ujemnych - ściśle mniejsze (ponieważ dla m ≤ 0 dostajemy 0 m, ale stopień taki nie jest określony). W tym przypadku definicja stopnia z wykładnikiem ułamkowym będzie wyglądać następująco:

Potęga z wykładnikiem ułamkowym m/n dla pewnej liczby dodatniej a jest n-tym pierwiastkiem podniesionym do potęgi m. Można to wyrazić wzorem:

W przypadku potęgi o podstawie zerowej przepis ten jest również odpowiedni, ale tylko wtedy, gdy jego wykładnik jest liczbą dodatnią.

Potęgę o podstawie zerowej i ułamkowym dodatnim wykładniku m/n można wyrazić jako

0 m n = 0 m n = 0 pod warunkiem, że m jest dodatnią liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną.

Dla ujemnego stosunku m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Zwróćmy uwagę na jedną kwestię. Ponieważ wprowadziliśmy warunek, że a jest większe lub równe zero, ostatecznie odrzuciliśmy niektóre przypadki.

Wyrażenie a m n czasami nadal ma sens w przypadku niektórych ujemnych wartości a i niektórych m. Zatem poprawne wpisy to (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, w których podstawa jest ujemna.

2. Drugie podejście polega na osobnym rozważeniu pierwiastka a m z wykładnikami parzystymi i nieparzystymi. Następnie będziemy musieli wprowadzić jeszcze jeden warunek: za stopień a, w którego wykładniku znajduje się redukowalny ułamek zwykły, uważa się stopień a, w którego wykładniku znajduje się odpowiedni ułamek nieredukowalny. Później wyjaśnimy, dlaczego potrzebujemy tego warunku i dlaczego jest on tak ważny. Zatem jeśli mamy zapis a m · k n · k , to możemy go zredukować do a m n i uprościć obliczenia.

Jeśli n jest liczbą nieparzystą, a wartość m jest dodatnia, a a jest dowolną liczbą nieujemną, wówczas a m n ma sens. Warunek, aby a było nieujemne, jest konieczny, ponieważ z liczby ujemnej nie można wyodrębnić pierwiastka stopnia parzystego. Jeśli wartość m jest dodatnia, wówczas a może być zarówno ujemne, jak i zerowe, ponieważ Pierwiastek nieparzysty można pobrać z dowolnej liczby rzeczywistej.

Połączmy wszystkie powyższe definicje w jednym wpisie:

Tutaj m/n oznacza ułamek nieredukowalny, m jest dowolną liczbą całkowitą, a n jest dowolną liczbą naturalną.

Definicja 5

Dla dowolnej zwykłej frakcji redukowalnej m · k n · k stopień można zastąpić przez a m n .

Potęgę liczby a z nieredukowalnym wykładnikiem ułamkowym m/n – można wyrazić jako a m n w następujących przypadkach: - dla dowolnego rzeczywistego a dodatnie wartości całkowite m i nieparzyste wartości naturalne n. Przykład: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Dla dowolnego niezerowego rzeczywistego a, ujemne wartości całkowite m i nieparzyste wartości n, na przykład 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Dla dowolnego nieujemnego a, dodatniej liczby całkowitej m, a nawet n, na przykład 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Dla dowolnej dodatniej a, ujemnej liczby całkowitej m i nawet n, na przykład 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

W przypadku innych wartości nie określa się stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Przykłady takich stopni: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Wyjaśnijmy teraz znaczenie warunku omówionego powyżej: po co zastępować ułamek o wykładniku redukowalnym ułamkiem o wykładniku nieredukowalnym. Gdybyśmy tego nie zrobili, mielibyśmy następujące sytuacje, powiedzmy, 6/10 = 3/5. Wtedy powinno to być prawdą (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ale - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 i (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicja stopnia z wykładnikiem ułamkowym, którą przedstawiliśmy jako pierwszą, jest wygodniejsza w praktyce niż druga, dlatego będziemy ją nadal stosować.

Definicja 6

Zatem potęgę liczby dodatniej a z wykładnikiem ułamkowym m/n definiuje się jako 0 m n = 0 m n = 0. W przypadku negatywnego A zapis a m n nie ma sensu. Potęga zera dla dodatnich wykładników ułamkowych m/n definiuje się jako 0 m n = 0 m n = 0 , dla ujemnych wykładników ułamkowych nie definiujemy stopnia zera.

Podsumowując, zauważamy, że dowolny wskaźnik ułamkowy można zapisać zarówno jako liczbę mieszaną, jak i ułamek dziesiętny: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Przy obliczaniu lepiej zastąpić wykładnik ułamkiem zwykłym, a następnie skorzystać z definicji wykładnika z wykładnikiem ułamkowym. Dla powyższych przykładów otrzymujemy:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Co to są potęgi o wykładnikach irracjonalnych i rzeczywistych?

Co to są liczby rzeczywiste? W ich zbiorze znajdują się zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne. Dlatego, aby zrozumieć, czym jest stopień z wykładnikiem rzeczywistym, musimy zdefiniować stopnie z wykładnikami wymiernymi i niewymiernymi. O racjonalnych wspominaliśmy już powyżej. Zajmijmy się irracjonalnymi wskaźnikami krok po kroku.

Przykład 5

Załóżmy, że mamy liczbę niewymierną a i ciąg jej przybliżeń dziesiętnych a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Przyjmijmy na przykład wartość a = 1,67175331. . . , Następnie

za 0 = 1, 6, za 1 = 1, 67, za 2 = 1, 671, . . . , za 0 = 1,67, za 1 = 1,6717, za 2 = 1,671753, . . .

Możemy powiązać ciągi przybliżeń z ciągiem stopni a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Jeśli pamiętamy, co powiedzieliśmy wcześniej o podnoszeniu liczb do potęg wymiernych, wówczas możemy sami obliczyć wartości tych potęg.

Weźmy na przykład a = 3, wtedy za za 0 = 3 1, 67, za za 1 = 3 1, 6717, za za 2 = 3 1, 671753, . . . itp.

Ciąg potęg można sprowadzić do liczby, która będzie wartością potęgi o podstawie a i niewymiernym wykładniku a. W rezultacie: stopień z irracjonalnym wykładnikiem postaci 3 1, 67175331. . można zredukować do liczby 6, 27.

Definicja 7

Potęgę liczby dodatniej a z wykładnikiem niewymiernym a zapisuje się jako a . Jego wartość jest granicą ciągu a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdzie a 0 , a 1 , a 2 , . . . są kolejnymi dziesiętnymi przybliżeniami liczby niewymiernej a. Stopień o podstawie zerowej można również zdefiniować dla dodatnich niewymiernych wykładników, gdzie 0 a = 0 Zatem 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Nie można tego jednak zrobić w przypadku ujemnych, ponieważ na przykład wartość 0–5, 0–2 π nie jest zdefiniowana. Na przykład jednostka podniesiona do dowolnej potęgi niewymiernej pozostaje jednostką, a 1 2, 1 5 w 2 i 1 - 5 będzie równe 1.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

W tym artykule dowiemy się, co to jest stopień. Tutaj podamy definicje potęgi liczby, a szczegółowo rozważymy wszystkie możliwe wykładniki, zaczynając od wykładnika naturalnego, a kończąc na niewymiernym. W materiale znajdziesz wiele przykładów stopni, obejmujących wszystkie pojawiające się subtelności.

Nawigacja strony.

Potęga z wykładnikiem naturalnym, kwadrat liczby, sześcian liczby

Zacznijmy . Patrząc w przyszłość, powiedzmy, że definicja potęgi liczby a z wykładnikiem naturalnym n jest dana dla a, które nazwiemy podstawa stopnia, i n, które nazwiemy wykładnik potęgowy. Zauważamy również, że stopień z wykładnikiem naturalnym jest określany poprzez iloczyn, więc aby zrozumieć poniższy materiał, musisz znać mnożenie liczb.

Definicja.

Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym n jest wyrażeniem postaci a n, którego wartość jest równa iloczynowi n czynników, z których każdy jest równy a, czyli .
W szczególności potęga liczby a z wykładnikiem 1 jest samą liczbą a, czyli a 1 = a.

Warto od razu wspomnieć o zasadach czytania stopni naukowych. Uniwersalny sposób odczytania zapisu a n to: „a do potęgi n”. W niektórych przypadkach dopuszczalne są także opcje: „a do n-tej potęgi” i „n-tej potęgi a”. Weźmy na przykład potęgę 8 12, czyli „osiem do potęgi dwunastej”, „osiem do potęgi dwunastej” lub „dwunasta potęga ósma”.

Druga potęga liczby, a także trzecia potęga liczby mają swoje własne nazwy. Nazywa się drugą potęgą liczby podnieś liczbę do kwadratu na przykład 7 2 odczytuje się jako „siedem do kwadratu” lub „kwadrat liczby siedem”. Nazywa się trzecią potęgą liczby liczby sześcienne na przykład 5 3 można odczytać jako „pięć sześcianów” lub można powiedzieć „kostka liczby 5”.

Czas przynieść przykłady stopni z wykładnikami naturalnymi. Zacznijmy od stopnia 5 7, tutaj 5 to podstawa stopnia, a 7 to wykładnik. Podajmy inny przykład: 4,32 to podstawa, a liczba naturalna 9 to wykładnik (4,32) 9 .

Proszę zwrócić uwagę, że w ostatnim przykładzie w nawiasie zapisano podstawę potęgi 4,32: aby uniknąć rozbieżności, w nawiasach ujęte zostaną wszystkie podstawy potęgi różniące się od liczb naturalnych. Jako przykład podajemy następujące stopnie z wykładnikami naturalnymi , ich podstawy nie są liczbami naturalnymi, dlatego są zapisane w nawiasach. Otóż, dla pełnej przejrzystości, w tym miejscu pokażemy różnicę zawartą w zapisach postaci (−2) 3 i −2 3. Wyrażenie (−2) 3 jest potęgą −2 z wykładnikiem naturalnym 3, a wyrażenie −2 3 (można je zapisać jako −(2 3) ) odpowiada liczbie, wartości potęgi 2 3 .

Zauważ, że istnieje zapis potęgi liczby a z wykładnikiem n w postaci a^n. Ponadto, jeśli n jest wielowartościową liczbą naturalną, wówczas wykładnik jest podawany w nawiasach. Na przykład 4^9 to inny zapis potęgi 4 9 . A oto więcej przykładów zapisywania stopni za pomocą symbolu „^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . W dalszej części będziemy przede wszystkim używać zapisu stopnia w postaci an .

Jednym z problemów odwrotnych do podnoszenia do potęgi z wykładnikiem naturalnym jest problem znalezienia podstawy potęgi na podstawie znanej wartości potęgi i znanego wykładnika. To zadanie prowadzi do.

Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych składa się z liczb całkowitych i ułamków, a każdy ułamek można przedstawić jako dodatni lub ujemny ułamek zwykły. W poprzednim akapicie zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem całkowitym, zatem aby uzupełnić definicję stopnia z wykładnikiem wymiernym, musimy nadać znaczenie stopniowi liczby a z wykładnikiem ułamkowym m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Zróbmy to.

Rozważmy stopień z wykładnikiem ułamkowym w postaci . Aby właściwość mocy do potęgi pozostała ważna, musi zachodzić równość . Jeśli weźmiemy pod uwagę otrzymaną równość i sposób, w jaki ustaliliśmy , to logiczne jest przyjęcie tego pod warunkiem, że dla danych m, n i a wyrażenie ma sens.

Łatwo sprawdzić, że dla wszystkich własności stopnia z wykładnikiem całkowitym obowiązują (dokonano tego w rozdziale Właściwości stopnia z wykładnikiem wymiernym).

Powyższe rozumowanie pozwala nam na dokonanie następujących ustaleń wniosek: jeśli podane są m, n i a wyrażenie ma sens, wówczas potęga a z wykładnikiem ułamkowym m/n nazywana jest n-tym pierwiastkiem a do potęgi m.

To stwierdzenie przybliża nas do definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Pozostaje tylko opisać, przy jakim m, n i a wyrażenie ma sens. W zależności od ograniczeń nałożonych na m, n i a, istnieją dwa główne podejścia.

Najłatwiej jest nałożyć ograniczenie na a, przyjmując a≥0 dla dodatniego m i a>0 dla ujemnego m (ponieważ dla m≤0 stopień 0 m nie jest zdefiniowany). Następnie otrzymujemy następującą definicję stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Potęga liczby dodatniej a z wykładnikiem ułamkowym m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną, nazywa się n-tym pierwiastkiem liczby a do potęgi m, czyli .

Wyznacza się także moc ułamkową zera z jedynym zastrzeżeniem, że wskaźnik musi być dodatni.

Definicja.

Potęga zera z ułamkowym wykładnikiem dodatnim m/n, gdzie m jest dodatnią liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną, definiuje się jako .
Gdy stopień nie jest określony, to znaczy stopień liczby zero z ułamkowym wykładnikiem ujemnym nie ma sensu.

Należy zauważyć, że przy tej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym jest jedno zastrzeżenie: dla niektórych ujemnych a oraz niektórych m i n wyrażenie ma sens i odrzuciliśmy te przypadki, wprowadzając warunek a≥0. Na przykład wpisy mają sens lub , a podana powyżej definicja zmusza nas do powiedzenia, że ​​potęgi z wykładnikiem ułamkowym postaci nie ma sensu, ponieważ podstawa nie powinna być ujemna.

Innym podejściem do określania stopnia z wykładnikiem ułamkowym m/n jest oddzielne uwzględnienie wykładników parzystych i nieparzystych pierwiastka. Podejście to wymaga dodatkowego warunku: za potęgę liczby a, której wykładnik wynosi , uważa się potęgę liczby a, której wykładnikiem jest odpowiadający jej ułamek nieredukowalny (znaczenie tego warunku wyjaśnimy poniżej ). Oznacza to, że jeśli m/n jest ułamkiem nieredukowalnym, to dla dowolnej liczby naturalnej k stopień najpierw zastępuje się przez .

Dla parzystego n i dodatniego m wyrażenie ma sens w przypadku dowolnego nieujemnego a (parzysty pierwiastek z liczby ujemnej nie ma sensu); w przypadku ujemnego m liczba a nadal musi być różna od zera (w przeciwnym razie nastąpi dzielenie przez zero). A dla nieparzystego n i dodatniego m liczba a może być dowolna (pierwiastek stopnia nieparzystego definiuje się dla dowolnej liczby rzeczywistej), a dla ujemnego m liczba a musi być różna od zera (aby nie było dzielenia przez zero).

Powyższe rozumowanie prowadzi nas do tej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Niech m/n będzie ułamkiem nieredukowalnym, m liczbą całkowitą, a n liczbą naturalną. Dla dowolnej frakcji dającej się zredukować stopień zastępuje się przez . Potęga liczby z nieredukowalnym wykładnikiem ułamkowym m/n oznacza



Wyjaśnijmy, dlaczego stopień z redukowalnym wykładnikiem ułamkowym jest najpierw zastępowany stopniem z nieredukowalnym wykładnikiem. Gdybyśmy po prostu zdefiniowali stopień jako , i nie zgłosili zastrzeżenia co do nieredukowalności ułamka m/n, to mielibyśmy do czynienia z sytuacjami podobnymi do poniższych: skoro 6/10 = 3/5, to równość musi zachodzić , Ale , A .

Tabela potęg 2 (dwójek) od 0 do 32

Poniższa tabela pokazuje, oprócz potęgi dwójki, maksymalne liczby, jakie komputer może przechowywać dla danej liczby bitów. Co więcej, zarówno dla liczb całkowitych, jak i liczb ze znakiem.

Historycznie rzecz biorąc, komputery korzystały z binarnego systemu liczbowego i odpowiednio do przechowywania danych. Zatem dowolną liczbę można przedstawić jako ciąg zer i jedynek (bitów informacji). Istnieje kilka sposobów przedstawiania liczb w postaci ciągu binarnego.

Rozważmy najprostszy z nich - jest to dodatnia liczba całkowita. Im większą liczbę musimy zapisać, tym dłuższej sekwencji bitów potrzebujemy.

Poniżej jest tabela potęg liczby 2. Da nam to reprezentację wymaganej liczby bitów potrzebnych do przechowywania liczb.

Jak używać tabela potęg liczby dwa?

Pierwsza kolumna to potęga dwójki, co jednocześnie oznacza liczbę bitów reprezentujących liczbę.

Druga kolumna - wartość dwójki do odpowiedniej potęgi (n).

Przykład znajdowania potęgi liczby 2. W pierwszej kolumnie znajdujemy liczbę 7. Patrzymy wzdłuż linii po prawej stronie i znajdujemy wartość dwa do potęgi siódmej(2·7) wynosi 128

Trzecia kolumna - maksymalna liczba, którą można przedstawić za pomocą danej liczby bitów(w pierwszej kolumnie).

Przykład określenia maksymalnej liczby całkowitej bez znaku. Korzystając z danych z poprzedniego przykładu wiemy, że 2 7 = 128. To prawda, jeśli chcemy zrozumieć co ilość liczb, można przedstawić za pomocą siedmiu bitów. Lecz odkąd pierwsza liczba to zero, wówczas maksymalna liczba, którą można przedstawić za pomocą siedmiu bitów, wynosi 128 - 1 = 127. To jest wartość trzeciej kolumny.

Potęga dwójki (n)	Potęga dwóch wartości 2n	Maksymalna liczba bez znaku zapisane n bitami	Maksymalna liczba podpisów zapisane n bitami
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

Dowiedzieliśmy się, czym właściwie jest potęga liczby. Teraz musimy zrozumieć, jak poprawnie to obliczyć, tj. podnieść liczby do potęg. W tym materiale przeanalizujemy podstawowe zasady obliczania stopni w przypadku wykładników całkowitych, naturalnych, ułamkowych, wymiernych i niewymiernych. Wszystkie definicje zostaną zilustrowane przykładami.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pojęcie potęgowania

Zacznijmy od sformułowania podstawowych definicji.

Definicja 1

Potęgowanie- jest to obliczenie wartości potęgi określonej liczby.

Oznacza to, że słowa „obliczanie wartości potęgi” i „podnoszenie do potęgi” oznaczają to samo. Jeśli więc problem brzmi „Podnieś liczbę 0, 5 do potęgi piątej”, należy to rozumieć jako „oblicz wartość potęgi (0, 5) 5.

Teraz przedstawiamy podstawowe zasady, którymi należy się kierować przy wykonywaniu takich obliczeń.

Przypomnijmy sobie, jaka jest potęga liczby z wykładnikiem naturalnym. W przypadku potęgi o podstawie a i wykładniku n będzie to iloczyn n-tej liczby czynników, z których każdy jest równy a. Można to zapisać w ten sposób:

Aby obliczyć wartość stopnia, należy wykonać akcję mnożenia, czyli pomnożyć podstawy stopnia określoną liczbę razy. Sama koncepcja stopnia z wykładnikiem naturalnym opiera się na możliwości szybkiego pomnażania. Podajmy przykłady.

Przykład 1

Warunek: podnieś - 2 do potęgi 4.

Rozwiązanie

Korzystając z powyższej definicji piszemy: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Następnie musimy wykonać następujące kroki i uzyskać 16.

Weźmy bardziej skomplikowany przykład.

Przykład 2

Oblicz wartość 3 2 7 2

Rozwiązanie

Ten wpis można przepisać jako 3 2 7 · 3 2 7 . Wcześniej sprawdziliśmy, jak poprawnie pomnożyć liczby mieszane wymienione w warunku.

Wykonajmy te kroki i uzyskajmy odpowiedź: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jeśli zadanie wskazuje na konieczność podniesienia liczb niewymiernych do potęgi naturalnej, będziemy musieli najpierw zaokrąglić ich podstawy do cyfry, która pozwoli nam uzyskać odpowiedź o wymaganej dokładności. Spójrzmy na przykład.

Przykład 3

Wykonaj kwadrat π.

Rozwiązanie

Najpierw zaokrąglimy to do setnych. Wtedy π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Jeśli π ≈ 3. 14159, wówczas otrzymujemy dokładniejszy wynik: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Należy zauważyć, że w praktyce konieczność obliczania potęg liczb niewymiernych pojawia się stosunkowo rzadko. Możemy wtedy zapisać odpowiedź jako samą potęgę (ln 6) 3 lub, jeśli to możliwe, przeliczyć: 5 7 = 125 5 .

Osobno należy wskazać, jaka jest pierwsza potęga liczby. Tutaj możesz po prostu pamiętać, że dowolna liczba podniesiona do pierwszej potęgi pozostanie taka sama:

To wynika jasno z nagrania .

Nie jest to zależne od stopnia naukowego.

Przykład 4

Zatem (− 9) 1 = − 9 i 7 3 podniesione do pierwszej potęgi pozostanie równe 7 3.

Dla wygody zbadamy osobno trzy przypadki: jeśli wykładnik jest dodatnią liczbą całkowitą, jeśli wynosi zero i jeśli jest ujemną liczbą całkowitą.

W pierwszym przypadku jest to równoznaczne z podniesieniem do potęgi naturalnej: w końcu dodatnie liczby całkowite należą do zbioru liczb naturalnych. Mówiliśmy już powyżej o tym, jak pracować z takimi stopniami.

Zobaczmy teraz, jak poprawnie podnieść do potęgi zerowej. W przypadku podstawy innej niż zero obliczenie to zawsze daje 1. Wyjaśniliśmy wcześniej, że potęgę 0 a można zdefiniować dla dowolnej liczby rzeczywistej różnej od 0, a a 0 = 1.

Przykład 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nie określono.

Pozostaje nam tylko przypadek stopnia z wykładnikiem całkowitym ujemnym. Mówiliśmy już, że takie stopnie można zapisać w postaci ułamka zwykłego 1 a z, gdzie a jest dowolną liczbą, a z jest ujemną liczbą całkowitą. Widzimy, że mianownik tego ułamka to nic innego jak zwykła potęga z dodatnim wykładnikiem całkowitym i nauczyliśmy się już, jak to obliczyć. Podajmy przykłady zadań.

Przykład 6

Podnieś 3 do potęgi - 2.

Rozwiązanie

Korzystając z powyższej definicji piszemy: 2 - 3 = 1 2 3

Obliczmy mianownik tego ułamka i otrzymamy 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Zatem odpowiedź brzmi: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Przykład 7

Podnieś 1,43 do potęgi -2.

Rozwiązanie

Przeformułujmy: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Obliczamy kwadrat w mianowniku: 1,43·1,43. Ułamki dziesiętne można mnożyć w następujący sposób:

W rezultacie otrzymaliśmy (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Wystarczy, że zapiszemy ten wynik w postaci ułamka zwykłego, dla którego musimy go pomnożyć przez 10 tysięcy (patrz materiał o przeliczaniu ułamków zwykłych).

Odpowiedź: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Szczególnym przypadkiem jest podnoszenie liczby do pierwszej potęgi minus. Wartość tego stopnia jest równa odwrotności pierwotnej wartości podstawy: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Przykład 8

Przykład: 3 - 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Jak podnieść liczbę do potęgi ułamkowej

Aby wykonać taką operację, należy pamiętać o podstawowej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym: a m n = a m n dla dowolnego dodatniego a, liczby całkowitej m i naturalnego n.

Definicja 2

Zatem obliczenie potęgi ułamkowej należy przeprowadzić w dwóch etapach: podniesienie do potęgi całkowitej i znalezienie pierwiastka z n-tej potęgi.

Mamy równość a m n = a m n , która biorąc pod uwagę właściwości pierwiastków, jest zwykle używana do rozwiązywania problemów w postaci a m n = a n m . Oznacza to, że jeśli podniesiemy liczbę a do potęgi ułamkowej m/n, to najpierw weźmiemy n-ty pierwiastek z a, następnie wynik podniesiemy do potęgi z wykładnikiem całkowitym m.

Zilustrujmy przykładem.

Przykład 9

Oblicz 8 - 2 3 .

Rozwiązanie

Metoda 1: Zgodnie z podstawową definicją możemy to przedstawić jako: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Teraz obliczmy stopień pod pierwiastkiem i wyodrębnijmy trzeci pierwiastek z wyniku: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Przekształć podstawową równość: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Następnie wyodrębniamy pierwiastek 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 i podnosimy wynik do kwadratu: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Widzimy, że rozwiązania są identyczne. Możesz go używać w dowolny sposób.

Zdarzają się przypadki, gdy stopień ma wskaźnik wyrażony jako liczba mieszana lub ułamek dziesiętny. Aby uprościć obliczenia, lepiej zastąpić go zwykłym ułamkiem i obliczyć jak wskazano powyżej.

Przykład 10

Podnieś 44, 89 do potęgi 2, 5.

Rozwiązanie

Przekształćmy wartość wskaźnika na ułamek zwykły - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Teraz wykonujemy w kolejności wszystkie czynności wskazane powyżej: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Odpowiedź: 13 501, 25107.

Jeśli licznik i mianownik wykładnika ułamkowego zawierają duże liczby, wówczas obliczenie takich wykładników za pomocą wykładników wymiernych jest dość trudnym zadaniem. Zwykle wymaga to technologii komputerowej.

Rozważmy osobno potęgi o podstawie zerowej i wykładniku ułamkowym. Wyrażeniu postaci 0 m n można nadać następujące znaczenie: jeśli m n > 0, to 0 m n = 0 m n = 0; jeśli m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Jak podnieść liczbę do potęgi niewymiernej

Konieczność obliczenia wartości potęgi, której wykładnikiem jest liczba niewymierna, nie pojawia się zbyt często. W praktyce zadanie ogranicza się zwykle do obliczenia wartości przybliżonej (do określonej liczby miejsc po przecinku). Zwykle oblicza się to na komputerze ze względu na złożoność takich obliczeń, więc nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić, wskażemy jedynie główne postanowienia.

Jeśli musimy obliczyć wartość potęgi a z niewymiernym wykładnikiem a, wówczas bierzemy dziesiętne przybliżenie wykładnika i na jego podstawie liczymy. Wynik będzie przybliżoną odpowiedzią. Im dokładniejsze jest przybliżenie dziesiętne, tym dokładniejsza jest odpowiedź. Pokażmy na przykładzie:

Przykład 11

Oblicz przybliżoną wartość 21, 174367....

Rozwiązanie

Ograniczmy się do przybliżenia dziesiętnego a n = 1, 17. Przeprowadźmy obliczenia wykorzystując tę ​​liczbę: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Jeśli przyjmiemy na przykład przybliżenie a n = 1, 1743, to odpowiedź będzie nieco dokładniejsza: 2 · 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Kalkulator pomaga szybko podnieść liczbę do potęgi online. Podstawą stopnia może być dowolna liczba (zarówno liczba całkowita, jak i rzeczywista). Wykładnik może być również liczbą całkowitą lub rzeczywistą, a także może być dodatni lub ujemny. Należy pamiętać, że w przypadku liczb ujemnych podnoszenie do potęgi niecałkowitej jest niezdefiniowane, więc przy próbie kalkulator zgłosi błąd.

Kalkulator stopni

Podnieś do władzy

Potęgowania: 28402

Jaka jest naturalna potęga liczby?

Liczbę p nazywa się n-tą potęgą liczby, jeśli p jest równe liczbie a pomnożonej przez samą siebie n razy: p = a n = a·...·a
n - nazywany wykładnik potęgowy, a liczba a to podstawa stopnia.

Jak podnieść liczbę do potęgi naturalnej?

Aby zrozumieć, jak podnieść różne liczby do potęg naturalnych, rozważ kilka przykładów:

Przykład 1. Podnieś liczbę trzy do potęgi czwartej. Oznacza to, że konieczne jest obliczenie 3 4
Rozwiązanie: jak wspomniano powyżej, 3 4 = 3,3,3,3 = 81.
Odpowiedź: 3 4 = 81 .

Przykład 2. Podnieś liczbę pięć do potęgi piątej. Oznacza to, że konieczne jest obliczenie 5 5
Rozwiązanie: podobnie 5 5 = 5,5,5,5,5 = 3125.
Odpowiedź: 5 5 = 3125 .

Zatem, aby podnieść liczbę do potęgi naturalnej, wystarczy pomnożyć ją przez samą siebie n razy.

Jaka jest ujemna potęga liczby?

Ujemna potęga -n a to potęga podzielona przez a do potęgi n: a -n = .

W tym przypadku moc ujemna istnieje tylko dla liczb niezerowych, ponieważ w przeciwnym razie nastąpiłoby dzielenie przez zero.

Jak podnieść liczbę do ujemnej potęgi całkowitej?

Aby podnieść liczbę niezerową do potęgi ujemnej, należy obliczyć wartość tej liczby do tej samej potęgi dodatniej i podzielić jeden przez wynik.

Przykład 1. Podnieś liczbę dwa do ujemnej czwartej potęgi. Oznacza to, że musisz obliczyć 2 -4

Rozwiązanie: jak podano powyżej, 2 -4 = = = 0,0625.

Odpowiedź: 2 -4 = 0.0625 .