Სწორი ხაზი. Პარალელური ხაზები

სიბრტყეზე წრფეებს უწოდებენ პარალელურს, თუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები, ანუ ისინი არ იკვეთებიან. პარალელურობის აღსანიშნავად გამოიყენეთ სპეციალური ხატულა || (პარალელური ხაზები a || b).

სივრცეში მყოფი ხაზებისთვის არ არის საკმარისი მოთხოვნა, რომ არ იყოს საერთო წერტილები - იმისათვის, რომ ისინი პარალელურად იყვნენ სივრცეში, ისინი უნდა ეკუთვნოდნენ იმავე სიბრტყეს (თორემ ისინი იკვეთებიან).

თქვენ არ გჭირდებათ შორს წასვლა პარალელური ხაზების მაგალითებისთვის, ისინი თან ახლავს ყველგან, ოთახში - ეს არის კედლის გადაკვეთის ხაზები ჭერთან და იატაკთან, ნოუთბუქის ფურცელზე - საპირისპირო კიდეები და ა.

სავსებით აშკარაა, რომ ორი წრფის პარალელურად და მესამე წრფის პარალელურად პირველი ორიდან ერთ-ერთის პარალელურად, ის ასევე პარალელური იქნება მეორისა.

სიბრტყეზე პარალელური ხაზები დაკავშირებულია დებულებით, რომლის დამტკიცება შეუძლებელია პლანიმეტრიის აქსიომების გამოყენებით. იგი მიღებულია როგორც ფაქტი, როგორც აქსიომა: სიბრტყის ნებისმიერი წერტილისთვის, რომელიც არ დევს წრფეზე, არის უნიკალური ხაზი, რომელიც გადის მასში მოცემულის პარალელურად. ყველა მეექვსე კლასელმა იცის ეს აქსიომა.

მისი სივრცითი განზოგადება, ანუ განცხადება, რომ სივრცის ნებისმიერი წერტილისთვის, რომელიც არ დევს წრფეზე, არის უნიკალური ხაზი, რომელიც გადის მასში მოცემულის პარალელურად, ადვილად დასტურდება პარალელიზმის უკვე ცნობილი აქსიომის გამოყენებით. თვითმფრინავი.

პარალელური წრფეების თვისებები

• თუ ორი პარალელური წრფედან რომელიმე პარალელურია მესამესთან, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია.

პარალელურ ხაზებს, როგორც სიბრტყეში, ისე სივრცეში აქვთ ეს თვისება.
მაგალითად, განვიხილოთ მისი დასაბუთება სტერეომეტრიაში.

დავუშვათ, რომ b და a წრფეები პარალელურია.

შემთხვევას, როცა ყველა სწორი ხაზი ერთ სიბრტყეში დევს, პლანიმეტრიას დავტოვებთ.

დავუშვათ, a და b მიეკუთვნება ბეტა სიბრტყეს, ხოლო გამა არის სიბრტყე, რომელსაც მიეკუთვნება a და c (სივრცეში პარალელიზმის განმარტებით, სწორი ხაზები უნდა ეკუთვნოდეს იმავე სიბრტყეს).

თუ დავუშვებთ, რომ ბეტა და გამა სიბრტყეები განსხვავდებიან და გამოვნიშნავთ B ხაზს ბეტა სიბრტყიდან b წრფეზე, მაშინ B და c წრფეზე გავლებული სიბრტყე უნდა გადაკვეთოს ბეტა სიბრტყეს სწორ ხაზში (მოდით ავღნიშნოთ b1). .

თუ მიღებული სწორი ხაზი b1 კვეთს გამა სიბრტყეს, მაშინ, ერთის მხრივ, გადაკვეთის წერტილი უნდა იყოს a-ზე, რადგან b1 ეკუთვნის ბეტა სიბრტყეს, ხოლო მეორეს მხრივ, ის ასევე უნდა ეკუთვნოდეს c-ს, ვინაიდან b1 ეკუთვნის მესამე სიბრტყეს.
მაგრამ პარალელური ხაზები a და c არ უნდა იკვეთებოდეს.

ამრიგად, b1 წრფე უნდა ეკუთვნოდეს ბეტა სიბრტყეს და ამავდროულად არ ჰქონდეს საერთო წერტილები a-სთან, შესაბამისად, პარალელურობის აქსიომის მიხედვით ემთხვევა b-ს.
ჩვენ მივიღეთ b1 წრფე, რომელიც ემთხვევა b წრფეს, რომელიც ეკუთვნის იმავე სიბრტყეს c წრფესთან და არ კვეთს მას, ანუ b და c პარალელურია.

• წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი შეიძლება გაიაროს მოცემული წრფის პარალელურად.

• მესამეზე პერპენდიკულარულ სიბრტყეზე ორი წრფე პარალელურია.

• თუ სიბრტყე კვეთს ორი პარალელური წრფედან ერთს, მეორე წრფე ასევე კვეთს იმავე სიბრტყეს.

• მესამის ორი პარალელური წრფის გადაკვეთით წარმოქმნილი შესაბამისი და ჯვარედინ შიგა კუთხეები ტოლია, წარმოქმნილი შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.

მართალია საპირისპირო დებულებებიც, რომლებიც შეიძლება მივიღოთ ორი სწორი ხაზის პარალელურობის ნიშნად.

პარალელური ხაზების მდგომარეობა

ზემოთ ჩამოყალიბებული თვისებები და მახასიათებლები წარმოადგენს ხაზების პარალელურობის პირობებს და მათი დამტკიცება შესაძლებელია გეომეტრიის მეთოდების გამოყენებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ორი არსებული წრფის პარალელურობის დასამტკიცებლად საკმარისია დაამტკიცოთ მათი პარალელურობა მესამე წრფესთან ან კუთხეების თანასწორობა, შესაბამისი თუ ჯვარედინი და ა.შ.

დასამტკიცებლად, ისინი ძირითადად იყენებენ მეთოდს "წინააღმდეგობით", ანუ იმ ვარაუდით, რომ ხაზები არ არის პარალელური. ამ ვარაუდიდან გამომდინარე, ადვილად შეიძლება აჩვენოს, რომ ამ შემთხვევაში დარღვეულია მითითებული პირობები, მაგალითად, ერთმანეთზე დაყრილი შიდა კუთხეები არათანაბარი აღმოჩნდება, რაც ადასტურებს გაკეთებული ვარაუდის არასწორობას.

ორი წრფის პარალელურობის ნიშნები

თეორემა 1. თუ, როდესაც ორი წრფე იკვეთება სეკანტს:

გადაკვეთილი კუთხეები ტოლია, ან

შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან

ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ

ხაზები პარალელურია(ნახ. 1).

მტკიცებულება. ჩვენ შემოვიფარგლებით 1-ლი შემთხვევის დასამტკიცებლად.

მოდით, გადამკვეთი წრფეები a და b იყოს ჯვარედინი, ხოლო კუთხეები AB ტოლი. მაგალითად, ∠ 4 = ∠ 6. დავამტკიცოთ, რომ a || ბ.

დავუშვათ, რომ a და b წრფეები არ არის პარალელური. შემდეგ ისინი იკვეთებიან M რაღაც წერტილში და, შესაბამისად, 4 ან 6 კუთხეებიდან ერთ-ერთი იქნება ABM სამკუთხედის გარე კუთხე. განსაზღვრულობისთვის, მოდით ∠ 4 იყოს სამკუთხედის ABM გარე კუთხე, ხოლო ∠ 6 შიდა კუთხე. სამკუთხედის გარე კუთხის თეორემადან გამომდინარეობს, რომ ∠ 4 მეტია ∠ 6-ზე და ეს ეწინააღმდეგება პირობას, რაც ნიშნავს, რომ a და 6 წრფეები ვერ იკვეთება, ამიტომ ისინი პარალელურები არიან.

დასკვნა 1. ერთი და იმავე წრფის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში ორი განსხვავებული წრფე პარალელურია(ნახ. 2).

კომენტარი. გზა, რომელსაც ჩვენ ახლახან დავამტკიცეთ თეორემა 1-ის შემთხვევა, ეწოდება მტკიცების მეთოდს წინააღმდეგობით ან აბსურდამდე დაყვანით. ამ მეთოდმა მიიღო თავისი სახელი, რადგან არგუმენტის დასაწყისში კეთდება ვარაუდი, რომელიც ეწინააღმდეგება (საპირისპირო) იმას, რაც დასამტკიცებელია. მას აბსურდამდე მიყვანას უწოდებენ იმის გამო, რომ დაშვებული ვარაუდის საფუძველზე მსჯელობით მივდივართ აბსურდულ დასკვნამდე (აბსურდამდე). ასეთი დასკვნის მიღება გვაიძულებს უარვყოთ დასაწყისში გაკეთებული ვარაუდი და მივიღოთ ის, რაც დასამტკიცებლად იყო საჭირო.

დავალება 1.ააგეთ წრფე, რომელიც გადის მოცემულ M წერტილზე და პარალელურად არის მოცემული a წრფეზე, რომელიც არ გადის M წერტილს.

გამოსავალი. ვხაზავთ P სწორ ხაზს M წერტილის გავლით a სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად (ნახ. 3).

შემდეგ ვხაზავთ b წრფეს M წერტილის გავლით p წრფეზე პერპენდიკულარული. ბ წრფე პარალელურია a წრფის თეორემა 1-ის დასკვნის მიხედვით.

განხილული პრობლემისგან მნიშვნელოვანი დასკვნა გამოდის:
წერტილის მეშვეობით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, ყოველთვის შესაძლებელია მოცემული წრფის პარალელურად დახაზვა.

პარალელური წრფეების ძირითადი თვისება შემდეგია.

პარალელური წრფეების აქსიომა. მოცემული წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის მხოლოდ ერთი წრფე მოცემულის პარალელურად.

მოდით განვიხილოთ პარალელური წრფეების ზოგიერთი თვისება, რომელიც გამომდინარეობს ამ აქსიომიდან.

1) თუ წრფე კვეთს ორი პარალელური წრფედან ერთს, მაშინ ის მეორესაც კვეთს (ნახ. 4).

2) თუ ორი განსხვავებული წრფე პარალელურია მესამე წრფის პარალელურად, მაშინ ისინი პარალელურია (ნახ. 5).

შემდეგი თეორემა ასევე მართალია.

თეორემა 2. თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება განივი, მაშინ:

განივი კუთხეები ტოლია;

შესაბამისი კუთხეები ტოლია;

ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.

დასკვნა 2. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური წრფედან ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორეზე.(იხ. სურ. 2).

კომენტარი. 2 თეორემას უწოდებენ 1-ის თეორემის შებრუნებას. 1-ლი თეორემის დასკვნა არის თეორემა 2-ის პირობა. ხოლო 1-ლი თეორემა არის თეორემა 2-ის დასკვნა. ყველა თეორემას არ აქვს შებრუნებული, ანუ, თუ მოცემული თეორემა არის მართალია, მაშინ საპირისპირო თეორემა შეიძლება იყოს მცდარი.

მოდით ავხსნათ ეს ვერტიკალური კუთხეების თეორემის მაგალითის გამოყენებით. ეს თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: თუ ორი კუთხე ვერტიკალურია, მაშინ ისინი ტოლია. საპირისპირო თეორემა იქნება: თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ისინი ვერტიკალურია. და ეს, რა თქმა უნდა, სიმართლეს არ შეესაბამება. ორი თანაბარი კუთხე არ უნდა იყოს ვერტიკალური.

მაგალითი 1.ორი პარალელური ხაზი კვეთს მესამეს. ცნობილია, რომ განსხვავება ორ შიდა ცალმხრივ კუთხეს შორის არის 30°. იპოვეთ ეს კუთხეები.

გამოსავალი. დაე, ფიგურა 6 აკმაყოფილებდეს პირობას.

ეს სტატია ეხება პარალელურ ხაზებსა და პარალელურ ხაზებს. თავდაპირველად მოცემულია პარალელური წრფეების განმარტება სიბრტყეზე და სივრცეში, შემოღებულია აღნიშვნები, მოცემულია პარალელური წრფეების მაგალითები და გრაფიკული ილუსტრაციები. შემდეგ განიხილება ხაზების პარალელურობის ნიშნები და პირობები. დასასრულს ნაჩვენებია წრფეების პარალელურობის დამადასტურებელი ტიპიური ამოცანების ამონახსნები, რომლებიც მოცემულია წრფის გარკვეული განტოლებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში.

გვერდის ნავიგაცია.

პარალელური ხაზები - ძირითადი ინფორმაცია.

განმარტება.

სიბრტყეში ორი ხაზი ეწოდება პარალელურად, თუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები.

განმარტება.

სამგანზომილებიან სივრცეში ორი ხაზი ეწოდება პარალელურად, თუ ისინი ერთ სიბრტყეში წევენ და არ აქვთ საერთო წერტილები.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პუნქტი "თუ ისინი იმავე სიბრტყეში არიან" სივრცეში პარალელური წრფეების განმარტებაში ძალიან მნიშვნელოვანია. მოდით განვმარტოთ ეს პუნქტი: სამგანზომილებიან სივრცეში ორი წრფე, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები და არ დევს ერთ სიბრტყეში, არ არის პარალელური, არამედ იკვეთება.

აქ მოცემულია პარალელური ხაზების რამდენიმე მაგალითი. ნოუთბუქის ფურცლის საპირისპირო კიდეები დევს პარალელურ ხაზებზე. სწორი ხაზები, რომლითაც სახლის კედლის სიბრტყე კვეთს ჭერისა და იატაკის სიბრტყეებს, პარალელურია. რკინიგზის რელსები გასწორებულ ადგილზე ასევე შეიძლება ჩაითვალოს პარალელურ ხაზებად.

პარალელური ხაზების აღსანიშნავად გამოიყენეთ სიმბოლო "". ანუ თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგვიძლია მოკლედ დავწეროთ b.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ a წრფე პარალელურია b წრფესთან და ასევე, რომ b წრფე პარალელურია a წრფესთან.

მოდით გამოვთქვათ განცხადება, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სიბრტყეზე პარალელური წრფეების შესწავლაში: მოცემულ წრფეზე არ მყოფი წერტილის გავლით გადის მოცემულის პარალელურად ერთადერთი სწორი ხაზი. ეს დებულება მიღებულია როგორც ფაქტი (არ შეიძლება დადასტურდეს პლანიმეტრიის ცნობილი აქსიომების საფუძველზე) და მას უწოდებენ პარალელური წრფეების აქსიომას.

სივრცეში შემთხვევისთვის მართებულია თეორემა: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა ადვილად დამტკიცდება პარალელური წრფეების ზემოაღნიშნული აქსიომის გამოყენებით (მისი მტკიცებულება შეგიძლიათ იპოვოთ გეომეტრიის სახელმძღვანელოში 10-11 კლასებისთვის, რომელიც ჩამოთვლილია სტატიის ბოლოს ცნობარების სიაში).

სივრცეში შემთხვევისთვის მართებულია თეორემა: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა მარტივად შეიძლება დადასტურდეს ზემოთ მოცემული პარალელური ხაზის აქსიომის გამოყენებით.

წრფეთა პარალელიზმი - პარალელურობის ნიშნები და პირობები.

ხაზების პარალელურობის ნიშანიხაზების პარალელურად ყოფნის საკმარისი პირობაა, ანუ პირობა, რომლის შესრულებაც იძლევა ხაზების პარალელურობის გარანტიას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ პირობის შესრულება საკმარისია იმისთვის, რომ დადგინდეს ხაზების პარალელურობა.

ასევე არის აუცილებელი და საკმარისი პირობები სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეების პარალელურობისთვის.

მოდით ავხსნათ ფრაზის მნიშვნელობა "აუცილებელი და საკმარისი პირობა პარალელური ხაზებისთვის".

ჩვენ უკვე განვიხილეთ პარალელური ხაზების საკმარისი პირობა. რა არის „აუცილებელი პირობა პარალელური ხაზებისთვის“? სახელწოდებიდან „აუცილებელი“ ირკვევა, რომ ამ პირობის შესრულება აუცილებელია პარალელური ხაზებისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ არ არის დაკმაყოფილებული წრფეების პარალელურად ყოფნის აუცილებელი პირობა, მაშინ წრფეები არ არის პარალელური. ამრიგად, აუცილებელი და საკმარისი პირობა პარალელური ხაზებისთვისარის პირობა, რომლის შესრულებაც აუცილებელია და საკმარისია პარალელური ხაზებისთვის. ანუ, ერთის მხრივ, ეს არის წრფეთა პარალელურობის ნიშანი და მეორე მხრივ, ეს არის თვისება, რომელიც გააჩნია პარალელურ წრფეებს.

ხაზების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობის ჩამოყალიბებამდე მიზანშეწონილია გავიხსენოთ რამდენიმე დამხმარე განმარტება.

სკანტური ხაზიარის წრფე, რომელიც კვეთს თითოეულ მოცემულ ორ წრფეს, რომლებიც ერთმანეთს არ ემთხვევა.

როდესაც ორი სწორი ხაზი იკვეთება განივი ხაზით, იქმნება რვა განუვითარებელი. წრფეთა პარალელურობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობის ფორმულირებაში ე.წ იწვა ჯვარედინად, შესაბამისიდა ცალმხრივი კუთხეები. მოდით ვაჩვენოთ ისინი ნახატზე.

თეორემა.

თუ სიბრტყეში ორი სწორი ხაზი იკვეთება განივი ხაზით, მაშინ მათი პარალელური ყოფნისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ გადამკვეთი კუთხეები იყოს ტოლი, ან შესაბამისი კუთხეები ტოლი, ან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 180-ს. გრადუსი.

მოდით ვაჩვენოთ ამ აუცილებელი და საკმარისი პირობის გრაფიკული ილუსტრაცია სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობისთვის.

ამ პირობების მტკიცებულებები შეგიძლიათ იპოვოთ ხაზების პარალელურობისთვის 7-9 კლასის გეომეტრიის სახელმძღვანელოებში.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ პირობების გამოყენება შესაძლებელია სამგანზომილებიან სივრცეშიც - მთავარია, რომ ორი სწორი ხაზი და სეკანტი ერთ სიბრტყეში იყოს.

აქ არის კიდევ რამდენიმე თეორემა, რომლებიც ხშირად გამოიყენება წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

თეორემა.

თუ სიბრტყეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ კრიტერიუმის დადასტურება გამომდინარეობს პარალელური წრფეების აქსიომიდან.

მსგავსი პირობაა პარალელური ხაზებისთვის სამგანზომილებიან სივრცეში.

თეორემა.

თუ სივრცეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ კრიტერიუმის დადასტურება მე-10 კლასში გეომეტრიის გაკვეთილებზე განიხილება.

მოდით ილუსტრაციულად განვმარტოთ გამოთქმული თეორემები.

წარმოვადგინოთ კიდევ ერთი თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ წრფეების პარალელურობა სიბრტყეზე.

თეორემა.

თუ სიბრტყეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია.

არსებობს მსგავსი თეორემა სივრცეში წრფეებისთვის.

თეორემა.

თუ სამგანზომილებიან სივრცეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია იმავე სიბრტყის მიმართ, მაშინ ისინი პარალელურია.

მოდით დავხატოთ ამ თეორემების შესაბამისი სურათები.

ზემოთ ჩამოყალიბებული ყველა თეორემა, კრიტერიუმი და აუცილებელი და საკმარისი პირობა შესანიშნავია გეომეტრიის მეთოდების გამოყენებით წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად. ანუ ორი მოცემული წრფის პარალელურობის დასამტკიცებლად, თქვენ უნდა აჩვენოთ, რომ ისინი პარალელურია მესამე წრფის, ან აჩვენოთ ჯვარედინი დაწოლის კუთხეების თანასწორობა და ა.შ. გიმნაზიაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე ბევრი მსგავსი პრობლემა წყდება. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება სიბრტყეზე ან სამგანზომილებიან სივრცეში ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად. ჩამოვაყალიბოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მითითებული წრფეების პარალელიზმისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმი.

სტატიის ამ პუნქტში ჩამოვაყალიბებთ აუცილებელი და საკმარისი პირობები პარალელური ხაზებისთვისმართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, ამ წრფეების განმსაზღვრელი განტოლების ტიპებიდან გამომდინარე, და ჩვენ ასევე მოგაწვდით დამახასიათებელი ამოცანების დეტალურ ამონახსნებს.

დავიწყოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე ორი სწორი წრფის პარალელურობის პირობით. მისი მტკიცებულება ეფუძნება წრფის მიმართულების ვექტორის განმარტებას და სიბრტყეზე წრფის ნორმალური ვექტორის განსაზღვრას.

თეორემა.

იმისთვის, რომ სიბრტყეში ორი არათანაბარი წრფე იყოს პარალელურად, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორები იყოს წრფივი, ან ამ წრფეების ნორმალური ვექტორები იყოს წრფივი, ან ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი ნორმალურის პერპენდიკულარული იყოს. მეორე ხაზის ვექტორი.

ცხადია, სიბრტყეზე ორი წრფის პარალელურობის პირობა მცირდება (წრფეთა მიმართულების ვექტორები ან წრფეების ნორმალური ვექტორები) ან (ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი და მეორე ხაზის ნორმალური ვექტორი). ამრიგად, თუ და არიან a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები და და არის a და b წრფეების ნორმალური ვექტორები, შესაბამისად, a და b წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა ჩაიწერება როგორც , ან , ან , სადაც t არის რეალური რიცხვი. თავის მხრივ, a და b წრფეების გიდების და (ან) ნორმალური ვექტორების კოორდინატები გვხვდება ხაზების ცნობილი განტოლებების გამოყენებით.

კერძოდ, თუ სწორი ხაზი a მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე განსაზღვრავს ფორმის ზოგად სწორი ხაზის განტოლებას. და სწორი ხაზი b - , მაშინ ამ წრფეების ნორმალურ ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და, შესაბამისად, a და b წრფეების პარალელურობის პირობა დაიწერება როგორც .

თუ წრფე a შეესაბამება წრფის განტოლებას ფორმის კუთხური კოეფიციენტით და წრფე b -, მაშინ ამ წრფეების ნორმალურ ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და და ამ წრფეების პარალელურობის პირობა იღებს ფორმას. . შესაბამისად, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე ხაზები პარალელურია და შეიძლება განისაზღვროს კუთხური კოეფიციენტებით წრფეების განტოლებებით, მაშინ წრფეების კუთხური კოეფიციენტები ტოლი იქნება. და პირიქით: თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე არათანაბარი ხაზები შეიძლება განისაზღვროს თანაბარი კუთხური კოეფიციენტების მქონე წრფის განტოლებით, მაშინ ასეთი ხაზები პარალელურია.

თუ სწორი ხაზი a და სწორი წრფე b მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება ფორმის სიბრტყეზე სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებებით. და , ან სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები ფორმის სიბრტყეზე და შესაბამისად, ამ წრფეების მიმართულების ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და , ხოლო a და b წრფეების პარალელურობის პირობა იწერება როგორც .

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი.

ხაზები პარალელურია? და ?

გამოსავალი.

მოდით გადავიწეროთ წრფის განტოლება სეგმენტებში წრფის ზოგადი განტოლების სახით: . ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს არის წრფის ნორმალური ვექტორი , a არის წრფის ნორმალური ვექტორი. ეს ვექტორები არ არის კოლინარული, რადგან არ არსებობს რეალური რიცხვი t, რომლის ტოლობა ( ). შესაბამისად, სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, შესაბამისად, მოცემული წრფეები არ არის პარალელური.

პასუხი:

არა, ხაზები არ არის პარალელური.

მაგალითი.

სწორი ხაზები და პარალელურია?

გამოსავალი.

სწორი წრფის კანონიკური განტოლება კუთხური კოეფიციენტით სწორი წრფის განტოლებამდე შევიყვანოთ: . ცხადია, წრფეების განტოლებები და არ არის ერთნაირი (ამ შემთხვევაში მოცემული წრფეები იგივე იქნებოდა) და წრფეების კუთხური კოეფიციენტები ტოლია, შესაბამისად, თავდაპირველი წრფეები პარალელურია.

1. თუ ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია:

თუ ა||გდა ბ||გ, ეს ა||ბ.

2. თუ ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია:

თუ ა⊥გდა ბ⊥გ, ეს ა||ბ.

წრფეების პარალელურობის დარჩენილი ნიშნები ემყარება იმ კუთხეებს, რომლებიც წარმოიქმნება, როდესაც ორი სწორი ხაზი კვეთს მესამეს.

3. თუ შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ წრფეები პარალელურია:

თუ ∠1 + ∠2 = 180°, მაშინ ა||ბ.

4. თუ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მაშინ წრფეები პარალელურია:

თუ ∠2 = ∠4, მაშინ ა||ბ.

5. თუ შიდა განივი კუთხეები ტოლია, მაშინ წრფეები პარალელურია:

თუ ∠1 = ∠3, მაშინ ა||ბ.

პარალელური წრფეების თვისებები

პარალელური წრფეების თვისებების საწინააღმდეგო განცხადებები მათი თვისებებია. ისინი დაფუძნებულია კუთხეების თვისებებზე, რომლებიც წარმოიქმნება ორი პარალელური წრფის მესამე წრფესთან გადაკვეთით.

1. როდესაც ორი პარალელური წრფე კვეთს მესამე წრფეს, მათ მიერ წარმოქმნილი შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 180°-ს:

თუ ა||ბ, შემდეგ ∠1 + ∠2 = 180°.

2. როდესაც ორი პარალელური წრფე კვეთს მესამე წრფეს, მათ მიერ წარმოქმნილი შესაბამისი კუთხეები ტოლია:

თუ ა||ბ, შემდეგ ∠2 = ∠4.

3. როდესაც ორი პარალელური წრფე კვეთს მესამე წრფეს, მათ მიერ წარმოქმნილი ჯვარედინი კუთხეები ტოლია:

თუ ა||ბ, შემდეგ ∠1 = ∠3.

შემდეგი თვისება განსაკუთრებული შემთხვევაა თითოეული წინასთვის:

4. თუ სიბრტყეზე წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური ხაზიდან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ:

თუ ა||ბდა გ⊥ა, ეს გ⊥ბ.

მეხუთე თვისება არის პარალელური წრფეების აქსიომა:

5. მოცემულ წრფეზე არ დევს წერტილის გავლით მოცემული წრფის პარალელურად მხოლოდ ერთი წრფის გაყვანა შეიძლება.

ისინი არ იკვეთება, რამდენი ხანი არ უნდა გაგრძელდეს. სწორი ხაზების პარალელიზმი დამწერლობაში აღინიშნება შემდეგნაირად: AB|| თანე

ასეთი წრფეების არსებობის შესაძლებლობა დასტურდება თეორემით.

თეორემა.

მოცემული წრფის მიღმა აღებული ნებისმიერი წერტილის საშუალებით შეიძლება ამ წრფის პარალელურად დახაზოთ წერტილი.

დაე ABეს სწორი ხაზი და თანმის გარეთ აღებული რაღაც წერტილი. ამის დამტკიცება საჭიროა თანშეგიძლიათ დახაზოთ სწორი ხაზი პარალელურადAB. მოდით, დავწიოთ ABწერტილიდან თან პერპენდიკულარულითანდდა შემდეგ ჩავატარებთ თანე^ თანდ, რა არის შესაძლებელი. პირდაპირ C.E.პარალელურად AB.

ამის დასამტკიცებლად, დავუშვათ პირიქით, ე.ი C.E.იკვეთება ABრაღაც მომენტში მ. მერე წერტილიდან მსწორ ხაზზე თანდგვექნებოდა ორი განსხვავებული პერპენდიკულარი მდდა ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ, რაც შეუძლებელია. ნიშნავს, C.E.ვერ გადაკვეთს AB, ე.ი. თანეპარალელურად AB.

შედეგი.

ორი პერპენდიკულარი (Cედად.ბ.) ერთ სწორ ხაზამდე (Cდ) პარალელურია.

პარალელური წრფეების აქსიომა.

ერთი და იმავე წერტილის გავლით შეუძლებელია ერთი და იმავე წრფის პარალელურად ორი განსხვავებული ხაზის დახატვა.

ასე რომ, თუ პირდაპირ თანდ, შედგენილი მეშვეობით წერტილი თანხაზის პარალელურად AB, შემდეგ ყოველი მეორე ხაზი თანე, შედგენილი იმავე წერტილით თან, არ შეიძლება იყოს პარალელური AB, ე.ი. ის გაგრძელებაზეა გადაიკვეთებათან AB.

ამ არც თუ ისე აშკარა სიმართლის დამტკიცება შეუძლებელი აღმოჩნდება. მიღებულია მტკიცებულების გარეშე, როგორც აუცილებელი ვარაუდი (postulatum).

შედეგები.

1. თუ სწორი(თანე) კვეთს ერთ-ერთს პარალელურად(NE), შემდეგ ის იკვეთება მეორესთან ( AB), რადგან სხვა შემთხვევაში იმავე წერტილიდან თანიქნება ორი განსხვავებული ხაზი, რომელიც გადის პარალელურად AB, რაც შეუძლებელია.

2. თუ ყოველი ორი პირდაპირი (ადაბ) პარალელურია იმავე მესამე ხაზის ( თან) მაშინ ისინი პარალელურადმათ შორის.

მართლაც, თუ დავუშვებთ, რომ ადა ბიკვეთება რაღაც მომენტში მ, მაშინ ამ წერტილის პარალელურად ორი განსხვავებული წრფე გაივლიდა თან, რაც შეუძლებელია.

თეორემა.

თუ ხაზი პერპენდიკულარულიაერთ-ერთ პარალელურ წრფეზე, მაშინ ის მეორეზე პერპენდიკულარულია პარალელურად.

დაე AB || თანდდა ე.ფ. ^ AB.აუცილებელია ამის დამტკიცება ე.ფ. ^ თანდ.

Პერპენდიკულარულიეფ, კვეთს AB, აუცილებლად გადავა და თანდ. დაე, გადაკვეთის წერტილი იყოს ჰ.

ახლა ვივარაუდოთ, რომ თანდარა პერპენდიკულარული ე.ჰ.. შემდეგ, მაგალითად, სხვა სწორი ხაზი ჰ.კ., იქნება პერპენდიკულარული ე.ჰ.და ამიტომ იმავე წერტილის გავლით ჰიქნება ორი სწორი პარალელურად AB: ერთი თანდ, პირობით და სხვა ჰ.კ.როგორც ადრე დადასტურდა. ვინაიდან ეს შეუძლებელია, არ შეიძლება ვივარაუდოთ NEარ იყო პერპენდიკულარული ე.ჰ..