ამ მასალაში განვიხილავთ რა არის რიცხვის ძალა. ძირითადი განმარტებების გარდა, ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ რა არის ბუნებრივი, მთელი, რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლების მქონე ძალები. როგორც ყოველთვის, ყველა კონცეფცია იქნება ილუსტრირებული სამაგალითო პრობლემებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

პირველი, მოდით ჩამოვაყალიბოთ ხარისხის ძირითადი განმარტება ბუნებრივი მაჩვენებლით. ამისათვის ჩვენ უნდა გვახსოვდეს გამრავლების ძირითადი წესები. წინასწარ განვმარტოთ, რომ ამ დროისთვის საფუძვლად ავიღებთ ნამდვილ რიცხვს (აღინიშნება ასო a), ხოლო ნატურალურ რიცხვს ინდიკატორად (აღნიშნავენ n ასოთი).

განმარტება 1

a რიცხვის სიმძლავრე n ბუნებრივი მაჩვენებლით არის n-ე რაოდენობის ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a რიცხვს. ხარისხი იწერება ასე: a nდა ფორმულის სახით მისი შემადგენლობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

მაგალითად, თუ მაჩვენებელი არის 1 და ფუძე არის a, მაშინ a-ს პირველი ხარისხად იწერება როგორც a 1. იმის გათვალისწინებით, რომ a არის ფაქტორის მნიშვნელობა და 1 არის ფაქტორების რაოდენობა, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ a 1 = a.

ზოგადად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ხარისხი არის მოსახერხებელი ფორმა დიდი რაოდენობის თანაბარი ფაქტორების დასაწერად. ასე რომ, ფორმის ჩანაწერი 8 8 8 8შეიძლება შემცირდეს 8 4 . ანალოგიურად, პროდუქტი გვეხმარება თავიდან ავიცილოთ ტერმინების დიდი რაოდენობა (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); ჩვენ უკვე განვიხილეთ ეს ნატურალური რიცხვების გამრავლების სტატიაში.

როგორ სწორად წავიკითხოთ ხარისხის ჩანაწერი? საყოველთაოდ მიღებული ვარიანტია „a n-ის ხარისხამდე“. ან შეგიძლიათ თქვათ "ა-ის n-ე ძალა" ან "ანთ ძალა". თუ, ვთქვათ, მაგალითში შეგვხვდა ჩანაწერი 8 12 , შეგვიძლია წავიკითხოთ "8 მე-12 ხარისხამდე", "8 ხარისხში 12" ან "მე-12 ხარისხში 8".

რიცხვების მეორე და მესამე ხარისხებს აქვთ საკუთარი სახელები: კვადრატი და კუბი. თუ ჩვენ ვხედავთ მეორე ხარისხს, მაგალითად, რიცხვს 7 (7 2), მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ „7 კვადრატი“ ან „7 რიცხვის კვადრატი“. ანალოგიურად, მესამე ხარისხი იკითხება ასე: 5 3 - ეს არის "5 ნომრის კუბი" ან "5 კუბური". თუმცა, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ სტანდარტული ფორმულირება „მეორე/მესამე ძალამდე“, ეს არ იქნება შეცდომა.

მაგალითი 1

მოდით შევხედოთ ხარისხის მაგალითს ბუნებრივი მაჩვენებლით: for 5 7 ხუთი იქნება საფუძველი, ხოლო შვიდი იქნება მაჩვენებელი.

ფუძე არ უნდა იყოს მთელი რიცხვი: ხარისხისთვის (4 , 32) 9 ფუძე იქნება წილადი 4, 32, ხოლო მაჩვენებელი იქნება ცხრა. ყურადღება მიაქციეთ ფრჩხილებს: ეს აღნიშვნა შესრულებულია ყველა ძალაზე, რომლის ფუძეები განსხვავდება ნატურალური რიცხვებისგან.

მაგალითად: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

რისთვის არის ფრჩხილები? ისინი ხელს უწყობენ შეცდომების თავიდან აცილებას გამოთვლებში. ვთქვათ, გვაქვს ორი ჩანაწერი: (− 2) 3 და − 2 3 . მათგან პირველი ნიშნავს უარყოფით რიცხვს მინუს ორი, ამაღლებულ ხარისხზე, რომლის ბუნებრივი მაჩვენებლით არის სამი; მეორე არის რიცხვი, რომელიც შეესაბამება ხარისხის საპირისპირო მნიშვნელობას 2 3 .

ზოგჯერ წიგნებში შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვის ძალის ოდნავ განსხვავებული მართლწერა - ა^ნ(სადაც a არის საფუძველი და n არის მაჩვენებელი). ანუ 4^9 იგივეა რაც 4 9 . თუ n მრავალნიშნა რიცხვია, ის მოთავსებულია ფრჩხილებში. მაგალითად, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . მაგრამ ჩვენ გამოვიყენებთ აღნიშვნას a nროგორც უფრო გავრცელებული.

ადვილი მისახვედრია, თუ როგორ გამოვთვალოთ მაჩვენებლის მნიშვნელობა ბუნებრივი მაჩვენებლით მისი განმარტებიდან: თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ მე-n რიცხვი ჯერ. ამის შესახებ უფრო მეტი დავწერეთ სხვა სტატიაში.

ხარისხის ცნება არის სხვა მათემატიკური კონცეფციის - რიცხვის ფესვის ინვერსია. თუ ვიცით სიმძლავრის და მაჩვენებლის მნიშვნელობა, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი ფუძე. ხარისხს აქვს გარკვეული სპეციფიკური თვისებები, რომლებიც გამოსადეგია პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც განვიხილეთ ცალკე მასალაში.

ექსპონენტები შეიძლება შეიცავდეს არა მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებს, არამედ ზოგადად ნებისმიერ მთელ რიცხვს, მათ შორის უარყოფით და ნულებს, რადგან ისინი ასევე მიეკუთვნებიან მთელი რიცხვების სიმრავლეს.

განმარტება 2

რიცხვის სიმძლავრე დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმულის სახით: .

ამ შემთხვევაში n არის ნებისმიერი დადებითი მთელი რიცხვი.

მოდით გავიგოთ ნულოვანი ხარისხის ცნება. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ მიდგომას, რომელიც ითვალისწინებს თანაბარი ფუძის მქონე სიმძლავრეების კოეფიციენტის თვისებას. იგი ჩამოყალიბებულია ასე:

განმარტება 3

Თანასწორობა a m: a n = a m − nჭეშმარიტი იქნება შემდეგ პირობებში: m და n არის ნატურალური რიცხვები, m< n , a ≠ 0 .

ბოლო პირობა მნიშვნელოვანია, რადგან ის თავს არიდებს ნულზე გაყოფას. თუ m და n-ის მნიშვნელობები ტოლია, მაშინ მივიღებთ შემდეგ შედეგს: a n: a n = a n − n = a 0

მაგრამ ამავე დროს a n: a n = 1 არის თანაბარი რიცხვების კოეფიციენტი a nდა ა. გამოდის, რომ ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის ნულოვანი სიმძლავრე ერთის ტოლია.

თუმცა, ასეთი მტკიცებულება არ ვრცელდება ნულზე ნულოვანი სიმძლავრის მიმართ. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ძალაუფლების კიდევ ერთი თვისება - თანაბარი საფუძვლების მქონე ძალაუფლების პროდუქტების თვისება. ეს ასე გამოიყურება: a m · a n = a m + n .

თუ n უდრის 0-ს, მაშინ a m · a 0 = a m(ეს თანასწორობა ამასაც გვიმტკიცებს a 0 = 1). მაგრამ თუ და ასევე ნულის ტოლია, ჩვენი თანასწორობა იღებს ფორმას 0 მ · 0 0 = 0 მ, მართალი იქნება n-ის ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობისთვის და არ აქვს მნიშვნელობა ზუსტად რის ტოლია ხარისხის მნიშვნელობა 0 0 , ანუ ის შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვის ტოლი და ეს არ იმოქმედებს ტოლობის სიზუსტეზე. ამიტომ, ფორმის აღნიშვნა 0 0 არ აქვს თავისი განსაკუთრებული მნიშვნელობა და ჩვენ არ მივაწერთ მას.

თუ სასურველია, ამის შემოწმება ადვილია a 0 = 1ემთხვევა ხარისხის თვისებას (a m) n = a m nიმ პირობით, რომ ხარისხის საფუძველი არ არის ნული. ამრიგად, ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულის მაჩვენებლით არის ერთი.

მაგალითი 2

მოდით შევხედოთ მაგალითს კონკრეტული რიცხვებით: ასე რომ, 5 0 - ერთეული, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 და მნიშვნელობა 0 0 განუსაზღვრელი.

ნულოვანი ხარისხის შემდეგ, ჩვენ უბრალოდ უნდა გავარკვიოთ, რა არის უარყოფითი ხარისხი. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება თანაბარი საფუძვლების მქონე სიმძლავრის ნამრავლის იგივე თვისება, რომელიც უკვე გამოვიყენეთ: a m · a n = a m + n.

შემოვიღოთ პირობა: m = − n, მაშინ a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი. Აქედან გამომდინარეობს, რომ a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. გამოდის, რომ ნ და a−nჩვენ გვაქვს ორმხრივი ნომრები.

შედეგად, a უარყოფით მთელ ხარისხამდე სხვა არაფერია, თუ არა წილადი 1 a n.

ეს ფორმულირება ადასტურებს, რომ მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე ხარისხზე მოქმედებს ყველა იგივე თვისება, რაც აქვს ბუნებრივ მაჩვენებელს (იმ პირობით, რომ ფუძე არ არის ნულის ტოლი).

მაგალითი 3

სიმძლავრე a უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც წილადი 1 a n. ამრიგად, a - n = 1 a n ექვემდებარება a ≠ 0და n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.

მოდით ილუსტრაციულად განვმარტოთ ჩვენი იდეა კონკრეტული მაგალითებით:

მაგალითი 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

აბზაცის ბოლო ნაწილში ჩვენ შევეცდებით გამოვსახოთ ყველაფერი, რაც ნათლად ითქვა ერთი ფორმულით:

განმარტება 4

რიცხვის სიმძლავრე z ბუნებრივი მაჩვენებლით არის: a z = a z, e l და z - დადებითი მთელი რიცხვი 1, z = 0 და a ≠ 0, (z = 0 და a = 0-სთვის შედეგი არის 0 0, 0 0 გამოხატვის მნიშვნელობები არ არის განსაზღვრული) 1 a z, თუ და z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი და a ≠ 0 (თუ z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი და a = 0 მიიღებთ 0 z, egoz მნიშვნელობა განუსაზღვრელია)

რა არის ძალაუფლება რაციონალური მაჩვენებლით?

ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევები, როდესაც მაჩვენებელი შეიცავს მთელ რიცხვს. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ რიცხვის ხარისხზე აყვანა მაშინაც კი, როდესაც მისი მაჩვენებელი შეიცავს წილად რიცხვს. ამას ჰქვია ძალა რაციონალური მაჩვენებლით. ამ განყოფილებაში ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ მას აქვს იგივე თვისებები, რაც სხვა ძალებს.

რა არის რაციონალური რიცხვები? მათი სიმრავლე მოიცავს როგორც მთლიან, ისე წილად რიცხვებს, ხოლო წილადი რიცხვები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადები (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი). ჩამოვაყალიბოთ a რიცხვის სიმძლავრის განმარტება წილადის მაჩვენებლით m/n, სადაც n არის ნატურალური რიცხვი და m არის მთელი რიცხვი.

გვაქვს გარკვეული ხარისხი a m n წილადის მაჩვენებლით. იმისთვის, რომ საკუთრების ძალაუფლების ძალა შენარჩუნდეს, ტოლობა a m n n = a m n · n = a m უნდა იყოს ჭეშმარიტი.

n-ე ფესვის განმარტების გათვალისწინებით და რომ m n n = a m, შეგვიძლია მივიღოთ პირობა a m n = a m n, თუ m n აზრი აქვს m, n და a მოცემულ მნიშვნელობებს.

მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ზემოაღნიშნული თვისებები ჭეშმარიტი იქნება a m n = a m n პირობით.

ჩვენი მსჯელობიდან მთავარი დასკვნა ასეთია: a გარკვეული რიცხვის სიმძლავრე წილადის მაჩვენებლით m/n არის რიცხვის n-ე ფესვი m ხარისხზე. ეს მართალია, თუ m, n და a მოცემული მნიშვნელობებისთვის, გამოხატულება a m n მნიშვნელოვანი რჩება.

1. შეგვიძლია შევზღუდოთ ხარისხის საფუძვლის მნიშვნელობა: ავიღოთ a, რომელიც m-ის დადებითი მნიშვნელობებისთვის იქნება 0-ზე მეტი ან ტოლი, ხოლო უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის - მკაცრად ნაკლები (რადგან m ≤ 0-ისთვის ვიღებთ 0 მ, მაგრამ ასეთი ხარისხი არ არის განსაზღვრული). ამ შემთხვევაში, ხარისხის განმარტება წილადის მაჩვენებლით ასე გამოიყურება:

სიმძლავრე წილადის მაჩვენებლით m/n ზოგიერთი დადებითი რიცხვისთვის არის a-ის n-ე ფესვი, რომელიც გაიზარდა m ხარისხზე. ეს შეიძლება გამოიხატოს როგორც ფორმულა:

ნულოვანი ფუძის მქონე სიმძლავრისთვის, ეს დებულება ასევე შესაფერისია, მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მაჩვენებელი დადებითი რიცხვია.

სიმძლავრე ფუძე ნულით და წილადი დადებითი მაჩვენებლით m/n შეიძლება გამოისახოს როგორც

0 m n = 0 m n = 0 იმ პირობით, რომ m არის დადებითი მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი.

უარყოფითი თანაფარდობისთვის m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ავღნიშნოთ ერთი მომენტი. მას შემდეგ, რაც ჩვენ შემოვიღეთ პირობა, რომ a მეტია ან ტოლია ნულზე, ჩვენ გადავწყვიტეთ ზოგიერთი შემთხვევა.

გამოთქმა a m n ზოგჯერ მაინც აზრი აქვს a და ზოგიერთი m-ის ზოგიერთ უარყოფით მნიშვნელობას. ამრიგად, სწორი ჩანაწერებია (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, რომლებშიც ფუძე უარყოფითია.

2. მეორე მიდგომა არის ცალ-ცალკე განიხილოს ფესვი a m n ლუწი და კენტი მაჩვენებლებით. შემდეგ კიდევ ერთი პირობის შემოღება დაგვჭირდება: a ხარისხი, რომლის მაჩვენებელში არის შემცირებადი ჩვეულებრივი წილადი, ითვლება a ხარისხად, რომლის მაჩვენებელში არის შესაბამისი შეუქცევადი წილადი. მოგვიანებით განვმარტავთ, რატომ გვჭირდება ეს მდგომარეობა და რატომ არის ეს ასე მნიშვნელოვანი. ამრიგად, თუ გვაქვს a m · k n · k აღნიშვნა, მაშინ შეგვიძლია შევამციროთ ის m n-მდე და გავამარტივოთ გამოთვლები.

თუ n არის კენტი რიცხვი და m-ის მნიშვნელობა დადებითი და a არის ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვი, მაშინ a m n აზრი აქვს. პირობა, რომ a იყოს არაუარყოფითი, აუცილებელია, რადგან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება შეუძლებელია უარყოფითი რიცხვიდან. თუ m-ის მნიშვნელობა დადებითია, მაშინ a შეიძლება იყოს უარყოფითიც და ნულიც, რადგან კენტი ფესვის აღება შეიძლება ნებისმიერი რეალური რიცხვიდან.

მოდით გავაერთიანოთ ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი განმარტება ერთ ჩანაწერში:

აქ m/n ნიშნავს შეუქცევად წილადს, m არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი და n არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

განმარტება 5

ნებისმიერი ჩვეულებრივი შემცირებადი წილადისთვის m · k n · k ხარისხი შეიძლება შეიცვალოს m n-ით.

რიცხვის a ძალა შეუქცევადი წილადი მაჩვენებლით m / n - შეიძლება გამოიხატოს m n-ით შემდეგ შემთხვევებში: - ნებისმიერი რეალური a, დადებითი მთელი რიცხვი m და კენტი ბუნებრივი მნიშვნელობები n. მაგალითი: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

ნებისმიერი არანულოვანი რეალური a, m-ის უარყოფითი მთელი მნიშვნელობები და n-ის უცნაური მნიშვნელობები, მაგალითად, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

ნებისმიერი არაუარყოფითი a, დადებითი მთელი რიცხვისთვის m და ლუწი n, მაგალითად, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

ნებისმიერი დადებითი a, უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის m და ლუწი n, მაგალითად, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

სხვა მნიშვნელობების შემთხვევაში, ხარისხი წილადის მაჩვენებლით არ არის განსაზღვრული. ასეთი ხარისხების მაგალითები: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

ახლა ავხსნათ ზემოთ განხილული პირობის მნიშვნელობა: რატომ შეცვალოთ წილადი შემცირებითი მაჩვენებლით წილადით შეუქცევადი მაჩვენებლით. ეს რომ არ გაგვეკეთებინა, გვექნებოდა შემდეგი სიტუაციები, ვთქვათ, 6/10 = 3/5. მაშინ ეს უნდა იყოს მართალი (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , მაგრამ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 და (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

წილადის მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრა, რომელიც ჩვენ პირველად წარმოვადგინეთ, პრაქტიკაში უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე მეორე, ამიტომ ჩვენ გავაგრძელებთ მის გამოყენებას.

განმარტება 6

ამრიგად, დადებითი რიცხვის სიმძლავრე a წილადი მაჩვენებლით m/n განისაზღვრება როგორც 0 m n = 0 m n = 0. უარყოფითის შემთხვევაში ა a m n აღნიშვნას აზრი არ აქვს. ნულის სიმძლავრე დადებითი წილადის მაჩვენებლებისთვის მ/ნგანისაზღვრება როგორც 0 m n = 0 m n = 0, უარყოფითი წილადის მაჩვენებლებისთვის ჩვენ არ განვსაზღვრავთ ნულის ხარისხს.

დასკვნებში აღვნიშნავთ, რომ თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი წილადი მაჩვენებელი როგორც შერეული რიცხვი, ასევე ათობითი წილადი: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

გაანგარიშებისას სჯობს მაჩვენებლის შეცვლა ჩვეულებრივი წილადით და შემდეგ გამოვიყენოთ მაჩვენებლის განმარტება წილადის მაჩვენებლით. ზემოთ მოყვანილი მაგალითებისთვის ვიღებთ:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

რა არის ძალაუფლება ირაციონალური და რეალური მაჩვენებლებით?

რა არის რეალური რიცხვები? მათი ნაკრები მოიცავს როგორც რაციონალურ, ასევე ირაციონალურ რიცხვებს. ამიტომ, იმისათვის, რომ გავიგოთ, რა არის ხარისხი რეალურ მაჩვენებელთან, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ გრადუსები რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლებით. რაციონალური პირობა ზემოთ უკვე აღვნიშნეთ. მოდით, ეტაპობრივად გავუმკლავდეთ ირაციონალურ მაჩვენებლებს.

მაგალითი 5

დავუშვათ, რომ გვაქვს ირაციონალური რიცხვი a და მისი ათობითი მიახლოებების თანმიმდევრობა a 0 , a 1 , a 2 , . . . . მაგალითად, ავიღოთ მნიშვნელობა a = 1.67175331. . . , მაშინ

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

ჩვენ შეგვიძლია მიახლოებათა მიმდევრობები დავაკავშიროთ a a 0, a a 1, a a 2, ხარისხების თანმიმდევრობას. . . . თუ გავიხსენებთ, რაც ადრე ვთქვით რიცხვების რაციონალურ ძალებამდე აყვანის შესახებ, მაშინ ჩვენ თვითონ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ ძალების მნიშვნელობები.

ავიღოთ მაგალითად a = 3, შემდეგ a 0 = 3 1, 67, a 1 = 3 1, 6717, a 2 = 3 1, 671753, . . . და ა.შ.

ძალაუფლების თანმიმდევრობა შეიძლება შემცირდეს რიცხვამდე, რომელიც იქნება სიმძლავრის მნიშვნელობა a ფუძით და ირაციონალური მაჩვენებლით a. შედეგად: ხარისხი 3 1, 67175331 ფორმის ირაციონალური მაჩვენებლით. . შეიძლება შემცირდეს 6, 27 რიცხვამდე.

განმარტება 7

დადებითი რიცხვის სიძლიერე a ირაციონალური მაჩვენებლით იწერება a. მისი მნიშვნელობა არის a a 0, a a 1, a 2, მიმდევრობის ზღვარი. . . , სადაც 0 , a 1 , a 2 , . . . არის a ირაციონალური რიცხვის თანმიმდევრული ათობითი მიახლოებები. ნულოვანი ფუძის მქონე ხარისხი ასევე შეიძლება განისაზღვროს დადებითი ირაციონალური მაჩვენებლებისთვის, 0 a = 0 ასე რომ, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. მაგრამ ეს არ შეიძლება გაკეთდეს უარყოფითისთვის, რადგან, მაგალითად, მნიშვნელობა 0 - 5, 0 - 2 π არ არის განსაზღვრული. ნებისმიერ ირაციონალურ ძალამდე ამაღლებული ერთეული რჩება ერთეულად, მაგალითად, და 1 2, 1 5 2-ში და 1 - 5 იქნება 1-ის ტოლი.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ამ სტატიაში ჩვენ გავარკვევთ რა არის ეს ხარისხი. აქ მივცემთ რიცხვის სიძლიერის განმარტებებს, ხოლო დეტალურად განვიხილავთ ყველა შესაძლო მაჩვენებელს, დაწყებული ბუნებრივი მაჩვენებლით და დამთავრებული ირაციონალურით. მასალაში ნახავთ ხარისხების უამრავ მაგალითს, რომელიც მოიცავს ყველა იმ დახვეწილობას, რომელიც წარმოიქმნება.

გვერდის ნავიგაცია.

სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით, რიცხვის კვადრატი, რიცხვის კუბი

დავიწყოთ იმით. წინ რომ ვიხედოთ, ვთქვათ, რომ a რიცხვის სიმძლავრის განმარტება n ბუნებრივი მაჩვენებლით მოცემულია a-სთვის, რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ. ხარისხის საფუძველი, და n, რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ ექსპონენტი. ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით განისაზღვრება პროდუქტის საშუალებით, ამიტომ ქვემოთ მოცემული მასალის გასაგებად, თქვენ უნდა გესმოდეთ რიცხვების გამრავლება.

განმარტება.

რიცხვის სიმძლავრე n ბუნებრივი მაჩვენებლითარის a n ფორმის გამოხატულება, რომლის მნიშვნელობა უდრის n ფაქტორების ნამრავლს, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს, ანუ .
კერძოდ, რიცხვი a 1 მაჩვენებლით არის თავად რიცხვი a, ანუ a 1 =a.

დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს ხარისხების წაკითხვის წესები. a n აღნიშვნის წაკითხვის უნივერსალური გზაა: „a n-ის ხარისხამდე“. ზოგიერთ შემთხვევაში, შემდეგი ვარიანტებიც მისაღებია: „a-დან n-ე ხარისხამდე“ და „a-ის n-ე ხარისხამდე“. მაგალითად, ავიღოთ სიმძლავრე 8 12, ეს არის "რვა თორმეტის ხარისხამდე", ან "რვა მეთორმეტე ხარისხამდე", ან "რვის მეთორმეტე ხარისხში".

რიცხვის მეორე ხარისხს, ისევე როგორც რიცხვის მესამე ხარისხს, აქვთ საკუთარი სახელები. რიცხვის მეორე ხარისხს ეწოდება რიცხვის კვადრატშიმაგალითად, 7 2 იკითხება როგორც „შვიდი კვადრატში“ ან „შვიდი რიცხვის კვადრატი“. რიცხვის მესამე ხარისხს უწოდებენ კუბური რიცხვებიმაგალითად, 5 3 შეიძლება წაიკითხოთ როგორც "ხუთი კუბიკი" ან შეგიძლიათ თქვათ "კუბი ნომერი 5".

მოტანის დროა გრადუსების მაგალითები ბუნებრივი მაჩვენებლებით. დავიწყოთ 5 7 ხარისხით, აქ 5 არის ხარისხის საფუძველი, ხოლო 7 არის მაჩვენებლის მაჩვენებელი. მოვიყვანოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 4.32 არის ფუძე, ხოლო ნატურალური რიცხვი 9 არის მაჩვენებლის (4.32) 9 .

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ბოლო მაგალითში 4.32 სიმძლავრის საფუძველი იწერება ფრჩხილებში: შეუსაბამობების თავიდან ასაცილებლად ფრჩხილებში ჩავსვამთ სიმძლავრის ყველა ფუძეს, რომელიც განსხვავდება ნატურალური რიცხვებისგან. მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ შემდეგ ხარისხებს ბუნებრივი მაჩვენებლებით , მათი ფუძეები არ არის ნატურალური რიცხვები, ამიტომ ისინი იწერება ფრჩხილებში. სრული სიცხადისთვის, ამ ეტაპზე ჩვენ ვაჩვენებთ განსხვავებას (−2) 3 და −2 3 ფორმის ჩანაწერებში. გამოსახულება (−2) 3 არის −2-ის სიმძლავრე 3-ის ბუნებრივი მაჩვენებლით, ხოლო გამოსახულება −2 3 (ის შეიძლება დაიწეროს როგორც −(2 3) ) შეესაბამება რიცხვს, 2 3 სიმძლავრის მნიშვნელობას. .

გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს a რიცხვის სიმძლავრის აღნიშვნა a^n ფორმის n მაჩვენებლით. უფრო მეტიც, თუ n არის მრავალმნიშვნელოვანი ნატურალური რიცხვი, მაშინ მაჩვენებელი აღებულია ფრჩხილებში. მაგალითად, 4^9 არის კიდევ ერთი აღნიშვნა 4 9-ის ხარისხზე. და აი, კიდევ რამდენიმე მაგალითი, თუ როგორ დაწეროთ გრადუსი სიმბოლოს "^" გამოყენებით: 14^(21) , (−2,1)^(155) . შემდეგში, ჩვენ პირველ რიგში გამოვიყენებთ a n ფორმის ხარისხობრივ აღნიშვნას.

ბუნებრივი მაჩვენებლით სიმძლავრის ამაღლების ერთ-ერთი პრობლემა არის სიმძლავრის საფუძვლის პოვნის პრობლემა სიმძლავრის ცნობილი მნიშვნელობიდან და ცნობილი მაჩვენებლისგან. ეს ამოცანა იწვევს.

ცნობილია, რომ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე შედგება მთელი რიცხვებისგან და წილადებისგან და თითოეული წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დადებითი ან უარყოფითი ჩვეულებრივი წილადი. წინა აბზაცში განვსაზღვრეთ ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ამიტომ, რომ დავასრულოთ ხარისხის განსაზღვრება რაციონალური მაჩვენებლით, უნდა მივცეთ მნიშვნელობა a რიცხვის ხარისხს წილადის მაჩვენებლით m/n, სადაც m არის მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

განვიხილოთ ხარისხი ფორმის წილადი მაჩვენებლით. იმისათვის, რომ ძალაუფლება ძალაუფლების თვისება დარჩეს ძალაში, თანასწორობა უნდა იყოს . თუ გავითვალისწინებთ მიღებულ თანასწორობას და იმას, თუ როგორ დავადგინეთ , მაშინ ლოგიკურია მისი მიღება იმ პირობით, რომ მოცემული m, n და a გამოსახულებას აქვს აზრი.

ადვილია იმის შემოწმება, რომ მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ყველა თვისება მართებულია (ეს გაკეთდა რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების განყოფილებაში).

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს გავაკეთოთ შემდეგი დასკვნა: თუ მოცემულია m, n და a გამოთქმა აზრი აქვს, მაშინ a-ის ხარისხს წილადი მაჩვენებლით m/n ეწოდება a-ს n-ე ფესვი m-ის ხარისხში.

ეს დებულება გვაახლოებს წილადის მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრებასთან. რჩება მხოლოდ იმის აღწერა, თუ რაში აქვს m, n და a გამოხატულებას აზრი. m, n და a-ზე დაყენებული შეზღუდვებიდან გამომდინარე, არსებობს ორი ძირითადი მიდგომა.

უმარტივესი გზაა a-ზე შეზღუდვის დაწესება a≥0 დადებითი m-ისთვის და a>0 უარყოფითი m-ისთვის (რადგან m≤0-სთვის m-ის 0 ხარისხი არ არის განსაზღვრული). შემდეგ მივიღებთ ხარისხის შემდეგ განმარტებას წილადის მაჩვენებლით.

განმარტება.

დადებითი რიცხვი a წილადი მ/ნ მაჩვენებლით, სადაც m არის მთელი რიცხვი და n ნატურალური რიცხვი, ეწოდება a რიცხვის n-ე ფესვი m-ის ხარისხზე, ანუ .

ნულის წილადური სიმძლავრე ასევე განისაზღვრება ერთადერთი გაფრთხილებით, რომ ინდიკატორი დადებითი უნდა იყოს.

განმარტება.

ნულის სიმძლავრე წილადი დადებითი მაჩვენებლით m/n, სადაც m არის დადებითი მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი, განისაზღვრება როგორც .
როდესაც ხარისხი არ არის განსაზღვრული, ანუ ნულის რიცხვის ხარისხს წილადი უარყოფითი მაჩვენებლით აზრი არ აქვს.

უნდა აღინიშნოს, რომ წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ამ განმარტებით, არსებობს ერთი გამოხმაურება: ზოგიერთ უარყოფითს a და ზოგს m და n-სთვის გამოთქმა აზრი აქვს და ეს შემთხვევები გავაუქმეთ a≥0 პირობის შემოღებით. მაგალითად, ჩანაწერებს აზრი აქვს ან , და ზემოთ მოცემული განმარტება გვაიძულებს ვთქვათ, რომ ძალები ფორმის წილადი მაჩვენებლით აზრი არ აქვს, რადგან ბაზა არ უნდა იყოს უარყოფითი.

კიდევ ერთი მიდგომა წილადის მაჩვენებლით m/n-ით ხარისხის დასადგენად არის ფესვის ლუწი და კენტი მაჩვენებლების ცალკე განხილვა. ეს მიდგომა მოითხოვს დამატებით პირობას: a რიცხვის სიმძლავრე, რომლის მაჩვენებელია , ითვლება a რიცხვის ხარისხად, რომლის მაჩვენებელია შესაბამისი შეუქცევადი წილადი (ამ პირობის მნიშვნელობას ქვემოთ ავხსნით. ). ანუ, თუ m/n არის შეუქცევადი წილადი, მაშინ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის k ხარისხი ჯერ შეიცვლება .

ლუწი n-სთვის და დადებითი m-სთვის, გამოხატულებას აქვს აზრი ნებისმიერი არაუარყოფითი a-სთვის (უარყოფითი რიცხვის ლუწი ფესვს აზრი არ აქვს); უარყოფითი m-ისთვის, რიცხვი a მაინც უნდა განსხვავდებოდეს ნულისაგან (წინააღმდეგ შემთხვევაში იქნება გაყოფა. ნულით). ხოლო კენტი n-სთვის და დადებითი m-ისთვის, რიცხვი a შეიძლება იყოს ნებისმიერი (კენტი ხარისხის ფესვი განისაზღვრება ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის), ხოლო უარყოფითი m-ისთვის, რიცხვი a უნდა განსხვავდებოდეს ნულისაგან (ისე რომ არ იყოს გაყოფა. ნული).

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა მიგვიყვანს წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ამ განსაზღვრებამდე.

განმარტება.

მოდით m/n იყოს შეუქცევადი წილადი, m მთელი რიცხვი და n ნატურალური რიცხვი. ნებისმიერი რედუცირებადი წილადისთვის, ხარისხი იცვლება . რიცხვის სიმძლავრე შეუმცირებელი წილადის მაჩვენებლით m/n არის for



მოდით ავხსნათ, თუ რატომ შეიცვალა ხარისხი შემცირებადი წილადის მაჩვენებლით ჯერ შეუქცევადი მაჩვენებლით. თუ ჩვენ უბრალოდ განვსაზღვრავდით ხარისხს, როგორც , და არ გავაკეთებდით დათქმას m/n წილადის შეუქცევადობის შესახებ, მაშინ აღმოვჩნდით შემდეგი სიტუაციების წინაშე: ვინაიდან 6/10 = 3/5, მაშინ ტოლობა უნდა იყოს , მაგრამ , ა .

ძალაუფლების ცხრილი 2 (ორი) 0-დან 32-მდე

ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი, გარდა ორი სიმძლავრისა, გვიჩვენებს მაქსიმალურ რიცხვებს, რომელთა შენახვაც კომპიუტერს შეუძლია მოცემული რაოდენობის ბიტებისთვის. უფრო მეტიც, როგორც მთელი, ასევე ხელმოწერილი რიცხვებისთვის.

ისტორიულად, კომპიუტერები იყენებდნენ ორობითი რიცხვების სისტემას და, შესაბამისად, მონაცემთა შენახვას. ამრიგად, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ნულებისა და ერთეულების (ინფორმაციის ბიტების) მიმდევრობით. რიცხვების ორობითი მიმდევრობის სახით წარმოდგენის რამდენიმე გზა არსებობს.

განვიხილოთ უმარტივესი მათგანი - ეს არის დადებითი მთელი რიცხვი. მაშინ რაც უფრო დიდი რიცხვი გვჭირდება ჩასაწერად, მით უფრო გრძელია ბიტების თანმიმდევრობა.

ქვემოთ არის მე-2 ნომრის უფლებამოსილების ცხრილი. ის მოგვცემს წარმოდგენას ბიტების საჭირო რაოდენობის შესახებ, რომლებიც ჩვენ გვჭირდება ნომრების შესანახად.

Როგორ გამოვიყენო მეორე ნომრის უფლებამოსილების ცხრილი?

პირველი სვეტი არის ძალა ორი, რომელიც ერთდროულად აღნიშნავს ბიტების რაოდენობას, რომლებიც წარმოადგენს რიცხვს.

მეორე სვეტი - მნიშვნელობა ორი შესაბამისი სიმძლავრისკენ (n).

2-ის სიმძლავრის პოვნის მაგალითი. პირველ სვეტში ვპოულობთ რიცხვს 7. ვუყურებთ ხაზს მარჯვნივ და ვპოულობთ მნიშვნელობას ორიდან მეშვიდე ძალამდე(2 7) არის 128

მესამე სვეტი - მაქსიმალური რიცხვი, რომელიც შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ბიტების მოცემული რაოდენობის გამოყენებით(პირველ სვეტში).

მაქსიმალური დაუწერელი მთელი რიცხვის განსაზღვრის მაგალითი. წინა მაგალითის მონაცემების გამოყენებით, ჩვენ ვიცით, რომ 2 7 = 128. ეს მართალია, თუ გვინდა გავიგოთ რა რიცხვების რაოდენობა, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შვიდი ბიტის გამოყენებით. მაგრამ, მას შემდეგ პირველი რიცხვი არის ნული, მაშინ მაქსიმალური რიცხვი, რომელიც შეიძლება იყოს წარმოდგენილი შვიდი ბიტის გამოყენებით არის 128 - 1 = 127. ეს არის მესამე სვეტის მნიშვნელობა.

სიმძლავრე ორი (n)	ორი ღირებულების სიმძლავრე 2 n	მაქსიმალური ხელმოუწერელი რიცხვი დაწერილი n ბიტით	მაქსიმალური ხელმოწერილი რაოდენობა დაწერილი n ბიტით
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

ჩვენ გავარკვიეთ, რა არის სინამდვილეში რიცხვის ძალა. ახლა ჩვენ უნდა გავიგოთ, როგორ გამოვთვალოთ ის სწორად, ე.ი. რიცხვების ძალამდე აყვანა. ამ მასალაში გავაანალიზებთ გრადუსების გამოთვლის ძირითად წესებს მთელი რიცხვის, ბუნებრივი, წილადი, რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლების შემთხვევაში. ყველა განმარტება იქნება ილუსტრირებული მაგალითებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ექსპონენტაციის კონცეფცია

დავიწყოთ ძირითადი განმარტებების ჩამოყალიბებით.

განმარტება 1

ექსპონენტაცია- ეს არის გარკვეული რიცხვის სიმძლავრის მნიშვნელობის გაანგარიშება.

ანუ სიტყვები „ძალაუფლების ღირებულების გამოთვლა“ და „ძალაუფლებამდე ამაღლება“ ერთსა და იმავეს ნიშნავს. ასე რომ, თუ პრობლემა ამბობს: "აწიეთ რიცხვი 0, 5 მეხუთე ხარისხამდე", ეს უნდა იქნას გაგებული, როგორც "გამოთვალეთ სიმძლავრის მნიშვნელობა (0, 5) 5.

ახლა წარმოგიდგენთ ძირითად წესებს, რომლებიც უნდა დაიცვან ასეთი გამოთვლების გაკეთებისას.

გავიხსენოთ, რა არის რიცხვი ბუნებრივი მაჩვენებლით. a ფუძის მქონე სიმძლავრისთვის და n მაჩვენებლით, ეს იქნება n-ე რაოდენობის ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ეს შეიძლება დაიწეროს ასე:

ხარისხის მნიშვნელობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა შეასრულოთ გამრავლების მოქმედება, ანუ გაამრავლოთ ხარისხის საფუძვლები მითითებულ რაოდენობაზე. ხარისხის ცნება ბუნებრივი მაჩვენებლით ემყარება სწრაფად გამრავლების უნარს. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი 1

მდგომარეობა: აწევა - 2 სიმძლავრემდე 4.

გამოსავალი

ზემოთ მოცემული განმარტების გამოყენებით ვწერთ: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . შემდეგი, ჩვენ უბრალოდ უნდა მივყვეთ ამ ნაბიჯებს და მივიღოთ 16.

ავიღოთ უფრო რთული მაგალითი.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ მნიშვნელობა 3 2 7 2

გამოსავალი

ეს ჩანაწერი შეიძლება გადაიწეროს როგორც 3 2 7 · 3 2 7 . ადრე განვიხილეთ, თუ როგორ უნდა გავამრავლოთ პირობითში აღნიშნული შერეული რიცხვები.

მოდით შევასრულოთ ეს ნაბიჯები და მივიღოთ პასუხი: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

თუ პრობლემა მიუთითებს ირაციონალური რიცხვების ბუნებრივ ხარისხზე აყვანის აუცილებლობაზე, ჩვენ დაგვჭირდება ჯერ მათი ფუძეების დამრგვალება ციფრამდე, რომელიც მოგვცემს საჭირო სიზუსტის პასუხის მიღების საშუალებას. მოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი 3

შეასრულეთ π-ის კვადრატი.

გამოსავალი

ჯერ დავამრგვალოთ იგი მეასედებად. შემდეგ π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. თუ π ≈ 3. 14159, მაშინ მივიღებთ უფრო ზუსტ შედეგს: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

გაითვალისწინეთ, რომ ირაციონალური რიცხვების სიმძლავრის გამოთვლის აუცილებლობა პრაქტიკაში შედარებით იშვიათად ჩნდება. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ პასუხი როგორც ძალა (ln 6) 3, ან გადავიტანოთ, თუ შესაძლებელია: 5 7 = 125 5 .

ცალკე უნდა მიეთითოს რა არის რიცხვის პირველი ხარისხში. აქ შეგიძლიათ უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ პირველ ხარისხზე ამაღლებული ნებისმიერი რიცხვი თავისთავად დარჩება:

ეს ირკვევა ჩანაწერიდან .

ეს არ არის დამოკიდებული ხარისხზე.

მაგალითი 4

ასე რომ, (− 9) 1 = − 9 და 7 3 ამაღლებული პირველ ხარისხზე დარჩება 7 3-ის ტოლი.

მოხერხებულობისთვის განვიხილავთ სამ შემთხვევას ცალ-ცალკე: თუ მაჩვენებელი დადებითი მთელი რიცხვია, თუ არის ნული და თუ არის უარყოფითი მთელი რიცხვი.

პირველ შემთხვევაში, ეს იგივეა, რაც ბუნებრივ ხარისხზე აწევა: ბოლოს და ბოლოს, დადებითი მთელი რიცხვები მიეკუთვნება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს. ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ ზემოთ იმაზე, თუ როგორ უნდა ვიმუშაოთ ასეთ ხარისხებთან.

ახლა ვნახოთ, როგორ სწორად გავზარდოთ ნულოვანი სიმძლავრე. ნულის გარდა სხვა ბაზისთვის, ეს გაანგარიშება ყოველთვის გამოსცემს 1-ს. ჩვენ ადრე ავხსენით, რომ a-ს მე-0 ხარისხი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის, რომელიც არ არის 0-ის ტოლი, და a 0 = 1.

მაგალითი 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - არ არის განსაზღვრული.

ჩვენ დაგვრჩენია მხოლოდ ხარისხის შემთხვევა მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლით. ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ, რომ ასეთი გრადუსები შეიძლება დაიწეროს წილადად 1 a z, სადაც a არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი. ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ წილადის მნიშვნელი სხვა არაფერია, თუ არა ჩვეულებრივი სიმძლავრე დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით და უკვე ვისწავლეთ მისი გამოთვლა. მოდით მივცეთ დავალებების მაგალითები.

მაგალითი 6

აწიეთ 3 ძალაზე - 2.

გამოსავალი

ზემოთ მოცემული განმარტების გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ: 2 - 3 = 1 2 3

გამოვთვალოთ ამ წილადის მნიშვნელი და მივიღოთ 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

მაშინ პასუხია: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

მაგალითი 7

აწიეთ 1.43 -2 სიმძლავრემდე.

გამოსავალი

მოდით გადავაფორმოთ: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

გამოვთვლით კვადრატს მნიშვნელში: 1,43·1,43. ათწილადები შეიძლება გამრავლდეს შემდეგნაირად:

შედეგად მივიღეთ (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. საკმარისია ეს შედეგი ჩვეულებრივი წილადის სახით დავწეროთ, რისთვისაც ის 10 ათასზე უნდა გავამრავლოთ (იხილეთ მასალა წილადების გარდაქმნის შესახებ).

პასუხი: (1, 43) - 2 = 10000 20449

განსაკუთრებული შემთხვევაა რიცხვის აწევა მინუს პირველ ხარისხზე. ამ ხარისხის მნიშვნელობა უდრის ფუძის თავდაპირველი მნიშვნელობის ორმხრივს: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

მაგალითი 8

მაგალითი: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

როგორ გავზარდოთ რიცხვი წილადის ხარისხამდე

ასეთი ოპერაციის შესასრულებლად უნდა გვახსოვდეს ხარისხის ძირითადი განმარტება წილადის მაჩვენებლით: a m n = a m n ნებისმიერი დადებითი a, მთელი რიცხვი m და ბუნებრივი n.

განმარტება 2

ამრიგად, წილადური სიმძლავრის გამოთვლა უნდა განხორციელდეს ორ ეტაპად: აწევა მთელ რიცხვამდე და n-ე ხარისხში ფესვის პოვნა.

გვაქვს ტოლობა a m n = a m n , რომელიც, ფესვების თვისებების გათვალისწინებით, ჩვეულებრივ გამოიყენება ამოცანების ამოსახსნელად m n = a n m სახით. ეს ნიშნავს, რომ თუ რიცხვს a ავწევთ წილადის ხარისხზე m/n, მაშინ ჯერ ავიღებთ a-ს n-ე ფესვს, შემდეგ მივიღებთ შედეგს ხარისხამდე, რომელსაც აქვს m მაჩვენებლის მთელი რიცხვი.

მოდი ილუსტრაციით მოვიყვანოთ მაგალითით.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ 8 - 2 3 .

გამოსავალი

მეთოდი 1: ძირითადი განმარტების მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ეს, როგორც: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

ახლა მოდით გამოვთვალოთ ხარისხი ფესვის ქვეშ და გამოვყოთ მესამე ფესვი შედეგიდან: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

მეთოდი 2. ძირითადი ტოლობის გარდაქმნა: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

ამის შემდეგ გამოვყავით ფესვი 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 და კვადრატში გამოვყავით შედეგი: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

ჩვენ ვხედავთ, რომ გადაწყვეტილებები იდენტურია. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის, როგორც გსურთ.

არის შემთხვევები, როცა ხარისხს აქვს შერეული რიცხვის ან ათობითი წილადის სახით გამოხატული ინდიკატორი. გამოთვლების გასამარტივებლად, უმჯობესია შეცვალოთ იგი ჩვეულებრივი წილადით და გამოვთვალოთ როგორც ზემოთ იყო მითითებული.

მაგალითი 10

აწიეთ 44, 89 2, 5-ის ხარისხზე.

გამოსავალი

გადავიყვანოთ ინდიკატორის მნიშვნელობა ჩვეულებრივ წილადად - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

ახლა ჩვენ ვასრულებთ ზემოთ მითითებულ ყველა მოქმედებას თანმიმდევრობით: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1 = 25107 501, 25107

პასუხი: 13 501, 25107.

თუ წილადი მაჩვენებლის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს დიდ რიცხვებს, მაშინ ასეთი მაჩვენებლების რაციონალური მაჩვენებლებით გამოთვლა საკმაოდ რთული სამუშაოა. ეს ჩვეულებრივ მოითხოვს კომპიუტერულ ტექნოლოგიას.

მოდით ცალ-ცალკე ვისაუბროთ სიმძლავრეებზე ნულოვანი ფუძით და წილადის მაჩვენებლით. 0 m n ფორმის გამოხატულებას შეიძლება მივცეთ შემდეგი მნიშვნელობა: თუ m n > 0, მაშინ 0 m n = 0 m n = 0; თუ მ ნ< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

როგორ ავიყვანოთ რიცხვი ირაციონალურ ძალამდე

სიმძლავრის მნიშვნელობის გამოთვლის აუცილებლობა, რომლის მაჩვენებელია ირაციონალური რიცხვი, არც ისე ხშირად ჩნდება. პრაქტიკაში, ამოცანა ჩვეულებრივ შემოიფარგლება მიახლოებითი მნიშვნელობის გაანგარიშებით (ათწილადების გარკვეულ რაოდენობამდე). ეს ჩვეულებრივ გამოითვლება კომპიუტერზე ასეთი გამოთვლების სირთულის გამო, ამიტომ ჩვენ ამაზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, მხოლოდ მთავარ დებულებებს მივუთითებთ.

თუ უნდა გამოვთვალოთ a სიმდიდრის მნიშვნელობა a ირაციონალური მაჩვენებლით, მაშინ ავიღებთ მაჩვენებლის ათობითი მიახლოებას და ვითვლით მისგან. შედეგი იქნება სავარაუდო პასუხი. რაც უფრო ზუსტია ათობითი მიახლოება, მით უფრო ზუსტია პასუხი. მაგალითით ვაჩვენოთ:

მაგალითი 11

გამოთვალეთ 21-ის მიახლოებითი მნიშვნელობა 174367....

გამოსავალი

მოდით შემოვიფარგლოთ ათობითი მიახლოებით a n = 1, 17. მოდით, გამოთვლები განვახორციელოთ ამ რიცხვის გამოყენებით: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. თუ ავიღებთ, მაგალითად, მიახლოებას a n = 1, 1743, მაშინ პასუხი ცოტა უფრო ზუსტი იქნება: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

კალკულატორი გეხმარებათ სწრაფად აიყვანოთ ნომერი ონლაინ რეჟიმში. ხარისხის საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი (როგორც მთელი, ასევე რეალური). მაჩვენებელი ასევე შეიძლება იყოს მთელი ან რეალური, ასევე შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი. გაითვალისწინეთ, რომ უარყოფითი რიცხვებისთვის, აწევა არა მთელ რიცხვამდე სიმძლავრეზე განუსაზღვრელია, ამიტომ კალკულატორი შეატყობინებს შეცდომის შესახებ, თუ ამას შეეცდებით.

ხარისხის კალკულატორი

ძალაუფლებაზე აყვანა

მაჩვენებლები: 28402

რა არის რიცხვის ბუნებრივი ძალა?

რიცხვს p ეწოდება რიცხვის n-ე ხარისხად, თუ p ტოლია რიცხვის a გამრავლებული თავისთავად n-ჯერ: p = a n = a·...·a.
ნ - დაუძახა ექსპონენტიდა ნომერი a არის ხარისხის საფუძველი.

როგორ გავზარდოთ რიცხვი ბუნებრივ ხარისხზე?

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა ავიყვანოთ სხვადასხვა რიცხვები ბუნებრივ ძალებზე, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

მაგალითი 1. აწიეთ რიცხვი სამი მეოთხე ხარისხამდე. ანუ აუცილებელია 3 4-ის გამოთვლა
გამოსავალი: როგორც ზემოთ აღინიშნა, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
უპასუხე: 3 4 = 81 .

მაგალითი 2. აწიეთ რიცხვი ხუთი მეხუთე ხარისხამდე. ანუ აუცილებელია 5 5-ის გამოთვლა
გამოსავალი: ანალოგიურად, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
უპასუხე: 5 5 = 3125 .

ამრიგად, რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე ასაყვანად, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ იგი თავისთავად n-ჯერ.

რა არის რიცხვის უარყოფითი ძალა?

უარყოფითი სიძლიერე -n a არის ერთი გაყოფილი a-ზე n-ის ხარისხზე: a -n = .

ამ შემთხვევაში უარყოფითი სიმძლავრე არსებობს მხოლოდ არანულოვანი რიცხვებისთვის, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში მოხდება ნულზე გაყოფა.

როგორ გავზარდოთ რიცხვი უარყოფით მთელ რიცხვამდე?

ნულოვანი რიცხვის უარყოფით ხარისხზე ასაყვანად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ამ რიცხვის მნიშვნელობა იმავე პოზიტიურ ხარისხზე და ერთი გაყოთ შედეგზე.

მაგალითი 1. აწიეთ რიცხვი ორი უარყოფითი მეოთხე ხარისხამდე. ანუ, თქვენ უნდა გამოთვალოთ 2 -4

გამოსავალი: როგორც ზემოთ აღინიშნა, 2 -4 = = = 0.0625.

უპასუხე: 2 -4 = 0.0625 .