კოორდინატები xწრეზე განლაგებული წერტილები უდრის cos(θ) და კოორდინატებს წშეესაბამება sin(θ), სადაც θ არის კუთხის სიდიდე.
- თუ გაგიჭირდებათ ამ წესის დამახსოვრება, უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ წყვილში (cos; sin) „სინუსი ბოლოს მოდის“.
- ეს წესი შეიძლება გამოვიტანოთ მართკუთხა სამკუთხედების გათვალისწინებით და ამ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრით (კუთხის სინუსი ტოლია მოპირდაპირე მხარის სიგრძის თანაფარდობის, ხოლო მიმდებარე მხარის კოსინუსი ჰიპოტენუზასთან).
ჩაწერეთ წრეზე ოთხი წერტილის კოორდინატები."ერთეული წრე" არის წრე, რომლის რადიუსი ერთის ტოლია. გამოიყენეთ ეს კოორდინატების დასადგენად xდა წკოორდინატთა ღერძების წრესთან გადაკვეთის ოთხ წერტილში. ზემოთ, სიცხადისთვის, ჩვენ აღვნიშნეთ ეს პუნქტები, როგორც "აღმოსავლეთი", "ჩრდილოეთი", "დასავლეთი" და "სამხრეთი", თუმცა მათ არ აქვთ დადგენილი სახელები.
- "აღმოსავლეთი" შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით (1; 0) .
- "ჩრდილოეთი" შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით (0; 1) .
- „დასავლეთი“ შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით (-1; 0) .
- "სამხრეთი" შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით (0; -1) .
- ეს ჩვეულებრივი გრაფიკის მსგავსია, ამიტომ არ არის საჭირო ამ მნიშვნელობების დამახსოვრება, უბრალოდ გახსოვდეთ ძირითადი პრინციპი.
დაიმახსოვრეთ პირველი კვადრატის წერტილების კოორდინატები.პირველი კვადრატი მდებარეობს წრის ზედა მარჯვენა ნაწილში, სადაც არის კოორდინატები xდა წმიიღეთ დადებითი ღირებულებები. ეს არის ერთადერთი კოორდინატები, რომლებიც უნდა გახსოვდეთ:
დახაზეთ სწორი ხაზები და დაადგინეთ მათი წრის გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები.თუ ერთი კვადრატის წერტილებიდან დახაზავთ სწორ ჰორიზონტალურ და ვერტიკალურ ხაზებს, ამ ხაზების წრესთან გადაკვეთის მეორე წერტილებს ექნებათ კოორდინატები. xდა წიგივე აბსოლუტური მნიშვნელობებით, მაგრამ განსხვავებული ნიშნებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ შეგიძლიათ დახაზოთ ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ხაზები პირველი კვადრატის წერტილებიდან და მიანიშნოთ წრეზე გადაკვეთის წერტილები იმავე კოორდინატებით, მაგრამ ამავე დროს დატოვოთ ადგილი მარცხნივ სწორი ნიშნისთვის ("+" ან "-").
კოორდინატების ნიშნის დასადგენად გამოიყენეთ სიმეტრიის წესები.არსებობს რამდენიმე გზა იმის დასადგენად, თუ სად უნდა განთავსდეს "-" ნიშანი:
- დაიმახსოვრე ჩვეულებრივი სქემების ძირითადი წესები. ღერძი xუარყოფითი მარცხნივ და დადებითი მარჯვნივ. ღერძი წუარყოფითი ქვემოთ და დადებითი ზემოთ;
- დაიწყეთ პირველი კვადრატით და გაავლეთ ხაზები სხვა წერტილებზე. თუ ხაზი კვეთს ღერძს წ, კოორდინაცია xშეიცვლის თავის ნიშანს. თუ ხაზი კვეთს ღერძს x, შეიცვლება კოორდინატის ნიშანი წ;
- გახსოვდეთ, რომ პირველ კვადრატში ყველა ფუნქცია დადებითია, მეორე კვადრატში მხოლოდ სინუსი დადებითია, მესამე კვადრატში მხოლოდ ტანგენსი დადებითია, ხოლო მეოთხე კვადრატში მხოლოდ კოსინუსი დადებითია;
- რომელი მეთოდიც არ უნდა გამოიყენოთ, უნდა მიიღოთ (+,+) პირველ კვადრატში, (-,+) მეორეში, (-,-) მესამეში და (+,-) მეოთხეში.
შეამოწმეთ თუ დაუშვით შეცდომა.ქვემოთ მოცემულია „სპეციალური“ წერტილების კოორდინატების სრული სია (გარდა კოორდინატთა ღერძების ოთხი წერტილისა), თუ თქვენ მოძრაობთ ერთეული წრის გასწვრივ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. გახსოვდეთ, რომ ყველა ამ მნიშვნელობის დასადგენად საკმარისია დაიმახსოვროთ წერტილების კოორდინატები მხოლოდ პირველ კვადრატში:
- პირველი კვადრატი :( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- მეორე კვადრატი :( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- მესამე კვადრატი :( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- მეოთხე კვადრატი :( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).
თუ უკვე იცნობთ ტრიგონომეტრიული წრე და თქვენ უბრალოდ გსურთ განაახლოთ თქვენი მეხსიერება გარკვეული ელემენტების შესახებ, ან სრულიად მოუთმენელი ხართ, მაშინ აქ არის:
აქ ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ ყველაფერს ეტაპობრივად.
ტრიგონომეტრიული წრე არ არის ფუფუნება, არამედ აუცილებლობა
ტრიგონომეტრია
ბევრი ადამიანი მას უკავშირებს შეუღწეველ სქელს. უეცრად ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ამდენი მნიშვნელობა, ამდენი ფორმულა გროვდება... მაგრამ თითქოს თავიდან არ გამოვიდა და... მივდივართ... სრული გაუგებრობა...
ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ არ დანებდეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები, - ამბობენ, ფასეულობათა ცხრილით ყოველთვის შეგიძლიათ შეხედოთ სტიმულს.
თუ თქვენ მუდმივად უყურებთ ცხრილს ტრიგონომეტრიული ფორმულების მნიშვნელობებით, მოდით, თავი დავაღწიოთ ამ ჩვევას!
ის დაგვეხმარება! თქვენ რამდენჯერმე იმუშავებთ და შემდეგ ის თქვენს თავში ამოიჭრება. როგორ ჯობია მაგიდას? დიახ, ცხრილში ნახავთ მნიშვნელობების შეზღუდულ რაოდენობას, მაგრამ წრეზე - ყველაფერი!
მაგალითად, თქვით ყურებისას ტრიგონომეტრიული ფორმულების მნიშვნელობების სტანდარტული ცხრილი , რისი უდრის სინუსი, ვთქვათ, 300 გრადუსს, ანუ -45.
არანაირად?.. შეგიძლიათ, რა თქმა უნდა, დაკავშირება შემცირების ფორმულები...და ტრიგონომეტრიულ წრეს რომ შევხედოთ, ადვილად უპასუხებთ ასეთ კითხვებს. და მალე გაიგებთ როგორ!
ხოლო ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას ტრიგონომეტრიული წრის გარეშე, ეს აბსოლუტურად არსად არის.
ტრიგონომეტრიული წრის შესავალი
წავიდეთ თანმიმდევრობით.
პირველ რიგში, მოდით დავწეროთ რიცხვების ეს სერია:
და ახლა ეს:
და ბოლოს ეს:
რა თქმა უნდა, ცხადია, რომ ფაქტობრივად, პირველ ადგილზეა, მეორე ადგილზეა და ბოლო ადგილზეა. ანუ ჩვენ უფრო დავინტერესდებით ჯაჭვით.
მაგრამ რა ლამაზი აღმოჩნდა! თუ რამე მოხდება, ჩვენ აღვადგენთ ამ "სასწაული კიბეს".
და რატომ გვჭირდება?
ეს ჯაჭვი არის სინუსისა და კოსინუსის ძირითადი მნიშვნელობები პირველ კვარტალში.
მოდით დავხატოთ ერთეული რადიუსის წრე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში (ანუ ავიღებთ სიგრძის ნებისმიერ რადიუსს და ვაცხადებთ მის სიგრძეს ერთეულად).
"0-Start" სხივიდან ჩვენ ვაგდებთ კუთხეებს ისრის მიმართულებით (იხ. სურათი).
წრეზე ვიღებთ შესაბამის წერტილებს. ასე რომ, თუ წერტილებს დავაპროექტებთ თითოეულ ღერძზე, მაშინ მივიღებთ ზუსტად მნიშვნელობებს ზემოთ მოყვანილი ჯაჭვიდან.
რატომ არის ეს, გეკითხებით?
ნუ გავაანალიზებთ ყველაფერს. განვიხილოთ პრინციპი, რაც საშუალებას მოგცემთ გაუმკლავდეთ სხვა, მსგავს სიტუაციებს.
სამკუთხედი AOB მართკუთხაა და შეიცავს . ჩვენ ვიცით, რომ b კუთხის საპირისპიროდ დევს ფეხი ჰიპოტენუზის ნახევრად (გვაქვს ჰიპოტენუზა = წრის რადიუსი, ანუ 1).
ეს ნიშნავს AB= (და შესაბამისად OM=). და პითაგორას თეორემის მიხედვით
იმედი მაქვს, რაღაც უკვე ნათელია?
ასე რომ, B წერტილი შეესაბამება მნიშვნელობას, ხოლო წერტილი M შეესაბამება მნიშვნელობას
იგივეა პირველი კვარტლის სხვა მნიშვნელობებით.
როგორც გესმით, ნაცნობი ღერძი (ოხერი) იქნება კოსინუსური ღერძიდა ღერძი (oy) - სინუსების ღერძი . მოგვიანებით.
ნულის მარცხნივ კოსინუს ღერძის გასწვრივ (ნულის ქვემოთ სინუსური ღერძის გასწვრივ) იქნება, რა თქმა უნდა, უარყოფითი მნიშვნელობები.
ასე რომ, აი, ეს არის ყოვლისშემძლე, რომლის გარეშეც არსად არის ტრიგონომეტრია.
მაგრამ ჩვენ ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიული წრე.
ტრიგონომეტრია, როგორც მეცნიერება, წარმოიშვა ძველ აღმოსავლეთში. პირველი ტრიგონომეტრიული კოეფიციენტები ასტრონომებმა გამოიგონეს ზუსტი კალენდრისა და ვარსკვლავების ორიენტაციის შესაქმნელად. ეს გამოთვლები დაკავშირებულია სფერულ ტრიგონომეტრიასთან, ხოლო სასკოლო კურსში ისინი სწავლობენ სიბრტყის სამკუთხედის გვერდებისა და კუთხეების თანაფარდობას.
ტრიგონომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეხება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებებს და სამკუთხედების გვერდებსა და კუთხეებს შორის ურთიერთობას.
I ათასწლეულში კულტურისა და მეცნიერების აყვავების პერიოდში ცოდნა ძველი აღმოსავლეთიდან საბერძნეთში გავრცელდა. მაგრამ ტრიგონომეტრიის მთავარი აღმოჩენები არაბთა ხალიფატის კაცთა დამსახურებაა. კერძოდ, თურქმენმა მეცნიერმა ალ-მარაზვიმ შემოიტანა ისეთი ფუნქციები, როგორიცაა ტანგენსი და კოტანგენსი და შეადგინა მნიშვნელობების პირველი ცხრილები სინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების. სინუსისა და კოსინუსის ცნებები შემოიღეს ინდოელმა მეცნიერებმა. ტრიგონომეტრიას დიდი ყურადღება ექცევა ანტიკურობის ისეთი დიდი მოღვაწეების ნამუშევრებში, როგორებიც იყვნენ ევკლიდე, არქიმედე და ერატოსთენე.
ტრიგონომეტრიის ძირითადი რაოდენობები
რიცხვითი არგუმენტის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი გრაფიკი: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.
ამ რაოდენობების მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმულები ეფუძნება პითაგორას თეორემას. სკოლის მოსწავლეებისთვის ეს უფრო ცნობილია ფორმულირებით: „პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია“, რადგან მტკიცებულება მოცემულია ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის მაგალითის გამოყენებით.
სინუსი, კოსინუსი და სხვა დამოკიდებულებები ადგენენ კავშირს ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედის მახვილ კუთხეებსა და გვერდებს შორის. მოდით მივცეთ ფორმულები ამ სიდიდეების გამოსათვლელად A კუთხისთვის და მივყვეთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის ურთიერთობებს:
როგორც ხედავთ, tg და ctg შებრუნებული ფუნქციებია. თუ ფეხი a წარმოვიდგენთ, როგორც ცოდვის A და c ჰიპოტენუზის ნამრავლი, ხოლო b ფეხი, როგორც cos A * c, მივიღებთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შემდეგ ფორმულებს:
ტრიგონომეტრიული წრე
გრაფიკულად, აღნიშნულ რაოდენობებს შორის ურთიერთობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:
წრე, ამ შემთხვევაში, წარმოადგენს α კუთხის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას - 0°-დან 360°-მდე. როგორც ნახატიდან ჩანს, თითოეული ფუნქცია კუთხიდან გამომდინარე იღებს უარყოფით ან დადებით მნიშვნელობას. მაგალითად, sin α-ს ექნება „+“ ნიშანი, თუ α ეკუთვნის წრის 1-ლ და მე-2 მეოთხედებს, ანუ ის არის 0°-დან 180°-მდე დიაპაზონში. α 180°-დან 360°-მდე (III და IV კვარტალი), sin α შეიძლება იყოს მხოლოდ უარყოფითი მნიშვნელობა.
შევეცადოთ ავაშენოთ ტრიგონომეტრიული ცხრილები კონკრეტული კუთხისთვის და გავარკვიოთ რაოდენობების მნიშვნელობა.
α-ის მნიშვნელობებს, რომლებიც ტოლია 30°, 45°, 60°, 90°, 180° და ა.შ. განსაკუთრებული შემთხვევები ეწოდება. მათთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები გამოითვლება და წარმოდგენილია სპეციალური ცხრილების სახით.
ეს კუთხეები შემთხვევით არ იყო არჩეული. ცხრილებში π აღნიშვნა არის რადიანებისთვის. რად არის კუთხე, რომლის დროსაც წრის რკალის სიგრძე შეესაბამება მის რადიუსს. ეს მნიშვნელობა დაინერგა უნივერსალური დამოკიდებულების დადგენის მიზნით, რადიუსებში გაანგარიშებისას, რადიუსის ფაქტობრივ სიგრძეს არ აქვს მნიშვნელობა.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილების კუთხეები შეესაბამება რადიანის მნიშვნელობებს:
ასე რომ, ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ 2π არის სრული წრე ან 360°.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები: სინუსი და კოსინუსი
სინუსის და კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის ძირითადი თვისებების გასათვალისწინებლად და შესადარებლად აუცილებელია მათი ფუნქციების დახატვა. ეს შეიძლება გაკეთდეს მრუდის სახით, რომელიც მდებარეობს ორგანზომილებიან კოორდინატულ სისტემაში.
განვიხილოთ სინუსისა და კოსინუსების თვისებების შედარებითი ცხრილი:
| სინუსური ტალღა | კოსინუსი |
|---|---|
| y = ცოდვა x | y = cos x |
| ოძ [-1; 1] | ოძ [-1; 1] |
| sin x = 0, x = πk-სთვის, სადაც k ϵ Z | cos x = 0, x = π/2 + πk, სადაც k ϵ Z |
| sin x = 1, x = π/2 + 2πk, სადაც k ε Z | cos x = 1, x = 2πk-ზე, სადაც k ϵ Z |
| sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk, სადაც k ε Z | cos x = - 1, x = π + 2πk, სადაც k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, ანუ ფუნქცია კენტია | cos (-x) = cos x, ანუ ფუნქცია ლუწია |
| ფუნქცია პერიოდულია, ყველაზე პატარა პერიოდი არის 2π | |
| sin x › 0, x ეკუთვნის პირველ და მე-2 მეოთხედებს ან 0°-დან 180°-მდე (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, x ეკუთვნის I და IV მეოთხედებს ან 270°-დან 90°-მდე (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, x მიეკუთვნება მესამე და მეოთხე მეოთხედს ან 180°-დან 360°-მდე (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, x ეკუთვნის მე-2 და მე-3 მეოთხედებს ან 90°-დან 270°-მდე (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| იზრდება ინტერვალით [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | იზრდება ინტერვალით [-π + 2πk, 2πk] |
| მცირდება ინტერვალებით [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | მცირდება ინტერვალებით |
| წარმოებული (sin x)’ = cos x | წარმოებული (cos x)’ = - sin x |
იმის დადგენა, არის თუ არა ფუნქცია ლუწი, ძალიან მარტივია. საკმარისია წარმოვიდგინოთ ტრიგონომეტრიული წრე ტრიგონომეტრიული სიდიდეების ნიშნებით და გონებრივად „დაკეცოთ“ გრაფიკი OX ღერძის მიმართ. თუ ნიშნები ერთმანეთს ემთხვევა, ფუნქცია ლუწია, წინააღმდეგ შემთხვევაში – კენტი.
რადიანების დანერგვა და სინუსური და კოსინუსური ტალღების ძირითადი თვისებების ჩამოთვლა საშუალებას გვაძლევს წარმოვადგინოთ შემდეგი ნიმუში:
ფორმულის სისწორის შემოწმება ძალიან მარტივია. მაგალითად, x = π/2-სთვის, სინუსი არის 1, ისევე როგორც x = 0-ის კოსინუსი. შემოწმება შეიძლება განხორციელდეს ცხრილების კონსულტაციის ან მოცემული მნიშვნელობებისთვის ფუნქციის მრუდების მიკვლევით.
ტანგენსოიდების და კოტანგენსოიდების თვისებები
ტანგენტისა და კოტანგენტის ფუნქციების გრაფიკები მნიშვნელოვნად განსხვავდება სინუსური და კოსინუსური ფუნქციებისგან. tg და ctg მნიშვნელობები ერთმანეთის საპასუხოა.
- Y = tan x.
- ტანგენსი მიდრეკილია y-ის მნიშვნელობებზე x = π/2 + πk, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
- ტანგენტოიდის უმცირესი დადებითი პერიოდია π.
- Tg (- x) = - tg x, ანუ ფუნქცია კენტია.
- Tg x = 0, x = πk-სთვის.
- ფუნქცია იზრდება.
- Tg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (— π/2 + πk, πk).
- წარმოებული (tg x)' = 1/cos 2 x.
განვიხილოთ კოტანგენტოიდის გრაფიკული გამოსახულება ქვემოთ მოცემულ ტექსტში.
კოტანგენტოიდების ძირითადი თვისებები:
- Y = cotg x.
- სინუსის და კოსინუსური ფუნქციებისგან განსხვავებით, ტანგენტოიდში Y-ს შეუძლია მიიღოს ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის მნიშვნელობები.
- კოტანგენტოიდი მიდრეკილია y მნიშვნელობებისკენ x = πk-ზე, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
- კოტანგენტოიდის ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდია π.
- Ctg (- x) = - ctg x, ანუ ფუნქცია კენტია.
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk-სთვის.
- ფუნქცია მცირდება.
- Ctg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (π/2 + πk, πk).
- წარმოებული (ctg x)’ = - 1/sin 2 x სწორია
ტრიგონომეტრიული წრე. ერთეული წრე. ნომრის წრე. რა არის ეს?
ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალაში სპეციალური სექცია 555.
მათთვის, ვინც ძალიან "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")
ძალიან ხშირად ტერმინები ტრიგონომეტრიული წრე, ერთეული წრე, რიცხვითი წრეცუდად ესმით სტუდენტები. და სრულიად უშედეგოდ. ეს ცნებები ძლიერი და უნივერსალური დამხმარეა ტრიგონომეტრიის ყველა სფეროში. სინამდვილეში, ეს არის კანონიერი მოტყუების ფურცელი! დავხატე ტრიგონომეტრიული წრე და მაშინვე ვნახე პასუხები! მაცდური? ასე რომ, ვისწავლოთ, ცოდვა იქნება ასეთი რამ არ გამოვიყენოთ. უფრო მეტიც, ეს საერთოდ არ არის რთული.
ტრიგონომეტრიულ წრესთან წარმატებით მუშაობისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ მხოლოდ სამი რამ.
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
